Формулы коплощади на спрямляемых метрических пространствах и пространствах карно-каратеодори тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

КАРМАНОВА Мария Борисовна

ФОРМУЛЫ КОПЛОЩАДИ НА СПРЯМЛЯЕМЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ И ПРОСТРАНСТВАХ КАРНО — КАРАТЕОДОРИ

01 01 01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск —- 2007

003161562

003161562

Работа выполнена в Институте математики им С JI Соболева СО РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Демиденко Геннадий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Цих Август Карлович

Ведущая организация

Санкт-Петербургское отделение Математического института им В А Стэклова

Защита состоится т" 2007 года в 15 — 00 часов на заседа-

нии Диссертационного совета Д003 015 03 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН (630090, г Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан 30 сентября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

А Е Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Известно, что для отображения р К™ Mfc существует понятие дифференциала как линейного отображения L . Мп К* такого, что

<р(у) - <р(х) = Ну - х) + °(у ~ х)

В этом случае L = Dtp(x)

В случае п к, если <р — гомеоморфизм класса С1 и rank D(p(x) — п, то в некоторой окрестности каждой точки х справедливо соотношение

(1 - o(l))\D<f(x)(y - z)\ < |<p(y) - ч>{г)\ < (1 + o(l))\Dcp(x)(y - z)\

Якобиан

j(x, & d=f hm = »Щ) (1)

r-0 \Q{x,r)\

характеризует локальное искажение меры (здесь Dtp*(x) — сопряженный оператор к дифференциалу D(p(x)), и для инъективных отображений имеют место формулы площади и замены переменной

/

J(x,<p)dx = 'Hn(<p(A)), (2)

У и(*>(®)№, ¥>)<&= / и{у)<Жп{у), (3)

и *>(£/)

где А — измеримое, и — открытое множество в Ж™, а и — неотрицательная измеримая функция на <р(£7) (Здесь символ Нп обозначает п-мерную меру Хаусдорфа)

В случае, когда п > к, а ср — отображение класса С1, справедлива формула коплощади

I <р(х)л/йе1(В(р(х)Вр*{х))с1Нп(х) = I <тк(э) J <р{и)апп~к{и),

и Жк <Р~1(а)

(4)

t \ \

где и — открытое множество в К™ Здесь коэффициент коплощади

в (4) характеризует искажение ^-мерной меры пространства в направлении, ортогональном ядру дифференциала В(р(х) при отображении 92 Формула (4) применяется, в частности, в теории регулярности решений уравнений с частными производными, теории внешних форм, теории потоков и в задачах о минимальной поверхности (см , например, [1]) Например, формула Стокса легко может быть получена с помощью формулы коплощади (см , например, [2], [3]) Обобщение теоремы о неявной функции на лишшщевы отображения утверждает [4] (см также [5]), что прообраз Нк-почти каждой точки гбК4 - Я™_А:-спрямляемое

множество Заметим, что утверждение о прообразе точки может быть выведено с помощью формулы коплощади для липшицевых отображений

Впервые формула коплощади была установлена А С Кронродом в 1950 г [6] в частном случае <р М2 ~> Ж Позже, в 1959 г, Н Реёегег [7] обобщил эту формулу на случай липшицевых отображений римановых многообразий, а в 1969 г — на липшицевы отображения спрямляемых множеств евклидовых пространств [4] Результаты, касающиеся формулы коплощади, изложены также в [8], [9], [10] В 1978 г М ОМви-ка доказал аналог формулы коплощади для липшицевых отображений <р Ж™ —» Ет, п.т > к, образ ^(К") которых Нк-а-конечен [11] Бесконечномерный аналог формулы коплощади доказан Н Ахгаик и Р МаШ-ауш'ом в 1988 г [12] для случая пространств Винера Этот результат также изложен в книге [13]

В 2000-2003 гг различные свойства формулы коплощади исследовались для отображений классов Соболева в работах [5], [14], [15], [16]

Как было отмечено ранее, формулы (2) и (4) обобщаются и на случай липшицевых отображения римановых многообразий Самым простым примером риманова многообразия является поверхность в евклидовом пространстве, заданная как образ некоторого открытого множества II с К™ при регулярном отображении, т е , при взаимно-однозначном отображении класса С1, дифференциал которого имеет максимальный ранг

I. Обобщением таких многообразий являются образы измеримых множеств в К™ при липшицевом отображении со значениями в мет-

рическом пространстве Интерес представляют Нп-спрямляемые метрические пространства Метрическое пространство ¥ называется %п-спрямляемым, если существует не более чем счетный набор {Д } липши-цевых отображений, определенных на измеримых множествах {Вг} С К.п, такой, что И.п(¥ \ [](Зг(Вг)) = О Иными словами, пространство ¥

г

с точностью до множества нулевой '/-¿"-меры представимо как объединение образов измеримых множеств Вг при липшидевых отображениях рг Вг —> ¥ Примером Нп-спрямляемого метрического пространства является риманово многообразие с измеримым (но не обязательно непрерывным) римановым тензором, удовлетворяющим некоторому условию невырожденности, а также многообразие с особенностями

Современные тенденции развития геометрической теории меры приводят к необходимости обобщения формул (2) и (4) на метрические структуры как можно более общей природы, такие как, например, многообразия с особенностями В этом направлении нами получены следующие результаты

Здесь М£)(<р,ж), ¿Г((р,х), — метрические дифференциал,

якобиан и коэффициент коплощади, они являются обобщениями дифференциала, якобиана и коэффициента коплощади, ¥ — "^'-спрямляемое метрическое пространство, в формуле (5) X — метрическое пространство, а в (6) — Нк-спрямляемое метрическое пространство, п > к, а функция /, принимающая значения в произвольном банаховом пространстве, такова, что произведение $(х)Л(МП(<р,х)) интегрируемо Геометрический смысл метрических якобиана и коэффициента коплощади — искажение соответственно И^-меры и Т^-меры, а метрический дифференциал — полунорма на К™, для каждого направления и € §га-1

I Лч>,х)йНп{х) = I М{у,у,Ч)<Жп{у),

(5)

¥

X

определенная следующим образом

MD(ip,x)(u)— Inri

ш

dx(<p(x + (Зи), íp(x + аи))

\<*-Р\

В случае, если X = Kn, MD(ip, х)(и) равен норме производной в направлении и

Определение метрического дифференциала, или т-дифференциала, введены L Ambrosio [17] в 1990 г для кривых в метрическом пространстве В этой же работе доказана метрическая дифференцируемость лип-шицевых кривых в метрическом пространстве См также результаты о метрической дифференцируемости и длине кривых в книге [18] Понятия метрического дифференциала и метрического якобиана для отображений, определенных на Rn, п > 1, введены В Kirchheim'oM [19] в случае липшицева отображения открытого множества в Жп в метрическое пространство Он решил также вопрос, связанный с формулой площади в этом случае

Аналитические выражения для якобиана и коэффициента коплоща-ди показывают, что дифференциал отображения tp — инструмент для описания искажения меры Известно, что в общем случае в метрическом пространстве нет линейной структуры, поэтому понятие дифференцируемости нельзя вводить в обычном смысле Заметим, что для того, чтобы найти локальное искажение меры отображения (р Кп —> Rm, достаточно найти значения полунормы || \\dv(x) на ¡§n_1 и затем применить соотношения

где С}(х,г) — куб в Кп, а где 1 — единичная сфера в М71 Заметим также, что

где ¿е — евклидово расстояние Очевидно, в (7) и (8) не используется линейная структура образа Поэтому такой подход может быть исполь-

r-o \Q{x,r)\

\\DV{x){u)\\= lim

|а—>0, а<0</3

dsi'pix + /3u), ip(x + аи))

(8)

зован и для случай липшицевых отображений со значениями в метрическом пространстве

Вопросы, связанные с доказательством (5) и (6) рассматривались в работе L Ambrosio и В Kirchheim'a в 2000 году Формулы, о которых идет речь, были доказаны в частном случае, т е , когда область определения отображения — '^"-спрямляемое метрическое пространство, а область значений — соответственно сепарабельное метрическое пространство или Kfc, п ^ к.

Одним из основных методов, использованных в этих работах, — изометрическое вложение метрического пространства в банахово Он позволил в первой работе свести случай измеримого множества к открытому, а во второй — линеаризовать задачу

В тонких задачах анализа представляет интерес внутренний метод исследования свойств метрического дифференциала, без использования изометрических вложений Такой подход существенно отличается от подхода работы [20] Отметим, что недавно были разработаны «внутренние» методы для исследования задач геометрической теории меры на сложных геометрических структурах [21], [22] Поэтому нахождение «прямых» методов для работы с отображениями, определенными на измеримых множествах и их метрическими образами, а не с изометрическими вложениями в бесконечномерное банахово пространство, представляет особый интерес Разработка «прямых» методов позволила нам получить более общие результаты сравнительно с результатами работ [19], [20]

Как упоминалось ранее, нами доказана формула коплощади для отображений, определенных на "-спрямляемом метрическом пространстве со значениями в ~Нк-спрямляемом метрическом пространстве, тогда как в работе [20] эта формула доказана для отображений со значениями в евклидовом пространстве Созданный новый метод можно рассматривать как обобщение подхода к задачам геометрической теории меры, изложенного в [23] для отображений евклидовых пространств класса С1 Рассматриваемая нами ситуация является существенно новой из-за того, что в образе возникает множество нулевой меры, которое не «параметризуется» отображениями подмножеств и доказательство того, что такое множество не влияет на левую часть формулы коплощади, является отдельной сложной задачей

Заметим, что в (6) размерность ядра т-дифференциала не менее п — к почти всюду на Е т-Коэффициент коплощади для отображения, заданного на К71, определяется как

I (9)

З^-^СкегСМД^.ж)))1-

где 1 — единичная сфера в Мп

Предположим теперь, что формула (6) справедлива для липшице-ва отображения ц> Е —* X, где X — произвольное метрическое пространство Возникает естественный вопрос о геометрических свойствах метрического пространства X, обусловленных выполнением (6) Нами найдены необходимые и достаточные условия на образ и прообраз лип-шидева отображения для справедливости формулы коплощади (6) В частности, показано, что И^-спрямляемость образа — не только достаточное, но и необходимое условие

Основное средство исследования при решении этой задачи — доказанный нами метрический аналог теоремы о неявной функции, утверждающий, что почти все множества уровня липшицева отображения, определенного на измеримом множестве в К", такого, что размерность ядра его метрического дифференциала не менее п — к почти всюду, Пп~к -спрямляемы

Сначала мы рассматриваем липшицевы отображения, определенные на измеримом множестве Е с К" и принимающие значения в произвольном метрическом пространстве X, такие, что Фткег(М£>(^,ж)) > п — к для "Нта-почти всех х е Е Такие требования на 1р минимальны, так как, во-первых, множества нулевой Н^-меры не влияют на интегралы в формуле коплощади [4], [24], и, во-вторых, из определения т-коэффициента коплощади (9) следует, что размерность ортогонального дополнения ядра т-дифференциала не должна превышать к на Е почти всюду

В ходе решения задачи мы установили, что если образ <р{Е) является Лк-<г-конечным, то <11ткег(М&(<р,х)) п — к 7т?"-почти всюду Следовательно, класс рассматриваемых нами отображений включает отображения, рассмотренные в работе [11]. В качестве следствия мы установили, что формула коплощади справедлива и для отображений

<р, принимающих значения в метрическом пространстве, образ которых Т^-ст-конечен, и для которых верно dim ker MD(ip, х) < n — к почти всюду

Как упоминалось ранее, разработанные нами методы имеют более широкую область применения Например, с помощью этих методов доказан аналог теоремы Степанова, т е , m-дифференцируемость более широких классов отображений сравнительно с ситуацией, рассмотренной в [19] Далее, введен аналог аппроксимативной метрической диффе-ренцируемости и установлена (аппроксимативная) метрическая диффе-ренцируемость отображений, обладающих одним из следующих свойств

для почти всех х € Е Используя эти результаты, мы доказали формулы площади и замены переменной для более широких классов отображений, определенных на измеримом множестве Е с И™ со значениями в метрическом пространстве

Известно [25], что непрерывные квазимонотонные отображения класса Соболева [26] X) и непрерывные отображения класса Соболева "И/911ос(0, X), q > п, обладают свойством (10) и Л/"-свойством, поэтому формулы площади и замены переменной для них выглядят так же, как и в случае липшицевых отображений Отображения классов Соболева X), # > 1 (в случае, если X — сепарабельное метрическое пространство) и отображения класса ВУ [17] со значениями в метрическом пространстве обладают свойством (11) [27], [28], и для них, как и для всех отображений с таким свойством, имеет место следующее равенство

где Т,,р С Е, = 0, а принимающая значения в произвольном банаховом пространстве функция и такова, что произведение и{1р{х))^{МО&р(<р,х)) интегрируемо

(10)

(П)

J u(cp(x))J'(MD3,p(ip,x))dx = J u(y)N(V,y,A\Vv)dnn(y)

A X

Все результаты о необходимых и достаточных условиях распространены на отображения, определенные на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, область определения которых с точностью до множества нулевой меры представима как объединение счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых отображение лшшшцево

Для отображений, определенных на спрямляемых метрических пространствах, определения метрических якобиана и коэффициента коплощади вводились следующим образом Известно, что для отображений <р Шп —> Rm и ф <р(Шп) —> Ш1 справедливо цепное правило D(ifi о ip){x) — Dijj(ip(x)) о D<p(x) и, следовательно, якобиан суперпозиции равен произведению якобианов Это свойство мотивировало следующее определение якобиана отображения ip, определенного на Цп-спрямляемом метрическом пространстве ¥

лмр{уо(з„1з7нт

кроме того, показано, что оно не зависит от выбора отображения [З3 (здесь ¡30 — одно из «параметризующих» отображений)

Определение m-коэффициента коплощади формулируется с помощью тех же соображений, что и (12)

II. Все вышеперечисленные результаты были связаны со спрямляемыми метрическими пространствами, структура которых напоминала структуру римаповых многообразий Но существуют также и неспрям-ляемые метрические пространства, геометрия которых не может быть сравнима с римановой Особый интерес представляют пространства Карно — Каратеодори Субриманова геометрия естественно возникает в теории субэллиптических уравнений, контактной геометрии, теории оптимального управления, неголономной механике, нейробиологии и других областях [21,23,29-39] Таким образом, эта теория имеет множество приложений Кроме того, в ней известно много внутренних нерешенных задач Одной из таких задач является задача об аналоге формулы коплощади на субримановых структурах

Известные частные случаи пространств Карно — Каратеодори — это группа Гейзенберга и группа Карно В 1982 г Р Pansu доказал формулу коплощади для функций, определенных на группе Гейзенберга [40] Да-

лее, в работе [41] J Hemonen распространил эту формулу для гладких функций, определенных на группе Карно Аналог формулы коплоща-ди доказан для .ВУ-функций, определенных на пространствах Карно — Каратеодори, в работе R Monti и F Serra Cassano [42] Еще один результат, касающийся доказательства аналога (4), принадлежит V Magnani В 2000 г он доказал неравенство коплощади для отображений групп Карно [43]. Равенство было доказано только для случая отображения группы Гейзенберга в евклидово пространство Ш.к [44] До настоящего момента вопрос о справедливости формулы коплощади для отображений нильпотентных групп был открыт даже для модельного случая отображения двух групп Гейзенберга

Мы доказываем формулу коплощади для контактных гладких отображений <р Mi —» М2 многообразий Карно Заметим, что все полученные результаты являются новыми и для частного случая пространств Карно — Каратеодори групп Карно

Как упоминалось ранее, впервые аналог формулы коплощади для неголономного случая был рассмотрен в работе Р Pansu [40] Основная идея (которая потом использовалась и в работах других авторов) состояла в доказательстве субримановой формулы коплощади через ри-манову

Здесь N1^2 — топологические, а V 1,^2 — хаусдорфовы размерности соответственно прообраза и образа, известно, что в субримановом случае топологические и хаусдорфовы размерности отличаются Как видно из (13), для осуществления этой идеи требуется понять, как соотносятся меры на самих пространствах и множествах уровня, а также рима-нов и субриманов коэффициенты коплощади Известно, что вопрос о

и

сравнении мер на пространствах решается довольно просто, тогда как исследование геометрии множеств уровня, а также нахождение субри-манова коэффициента коплощади нетривиальны Основные проблемы связаны со спецификой субримановой метрики Неэквивалентность ри-мановой и субримановой метрик проявляется, в частности, в том, что «риманов» радиус субриманова шара радиуса г может меняться от г до гм, М > 1, где константа М зависит от структуры пространства Таким образом, сразу возникает вопрос, насколько «хорошо» касательная плоскость приближает множество уровня (так как «обычного» порядка касания о(г) здесь, очевидно, не достаточно поверхность уровня может «выскочить» из шара раньше, чем требуется), а также существует ли субриманова метрика такая, что можно описать геометрию пересечения шара с поверхностью уровня Но даже при наличии ответов на эти вопросы возникает еще один как соотносятся хаусдорфова размерность образа с мерой пересечения шара и поверхности уровня.

В данной работе мы решаем все перечисленные проблемы В первую очередь, все точки, в которых дифференциал отображения не вырождается, разделены на два множества регулярное и характеристическое Далее, мы определяем такую субриманову метрику с?2, используя которую можно посчитать меру пересечения шара и касательной плоскости Построение с?2 основано на том, что шар в этой метрике «асимптотически» равен декартову произведению евклидовых шаров

В£(х,г)ыВП1(х,г)хВп*(х,г'2)х х Впм{х,гм), М > 1,

где И, пг, г = 1, , М, — (топологические) размерности шаров, и при пересечении плоскостью форму получившегося множества определить достаточно легко (в отличие, например, от случая, если шары заменить па кубы, так как кубы имеют разные формы сечений) При исследовании приближения поверхности уровня касательной плоскостью вводится «смешанная» метрика, обладающая как римановыми, так и субримановыми свойствами Нами доказано, что в точках регулярного множества касательная плоскость приближает поверхность уровня достаточно хорошо относительно этой метрики, откуда возникает возможность вычисления (римановой) меры этого пересечения, которая, кстати, выражается через хаусдорфову размерность образа она сравнима с г1'1-"2 Из этих результатов мы получаем соотношение мер в

регулярных точках множеств уровня

Несколько сложнее обстоит дело с характеристическим множеством, так как именно в точках этого множества возникает эффект «скачка» поверхности из шара, и поэтому здесь нельзя ориентироваться на меру пересечения шара и касательной плоскости Заметим также, что во всех перечисленных работах прообраз имеет групповую структуру, которая существенно используется в доказательстве того, что мера всех характеристических точек на множестве уровня равна нулю В случае отображения пространств Карно — Каратеодори групповой структуры, вообще, нет ни в образе, ни в прообразе, а аппроксимация пространства локальной группой Карно недостаточна для адаптации разработанных методов Мы решаем эту задачу с тем предположением, что «дополнительные» поля, на которых вырождается Не-дифференциал отображения <р в характеристических точках, обладают следующим свойством если в Нк/Нк-\(х) (см определение ниже) количество таких «дополнительных» векторов равно Шк > 0, то существуют тк векторов из Н1к/Н1к-\{х) такие, что их образы имеют степень к, они линейно независимы между собой и с образами Н1к-\{х) Нами создан новый «внутренний» метод исследования свойств характеристического множества В частности, показано, что в характеристических точках Н1*1~1*2-мера пересечения субриманова шара и касательной плоскости к множеству уровня эквивалентна г в степени — щ(х) < ь>\ — г^г Далее, доказано, что Н^1_^2-мера пересечения поверхности уровня с субримановым шаром сколь угодно велика по сравнению с г"1-"2, то есть, эквивалентна г р1^2 (но не обязательно эквивалентна г"1*"0^) Отсюда мы выводим, что пересечение характеристического множества с каждым множеством уровня имеет нулевую Н"1_"2-меру

Автор выражает благодарность научному руководителю С К Водопьянову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и неоценимую помощь в развитии различных возможностей и улучшении результатов, возникших в ходе решения задачи Автор благодарит В КнгсЬ-Ьеша'а за указание на статью [11]

ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель работы состоит в том, чтобы 1) получить необходимые и достаточные условия для справедливости формулы коплощади для липшицевых отображений, определенных

на ^"-спрямляемых метрических пространствах со значениями в произвольном метрическом пространстве,

2) доказать формулу коплощади для гладких контактных отображений пространств Карно —- Каратеодори

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ В работе развиты новые методы работы с измеримыми множествами, метрическими пространствами, структурами неголономиой геометрии, гладкими контактными отображениями пространств Карно — Каратеодори Использованы также классические методы анализа

НАУЧНАЯ НОВИЗНА Все основные результаты, полученные в диссертации, являются иовыми и снабжены строгими доказательствами

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Результаты работы имеют теоретическое значение Методы и результаты работы могут быть применены в теории уравнений с частными производными, в геометрической теории меры, теории метрических пространств, пространств Карно — Каратеодори, в решении задач о минимальных поверхностях на неголономных структурах и др

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты диссертации докладывались на XLII - XLV Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 - 2007 гг, 4 Диплома первой степени), на Международной школе-конференции, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 3 сентября 2004 г), на Российской конференции, посвященной 50-летию Института математики им С JI Соболева СО РАН «Математика в современном мире» (Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г), на Международных конференциях «Analysis on Metric Measure Spaces» (B§dlewo, Poland, July 15 - 23, 2004), «Analysis and Partial Differential Equations» (B§dlewo, Poland, June 19 - 23, 2006), «Geometric Analysis and Applications» (Urbana — Champaign, USA, July 12 - 15, 2006), «Global Differential Geometry and Applications» (Munster, Germany, August 14 -19, 2006), International Congress of Mathematicians (Madrid, Spam, August 21 - 30, 2006), «New Trends m Complex and Harmonic Analysis» (Voss, Norway, May 7 -12, 2007), «Geometric Analysis and Nonlinear PDE 2007» (B§dlewo, Poland, June 3 - 10, 2007), «Geometric Function Theory and Nonlinear Analysis» (Naples, Italy, October 11 -14, 2007), на Международных школах «School on Neuromathematics and Vision» (Pisa, Italy,

September 4-9, 2006), «5th School On Analysis on Metric Spaces», Trento, Italy, June 24 - 29, 2007

По результатам работы получены две первых премии на конкурсе им. М. А. Лаврентьева (2005, 2006 гг), и медаль на Открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (2005 г)

ПУБЛИКАЦИИ Результаты диссертации опубликованы в [47-72] ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 81 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Цель первой главы — доказательство формулы коплощади (6) для лишницевых отображений, определенных на ^"-спрямляемых метрических пространствах, принимающих значения в Т-^-спрямляемом метрическом пространстве, п ^ к, и формулы площади для липшицевых отображений, определенных на 7in-спрямляемых метрических пространствах, принимающих значения в произвольном метрическом пространстве Прежде всего мы формулируем все основные определения и вспомогательные теоремы, необходимые для доказательства (теоремы о дифференцируемое™, теоремы о свойствах метрического дифференциала, а также некоторые известные теоремы [4]) Сначала мы рассматриваем случай, когда отображение определено на измеримом множестве в R" Далее, мы отделяем от области определения отображения «регулярную» часть и доказываем формулу коплощади для «регулярного» случая, соответствующего отображению класса С11 дифференциал которого имеет максимальный ранг В этом доказательстве существенно используется доказанный нами аналог «цепного правила» для якобианов и коэффициентов коплощади отображений со значениями в метрическом пространстве Затем мы показываем, что оставшаяся часть области определения не влияет на интегралы в формуле (6) В частности, нами доказано, что множество нулевой меры в образе (которое может быть и не «параметризуем мо» липшицевыми отображениями евклидова пространства) не влияет на формулу коплощади В этой же главе мы обобщаем формулу коплощади и формулу площади на липшицевы отображения, определенные па Нп-спрямляемом метрическом пространстве При доказательстве основных результатов первой главы существенно развиты методы работы [23]

Во второй главе мы показываем, что Тт^-спрямляемость образа —-не только достаточное условие для справедливости формулы (6), но и необходимое

Теорема Если формула коплощади справедлива, то его образ равен объединению "Нк -спрямляемого метрического пространства, образа множества нулевой Лп-меры и образа множества вырождения Z метрического дифференциала, причем

J dHn~k{u) = О

<p-1(z)nZ

для Ик-почти всех z € X (Здесь и далее Z = {х 6 Е dim ker MD(ip, х) > n-k} )

Для этого мы устанавливаем метрический аналог теоремы о неявной функции

Теорема Существует такое множество Е сЕ, что Нп (Е) = О, и множество <p~1(z)\(Z UE) лежит в объединении счетного числа образов измеримых множеств в R™~fe при липшицевых отображениях, в частности, оно — Нп~к -спрямляемо для всех z € X

Этот результат затем используется для доказательства того, что если формула (6) справедлива, то образ 7ik-спрямляем. Идея доказательства состоит в разбиении области определения с точностью до множества нулевой меры на счетное число подмножеств, образ каждого из которых совпадает с образом некоторого fc-мерного множества, т е , ■^-спрямляем

Нами также найдены условия на прообраз отображения, точнее, на свойства локального искажения отображения, необходимые и достаточные для справедливости формулы коплощади Известно, что для гладких отображений ip Мга —► Rfe, п ^ к, локальные искажения Нк-меры как в fc-мерном направлении, ортогональном ядру дифференциала, так и всего пространства, совпадают Иными словами,

hm Пк(<р(Вк{х,г))) = bm Пк{<р{В{х,г))) ^

г—»0 U>kTk г-* 0 U>kT~k '

где Вк(х,г) = В(х,г) П (х 4- (ker D^x))1-) Оказывается, что в случае, когда липшицево отображение, размерность ядра метрического диффе-

ренциала которого равна п — к почти всюду, обладает похожим свойством, то справедлива формула коплощади Это же условие является также необходимым

Еще один критерий справедливости формулы коплощади также доказан для отображений, размерность ядра метрического дифференциала которых равна п — к почти всюду Здесь рассматривалась близость множеств уровня к (п — &)-мерным плоскостям Нами доказано, что при выполнении некоторых условий на локальную меру поверхностей уровня формула коплощади также имеет место Из этого результата вытекает обобщение на липшицевы отображения со значениями в метрическом пространстве результата [11] о формуле коплощади для отображений, образ которых Т-^-ст-конечен

Теорема Пусть образ <р{Е) Нк-а-конечен, и <кткег(М1)(ср, ж)) ^ п — к почти всюду Тогда для отображения <р справедлива формула коплои1,ади

Все вышеперечисленные результаты обобщаются на отображения, определенные на Нп-спрямляемом метрическом пространстве

В конце главы мы замечаем, что при выполнении некоторых условий эти результаты справедливы для случая пространства с «метрикой», не удовлетворяющей неравенства треугольника Мы также строим пример такого пространства и отображения, для которого не выполнен критерий справедливости формулы коплощади, и для которого ни формула коплощади, ни одно из утверждений критерия, не выполняются

В третьей главе мы доказываем сформулированные в первых главах теоремы о метрической дифференцируемости и свойствах метрического дифференциала. Заметим, что доказательство метрической дифференцируемости липшицевых отображений, определенных на измеримых множествах в М™, была доказана В КдгсЬЬенп'ом с помощью изометрических вложений Мы приводим «прямое» доказательство в параграфе 3 1 Также «прямыми» методами доказана формула площади Затем мы формулируем и доказываем метрический аналог теоремы Степанова, вводим понятие аппроксимативной метрической дифференцируемости и доказываем соответствующую теорему В частности, доказано, что отображения класса Ф(Е,Х), Е С Кта, область определения Е которых с точностью до множества нулевой Н"'-меры представима в виде объединения счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых

отображение линшицево, аппроксимативно метрически дифференцируемы Мы показываем, что так как отображения классов Соболева [26] и ВУ-отображения [17] со значением в метрическом пространстве принадлежат классу Ф, то для них справедливы результаты о формулах площади и коплощади Окончательно, результаты первой и второй глав распространены на отображения класса Ф(¥, X), где ¥ — ^"-спрямляемое метрическое пространство

Глава 4 посвящена доказательству формулы коплощади для гладких контактных отображений пространств Карно — Каратеодори

Определение Связное дифференцируемое риманово С°°-многообразие М размерности N называется пространством Карно — Каратеодори, если выполняются приведенные ниже свойства 1-4 Предположим, что в касательном расслоении ТМ существует касательное подрассло-ение НМ, удовлетворяющее следующему свойству Существует конечный на бор натуральных чисел dim НМ = dim Н\ < < dim Н, < < dim Нм = N, 1 < г < М, я для каждой точки ре. М существует окрестность U с м с набором С1-гладких векторных полей Х\, , Хщ на U таких, что во всех точках v 6 U

1) Xi(v), , XN(v) образуют базис TvМ,

2) Нг(v) = span{Xi(w), , Xdlm hSv)\ ~ подпространство TVM размерности dim Нг,

3) = Yj Cijk(v)Xk(v), где степень degXk

deg Xk <deg X,+deg X3

определяется как mm{m | Xk € Hm},

4) фактор-отображение [ , j0 Hi/Но x H3/H:j~i ¡-> H]+i/H3, Hq = {0}, индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом для всех 1 < 3 <М

Пространства Карно — Каратеодори являются метрическими пространствами, но они неспрямляемы и их структура не эквивалентна римановой, поэтому особый интерес представляют отображения, определенные на пространствах Карно — Каратеодори Прежде всего, мы даем необходимые определения и формулируем результаты о свойствах пространств Карно — Каратеодори и о субримановом аналоге дифференцируемое™, или /ic-дифференцируемоети [21, 23,45,46] Мы исследуем свойства как классического, так и субриманова дифференциала, и изучаем их взаимосвязь В частности, все точки области определе-

ния поделены на три множества множество вырождения классического дифференциала, множество, в точках которого кс-дифференциал имеет максимальный ранг (регулярное множество), и множество, в точках которого классический дифференциал имеет максимальный ранг, а ранг Лс-дифференциала не максимален (характеристическое множество) В параграфе 4 2 мы исследуем локальное поведение римановой меры на поверхностях уровня в окрестности регулярной точки в частности, мы показываем, что мера пересечения субримаиова шара как касательной плоскостью к поверхности, так и с самой поверхностью, — одна и та же величина с точностью до множителя 1 + о(1) Основной результат этого параграфа содержится в следующей теореме

Теорема Пусть х е ¡р~1(г) — регулярная точка Тогда

где g — риманов тензор, D(p — he-дифференциал отображения ц>, символ |А| для матрицы А означает л/det АА*, а о(1) —> 0 при г —> О

Отсюда мы получаем соотношение мер в регулярных точках множества уровня

Теорема Производная «римановой» меры относительно субрима-новой на множестве уровня в регулярной точке равна

Этот результат мотивирует определение субриманова коэффициента коплощади

Определение Субриманов коэффициент коплощади для Нс-диф-ференцируемого отображения <р равен

HNl-N*(<P~4z)nBoxd2(x,r))

= Ыыг*<.)1 ГК-г jf^1^1^1»'

Ml

Jn?{<P>*) = ФФ)\

UVl UJNi Ml

n*.

11 ^rik-fik k=1

В параграфе 4 3 мы доказываем, что характеристическое множество не влияет на правую часть в формуле коплощади, в частности, для всех точек в образе мера Хаусдорфа НУ1 ~v'1 пересечения соответствующего множества уровня и характеристического множества равна нулю. В параграфе 4 4 мы показываем, что множество вырождения дифференциала не влияет на обе части формулы коплощади Окончательно, в параграфе 4 5 мы выводим субриманову формулу коплощади

Теорема Пусть ip Mi —> М2 — гладкое контактное отображение пространств Карно — Каратеодори Пусть еще dim Mi ^ dim М2 и dim iJMi > dim ДГМ2 Тогда справедлива формула

где f Mi —> Е (Е — произвольное банахово пространство) — такая функция, что отображение f(x)jß^(ip,x) интегрируемо

Список литературы

[1] Federer Н, Fleming W Н Normal and Integral Currents // Ann Math , 1960 V 72 № 2 P 458-520

[2] Водопьянов С К Теория интеграла Лебега записки лекций по математическому анализу Новосибирск Изд-во НГУ, 2003

[3] Миклюков В М Геометрический анализ Волгоград Изд-во ВолГУ,

[4] Federer Н Geometric Measure Theory NY Springer, 1969

[5] Hajlasz P Sobolev mappings, co-area formula and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S К Vodopyanov, ed ), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000, pp 227-254

[6] Кронрод А С О функциях двух переменных // Успехи Мат Наук

Mi

М2 ¥>_1(i)

2007

(N S ) 1950 Т 5 С 24-134

[7] Federer H Curvature measures // Trans Amer Math Soc , 1959 V. 93 P 418-491

[8] Evans L С, Ganepy R F Measure theory and fine properties of functions CRC Press, Boca Raton, 1992

[9] Giaquinta M, Modica G , Soucek J Cartesian currents m the calculus of variations V I, II Springer-Verlag, Berlin, 1998

[10] Lin F and Yang X Geometric measure theory — an introduction Science Press, Beijing а о , 2002

[11] Ohtsuka M Area Formula//Bull Inst Math Acad Simca, 1978 V 6, № 2, part 2 P 599-636

[12] Airault H, Malhavm P Intégration géométrie sur l'espace de Wiener // Bull Sci Math , 1988 V 112 P 3-52

[13] Malhavm P Stochastic Analysis Springer, NY, 1997.

[14] Maly J Coarea Integration m Metric Spaces j ] Proceedings of the Spring School (Prague, 2002), (B Opic, J Rakosnik, eds ), Nonlinear analysis, function spaces и applications, vol 7, Math Inst of the Academy of Sciences of Czech Republic, Prague, 2003 P 142-192

[15] Maly J Coarea properties of Sobolev functions // Function spaces, differential operators и nonlinear analysis (Teistungen 2001), Birkhuser, Basel, 2003 P 371-381

[16] Maly J, Swanson D , Zierner W P The Coarea Formula for Sobolev Mappings 11 Trans Amer Math Soc , 2003 V 355 №2 P 477-492

[17] Ambrosio L Metric space valued functions of bounded variation 11 Ann Scuola Norm Sup Pisa CI Sci (4), 1990 V 17 № 3, P 439-478

[18] Бураго Д Ю., Бураго Ю Д, Иванов С В Курс метрической геометрии Москва — Ижевск Институт компьютерных исследований, 2004

[19] Kirchheim В Rectifiable metric spaces local structure and regularity of the Hausdorff measure // Proc AMS , 1994 V 121 P 113-123

[20] Ambrosw L , Kirchheim В Rectifiable sets in metric and Banach spaces // Math Ann , 2000 V 318 P 527-555

[21] Водопьянов С К Дифференцируемость кривых в категории многообразий Карно // Докл АН, 2006 Т 410 № 4 С 1-6

[22] Водопьянов С К Геометрия пространств Карно — Каратеодори, квазиконформный анализ и геометрическая теория меры // Владикавказ мат журн , 2003 Т 5 № 1 С 14-34

[23] Водопьянов С К Дифференцируемость отображений многообразий Карно и изоморфизм касательных конусов // Докл АН, 2006 Т 411 № 4 С 439-443

[24] Davies R О Increasing sequences of Sets and Hausdorff measure // Proc London Math Soc (3), 1970 V 20 P 222-236

[25] Vodopyanov S. K. P-differentiability on Caxnot groups m different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (Edt S K. Vodopyanov), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000, pp 603-670

[26] Решетняк Ю Г Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб мат журн , 1997 Т 38 № 3 С 567-583

[27] Ambrosio L and Kirchheim В Currents m metric spaces // Acta Math , 2000 V 185 №1 P 1-80

[28] Водопьянов С К, Исангулова Д В Дифференцируемость отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии Соболева и W-топологии // Сиб мат журн, 2007. Т 48 № 1 С 46-67

[29] Nagel А , Stem Е М, Wamger S Balls and metrics defined by vector fields I Basic properties // Acta Math , 1985 V 155 P 103-147.

[30] Gromov M Carnot-Caratheodory Spaces Seen From Within //In Sub-Riemannian geometry Basel, Birkhauser Verlag, 1996 P 79-318

[31] Bellaiche A Tangent Space in Sub-Riemanman Geometry //In Sub-Riemannian geometry Basel, Birkhauser Verlag, 1996 P 1-78

[32] Montgomery R A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications Providence, AMS, 2002

[33] Marguhs G A , Mostow G D The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geometric and Functional Analysis, 1995 V 5 №2 P 402-433.

[34] Margulis G A , Mostow G D Some remarks on the definition of tangent cones m a Carnot-Caratheodory space // Journal D'Analyse Math , 2000 V 80 P 299-317

[35] Agrachev A , Mango A Nonholonomic tangent spaces, intrinsic construction and rigid dimensions / / Electron Res Announc Amer Math Soc , 2003 V 9 P 111-120

[36] Jean F Uniform estimation of sub-nemanman balls // Journal on Dynamical и Controle Systems, 2001 V 7 №4 P 473-500

[37] Водопьянов G К, Грешное ABO дифференцируемости отображений пространств Карно —Каратеодори//Докл АН, 2003 Т 389 № 5 С 592-596

[38] Citti G , Sarti A A cortical based model of perceptual completion m the roto-translation space // Lecture Notes of Semmario Interdisci-plmare di Matematica, 2004 V. 3 P 145-161

[39] Hladky R К, Pauls S D Minimal surfaces m the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model // arXiv math DG/0509636, 27 Sep 2005

[40] Pansu P Geometrie du group d'Heisenberg Umv Paris VII, 1982

[41] Hemonen J Calculus on Carnot groups //In Fall school m analysis (Jyvaskyla, 1994) Jyvaskyla, University of Jyvaskyla, 1994 P 1-32

[42] Monti R and Serra Cassano F Surface measures m Carnot-Carathedory spaces // Calc. Var Partial Differential Equations, 2001 V 13, № 3 P 339-376.

[43] Мадпапг V Elements of Geometric Measure Theory on sub-Riemannian groups // Tesi di Perfezionamento Pisa Scuola Normale Superiore (Thesis), 2002

[44] Мадпапг V Blow-up of regular submamfolds m Heisenberg groups and applications // Cent Eur J Math 2006 V 4 №1 P 82-109

[45] Vodopyanov S Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings / / Contemporary Mathematics 2007 V 424 In «The Interaction of Analysis and Geometry» P 247-301

[46] Водопьянов С К Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб мат журн , 2007 Т 48. № 2. С 251271

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[47] Карманова М В Метрическая дифференцируемость отображений // Материалы XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004 С 70-73 I место

[48] Карманова М Б Метрический дифференциал и его свойства // Труды XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004 С 186-193

[49] Karmanova Maria Area and coarea formulas on rectifiable sets m metric spaces and Sobolev mappings / / Abstracts of the conference «Analysis on Metric Measure Spaces», B§dlewo, Poland, July 15 - 23, 2004 P 17.

[50] Karmanova M В Metnc Differentiability of Mappings and its Applications // Тезисы Международной школы-конференции по анализу и

геометрии, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетника, 23 августа - 2 сентября 2004 г Изд-во Ин-та математики им С JI. Соболева СО РАН, 2004 С 124-126

[51] Карманова М Б Метрическая дифферендируемость отображений и геометрическая теория меры // Докл АН. 2005 Т 401 № 4 С 443-447

[52] Карманова М Б Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2005 С 72-75 I место

[53] Карманова М. Б Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве / / Материалы Межвузовской научной студенческой конференции, Изд-во НГУ, 2005

[54] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // Тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию академика С М Никольского, 23 - 29 мая 2005 г Изд-во Математического института им В А Стеклова РАН, 2005 С 305

[55] Karmanova Maria Foundations of Geometric Measure Theory m Metric Spaces // Abstracts of International Conference on Complex Analysis and Related Topics, The Xth Romanian-Finnish Seminar (Cluj-Napoca, Romania, August 14 - 19, 2005) Editura GIL Zalau, 2005 P 33-34

[56] Карманова M Б. Теорема о неявной функции и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Тезисы конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной памяти профессора И П Митюка, г Краснодар, Россия, 11 - 17 сентября 2005 г Изд-во КубГУ, 2005 С 51-53

[57] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Goarea Formula for Metric-Valued Mappings 11 Abstracts of the Conference «Complex analysis and Dynamical Systems III» Nahariya, Israel, January 2-6, 2006

[58] Карманоеа M В Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Докл АН, 2006 Т 408 № 1 С 16-21

[59] Карманоеа МБ О метрической геометрии пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2006 С 13 I место

[60] Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // International conference «Analysis and Partial differential Equations», dedicated to 75th anmveisary of Academician Bogdan Bojarski, B§dlewo, June 19 - 23, 2006 Abstracts, P 21 http //www impan gov pl/~bbc/abstracts/booklet pdf

[61] Maria Karmanova Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // International conference «Geometric Analysis and Applications», University of Illinois at Urbana - Champaign, July 12 -15, 2006 Abstracts

http //www math uiuc edu/^tyson/Abstracts2006 html#karmanova

[62] Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the International Conference «Global Differential Geometry and Applications», Munster, Germany, August, 14 - 19, 2006 Abstracts http'//geo06 uni-muenster de/download/SectionThu33 pdf

[63] Maria Karmanova Geometric Measure Theory on Metric Structures // International Congress of Mathematicians 2006 Abstracts of short communications, Poster sessions and Mathematical Software (Madrid, Spam, Aug 21 - 30, 2006) EMS 2006 P 332-333

[64] Водопьянов С К, Карманоеа М В Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости // Докл АН, 2006 Т 413 №3 С 305-311

[65] Водопьянов С К, Карманова М. В. Формула коплощади для гладких контактных отображений многообразий Карно // Докл АН, 2007 Т 417. № 5. (В печати).

[66] Карманова М.Б. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Вестник НГУ, 2006 Т VI Вып 4 С 50-69

[67] Карманова М. Б. Формулы площади и коплощади для отображений классов Соболева со значениями в метрическом пространстве // Сиб мат журн , 2007 Т 48 №4 С 778-788

[68] Karmanova Maria Geometric Measure Theory Formulas on Rectifiable Metric Spaces // Contemporary Mathematics, 2007 V 424. In «The Interaction of Analysis and Geometry» P 103-136.

[69] Карманова M В Геометрия пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2007 С 101.1 место.

[70] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference on Analysis and Mathematical Physics «New Trends m Complex and Harmonic Analysis», Voss, Norway, May, 7 - 12, 2007 http //analysis2007.uib no/karmanova pdf

[71] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference «Geometric Analysis and Nonlinear PDE 2007», B§dlewo, Poland, June, 3 - 10, 2007 http://www mimuw edu.pl/~ga2007/Abstracts-booklet pdf

[72] M Karmanova On Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the Russian conference «Mathematics m the Modern World», Novosibirsk, Russia, September, 17 - 23, 2007

http-//math nsc ru/conference/conf50/Abstracts pdf

Карманова Мария Борисовна

Формулы коплощади на спрямляемых метрических пространствах и пространствах Карно — Каратеодори

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17 08 07 Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ л. 1,5 Уч -изд л 1,5 Тираж 90 экз Заказ № 105

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск

Результаты работы относятся к новому направлению: геометрической теории меры на метрических пространствах. В ней детально исследован принципиально новый случай формулы коплощади, когда липшицево отображение определено на измеримом множестве евклидова пространства и принимает значения в произвольном метрическом пространстве. Результаты носят окончательный характер.

Полученные результаты обобщаются на более широких классы, у которых изменяются как область определения (спрямляемые метрические пространства), так и дифференциальные свойства (классы отображений Соболева и В ^-отображения).

Разработан новый метод исследования, геометрический по своей сути. Он успешно применяется как для доказательства известных результатов (теорема типа Радема-хера об ш-дифференцируемости), так и для установления новых результатов (формул коплощади, аналога теоремы о неявной функции и др.)

Доказана также формула коплощади для гладкого отображения пространств Кар-но — Каратеодори, имеющих базис из гладких векторных нолей. В процессе доказательства разработаны новые методы исследования геометрии множеств уровня, в частности, свойств их регулярных и характеристических точек. Эти методы полезны для дальнейших исследований случаев негладких отображений и структур Карно — Каратеодори.

Полученные результаты о свойствах коэффициента коплощади (а именно, его представление через значения Не-дифференциала и независимость от риманова дифференциала) приводят к задаче доказательства формулы коплощади для отображений, липшицевых относительно субримановой метрики, которые, как известно, не всегда дифференцируемы в римановом смысле.

Так как евклидова формула коплощади имеет много приложений в теории внешних форм, потоков, задачах о минимальной поверхности и т. д., то ее субриманов аналог также может быть применен в этих теориях и задачах, интенсивно развиваемых в настоящее время на субримановых структурах.

Результаты о формуле коплощади для отображений, определенных на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, носят окончательный характер.

Дальнейшее развитие результатов о формуле коплощади для отображений пространств Карпо — Каратеодори состоит в понижении гладкости исследуемого отображения и рассмотрении случая отображения, липшицева относительно субримановой метрики (такие отображения, как известно, не всегда дифференцируемы в классическом смысле).

Результаты диссертации опубликованы в [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60].

Bibliography

1] Вураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

2] Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. жури., 1996. Т. 37. № 6. С. 1269-1295.

3] Водопьянов С. К. Топологические и геометрические свойства отображений классов Соболева с суммируемым якобианом. I // Сиб. мат. жури., 2000. Т. 41. № 1. С. 23-48.

4] Водопьянов С. К. Геометрия пространств Карно — Каратеодори, квазиконформный анализ и геометрическая теория меры, Владикавказ, мат. журн., 2003. Т. 5. № 1. С. 14-34.

5] Водопьянов С. К. Теория интеграла Лебега: Записки лекций по математическому анализу. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003.

6] Водопьянов С. К. Дифференцируем ость кривых в категории многообразий Карно // Докл. АН, 2006. Т. 410. ДМ. С. 1-6.

7] Водопьянов С. К. Дифференцируемость отображений многообразий Карно и изоморфизм касательных конусов // Докл. АН, 2006. Т. 411. № 4. С. 439-443.

8] Водопьянов С. К. Дифференцируемоть отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб. мат. журн., 2007. Т. 48. № 2. С. 251-271.

9| Водопьянов С. К., Грешное А. В. О дифференцируемое™ отображений пространств Карно - Каратеодори //Докл. АН, 2003. Т. 389. № 5. С. 592-596.

10] Водопьянов С. КИсангулова Д. В. Дифференцируемость отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии Соболева и ВУ-топологии // Сиб. мат. журн., 2007. Т. 48. № 1. С. 46-67.

И] Водопьянов С. К., Карманова М. В. Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН. 2007. Т. 413. № 3. С. 305-311.

12] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Формула коилощади для гладких контактных отображений многообразий Карно // Докл. АН, 2007. Т. 417. № 5.

13] Карманова М. Б. Метрическая дифференцируемость отображений // Материалы ХЫ1 Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004. С. 70-73.

14] Карманова М. Б. Метрический дифференциал и его свойства // Труды XL.II Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004. С. 186-193.

15] Карманова М. Б. Метрическая дифференцируемость отображений и геометрическая теория меры // Докл. АН. 2005. Т. 401. № 4. С. 443-447.

16] Карманова М. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Материалы ХЫП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2005. С. 72-75.

17] Карманова М. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Материалы Межвузовской научной студенческой конференции, Изд-во НГУ, 2005.

18] Карманова М.Б. Теорема о неявной функции и формула коилощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Тезисы конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной памяти профессора И.П.Митюка, г. Краснодар, Россия, 11 - 17 сентября 2005 г. Изд-во КубГУ, 2005. С. 51-53.

19] Карманова M. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Докл. АН. 2006. Т. 408. № 1. С. 1-6.

20] Карманова М.Б. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Вестник НГУ,

2006. T. VI. Вып. 4. С. 50-69.

21] Карманова М. Б. О метрической геометрии пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2006. С. 13.

22] Карманова М. Б. Формулы площади и коплощади для отображений классов Соболева со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн.,

2007. Т. 48. №4. С. 778-788.

23] Карманова М. Б. Геометрия пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2007. С. 101.

24] Кропрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи Матем. Наук (N. S.), 1950. Т. 5. С. 24-134.

25] Миклюков В. М. Геометрический анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007.

26] Решетияк Ю. Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журн., 1966. Т. 7. № 5. С. 886919.

27] Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн., 1997. Т. 38. № 3. С. 567-583.

28] Airault H., Malliavin P. Intégration geometric sur l'espace de Wiener // Bull. Sei. Math., 1988. V. 112. P. 3-52.

29] Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 2003. V. 9. P. 111120.

30j Ambrosio L. Metric space valued functions of bounded variation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 1990. V. 17. № 3. P. 439-478.

31] Ambrosio L., Kirchheim B. Rectifiable sets in metric and Banach spaces // Math. Ann. 2000. V. 318. P. 527-555.

32] Ambrosio L. and Kirchheim B. Currents in metric spaces // Acta Math., 2000. V. 185. № 1. P. 1-80.

33] Bellaiche A. Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry // In: Sub-Riemannian geometry. Basel, Birkhauser Verlag, 1996. P. 1-78.

34] Citti G., Sarti A. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space // Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica, 2004. V. 3. P. 145-161.

35] Davies R. O. Increasing sequences of Sets and Hausdorff measure, Proc. London Math. Soc. (3), 1970. V. 20. P. 222-236.

36] Evans L. C., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, 1992.

37] Federer H. Curvature measures // Trans. Amer. Math. Soc., 1959. V. 93. P. 418491.

38] Federer H. Geometric Measure Theory. NY: Springer, 1969.

39] Federer H., Fleming W. H. Normal and Integral Currents // Ann. Math., 1960. V. 72. № 2. P. 458-520.

40] Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

41| Gromov M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen From Within // In: Sub-Riemannian geometry. Basel, Birkhauser Verlag, 1996. P. 79-318.

42] De Guzman M. Differentiation of integrals in Lecture Notes in Mathematics, V. 481. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975.

43] Hajlasz P. Sobolev mappings, co-area formula and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. P. 227-254.

44] Heinonen J. Calculus on Carnot groups // In: Fall school in analysis (Jyvaskyla, 1994). Jyvaskyla, University of Jyvaskyla, 1994. P. 1-32.

45] Heinonen J., Koskela P., Shanmugalingam N., Tyson J. Sobolev classes of Banach space-valued functions and quasiconformal mappings. // J. Anal. Math., 2001. V. 85. P. 87-139.

46] Hladky R. K., Pauls S. D. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model // arXiv:math.DG/0509636, 27 Sep. 2005.

47] Jean F. Uniform estimation of sub-riemannian balls // Journal on Dynamical and Controle Systems, 2001. V. 7. №4. P. 473-500.

48] Karmanova Maria Area and coarea formulas on rectifiable sets in metric spaces and Sobolev mappings // Abstracts of the conference «Analysis on Metric Measure Spaces», Bgdlewo, Poland, July 15 - 23, 2004. P. 17.

49] Karmanova M. B. Metric Differentiability of Mappings and its Applications // Тезисы Международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетияка, 23 августа - 2 сентября 2004 г. Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2004. С. 124-126.

50] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // Тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию академика С. М. Никольского, 23 - 29 мая 2005 г. Изд-во Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2005. С. 305.

51] Karmanova Maria Foundations of Geometric Measure Theory in Metric Spaces // Abstracts of International Conference on Complex Analysis and Related Topics, The Xth Romanian-Finnish Seminar (Cluj-Napoca, Romania, August 14 - 19, 2005) Editura GIL Zalau, 2005. P. 33-34.

52] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // Abstracts of the Conference «Complex analysis and Dynamical Systems III» Nahariya, Israel, January 2 - 6, 2006.

53j Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // International conference «Analysis and Partial differential Equations», dedicated to 75th anniversary of Academician Bogdan Bojarski, Bgdlewo, June 19 - 23, 2006. Abstracts, P. 21.

54] Maria Karmanova Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // International conference «Geometric Analysis and Applications», University of Illinois at Urbana - Champaign, July 12 - 15, 2006. Abstracts.

55] Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the International Conference «Global Differential Geometry and Applications», Miinster, Germany, August, 14 - 19, 2006. Abstracts.

56] Maria Karmanova Geometric Measure Theory on Metric Structures // International Congress of Mathematicians 2006: Abstracts of short communications, Poster sessions and Mathematical Software (Madrid, Spain, Aug. 21 - 30, 2006). EMS: 2006. P. 332-333.

57] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference on Analysis and Mathematical Physics «New Trends in Complex and Harmonic Analysis», Voss, Norway, May, 7 - 12.

58] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference «Geometric Analysis and Nonlinear PDE 2007», Bgdlewo, Poland, June, 3 - 10, 2007.

59] Karmanova M. Geometric Measure Theory Formulas on Rectifiable Metric Spaces // Contemporary Mathematics, 2007. V. 424. In: «The Interaction of Analysis and Geometry». P. 103-137.

GOJ M. Karmanova On Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the Russian conference «Mathematics in the Modern World», Novosibirsk, Russia, September, 17- 23, 2007. P. 118.

61 j Kirchheim B. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure // Proc. AMS., 1994. V. 121. P. 113-123.

02] Lin F. and Yang X. Geometric measure theory —an introduction. Science Press, Beijing a. o., 2002.

63] Magnani V. Elements of Geometric Measure Theory on sub-Riemannian groups // Tesi di Perfezionamento. Pisa: Scuola Normale Superiore (Thesis), 2002.

G4j Magnani V. Blow-up of regular submanifolds in Ileisenberg groups and applications // Cent. Eur. J. Math. 2006. V. 4. №1. P. 82-109.

65] Malliavin P. Stochastic Analysis. Springer, NY, 1997.

66] Maly J. Coarea Integration in Metric Spaces // Proceedings of the Spring School (Prague, 2002), (B. Opic, J. Rakosnik, eds.), Nonlinear analysis, function spaces and applications, vol. 7, Math. Inst, of the Academy of Sciences of Czech Republic, Prague, 2003. P. 142-192.

67] Maly J. Coarea properties of Sobolev functions // Function spaces, differential operators and nonlinear analysis (Teistungen, 2001), Birkhuser, Basel, 2003. P. 371-381.

68] Maly J., Martio 0. Lusin's condition (N) and mappings of the class W1'11 // J. Reine Angew. Math. 1995. V. 458. P. 19-36.

60] Maly J., Swanson D., Ziemer W. P. The Coarea Formula for Sobolev Mappings // Trans. Amer. Math. Soc., 2003. V. 355. № 2. P. 477-492.

70] Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geometric and Functional Analysis, 1995. V. 5. №2. P. 402-433.

71] Margulis G. A., Mostow G. D. Some remarks on the definition of tangent cones in a Carnot-Caratheodory space // Journal D'Analyse Math., 2000. V. 80. P. 299317.

72j Monti R. and Serra Cassano F. Surface measures in Carnot-Carathedory spaces // Calc. Var. Partial Differential Equations, 2001. V. 13, № 3. P. 339376.

73] Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications. Providence, AMS, 2002.

74] Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math., 1985. V. 155. P. 103-147.

75] Ohtsuka M. Area Formula // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 1978. V. 6, № 2, part 2. P. 599-636.

76] Pansu P. Geometrie du group d'Hcisenberg // Univ. Paris VII, 1982.

77] Rothschild L. P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math., 1976. V. 137. P. 247-320.

78] Stein E. M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton: Princeton Univ. Press, 1970.

79] Vodopyanov S. K. "P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (Edt.: S. K. Vodopyanov), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. P. 603-670.

80] Vodopyanov S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings // Contemporary Mathematics, 2007. V. 424. In: «The Interaction of Analysis and Geometry». P. 247-301.

81] Vodopyanov S. K., Ukhlov A. D. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces // I: Siberian Adv. Math. 2004. V. 14. № 4. P. 78125; II: Siberian Adv. Math. 2005. V. 15. № 1. P. 91-125.

Заключение