Пространства Соболева и связанные с ними отображения групп Карно тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ой

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.54+517.518+517.813.52 На правах рукописи

Ухлов Александр Дадар-оолович

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ

ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП КАРНО

01.01.01. — математический анализ

аЗТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискалие ученой гтепени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-1994

Работа выполнена в Новосибирском государственном ун'тверс^тете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С. К. Водопьянов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Миклюков, кандидат физико-математических наук А. С. Романов. Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится " У'Г " ¿3 -У_1994>г.

в "/¿Г" час. на заседании специализированного совета К 002.23.02 пс присуждению ученой степени кандидата физико-математчческих наук в Институте математики СО РАН по адресу: (630090) г. Новосибирск, Университетский пр.,4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "/5"' 1904 г.

Ученый секретарь

специализированного совета при Г Институте математики СО РАН \) > кандидат физико-математических наук В. В. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Начало интенсивного развития теории пространственных квазиконформпых отображений приходится на конец 50-х и пачало 60-х годов. В это время в работах Ю. Вяйся-ля, Ф. Геринга, Б. В. Шабата и др. был создай метод исследований, опирающийся на характеристическое свойство кпазиинвари-аптпсст" емкости иплуля г.р.мейства кшшых hdii

квазиконформпых преобразованиях пространственных ииластой.

В середине 70-х годов в работах С. К. Водопьяноьа и В. М. Голь, штейна был предложен подход к изучению квазиконформных отображений, связанный с применением теории пространств Соболева. Ими было показано, что гомеоморфизм <р двух евклидовых областей D и D' является квазиконформным тогда и только тогда, когда оператор суперпозиции iр* есть изоморфизм прострагств L\{D) и L\(D').

Пионерские работы этих авторов стимулировали изучение с более общей точки зрения связи между отображениями и ф., лкци-ональньши пространствами.

Было, в частности, показано, что варьируя функциональш пространства, можно п лучить ассоциированные с ними классы отображений. Результаты подобного рода имеют применения в теории i. ложения пространств Соболева.

Диссертация посвящена изучению отображений : D > D' порождающих ограниченный оператор суперпозиции

V>* : Ll(D') -f L\{D), 1 < q < p < сю,

[случай p = q был изучен в работах С. К. Водопьянова, В. М. Гольд-шт^й^г, JI. Гурова, А. С. Романова) эти классы отображений обо-

зиачаются далее символом Тр<ч{0). Систематическое; исследование 8той задачи предпринимается впервые. При атом для полученных классов отображений рассматриваются вопросы, аналогичные возникающим в теории квазиконформных отображений. Заметим, что класс Тгл{0) имеет аналитическое описание в терминах интегральных характеристик. При некоторых дополнительных ограничениях такие классы отображений изучались ранее И. Н. Песшшм, В, М. Миклюковым, В. И. Крутиковым, В. С. * дьявиным и др. Однако, во всех работах по этой тематике от-сус-1 ювал функпиоиальик л подход к отображениям с интегральными характеристиками.

В 1973 г. в статье Г. В. Мостова впервые были рассмотрены квазиконформные отображения в неримановых метриках. В недавних работах С. К. Водопьянова, А. Кораньи, П. Пансу, X. М. Ре] мала, С. Рикмайа, Ю. Хейаонена, И. Холопайнена развита теория квазиконформных отображений на группах Карно. Интерес к этой задаче связан с. тем, что квазиконформные отображения па группах Карно естественным образом возникают в ряде задач геометрии и анализа. В нынешнем состоянии эта теория развита в такой же степени обпшости, как ато было сделано в евклидовом пространстве.

В диссертации изучаются отображения групп Карно класса ТР1Ч(П), сообщающие результаты, полученные в евклидовом пространств. Решение этой задачи нотребовало развития методов исследований, которые можно назвать анализом на группах Карно: аппроксимативное Р-дифференцир ^вание отображений измеримых шожеств и их приближение линшицевыми отображениями; формула замены переменной в интеграле Лебега для отображений групп Карно, обладающих слабыми дифференциальными

свойствами.

Научная новизна. Кал самостоятельный объект исследований класс отображений TPlt(D), 1 < q < р < оо, из: чается вперв! ч, и поэтому все основные результаты диссертации являются новыми. Их можно объедснить в следующие группы:

а) Эквивалентные аналитическое, геометрическое'и метрическое описания отображений класса Г„ „.

б) Лпффйриишидльиыи cuuîîciHu. отображений класс* TPtg, Hci-нример: абсолютная непрерывность на почти всех пиниях, диф-ференцируемость почти всюду.

в) Теоремы, связан гые с аппроксимативным V-дифференцированием на группах Карно: аппроксимативная Р-дифференцируе-мость отображений групп Карно, имеющих аппроксимативные производные только вдоль горизонтальных векторных полей; аппроксимация отображений, имеющих аппроксимативные производные только вдоль горизонтальных векторных полей, отображениями, лишшщевыми в метрике Карно-Каратеодори; аппроксимативная Р-дифферендируемость лилшицевых отображений

г) Формула замепы переменой в интеграле Лебега для лилшицевых отображений групп Карно, определенных на произвольном измеримом множестве, а также ее обобщения для отображений групп Карно, обладающих слабыми дифференциальными с ой-ствами.

В диссертации также рассмотрены вопросы, связанные с граничным поведением отображений, порождающих вложения функциональных пространств, и приведены обобщения результатов, изложенных а пунктах а) и б), для отображений групп Карно.

Мето^лка исследований. Методы исследований, применя-

емые в работе, представляют собой синтез методов^ применяемых в геометрической теории функций, теории вложекия 'Ьункци-

г

овальных пространств, теории потенциала, и методов анализа и геометрии на нильпотентных группах Ли.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применятся в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и теории влог'ения функциональных пространств Соболева на группах Карно.

Публикации, апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в двух работах, указанных в конце автореферата. Результаты докладывались на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994), на всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989), V Школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1990), на научных семинарах ИМ СО РАН, Новосибирского госуниверситета и Хабаровского государственного технического университета и на семинарах по геометрии и анализу ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введёния и трех глав, изложена на 93 страницах печатного текста, обработанного издательской системой Библиография включает 42 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Вс ^ведении дается краткий обзор основного содержания работы. •

В первой главе диссертации для отображений евклидовых

областей, порождающих ограниченный оператор суперпозиции

¥>* : 1#1У) -> 1 < 9 < р < оо,

изучаются вопросы, аналогичные возникающим в теории квазиконформных отображений. А именно: приводятся их эквивалентные аналитическое, емкостное и метр1Гческое описания, доказывается теорема о дифференциальных свойствах обратного отображения <> к»к слмстиин принадлежность его классу 1 - *)» изучаются метрические свойства данного класса отображений. В конце первой главы на основе предложенного С. К. Водопьяновым понятия граничного элемента области относительно функционального пространства решается задача о граничном поведении гомеоморфизмов, порождающих вложения функциональных пространств.

В § 1 гл. 1 приводятся сведения, необходимые для дальнейшего изложения, и вводится основной класс отобра хений .

Определение. Будем говорить, что отображение <р : £> —► £>' принадлежит классу Гр1?(Г>), 1 < <7 < Р < °°> если оператор суперпозиции <р'/ = / о <р,

V' : Ь\(р) - Ь\{0)

ограничен.

В § 2 гл. 1 для отображений <р £ АСЬ(£>) вводится характеристика

_ ( |Уу|р А— 1

.1 Цх,<р)\) '

определеппая для почти всех х £ В и определяется класс отображений, имеющих суммируемую характер чстику .'рл{х).

Определение. Будем говорить, что гомеоморфизм <р : £> -+ Б' принадлежит классу 1Р1д(0), если существует постоянная К <

гр,ч(х)

I

оо такая, что

^1РЛ(.х) <*г) " < К, 1 < д < р < оо, .Г .

п

< К, 1 < д < Р = оо..

в

Аналитическое описание гомеоморфизмов, принадлежащих Тр,9(£>) дает

Теорема 1. Гомеоморфизм ¡р : Л —♦ й' принадлежит тоги а и только тогда, к оиа у принадлежит /Я1?(£)).

В § 3 гл. 1 вводится класс гомеоморфизмов ф : Б —► £>' удовлетворяющих условию: существует ограниченная квазиаддитивная функция Ф такая, что для любого конденсатора (Fo.ii) С Э'справедливо неравенство

сар^-^о),*'-1^);^) < Ф(Я' \ (Д и Я;

Этот класс обозначается символом Срл{Р).

Следующее утверждение дает геометрическое (емкостное) описание гомеоморфизмов класса Трл(0).

Теорема 2. Пусть 1 < д < р < оо. Гомеоморфизм <р : О £>' принадлежит ТР1Ч(0) тогда и только тогда, когда у принадлежит

В § 4 главы 1 для метрического описания гомеоморфизмов класса Трл(0) вводятся характеристики

М>«™ - \MBfrXr))\) '

р

где = max |<p{x) - tp(y)\.

____Определение. Будем говорить, что гомеоморфизм <р x D -*

D' принадлежит MPt4{D) (Mp<4(D)), если существует ограниченная квазиаддитивная функция Ф такая, что

lim Мрл{х) < Ф'(х) п. в. в D (lim M$tt{x) < Ф'(х) п. в. в D.)

Дифференциальные свойства гомеоморфизмов, обламшшш такими тлстртиссктш xapäirrepiiCim_uAii иииеыааег

Теорема 3. Пусть гомеоморфизм ip : D D' принадлежит MPl4(D) (Mpt(D)). Тогда при q > 1 гомеоморфизму? принадлежит ACL(D). Кроме того <р дифференцируемо п.в. в D.

Соотношения между классами Трл и классами отображений с метрическими характеристиками приводятся в следующих утверждениях:

Теорема 4. Пусть при некотором X > 1 гомеоморфизм <р : D —у D' принадлежит MPi4(D). Тогда при q > 1 tp принадлежит

TpAD).

Теорема 5. Пусть гомеоморфизм tp : D ' —► D принадлежит TPi4(D), п < q < р < оо. Тогда <р принадлежит MPt4{D).

Теорема в. Пусть гомеоморфизм у : D —► D' принадлежит TPl4(D), п — 1 < q < р < ». Тогда <р принадлежит М* (D).

В § С главы 1 изучаются дифференциальные и метрические свойства гомеоморфизмов класса TP>4(D).

Теорема Т. Пусть гомеоморфизм tp \ D D' принадле. сит TPs4(D), п — 1 < q < р < оо. Тогда обратное отображение tp'1 : D' D является ACL-отображением, д^ффереп ,ируемим novmv всюду в области D'.

Отмет.лл, что в силу теоремы 1.5.4, (вписывающей свойство

искажения меры при отображениях класса 7},Л(£>), гомеоморфизмы этого класса обладают ^-свойством при п<д<;<оои Л/"-1-свойством при 1 < ^ < р < п.

В § 6 главы 1 изучается граничное поведение гомеоморфизмов, порождающих вложения функциональных пространств.

Теорема 8. Пусть гомеоморфизм <р : I) —► Б' порождает ограниченный оператор вложения <р* : Г'(О1) —* Рф), ¡р*/ = / о р.

Тогда, если область £>' -компактна и все точки ее гранили являются простыми точками, а носители всех простых Р-хопцов области £> одноточечны, то отображение :£)'—+£> можно продолжить по непрерывности до непрерывного отображения Гр~г : Б* £>.

В конце первой главы в § 7 изучаются свойства последовательностей гомеоморфизмов класса ТРЛ и описывается их граничное поведение.

Целью второй главы является доказательство классической формулы замены переменной в интеграле Лебега

J(uo^)\J(xt^p)\dx = J u(y)Nv{ytA)dy

В С

для отображений групп Карло, обладающих слабыми дифференциальными свойствами.

, Стр? тифидаровашюй однородной группой или в другой терминологии группой Карно называется связная односвязиая ниль-потентная группа Ли О, алгебра Ли 0 которой разлагается в прямую сум?'у векторных простраистп И ® ••• ® Ут таких, что (У1( V;' = для 1 < Л- < т - 1 VI [Уи Ут\ = {0}. Такая алгебра снабжена естественным семейством растяжений S^ = ехр(А 1п<), "де А —- оператор, определяемый как Ах = кх для х € V*. Век-

торные поля, образующие базис пространства Vj, мы обозн чаем символами Xi, .Так как алгебра Q, иильпотентиая, то----------—

экспопенпиальпое отображение ехр : Q —+ G является диффеоморфизмом, а отображения ехр oó¡ о ехр-1 являются групповыми автоморфизмами на G, обозначаемые далее символом 6,.

Расстоянием Карпо — Каратеодори р(х, у) между двумя точками х, у € G называется нижвчя грань длин всех горизонтальных

вой метрикой, относительно которой векторные поля Хх,...,Х„ ортонормальны, а горизонтальная крга>^я есть кусочно-гладкий путь, касателыплй вектор которого принадлежит Vj. Можно показать, что р(х,у) всегда есть конечная левоинвариантная метрика, относительно которой группа автоморфизмов ¿t является группой растяжений с коэффициентом t : p(Six,Siy) = tp(x,y). По определению полагаем р{х) = р(е,х), где е есть едипица группы G. Зафиксируем биинвариантпую меру Хаара па G (которая порождается мерой Лебега па Q посредством экспоненциального отоб; кения). Число и = trace Л называется однородной размерностью группы G. Ясно, что \8tE\ = t"\E\.

Пусть D — область в G. Будем говорить, что отображение <р : D -* G абсолютно непрерывно на линиях (tp 6 ACL(-D)), если для любой области Í/, Ь С I), и слоения Г, определяемого лево инвариантным векторным полем i = 1, • • ,п, отображение tp абсолю. ло непрерывно на 7 П U относительно Я'-меры Хаус дорфа для (17-почти всех кривых 76 Г. Дль какого отображения <р почти всюду ¡i D существуют производные X,f¡ i — i,..., ti, вдоль векторного поля A'¡, í = 1,...»п. Отображение <р : D —> G принадлежит классу Соболева если р{<р{з)) 6 Li,roc(^)>

tp € ACL(D) и Xiip € LptociD)., i = 1,..., п. На каждой области

и С О, и С О, мы рассматриваем полунорму

Набор Ус<р = • • • 1 Хп<р) называется субградиентом отображения /р. Его нормой называется величина

Лля отображения <р : Е в, где Е — произвольное измеримое множество в в, определим локальное растяжение отображения <р в точке х € Е как

= ш еЩШ.

* »-»«,у€Е р(х,у)

Если существует постоянная М такая, что р(<р(х), <р(у)) < Мр{х,у). для всех х,1 6 Е, то отображение <р называется лишпицевым на Е{(р 6 Ыр (Е)).

Для лшшшцевых гомеоморфизмов однородных групп формула замены пер денной, в которой вместо якобиана отображения участвовала производная Радона — Никодима функции множе-' ства |А| —> \(р{А)\у была установлена С. К. Водопьяновым.

Проведенные в § 2 гл. 2 исследования отображений, обладающих аппроксимативными производными вдоль горизонтальных векторьах полей позволяют придать этой производной классический смысл определителя матрицы производных.

Полученные при этом результат является аналогом хорошо известной для евклидового пространства теоремы Уитни. Приведем необходимые определения.

Определение. Пусть Е — измеримое множество, плотность множества Е в точке а равна 1 и \р : Е С — некоторое отображение. Г', моморфизм групп Л1„ Л : в —* в такой, что ехр-1 о Л о ехр (У}) С VI, называется 7 -дифференциалом отображения <р в

точке а на множестве Е, если для любого е > 0 множество

At = {х € Е : р(Н-*(<Г*х)<р{а)~л<р{х)) < ер{а~1х)}

является окрестностью точки о (относительно Е).

Это понятие в том случае, когда о есть внутренняя точка множества Е, введено в работе П. Пансу, где, в частности , доказано, что лишпицево отображение групп V-дифференцируемо почти миОдУ*

Лалее, как и в евклидовом случае, V-дифференциал h обозначаем символом Dip.

Теорема 9. Пусть Е С G — измеримом множество и отображение <р : В —* G таково, что LipV(E) < оо почти всюду на Ь. Тогда V -дифференциал отображения <р существует и единств ен-мем почти во всех точках множества Е. Соответствующий ему гомоморфизм алгебр Ли переводит базисные векторы Xi,..., Хп подалгебры Vi в векторы {Xiip € Vj}, s = l,...,n.

Гомоморфизм алгебр Ли из теоремы 9, соответствующий :ифференциалу Dip, называется далее формальным дифференциалом, а его свойство Dtp(V\) С Vi плечет пе только контактность гомоморфизма Dtp, но и сохранение градуировки нильпотептной алгебры, то есть D<p{V%) С V*. 0яр«д«я5ггсяъ матряптл, ссотвст ствующий гомоморфизму Dipt = ехр"1 о Dp о ехр алгебры Ли О называется якобианом отображения ip, и обозначается символом J(x,ip).

Определение. Гомоморфизм /i:G-+G . .хкой, что ехр"' о h о exp(Vi) С Vi, называется аппроксимативным V-дифференциалом отображения <р : Е G в точке а ç. Е, если -ля лк'бого е > О плотность множества At в точке а равна 1.

*

Используя понятие Я1-меры Хаусдорфа, определим аппр к-

симативные производные

apAT¡y>(x) = ар jimtf, 1 *<р(хехр tXi))

вдоль векторных полей X¡,i = 1,...,п.

Теорем^ 10. Пусть <р : Е -* С — произвольное измеримое отображение. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Отображение (р аппроксимативно Р-дифференцируемо почти всюду в Е.

2) Отображение <р : Е -* G имеет почти всюду в Е аппроксимативные производные арХцр(х) вдоль векторных полей X¡, » = l,...,n.

3) Существует последовательность замкнутых множеств Ah С Ak+i таких, что tp\Ak е Lip(At) и \Е \ U*Ajfc| = 0.

Основным результатом § 3 гл. 2 является Теорема I1 Пусть отображение <р : D —► G удовлетворяет одному из трех условий:

1) D — произвольное открытое множество, и отображение ip принадлежит классу Соболева W^¡oc(D)\

2) D — произвольное измеримое множество, и отображение <р аппрокс- мативно V-дифференцируемо почти всюду в D;

3) D — произвольное измеримое множество, и отображение <р . имеет почти в■ idy в D аппроксимативные производные вдоль

векторных полей X¡, j = 1,... ,п.

Тогда отображение <р можно изменить на множестве нулевой меры так, что измененное отображение обладает N-свойством, и для асякой измеримой функции и : G —*■ R и ? иг всякого измеримого множес ва Ас Е выполнены три условия. 1) Функции (и с })¡J(ip)\ и u(y)Jv(y,Á) измеримы.

2) Если, кроме того, функция и неотрицательна, то

______________________ J (и о *>)№)! dx u(y)Nv(y7A) dy7

Л G

3) Если одна из функций (и о <p)\J(ip)\ или u(y)N4,(y,A) интегрируема, то другая также интегрируема и

J(uov)\J(v)\dx = J u{y)Nv{ytA)dy.

. Л G

Г> ь 4 2 * «p^prr'-a ¿^• ны переменной в которой

«место функции кратности участвует ст< ень отображения.

Теорема 12. Пусть ц> — непрерывное отображение D в G, имеющее fC-дифференциал почти всюду в D, и якобиан J(x,(p) ль кально суммируем в D. Тогда для вся..ой ко тактной области А С D такой, что А С D и \дА\ = 0, выполнено: если измеримая веще-rrn*}ett?tajr функция и такова, что функция у >—>■ и(у)/*(у,<Р, Л)х(у) интегрируема о G, то функция (и о <p)(x)J{x, <р) интегрируема на А и справедливо равенство

j[v.o<p)(x)J(x,4>)dx=: J u(y)fi(y,<p,A)x{y)dy,

Л G

где х характеристическая функция множества iр{А). Здесь ф ссть отображение, построенное в теореме // «« отображению >f> т: а—мичающсеся от пего на множестве. л«ум нуль.

Третья i;i.tua содержит обобщения результатов главы 1 для отображений групп Карно и весовых пространств Соболева.

Лптор выражает благодарность научном., руководителю д.ф,-м.1' , профессору С. К. Водопьянову за вшшалие к работ*"-

Работы автора по теме диссертации

1. Ухлов А. Д. Отображения, порождающие вложения пространств Соболева// Сиб. мат. журн., 1993. Т.34, N 1, С. 185-192.

2. Водоцьян » С. К., Ухлов А. Д. Слабо контактные преобразования и замена переменных на нильпотентных группах. Докл. Г \Н. 1994. В печати.

Подписано ^ печати 15.12.94

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Объем »,1 п.л. 1.0 уч.-изд.". Заказ № 620 Ти^аж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Н1 У, 630090, Новоа.оирск, 90. ул. Г,.1рогова, 2.