Метрические аспекты пространств Карно - Каратеодори и применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Карманова Мария Борисовна

Метрические аспекты пространств Карно — Каратеодори

и применения

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

з и 2014

Новосибирск - 2014

005553909

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук. Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович. Официальные оппоненты:

Зеликин Михаил Ильич, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", механико-математический факультет, кафедра общих проблем управления, заместитель заведующего кафедрой;

Ткачев Владимир Геннадьевич, доктор физико-математических наук, доцент, Линчё-шгагский университет (г. Линчёшшг, Швеция), Институт математики, старший лектор, доцент;

Цих Август Карлович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Сибирский федеральный университет", Институт математики и фундаментальной информатики, кафедра теории функций, заведующий кафедрой. Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук. Защита состоится «10» декабря 2014 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук: http://www.math.nsc.ru

Ученый секретарь

диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Актуальность. Пространство Карио — Каратеодори M — это связное риыаново многообразие, в касательном расслоении ТМ которого выделено горизонтальное подрасслоение H M, удовлетворяющее некоторым алгебраическим условиям на коммутаторы векторных полей {Xi,..., Хп], составляющих локальный базис в ЯМ, где п = dim Нр M для всех р ЕМ.

Исторически элементы геометрии пространств Карно — Каратеодори, или субримано-вой геометрии, впервые появились в 1909 г. в работе К. Каратеодори |12]. Это исследование было мотивировано знаменитой проблемой Гильберта о математических основаниях разных областей физики, сформулированной в 1900 г. В настоящее время структуры пространств Карно — Каратеодори являются важной интерпретацией геометрической теории управления, основанной в ее современном виде в 1950-е гг. JI. С. Понтрягиным и его коллегами. Эта теория является идеальным средством для применения достижений современной чистой математики к прикладным наукам, решения разнообразных актуальных теоретических и прикладных задач физики; экономики; моделирования и развития технологий и др. Возникающие трудные задачи ведут к необходимости создания новых фундаментальных концепций геометрического анализа и разработки новых методов для решения этих задач.

Субриманова геометрия является основополагающей и для теории гипоэллиптических операторов, как это показано Л. Хёрмандером в 19G7 г. (см., например, [11, 33]), и многих задач геометрической теории меры (см., например, [19, 27, 29]). В 1971 г. Э. М. Стейн объявил программу исследований субримановой геометрии для изучения сингулярностей ядер гипоэллиптических операторов, в частности, фундаментальных решений субэллиптических уравнений. Гипоэллиптические уравнения — класс уравнений в частных производных, простейшим примером которых является уравнение Колмогорова, описывающее процесс диффузии. Эти уравнения имеют и разнообразные приложения в экономике и финансах (см. работу

D. G. Hobson и L. С. G. Rogers). См. введение в теорию пространств Карно — Каратеодори, базовые результаты и некоторые приложения в работах В. Н. Берестовского, А. М. Вер-шика, В. Я. Гершковича, С. К. Водопьянова, А. В. Грешнова, М. Громова, A. Bellaïche, L. Hörmander, G. A. Margulis, G. D. Mostow, G. Metivier, A. Nagel, P. Pansu, L. P. Rothschild,

E. M. Stein, , R. S. Strichartz, S. Wainger, и монографиях [1, 2, 4, 11, 16, 18, 20. 22, 28|.

Выделим некоторые актуальные приложения и задачи субримановой геометрии, возникшие из разных областей науки: задачи о машинах с прицепами [24|; о траекториях летательных аппаратов (см. работы Ю. J1. Сачкова и его коллег); о движении самопульсиру-

ющих микроорганизмов и падающих кошек [28]; проблемы перемещения масс [34]; роботех-ника [10]; квантовое управление [30]; термодинамика черных дыр (см. работу М. Anastasiei и S. I. Vacaru); астродинамика [35]; экономика (см. работу D. G. Hobson и L. С. G. Rogers и др.); нейробиология [32] и др. Метрика Карно — Каратеодори, «согласованная» с суб-римановой структурой и не являющаяся эквивалентной римановой метрике, применяется в изучении гипоэллиптических операторов (см. работы L. Hörmander [21], А. Nagel, Е. М. Stein, S. Wainger [29], L. P. Rothschild, E. M. Stein [33]). Кроме того, эта метрика и ее свойства существенно используются в теории уравнений с частными производными; см. работы С. К. Водопьянова, В. М. Черникова, J. Jost, С. J. Xu и др.

При рассмотрении задач на произвольном субримановом пространстве обычно удобнее работать с их нильпотентной аппроксимацией (см., например, работы А. А. Ардентова и Ю. Л. Сачкова), имеющей групповую структуру. Для сравнения таких аппроксимаций с исходными задачами важно знать, насколько структура локальной однородной группы близка к структуре пространства Карно — Каратеодори, в как можно более общем случае. Задача о визуализации, описанная в работе G. Citti и A. Sarti; см. также [32], является еще одним примером, демонстрирующим актуальность исследования субримановой геометрии при минимальных условиях на гладкость. Результатов о регулярности изображения, построенного мозгом, на сегодняшний день нет, поэтому любое уменьшение гладкости векторных полей существенно для построения точных моделей визуализации.

При исследовании метрических объектов аналоги классических формул площади

J J(V,x)d?T(x) = J Y1 Xu{x)dHn{y), (1)

U Rk

где J{<p,x) = yJdet(D.ß(x)*D.p(x)), а уз € СНС/.К*1), U С К", п < к, и коплощади

J Jk(<p,x)dx = J dz j dHn~k(u), (2)

U R* tp-Цг)

где = yjdet (D-p(x)Dip(x)*), atp € Cl([/,Rk), U С R", n > к, полезны в решении

разных задач анализа и приложений (см. [5, 15, 14] и др.). Формула (2) применяется в теории внешних форм, потоков, минимальных поверхностей, в интегральной геометрии, теории особенностей, алгебраической геометрии и т. д. (см. работу Н. Federer и W. Н. Fleming и др.). Эти приложения мотивируют распространение формулы коплощади на объекты максимально общей природы: метрические пространства и, в частности, субримановы структуры.

В субримановом случае интерес для изучения представляют контактные отображения неголономных структур, так как они в некотором смысле «согласуют» субримановы структуры прообраза и образа. Существование таких отображений показано в статьях А. Когапу^ Н.-М. Еитапп и В. \Varhurst. Подчеркнем, что для решения задач геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори необходим субриманов аналог дифференци-руемости классов отображений. Как показано С. К. Водопьяновым, развитие субримановой теории дифференцируемое™ невозможно без знания тонких локальных свойств изучаемых классов пространств Карно — Каратеодори: аппроксимация однородными группами, теорема Рашевского — Чоу, локальные аппроксимационные теоремы и др. И если в классическом, «гладком», случае эти результаты широко известны, то при минимальной гладкости базисных векторных полей вопрос об их справедливости долгое время оставался открытым.

Формулы геометрической теории меры полезны в исследовании параметризованных поверхностей в субримановой геометрии, что является трудной и малоизученной проблемой. Одним из примеров таких поверхностей является «график» отображения. Сложность исследования состоит в том, что из-за особенностей неголономной структуры отображение-«график» липшицева в субримановом смысле отображения в общем случае не является регулярным, следовательно, известные на сегодняшний день теоремы об аппроксимации «касательным» отображением с «удобными» свойствами и вычислении площади неприменимы. Тем не менее, изучение «графиков» отображений и решение новых задач об их свойствах, в частности, нахождение аналитических выражений для вычисления площади, актуально в силу их немаловажной роли в развитии теории минимальных поверхностей на неголономных структурах, имеющей приложения для решения разнообразных практических задач. Отметим работы А. В. Киселева, А. А. Клячина, В. А. Клячина, В. М. Миклюкова, В. Г. Ткачева, а также книги [3, 6] и др., в которых получен ряд важных свойств минимальных поверхностей как на евклидовых пространствах, так и на более общих структурах, таких, как структуры лоренцевой геометрии.

Степень разработанности темы. Систематическое изучение структур субримановой геометрии начато относительно недавно, в 1970-е гг., и большинство основных результатов о локальных свойствах пространств Карно — Каратеодори доказано в модельном случае: для пространств, базисные векторные поля которых достаточно гладкие (см., например, [1, 10, 10, 19, 22, 28, 29, 33] и др.). Результаты о субримановой дифференцируемое™,

позволяющие ставить задачи геометрической теории меры на неголономных пространствах, сначала были получены P. Pansu для групп Карно, а затем — для пространств Карно — Каратеодори с достаточно гладкими базисными полями (см. работы С. К. Водопьянова, А. В. Грешнова, Д. В. Исангуловой). Применяемые в большинстве работ методы напрямую не переносятся на «негладкий» случай; таким образом, условие уменьшения гладкости превращает вопросы, имеющие несложное решение в классическом случае, в тонкие проблемы анализа и геометрии.

В классическом анализе формула площади (1) доказана для разнообразных классов отображений ip : U —> К*1, U С R", п < к, удовлетворяющих некоторым условиям регулярности. Формула коплощади (2) впервые получена А. С. Кронродом в 1950 г. для функций tp : R2 —> R, а затем обобщена на отображения ц> : Мп —> Л/*, п > к, римановых пространств и спрямляемых подмножеств евклидовых пространств в работах Н. Federer [15]. Далее появились многочисленные обобщения и приложения; см., например, [14, 26] и т. д.

Приведенные примеры явным образом отражают тенденцию: найти аналоги формул геометрической теории меры на метрических структурах как можно более общей природы. При распространении (1) на новые объекты существенный прогресс (по сравнению с классическими результатами, изложенными в [15]) впервые достигнут в 1994 г., когда В. Kirchheim доказал формулу площади для липшицевых отображений, определенных на евклидовом пространстве и принимающих значения в произвольном метрическом пространстве; затем она была обобщена в работе L. Ambrosio и В. Kirchheim. Дальнейшие новые результаты в геометрической теории меры для широких классов отображений спрямляемых метрических пространств в произвольные метрические пространства были получены автором. Структура спрямляемых метрических пространств фактически моделируется подмножествами пространства Мп.

Пространства Карно — Каратеодори являются неспрямляемыми, поэтому решение задач геометрической теории меры представляет особый интерес. До недавнего времени задача о получении субримановой формулы коплощади была одной из известных открытых внутренних проблем; решение задачи о формуле площади на пространствах Карно — Каратеодори было также неизвестно. Группы Гейзенберга и Карно — известные частные случаи пространств Карно — Каратеодори. Отображения групп Карно и соответствующая формула площади изучались в работах [25, 31]. Отметим, что в [31] якобиан J{p,x) = lim ^ffl,

а в ¡25] в качестве якобиана взято локальное искажение ^^-меры при отображении Dp. т. е., Jv(D^(x)) = П ^^flj^o"!)"'1^- Так как на группах Карно исходное отображение достаточно «хорошо» аппроксимируется касательным, определения субриманова якобиана, приведенные в работах ]25] и [31], совпадают. Отображения субримановых пространств, не имеющих групповой структуры, ранее детально не изучались.

В 1982 г. P. Pansu доказал первый неголономный вариант формулы коплощади для ве-щественнозначных функций, определенных на одномерной группе Гейзенберга. Позже J. Heinonen распространил эту формулу на гладкие функции, определенные на группах Карно. Затем V. Magnani доказал ее для отображений групп Гейзенберга в евклидово пространство Rfc. Кроме того, R. Monti и F. Serra Cassano вывели аналог формулы коплощади для функций класса BVx (субриманов аналог класса BV), определенных на пространствах Карно — Каратеодори глубины 2. Тем не менее, вопрос о справедливости формулы коплощади даже для модельного случая гладких отображений групп Карно до недавнего времени оставался открытым.

«Неголономные» минимальные поверхности на сегодняшний день изучены только для частных модельных случаев (группы Гейзенберга, некоторые группы Карно) в работах L. Capogna, G. Citti, N. Garofalo, M. Manfredini, S. D. Pauls, D. Vittone, J. H. Cheng и др. В них найдены необходимые условия на геометрические свойства «графиков» над плоскостями для того, чтобы они были С2-связными минимальными поверхностями. Кроме того, изучены различные свойства минимальных поверхностей, являющихся липшицевыми «внутренними графиками» или пределами римановых минимальных поверхностей, и некоторые свойства параметризованных поверхностей на группах Гейзенберга.

Цели и задачи. Целью проведенного в диссертации исследования является вывод тонких свойств пространств Карно — Каратеодори как можно более общей природы, а также решение трудных открытых проблем геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори в общих случаях. Основными задачами исследования являются:

1) вывод новых оценок сравнения локальных метрических структур пространства Карно — Каратеодори и локальной группы (в частности, нахождение зависимости от а в случае, когда базисные векторные поля принадлежат классу С1-0);

2) получение адекватных аналитических выражений для субримановых якобиана и коэффициента коплощади и доказательство субримановых аналогов формул площади и ко-

площади для широких классов отображений многообразий Карно;

3) вывод соотношения «римановой» и «субримановой» мёр на поверхностях-образах и поверхностях уровня и доказательство свойства субримановой меры на характеристическом множестве;

4) доказательство формулы площади для классов отображений-«графиков», определенных на группах Карно, и вывод аналитических описаний необходимых и достаточных условий для минимальности классов поверхностей-«графиков», в том числе, в терминах субримановой средней кривизны.

Научная новизна. В диссертации решены трудные задачи теории пространств Карно — Каратеодори. Эти задачи либо исследованы впервые, либо представлены, как широкое обобщение важных классических результатов; их решение потребовало создания принципиально новых методов.

Следующие результаты считаются основополагающими в теории пространств Карно — Каратеодори:

1) теорема Рашевского — Чоу [7, 13] о возможности соединения двух точек горизонтальной кривой;

2) Ва11-Вох-теорема [29] (о том, что шар в метрике Карно — Каратеодори содержит «¿эс-шар и является подмножеством с^-шара, и при этом их радиусы сравнимы);

3) теорема Громова — Митчелла [19, 27] о сходимости масштабированных относительно произвольной точки и € М пространств Карно — Каратеодори к нильпотентному касательному конусу в этой точке;

4) локальная аппроксимационная теорема Громова [19] о локальном сравнении метрик Карно — Каратеодори в исходном пространстве и в локальной однородной группе, а также ее более тонкие варианты (см. [9]).

До недавнего времени все вышеперечисленные результаты были известны для пространств Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых достаточно гладкие. С помощью созданных новых методов удалось показать, что эти результаты верны и для случая минимальной гладкости базисных векторных полей: они вытекают из полученных в первом разделе диссертации локальных оценок, являющихся новыми в том числе и для классических пространств Карно — Каратеодори с гладкими базисными полями. Для случая, когда базисные поля принадлежат классу С1,а, а > 0, впервые показана количественная зависи-

мость различия метрических свойств локальной группы и самого пространства от показателя а [11*], что позволяет применять результаты для точного сравнения решений общих субримановых задач с нильпотентными.

В [15*| формула площади доказана для отображений многообразий Карно в пространства Карно — Каратеодори, т. е., впервые рассмотрен случай, когда образ и/или прообраз не имеют групповой структуры; см. теорему 19; ср. |25, 31]. Заметим, что аналитическое определение субриманова якобиана, выраженное в терминах значений /»с-дифференциала, является новым даже для отображений групп Карно (см. определение 18). Решен также отдельный вопрос о существовании квазиметрики, позволяющей описать форму и геометрию пересечения субриманова шара в этой квазиметрике и поверхности-образа (а также поверхности уровня, если размерность образа меньше размерности прообраза). Она описана в определении 15. Одним из ключевых шагов доказательства формулы площади для контактных отображений класса С1 является новый результат о соотношении «римановой» и «субримановой» мер на поверхности-образе; см. теоремы 16 и 17.

Нетрудно показать, что С1-гладкие контактные отображения липшицевы в субрима-новом смысле. Однако, произвольное липшицево относительно субримановых (квази)метрик отображение нельзя аппроксимировать в каком-либо «разумном» виде отображениями, дифференцируемыми в классическом смысле. Поэтому вывод субримановой формулы площади через риманову для произвольного липшицева отображения многообразий Карно невозможен. Кроме того, соотношение d^(ifi(w), 'j(v)) = (1 + o(l))dgf(«>(Dj>(u)\v], D^(u)[iv]), где o(l) —> 0 при v,и' —> и. не всегда может быть верно в окрестности и. По этим причинам возникла необходимость создания нового метода, принципиально отличающегося от общеизвестных. Этот метод получен в доказательстве теоремы 20; он является новым и для отображений евклидовых структур.

Работы J. Heinonen, V. Magnani, R. Monti, F. Serra Cassano, P. Pansu и др. объединяет то, что образ, как правило, евклидов, а прообраз — группа. В диссертации решена принципиально новая задача, когда, во-первых, образ неголономен и, во-вторых, и в прообразе, и в образе нет групповой структуры, кроме того, нет ограничений на глубину образа и прообраза. Формулы коплощади, доказанные в предыдущих работах, для достаточно гладких отображений выводятся из результатов диссертации в качестве частных случаев.

Результаты и методы, разработанные в ходе решения задач геометрической теории

меры, применены к исследованию новых классов поверхностей-«графиков» над группами Карно и выводу критериев минимальности. Специфика состоит в том, что впервые для построения «графиков» используются липшицевы относительно субримановых (квази)метрик функции, которые могут не обладать достаточной регулярностью в классическом (рима-новом) смысле (в отличие от предыдущих работ, в большинстве которых требования на гладкость достаточно существенны). Кроме того, нетрудно показать, что «графики» таких функций (построенные согласованно с групповой структурой) в общем случае не будут даже липшицевыми относительно субримановых (квази)метрик, следовательно, результаты об /гс-дифференцируемости на них не распространяются. Отсюда возникает вопрос о подсчете площади «графика» и ее аналитическом выражении, решить который существующие подходы не позволяют. Однако, новые методы доказательства формулы площади для липшицевых отображений адаптированы и на эту более общую ситуацию, и выражение для подсчета «внутренней» меры поверхности-«графика» выведено в терминах /гс-дифференциала исходного отображения; см. теорему 28. Впервые описаны критерии минимальности для некоторых классов поверхностей, определяемых липшицевыми в субримановом смысле отображениями групп Карно; см. теорему 29 и предложение 31.

Методология и методы исследования. Для изучения пространств Карно — Кара-теодори с С1-гладкими базисными полями и для решения трудных задач таких, как аппроксимация групповыми структурами, сравнение локальных структур и (квази)метрик на них, в диссертации разработан альтернативный подход к исследованию неголономных структур, не использующий ни теорему Громова [19] о сходимости масштабированных векторных полей к нильпотентизированным, образующим алгебру Ли, ни формулу Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа (которая существенно используется, например, в [29] и является эффективным инструментом исследования в «гладком» случае), поскольку применение этого классического инструментария в данной ситуации невозможно.

Разработанные для исследования структур в условиях минимальной гладкости новые методы позволили не только обобщить классические результаты (см., например, [9, 19]), но и получить свойства, новые и для «гладких» случаев. Эти методы, основанные на теореме существования локальной нильпотентной градуированной группы, доказанной совместно с С. К. Водопьяновым в [14*], свойствах, выведенных А. В. Грешновым в [2] при доказательстве второй теоремы Ли [23], и классических результатах о решении ОДУ, применены для

нахождения новых оценок сравнения локальных структур пространства и локальной группы. составляющих основной результат статьи [11*] (и являющихся одними из основных в первом разделе диссертации); см. далее теорему 8 и ее следствия.

Полученный новый результат использован для вывода существенно новых оценок расхождения последовательностей точек разных локальных групп; см. теорему 10, из которых вытекают аналогичные оценки сравнения близости структур локальной группы и пространства, играющие важную роль и в изучении геометрических свойств пространств Карно — Каратеодори, и в развитии субримановой теории дифференцируемое™ (см. работы С. К. Водопьянова с определениями и описаниями основных результатов о субримановой дифферен-цируемости классов отображений).

При решении задач геометрической теории меры созданы также новые методы, принципиально отличающиеся от «классических». Во многих «классических» доказательствах формулы площади существенно используется аппроксимация исходного отображения р касательным ги н-» 0^р(х) [-ш], а также билипшицева эквивалентность метрик на многообразии и на касательном пространстве (или его аналоге). До недавнего времени задача доказательства формулы площади для липшицевых отображений многообразий Карно в пространства Карно — Каратеодори была решена лишь в частном случае отображений групп Карно [25, 31). Автор статьи |31] использует аппроксимацию (относительно субримановой метрики) исходного отображения «касательным», определенным через значения 'Р-дифференциала. В доказательствах работ [25, 31} основная особенность состоит в определениях якобианов, выраженных в терминах мер шаров в метрике Карно — Каратеодори и их образов при отображениях у? и Очевидно, что для произвольных групп Карно вычисление таких мер невозможно, так как структура шаров в метрике Карно — Каратеодори в общем случае неизвестна. В диссертации якобиан — это определитель Грама матрицы Лс-дифференциала; см. далее определение 18. Полученное явное аналитическое выражение, которое с очевидными изменениями повторяет выражение для классического якобиана, очень важно для таких приложений, как изучение экстремальных поверхностей на неголономных структурах, и при решении других задач. Созданные новые методы позволили распространить формулу площади и на отображения, которые аппроксимируются липшицевыми; см. теорему 7.

Разработанный в диссертации новый подход к изучению липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори основан только на определении /1с-дифференцируемости и

на «частичной» аппроксимации отображения «касательным». Идея доказательства состоит в сравнении не образов шаров при исходном отображении и «касательном» к нему (так как образ при липшицевом относительно субримановых (квази)метрик отображении может иметь сложную геометрическую структуру), а в сравнении прообразов шаров при этих отображениях. Такой метод является новым и в частном случае, когда {р — отображение евклидовых пространств. С помощью него формула площади доказана для липшицевых отображений многообразий Карно в пространства Карно — Каратеодори; см. теорему 20. Несмотря на использование субримановой формулы площади для с1 -гладких (в классическом смысле) отображений, формула площади (6) для липшицевых отображений не является прямым следствием С'-гладкого случая: роль теоремы 19 состоит только в выражении меры образа при «касательном» отображении через якобиан и меру прообраза. В силу специфики липшицевых в субримановом смысле отображений, доказательство общего случая потребовало создания и разработки существенно новых методов и подходов сравнительно с классической ситуацией перехода от результатов для С^-отображений к аналогичным результатам для липшицевых, в том числе и основанных на тонких свойствах измеримых множеств и их отображений. Результаты работ |25| и [31] являются частными случаями формулы (6).

К доказательству формулы коплощади для отображений tp : M —» M многообразия Карно в пространство Карно — Каратеодори (в том числе, и при условии минимальной гладкости векторных полей) также разработан новый подход, а сам результат является новым и для отображений групп Карно. Впервые рассмотрен случай, когда образ имеет неголо-номную структуру, а прообраз — многообразие Карно произвольной глубины (в отличие от работы R. Monti и F. Serra Cassano, где глубина прообраза равна двум, и V. Magnani, где прообраз имеет групповую структуру). Для решения задачи мы делим множество, на котором невырожден классический дифференциал, на регулярное множество и характеристическое. Далее, мы оцениваем меру пересечения субриманова шара в квазиметрике (¡2 и касательной плоскости к множеству уровня. При изучении точности аппроксимации множества уровня касательной плоскостью мы вводим «смешанную» квазиметрику, обладающую «римановы-ми» и «субримановыми» свойствами. Доказано, что в точках невырожденности субриманова дифференциала, или в регулярных точках, касательная плоскость приближает поверхность достаточно «хорошо», и это позволяет найти «риманову» меру пересечения, которая зависит от хаусдорфовых размерностей и образа, и прообраза: она асимптотически равна «римано-

вой» мере пересечения шара и касательной плоскости ко множеству уровня и эквивалентна ги~и\ см. теоремы 21 и 22. Отсюда вытекает аналитическое выражение для соотношения «римановой» и «субримановой» мер в регулярных точках на поверхностях уровня; см. теорему 23. Случай характеристического множества \ является более специфическим, так как около характеристической точки поверхность может «выскочить» из субриманова шара. Из-за этого для произвольной характеристической точки невозможно оценить меру пересечения шара и поверхности через меру пересечения шара и касательной плоскости в этой точке. В большинстве ранних работ свойства групповой структуры прообраза существенно используются авторами при доказательстве, в частности, того, что мера характеристических точек на почти каждом множестве уровня равна пулю. В нашем случае в прообразе и образе нет групповой структуры, а аппроксимация пространства Карно — Каратеодори локальной однородной группой недостаточна для распространения разработанных ранее методов. Поэтому создан новый «внутренний» метод исследования тонких свойств характеристического множества, основанный на исследовании классов его точек плотности и вывода специфических «касательных» свойств. Выяснилось, что если х € х является точкой плотности некоторого подмножества х, то имеет место достаточно точная аппроксимация поверхности касательной плоскостью в этой точке, и, таким образом, характеристическое множество не влияет на правую часть формулы коплощади; см. теорему 25. Субриманов коэффициент коплощади определен через значения Лс-дифференциала; см. определение 24, а субриманова формула коплощади доказана в теореме 26.

Основное средство при выводе аналитико-геометрических свойств поверхиостей-«гра-фиков» — введение «адаптированной» под отображение новой внутренней структуры с новыми базисными полями, а также обобщение понятия /г.с-дифференцируемости: полиномиальная Лс-дифференцируемость 110*, 9*]. Отличие от обычной Лс-дифференцируемости состоит в том, что отображение, аппроксимирующее исходное, полиномиально зависит от координат «вектора разности» между точкой дифференцируемости и рассматриваемой точкой. Применения полиномиального /гс-дифференциала вызваны необходимостью точной аппроксимации отображения-графика приближающим в рассматриваемой субримановой квазиметрике. Для доказательства формулы площади исследована структура полиномиального Нс-дифференциала и адаптированы методы раздела 2. Полученные выражения использованы при описании классов минимальных поверхностей (см. теорему 29).

Теоретическая значимость. Исследование носит теоретический характер. Утверждения о близости метрических структур разных локальных однородных групп и пространства, а также другие результаты статьи [11*], оказались основополагающими для теории пространств Карно — Каратеодори и в классическом, и в «негладком» случаях. Действительно, выяснилось, что они играют ключевую роль в доказательствах следующих утверждений (отметим, что первые четыре результата были известны ранее только в достаточно гладком случае):

1) теорема Рашевского — Чоу о возможности соединения двух точек горизонтальной кривой [14*, 8[;

2) теорема о локальной эквивалентности квазиметрики (¡^ и метрики Карно — Каратеодори и Ва11-Вох-теорема (доказана С.К. Водопьяновым в [17*]; см. также [14*|);

3) теорема Громова — Митчелла о сходимости масштабированных относительно произвольной точки и £ М пространств Карно — Каратеодори к нильпотентному касательному конусу в этой точке (см., например, [14*], а также работы С. В. Селивановой);

4) локальная аппроксимационная теорема Громова о локальном сравнении метрик Карно — Каратеодори в исходном пространстве и в локальной однородной группе (доказана совместно с С. К. Водопьяновым [5*, 17*]);

5) теория дифференцируемости отображений многообразий Карно (основана и развита С. К. Водопьяновым);

6) теория сходимости для квазиметрических пространств, в частности, неэквирегуляр-ных пространств Карно — Каратеодори (развита С. В. Селивановой и С. К. Водопьяновым);

7) теория аппроксимативной дифференцируемости на пространствах Карно — Каратеодори (основана и развита С. Г. Басалаевым и С. К. Водопьяновым [8]).

Полученные результаты и разработанные оригинальные методы оказались полезны для решения новых сложных задач субримановой геометрической теории меры. В частности, впервые установлены результаты, являющиеся новыми и в «гладком» случае:

1) аналоги формул площади и коплощади для классов отображений многообразий Карно в пространства Карно — Каратеодори (теоремы 19, 20 и 26) [3*, б*, 7*, 12*, 14*, 15*, 16*];

2) формула площади для «графиков» функций (теорема 28) и аналитическое описание классов минимальных поверхностей на группах Карно (теорема 29) [9*, 10*].

Эти формулы получены в явном виде, следовательно, они полезны при решении за-

дач и имеют перспективы дальнейшего применения в исследовании и решении открытых проблем субримановой геометрии. В частности, уже в настоящее время исследованы классы поверхностей-«графиков» над группами Карно, получены аналитические описания классов минимальных относительно внутренней меры поверхностей и выведен критерий минимальности в терминах субримановой средней кривизны (см. далее теорему 29 и предложение 31).

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования.

1) Пример многообразия Карно с С'-гладкими базисными полями (пример 2).

2) Результат о существовании локальной однородной группы к пространству Карно — Каратеодори с базисными векторными полями класса С1 (теорема 5).

3) Теоремы о сравнении локальных геометрий пространства Карно — Каратеодори и локальных однородных групп (теоремы 8 и 10 и следствия).

4) Локальные аппроксимационные теоремы для субримановых метрик и квазиметрик (теоремы 9 и 11).

5) Свойства пространств Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией (теорема 12).

6) Сравнение «римановой» и «субримановой» меры на поверхностях-образах гладких контактных отображений (теорема 16).

7) Теорема о производной меры на поверхности-образе и формула площади для гладких контактных отображений (теоремы 17 и 19).

8) Формулы площади для липшицевых отнсителыю субримановых метрик отображений (теорема 20, формулы (7) и (8)).

9) Сравнение «римановой» и «субримановой» меры на поверхностях уровня гладких контактных отображений; результат о характеристическом множестве (теоремы 21, 22 и 25).

10) Теорема о производной меры на поверхности уровня и формулы коплощади для гладких контактных отображений (теоремы 23 и 20, формула (10)).

11) Полиномиальная субриманова дифференцируемость «графиков» на группах Карно и формула площади для них (определение 27 и теорема 28).

12) Описание класса минимальных поверхностей-«графиков» в терминах субримановой средней кривизны (теорема 29, определение 30 и предложение 31).

Достоверность и апробация. Результаты диссертации и их доказательства опубликованы в 17 работах [1*] - [17*] в журналах и изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК

для опубликования основных результатов диссертаций, в том числе тринадцать работ [1*] -[13*] изданы в российских журналах, а четыре [14*] - ]17*| — в зарубежных научных изданиях (работы |1*| - |5*| и |14*| - [17*| написаны в соавторстве с д. ф.-м. н. С. К. Водопьяновым). Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Приводимые в диссертации результаты совместных работ, если не оговорено специально, получены автором самостоятельно. Остальные получены совместно с С. К. Водопьяновым. Вклад соавторов в совместные результаты равноправен и неделим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 311 наименований и приведен в алфавитном порядке. Общий объем диссертации: 258 страниц.

По итогам исследований сделаны доклады на следующих международных конференциях и семинарах: «New Trends in Complex and Harmonic Analysis» (7-12 мая 2007 г., Восс, Норвегия); «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (28 мая - 2 июня 2008 г., Новосибирск, Россия); «Geometric analysis and nonlinear partial differential equations» (EMS Conference) (3-10 июня 2007 г., Бедлево, Польша); Conference in Geometric Analysis and its applications (21-24 января 2008 г., Берн, Швейцария); IV Петрозаводская международная конференция по комплексному анализу (29 июня - 5 июля 2008 г., Петрозаводск, Россия); XI Romanian-Finnish Seminar (14-19 августа 2008 г., г. Альба Июлия, Румыния); «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (512 октября 2008 г., Новосибирск, Россия); «Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications» (9-12 марта 2009 г., Хобокен, США); Семинар по анализу Национального университета Сингапура (2009, 2010, 2011 гг, Сингапур); «Contemporary Analysis and Geometry» (14-20 сентября 2009 г., Новосибирск, Россия); «Topology, Geometry and Dynamics» (11-16 января 2010 г., Санкт-Петербург, Россия); 19th St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis (5-10 июля 2010 г., Санкт-Петербург, Россия); Школа-конференция молодых ученых по геометрическому анализу (2-8 августа 2010 г., Республика Алтай, Россия); Международный математический конгресс 2010 г. (ICM 2010, 19-27 августа 2010 г., Хайдерабад, Индия); 7th School on Analysis and Geometry on Metric Spaces (19-24 июня 2011 г., Левико Терме, Италия); XVIth Conference on Analytic Functions and Related Topics (26-29 июня 2011 г., Хельм, Польша); «Calculus of Variations and PDEs» (9-12 июля 2012 г., Щавница, Польша); «Дни геометрии в Новосибирске - 2012» (30 августа - 1 сентября 2012 г.); «МСТМ - 2013» (5-9

июля 2013 г., Суздаль, Россия); «Управление и оптимизация неголоноыных систем» (10-13 июля 2013 г., Переславль-Залесский, Россия); «Геометрия и анализ на метрических структурах» (4-7 декабря 2013 г., Новосибирск, Россия); Международный математический конгресс 2014 г. (ICM 2014, 13-21 августа 2014 г., Сеул, Южная Корея).

Основное содержание диссертации. Диссертация состоит из четырех разделов. Если не оговорено специально, результаты совместных работ получены автором лично. Раздел 1 содержит новые геометрико-аналитические результаты теории пространств Карно — Карате од ори.

Определение 1 ([8], ср. (19, 14*, 29]; см. также [11*, Определение 1]). Фиксируем связное риманово С^-многообразие М топологической размерности N. Многообразие М называется пространством Карно — Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ существует фильтрация ЯМ = Я]М С ... С HiM С ... £ Яд/М = ТМ подрасслоениями такая, что для каждой точки р € М найдется окрестность U С М, U Э р, с набором С1-гладких базисных полей Х\,..., Х\, обладающая следующими свойствами.

1) Во всякой точке v £ U подпространство HiM(v) = Hi(v) = span{Ai(v),..., X^mHi{v)} С Т„М имеет размерность dim Hi независимо от v, i = 1,..., М.

2) Справедливы включения \Н{, Hj] С Hi+j, i,j = l,...,M — l,i + j< М.

Если еще выполнено свойство 3, то пространство М называется многообразием Карно:

3) Hj+i = span {Hj, [Яь Hj], [Я2, Я;_х],..., [Яь HJ+1_k}}, где k = , j = 1,..., Л/ - 1.

Подрасслоение ЯМ называется горизонтальным. Число М называется глубиной М. Степень поля deg Х^ равна min{m | Хь G Ят}, к = 1,..., N.

Приведем пример многообразия Карно глубины 3 с базисными полями класса С1.

Пример 2 (многообразие Карно с С'-гладкими базисными векторными полями; ср. [8*]). Рассмотрим произвольные С'-гладкие функции ip, Г), и> : R —i> М такие, что ф,<р,£,Т],ш ^ 0, их производные только непрерывны (но не дифференцируемы) и ^ 0 на отрезке

W С R. Построим векторные поля X, Y, Z, Т на W х W х W х W <= R4 следующим образом:

у

X =ф(х)дх + ф(х) Ау)ду + i)(- Jl{x,s) ds + z^0z + ¿(y)jj(q)dq, у

Y=dll + Z(- J щ + х)дг, Z = ФМд, + u(q)dQ, T = 0y.

Здесь £(x,s) = f -¡¡щ + XJ> a £ — число, зависящее от IV и выбора функций. Легко убедиться в том, что X € Cl(x,y,z,q), Y € Cl(x,y), Z Е С1^,?), а поле Т гладкое. Кроме того, [X, Y] = -%-Z«\Y,Z] = )^у+ж).[С(-|^+х)]-1.ПоложимЯ =

#1 = span{X, Y}, #2 = span{X, К, Z), a #3 = span{X,Y, Z,T}. Получена невырожденная система векторных полей, для которой справедлива таблица (3), и построено многообразие Карно глубины М = 3, горизонтальные векторные поля которого принадлежат классу С1 (но не С2) по одним переменным (поля X и Y являются С1-гладкими по х и по у). Кроме того, Z € span{X, К, [X, К]} — С^-гладкое (и по переменной х) векторное поле.

Замечание 3 (см., например, [11*, Замечание 1[). Из условия 2) определения 1 следует, что [Хг,Х^(у)= Y1 cijk(v)Xk(v), veU, i,j = l,...,N. (3)

к: deg Xt <deg Xi +deg Xj

Предположение 4. В диссертации предполагается, что базисные поля пространства Карно — Каратеодори принадлежат классу С1,а, а > 0 (при а = 0 считаем С1,0 = С1).

Для пространств Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых принадлежат классу С1'", а > 0, теорема Громова о сходимости к касательному конусу неизвестна. Следовательно, первый открытый вопрос — это вопрос о существовании локальной группы. Ответ на него получен в следующей теореме, доказанной совместно с С. К. Водопьяновым.

Теорема 5 ([14*, Theorem 2.1.8]; см. также [4*]). Пусть М — пространство Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которого принадлежат классу С1. Фиксируем и £ М. Коэффициенты {cijk(u)\i,j,k : degX; + degXj = degXjt} определяют нилъпотентную градуированную алгебру Ли.

Алгебра Ли из теоремы 5 реализуется, как набор полей {(Х?)'}^ в окрестности ну-

N ( N ~ \

ля в R" таких, что (Х^)'(О) = е,, i = 1,..., TV, и отображение (xt,..., xN) ь-> exp^Xj Xi{Xf)'j

тождественно. Далее, эти поля переносятся с помощью отображения ви, такого, что , N .

Ou(xi,... ,xn) = ехр^XiXij(u), на окрестность точки «€М. Вспомогательный результат — следующая

Лемма 6 ([11*, Теор ема 5], [13*]). Для всякой точкир € М существует окрестностьЫ Э р,

N

U <= М такая, что для и,х 6 ZV справедливо Хя(6"х) = а"{д"х)Х"(6"х), где

0(s), degXr<degXg.

V + 0(i), dcgXr = deg Xg,

Q(;a+degX-degX,^ dgg ^ > deg U Q > 0,

o^degX.-degAT,^ deg > deg Xg и a = 0,

для всех д = 1..... Л' при с —> 0, и эти оценки равномерны на Ы.

/ N . , N ч

Здесь ¿"ж = ехр^Х) хг~ Х^Ы), если х = ехр^^И х,Х^(и).

В теоремах 8-10 для каждой точки М доказано существование достаточно малой содержащей ее окрестности и, обладающей следующими свойствами.

1) 0и(ВЕ{0, гц)) Э Ы для всех и € Ы\

2) 1А С. для всех и 6 Ы\

3) в$(ВЕ{о, Ги,„)) Э и для всех и,у € М;

А) и Ш О. где О — окрестность из леммы б.

/ Ч ~ \ / N

Определение 7. Для точек и,у £ ]

, w = ехр^2 WiX^(v) и 2 = ехр^2 ZiX^(v) опреде-

лим значения d!L(v,w) = max {lu-'il J"iXi } и z) = max {|2i|,1"«xi }.

i=l,...,N г=1,... ,7V

Теорема 8 (|17*. Theorem 8|, [11*, Теорема 6]; см. также [5*|). Пусть M — пространство Карно — Каратеодори с -гладкими базисными векторными полями, а > 0. В окрестности Ы выполняется следующее свойство: для u,v G ti, w = 7(1) и w = 7(1), где

7,7 : [0,1] —> М — абсолютно непрерывные (в классическом смысле) кривые, лежащие в

N N Л Вох(ц, е), такие, что 7(0) = 7(0) = v, j(t) = £ Ь,(1)Х,(-г(1)), J(t) = £ бДО-ТЫ*)). "

i=l i=l

каждая измеримая функция bi(t) такова, что

1

J \b,(t)\dt < (4)

о

IO(-1+S), а>0,

при £ —» 0, где

о(е), а = 0,

O(l) и о(1) равноА1ерны по и 6 Ы, V €: Box(it. с) и всем, наборам {''t (0 К=l со свойством (4).

Очевидным следствием этого результата являются оценки сравнения для кривых с постоянными коэффициентами, см. [11*, Теорема 8], [13*], ср. с [14*, Theorem 2.4.1], [1*].

Одно из важнейших следствий теоремы 8 — локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик dx, доказанная совместно с С. К. Водопьяновым.

Теорема 9 ([11*, Теорема 9), [17*, Theorem 6), ср. с [14*, Theorem 2.5.4], [1*]). Пусть М — пространство Карно — Каратеодори с -гладкими базисными векторными полями, а > 0. Если Box()i. е) С Ы, то для любых точек v, w G Box(u, e) справедливо соотношение

(0(£1+w), a > 0,

при e —» 0. Если же и' С Box(u,e), то имеем

о(-), а = 0,

(0(г1+м), а > 0,

при е —> 0. В обеих оценках о(1) и O(l) равно-

о(г), а = 0,

мерны по и & W, W <S U, и по v,u> £ Box(u, е) g U.

Следующий полезный для приложений результат раздела 1 — теоремы о расхождении линий для конечных последовательностей точек на пространстве Карно — Каратеодори.

Теорема 10 (сравнение локальных геометрий двух локальных однородных групп [11*, Теорема 12], ср. с [14*, Theorem 2.3.1], [1*)). В окрестности UgM справедливо следующее свойство. Для фиксированного Q € N рассмотрим произвольные точки и € U, и', wq € Box(u, е) и набор wj = exp^f = exp w^^XfJ (wf^), < = «,5 =

wo, j = 1,..., Q. (Здесь число Q € N таково, что все точки принадлежат Ы С М для

!0(£1+й), а > 0,

при

о(Е), а = 0,

е —► 0. Величины O(l) и о(1) равномерны по и &U, и', wq 6 Вох(и, г) и {uiij}, г = 1,..., N, j = 1,...,(?, из малой окрестности 0 и зависят от Q и {F^

Аналогичные оценки верны и при сравнении локальных геометрий локальной однородной группы и пространства Карно — Каратеодори, см. [11*, Теорема 13], ср. [1*, 14*]. Из теорем о сравнении локальных метрических структур следуют фундаментальные результаты теории пространств Карно — Каратеодори для многообразий Карно, базисные векторные поля которых принадлежат классу С1а, а 6 [0,1]: теорема Рашевского — Чоу [8[; теорема о локальной эквивалентности dcc и dx и Ва11-Вох-теорема, см. доказательство С. К. Водо

пьянова в [17*, Theorem 11]; теорема о локальной эквивалентности квазиметрик, ср. [14*, Proposition 2.8.11]. Следующая теорема доказана совместно с С. К. Водопьяновым.

Теорема 11 (локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно —Каратеодори [17*, Theorem 7|, [5*, Теорема 6|, см. также |11*|, ср. |19|). Пусть М — многообразие Карно, базисные векторные поля которого принадлежат классу С1. Для любой точки р 6 М существует некоторая компактная окрестность 14 (g М, 14 Э р, такая, что 14 (g U, где

. Кроме того, для любых точек и €.14, а > О,

U — окрестность из теоремы Рашевского — Чоу [É v,w € Всс(и,е) справедливо \dcc(v,w) — d%c(v,w)\ =

и для любых точек о{е), а = О,

10(с1+ж), а > О,

при е —► 0. Обе оценки

о(е), а = 0,

равномерны по точкам и €14 и и',v,w € Bœ{u. е).

Из локальной аппроксимационной теоремы 11 непосредственно |19| вытекает обобщение теоремы Громова — Митчелла на случай С^-гладких полей, ср. [19, 0.3D", 1.4В|, [27|.

Полученные свойства о сравнении структур применены С. В. Селивановой в исследовании неэквирегулярных пространств Карно — Каратеодори и пространств Карно — Кара-теодори с весовой фильтрацией; см. также |11*|.

Основной результат обобщается и на пространства Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией, где каждому векторному полю вместо степени соответствует вес, и для весов справедлива таблица коммутаторов, аналогичная (3) (см. подробности в |11*J). Такие пространства возникают при исследовании и решении классов дифференциальных уравнений [29, 33|, и поэтому их свойства также полезны для решения разного рода задач.

Теорема 12 ([11*, Теорема 14]). Пусть M — пространство Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией с -гладкими базисными полями, а > 0. Тогда для каждой точки р € M существует окрестность 14 Э р, 14 М, для которой верны свойства 1-3 и такая, что Ы d О, где О — окрестность из аналога леммы 6. KpoAte того, 14 обладает следующим свойством: для и, v G 14 и w = 7(1) и w = 7(1), где 7,7 : [0,1] —► M — абсолютно непрерывные (в классическом смысле) кривые, лежащие в Вох(и.е) такие, что 7(0) = 7(0) = v,

•КО = Е k(t)Xi(i(t)), rn = £ k(t)x«b(t)), П i=i ¿=1

1

J \bi(t)\dt<S^x', (5)

о

!] I mlntc.n i>

0(г1+ 'р ), а > О,

при е —> О,

о(г), а = О

где O(l) и о(1) равномерны пои €U, v € Box(u, s) и всем наборам {£>i(i)}£i с0 свойством (5).

Замечание 13 ([11*, Замечание 9[). Для пространств Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией справедливы аналоги теорем 9 и 10 и их следствий с заменой для а > 0 значения jj

mln|a/i,imn{wgt Xr+wgt X,—wgt X*} } min{ai,,l} величинои----. Ьи же можно заменить-^—L в теореме 12.

Замечание 14 ([11*, Замечание 10]). Если производные координатных функций базисных полей гёльдеровы с показателем а > 0 относительно dx (построенной с учетом весов), то справедливы аналоги теорем 8, 9 и 10 и их следствий с заменой ^ на fL для а > 0.

Раздел 2 посвящен доказательству субримановой формулы площади для С^-гладких контактных, а затем и для липшицевых относительно субримановых (квази)метрик отображений многообразия Карно в пространство Карно — Каратеодори. В ряде результатов разделов 2 и 3, если не оговорено специально, мы считаем, что многообразие Карно (пространство Карно — Каратеодори) М (М) совпадает с окрестностью, свойства которой описаны в определении 1. Прежде всего, вводится квазиметрика ¿2, которую можно считать субримановым аналогом евклидовой метрики, (локально) эквивалентная dx.

Определение 15 ([12*, Определение 2.19], [15*, Definition 2[; см. также [2*, 3*]). Рассмотрим пространство Карно — Каратеодори М топологической размерности N и глубины М. Пусть х = ехр( XiXi) (v). Определим величину (¿г(х, v) следующим образом:

п 1 ^ П1 + П2 _1__N i

d2(x,г,) = шах{£>/)*,( £ £ }.

J=1 J-rii + l j=N—UM+l

Здесь п 1 = dim#i, щ = dimffj — dim#;_i, г = 2,..., М.

Множество {у € М : diiy, х) < г} называется шаром в квазиметрике г/2 радиуса г > 0 с центром в точке х и обозначается символом Вохг(х, г).

Один из первых важных шагов доказательства — оценка меры пересечения субримано-ва шара и поверхности-образа С'-гладкого контактного (т. е., Dp(H) С Я) отображения ip открытого множества U многообразия Карно М в пространство Карно — Каратеодори М.

Теорема 16 ([3*, Теорема 2|, [15*, Theorem 2]). Фиксируем у €U, где ранг hc-дифференциала Dp максимален, окрестность U Э у, в которой определитель Грама hc-дифференциала строго отделен от нуля и отображение :р билипшицево на свой образ, их = 'р(у) ■ Тогда Номера пересечения <р(Ы) П В0Х2 {х. г) равна

м /- Jdet{D<fi(y)*Dp(y))

П' V^(sMlr^MjW'ffMlr^M)^)) ' / • г" • (1 + о(1)),

k=1 у det (Dp(y)* Dip(y))

где uji — объем единичного шара в К', — риманов тензор в М, и о(1) —» 0 при г —> О равномерно на достаточно малой окрестности U.

Отсюда следует характеристика мер, полученная совместно с С. К. Водопьяновым.

Теорема 17 ([15*, Theorem 3|). Л"-Ме-ра Хаусдорфа пересечения Вох2(х,г)П¥>(К) асимптотически равна , а производная D^T~iN(x) существует и равна М ,---

П ^ • •v/det(5l5[|r<,(M)(x)*fls|r<,(M)(x)) ^det^^-V))*^^-1^))) и для любого НУ-измеримого множества А С имеет место равенств

Hn(A) = J DH.nN(x)dHv{x).

А

Этот результат подчеркивает адекватность определения субриманова якобиана.

Определение 18 ([3*, Определение 6|, [15*, Definition 8[). Субриманов якобиан в у равен

JSR(p,y) = yJdet{Dp(y)*Dp(y)).

Из полученных оценок и из римановой формулы площади непосредственно вытекает формула площади для контактных отображений субримановых структур.

Теорема 19 (формула площади для контактных отображений класса

С1 |3*, Теорема 5], [15*,

Theorem 5|). Пусть М — многообразие Карно, М — пространство Карно — Каратеодори,

базисные векторные поля которых принадлежат классу С1, a tp : М —► М — контактное отображение класса С1 (в классическом смысле). Пусть еще dim ifi < dimifi. Тогда

J f(y)JSR(<P,y)dn»(y) = J J2 f(y)dn"(x)> (6)

м й у-у^'1^

где отображение / : M —> E (E - произвольное банахово пространство) таково, что произведение f(y)J^SR(<p, у) интегрируемо. Здесь меры Хаусдорфа построены относительно квазиметрик ¿2 и ¿2 с нормирующим множителем lou .

В следующей теореме формула площади доказана для липшицевых отображений.

Теорема 20 ([12*, Теорема 3.11]; см. также [6*]). Пусть М — многообразие Карно, М — пространство Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых принадлежат классу С1, D С М — измеримое множество, и <р : D —> М — липшицево относительно субри-мановых квазиметрик d'2 и отображение. Тогда справедлива формула площади (б).

Результаты распространены на отображения, которые аппроксимируются липшицевы-ми, такие как, например, отображения классов Соболева и BF-отображения, описанные в работах С. К. Водопьянова и Д. В. Исангуловой, в виде

J !(х)^Ле1фф)'Вф))дН"(х)= J Y1 Ях)*НЪ)- (7)

Доказана и «глобальная» формула площади, когда на образе и прообразе существует счетное число окрестностей со своими наборами базисных векторных полей (см. определение 1):

У f(x)jfei(Dv(xy DV{x))DHiK"(x)dHvcc(x) = J Y, mDnSH"(y)dWcc(y), (8)

D ¿(В) Х'-^-Р-ЧУ)

где меры Хаусдорфа

построены по dcc и dcc с нормирующим множителем Шу. В разделе 3 исследованы множества уровня достаточно гладких контактных отображений многообразий Карно в пространства Карно — Каратеодори. В следующих формулировках использовано обозначение ф — ip о вх, где х 6 М — фиксированная точка, в окрестности которой ранг матрицы субриманова дифференциала максимален.

Теорема 21 ([2*, Теорема 3], ¡16*, Theorem 3.7)). Пусть М - многообразие Карно, М — пространство Карно — Каратеодори с базисными векторными полями класса С1, U С М — открытое множество, и dim Я1 > dim//i и dim Hk — dim#fc_i > dim — dim//)t_i,

к = 2,..., М, a tp : U —> М — контактное отображение класса Cl{U). Фиксируем х € y3-1(i)- Тогда в окрестности нуля в RN мера лтожества То[й_1(£)]ПВох2(0,г) равна

Qrv-i/o(l))f где С не зависит от г, а о(1) —» 0 при г —» О равномерно по х EU Ш М.

Теорема 22 ([2*. Теорема 4[, |16*, Theorem 3.11[). В условиях теоремы 21 имеем JiN~N -Alepa множества П Вохг(х, г) равна

,- М Jdct(D<p{x)D<p(x)*) __

\ „ . г"-"{ 1 + 0(1)),

fei ydet (Dp{x)Dp(x)*)

где о(1) —» 0 при г —♦ 0, причем о(1) —♦ 0 равнольерно по х Ш М.

Отсюда вытекает описание мер, полученное совместно с С. К. Водопьяновым.

Теорема 23 (|16*, Theorem 3.17|). В условиях теоремы 21 мера Хаусдорфа %v~v множества ВоХ2(х, г) П If~1(ip(x)), где х — регулярная точка и dist(BoX2(x, г) П (~fi(x)), х) > О, асимптотически равна u^-pr"-": W_"(BoX2(x, г) П'¿>~1(ip(x))) = 1 + о(1)), где

о(1) —* 0 при г —► 0 равномерно по х из некоторой компактной окрестности Ы. Производная DjiN_fj/Hu~u{x) равна

_1__uv_v \/det {Рф)РфУ)

ker Df(x

k= 1

Как и в случае с формулой площади, мы получаем мотивировку введения аналитического определения субриманова коэффициента коплощади.

Определение 24 (|2*, Определение 7[, [16*, Definition 3.18[). Субримапов коэффициент коплощади равен

jFiv, X) = у/<ьл(Вф)&Ах)') ■ ^ТТ- uw"-v •

" N U ш -

11 шпк-пк к=1

Далее показано, что и множество вырождения классического дифференциала Z, и характеристическое множество х, на котором вырождается субримапов дифференциал, не влияют на обе части формулы коплощади.

Теорема 25 ([7*, Теорема 2], |16*, Theorem 4.1]). Пусть М — многообразие Карно, а М — пространство Карно — Каратеодори, а : М —• ГЛ — контактное отображе}1ие. Если Н"(х) ф 0, то <р € СЛ/+1(М,М) и Xt € См(М), i = 1 ,...,N. Справедливо равенство П"'"^'1 П х) = о для почти всех t е М.

Главный результат раздела 3 — следующая теорема.

Теорема 26 (формула коплощади [16*, Theorem 6.1], ср. [7*, Теорема 3[, [2*, 14*]). Пусть M — многообразие Карно, a M — пространство Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых принадлежат классу С1, если ИУ{х) — = и классу С^, ес-лиНи(\),Нм(х)> Пусть еще àim Hi>à.\mH\ и dim dim H^-i > dim —dim Hk-i, к = 2,..., M. Для контактного отображения tp : M —» M, принадлежащего классу С^М, M), если H.l/(х) = = и принадлежащего классу С^+1(М,М) в противном случае, справедлива формула коплощади

Jf(x)jjtRfax)d№(x) = JdH*(t) j f{u)dH^V(ul (9)

М M ¥»"40

где. отображение / : M —► Е (Е — произвольное банахово пространство) таково, что произведение интегрируемо. Меры Хаусдорфа построены по d2 и с?2, на M u M нормирующий множитель равен uv и а на множествах уровня он равен

Доказан и «глобальный» вариант, когда образ и прообраз — многообразия Карно, состоящие из не более чем счетного числа окрестностей:

J !{x)j£R(<f,x)DKH,'(x)dH1'cc(x) м

= jDnîHv(t)dHUt) f }(u)Dm--M^{u)dH^{u), (10)

M ¥>"'(')

где меры Хаусдорфа Н."с, Нес" и ^сс

построены с/сс и d^c с множителем ujj/ на Ml, множителем аГц на М, и множителем на множествах уровня.

В разделе 4 введено новое понятие субримановой дифференцируемости: полиномиальная /¡с-дифференцируемость отображений. В этом случае отображение, аппроксимирующее исходное, зависит от координат вектора «разности» между точками полиномиально.

Определение 27 ([10*, Определение 9[; см. также [9*]). Пусть G — группа Карно, G — однородная группа Ли, Е С G, кр : Е —» G, а функция 0 : ¡р{Е) х G —> М+ является квазиметрикой на <fi(E) xip(E). Отображение tp полиномиально /ic-дифференцируемо в точке х £ Е относительно 0, если существует отображение Сх : G —> G такое, что

1) = o(dx{x,w)). Е Э w —> х, w = expf^] wi^i)(x)',

S=i '

2) Cx(w) = вр(х}оЬховх1(ы); Lx — оператор с полиномиальными по коэффициентами.

На группе Карпо вводится определение «графика» tp^ функции <fl, понятие адаптированного, или внутреннего, базиса, и доказывается полиномиальная дифференцируемость отображения-«графика» и формула площади его внутренней меры Hf (см. теорему 28).

Теорема 28 ([10*, Теорема 2|; см. также [Э*[). Пусть Г) С G измеримое множество, а '■р : D —* I — липшицево в субримановом смысле отображение.

1) В почти каждой точке х € D отображение-«график» ipr '■ {D,d00) —> (G, djjxen;) является полиномиально hc-дифференцируемым: существует полиномиальный дифференциал Dpip такой, что (<Рг(у), Dp<p(x)(y)) = o(dx(x,y)), у £ D, у —> х.

2) Справедлива формула для подсчета площади относительно внутренней меры:

J iJl + \D!p(y)\?dHv(y) = J dWf(x).

D Vr(D)

Здесь is = V — l, а мера "Hp введена в разделе 4.

В следующей теореме впервые исследуются «графики» липшицевых (в субримановом смысле) функций, в частности, поверхиости-*графики», определенные «над группой».

Теорема 29 ([10*, Теорема 3|; см. также [9*[). Пусть D С G — открытое множество, а ф : D —► С — липшицево в субримановом смысле отображение.

1) Для того, чтобы поверхность ¡¿r(D) имела минимальную внутреннюю меру в классе всех поверхностей \r{D) таких, что Xr\dD ~ 7> г&е \ '■ G —► I — липшицево относительно субримановых (квази)метрик отображение, необходимо, чтобы

¡щшт±*н»{х)=о (id

I +

для любого липшицева относительно субримановых (квази)метрик отображения 'ф : G —* i такого, что ip\dD = 02) На отображении ф функционал площади достигает минимального в окрестности значения в классе отображений вида ip + еф, где для ф справедливы (И), если существует

такая константа К > 0, что J-l^.Wb—^(1ИУ{х) > А"!]^]^.

D (l+\DAx)\l)

3) Пусть D — область с гладкой границей, а отображение ф таково, что его вторые горизонтальные производные — измеримые функции. Тогда для того, чтобы поверхность ■¿>r{D) имела минимальную внутреннюю меру в классе всех поверхностей хг(^) шаких,

что Xv\dD — 7> X £ — липшицево отуюсительно субримановых метрик отобра-

жение, ||х — < к, к > 0, необходимо, чтобы

почти всюду. Если же вторые горизонтальные производные отображения кр непрерывны, то необходимо, чтобы (12) выполнялось всюду.

Определение 30 ([10*, Определение 17]; см. также [9*]). Пусть £ — интегральная линия горизонтального векторного поля, И — область с гладкой границей, а отображение (р таково, что его вторые горизонтальные производные — измеримые функции. Субримановой средней кривизной поверхности-«графика» в точке я € й, называется величина

Из результатов [9*, 10*] выводим

Предложение 31 (ср. [10*, Предложение 1]). Пусть £ — интегральная линия горизонтального векторного поля, D — горизонтально достижимая область с гладкой границей, а отображение <р таково, что его вторые горизонтальные производные — измеримые функции. Тогда минимальные (б классе поверхностей, определяемых отображениями вида ф + еф, где ||0|1я.2 ^ поверхности — это поверхности нулевой субримановой средней кривиз-

ны. почти всюду. Если же вторые горизонтальные производные отображения ip непрерывны., то необходимо, чтобы субриманова средняя кривизна была равна нулю всюду.

Приведем пример такой поверхности.

Пример 32. Рассмотрим на R3 структуру группы Гейзенберга Ы1 с полями X, Y, Т и единицей группы в точке (0,0,0), и достроим к ней (в R4 = R3 х R) еще одно горизонтальное векторное поле, линейно независимое с X, Y, Т. Полученную группу обозначим символом Й1. Пусть £ — интегральная линия поля Z, начинающаяся в единице группы. Построим отображение <р : Н1 —» Н1 со значениями на I, как ip(x, у, t) = exp^t — ij^ Z(0) (здесь (x, y, t) — декартовы координаты точки). Из построения видно, что такая же функция исследовалась в |17, Example 3.2]. Из этой же работы следует, что субриманова средняя кривизна r «графика» рг(х: У, t) = ехР у, t) равна нулю для всех точек Н1.

(12)

Заключение. В диссертации разработаны новые оригинальные подходы к исследованию субримановых структур и созданы принципиально новые методы изучения их отображений, позволившие решить сложные задачи общего характера:

1) выведены количественные оценки сравнения локальных однородных групп и пространства Карно — Каратеодори (в том числе и для пространств с весовой фильтрацией), новые и для «гладкого» случая, и доказаны локальные аппроксиыационные теоремы;

2) даны адекватные аналитические выражения для субримановых якобиана и коэффициента конлощади и доказаны формулы площади для липшицевых относительно субримановых (квази)метрик отображений и коплощади для достаточно гладких отображений;

3) исследованы «риманова» и «субриманова» меры на поверхностях-образах и на поверхностях уровня гладких контактных отображений многообразий Карно;

4) для классов поверхностей-«графиков» липшицевых относительно субримановых (ква-зи)метрик отображений, определенных на группах Карно, доказана формула площади и найдены необходимые условия минимальности, а также для ряда случаев найдены достаточные условия, в том числе, в терминах субримановон средней кривизны.

Все основные результаты получены впервые. Результаты о локальных аналитических свойствах геометрии субримановых структур и формуле площади носят законченный характер, что дает возможность активно применять их в постановке и решении разных задач, с возможным применением к прикладным проблемам: результат [8[ можно интерпретировать, как решение задачи теории управления о множестве достижимости. Полученные локальные метрические результаты оказались полезными при исследовании неэквирегулярных пространств, а также при решении задач геометрической теории меры на метрических структурах.

Одна из рекомендаций дальнейшего развития результатов диссертации — уменьшение гладкости отображений в теореме о формуле коплощади, и изучение множеств уровня в минимальных предположениях на гладкость. Для решения этих трудных открытых проблем могут оказаться полезными развитые в ходе доказательства формулы площади для липшицевых отображений идеи и подходы для работы с поверхностями, имеющими достаточно «нерегулярный» характер. Эти и другие результаты дают возможность применить новые методы к работе со многими сложными задачами анализа на метрических структурах. Кроме того, используемый в диссертации новый подход к сложным структурам позволяет в перспек-

тиве применить методы и результаты для исследовании структур сублоренцевой геометрии (см., например, работу Е. вгопё и А. УаяП'еу): неголономного обобщения геометрии Мин-ковского (см., например, [6]), и при решении и описании свойств решений субэллиптических уравнений.

Список публикаций по теме диссертации

1*. Водопьянов, С. К. Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2007. — Т. 413, № 3. - С. 305-311.

2*. Водопьянов, С. К. Формула коплощади для гладких контактных отображений многообразий Карно / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2007. - Т. 417, № 5. - С. 583-588.

3*. Водопьянов, С. К. Формула площади для С'-гладких контактных отображений многообразий Карно / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Доклады академии наук. —

2008. - Т. 422, № 1. - С. 15-20.

4*. Водопьянов, С. К. Субриманова геометрия при минимальной гладкости векторных полей / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2008. — Т. 422, № 5. - С. 583-588.

5*. Водопьянов, С. К. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Доклады академии наук. - 2009. - Т. 427, № 3. - С. 731-736.

6*. Карманова, М. Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори / М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2008. — Т. 423, № 5. - С. 603-608.

7*. Карманова, М. Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно — Каратеодори / М. Б. Карманова // Доклады академии наук. —

2009. - Т 425, № 3. - С. 314-319.

8*. Карманова, М. Б. Пример многообразия Карно с С1-гладкими базисными векторными полями / М. Б. Карманова // Известия вузов. Математика. — 2011. — № 5. — С. 84-87.

9*. Карманова, М. Б. Графики липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно / М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2012. — Т. 445, № 3. — С. 259-264.

10*. Карманова, М. Б. Графики липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно / М. Б. Карманова // Сибирский математический журнал. — 2012. — Т. 53, № 4. - С. 839-861.

11*. Карманова, М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости / М. Б. Карманова // Сибирский математический журнал. — 2014. — Т. 55, № 1. — С. 87-99.

12*. Карманова, М. Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори / М. Б. Карманова // Известия Российской академии наук. Серия математическая. - 2014. - Т. 78, № 3. — С. 53-78.

13*. Карманова, М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости / М. Б. Карманова // Доклады академии наук. — 2014. — Т. 450, № 4. - С. 392-395.

14*. Karmanova, М. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Analysis and Mathematical Physics. - Basel : Birkhauser, 2009. — P. 233-335.

15*. Karmanova, M. An Area Formula for Contact C'-Mappings of Camot Manifolds / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2010. — V. 55, № 1-3. - P. 317-329.

16*. Karmanova, M. A Coarea Formula for Smooth Contact Mappings of Carnot-Caratheodory Spaces / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Acta Applicandae Mathematicae. — 2013. — V. 128, № 1. - P. 67-111.

17*. Karmanova, M. On Local Approximation Theorem on Equiregular Carnot-Caratheodory Spaces / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Proceedings of INDAM Meeting on Geometric

Control and Sub-Riemannian Geometry (Cortona, May 2012). — N. Y. : Springer INDAM Series, 2014. - V. 5. - P. 241-202.

Литература

1. Аграчёв, А. А. Геометрическая теория управления / А. А. Аграчёв, Ю. Л. Сачков. — М. : Физматлит, 2005. — 391 с.

2. Грешнов, А. В. Анализ на квазиметрических пространствах. Теоремы существования и аппроксимации / А. В. Грешнов. — Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2012.

- 232 с.

3. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато / Дао Чонг Тхи, А. Т. Фоменко. — М. : Наука, 1987. — 311 с.

4. Зеликин, М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление / М. И. Зеликин.

- 2-е изд. - М. : Эдиториал УРСС, 2004. - 160 с.

5. Мазья, В. Г. Пространства Соболева / В. Г. Мазья. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1985. — 416 с.

6. Миклюков, В. М. Максимальные поверхности в пространстве-времени Минковского [Электронный ресурс] / В. М. Миклюков, А. А. Клячин, В. А. Клячин. — 530 с. — Режим доступа: http://www.ucliimsya.info/maxsurf.pdf.

7. Рашевский, П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией / П. К. Рашевский // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. — 1938. — Т. 3, № 2. — С. 83-94.

8. Basalaev, S. G. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Caratheodory spaces / S. G. Basalaev, S. K. Vodopyanov // Eurasian Math. J. - 2013. - V. 4, № 2. - P. 10-48.

9. Bellalche, A. Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry // Sub-Riemannian geometry. — Basel : Birkhauser Verlag, 1996. — P. 1-78.

10. Bloch, A. M. Nonholonomic Mechanics and Control / A. M. Bloch. — N. Y. : Springer-Verlag, 2003. - 484 p.

11. Bonfiglioli, A. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians / A. Bonfiglioli, E. Lanconelli, F. Uguzzoni. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2007. — 828 p.

12. Caratheodory, С. Untersuchungen ueber die Grundlagen der Thermodynamik / C. Caratheodory // Math. Ann. - 1909. - V. 67. -P. 355-386.

13. Chow, W. L. Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordung / W. L. Chow // Math. Ann. - 1939. - V. 117. - P. 98-105.

14. Evans, L. C. Measure theory and fine properties of functions / L. C. Evans, R. F. Gariepy.

- Boca Raton : CRC Press, 1992. — 288 p.

15. Federer, H. Geometric Measure Theory / / H. Federer. — N. Y. : Springer, 1969. — 676 p.

16. Folland, G. B. Hardy spaces on homogeneous groups / G. B. Folland, E. M. Stein // Princeton : Princeton Univ. Press, 1982.

17. Garofalo, N. The Bernstein problem in the Heisenberg group [Электронный ресурс] / N. Garofalo, S. D. Pauls. — Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/math/0209065v2.pdf.

18. Goodman, R. W. Nilpotent Lie groups: structure and applications to analysis / R. \V. Goodman // Lecture Notes in Mathematics. — Berlin a. o. : Springer-Verlag, 1976. — V. 562. - 216 p.

19. Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen From Within / M. Gromov // Sub-Riemannian geometry. — Basel : Birkhauser Verlag, 1996. — P. 79-318.

20. Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces / M. Gromov.

— 3rd printing. — Boston : Birkhauser, 2006. — 586 p. — Appendices by M. Katz, P. Pansu, S. Semmes.

21. Hörmander, L. Hypoelliptic second order differential equations / L. Hörmander // Acta Math. - 1967. - V. 119. - P. 147-171.

22. Jurdjevic, V. Geometric Control Theory / V. Jurdjevic // Cambridge Studies in Mathematics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1997. — V. 52. — 492 p.

23. Lie, S. Theorie der Transformationsgruppen. Bd 1-3 / S. Lie, F. Engel. - Lpz., 1888-1893.

24. Liu, W. Shortest paths for sub-Riemannian metrics on rank-two distributions / W. Liu, H. J. Sussman // Mem. Amer. Math. Soc. - 1995. - V. 564.

25. Magnani, V. Differentiability and Area formula on Stratified Lie groups / V. Magnani // Houston J. Math. - 2001. - V. 27. - P. 297-323.

26. Malliavin, P. Stochastic Analysis / P. Malliavin. - N. Y. : Springer, 1997. - 370 p.

27. Mitchell, J. On Carnot-Carathéodory metrics / J. Mitchell // J. Different. Geom. — 1985. -V. 21. - P. 35-45.

28. Montgomery, E. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications / R. Montgomery. — Providence : AMS, 2002. — 259 p.

29. Nagel, A. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties / A. Nagel, E. M. Stein, S. Wainger // Acta Math. - 1985. - V. 155. - P. 103-147.

30. Nielsen, N. C. Optimal Control Methods in NMR Spectroscopy / N. C. Nielsen [et al.]. — Encyclopedia of Nuclear Magnetic Resonance. — Chichester, NY : Wiley, 2010.

31. Pauls, S. D. A Notion of Rectifiability Modeled on Carnot Groups / S. D. Pauls // Indiana Univ. Math. J. - 2004. - V. 53. - P. 49-82.

32. Petitot, J. Neurogéométrie de la vision. Modèles mathématiques et physiques des architectures fonctionelles / J. Petitot. — Paris : Les Éditions de l'École Polytechnique, 2008. - 419 p.

33. Rothschild, L. P. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups / L. P. Rothschild, E. M. Stein // Acta Math. - 1976. - V. 137. - P. 247-320.

34. Villani, C. Optimal Transport. Old and New / C. Villani // Series: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. — Berlin : Springer, 2009. — V. 338. — 978 p.

35. Whiting, J. K. Path Optimization Using sub-Riemannian Manifolds with Applications to Astrodynamics : Ph. D. Thesis / Whiting James Kalani. — Cambridge, MA : Massachusetts Institute of Technology, 2011. - 131 p.

Карманова Мария Борисовна

Метрические аспекты пространств Карно — Каратеодори и применения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 04.09.2014 г. Офсетная печать. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 227.

Отпечатано в ИП Малыгин А. М. пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090