Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Басалаев Сергей Геннадьевич

Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 СЕН 2014

5552<э° » Новосибирск - 2014

005552381

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

Гольдман Михаил Львович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов», факультет физико-математических и естественных наук, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, профессор

Пупышев Илья Михайлович, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет», факультет прикладной математики и информатики, кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Защита состоится «22» сентября 2014 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан « .21» ОЕ _ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования, ее разработанность

Напомним, что субримановым пространством называется С^-гладкое риманово многообразие М с заданным на нем распределением II С ТМ меньшей размерности и скалярным произведением (■, ■} : II х II -¥ К. Распределение II называется горизонтальным и задает допустимые направления движения, т. е. допустимыми траекториями в субримано-вом пространстве являются абсолютно непрерывные кривые 7 такие, что 7 € II почти всюду. Впервые объекты такого типа появились в работе К. Каратеодори 1909 г. [1], в которой термодинамический процесс моделируется как кривая в К", а изменение тепла - как интеграл подходящей 1-формы в вдоль этой кривой. Физик С. Карно доказал, что существуют состояния, между которыми нельзя перейти по адиабатических процессам. В терминах Каратеодори это означает, что их нельзя соединить кривой, вдоль которой 0 вырождается. В честь этих ученых, метрику, возникающую как точную нижнюю грань длин некоторого класса допустимых кривых, называют метрикой Карно—Каратеодори, а соответствующие метрические пространства — пространствами Карно-Каратеодори. Приложения субрима-новых пространств и более общих пространств Карно—Каратеодори достаточно обширны, они естественным образом возникают в теории гипоэллиптических операторов, теории оптимального управления, а также находят приложения в экономике, квантовом управлении, нейробиологии, и многих других инженерно-прикладных задачах.

В математической модели термодинамического процесса, построенной Каратеодори, существовали состояния, недостижимые по допустимым путям. Естественным был вопрос о том, какими условиями должно обладать горизонтальное распределение, чтобы любые две точки можно было соединить допустимым путем. Ответ на этот вопрос был независимо получен в 1938-39 гг. П. К. Рашевским [2] и В. Л. Чоу [3]. Рассмотрим на многообразии М набор С=°-гладких векторных полей АГЬ ... ,Х„. Коммутатор двух векторных полей X и У определяется как величина [X. К] = ХУ - УХ. Коммутатором порядка г назовем итеративный коммутатор [Х„. [Х,2.... [Х^, Х1г]...]].

Теорема 1 (Рашевский, Чоу). Пусть М — связное многообразие. Если существует такое натуральное г, что векторные поля Х1.....Хп и их коммутаторы до порядка г включительно порождают все касательное расслоение ТМ, то любые две точки х, у е М можно соединить абсолютно непрерывной кривой, составленной из конечного числа отрезков интегральных линий векторных полей ____,Хп.

Эта теорема имеет важное значение для задач управления: если векторные ноля Хх.....X,

удовлетворяют условиям теоремы 1, то для краевой задачи

г}(() = «1(0^19(0 + ■ ■ ■ + ил(С)ХпЧ^), 9(0) = д('Г) = <Н. (1)

найдутся управляющие параметры щ, доставляющие решение уравнения.

В анализе значительный интерес к субримановым пространствам возник после работы Хёрмандера [4] 1907 г. Исследуя гипоэллиптичность операторов определенного вида, он пришел в точности к тому же условию, что и в теореме Рашевского-Чоу.

Теорема 2 (Хёрмандер). Пусть Сх-векторные поля Хи...,Хп удовлетворяют условиям

П

теоремы 1. Тогда оператор Ь = ^ X* + X! является гипоэллиптическим, т. е. если и —

г=2

решение дифференциального уравнения

Ьи = ^Х,2и + Х1и = / (2)

«=2

в смысле распределений и / € Сх, то и € Сх.

Одним из важных примеров уравнений типа (2) является уравнение диффузии Колмогорова

д'2и ди ди _

д72+Хду~~д!~

Важный класс субримаиовых пространств представляют так называемые эквирегуляр-ные субримановы пространства. Горизонтальное распределение Я индуцирует на ТМ фильтрацию

Я = /Л С Н2 С ■ • • С НТ = ТМ. (3)

где Нк = йрап^Х^ЛХ,,,...^,,^,,^,]...]] : т = 0,...Д} и - базис II. Если в

окрестности некоторой точки х0 размерности Нк(х) постоянны, точка х0 называется регулярной. Пространство Карно—Каратеодори, состоящее только из регулярных точек, называется эквирегулярным. В 1976 г. Л. П. Ротшильд и И.М. Стейн [о] доказали, что в окрестности регулярной точки субриманово пространство может быть в определенном смысле приближено нильпотентной стратифицированной группой Ли (группой Карно). В этой же работе ими показано, что произвольное пространство Карно—Каратеодори можно расширить до некоторого эквирегулярного пространства большей размерности. В дальнейшем были разработаны различные обобщения и модификации этого метода [6-8], позволяющие свести исследование многих задач на произвольных пространствах Карно—Каратеодори к изучению эквирегуляр-ных пространств.

Задачи (1) и (2) достаточно хорошо изучены для С^-гладких векторных полей, однако практические задачи как правило имеют куда меньшую регулярность. В связи с этим естественно изучать субриманову геометрию, возникающую при пониженной регулярности векторных полей. В работах М. Браманти, Л. Брандолини и М. Педрони [8-10] изучены базовые свойства векторных полей и соответствующих операторов Хёрмандера гладкости С""-1'", где г — глубина пространства Карно—Каратеодори, т.е. при минимально возможной гладкости, при которой еще имеют смысл классические условия Рашевского—Чоу (см. теорему 1). Некоторые классы негладких векторных полей также изучены в работах [11-13].

Новый подход к изучению пространств Карно—Каратеодори пониженной гладкости предложили С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова. Основываясь на идеях работы М. Громова [14], в работе [15] 2009 г. они определили эквирегулярное пространство Карно—Каратеодори для С1а-гладких векторных полей, 0 < а < 1, следующим образом:

Определение 1. М-мернос С^-гладкое римапово многообразие М назовем пространством Карно-Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ фиксирована последовательность

С1,"-гладких подрасслосний

// = Hi С Н2 С ■ • • С Ци = ТШ

постоянной размерности таких, что [¡¡¡. Я,] С Huj для i + j < М. Кроме того, пространство Карно—Каратеодори называется многообразием Карно, если

IIk = span{//*_!. [Н^ Hj] : i + j = k}. (4)

Заметим, что в окрестности х € М можно выбрать базис из С1'"-гладких векторных полей ..., XN, ассоциированный с расслоением (4), т. е. такой, что //, = span{A^____,

М. Громов в работе [14] сформулировал следующее утверждение:

Теорема 3. Положим deg^ = min{m : Xi е Hm} и рассмотрим семейство векторных полей {ed'sXiXi}. Если это семейство масштабировать в £ раз относительно точки д е М, т. е. взять подходящие локальные координаты 09 и осуществить растяжение

Д? : вд(хи .... xN) м- 0д{с~й^х ...

то существует равномерный предел (Af).sdegA'iXi -> Xf, где векторные поля X? образуют базис нильпотентпой градуированной группы Ли.

Таким образом, нильпотентная градуированная группа Ли (группа Карно в случае многообразия Карно) является в определенном смысле касательным пространством к пространству Карно—Каратеодори. Громов сформулировал эту теорему для С'-гладких векторных полей, однако В. Берестовский показал (см. [15, Example 2.2.15]), что его рассуждения даже для гладкого случая требуют исправлений. А. В. Грсшнов предложил новое доказательство этой теоремы для С'-гладких векторных полей [19]. С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова в [15] получили оценки расхождения геометрий исходного пространства и приближающей его локальной группы. Эти результаты позволили им в случае а > 0 доказать ряд свойств, привычных для классических пространств Карно—Каратеодори, в том числе:

• любые две точки связного многообразия Карно можно соединить абсолютно непрерывной кривой, состоящей из счетного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей (аналог теоремы 1);

• шар Карно-Каратеодори можно вписать в параллелепипед и описать вокруг параллелепипеда контролируемых размеров (так называемая Ball-Box теорема [16[).

Одним из приложений результатов настоящей диссертации является построение адекватной теории пространств Соболева на многообразиях Карно. Пространства Соболева на пространствах Карно-Каратеодори служат для определения классов решений субэллиптических уравнений [22, 23]. В настоящее время стремительно развивается теория Соболева в достаточно общих метрических пространствах (см., напр., [24-26] и ссылки в них). В работе [25] показано, что для получения оценок соболевского типа на метрическом пространстве с мерой достаточно потребовать условие удвоения меры и выполнение некоторого аналога неравенства Пуанкаре. Таким образом, для получения оценок соболевского типа на многообразиях Карно ключевыми шагами являются:

1) доказательство существования метрики Карно—Каратеодори <1,:с\

2) доказательство условия удвоения для меры Хаусдорфа Щсс, где и — хаусдорфова размерность многообразия Карно;

3) доказательство неравенства Пуанкаре вида ||/ - /пЦ^п) < - • • •-^п/)||й,(П), где Хи ..., Хп — базис горизонтального распределения Я, а П — область определенного класса.

В настоящей диссертации пункты 1) и 2) доказаны для С'-гладких векторных полей, неравенство Пуанкаре получено для С'^-гладких векторных полей, о > 0, если 1 < р = д < ос и П — область Джона. Неравенство Пуанкаре на классических пространствах Карно—Каратеодори впервые было получено в работе Д. Джерисона [28] для шаров Карно— Каратеодори и р = = 2. В работах [12, 13] неравенство Пуанкаре получено для некоторых классов негладких векторных полей, а в [9] — для Сг_1,1-гладких полей, удовлетворяющих условию Хермандера.

Третья глава диссертации посвящена вопросам дифференцируемое™ отображений многообразий Карно. В классическом анализе хорошо известен результат, доказанный X. Раде-махером в 1919 г.:

Теорема ([29]). Пусть II — открытое множество в Е" и / : и 8™ - липшицево отображение. Тогда / дифференцируемо почти всюду в С/.

Условие липшицевости является лишь достаточным и В. В. Степанов в 1923 г. доказал дифференцируемость почти всюду более общего класса функций:

Теорема ([30]). Если множество /1 С 1" измерилю и отображение /:(/-> удовлетворяет условию Нш < х в каждой точке а € А, то / дифференцируемо почти всюду в А.

Дальнейшее обобщение стало возможно благодаря введенному Степановым понятию аппроксимативного дифференциала, т.е. дифференциала, который рассматривается не в классическом смысле а в смысле предела по мере, аппроксимативного предела. Если мы рассмотрим сходимость отношения к значению Ь(г) линейного отображения Ь : Е" —> Ет в различных топологиях единичного шара В(0,1) С И™, то мы придем к различным понятиям дифференцируемое™. Сходимость к Ь в равномерной топологии С(В(0,1)) даст нам классическую дифференцируемость. Сходимость к Ь по мере дает понятие аппроксимативной дифференцируемое™ в евклидовых пространствах (см., напр., [31]). Следует отметить, что если отображение имеет классический дифференциал, то оно имеет и совпадающий с ним аппроксимативный, т.е. понятие аппроксимативной дифференцируемое™ обобщает классическое понятие дифференцируемое™.

Используя понятие аппроксимативного дифференциала В. В. Степанов доказал [32], что отображение аппроксимативно дифференцируемо почти всюду тогда и только тогда, когда оно имеет аппроксимативные частные производные по каждой переменной почти всюду. Это утверждение является аппроксимативным аналогом классического результата о том, что отображение непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно имеет непрерывные частные производные. Различные критерии аппроксимативной дифференцируемое™ в евклидовых пространствах были получены Г. Федерером [33, 34] и X. Уитни [35].

Подходящее понятие днффсрснцирусмости на группах Карпо, называемое теперь Р-диф-ференцируемостью, было определено П. Пансю в работе [30]. Отображение групп Карпо ■Р-дифференцируемо, если оно приближается гомоморфизмом групп в метрике Карно—Ка-ратеодори. Это понятие было введено для доказательства некоторых результатов теории квазиконформных отображений [36, 37]. В работах [15, 38] понятие Я-дифференцируемости было распространено для отображений Карно—Каратеодори для обобщения теорем Радема-хера и Степанова. В [39] вводится определение аппроксимативного дифференциала отображений групп Карно и доказываются критерии аппроксимативной дифференцируемое™. В диссертации получены аналогичные результаты для отображений многообразий Карно.

В четвертой главе диссертации изучаются поверхности уровня непрерывно дифференцируемых (в субримановом смысле) вещественнозначных отображений групп Карно. Классическая теорема математического анализа о неявной функции утверждает, что поверхность уровня С'-гладкого отображения / : Е" —> К*, п > к, с дифференциалом максимального ранга является графиком С'-гладкого отображения д : —»■ К* над некоторой (п — ^)-мсрной гиперплоскостью. Если же мы рассмотрим отображение, непрерывно дифференцируемое в субримановом смысле, то в римановой метрике оно лишь гёльдерово, и его поверхности уровня могут иметь фрактальную структуру. Общей теории для поверхностей уровня отображений субримановых пространств не существует до сих пор. Для вещественнозначных функций на группах Карно известно [40], что поверхность уровня можно параметризовать как «внутренний график», т.е. множество точек вида ехр(с£(д)Х)((/), где ч € П — точки некоторой гиперплоскости П в группе, горизонтальное векторное поле X трансверсально П ирб С°(П). Есть подобные результаты для отображений / : Н" —> К*, где к < п, и отображений групп Карно, связанных специальными условиями, однако, существование такой параметризации в общем случае является скорее исключением, чем правилом. Например, уже в случае отображений / : Н1 —> К2, которые были исследованы в работах [41, 42], это неверно, и их анализ оказывается куда более трудной задачей.

Заметим, что во всех предыдущих результатах доказано лишь, что параметризация непрерывна. Регулярность параметризаций поверхностей уровня отображений / : Н™ —> К изучена в диссертациях Д. Виттоне [43] и Ф. Биголина [44]. При этом обнаружена интересная связь между поверхностями уровня отображений и нелинейными законами сохранения. Показано, что непрерывное отображение <р : К2 —> К параметризует поверхность уровня дифференцируемого отображения И1 —> К2 тогда и только тогда, когда она является слабым решением уравнения Хопфа <р1 + = ш для некоторой непрерывной правой части ш.

Это наблюдение оказалось очень удачным, поскольку позволило с новых позиций изучать как задачи теории поверхностей на группе Гейзенберга [45, 46], так и вопросы регулярности решений систем уравнений типа Хопфа при минимальной гладкости правой части [47].

Цели и задачи. Цель диссертационного исследования — установить различные геометрические и аналитические свойства субримановых пространств при минимальной гладкости векторных полей. В диссертации поставлены и решены трудные задачи анализа, ожидаемые и привычные для гладкого случая или в евклидовых пространствах, но не переносящиеся тривиально на случай векторных полей минимальной гладкости. Эти результаты представляют независимый интерес, но также являются фундаментом для дальнейших исследований.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Утверждение о том, что любые две точки многообразия Карно с С'-гладкими векторными полями можно соединить допустимой кривой.

• Доказательство неравенства Пуанкаре для многообразий Карно с С1,"-гладкими векторными полями.

• Доказательство теоремы об аппроксимативной дифферепцируемости для С'-гладких векторных полей.

• Свойства регулярности параметризаций гиперповерхностей на группах Карно.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Теорема об аппроксимативной дифферепцируемости является новой даже для С^-гладких векторных полей. В диссертации также были использованы оригинальные подходы, которые могут быть полезны в дальнейших исследованиях.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии, уравнений в частных производных и теории управления. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по анализу на субримановых пространствах, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация результатов. Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:

• ХЬУН международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», посвященная 50-летию НГУ. Новосибирск, 2009.

• Международная школа-конференция по геометрии и анализу. Кемерово, 2011.

• ХЫХ международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2011.

• Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2011.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. Новосибирск, 2012.

• Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2012.

• Школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтсния-2012». Казань, 2012.

• Международная школа-конференция «Управление и оптимизация нсголономных систем». Переславль-Залесский, 2013.

• Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология». Барнаул, 2013.

• Международная молодежная конференция «Геометрия и управление». Москва, 2014.

• Семинар по геометрическому анализу, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. и., профессор С. К. Водопьянов.

• Семинар лаборатории геометрической теории управления, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. и., профессор А. А. Аграчев.

• Семинар отдела анализа и геометрии, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: академик РАН, д. ф.-м. п., профессор Ю. Г. Решетник.

Публикации по теме диссертации. Полученные результаты опубликованы в 10 печатных и электронных изданиях [А1-А10], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [Al, АЗ, А4], одна — в зарубежном научном издании [А2] в соавторстве с д. ф.-м.н. С. К. Водопьяновым, шесть — в тезисах докладов и материалах конференций [А5-А10]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты глав 2 и 4 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1 и 3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым. Вклад соавторов в совместные работы равноправен и неделим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 101 наименование и приведен в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объем диссертации: 131 страница.

Содержание диссертации

Далее нумерация теорем совпадает с таковой в тексте диссертации.

В главе 1 диссертации мы вводим основной объект исследования — пространства Карно—Каратеодори и многообразия Карно с С'-гладкими векторными полями (см. определение 1) — и доказываем их базовые метрические свойства. В разделе 1.1 приводится определение и примеры таких пространств. В разделе 1.2 мы приводим вспомогательные определения и используемые в дальнейшем тонкие свойства пространств Карно—Каратеодори. Определим на пространстве Карно—Каратеодори локальные координаты двух типов:

Определение. Пусть М — пространство Карно—Каратеодори с С'-гладкими векторными полями. Фиксируем точку д € М. Отображение

Од : (xi.....хр,) i-> exp(xiXi +----Ь xNXN)(g)

назовем координатами 1-го рода, а отображение

Фя-(хi.....xN) exp(xfjXfj) о ••• о exp(xiA"i)(g)

назовем координатами 2-го рода.

Оба отображения являются С'-гладкими диффеоморфизмами некоторой окрестности нуля на окрестность точки д. По локальным координатам можно построить функцию расстояния следующим образом:

Определение. Если у = 0х(хi.....хц), то положим dx(x, у) = max{|x¿|l/'''''gA' : i — 1----, N}.

Аналогично, если у = ф£(уi____,У,\), положим d2(x,y) = max{|(/(-|1'drsA'¡ : г = 1.....N}.

Для достаточно близких х и у эти величины определены корректно. В работе [15] авторы доказывают, что величина dx(x.y) является квазиметрикой, т.е. неравенство треугольника выполнено в обобщенном смысле: dx(x,y) < Q(dx(x,z) + <lx(z,y)), где постоянная Q > 0 ограничена при х, у, г, принадлежащим компактному множеству. В работе [15] квазиметрика

dx это основная величина, через которую выражены оценки, с помощью которых доказана теорема Громова 3. Однако, сам Громов формулирует теорему 3 в координатах 2-го рода. В разделе 1.3 мы показываем, что величины d2 и dx эквивалентны. Сформулируем основной результат раздела 1.3.

Теорема 10. Пусть д € М. Существуют компактная окрестность U(д) С М и постоянные 0 < С\ < С-1 < ос такие, что C\dx(x,y) < d2(x,y) < C2dx(x,y) для всех х, у е U(g).

Раздел 1.4 посвящен исследованию соединимости точек многообразия Карно горизонтальными кривыми. Мы доказываем, что любые две точки связного многообразия Карно с С'-гладкими векторными полями можно соединить конечнозвенной ломаной, причем локально число отрезков интегральных линий и их длины контролируются. Основной результат раздела 1.4 следующий.

Теорема 13. Фиксируем точку до € М. Пусть Xi,..., — базис Hi. Тогда суще-

ствует окрестность U(g0) такая, что для любой пары точек g, v € U(g0) существует представление

v - exp(aLXjJ о ••• о exp(a2Xh) о ехр(щХ,,)^),

где 1 < ji < dim Hi, i = 1,..., L, L < N(2N — 1), |a;| < c2dx(g,v), постоянные L и c.2 не зависят от v, g.

В разделе 1.5 мы определяем метрику Карно—Каратеодори dcc и соответствующую ей меру Хаусдорфа "Н^ и приводим их основные свойства. Из результатов раздела 1.4 следует, что локально можно выбрать постоянную С > 0 такую, что dcc(x,y) < Cdx(x,y). С.К. Водопьянов и М. Б. Карманова в работе [21) используют результаты раздела 1.4, чтобы получить также обратную оценку. Прямым следствием этих результатов являются следующие свойства меры Хаусдорфа:

Теорема 17. 1) Хаусдорфова размерность М в метрике dcc равна

N М

V = deg Xk = ^ ¿(dim Hi - dim H^i). где H0 = {0}. t=l i = 1

2) В компактной окрестности U(<j), g € M, определены постоянные 0 < Ci < С-2 и г0 > О такие, что

/гу ГМ fry

T-L"[B(x, г о)] -CAvJ

для всех х е С/(д), 0 < г < г0.

Глава 2 посвящена доказательству неравенства Пуанкаре на многообразиях Карно и следствиям из него. Неравенство Пуанкаре доказано для С1,"-гладких векторных полей, а > 0, на областях Джона — обобщении областей с липшицевой границей.

Определение. Область i! С М называется областью Джона класса J(a,b), 0 < а < Ь, если существует точка хо 6 ii такая, что каждую igi! можно соединить с Хо спрямляемой кривой 7 : [0, /] —¥ Q, параметризованной длиной дуги, такой что

7(0) = х. 7(/) = ха. I <Ь. и distcc(7(s). 9С1) > ^ для всех s € [О,/].

Шары в метрике Карно—Каратеодори являются одним из примеров областей Джона.

Определение. Определим горизонтальный градиент V/// функции / € С1(М) как V/// =

(dim Hi ч I

Zj №/)2J ■

Определение. Под ¿^-нормой ||/||р.в локально интегрируемой функции f по открытому множеству U С М мы понимаем норму по субримановон мере Хаусдорфа

WfWP.u = (\\ny)\p<m"djy))ip.

и

В разделе 2.1 мы доказываем неравенство Пуанкаре, основной результат этого раздела следующий:

Теорема 19. Пусть j 6 М » 1 < р < ос. Тогда найдутся такие Ср > 0 и го > О, что для каждой области Джона fi С В(д,Го) класса J(a,b), 0 < а < 6, и для любой функции / £ Сх(Q) выполнено

II/ - /nllp.ii < Cp(i)"diam(n) ||V„/||p,n, где /п = [Н"(П)Г1 Jnf(y)d-H"(y).

В разделе 2.2 мы применяем результаты метрической теории Соболева, чтобы получить оценки соболевского типа:

Теорема 21. Пусть 3 € М u 1 < р < ос. Тогда найдется радиус го > 0 такой, что для любой области Джона Г2 С B(g.r0) класса J(a.b), 0 < о < Ь, и любой функции / 6 Lp(Q) такой, что |V///| е Lp(П), выполнено

(1) если р < v, то для q = выполнено

llZ-ZnlU^c^lv^iu

(2) если р = v > 1, то выполнено

MUf^(»)l|V„/l|J ) *"<*)< С*

(3) если р > v, то функция f локально непрерывна по Гёльдеру:

\f(x)-f(y)\ < !/)'"'||V„/|U

для всех х. у е П. Здесь

постоянные С\, ССз> С\ не зависят от выбора области Г!. Глава 3 посвящена результатам по аппроксимативной дифференцируемости отображений многообразий Карно. В разделе 3.1 мы вводим понятие дифференцируемости на многообразиях Карно и приводим известные результаты. В разделе 3.2 мы определяем аппроксимативный предел и аппроксимативную дифференцируемость, а также доказываем несколько вспомогательных результатов.

Определение. Аппроксимативнъил дифференциалом отображения многообразий Карно / : М —> М в точке jgM называется горизонтальный гомоморфизм L : Q" —> С/-"3' локальных групп Карно такой, что множество

{г € B,c(g.r) П е» : icc(/(t'). L(v)) > ed^g.v)}

имеет нулевую W-плотность в точке v = g для любого е > 0.

В разделе 3.3 мы формулируем и доказываем основной результат третьей главы.

Теорема 25. Пусть Е С М — измеримое множество в многообразии Карно М и пусть отображение / : Е —> М измеримо. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Отображение / имеет аппроксимативные производные арХ¿/ вдоль базисных горизонтальных векторных полей ■ ■., Х&тц1 почти всюду в Е.

2. Отображение / аппроксимативно дифференцируемо почти всюду в Е.

3. Для почти всех д е Е выполнено ар Шп < ос-

4. Существует последовательность попарно непересекающихся множеств (¡1,(22,...

зо

таких, что Ни(Е \ и = 0 и каждое ограничение f\Qí яипшицево. i=l

В разделе 3.4 в качестве приложений теоремы аппроксимативной дифференцируемо-сти мы даем альтернативное доказательство теорем типа Радемахера и Степанова, а также формулу площади для аппроксимативно дифференцируемых отображений.

В главе 4 изучаются поверхности уровня вещественнозначных отображений на группах Карно, непрерывно дифференцируемых в субримановом смысле. В разделе 4.1 мы вводим класс непрерывно дифференцируемых функций С;/(М), как класс непрерывных функций / € С0 с непрерывным горизонтальным градиентом V/// £ С0. В разделе 4.2 приводятся предварительные сведения о параметризациях поверхностей уровня непрерывно дифференцируемых функций на группах Карно. В разделе 4.3 мы изучаем регулярность таких параметризаций. Основной результат этого раздела следующий:

Теорема 38. Пусть и С П открыто и непрерывная функция ¡р : и К параметризует поверхность уровня некоторой функции } 6 С;1,(С). Тогда цз является слабым решением системы дифференциальных уравнений

щм») ■■= ^ы + £ (£^-'фу))=

_/ = 2.....Шт/Л, для некоторой непрерывной правой части (и>2,..., и>спт^)- Здесь р'2 —

многочлены, конкретный вид которых определяется структурой группы.

В качестве примеров, в конце четвертой главы выписаны уравнения, описывающие параметризации поверхностей уровня на группе Энгеля и двухступенчатых группах. Мы также получаем теорему площади для поверхностей, описываемых такими параметризациями.

Теорема 35. Пусть II С П открыто и непрерывная функция : II —» К параметризует поверхность уровня некоторой функции / е Тогда верна формула площади

Щ;\ф(Щ) = с(с) 10 + \\¥<<>ч>\*ас"-\

и

где С(С) > 0 — постоянная, а (1Р — метрика, эквивалентная метрике <1СС.

В заключении диссертации приведены итоговые результаты и перспективы дальнейшего развития.

Список литературы

1. Carathéodory С. Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik // Mathematische Annalen. - 1009. - V. 07. - P. 355-38G.

2. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне пеголономпого пространства допустимой линией // Уч. Зап. Пед. Инст. им. Либкнехта, Сер. Физ. Мат. - 1938. - Т. 2.

- С. 83-94.

3. Chow W. L. Uber système von linearen partiallen differentialgleichungen erster Ordnung // Mathematische Annalen. - 1939. - V. 117. - P. 98-105.

4. Hörmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Matheinatica. - 19G7.

- V. 119. - P. 147-171.

5. Rothschild L. P., Stein E. M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Matheinatica. - 1970. - V. 137, N. 3-4. - P. 247-320.

C. Hörmander L., Melin A. Free systems of vector fields // Arkiv for Matematik. - 1978. -V. 1G, N. 1. - P. 83-88.

7. Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1978. - V. 57. - P. 77-8G.

8. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. On the lifting and approximation theorem for non-smooth vector fields // Indiana University Mathematics Journal. - 2010. - V. 59, N. G. -P. 1889-1934.

9. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hürmander's vector fields and Poincaré's inequality // Forum Mathematicum. - 2013. - V. 25, N. 4. - P. 703-7G9.

10. Bramanti M., Brandolini L., Manfredini M., Pedroni M. Fundamental solutions and local solvability of nonsmooth Hörmander's operators // Preprint. - 2013. - arXiv : 1305.3398

11. Montanari A., Morbidelli D. Almost exponential maps and integrability results for a class of horizontally regular vector fields // Preprint. - 2012. - arXiv: 1201.5228 [math.DG]

12. Montanari A., Morbidelli D. Step-s involutive families of vector fields, their orbits and the Poincaré inequality // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 2013. - V. 99, N. 4. - P. 375-394.

13. Lanconelli E., Morbidelli D. On the Poincaré inequality for vector fields // Arkiv for Matematik. - 2000. - V. 38, N. 2. - P. 327-342.

14. Gromov M. Carnot-Carathéodory spaces seen from within // Sub-Riemannian Geometry. -V. 144 of Progress in Mathematics. - Basel: Birkhäuscr, 199G. - P. 72-323.

15. Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carnot-Carathéodory spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas / Analysis and Mathematical Physics. - Basel: Birkhäuser, 2009.

- P. 284-387.

IG. Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Matheinatica. - 1985. - V. 155. - P. 130-147.

17. Karmanova M. The New Approach to Investigation of Carnot-Carathéodory Geometry // Geometric and Functional Analysis. - 2011. - V. G. - P. 1358-1374.

18. Кармапова M. Б. Сходимость масштабированных векторных полей и локальная аппрок-

симациоиная теорема на пространствах Карно — Каратеодори и приложения // Доклады Академии Наук. - 2011. - Т. 440, N. 6. - С. 736-742.

19. Грешпов А. В. Доказательство теоремы Громова об однородной нильпотентной аппроксимации для С'-гладких векторных полей // Математические Труды. - 2012. - Т. 15, N. 2. - С. 72-88.

20. Карманова М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно—Каратеодори в условиях максимальной гладкости // Сибирский Математический Журнал. - 2014. - Т. 55, N. 1. - С. 109-123.

21. Karmanova M., Vodopyanov S. On Local Approximation Theorem on Equiregular Carnot-Carathéodory spaces // Geometric Control and Sub-Riemannian Geometry. - V. 5 of Springer INdAM Series. - Springer International Publishing, Switzerland, 2014. - P. 241-2G2.

22. Chernikov V.M., Vodopyanov S.K. Sobolev spaces and hypoelliptic equations. I // Siberian Advances in Mathematics. - 199G. - V. 6, N. 3. - P. 27-67.

23. Chernikov V. M., Vodopyanov S. K. Sobolev spaces and hypoelliptic equations. II // Siberian Advances in Mathematics. - 1996. - V. 6, N. 4. - P. 64-96.

24. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps on metric spaces with controlled geometry // Acta Mathematica. - 1998. -V. 181. - P. 1-61.

25. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev Met Poincaré // Mem. Amer. Math. Soc. - 2000. - V. 145, N. 688. x+101 pp.

26. Hajlasz P. Sobolev spaces on metric-measure spaces // Contemporary Mathematics. - 2003.

- V. 338. - P. 173-218.

27. Арнольд В. П., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. - T. 1. - М.: ВИНИТИ, 1985.

28. Jerison D. The Poincaré inequality for vector fields satisfying Hörmander's condition // Duke Mathematical Journal. - 1986. - V. 53, N. 2. - P. 503-523.

29. Rademaclier H. Über partielle und totalle Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale. I // Mathematische Annalen. -1919. - V. 79. - P. 340-359.

30. Stepanoff W. Über totale Differenzierbarkeit // Mathematische Annalen. - 1923. - V. 90.

- P. 318-320.

31. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость почти всюду // Математический сборник. - 1968. - Т. 75(117), N. 3. - С. 323-334.

32. Stepanoff W. Sur les conditions de l'existence de la différentielle totale (Об условиях существования полного дифференциала) // Математический сборник. - 1925. - Т. 32. -С. 511-527.

33. Fédérer H. Geometrie measure theory / Series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. - New York: Springer-Verlag New York Inc., 1969.

34. Federer H. Surface Area (I), (II) // Transactions of the American Mathematical Society. -1944. - V. 55. - P. 420-456.

35. Whitney H. On totally differentiable and smooth functions // Pacific J. Math. 1 1951. -

V. 1. - Р. 143-150.

30. Pansu P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Annals of Mathematics. - 1989. - V. 119. - P. 1-00.

37. Koranyi A.. Reiinann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Advances in Mathematics. - 1995. - V. 111. - P. 1-87.

38. Vodopyanov S.K. Geometry of Carnot-Carathéodory Spaces and Differentiability of Mappings // Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. - P. 247-302.

39. Vodop'yanov S.K. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.). - Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000. - P. 603-G70.

40. Franchi В., Serapioni R., Serra Cassano F. Regular hypersurfaces, intrinsic perimeter, and implicit function theorem in Carnot groups // Communications in Analysis and Geometry.

- 2003. V. 11, N. 5. - 909-944.

41. Leonardi G. P., Magnani V. Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group // Preprint. - 2010. - arXiv: 1009.5302 [math.AP].

42. Kozhevnikov A. Rugosité des lignes de niveau des applications difïérentiables sur le groupe d'Heisenberg // Preprint. - 2011. - arXiv:1110.3G34 [math.MG],

43. Vitonne D. Submanifolds in Carnot groups / Publications of the Scuola Normale Superiore, V. 7. - Pisa: Edizioni délia Normale, 2008.

44. Bigolin F. Intrinsic regular hypersurfaces in Heisenberg groups and weak solutions of non linear first-order PDEs / PhD thesis. - Trento: Universita Degli Studi di Trento, 2009.

45. Danielli D., Garofalo N., Nhieu D. M., Pauls S. D. Instability of graphical strips and a positive answer to the Bernstein problem in the Heisenberg group H1 // Journal of Differential Geometry. - 2009. - V. 81, N. 2. P. 251-295.

4G. Ritoré M., Rosales С. Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H1 // Advances in Mathematics. - 2008. - V. 219, N. 2. P. G33-G71.

47. Bigolin F., Serra Cassano F. Distributional solutions of Burgers' equation and intrinsic regular graphs in Heisenberg groups // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2010. - V. 3GG, N. 2. P. 5G1-5G8.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Басалаев С. Г. Параметризации поверхностей уровня вещсственнозначных отображений групп Карно / С. Г. Басалаев // Математические труды. - 2012. - Т. 15, N. 2. - С. 3-29.

А2. Basalaev S. G. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Carathéodory spaces / S. G. Basalaev, S.K. Vodopyanov // Eurasian Mathematical Journal. - 2013. - V. 4, N. 2.

- P. 10-48.

A3. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С'-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Доклады Академии паук. - 2013. - Т. 451, N. 6. - С. 607-G11.

A4. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С1,П|-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Сибирский математический журнал. - 2014. - Т. 55, N. 2. - С. 2G7-284.

А5. Басалаев С. Г. Аппроксимативная дифференцируемость отображений пространств Кар-но—Каратеодори / С. Г. Басалаев // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 50-летию НГУ. - Новосибирск: НГУ. - 2009. - С. 121-122.

А6. Басалаев С. Г. О регулярности параметризаций поверхностей уровня непрерывно горизонтально дифференцируемых вещественнозначных отображений групп Кар-но / С. Г. Басалаев// Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу (электронное издание). - Кемерово. - 2011. - 2 с. - URL: http://conference.kemsu.ru/conf/GA2011/ (дата обращения: 1.06.2014)

А7. Басалаев С. Г. Аппроксимативная дифференцируемость на пространствах Карно—Каратеодори / С. Г. Басалаев, С. К. Водопьянов // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2012. - С. 8-10.

А8. Basalaev S. On geometry of Carnot-Caratheodory spaces with C'-smooth vector fields / S. Basalaev, S. Vodopyanov // The Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov. Abstracts. - Saint-Petersburg: SPbSU, 2012. - P. 7.

A9. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С'-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Труды математического центра имени Н. II. Лобачевского. - Казань: КФУ. - 2012. - Т. 45. - С. 20-23.

А10. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С'-гладких векторных полей / С. Г. Басалаев // Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголоиомных систем». Тезисы докладов. - Переславль-Залесский: изд. «Университет города Переслав-ля». - 2013. - С. 28-30.

Басалаев Сергей Геннадьевич

Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 3.07.2014 г. Офсетная печать. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 221.

Отпечатано в ИП Малыгин А. М. пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский

государственный университет»

На правах рукописи

04201460847 Басалаев Сергей Геннадьевич

Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Водопьянов Сергей Константинович

Новосибирск - 2014

Оглавление

Введение ........................................................................4

Глава 1. Локальная геометрия многообразий Карно..............23

1.1. Определение многообразия Карно....................................23

1.2. Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори . . 26

1.3. Координаты второго рода..............................................32

1.4. Соединимость точек многообразия Карно горизонтальным кривыми ....................................................................35

1.5. Метрические свойства многообразий Карно ........................40

Глава 2. Неравенство Пуанкаре..........................................44

2.1. Доказательство неравенства Пуанкаре............. . _ 44

2.2. Следствия из неравенства Пуанкаре..................................54

Глава 3. Аппроксимативная дифференцируемость отображений

многообразий Карно......................................................58

3.1. Дифференцируемость в субримановой геометрии..................58

3.2. Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость ....................................................................61

3.3. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости..............64

3.4. Приложения теоремы об аппроксимативной дифференцируемости 85

Глава 4. Свойства поверхностей уровня слаборегулярных функций на группах Карно....................................................89

4.1. Непрерывно дифференцируемые отображение......................89

4.2. Гиперповерхности в группах Карно..................................90

4.3. Свойства параметризаций ^-регулярных поверхностей............95

Заключение

118

Список литературы ..............

Публикации автора по теме диссертации .

Введение

Настоящая работа посвящена геометрическим и аналитическим свойствам субримановых пространств при минимальной гладкости распределения допустимых направлений. Основным объектом изучения является многообразие Кар-но — обобщение эквирегулярного пространства Карно—Каратеодори, образованное С1-гладкими векторными полями. В диссертации доказывается, что любые две точки такого пространства можно соединить абсолютно непрерывной горизонтальной кривой, т.е. выполнен результат, аналогичный классической теореме Рашевского—Чоу. Как следствие, показано, что на многообразии Кар-но определены метрика Карно—Каратеодори и мера, удовлетворяющая условию удвоения. Далее, показано, что при некоторой дополнительной регулярности выполнен аналог неравенства Пуанкаре, который мы доказываем для - областей Джона—Также -исследуется регулярность отображений многообразий Карно. Мы определяем аппроксимативно дифференцируемые отображения и доказываем эквивалентные критерии аппроксимативной дифференцируемости. частичные аналоги известных в классическом анализе теорем Степанова и Уит-ни. Наконец, в заключительной части диссертации исследуются параметризации регулярных в субримановом смысле гиперповерхностей на группах Карно.

Обзор темы диссертационного исследования

Напомним, что субримановым пространством называется С°°-гладкое ри-маново многообразие М с заданным на нем распределением Н С ТМ меньшей размерности и скалярным произведением (•, •) : Н х Н —> М. Распределение Н называется горизонтальным и задает допустимые направления движения, т. е. допустимыми траекториями в субримановом пространстве являются абсолютно непрерывные кривые 7 такие, что 7 Е Н почти всюду.

Впервые объекты такого типа появились в работе К. Каратеодори 1909 г. [1], в которой термодинамический процесс моделируется как кривая в Мп, а

изменение тепла — как интеграл подходящей 1-формы в вдоль этой кривой. Физик С. Карно доказал, что существуют состояния, между которыми нельзя перейти по адиабатических процессам. В терминах Каратеодори это означает, что их нельзя соединить кривой, вдоль которой в вырождается. В честь этих ученых, метрику, возникающую как точную нижнюю грань длин некоторого класса допустимых кривых, называют метрикой Карно—Каратеодори. а соответствующие метрические пространства — пространствами Карно—Каратеодори. Приложения субримановых пространств и более общих пространств Кар-но^Каратеодори достаточно обширны, они естественным образом возникают в теории гипоэллиптических операторов [2-4], теории оптимального управления [5], а также находят приложения в экономике [6, 7], квантовом управлении [8-10], нейробиологии [11-13] и многих других инженерно-прикладных задачах [14-23].

В математической модели термодинамического процесса, построенной Каратеодори, существовали состояния, недостижимые по допустимым путям. Естественным был вопрос о том, какими условиями должно обладать распределение допустимых направлений. Ответ на этот вопрос был независимо получен в 1938-39 гг. П. К. Рашевским [24] и В. Л. Чоу [25]. Рассмотрим на многообразии М набор С°°-гладких векторных полей Х\,... ,Хп. Коммутатор двух векторных полей X и У определяется как величина [X, У] — ХУ — УХ. Коммутатором порядка г назовем итеративный коммутатор

. . . [Х^^Х^] ...]].

Теорема 1 (Рашевский, Чоу). Пусть М — связное многообразие. Если существует такое натуральное г, что векторные поля ... .Хп и их коммутаторы до порядка г включительно порождают все касательное расслоение ТМ. то любые две точки х, у Е М можно соединить абсолютно непрерывной кривой, составленной из конечного числа отрезков интегральных линий векторных полей Х\,..., Хп.

Эта теорема имеет важное значение для задач управления, поскольку, если векторные поля ..., Хп удовлетворяют условиям теоремы 1, то для краевой задачи

= Щ^Х^Ь) + • • • + ип(1)Хпд{1), д(0) = ч{Т) = (1)

найдутся управляющие параметры щ, доставляющие решение уравнения.

В анализе значительный интерес к субримановым пространствам возник после работы Хёрмандера [26] 1967 г. Исследуя гипоэллиптичность операторов определенного вида, он пришел в точности к тому же условию, что и в теореме Рашевского—Чоу.

Теорема 2 (Хёрмандер). Пусть С00-векторные поля Х\,... ,Хп удовлетворя-

п

ют условиям теоремы 1. Тогда оператор Ь = ^ Хг2 + Х\ является гипоэллип-

1=1

тическим, т. е. если и — решение дифференциального уравнения _ ____

п

Ьи = ^ Х}и + Хги = / (2)

г=2

в смысле распределений и / £ С°°, то и Е С°°.

Одним из важных примеров уравнений типа (2) является уравнение Колмогорова

д2и ^ ди ди дх2 ду дЬ описывающее процесс диффузии.

Важный класс субримановых пространств представляют так называемые эквирегулярные субримановы пространства. Горизонтальное распределение Н индуцирует на ТМ фильтрацию

н = #1 с я2 с • • • с нг = тм, (з)

где Нк = 8Рап{[Х<1, ... [Х^Х^] ... ]] : т = 0,... , к} и {Х^=1 - базис Н. Если в окрестности некоторой точки жо размерности постоянны,

точка называется регулярной. Пространство Карно—Каратеодори, состоящее только из регулярных точек называется эквирегулярным. В 1976 г. Л. П. Ротшильд и И. М. Стейн [2] доказали, что в окрестности регулярной точки субрима-ново пространство может быть приближено нильпотентной стратифицированной группой Ли (группой Карно), так же как риманово многообразие локально приближается евклидовым пространством. В этой же работе ими показано, что произвольное пространство Карно—Каратеодори можно расширить до некоторого эквирегулярного пространства большей размерности. В дальнейшем были разработаны различные обобщения и модификации этого метода [27-29], позволяющие свести исследование многих задач на произвольных пространствах Карно—Каратеодори к изучению эквирегулярных пространств.

Задачи (1) и (2) достаточно хорошо изучены для С°°-гладких векторных полей, однако практические задачи как правило имеют куда меньшую регулярность. В связи с этим только естественно изучать субриманову геометрию, возникающую при пониженной регулярности векторных полей. В работах М. Браманти, Л. Брандолини и М. Педрони [29-31] изучены базовые свойства векторных полей и соответствующих операторов Хёрмандера гладкости Ст~1,а. где г — глубина пространства Карно—Каратеодори, т. е. при минимально возможной гладкости, при которой еще имеют смысл классические условия Рашевско-го—Чоу (см. теорему 1). Некоторые классы негладких векторных полей также изучены в работах [32-34].

Новый подход к изучению пространств Карно—Каратеодори пониженной гладкости предложили С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова. Основываясь на идеях работы М. Громова [35], в работе [36] 2009 г. они определили эквирегу-лярное пространство Карно—Каратеодори для С1,а-гладких векторных полей, 0 < а < 1. следующим образом:

Определение 1. А^-мерное С°°-гладкое риманово многообразием назовем пространством Карно—Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ фикси-

рована последовательность С1,а-гладких подрасслоений

Н = #1 С Я2 с • • • С Ям = тш.

постоянной размерности таких, что [Hi, Hj] С Hi+j для г + j < М. Кроме того, пространство Карно—Каратеодори называется многообразием Карно, если

Hk = span{#fc_i, [Щ, Hj) : i+j = к}. (4)

Заметим, что в окрестности х G М можно выбрать базис из С1,а-гладких векторных полей Х\,... ассоциированный с расслоением (4), т.е. такой,

что Hi = span{Xi,..., Adimtf,}- М. Громов в работе [35] сформулировал следующее утверждение:

Теорема 3. Положим degXj = min{m : Х{ £ Hm} и рассмотрим семейство векторных полей. {edeg^Xi}. Если это семейство-масштабировать ее-раз относительно точки д G М. т. е. взять подходящие локальные координаты вд и осуществить растяжение

Д? : вд(хъ ...,xN)^ вд{е-^хъ ... ,£-d^XNxn),

то существует равномерный предел (A%)*edegXtXi —> Xf, где векторные поля Xf образуют базис нильпотентной градуированной группы Ли.

Таким образом, нильпотентная градуированная группа Ли (группа Карно в случае многообразия Карно) является в определенном смысле касательным пространством к пространству Карно—Каратеодори. Громов сформулировал эту теорему для С1-гладких векторных полей, однако В. Берестовский показал (см. [36, Example 2.2.15]), что его рассуждения даже для гладкого случая требуют исправлений. С. К. Водопьянов и М.Б. Карманова предложили иное доказательство этой теоремы для С1-гладких векторных полей, а также получили оценки расхождения геометрий исходного пространства и приближающей его локальной группы. Эти результаты позволили им в случае а > 0 доказать

ряд свойств, привычных для классических пространств Карно—Каратеодори, в том числе:

• любые две точки связного многообразия Карно можно соединить абсолютно непрерывной кривой, состоящей из счетного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей (аналог теоремы 1);

• шар Карно-Каратеодори можно вписать в параллелепипед и описать вокруг параллелепипеда контролируемых размеров (так называемая Ball-Box теорема [37]).

Заметим, что при доказательстве этих результатов существенно использовалась регулярность С1,а. а > 0. Авторы недавних работ [38-42] предложили новые доказательства тонких свойств многообразий Карно и более слабые оценки без использования дополнительной регулярности (т.е. при а = 0). Эти результаты используются в настоящей диссертации для доказательства метрических свойств С1-гл"адких^ногообразий Карно.

Одним из приложений результатов настоящей диссертации является построение адекватной теории пространств Соболева на многообразиях Карно. Пространства Соболева на пространствах Карно—Каратеодори служат для определения классов решений субэллиптических уравнений [43, 44]. В настоящее время стремительно развивается теория Соболева в достаточно общих метрических пространствах (см., напр., [45-47] и ссылки в них). В работе [46] показано, что для получения оценок соболевского типа на метрическом пространстве с мерой достаточно потребовать условие удвоения меры и выполнение некоторого аналога неравенства Пуанкаре. Таким образом, для получения оценок соболевского типа на многообразиях Карно ключевыми шагами являются:

1) доказать существование метрики Карно—Каратеодори dcc;

2) доказать, что мера Хаусдорфа где v — хаусдорфова размерность многообразия Карно, удовлетворяет условию удвоения;

3) доказать, что выполнено неравенство Пуанкаре следующего вида:

||/-/п1ир(П) < II№/,••• ,^п/)|и,(п), (5)

где ..., Хп — базис горизонтального распределения Н, а Г2 — область определенного класса.

В настоящей диссертации пункты 1) и 2) доказаны для С1-гладких векторных полей, неравенство Пуанкаре вида (5) получено для С1,а-гладких векторных полей, а > 0, если 1<р = д<ооиГ2 — область Джона.

Неравенство Пуанкаре вида (5) на пространствах Карно—Каратеодори впервые было получено в работе Д. Джерисона [49] для шаров Карно—Каратеодори и Р — Ч — 2. Результаты и методы этой работы были затем использованы многими авторами в исследовании субэллиптических уравнений [50-52], для получения оценок соболевского типа [53-56] и других приложений. Упомянем также работу [57], в которой получено неравенство Пуанкаре на группах Карно для производных произвольной степени, работы [33, 34], в которых неравенство Пуанкаре получено для некоторых классов негладких векторных полей и [30], в которой данный результат получен для Сг_1,1-гладких полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.

Третья глава диссертации посвящена вопросам дифференцируемости отображений многообразий Карно. В классическом анализе хорошо известен результат, доказанный X. Радемахером в 1919 г.:

Теорема ([58]). Пусть II — открытое множество в М11 и и —> Мт — липшицево отображение. Тогда / дифференцируемо почти всюду в II.

Условие липшицевости является лишь достаточным и В. В. Степанов в 1923 г. доказал дифференцируемость почти всюду более общего класса функций:

Теорема 4 ([59]). Если множество АсКп измеримо и отображение /:£/—>

Rm удовлетворяет условию

— \f(x)-f{a)\

lim-:-:-<00 в каждой точке а G А,

х-^а \х — а\

то f дифференцируемо почти всюду в А.

Дальнейшее обобщение стало возможно благодаря введенному Степановым понятию аппроксимативного дифференциала, т. е. дифференциала, который рассматривается не в классическом смысле а в смысле предела по мере, аппроксимативного предела. Поясним это понятие. Плотностью измеримого множества Y С Шп в точке х G Rn называется предел

\Y П В{х, г)|

lim -гт77-п-•

г—>+о \В(х,г)\

Известно, что почти все точки измеримого множества Y являются точками плотности (т.е. их плотность равна 1), а почти все точки множества Rn \ Y

имеют плотность 0. Значение у € RTO называется аппроксимативным пределом отображения / : Е С Rn —)• Rm в точке плотности xq G Е (обозначается у = ар lim f(x)). если множество {х G B(xo,r) : |f(x) —у\ > е} имеет нулевую

х—>Жо

плотность в точке Xq для любого г > 0.

Идея аппроксимативного предела тесно связана с фундаментальным понятием геометрической теории меры — понятием измеримости. Известно (см., напр., [60]), что отображение евклидовых пространств измеримо тогда и только

тогда, когда оно аппроксимативно непрерывно почти всюду.

ffx tv\ _ f(x\

Если мы рассмотрим сходимость отношения- к значению

t

L{v) линейного отображения L : Rn —» Rm в различных топологиях единичного шара .0(0,1) С Rn, то мы придем к различным понятиям дифференцируемости. Сходимость к L в равномерной топологии C(J3(0,1)) дает нам классическую дифференцируемость. Сходимость к L по мере дает понятие аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах (см.. напр.. [61]).

Следует отметить, что если отображение имеет классический дифференциал, то оно имеет и совпадающий с ним аппроксимативный, т.е. понятие ап-

проксимативной дифференцируемости обобщает классическое понятие дифференцируемое™.

Используя понятие аппроксимативного дифференциала В. В. Степанов доказал [62], что отображение аппроксимативно дифференцируемо почти всюду тогда и только тогда, когда оно имеет аппроксимативные частные производные по каждой переменной почти всюду. Это утверждение является аппроксимативным аналогом классического результата о том, что отображение непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно имеет непрерывные частные производные. Различные критерии аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах были получены Г. Федерером [60, 63] и X. Уитни [64].

Подходящее понятие дифференцируемости на группах Карно, называемое теперь "Р-дифференцируемостью, было определено П. Пансю в работе [65]. Отображение групп Карно V-дифференцируемо, если оно приближается гомоморфизмом групп в метрике Карно—Каратеодори. Это понятие было введено для доказательства некоторых результатов теории квазиконформных отображений [65, 66]. Некоторые классы V-дифференцируемых отображений групп Карно были описаны в [67-69] с целью получения некоторых формул геометрической теории меры и некоторых важных результатов квазиконформного анализа [70-75].

В работах [36, 76] понятие V-дифференцируемости было расширено для отображений Карно—Каратеодори для доказат