Теория операторного продолжения в методах решения краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

л Л

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ

КОВАЛЬ Федор Федорович

ТЕОРИЯ 01ЖРАТ0РН0Г0 ПРОДОЛЖЕНИЯ В МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 519.6

Новосибирск - 1УУ2

Работа выполнена в докторантуре Вычислительного центра Сибирского отделения Российской Академии наук.

Научные консультанты: академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Рвачев В.Л.,

доктор физико-математических наук, профессор Ильин В.П.

Официальные оппоненты:член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук» профессор Шокин Ю.И., доктор физико-математических наук, профессор Василенко В.А., доктор физико-математических наук, профессор Андрианов И.В.

Ведущая организация: Институт кибернетики АН Украины.

Защита состоится в . *часов

на заседании специализированного совета Д 002.10.01 при Вычислительном центре Сибирского отделения Российской Академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т академика.Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ СО Российской АН.

Автореферат разослан 1992г.

Учений секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук / Ю.И.Кузнецов

госу/'л;

БИЕЗЛПО !

Актуальность тематики и мотивировка исследованийт Математическое моделирование на базе современной вычислительной техники и информатики приобретает все большую актуальность, поскольку позволяет создавать наукоемкую продукцию- программное обеспечение для решения научно-технических, инженерных и других прикладных проблем в условиях реализации многих критериев эффективное -ти экономичности, долговечности, износостойкости, устойчивости, прочности и др.

Математические модели в форме краевых задач содержат: уравнения (неравенства), граничные и начальные условия, условия контакта кусочно-разнородных сред, условий в угловых (особых) точ -ках и другую постановочную информацию.

Разработка методов решения краевых задач и соответствующего алгоритмического и программного обеспечения является основополагающими в математическом моделировании на ЭВМ реальных объектов и явлений с целью исследования, проектирования, оптимизации, сознания и эксплуатации: технических систем, инженерных конструкций и сооружений, технологий и т-Д- Исследованиям в этой области по-звящены работы многих отечественных и зарубежных ученых и научных акол.

Методы решения краевых задач предполагают этапы: сужение 1ространства ( И/) содержащего искомое решение (выбор координат-1ых последовательностей, построение фундаментальных решений и др); засорение пространства IV до пространств/^^/,содержащих обобщение решения (построение вариационно-разностных,сеточных, алгебра-веских аналогов и др.); редуцирование краевых задач (линеариза-шя, введение фиктивных областей, декомпозиция и др.). Классификация приведенных этапов условна, но проблема и трудности (содер-ащиеся в методах решения, краевых задач и реализации их алгорит-лческого и программного обеспечения) на уровне этих базовых эта-)в наиболее значительны и известны. В частност; к этим пробле -ш и трудностям относятся: построение координатных последова -ельностей для достаточно общего случая многомерных, нелинейных, екторных краевых задач в кусочно-разнородных средах; построение ператора задачи ъ методе фиктивных областей; учет

собенностей и автоматизация вычислительного процесса в граничных етодах для сложных трехмерных областей; использование классичес-их ортогональных последовательностей, в случав геометрически

слоеной формы области; разработка алгоритмического и программного обеспечения,независящего от изменения размерности, геометрической и аналитической (физической) информации; создание мате -матического аппарата для разработки программных и языковых средств (ориентированных на широкий класс пользователей)и др.

Разработка теории и создание методологии численно-аналитического редуцирования и решения краевых задач, позволяющих преодолеть отмеченные трудности, является основной целью диссертационной работы.

Метод исследования заклвчается в комплексном подходе к проблеме математического моделирования (в форме краевых задач) и ба -зируется на использовании совокупности математических средствалгебры логики, теории Я -функций, вычислительной математики,вариационного исчисления н математической физики. Разработка теорети -чсских и методологических полокений постоянно сочетается с про -веркоЕ е условиях шюговаривнтньсе численных экспериментов.

В диссертации исследуются, разрабатываются и выносятся на за щиту следующие ноше научные результаты:

-конструктивные средства К -функций и вычислительной натека

тип:;

-теория и ивтод операторного продолиешш; -Бйркйциондай фаршишзш и построение координатных последова-телшосуей в методе операторного представления решения краевых задач достаточно общих типов|

-резшше краоБЫх задач методом операторного продолжения; -иатсиатичосксо обеспечение реализованное на основе разрабо тайнах катодов и новой технологии прогршхирования; -чкелоюша экспзржентц.

Тсовп^^здская ¡; плагткувскея ценность, внедрения. Резукм-шш работы представляет собой бклёд с разработку пер псглиеного шшрйслсикя б области шчислигелшоГ. математики -мето доб р&Еешш краевых аадач, основанного на новых конструктивных средствах теории к ютода операторного продолжения. Они имев? ва кое прикладное аначзнио при создании автоматизированных программ рущпх скорей к языковых средств с предметной областью катемати ческсго кодеякровшшк (КЕИИо-механачвских полей, решения краевых задач, задач теории приближения и обработки данных численных (фи зичесьтос) екекзрииентон.

КсблодосанЕя по хеке диссертации проведены в докторантуре Е

ислительного центра СО Российской АН, кроме того, содержание дис-ертации включает результат обобщения исследований и разработок втора с середины 70-х годов» выполненных и внедренных в рамках ундаментальных, прикладных, госбюджетных и хоздоговорных научно-сследовательских работ Института проблем машиностроения АН Украи- . ы.

Алробапия работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докла -ывались и обсуждались На б международных, 23 Всесоюзных и регио -альных конференций*» симпозиумах и семинарах. В частности: П,Ш, У Международные конференции по дифференциальным уравнениям и их римененияМ (Воягария.Русе, 19с11, 19Ъ5, 19и9 гг); УП Международ -ая конференция по водородной энергетике (Москва,1966); Всесоюзные онференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной мате-атики"(Новосибирск, 19Ы,19ЬЗ,1&17 гг), 1У Всесоюзная конференция о оптимальному управлению в механических системах (Москва,19Ь2);

Всесоюзная конференция "Вариационно-разностные методы в математи-ескоЯ физике" (Москва, 1963) ; Всесоюзная конференция "Современные роблемы математической физики и вычислительной математики'ЧМосква, 9Ь4г.); Всесоюзный симпозиум " Метод дискретных особенностей в за-ачьх математической физики"(Харьков,19Ь5) ; Всесоюзный семинар Численные методы механики сплошной среди (Красноярск,1Ш7); Рес -убликанская научно-техническая конференция "Эффективные численные етоды решения краевых задач механ1!ки твердого деформируемого тела" Харьков, 1£Ь9) и др. Кроме того, работа докладывалась на постоянно ейстнуюцих семинарах: Вычислительного центра Сибирского отделения оссийской АН (Новосибирск,1991, 1992); Отдела вычислительной мате-атики Российской АН (Москва, 1990); Института проблем машиностроения Н Украины (Харьков).

'Ьбликаппи и личный вклад. По теме диссертации опубликовано О работ. В диссертацию включены только те результаты, которые по -уч'лш лично автором или под его руководство»! и при личном участии.

т м числе, без соавторства опубликовано 25 работ и 50 после защи-ы кандидатской диссертации.

Структура и об^ем работы. Диссертация состоит из введения, пя-ия разделов (33 подраздела), заключения и списка используемых ис -очников из 162 наименований. Объем текста диссертации 418 страниц, 1'лпч'лл 27 рисунков и 15 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введездия откечаотся актуальность и новизна исследований проведенных в диссертации» указнвается их место в современном состоянии исследований е области оочислительной математики. Кратко излагается содержание работы по разделам.

Л .паррри, разделе вводятся основные и некоторые новые конструктивные средства теории И-фуикциИ и операторного продолпония /5, 7, 9, 13, 16, 20/.

В частности, рассмотрены олементы алгебры Ъ - зиачной логики, вводятся необходимые понятия и определения (п.п.1.1*1.2).

Пусть задана сюрьекция вида 5'ь : д?—*—

И

где л- - некоторое

множество (ншцшиар, вещественных чисел Ш), Вь - алфавит состоящий из и - элементов (например: 0,1,..., к -I).

Отобрааениз

j ; д?"—является К-отсбрааение, если 3 коториз с ^ образуют кошутаткпнув диаграмму

к. * 1С ш

■в:

-в

Сводятся и исследуются некоторые новые системы Н-функцнй:

'оС

<

—X,

РЪ

а; г ссг±(\х,

\Р.

+ М

"р

здось - 1 < с4 Д (коньшкцил)}

<1

3+х^-2оСсс1 а:

(2)

•>Р>1>°

• р

Счг,1

,» ©= V

села р -

(дизъюнкция) или

четное,

с:-

р!

1, если р -нечетное; г Ц(о-1)1

И^ - определяет сспойстш систем К—(в гон числе и :гз Есстних), которые эпдашея значениями параметров р , ф , ос . Приведен 'опешшлизироваян}») систему И"1 :

щ

здесь

3:

цг > о,

Г ОС;, когда ¿Н когда цгщгс) (1*1.2), I аг^-г» К0ГДа Ж

функции p. - удоачстзоря»? уаговиот сопряжения

V

irro

w. i?3

XL .

1K-.---0

У Рл

и\

НУ

р.

Гу

П

il

l¿, i, i- ¿ ¿-/,тч ; - сжа-оч lipoïm-тп-.

j. no .,40 ;¡' je:.:"., иуи'.'льзуя ¡гун.сп::; >;-i .""' .. D

í • ' í . - ' ~ - - ■ - ■ r...cf- ^г.—i гf-"V;/ V/ г.-í;^- ) ¡m > en :,*•>• nv-^v-

и-.Уу (Y,;; ry:i ) -пт;-

í^ílir:;^ !;l/(¡!-.!;¡ -, ,,,

-¡•V

иппопьск)1-vwгри:-j. др. кэлуvckkk ; си?ген: ооуслояляю харачтгрон uioci-сгкстг г; ко-га'.чге ooyçscï шлется рспон:;з зпцачч «атегатичзегого «ояг-^розакя, '.'гтрокзш/-"!-UV»! IT Г.Д. ü Пр!1ВЛ?ЧСКИ!>К KOlICfpyiîïnrKm Ор.!ДС'Г:} vcopuiï П~:ууК" -lili.''.

Pbcryarmvi логк^ят:« !• ЙЧПЛЧгччиьк:.«,< cr TKI сагте:*

írv-гл'К'.гди;'.) s r.r.--.'. ячгчи.» *зек*.п ■

п. -v.opíü". л nn;:iгу"1::":'; ín.L, L '.-,

J.,.¿ ),

Ï;dûT!.': Г;-:, rv.w" ччле;; С.,' i-'iv' 1 ; i'.' ;

Í¡C?-;V;Í> Í-'- rp'iP.üL.":

сол.'-о'; •

глас;; /i'^' (V.0) •;?) »

где - V - нормаль к дО, (ЧГХ } я СЛ .

тВведем класс функций ЗС™(&,,{си*- СО*~% в Я,ей) сСт(&)ПС% (дй) , где ра0,т ; £ - заданна из

Ста3) функция. Вопросы обоснования и методика построения функций СО* освещены в теоремах 1,4*1.7.

В п.1.5 приведены операторы продолжения 2>,Т и введено понятие конструктивного (К/ оператора продолжения.

В частности,

ят-вГЫ+<о/*у)т (спе.с;(да)) (в)

является 1} - оператором, следом которого на ¿Ш будет производная тп -го порядка по направлению нормали д) к ¿Ш .

Г^сть осуществлена постановка некоторой краевой задачи

УасеЙеД?? (6)

£°£и(х)~у?(сс), (ге=Я), (?)

здесь и^М, /е^,

- пространства функций над й , И^ - на д& ; {&$2/} -участки покрытия границы д£2 области й (1< п) ; У - множество целочисленных индексов.

Операторы &6°(У1) продолжающие с д£1 на & соответственно вектора Си удовлетворяющие на каждом 952{ участке равенству = &°{Ч>) (которое равнозначно равенству В"и — СР°- ) будем называть конструктивными IК-) операторами.

Далее, приведены способы задания К - операторов (теорема 1.10) и их разностно-аналитических аналогов ( В\ Т\ К1* ).

В п.1.6. доказаны некоторые теоремы и основные свойства операторов^ продолжения в Н8 и С8 . Важным в продолжениях с о'йс/? на S2c.JP является продолжение с сохранением нор-ш или продолжение типа: Н^'0,5(и£1)-— Н (£2).

Обратная процедура продолжению является след оператора (функции), например дг^

г

где 2 = ^=7 .т.е. -- Н^'^дП).

Частным случаем К -операторов является функция Ф :

С*'е У) • Справедливы следующие теоремы. 'Теорема I. V {С£?}с 3 Ф<=С5(&) являющаяся про-

должением с на П функций и кроме того

Ис^^Е Ы\с'(№) (в)

здесь постоянная С>0 не зависит от I .

Теорема 2. Пусть у<=С'(1Рп~') или^сй'с.О и

д&С.С'1 I тогда имеется след д>°е е£а и кроме того

Икот^'Икшг (9)

где постоянная С >0 не зависит от Ц или . Ясно, что теорема 2 справедлива и для случая Теорема 3. Пусть ПсКсЕ" , тогда Уце= НЦО.) Зи*(=№(К): и*(рс)~и(ос.), Уос(=&аК и кроме

того

V

И3(К)^С'*\и ,НВ(Я) > (10)

где с">0 независящая от и постоянная. Осуществлено построение функции сужение (сле-

дом) которой на д£2{ является функция Ср? (¿е.3) (Лемма 1.1. теоремы 1.17, 1.18). 1 т т

Сформулируем теорема построения элементов классов С,^, /V» . Пусть ^СО^СХ^-Ю^С^.)/ '

Обозначим

Теовема^. Если иеСт(П), СО р_-2 ,то иС^^-и^А/™ (да). (II)

1ео£ема_5. Если а/''е С1(д&)ПС*(й) (Ь><) , то

(¿-0,т),

со ~

М

а?'(х)~аг (ос-tu vcd <I3)

Используя получеиныо конструктивные средства приведем теорему построения обобщенной формулы Тейлора-Эрмитта.

Теорема, 6. Если cü еС™ (dS2)H Cm*f(£l), то имеет место представление функции U в окрестности дО, вдоль направления нормали V : ™ (m,U) ^ ' •

V'LUi V +Я»Н* (14)

г°° Г)

удовлетворяющее следующий условиям г/J

где Rm+4 - остаточный член. 3S2

Во втором разделе излагаются основные понятия метода операторного продолжения и испольаованне его при редуцировании краевых задач в слоеных областях. Введено понятие операторного представления решения и разработаны методы построения ОН решений достаточно пирокого класса краевых задач (многомерных, векторных, нелинейных в кусочно-разнородных средах). Дана метрическая классификация методов регення, краевых задач. Разработанные подходы иллюстрируются на решении модельных задач. Основные результаты по данному разделу опубликованы в следующих работах автора /3, 7, 8, 9, 13, 20, 23, 36, 37, 38, 40, 42/.

Метод операторного продолкения предполагает построение функциональных (априорных) пространств, элементы которых учитывает частично или полностью априорную информацию (присутствующего в постановке краевой задачи) о искомой функции (п.2.1).

Выражение U*= £ *- P+G° * CP в котором учтена некоторая- априорная информация, будем называть операторным представлением (ОП) решения краевой задачи. Здесь G° - заданные операторы; ср - функция (вектор- функция) учитывающая, в частности ((¡P/J, f и " ~ не"0Т0Рад операция; Р - неопределенная компонента (вектор-компонента).

Например, в граничных методах Oil решения V представляет собой интегральное соотношение, в котором G° - интегро-дкфференциалыше операторы, содержащие функция Грина или фундаментальные решения, в - операция свертки.. В теории Кгфунк-цнй ОП рокение учи-гисекдее граничнуя информация является струк-

турой решения. В этом случае в, - некоторые дифференциальные операторы продолжения, а "*" - операция дифференцирования.

Если У£>0 ЭР:\\иг-е*Р-&°*Я>\\и<£, то ОП реиения называется достаточно полным в смысле нормы пространства Н. Если 0 , т.е. и~11т - точное решение, то ОП решения называется полным.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение

с условиями в концевых точках интервала

и(с£)=и(р)=0, (16)

где /(¿с) = /т1ЭС+Х2-, <*Г = -7, уЗ =

В этом случае ОП решения имеет вид

V = СоР, (17)

где си(-/)=■ СО(1) = 0; СО(х) > 0 . а Р - неопределенная компонента.

Пусть ш(х)-1-осг, Р= 2 С,- X1 . Для простоты в разложении Р ограничимся 4-мя членами ряда, имеем

и - 0-х5) (С^С,х^С2осг+С3х3). (И)

После подстановки (1В) в (15) и осуществления дифференцирования, а также сравнения выражений, при одинаковых показателях степеней переменной СС , стоящих в обеих частях уравнения, получим алгебраическую систему уравнений из которой находим неизвестные постоянные С{ (г'"йЗ). В результате имеем точное реше-«ш задачи (15), (16): и = + ) , т.е. при

выборе Р= (7+2сс+а:3)//2 и си=>/-Хг ОП решения .17) является полным.

Используя конструктивные операторы, краевую задачу (6)-(7) ¡едуцируем к системе уравнений

^и-сиРу**в(ц) а а {]е3) (19)

| которой неизвестными функциями являются (и, } . Решение той системы можно осуществлять известными аналитическими или исленнкмк методики.

Аналогично как в методе фиктивных областей, доопределим

уравнения (19) на каноническую (простую) область К^ 51 (естественно предполагая возможность такого доопределения).

Теорема 7. Если краевая задача (6)-(7) в «й корректно поставлена, то решение и*(Р*) системы уравнений (19) определенных в К , является Продолжением решения V задачи (6)-(7), т.е. и*(х) = и(эс), Уссе&сгК.

Вместо решения в ¿2 системы (19) можно рассматривать решение систем:

17*-£у в К (20)

или исключив функцию IV* , получим уравнение

в к, (21)

где искомой в К является функция (вектор-функция) Р .

В качестве иллюстрации предлагаемого подхода рассмотрим решение модельной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона в треугольной области :

0,¥х(= д^ид&е,

VxeдЯ3, (22)

где (г-/.2;}, ^"¡(х„осг):

(¿-ЛЗ)},

Система (19), в этом случав, приобретает вид

Аи-2, -Vuvco-ouP=•g> а ¿2, (23)

где

Теперь доопределим до прямоугольника К область Л

Решаем уравнения (23) в А , а затем в К методом наименьших квадратов. Решения обозначим соответственно через ип , Рп и и* , Р* . Б таблице I при: ХгаО, а?,<2 ,

приведены значения характеристик точногб решения (и^., и приближенных (ип, А 11п), {и*, Л1/*) при п~т™15 координатных функций ДЛЯ и, Р и П-ТП" 15 для и* РГ

В п.2.2 приведены примеры СП решений из Нд , т.е. лз .. Пространств элементы которых точно удовлетворяют граничит (кра евым) условиям задач. В и.2.3. изложены рп?впОот,->нни:) аналь

лг/=2 8 Я,

Таблица I

ссг-О, х,: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 I

Чг 0 0,02 0,08 0,13 0,32 0,5

и15 0 0,020 0,080 о.шг 0,325 0,510

< 0 0,014 0,069 0,164 0,300 0,477

/ ли1£ ли% 2 2,010 2.044 г 1,985 2,006 2 1,974 1,973 О 1,972 1,959 2 1,969 1.Й62 . 2 1,957 1,977

тячесакз а раэиостно -аналцтичэсиле мзтоды ппстрсзния зленэнтоя проз?ранете \\те . Иолучзкч об'-л.лг 011 ряззнг.". для гчрокого класса пногоыэраюс, нэликзЛйвс, яэхторнгос (схадяршс:) :;раэ2ш: задач. В «асшости, ркзностно-аналатическэя ОП рэиеняя эадачч (б)-

17! д¡;;г стл\::: .'/:.•! (В,-) гл^йнг'.-: чаетз.'; оязрг/горог В^"!');''' +5;*, гс^Ц-оЬ____ьг'гет ьид

и - ^ . -И:

¿у :/5: , «Г, - ''"(А/ -V ' ; ~ _

■ - г,

I - г^орт;:;;: слерг.хэг-:': . --т г; • , ;; .. 'у.

' ■ ■

г^-.г.а'Л' (-ссча?;.: '.¡?рно н-.г;!,'''''-'"!-1''

■■ п.';;.спик': ^ ;. Г'1--¡;г'' О ;

> со л г:'0 с и1!-л^т:.^;, : ОПП'1 -.ругтеп "Г^.— :. дгдЧ-::ур?..;:?;:

оо^л-Гог1;!/,:

[СЛ/ (Х)\г- » четнык по всем переменным - в силу симметрии задачи. Далее, решение задачи (25)-(26) осуществляется методом Рит-ца. В таблице 2 приведены сравнения точного и приближенных значений _,) в зависимости от числа координатных функций

Таблица 2

3 4 6 7 Точное

значение

Ми ц итах 0,063578 0,063706 0,063702 0,-063701 0,063701

Следующий пример ОП решения векторной осесимметричной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений Ламе, моделирующая напряженно-деформируемое состояние твердого тела (Й ), подвергаемое воздействиями внешних объемных сил (X), а. на поверхности {.д&=д£21и % ) иыбет место смешанный характер распределения нормальных ) и касательных (?ц ) напряжений, а также перемещений (Пв) :

(28)

ш1

(30)

дО. 2

- коэффициенты Ламе, Е - модуль упругости.

Следуя описанной в п.2.4 методики ОП решения задачи (28)-(30), получим в виде:

¿г

1\вя 1№ дг

■1

-СО' Г])/(Л*а<0. 2 = (с»> б;- Ш'г г <)/#,

у-), уг-1+ д>; Рг,Р9, Р,,

неопределенные компоненты. Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что (31) точно удовлетворяют краевым условиям (29М30).

В этом же подразделе 2.4 описана разработанная методика построения ОП решений краевых задач для кусочно-однородных сред, приводится пример для задачи, моделирующей нестационарное температурное поле в кусочно-однородных средах.

В заключительном п.2.5 дана метрическая классификация методов решения краевых задач или эквивалентных задаче экстремальных проблем.

В третьем, раадедд, представлена общая характеристика классических вариационных принципов и некоторых новых вариационных подходов (в частности, обобщенный метод взвешенных остатков и метод встречных невязок) применительно к формализации краевых задач. Осуществлено использование метода операторного продолжения и представления рэшения при выборе координатных последовательностей (в той числе в условиях некоторых типов особенностей). Кратко рассмотрена аппроксимация решений крает задач элементами функциональных многообразий. Анализируется совместное применение метода операторного продолжения и МКЭ. Приводятся примеры численного решения нраевых задач иллюстрирующие возможность и эффективность предлагаемого подхода, его алгоритмического и программного обеспечения /1 + 9, 12 + 27, 31, 35, 41/.

Вариационный формализм обладает следующими наиболее важными достоинствами:

- вариационные принципы выражают общие физические законы, позволяют прослеживать динамику качественного состояния рассматриваемой систсш, а получаемые локальные уравнения (типа Эйлера) анализировать процессы и явления на ыикроуровнях;

- разработанные аналитические и численные метода, в основу которых полосени экстремальные и стационарные проблемы вариационного исчисления, априори обладают эффективными аппроксиыаци-оннши качествшли в достаточно широких классах прикладных задач.

Б последующих исследованиях анализируется утверждение, что каедый кетод вычислительной математики в области решения краевых задач определяется постановкой вариационного принципа и выбором аппроксикациокного базиса.

С целью унификации вариационные принципы, для которых условия стационарности имеют различнкз наименования (уравнений Эйлера, Яагршша, Остроградского и др.) будеи называть классическими.

Известно, что классические вариационные принципа далеко но всегда позиошш, поэтому рассмотрены (п.2.2) некоторые другие (цбглЕссичсскне)' подходы к Еариацконнсй формализации. Е частности, обобценшй метод взвешенных остатков (ОШЗ) решения кргх-вил задач. ^

Пусть I) Ч Л ^... В 1/ - ди$ф-'Релциальнке опе-

ратора по^цдка^/оСу! , где сСу -(о£,у, сС^,. - •, сС^'} - мультики-деке, £ В 0■ ,—. Извязки уравнений (6)-(7) обозначим сост-

Бетстпзицо: 1 1 £"- А и-/, В{ и - (Ус; й). Пусть |] , {Фсь] - последовательности функций, облодшцие свойствами полноты, соответственно, с I г (&) г. I, кеЗ).

Тогда ШВО цогло представить в слодукцс« еидо:

Т' г I

здесь уЗ^ - культииндокс размерности я; (','У ~ ока~

'лпркко произведения соответственно в Лр ) .

Дощ^ (обобщенная ленка вариационного исчисления) Если <Ф{, О , тс

О, Ф{ О, \ххе=Вй; (г&й).

Пршшснис паркьцкошшх методов (для глшкзх к естественных КрЬСЕШС УСЛОВИИ) трзбуст СООТВгТСТИоНИО ОГСПОЕ CVK.CUr.il кио-

жества элементов энергетического пространства (для полови-тельного в ( б) оператора А ) или корректировки, с учетом краевых условий, самого функционала £[и}т ц) • Если нет априорной информации о том, какие условия главные, какие естественные, то применение первого этапа (удовлетворение всем краевым условиям) всегда оправдано, а вот применение второго - не всегда допустимо (могут быть навязаны дополнительные, условия, противоречащие постановке задачи).

Предложена вариационная формулировка задачи (6)~(7), в которой все краевые условия естественны. Функционалы, в этом случае, исключают необходимость сведения неоднородных краевых условий к-однородным, а также поиска параметров штрафа, функций Лагранжа и т.п. Кроме того, важным является "доступность" (для инженерных расчетов) вида приближенного решения, которое может представлять собой простое аналитическое выражение (например, степенной ряд).

В п.3.2. рассмотрен, еще один подход - метод встречных невязок решения краевых задач.

Введен множества функций \МА~[и:Аи°и №3-((Л^/с^Г . Ясно, если А {а}) - линейные операторы, то 1 %,У!/а ~ выпуклые. Решение задачи (6)-(7) МВН заключается в совместной минимизации (по заданным нормам) невязки уравнения (6) и невязки, характеризующей расстояние (/'А3) между множествами 1Уд, Н/а . Очевидно, что для корректно поставленной задачи (6)-(7) множества И^, УУд пересекаются в одной точке - ит (решение задачи).

Введем функционалы

£ [ц,сг] -р (Аи^) + с£$ [и,и],

(33)

гг [и, (А - (1-г)р (АиЛ +г2 [»>"]»

где оСе(0;<х>), З'О.Сг] - стаби ирувдий функ-

ционал.

Функционал Б [и, О , определенный на плотных в (У , 1Уд подмножествах Н^С И4 является стабилизирующим

Функционалом, если: игеЦ/д Л\]/в1 ¥а>0 множества И^у, И^у "'ломентов ие Ц^, С£ > для которых коипакт-

1Ы на М и

Пусть /5 [у,о]~р(ц,0-) . В частности, в функционалы

(33) приобретают вод: где V с (/£2 и представлены следукци,: образом

(35)

где |(7£-} , } - 1^113Еостша постоянГше: - пол-

нив, в некоторой смысле скстсии функций; , Обозначь

через I • ¡¡г норму в £2 , I,' • - норну в Нд ! А - положительный оператор).

1мШ1ЖЛ- А ~ полная, а ¥ и с. \\'ЗС . ^то

ЦиЦ^С И А1/Ц • т0 справедливы апосторпсрниз оценки:

Ь-и^Ь^Е^Р^Ы^, (36)

¡11/ - . с (37)

где ^ - ЦНМ)тех (/, €'} при ¿3- оС к "таз: (/, Сг] при (г«/,2) .

Пусть С^Д , погрсанооть б^^ГУ^'Л!

(где й=тах {/, 6'' ] ) к еависгслости ст параметра ыохгно представить, как Е(р)"£1(оС). ^О2^ ~ Я1'Л1;етсг* неубывающей Функцией.

Ь!слк (¡ункщш попася (Ь ''(уз} > 0) ,

то существует, по цепьшей каре, одна точка /3 реализ^гацая

Прквздоннал тсорсиа характеризует Еыбор оптимальных параметров с>£> <£'' к , при которых погрешность в апос-терпоршд: оцонксх (36) глшшельна.

П 11.3.3. рассмотрено методика выбора координатных последовательностей и аппроксимация решения краевых задач элементами фушшпенальнш; многообразии,

Иетод операторного продолтшя позволяет конструктивно осуществлять построение координатных последовательностей, ис-пользуешх при разложении (аппроксимации) решения краевой задачи. Легко прослеживается взаимосвязь кевду понятиями полноты 01! решения и полноты коордкнашшс последовательностей. В частности,

и-сг

I2

з работая И.Ю.Харрик рассмотрена аппроксимация з 55 функции и: U^^^O (г-/, Ъ-l) . В этом случае, ОП функции и—согЯ , где со|аЛ«0, OJ|73<0, [VCO\\m f О, а производные

от со fe -го порядка удовлетворяют условия!! Липшица (Zip 1);

cveC*(JRn).

Далее, пусть в (7) - линейные дифференциальные опера-

торы, а [^"О] • Используя ОП решения неоднородные краевые условия легко сзодятсл к однородггкм, гак что приведенное ограничение не в ущерб общности. Пусть itj - линейные пространства:

dim Uj ~ v.j (j = f.M) .а сГ"в»Р&Мас:!£ /где U -линейное пространство: dim {¿•«чУ^Пц + П,-*-. . .

Пусть цС™ (,0) является решение краевой задачи (5)-{7), тогда VcrtS VV„ П СтВР^ U ' :

inf\\U-0\\c!&it CjnJCn-n/fliuiicm , (Ш)

где {С/} - нгзависк:а;з постояшиз.

Оценки аппро:гс::5.!ациош:их cbo.Ictd функций С'З \Уа , позволяет считать, что опг.пдальны (по порядку) с точки зрения тзории приблааешм. Используя в качестве ?Cf пространстза сплайнов, г.онечно-эдзг.ентние воспэг.кзнчя u п,р., мсгат при соответствую,кх услозиях, доказать оптимальность i/S W.j(P<rsi£) • Указать M(S) » где - заданная погрепность, возможно, но а хагдом конкретном случаз ото моте г оказатьсл самостоятельной задачей.

Применение операторного представления рз^сшш поззолчэт использовать любые типы (линэйных, нелинейных, комбинированных, специальных многообразий для аппроксимации реглэни'Л краевых задач, поскольку представление и~ с/?£=УУд нз зависимо от выбора Р, будет точно удовлетворять необходимом краевым условиям. Кроме того, построение функциональных многообразий (особенно нелинзШшх) учитывавшие априорные узлов1' 'чанриивр! главные краевое условия) паяная проблема з задача,, .лрогссиыации» но достаточно трудно раярззкмд используя традицмошщз подходи. Нетод операторного продолжения позволяет преодолеть эти трудности.

В п.3.4 разработаны подхода совместного использования метода операторного продолжения и метода нонэчню (граничит) элгмен-топ ( 1ШЭ, !!Ш).

Первый подход состоит а сиборз Р лая олоиепт некоторого

кусочно-аналитического восполнения Р . Тогда ОП решения является кусочно-элементным аппроксимационным базисом

иь-в *Рь+$°*д> (зэ)

для реализации вариационных (экстремальных, стационарных) проблем ЫКЭ (МГКЭ).

Один из распространенных Методов используемый при построении является метод узловых элементов. В этом случае, каждая пробная (базисная) функция \иЬ\ определяется своими узловыми параметрами - неизвестным {ц/} дискретной задачи. Каждый г -й узловой параметр служит значением в заданном узле X1 либо самой функции, либо одной из ее производных, т.е.

и)-Д{[е+Р?(х*№'« 9>(х{)} , (40)

где 2)г - тождественный (при ¿-0 ) Или некоторый дифференциальный оператор ({ > 0). Параметру и* ставим в соответствие пробную функцию , для которой справедливы равенства

» здесь ¿5^» - символ Кронекера. \tE~j\j - явля-

ется интерполяционным базисом для пространства пробных функций, так как каждую функцию Vь можно разложить по функциям {Щ)j , т.е. г/^ . Очевидно равенство 2)г'ц -и*

Кромеинтерполяционных полиномов целесообразно использование в сочетании с методом ОП решения финитных функций с компактна* носителем и "операции сдвига", в этом состоит второй подход. В этом случае эффективно использование В-сплайнов.

Применение кусочно-элементного полиномиального восполнения в ОП решения задачи (учитывающего краевые условия) позволяет локализовать действие операторов только в прилегающих к границе элементах. Здесь б, С локального (поэлементного) действия.

Например, для однородных условий Неймана (с'Йс

и в прилегающему к ВО, объемному элементу Л^ (треугольная призма), основание которого^является А^д^ и лежит на плоскости, описываемой нормализованным уравнением ООр = "С^СГ^ос^ агэс21- &зХ3 е С^ . Линейный интерполяционный полином в Л. обозначим, как РЬ-У. С-Х,-<-С • Тогда в А, V е. имеет вид

X),

(41)

-2,52-m-1.26 -.63 b .63 f. 26 m 2.52 Рис. I

•Ь\хг

Рис. 3

где хеШ\ —[а,,аг,а3]. Теорема_П. Коли 0*pt д>

то

и

Р

К

Р* в

причем .¡/еС""/]^а.

Приведенная теорема имеет непосредственное практическое применение в МКО, так как С4£) в подобласти У \ , является ОН решения некоторой краевой задачи, а в подобласти £2, , вздет

о*

сеоя как Н , которую можно выбрать п бидз некоторого восполнения Р^ .

В постановках прикладных задач математической физики, картографирования, теории упругости и т.д. присутствуют особенности геометрического (трещины, узкие врезы, разрыва поверхности, вырожденней участки границы области) и физического (разрывные коэффициенты операторов основного и граничных уравнений, правых частой) характера. Эти особенности обуславливают пространство искомых функций (параметров) и необходимость выбора соответственного аппроксикздюннэго базиса. Ь п.3.5 предлагается подход конструктивного построения базисов в условиях некоторых геометрических и физических особенностей.

В качестве иллюстрации рассмотрим решение дифференциального уравнения Пуассона с правой частью / «= -г в ¿3 (рпс.1) и неоднородными кразвю-ш условиями Дирихле -Я2 , ^ ' *-- ----- - ' ■ -- -- " Здесь

1-$:пх{) которые сведем к однородна по формуле сг*ц-*-д?

•'/ (СС,*Си2)Жгг£(Х?+51Г7гХ.) со-

функция, описывагциз границу

-О, М ^

и удовлетворяющие условиям:

№

¿1

ая,

дсо.

Пэстрэонио ш,3

дй+О

'5 "II V *

>0,

(43)

й

^ осутцзсгаяяэтсл с использованием раэраоотинннх аонатруативнах срэдста (п.3.5).

Тзйку сбрзэои: , но классическое ОН решения

У ™Ц)Р адезь но приемлемо, т.к. априори навязаны дс;к щ;'

гглыиа услояия: \

и:

на Ш1;.'00' '1ном учаеп

границы (см.рис.I). В этом случае, получено ОП решения

, (44)

рде со^ С к с) - функции удовлетворяющие условиям (43). Аппроксимация неопределенных компонент осуществляется (с использованием полиномом Чзбышева) методом Ритца. Результаты сравнений приближенных решений СТ^и-еср с точным (Хт в точках: х^охш , х2= - 628, представлены на рис.1. Сплошная линия - ит , штриховая - и и точечная - (44).

Далее рассматриваются другие моделыше и прикладные задачи численной аппроксимации методов построения 0Г1 решений учитываю-цие особенности геометрического и физического характера (п.п. 3.5.1, 3.5.2).

Наконец, в п.3.6 изложена концепция банка модельных (тестовых) решений краевых задач на основе метода операторного продол-гения. Целесообразность такого банка обусловлена следующими ос-иовнцми факторами: ашробацней алгоритмического и программного обеспечения; сравнением эффективности программных поддеркек и оценок опироксимацисга-шх качеств различных методов; выработкой экономических стандартов и критериев оценивания программной проекции; предварительным (пробным) расчетои, с целью определения параметров качественного проведения вычислительного эксперимента о условиях конкретной ЭШ.

Чэтпертнй раздел диссертации посвящен описанию и обоснованию итерационного, проекционного и граничного методов операторного продолжения. Показана возможность использования ортогональных функций для аппроксимации решения в слоеных областях при редуцировании краевой задачи методом операторного продолжения. Цана характеристика взаимосвязи методов решения краеЕЫх задач, приведены аналитические и численные примеры аппроксимаций рете-1ИЙ. Публикации автора по 4-тсму разделу /29, 36 * 42, 44/.

Б п.4.1. излагается характеристика взаимосвязи методов ре-пения краевых задач и применение ОП решений в задачах обладающих звойствами монотонности, т.е. из Аи< А с следует ц&с , ^де V, Ое. , что позволяет для линейного оператора А при збычном чебыяевеком приближении получить наилучшие приближения вверху' (снизу).

В п.4.2 рассмотрен итерационный метод операторного продол-

*ения для простоты изложения, без потери общности, на решении краевой задачи:

-ЛУ-ьоСи =/ В (45)

, "\аа'°> м«

где и допускащие(в некотором смысле) продол-

жения в К\&($2с:К) , в частности о£*е

— о^Г . Здесь 0Г1 решение 1/*-соР , где сю,

Ре1г(к) и ю\аа-0, со\£0.

Поскольку ие. (&) , предположим, что ц е (К) Введем обозначения

[и*&\. -\(уи*ХГ<Л-*и*и)сГК> (47)

где и*, б^е \Мв ' Предположим, что в ^¿(К) заданы непрерывные билинейные формы, удовлетворяющие условиям

[и:сг]-[сг,и*Ъ [и\и*]уО, С4Ь>

где , - положительные постоянные из (0; I).

Теорема 12. Если ¥(У*}, бге (К)П выполняются условия (4Ь), то {У*} в методе операторного продолжения, определяется из итерационного процесса:

.№(Г }-1(ст), (V?и)-(У*'!а)-Т(&к'!а]-е(о)) (к... = ¿0 (49)

сходится к решению и* в уравнения -Аи*+оС*и*~^*

в К",V Ъ е (0; 2), т.е. У^-—г/, а для погрешности £ =у*-ц*)е (К) справедлива оценка:

(ад

где \1-Х\)<1.

Выбирая на каждой Ц -ы шаге итерации: ¿"—Т, , сходимость (50) можно улучшить.

Рассмотрен (п.4.3) проекционный метод операторного продолжения решения краевых задач.

Пусть в (6)-(7) И/, \Z\Zi - банаховы пространства. ьсли ие. , то вместо (6)-(7) решается урпгн 'ннг-

Au-f в Й (ueWBnW). (51)

В проекционном методе это уравнение заменяется приближенным

3%(Avm-f)-0, (52)

где 9т -проектор ); V„e W" П WB ; =

={и/™ W™] •

Учитывая результаты второго раздела уравнение (51) можно решать проекционным методом в К с: S2 •

Пусть ¿£){К) соответственно пространства основных

функций в областях Q и К из . В частности, отметим конструктивный подход к построению функций из ¿Ö(S3) и Пусть Ку - компактный носитель финитной функции <р<£ ¿£>(62) (или S>(K) ), т.е. KcfiCzQ (илиК ). Если со*-0, сиI >0 (где дК9~ К<р\К<р), то

О, ¥oc^\Q(K) (Ю> является соответственно элементами &)(Q) шт£Ё(К) . В (53) CgC^(K) и et' 0 в Ку. Если С-Г 5 ^oep-ejü^dx)'1 , то

£ сс о'эс = I. Предположим для оператора равенство а<М(Аи,д>)= (и, Ау), где оС - мультииндекс.'

1§слека_1Э. Пусть CfG ¿S(s2) , д>* е £(К) , г/, Li*(=Wj, тогда решения уравнений:

пелявтся слабой фермой аппроксимации решения краевой задачи (6)-(7) и кроме того в йс К

Рассмотрим решение уравнения Софи-Еэрмзн (25) для полукольца (ß ) с условиши местного заземления по контуру (рис.2) Г . Б зтем случае и=-Ш5Рс= \УВ , где CO"(C£Afs)Af3), ~ ~WWz--p?)/2jyt- (У-12), f3~Xs.a~{xi(V20}cK~

-h- Хгtf-xj/foo]; cvr£js .

Зафиксируем параметры [aß, ßf , />Л (рис.2): a^-p^i, = 0,5, a TüKse npaLyo часть f уравнения (6): f "520xf+6DBOxCs + 6720 oefx* -h 124S0x*xi - 480ОС f -

-52C0oc?—5760x?x*+ 150x4+390x1 - 20.

<z i ei » <•

* Шесто сформулированной краевой задачи решаем уравнения С54), где и=си2Р, А°А3, Н'*'-/, Р- 2 ^ Р{ или ; (<?}=

аз',-аз*-,

полиномы Чебышева четные (в силу симметрии задачи) по х1 .

В таблице 3 приведены точные (г/ ) и аппроксимационные (Ц^, £/* ) значения соответствущих уравнений (54) в точках: х - (хал , хг^0.в , для 16 координатных функций и 20 х 20 точек интегрирования.

Таблица 3.

^г-0,8 V Чв * Чб

0.0 0.0126157 0,012611В 0,0124035

0.1 0,0125440 0,0125429 0,0123547

0,2 0,0121176 0,0121228 0,0119394

0,3 0.0107495 0.0107594 0,0106938

0,4 0.0077440 0,0077560 0,0077371

0,5 0,0031719 0,0031850' 0,0031788

0,6 0,0000000 ' 0,0000000 0,0000000 •

Отметим, если и ЗА4'- < С '(С - постоян-

ная), то из сходимости невязки 14^-^1—(т-^-оо) немедленно вытекает сходимость ит——Ы(т—»—во) •

В п.4.4 рассмотрен подход к решении краевых задач сочитаю-щий метод операторного продолжения и разложения по ортогональным функциям. . \

Пусть - заданная, полная в некотором смысле, ортонор-

мированная в £а(К) последовательность функций, т.е.

(55)

здесь Гэ ЬЙ . В частности, такой системой (весьма полезной в приложениях) является последовательность собственных функций \Ц{) \ A'ui^*^iVi в Ц (¿еЗ) , где А' - опера-гор (например, А'-А )» Ми - вектор собственных чисел. Множество ортонормярованных функций обозначим или

1£2£§Мй-И' Если [и(\с: Нм , И/в,

то линейный оператор А в удовлетворяет соотношению

£ Си:и,.)(Лц, иу) (56)

Следствие. Выбор , [¿/¿|с://^ обуславливает соп-

ряженность 1Ув и Н(А) .

ТесЕема_15. Необходимое и достаточное условие эквивалентности в ¿2 (К) системы (20) уравнению

ч/) >ув, ^ у) <57) является выбор *Р-(-Сг0 * ср , т.е. как элемент линейной оболочки Н натянутой на } с Н'(А)

Следствие. Если и*еН(А)Л\Ув , а Й = К , то

Приведенные теоремы позволяют использовать аппроксимацион-«е свойства собственных функций при решении краевых задач в областях сложной формы. Искомой функцией в (57) является *Р. В чает-«сти решение уравнения (57) можно осуществить по рледугацей схе-ш. Пусть Р=2 С^ Р^ (где . - неизвестные постоянные, Р^ -толиномы, сплайны и др., Ъе.3 )> подставим в (57), получим систему алгебраических уравнений (САУ):

¡¡ели Б линейный оператор, то (58) является алгебраической системой линейных уравнений

(59)

■де , ф-ЛуЧ/.ч/М^.^-

В качестве иллюстрации приведенной схемы рассмотрим решение юдельной краевой задачи (15)-(16) в которой £= С03Х /3 = 3/2 .

Пусть Л-[еС,д1С [с,с/]"К, где с/°3и.

Тогда система (20), имеет вид

и*~и)Р в К, (60)

десь СО=3[г/4~ОС3 . Поскольку и*(~ х)=и*(х), Р выбираем в ви-е , а 2

Пусть , в частности: г// -31 * сО^'йС, ^j-J .

В^этом случае (57) приобретает вид (59), в котором ar^j'■i(f-xг)xг(k'4)cos^xe/xl соях со^ х с/х. (б1)-

алее, решая САУ (59),(61) находим коэффициенты разложения [С• таблице 4 приведены сравнительные значения точного (£/_) и

приближенных решений ( Т1 « 1,2,3) и соответствующих правых частей ( 1/*"хх) дифференциального уравнения.

Таблица 4.

X: 0 Х/4 ¿т/г

Ут и* ■ щ I 0,6169 0,9782 1,0000 0.7071 0,4526 0,7019 0,7079 0 0 0 0

Г . - ~ Чь.хх-, I 0,5 0.9300 0.9355 0,7071 0,5 0.7242 0,71а: ____ • 0 0,6 0, ЮТЕ- о, оо1 е-

В п.4.Ь юлйгаэтся основни* разупьт £.-:•!: раосс иьтор^ / 3£ : £3, 4:0, 41, 'Н/, бг.зирус-г.ягсн н.-. соь-^ 'л<л'л>:.: кагшьгоы.нъ: к:1--

оцерс.тор::ого иродолвгт:« I1 ;г.-гч'гл: рримчил: /¡ллггг^ллн;: ;у»и;а'и1 (¡ЛП«'л' дд>; ра.г^дароь:«»!; лрл.лп'л и^г.;.ч гллл

подход V зальнойгз I £>•-:;: опредо&ек ' к.г>: (-рхмц и:-:;

год операторного прощшзкия (ПШ). ПШ яйггоплет пр^одольк трудно г г:-. сод! ргадивс, г класгнч^хм:; '-«"1!.% Ъ чгХ'.-пэс..-слоллостл у^гг:, Е угли^л:; »! .г^или,

чкслькхьк:» :;:.!•? ^ »; глоурс.с.; 2Г' пр.: услолнст:.; гихп с.*»ч р.прэйнэ.; сЧллогл (для не р ль: р:: л:.г:л;'; рл^-посх :

1г,ч:т:- I г,Л),:;.гл-:л ' гилл-л. лрл:;;,£.ч с-л.гл'ил. 16»—''

- (г/л-' /'.,*•.глл,;:ллл;> 'л.лсллл.' оглрлилл

ллгс;;. слл;р:услл:;р:л;ул:::£ьл:: г;ру^'." :

(£.'); с го:-га- ; -,"

¡п- ¿"{¿г, V-} - : р- Г --/;';'''

ГЛл - /л:л:;-. '. Дл'.:л , - :.глр;:>лллл ,•.(■•' : ,

< л..-;:;>"Л : -лл-л. : ; , р;-.. • ;л 'лл.; •;г" .-< прл .лл, • . л р. :

У Л ■•

;■■':.'■'(':•.?■• ' :: л",: ' л ' • ("л-Ч'л '.."У. "

здесь (•,•), »• У - соответственно, скалярные произведения в 1г(К) и Ьг[дК) ; [В[-, В;} - граничные дифференциальные операторы на границе дК области 7С ; у* - постоянная, зависящая от местонахождения полюса с координатами у"(уг,..., уп) .

Исключая и*(х) из (63) используя ОП решения, имеем

2 (д'г (в*Р+в*9>)>В'1а-(х,у))^(х)Мх,У)) (64)

или, если и0 - частное решение (А£/=/), то в (64) можно исключить интегрирование по области К , т.е.

Г*и*+ ^ (В^*Р,В'!а) <31[(У-&°«<р),В'!о-)+Ги° (65)

Таким образом, п -мерная задача (6)-(7) заданная в слоя-ной области О, , редуцирована к ( Т1 - 1)-й задаче для интегрального уравнения (65) заданного по "простой" границе дК • Если , то (65) приобретает известный в МШУ вид.

Учитывая, что К =>¡2 можно зафиксировать, то в зависимости от характера граничных условий (7) в реализующем (65) вычислительном алгоритме будет изменяться только ОП решения, что позволяет автоматизировать вычислительный процесс для класса краевых задач. Кроме того, в"*ср может включить априорную га-формацию о особых (угловых) точках.

При совершенствовании математического моделирования требуется создание новых технологий программирования, что возможно при разработке новых методов вычислительной математики и создании новых типов ЭШ, Основные затраты в индустрии ЭЕЫ определяются затратами на создание алгоритмического и программного (математического) обеспечения (НО).

Разработка МО с предметной.областьЬ моделирования физико-механических полей (температурных, деформированных, гидродинамических и др.) с возможностью выбора (регулирования) "уровня адекватности" в условиях доступного пользователю предметно-ориентированного входного языка (который максимально удаптирован к обычному или специализированному, например, математическому) яв-.тяэтся одним из основных направлений использования подходов разработанных в диссертации. Освещение этого направления осуществимо в пятом разделе н опубликованы в следупдих работах / 7, 22, 25, 27. 28, 31, 33, 34. 40, 41, 43 /. Ь п.6Л чплоиены основные положения моделирования процессов

в камерах сгорания (КС) и их описания методами неклассической вариационной формализации, даны схемы линеаризации. Некоторые из этих положений реализованы в первой версии системы "ЯГ" (п.5.3).

Математические модели описывающие процессы в КС, представляют собой краевые задачи механики реагирующих сред. Эти задачи заданы в областях (^ ) сложной геометрической формы, какими являются КС и ее элементы. Полученный эквивалентный задаче вариационный функционал записанный в терминах пространства и г имеет вид: _

V) и, и)+2 ({/О V) й.) 2 (?Р°, и) г

О, й) *

^ 5р?ъ'), Ь) - ?)Ь,Ь) +

*2 ПЧ^У Н^^УУМ^/О'?'), У)~

здесь - эффективная вязкость; Р^Э1р и £>С}ф - эффективные

числа Прандтля и Шмидта; д,р ,У - соответственно вектора скорости, давления, полной энтальпии, массовых долей компонентов поля течения-в КС; с^ д>'у - правые части краевых уело-

вий; ; ъ-ън^У; ;У=(Х-Ь-

~ скорости производства (убытка) г -го компонента в результате химических реакций; О с; (71-« 2,3); - фиксированные функции; 7 - нормаль к границе. Частным случаем функционала (66) является функционал

Р[и,р]-(-¿й/р т Гй)+2(7р, и)-£ <г/. ж, \ +

тг ____(б?)

кото[ий эквивалентен краевой аадаче для уравнений Стокса:

-¿шСц?й)+ ур-Т <&с/йгц-у1' в й ,

' __ (6У)

(66)

Далее, на примерах уравнений Навье-Стокса рассмотрены итерационные схемы линеаризации. При выборе математической додели приходиться решать весьма важный вопрос компромисса между затратами ресурсов ЭВМ, необходимых для ее реализации, и адекватностью этой модели реальным процессам. Даже при современном уровне развития ВТ интегрирование отмеченных систем дифференциальных уравнений (или реализация эквивалентных экстремальных проблем) в таких сложных геометрических объектах, какими являются КС, при горении углеводородов с достаточно сложным кинетическим механизмом, представляет собой трудноразрешимую задачу.

В п.5.2 приводится постановка краевых задач моделирования (расчета) термоупругих полей в элементах объемных гидромашин, в частности вариант поршневой пары аксиально-поршневых насосов и гидромоторов (рис.3). Проведенные численные исследования проведены (с использованием полученных в диссертации результатов) в соответствии с хоздоговором № 217-90-1/12 от 2.01.90 (ЦНИИАГ, г.Москва).

В п.5.3 дана общая характеристика алгоритмического обеспечения. Система алгоритмов,реализующая замкнутый вычислительный цикл от постановки на ЭВМ краевой задачи до выдачи результата, включает: ввод в ЭВМ и реализация аналитической и геометрической информации (присутствующей в постановке краевой задачи); вычисление функциональных компонент и выполнение кортекных операций над нями; формирование базисов аппроксимации неопределенных компонент; вычисление формул оперативного представления решения (координатных последовательностей); формирование элементов матриц САУ; решения САУ и нахождение собственных чисел и векторов; формирование результатов 'расчета и виды их оформления (таблица, графики, картины линий уровней и т.п.). Приведены, некоторые конкретные алгоритмы и формулы иэ вьие перечисленных.

Автоматизированные системы программирования (АСП) серии "Поле" описаны в п.5.4. Основополагающими при создании АСП серии "Поле" являются методы теории Е-функций и вычислительной математики, а предметная область включает решение: краевых задач математической физики, задач теории аппроксимации и интерполяции функций, обработка результатов вычислительных и физических экспериментов.

АСП "Поле" по входному языку, близкому к математическс-;у.

осуществляют генерацию отдельных модулей и компановку из отдельных модулей рабочего комплекса программ решения поставленной задачи. В рамках АСП "Поле" реализованы разработанные автором конструктивные средства теории R-функций, а также метода операторного продолжения. Различные версии АСП "Ноле": "Иоле-1", "Поле-2", "Поле-3", "RL ", "RF " и др., в том числе и специализированные, реализованы для различных типов ЭВМ: М-20, серии ЕС и PC. Использование АСП серии ,:Поле" осуществляется в различных фундаментальных и прикладных исследованиях, инженерных расчетах, а также в учебном процессе.

В п.5.5 схематически излагаются структуры алгоритмического и программного обеспечения, реализующего численно-аналитический метод в виде специализированного пакета прикладных программ "Reading F-iouo " (IUIII "J?/7" версия - I) с предметной областью решения линейных и квазилинейных задач механики реагирующих сред в условиях сплайн-аппроксимации. Структура ПЛП "JPF" представляет собой систему, включающую функциональное и системное наполнение. функциональное наполнение состоит из следующих основных блоков: обработка геометрической и аналитической информации, интегрирования, ОД решения (координатных функций), решения САУ, вывода информации. Системное наполнение включает: интерпретатор входного языка; программы загрузки сгенерированных и библиотечных модулей, соответствующих данной постановке и запуска на счет; модули обработки прерываний и установки режимов отладки на языке FORTRAN ; некоторые вспомогательные таблицы.

Поскольку реализация программного обеспечения осуществлялась по принципу открытого П11П, таким образом это позволяет последовательно осуществлять совершенствование системы "RF ", расширяя его возможности как инструмента математического моделирования процессов, протекающих в КС, а также ориентировать этот програ.» мныВ комплекс.не только на пользователя математика, а и на nHii Нера-конструктора.

В заключительном п.5.6 приведены примеры решения прикладьы задач в рамках некоторых версий АПС "Поле". Описаны особенности проблемно-ориентированных входных языков и организацию вычислительного процесса, в частности, систем Ч1оле-3", "RF", "RL"-

Рассивтреш* решения краевых задач моделирования стационарное.-состояние морских и океанских течений, а также нуля ня:ц чжоний

при кручении стержней сложной в плане ыногосвязноЛ форМнЗ итоге, реализуется экстремальная (стационарная) проблема для вариационного функционала:

P{u^<-duravu-h{ßu'Xi %r(tiu'X2)Xi, ")Li(a)-

- -фхМгРъ/*)*,' икся) + (б9)

где ßcIR3- кусочно-связной область с внешним участком границы rt и внутренними участками границы ; 3Q- U /J ; (-¡Г, Т,)-0\ (С[} - неизвестные постоянные определяемые в ходе решения зада-4115 , Тгса, ¿з , h, ff-, ß - заданные физические параметры.

Приведено решение задачи расчета гидродинамического поля в жаровых трубах КС (прямоточной и гибридной) в условиях сплайн-аппроксимаций.

Преимущества специализированных версий АПС "Поле" - экономия машинных ресурсов и качество аппроксимации.

Рассмотрен вариант прикладного расчета физических характеристик поршневой пары аксиально-поршневых насосов и гидромоторов (рис.3). Приведена распечатка картин линий уровня функции температуры в системе "поршень-пята".

В заключение отметим, автоматизация математического моделирования физико-механических полей актуальна на различных стадиях: научного исследования, проектирования и эксплуатации технических конструкций и других обьектов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертационной 'работы- разработаны теоретические и методологические положения теории операторного продол -кения в решении краевых задачах, что по совокупности, позволяет квалифицировать как новое крупное научное достижение в области вычислительной математики.

К новым относятся следующие результаты:

I. Предложены новые конструктивные средства теории R -4унк-дий -реализуемые системы R -функций и средства по обработке шалитической и геометрической информации; итерационные методики юстроения нормализованных уравнений ( из С") и нормализант (из^ V") до заданного порядка на границе dQcK(r<ri) области QcR ;

класс операторов продолжения и их разнесших аналогов) носледо-ианг. их логические г. дифф«ршшк&лышз сюксгк. ;

2. Ьаздину основ:-«jö лолоконис ииорнн оператору го ¡¡рллоллс -имя. Осуществлено кипи кллсла крп'зшг;: гя*. г.'.ошии

оОлллте;; л кллэяилески!.: ;

Ii. í'¿,3j.-.'iCоî-!j лкллитяллсллл i рл-й!л-';-лл-:лл. 'h лл;-: .-л. -. -'to:;-: плстоуснлк олорллолц-л-: ¡¡релстмллллл. ьелл ллл лл'лл.лг.-ллл .л рол-л-л лллееа кр^иллл. аллслл: рл ■., i ;. ; í j ; i: - :, н;- лл л ¡л-,

и кусоллл-р^зллло,!:лс1-. ирэ^м:.* •

•*. лайС.-.ютрел нлклллслчлелл;. кф'-.Н'-УНЫ! ■ сгj-.-.'í.i.зг.; рллм.

оотаи мсл'од пострсипчч коордштн".-; шллллл^ллл-лл^лллллР г>ахнулол^

püScHWfi кр.^вл; за.г,'"-: .русгглтоллл (Р'лр.-гл 1лл члч:1.лр..,.:ял;.- л пулт.

ноькил ссоНочаоит тон:тричввлом« к (>!:и.н--ч.»:с»Г1' .

и. ;ледлол ел пидлод сэчлтлл.циЛ :лмэд оцеглгйр-лле прлде.и:'.-лок/.я рлплнл1: м лете;;; i смечи: ч (гран-^'ле, i лчиллллл ¡.

5. )Л.Л:ГЛ1Л0;ЛЛЛЛ': лтлрлцкуллл;; /:•.:/;ч[ и,i;• г ¡.ЛГУ ¡лллчлл. ЛЛ плзвс>лй:/лл' щ-к огня длленилл у слои л-. :м.трду:..: ;оч„ >ть пул norpc.U!t3Cii. алшруллллллкл рлллилл; лр:ля,д)^'.л,-л, г,су ( лл.л ■ торного прудоллйНлл, ¡-л оллевл котупслу, л улло:.1;: :;yp ,

сходкмасчч:, Г'-ллыеули-сл уялворегллллл (ч силе;1,ллгЛЛ'о ; оллел.)

¿ЛП'ОПЛГЛЛ! ТЛЛПОКЛЯ ЛОЛИВУЛ

7. прлдлулел ьл 'лор., позводллдлЛ i.упуч^уоыл ¡¡ л c.r'j-ч i ллл,. -

1« оСяПЗЖй ГЛЛЛУЛКТУЛиЛЛ : СВОЛСТЛ.. £ЛЛ Л./Л/Л^ЛЛ .лглл

по нодлуд рлетярче? воллоипосп; гг.лялчллл ллллрл., рл,.лил.; кгг, -в;г: аадлл ..

Li. с:; рл-Лотлял ^сирслллчлсклл плло/.ллл,): для солдлнлл Сит:--кодсльллч (тистови;:) реллил;;. Длн:; £.;л^рл:елкл(г ¡лял-слалкалля г ■-'годов рс^лллл; г. о ó ;ли-; хллалторлйтялл илгор;п::лч:л:>:с>ру улсллл^' , кия, деллцего i ocüojíS t.bTO^TKsapPBaKWii npori^wp/t^tr: еялл cets;f.m:. ''ito.n;-.'', гщлллл ко^орлл р;л>пллс)ьлл>! рлурлоотллклл л дкезгрпцчг

'л. Пре^лдлл:.: члсллялуу ^сплр'лллллл* по ¡нгяяУлу,;--. ллоль/г-' -

ЮЕОЛЛЛЛЛ, . рГ'.УГлЛОГЛ'ЛЮГО ¿илуулллл^ллл.л! О t¡ Jj; ЛГ-ГЛ л;лил-л

оопеплта.лл рл рлллплл лорл^л':^: г г;рл :лл.дкл ■ !:рлле:.л ■.-•. упругп:,г^дрод::;:;.";«;;;-., гепг.олроллдалси.!.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях автора :

1. Коваль Ф.Ф. Дозвуковая аэромеханика неорганиченного обтекания произвольного тела //Докл.АН УССР. -1976. -Сер.А, № 5.-С. 416-420.

2. Коваль Ф.Ф. Внешнее потенциальное обтекание несжимаемой жидкостью произвольного тела, системы произвольных тел //Докл. АН УССР. - 1976. - Сер.Л, № 6. - С.513-517.

3. Коваль Ф.Ф. Новые конструктивные подходы построения общих структур решения краевой задачи //Матем.методы анализа динамических систем: Сб.научи.тр.ХАИ, Харьков, 197В, вып.2. -

С,23-32.

4. Коваль Развитие структурного метода решения краевых задач и некоторые приложения к задачам аэрогидродинамики //Ма-тем.методы исследования гидродинамических течений: Сб.научных тр. Киев, 1978. - С.70-73.

5. Некоторые новые конструктивные средства к -функций //Докл. АН УССР. - 1978. - Сер.А, № В - С.691-694. (Соавторы - Рва-чев В.Л., Манько Г.П.) .

6. Коваль $.<£. Исследование азрогидродиншдических полей потенциального обтекания произвольных тел //Физико-механические поля в деформируемых средах: В кн.: научн.тр.Киев, 1978. -- С.128-135.

7. Коваль Ф.Ф. Развитие конструктивных средств метода К - функций решения краевых задач: Автореф. диссертации канд.'фиэико-матем.наук. - Новосибирск, 1980. - 18 с.

8. Коваль Ф.ш. Методика построения координатных функций разложения репения дифференциальных уравнений в областях слоеной формы // П Международная конф.по дифференциальным уравнения;.? и их .применения!'!. -Болгария, Русо, 1981. С. 1СВ.

9. Коваль Ф.Ф. Построение разностно-аналитических координатных функций в вариационных методах // Вычисление с розряженными матрицами:'Материалы Всесоюз.конф. - Новосибирск, 1981. С.80-

М.Копэль Ф.Ф. Метод I? - функций и разностипй метод репения краевых задач // Препринт ВЦ СО АН СССР. -Красноярск. 1982, I? 2. оО • *

11.1{опаль Ф.Ф. Аналитический учет априорной информации при решении задач оптимального управления в механических системах //Тр. 1У Всесоюз.научн.конф.по оптимальному управлению в механических системах. - М., 1982. С. 106.

12.Коваль 0.(6. Выбор координатных функций при наличии некоторых типов, особенностей геометрического и аналитического характера //Матем.методы анализа динамических систем: Сб.научн.тр. ХАН. Харьков. 1982, вып.6. - С. 83-88.

13.Коваль Ф.'й. Точная ралностно-аналитичеспая аппроксимация краевых условий в областях сложной формы методом -функций //Актуальные проблемы вычислительной и прикладной матем.: Тр. йсесоюз.кон!). - Новосибирск, 1983. С. 12133.(Соавтор - Усачев В.'Л.;

М.Коваль Ф.Ф. Решение задач тепломассообмена в конденсаторах нэропяс гурбин методом /? - функций //Проблемы иапинострое-:г;я: Роопуи^.кг^врдомсгвенный сб.научн.тр.Ииеп, 1983, .С- 19,. (Соавтор - Зепин Л.И.)

.&>тгсль ¡'следование гидродиню/пки ручейкозого течения из

•"снкалкюП по-'-рхности '//Нняенерно-ф:'з.яурнал.-1Ш4.- '■.?■ I, ."••>: •'!.- С.Ы-Ж. и>а5Тори:'8едоткин П.11. .Мельннчук Г.А. ,&гли-:::'П л.В.;

16.Ковадь Ф.Ф. Использование некоторых новых конструктивных средств теории Е- функций для решения ряда краевых задач ■ //Матем.методы анализа динамических систем: Сб.научн.тр.ХАИ. Харьков, I9ü4. - C.4I-40.

17.Коваль Ф.Ф. Естественный вариационный метод решения краевых задач механики деформируемого твердого тела / Смешанные задачи механ.деформир.твердого тела: Тез.докл.ш Всесоюз.конф. -Харьков, 1Уо5. С. 17-1о.

Ш. Коваль Ф.4. Обобщенный метод взвешенных невязок и некоторые неклассические вариационные принципы //Краевые задачи и автоматизация их решений: Сб.научн.тр.ХАИ.Харьков, 1Уи5,- С. 65-73«.

19.Коваль Ф.Ф. Устройство для обогрева и охлаждения валка //Заявка на изобретение. - I9o5. - 7.II.U5, № 3ü3ü732/05.(Соавторы -Климкина Л.Ь., Климкин Е.В.).

20.Коваль Ф.У. К - функции в вариационных методах //Тез.докл. и сообщ. Ш Международной конф.по дифференциальным уравнениям и их применениям. - Болгария., Русе, 1УиЬ.- С.105,(Соавтор-Рвачев

21.Коваль 0.0. Метод встречных невязок решения краевых задач

//, Матем.методы анализа динамических систем: Сб.научн.тр. ХАИ. Харьков, I9ob. - C.ü3-6d.

22.Коваль 4?.Ф. Расчет течения вязкой жидкости в рамках ПС "Лоле" //Матем.обеспечение машиностроения: Сб.научн.тр. Ин-та ни - . бернетики АН УССР. Киев, 19оо. - С.7-12. "(Соавтор -Суворо -ва И.Г.).

23.Киваль w.O. Декомпозиция и точная аппроксимация краевых условий для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. Казань, 19о6. - U с. -Деп. в ВИНИТИ 30.U3.o7 № 2253 Ь-о7. (Соавтор - Костюченко С.В.).

24.Коваль 0.0. Анализ технико-экономической эффективности применения водорода в топливосжигакщих установках // Теплоэнергетика. - 1Уо6. - № ü.- С.32-35. (Соавторы - Канило U.U., Наза-ренко Ю.И. и др.).

25.Коваль 0.0. Разработка гибридных камер сгрранил газотурбинных двигателей и вариационная формализапия исследуемых процессов // Тез.докл. ХлхУ Ьсесоюз.научно-техн.сессии по проблемам газовых турбин. - Харьков, 1СЛ37. С.Зо-40. (Соавтор - Канило U.M.

26.Коваль »■• 0. Ьариаш'.онная формализация и метод решения уравнений tiaiibe-Стокса //Численные ме ¡оды механики сплошной среды: Тез.докл.Ьсесоюз.семинара. - Красноярск, i9u7. ч.1. С.69-/0. (Соаьторы - Бабак Т.Г., Ратовский A.b.)

27.Коваль i.O.Метод вариационной формализагки и решения краевых задач механики реагирующих сред // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной матем.: Тез,докл.Ьсесоюз.конф,- Новосибирск. 19ü7: -C799-I00.

¿й.Коьаль 4.0. Автоматизация обработки и анализа экспериментальных данных пй скорости сжигания углеводородно-водорояных топ-лив //<'нженерно-фиэ. журнал.- I9ü7.- & о, т.53. - C.IU2ö-IC29. (Соавторы - Канило О., Иевченко А.Н., Бабак Т.Г./

¿9.Копаль 0.0. Рещение краевых задач методом оперативного про -яолжения //Докл.АН УССР. - Iübd. -Сер.А # 10. - С.17-20.

30.Коваль O.e. метод оперативного продолжения при автомат.;Еа:'ии везения краевых задач //иатем.модели ис системы обработки информации и принятия решения: Сб.научн.тг.Ккев, 1Уо:.. - С.оо-t> и.