Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕЛИВАНОВА Светлана Викторовна

МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

КАРНО - КАРАТЕОДОРИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2011

1 9 МАЙ 2011

4847365

Работа выполнена в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич

доктор физико-математических наук, доцент Васильчик Михаил Юлианович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 9 июня 2011 года в 15 — 00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН (630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптю-га, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 6 мая 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В данной работе мы исследуем некоторые геометрические, алгебраические и аналитические аспекты теории пространств Карно - Каратеодорн, обобщающих классические субри-мановы пространства и важных для многих приложений, включая теорию оптимального управления, теорию субэллиптических уравнений и др. Приведем мотивацию проводимых исследований и осветим основные этапы развития субримановой геометрии и ее обобщений.

Напомним, что локально произвольное векторное поле на многообразии М может быть представлено в виде дифференциального опера-

N

тора первого порядка Х^ = действующего на функцию

j=l 3

/ € С°°(М), а гладкость векторного поля Х1 определяется гладкостью его координатных функций а^(х). Коммутатор двух векторных полей определяется по формуле Х0] = XiX3 — XjXi и также является векторным нолем.

Субримановым пространством М называется связное гладкое рима-ново многообразие с заданными на нем горизонтальными С°°-гладк1Ши векторными полями {Х1,... ,Хт}, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка М порождают все касательное пространство к М в каждой точке (условие Хёрмандера). Число М называется глубиной субриманова пространства. Горизонтальные векторные поля естественным образом индуцируют фильтрацию касательного расслоения

ЯМ = Я! С Я2 С ... С Нм = ТМ,

элементы которой

обладают свойством [Н\, Я;] = Я1+1.

Точка и £ М называется регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех II^ постоянны, иначе точка называется нерегулярной.

Отметим, что случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Например, на К2 горизонтальные векторные поля ЯМ = нрап!^, хШ)ду} задают структуру субриманова пространства глубины М = 101 (точки, для которых х = 0, нерегулярны), в то время как регулярных субримановых структур на К2 не существует. Поэтому методы работы с нерегулярными субримановыми пространствами основаны на новых, по сравнению с регулярным случаем, идеях.

Субримановы пространства моделируют физические процессы, в которых движение возможно лишь вдоль нескольких выделенных "горизонтальных" направлений (в частности, такие пространства описывают конфигурационное пространство в неголономной механике подобно тому как римановы пространства — в классической, т. е. голономной, механике) и естественным образом возникают во многих приложениях и смежных областях математики (см. [1,3,11,13,16,22,24,27,30,32,34,36,37] и ссылки в этих работах).

В 1967 г. в работе [24] Л. Хёрмандер доказал, что условие о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей {Л'о, Х\,..., Хт} является необходимым и достаточным условием гипоэллиптичности дифференциального оператора второго порядка

т

Р = ^2Х? + Хо+с-1=1

Уравнения Ри = / называются субэллиптическими или вырожденными эллиптическими уравнениями (простейшим примером таких уравнений является уравнение Колмогорова, описывающее процесс диффузии).

В 1971 г. И. Стейн выдвинул программу исследования геометрии векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, с целью изучения геометрии особенностей ядер фундаментальных решений субэллиптических уравнений.

В 1976 г. Л. Ротшильд и И. Стейн [34] показали, что в окрестности регулярной точки субриманово пространство можно приблизить ниль-потентной стратифицированной группой Ли, а также предложили метод сведения некоторых вопросов для нерегулярных точек к случаю регулярных точек. Этот метод основан на вложении исходного про-

странства в регулярное субриманово пространство большей размерности. Позже были предложены различные его модификации и обобщения [18,20,25,26], идеи некоторых из которых мы используем в настоящей работе.

Дальнейшее изучение теории субэллиптических уравнений привело к необходимости выработки более общих постановок задач, в частности ослабления условия Хёрмандера [18,32] и снижения требований на гладкость порождающих пространство векторных полей [14,29].

Что касается теории оптимального управления: тот факт, что любые две точки многообразия М можно соединить кривой, являющейся решением системы уравнений

тп

x = Y^ai{t)Xi(x) (1)

¿=1

(т. е. другими словами, управляемость этой системы) эквивалентен базовому факту субримановой геометрии — теореме Рашевского — Чоу [9,17] о том, что любые две точки можно соединить горизонтальной кривой при выполнении условия Хёрмандера. Элементарный вариант этой теоремы (при m = N — 1) был доказан еще в начале XX века Каратеодори в связи с вопросами термодинамики Карно. Следует отметить, что в практически важных задачах ранг системы векторных полей {Х\,..., Хт] редко бывает постоянен в каждой точке, поэтому рассмотрение нерегулярных точек становится принципиальным.

Отметим актуальность рассмотрения более общей постановки задачи [10,19], когда зависимость от управляющего параметра нелинейная:

х = f(x, a), xeRN,aeRm х(0) = х0.

Необходимым условием локальной управляемости этой системы является следующее условие:

span jh(0) : h е Lie j 0), a € NM J J = TXoM.

Естественным образом возникает фильтрация касательного расслоения: обозначим

Тогда Но С Н\ С ... С Нм = ТМ. Эта фильтрация обладает свойством [#г, #,] С Нг+з- Таким образом, и для теории оптимального управления важно рассмотрение пространств, заданных более общей фильтрацией, чем классические субримановы пространства.

Кроме того, и в задачах теории оптимального управления интересен вопрос о снижении гладкости задающих систему векторных полей, см., например, работу [33], в которой рассматривается случай липшицевых векторных полей и глубины М = 2.

Следует также упомянуть о появлении новых моделей в нейробио-логии, описываемых геометрией Карно - Каратеодори, для уточнения которых существенно понизить требования на гладкость векторных полей до минимальных.

Таким образом, бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к появлению множества различных определений, задач и подходов. В данной работе мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно - Каратеодори, охватывающую широкий спектр описанных выше подходов и приложений, и исследуем свойства полученного объекта.

Поясним теперь актуальность основных задач, которые решаются в диссертации.

Вернемся к рассмотрению системы (1). Пусть А{Ь,хо) — множество всех точек, достижимых из точки хо за время 0 ^ т ^ В силу условия Хёрмандера множество А(Ь,хо) непусто. Изучение его структуры может быть сложным. С помощью стандартной линеаризации получаем систему, для которой это множество может быть пусто. В качестве аппроксимации, которая сохраняет субриманову структуру, подходит нильпотентная аппроксимация. Различные варианты предлагались в [11,12,20,23,34], их построение тесно связано с выбором удобной для вычислений системы координат.

Я( := йрап{[/1,..., [/¿_1, /¿]] | £ , + ... + ¡л ^ /}.

Проблема выбора аппроксимаций ставится следующим образом: найти аппроксимацию исходных векторных полей векторными полями {X"}, которые образуют нильпотентную алгебру Ли и таковы, что

X, = X" + Щ,

где векторные поля имеют больший порядок малости. Условие нильпотентности сильно упрощает вычисления, поскольку коэффициенты векторных полей становятся полиномиальными. При этом естественно пытаться подобрать поля {X"} так, чтобы все их коммутаторы в точке и совпадали со значениями соответствующих коммутаторов исходных векторных полей {X"). Такой выбор аппроксимаций возможен для свободных векторных полей [34] (при этом точка является регулярной); в общем же случае нильпотентных аппроксимаций с таким свойством может не существовать. Однако, возможен выбор нильпотентных аппроксимаций такой, что Нк(и) = Нк{и), где

Нк(и) = 8рап{[Х£,..., [XV , XV ]](«)}.

В связи с теорией оптимального управления встает вопрос о расхождении интегральных линий векторных полей {А';} и {X"}. Получение оценок расхождения позволяет построение алгоритмов планирования движения для системы (1) [26] и оценивать их сложность.

Тесно связан с построением нильпотентных аппроксимаций вопрос о локальной структуре субримановых пространств.

Хорошо известно, что риманово многообразие с первым порядком точности приближается евклидовым пространством. В 1981 г. М. Громов предложил понятие касательного конуса к метрическому пространству [21], обобщающее понятие касательного пространства к гладкому многообразию (касательный конус к риманову пространству в каждой точке — евклидово пространство). Касательный конус к (X, £) в точке х £ X определяется как предел пунктированных метрических пространств (X, .т, А • (I) при Л —> оо, при этом сходимость вводится с помощью расстояния по Громову — Хаусдорфу между двумя абстрактными метрическими пространствами.

Отмстим, что из теоремы Рашевского - Чоу вытекает существование на субримановом пространстве внутренней метрики Карно - Каратео-дори (Iс, определяемой как точная нижняя грань кривых, соединяющих две данные точки.

В 1985 г. Дж. Митчелл [28], в 1996 М. Громов [22], А. Беллаиш [И], в 2001 г. Ф. Жан [26] доказали существование и исследовали алгебраическую структуру касательного конуса к субримановому пространству: это есть нильпотентная стратифицированная группа Ли в регулярной точке и фактор-пространство такой группы по ее подгруппе изотропии (относительно естественном образом определяемого действия) в нерегулярной точке.

При рассматриваемых нами обобщениях, большинство классических методов изучения локальной и метрической геометрии пространств Кар-но - Каратеодори неприменимы, требуется выработка новых подходов. В частности, теорема Рашевского - Чоу может быть неверна, и внутренней метрики в,с может не существовать. Возможно введение различных квазиметрик [32] (основное отличие квазиметрики от метрики заключается в том, что неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, т. е. с некоторой константой). По ряду причин, прямолинейное обобщение теории Громова на квазиметрические пространства невозможно. Таким образом, становится актуальным вопрос о введении адекватного определения касательного конуса к квазиметрическому пространству, которое естественным образом обобщало бы определение Громова для метрических пространств, и исследование вопроса о существовании и структуре касательного конусе к квазиметрическому пространству Карно - Каратеодори.

Для случая регулярных пространств Карно - Каратеодори вопросы локальной геометрии при минимальной гладкости векторных полей изучались в [4-7,27]. В 2007-2010 гг. С. К. Водопьянов и М. Б. Кар-манова предложили новый подход, позволяющий доказать, для случая регулярных точек и С1,"-гладких векторных полей (а > 0), аналоги большинства классических теорем субримановой геометрии. В частности, они доказали теоремы о построении нильпотентных аппроксимаций, о расхождении интегральных линий, локальную аппроксимацион-

ную теорему в одной из квазиметрик, введенных в [32].

Вопрос о локальной структуре нерегулярных квазиметрических пространств Карно - Каратсодори исследуется в настоящей работе впервые.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. К. Водопьянову за постановку задач, плодотворные дискуссии и неоценимую поддержку в работе. Автор также благодарит М. Б. Карманову за консультацию по поводу работы [7].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1. Сформулировать обобщающую концепцию нерегулярных (квази)метрических пространств Карно - Каратеодори, охватывающую описанный выше широкий спектр приложений и подходов, и исследовать локальную геометрию таких пространств;

2. Построить адекватную метрическую теорию и изучить алгебраическую структуру касательного конуса к пространству Карно — Каратеодори.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. 1. Исследована локальная геометрия (квази)метрических пространств Карно —Каратеодори класса См+1 (здесь М — глубина пространства) в окрестности нерегулярной точки. Доказаны теорема о расхождении интегральных линий и локальная аппроксимационная теорема.

2. Построена теория сходимости для квазиметрических пространств, обобщающая классическую теорию Громова для метрических пространств.

3. Доказано существование и исследована алгебраическая структура касательного конуса к нерегулярному (квази) метрическому пространству Карно — Каратеодори.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Методика исследования основывается на синтезе и обобщении работ [23,26,27,32,34]. Кроме того, в работе развиты новые методы работы с квазиметрическими пространствами, в частности, квазиметрическими пространствами Карно — Каратеодори.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы могут быть применены в неголономной теории управления для постро-

ения алгоритмов планирования движения и оценки их сложности, а также в теории субэллиптических уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на International Congress of Mathematicians (19-27 August 2010, Hyderabad, India); на International conference «New trends in sub-Riemanian geometry» (29 March-2 April 2010, Nice-Sophia Antipolis, Prance); на Международной школе-конференции по геометрическому анализу (2-9 августа 2010, Горно-Алтайск); на Российской конференции «Топоноговские чтения 2010» (С марта 2010, Новосибирск); на International conference «Harmonic analysis, geometric measure theory and quasiconformal mapping» (14-20 June 2009, Belaterra, Spain); на Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (14-20 сентября 2009, Новосибирск); на Международной конференции «Mal'tsev Meeting», посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева (24-28 августа 2009, Новосибирск); на Международной школ е-конференции по геометрическому анализу (17-21 августа 2009, Горноалтайск), на XLVII Международной студенческой конференции (13-17 апреля 2009, Новосибирск); на семинаре «Геометрический анализ» Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством С. К. Водопьянова; на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством Ю. Г. Решетняка.

По результатам работы получены стипендия Сибирского математического журнала (2009 г.), стипендия Московского Независимого Университета (2010 г.) и премия «Лучшие аспиранты РАН» (2010 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в [40]- [53].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 137 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. В первой главе мы приводим основные понятия, примеры и известные результаты теории пространств Кар-но - Каратеодори и смежных метрических вопросов, необходимые для дальнейшего. А именно, в п. 1.1 мы приводим примеры и некоторые базовые факты "классической" субримановой геометрии. В частности, вводится метрическая структура на субримановом пространстве. П. 1.2 посвящен изложению основ теории Громова сходимости метрических пространств и их обобщений [3]. Кроме того, в этом пункте фомули-

руется теорема о касательном конусе к субриманову пространству с внутренней метрикой Карно — Каратеодори, сухдествующей по теореме Рашевского — Чоу. В п. 1.3 приведены некоторые базовые сведения о квазиметрических пространствах.

Определение. Квазиметрическим пространством (X,dx) называется топологическое пространство X с заданной на нем квазиметрикой dx- Квазиметрикой называется отображение dx '■ X х X —> Е+, обладающее следующими свойствами:

(1) dx(u, v) ^ 0; dx(u,v) = 0 тогда и только тогда, когда и = v;

(2) dx(u,v) ^ cxdx(v,u), где 1 < сх < °о — некоторая константа, общая для всех и, и € X;

(3) dx(u,v) ^ Qx(dx(u,w) + dx{w,v)), где 1 ^ Qx < оо — некоторая константа, общая для всех u,v,w € X (обобщенное неравенство треугольника);

(4) функция dx(u,v) полунепрерывна сверху по первому аргументу.

Если сх = Qx = 1) то (X,dx) — метрическое пространство.

П. 1.4 посвящен обзору основных результатов работ [4,7,27] по локальной геометрии регулярных квазиметричесих пространств Карно — Каратеодори. П. 1.5 — по локальной геометрии многообразий Карно [4,27]. '

Вторая глава посвящена изучению локальной геометрии квазиметрических пространств Карно - Каратеодори в нерегулярной точке.

В п. 2.1 мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно - Каратеодори, которая охватывает

1) "классические" субримановы пространства, заданные набором "горизонтальных" векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрманде-ра (при этом условия на гладкость могут быть минимально возможные, как в [14,29,33]);

2) регулярные пространства Карно - Каратеодори, рассматриваемые в работах [4-7,27);

3) определение работы [18], в котором горизонтальные векторные поля могут иметь различные формальные степени, и более общее определение [32].

Определение. Связное гладкое многообразие М размерности dim М = N назовем пространством. Карно - Каратеодори класса С'р, если суще-

ствует фильтрация касательного расслоения

ЯМ = Я! С #2 С ... С Нм = ГМ и набор векторных полей Х\, ...,Хч 6 Ср(11), V С М, такие, что Нк=5-раа{ХиХ2,...,Хцк}, к = 1,2,...,М, Щ ^ ц

и

[Я,, н3\ с нг+г

Здесь под коммутатором подразумевается линейная оболочка

коммутаторов векторных полей, порождающих Я, и Я^-; Ик ^ сНтЯ*;, где (ИтЯ*,. — максимальная размерность элемента фильтрации Н^ в окрестности I/ (вообще говоря, размерность может меняться от точки к точке). При этом допускается случай, когда Я5 = ... = Я¿0 = {0} для некоторого 1 ^ ¿о < М.

Минимальное число М элементов фильтрации называется глубиной пространства Карно - Каратеодори.

В настоящей работе мы исследуем пространства Карно - Каратеодори класса См+1 и предполагаем, что каждому векторному полю присвоена степень = 1 < ¿\ < <¿2 ^ • • • ^ <1Ч ^ М. Обозначим через

Х1 = [Х^, [..., ...]

коммутатор порядка к — 1, где I = (гь... — произвольный мульти-индекс. Предположим, что

5рап{Х/(^)}|/) = Ту М

для всех V & и, где \1)ь = с^ + ... + Будем также считать, что Х1 £ См+1(и) для всех мультииндексов I таких, что \1\н ^ М.

Тогда векторные поля задают на II структуру простран-

ства Карно - Каратеодори класса См+1. При этом Я, = 5рап{Х/}|/|,<у.

В п. 2.2 мы приводим примеры пространств Карно - Каратеодори, которые не являются субримановыми пространствами в классическом смысле. В связи с этим следует отметить два важных обстоятельства: 1. В рассматриваемой ситуации может возникать следующий неожиданный эффект: при разных расстановках весов для одних и тех же

векторных полей можно получать различные комбинации соотношения регулярных и нерегулярных точек на пространстве Карно - Каратеодо-ри (в п. 2.2 приведены соответствующие примеры). В связи с этим необходимо модифицировать процедуру выбора базиса, по которому будет строиться система координат (см. различные способы выбора базисов в [11,23,26,32]: "нормальный" базис, "минимальный" базис, "ассоциированный" базис, базис удовлетворюящий условию максимальности объема и т.д.).

2. В рассматриваемых предположениях теорема Рашевского — Чоу, влекущая существование на (У внутренней субримановой метрики, может быть неверна. В связи с этим, для измерения расстояний мы рассматриваем следующую функцию (одну из предложенных в [32] для удобства вычислений) и доказываем, что она является квазиметрикой на I/:

р(у, ъи) = > 0 | существует кривая 7 : [0,1] —► и такая, что

7(0) = и17(1) = «',7(*)= X! ™Л(7(г)),Ы

Отметим, что для случая регулярных пространств Карно - Каратео-дори введенная квазиметрика совпадает с рассматриваемой в [5-7, 27] квазиметрикой (100. П. 2.3 посвящен выбору базиса.

В п. 2.4 с помощью выбранного базиса строится система координат второго рода, в которой производится построение нильпотентных аппроксимаций {Х/}|.г|,,^лг> обобщающее схему, предложенную в [23]. Следует заметить, что, в отличие от случая регулярных пространств Карно - Каратеодори, согласования начальных данных Х](и) = Х^(и) в общем случае может не быть.

Одним из ключевых технических инструментов при изучении локальной геометрии пространств Карно - Каратеодори является изложенная в п. 2.6 конструкция свободных векторных полей, продолжающих данные на регулярное пространство Карно - Каратеодори М = М х Ел'~л' большей размерности N ^ N. Эта конструкция синтезирует и обобщает методы работ [18,26] и позволяет применить результаты работ [4,27] по регулярным пространствам Карно - Каратеодори.

В п. 2.7 изучаются свойства квазиметрик р и ри, где ри строится в п. 2.5 по векторным полям {-AT" }|/|h^Ai так же, как р по исходным векторным полям Наиболее важным для редукции к слу-

чаю регулярных точек является замечание о неубывании квазиметрики

при переходе к многообразию М: если р и ри — квазиметрики на М,

и

построенные по продолженным полям и соот-

ветственно, то

p{v,w) < p((v,p),(w,q)), pu{v,w) < pu{(v,p),(w,q))

для всех p,q 6 RN~N. Аналог этого свойства был впервые установлен в [34] для классических субримановых пространств с метриками Карно — Каратеодори.

Кроме того, мы доказываем следующие геометрические свойства (т. н. лемма о прокатывании шара, см. аналоги для регулярного случая в [5,27]):

(J BpU(x,OQBpu{v,r + CO,

xeß',u(v,r)

(J Bp{x,Z) + +

xeB»(v,r)

П. 2.9 посвящен доказательству ключевых результатов главы 2: теоремы о расхождении интегральных линий и локальной аппроксимаци-онной теоремы.

Определение. Пусть u,v € С/, г > 0. Расхождением интегральных линий с центром нильпотентизации и по шару радиуса г с центром в точке V назовем величину

R(u,v,r) = max{ sup {pu(y,£)}, sup {p{y,y)}}-

Здесь точки у и у определяются следующим образом. Пусть 7(t) — произвольная кривая такая, что

f7(t)= £ bjXfi 7(t)), < l/UCM

17(0) = v, 7(1) = у,

и

pu{v,yH max {|b7|1/|i|h}<r. | / U ^ А/

Определим y = exp( ^ bjX\L)(v). Таким образом, точная верхняя \I\h^M

грань в первом выражении берется не только по точкам у € Вр (и,г), но и по соответствующим им наборам Аналогичным образом

интерпретируется второе выражение.

Основными результатами второй главы являются следующие две теоремы.

Теорема (о расхождении интегральных линий). Пусть u,v £ U, p(u,v) = O(s), г = 0(е) и Bp(v,r) U Вр (v,r) С U. Тогда верна следующая оценка на расхождение интегральных линий:

R(u,v,r) = 0(e1+w).

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик). Для произвольной точки u £ [/ и точек v, w G U таких, что р(и, v) = 0{е), p(u,w) = О(е), справедлива оценка

\p(v,w)~pu(v,w)\ = 0(£1 + ъ).

В главе 3 разработанные в предыдущей главе методы применяются для исследования частного случая пространств Карно - Каратеодори, когда можно доказать соединимость двух произвольных точек горизонтальной кривой (аналог теорем Рашевского - Чоу).

В п. 3.2 мы доказываем локальную аппроксимационную теорему в метрике Карно - Каратеодори для случая горизонтальных полей класса

QM+1

удовлетворящих условию Хёрмандера с шагом М, коммутаторы которых также принадлежат классу См+1.

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно-Каратеодори). Для произвольной точки и G U и точек и, w G U таких, что dc(u,v) — О(е), dc(u,w) = 0(s), справедлива оценка

\dc(v,w)-d«(v,w)\ = 0(£l+û).

При этом методы доказательства являются новыми по сравнению с методами работы [11] для С°°-гладких полей. В частности, мы не используем специальных "привелигированных" координат и метода типа Ньютона.

П. 3.3 посвящен обобщению теоремы Рашевского — Чоу на случай горизонтальных См- гладких векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера с шагом М (при этом дополнительная гладкость коммутаторов высших порядков не предполагается).

Теорема (аналог теорем Рашевского-Чоу). Пусть горизонтальные векторные поля Х\,Х2, • • ■, Хт б См удовлетворяют условию Хёрмандера шага М — 1 на U. Тогда любые две точки v, w £ U можно соединить горизонтальной кривой.

Такое обобщение возможно за счет применения другой техники продолжения до свободных векторных полей [14,25], не требующей построения нильпотентных аппроксимаций, и доказанного в [7,27] аналога теоремы Рашевского — Чоу для регулярных многообразий Кар по класса С1'". Аналогичное утверждение было получено ранее в [14] с применением специального сложного аппарата "почти экспоненциальных отображений".

Глава 4 посвящена построению теории сходимости квазиметрических пространств, обобщающей теорию Громова для метрических пространств, а также доказательству существования и исследованию алгебраической структуры касательного конуса к квазиметрическому пространству Кар но - Каратеодори, в смысле введенной сходимости.

Отметим, что прямолинейное обобщение теории Громова на случай квазиметрических пространств невозможно, поскольку расстояние по Громову - Хаусдорфу между двумя произвольными ограниченными квазиметрическими пространствами равно нулю [5].

В п. 4.1 мы вводим расстояние dqm(X,Y) между двумя квазиметрическими пространствами (X,dx) и (Y,dy) как инфимум чисел р > О, для которых существуют такие (не обязательно непрерывные) отображения / : X -»У и g : У —> X, что

max J dis(/), dis{g), sup dx(x,g{f{x))), sup dY(y, f{g(y))) ^ < p.

I xex yeY )

В этом же пункте доказано обобщенное неравенство треугольника для с/Г1ГП для классов квазиметрнческих пространств, константы из обобщенного неравенства треугольника для которых ограничены в совокупности.

Отметим, что, когда X и У — метрические пространства, введенное расстояние эквивалентно расстоянию Громова - Хаусдорфа дсн■

Далее, в п. 4.2 мы доказываем единственность предела последовательности компактных квазиметрических пространств в смысле сходимости по расстоянию с/что.

В п. 4.3 вводится сходимость для некомпактных пространств:

Определение. Последовательность (Хп,рп) пунктированных квазиметрических пространств сходится к пунктированному квазиметрическому пространству (Х,р), если существует такая числовая последовательность ёп —» 0, что для любого г > О существуют отображения /П)Г : В(р„, г + 5п) X, дп,г ■ В4х (р, г + 25п) -> Хп такие, что

(1) /т»,г(Рп) =Р, 9п,г(р) =Рп;

(2) сИз(/П|Г) < ¿„, с118(дп г) < <5П;

(3) вир ¿хп(х,дп>г(/пЛх))) <5п-

хеВ^п (Рп,г+<5„)

Теорема (корректность определения). Пусть (Х,р), (У,д) — два полных пунктированных квазиметрических пространства, являющихся пределами одной и той же последовательности (Хп,рп) такой, что константы {¿2х„} ограничены в совокупности: |<5х„| ^ С для всех п € N. Если X ограниченно компактно, то пространства (Х,р) и (К,?) изомет-ричны.

Введенное определение позволяет ввести понятие касательного конуса к ограниченно компактному квазиметрическому пространству как предел масштабированных пространств, по аналогии с определением Громова.

Кроме того, в п. 4.5 доказаны эквивалентность, для метрических пространств, вводимых определений определениям [3].

Отметим, что альтернативный подход введения определения сходимости для компактных квазиметрических пространств был предложен А. В. Грешновым в [5].

Основные результаты четвертой главы сформулированы в п. 4.6:

Теорема. Пусть М — пространство Карно — Каратеодори из определения класса См+\ и € и СМ — произвольная точка (возможно, нерегулярная).

Тогда квазиметрическое пространство (и,ри) является локальным касательным конусом в точке и к квазиметрическому пространству (V, р) При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства С/Н (здесь С? — нильпотентная градуированная группа Ли).

Теорема. Пусть пространство Карно-Каратеодори М задано горизонтальными векторными полями класса См+1, коммутаторы которых также принадлежат классу См+1.

Тогда метрическое пространство (¡7, с(") является локальным касательным конусом в точке и к метрическому пространству (Ы,йс). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотент-ной стратифицированной группы.

Теорема. Пусть М — регулярное пространство Карно - Каратеодори, заданное системой векторных полей Х\, Х2, ■ ■ ■ При этом верны следующие предположения на гладкость: либо XI € С1'", где а > О, г = 1,... либо Хг ё С1, г = 1,... и М = 2, где М — глубина пространства Карно — Каратеодори.

Тогда квазиметрическое пространство (11,(Г^) является локальным касательным конусом в точке д к регулярному квазиметрическому пространству (11, с/оо). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотентной градуированной группы Ли.

Глава 5 посвящена разработке единого синтетического аксиоматического подхода к описанию локальных касательных конусов к (ква-зи)метрическим пространствам Карно — Каратеодори.

В п. 5.1 мы применяем разработанную нами теорию для доказательства существования касательного конуса для более общего класса пространств - абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями [15,42].

В п. 5.2 приведено исследование алгебраической структуры касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями. Мы доказываем, что

1) регулярные пространства Карно - Каратеодори являются приме-

рамп (квази)метрических пространств с растяжениями;

2) локальный касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями имеет ту же алгебраическую структуру, что и локальный касательный конус к пространству Карно-Каратеодори в регулярной точке (нильпотентная градуированная группа Ли).

Утверждения 1), 2) дают аксиоматический подход к теории локальных касательных конусов регулярных субримановых пространств. При этом доказательство п. 2) интересно само по себе. Основной идеей является применение теоремы Мальцева о локальных и глобальных топологических группах [8], что позволяет избежать трудностей, связанных с изучением локальной версии Пятой проблемы Гильберта [31].

Результаты последней главы получены совместно с С. К. Водопьяновым.

Как отмечено в [41], результаты этой главы позволяют построить теорию дифференцируемости отображений пространств с растяжениями по аналогии с концепцией работ [38,39] для регулярных пространств Карно — Каратеодори.

Список литературы

[1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматгиз. 2004.

[2] Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I. Сиб. Мат. Журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14-28.

[3] Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2004.

[4] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости векторных полей // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 427, № 3. С. 305-311.

[5] Грешнов А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 68, № 2. С. 290-312.

[6] Грешнов А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких неком-мутируюшдх векторных полей // Сиб. матем. журн. Т. 50, JV8 1. С. 47-62.

[7] Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно-Каратеодори // Докл. Акад. Наук. 2010. Т. 434, № 3. С. 309-314.

[8] Мальцев А. И. О локальных и полных топологических группах // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 9. С. 606-608.

[9] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне него-лономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, № 2. С. 83-94.

[10] Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic construction and rigid dimensions // Electron. Res. AMS. 2003. V. 9. P. 111-120.

[11] Bellaiche A. The tangent space in sub-Rieinannian geometry // Sub-Riemannian geometry. Birkhauser, Basel. 1996. V. 144. P. 1-78.

[12] Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903-924.

[13] Bongfioli A. Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-laplacians. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg. 2007.

[14] Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hormander vector fields and Poincares inequality. 2009. arXiv:0809.2872.

[15] Buliga M. Dilatation structures I. Fundamentals. J. Gen. Lie Theory Appl. 1 (2) (2007) 65-95.

[16] Capogna L., Danielli D., Pauls S. D. and Tyson J. T. An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem. Progress in Mathematics. Birkhauser. 2007.

Chow W. L. Uber Systemc von linearen partiellen DifFerentialgleichungen erster Ordung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98-105.

Christ M., Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Singular Radon transforms: Analysis and geometry // Ann. of Math. 1999. V. 150, N 2. P. 489-577.

Coron J.-M. Stabilization of controllable systems // Sub-Riemannian Geometry, Progress in Math. Birkha"user. 1996. V. 144. P. 365-388.

Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups // J. Math. Pures et Appl. 1978. V. 57. P. 77-86.

Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53-73.

Gromov M. Carno-Caratheodory spaces seen from within // Sub-riemannian Geometry, Progress in Mathematics. Birckhauser. 1996. V. 144. 79-323.

H. Hermes, Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review. 1991. V. 33. P. 238-264.

Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119 (3-4) (1967) 147-171.

Hormander L., Melin A. Free systems of vector fields // Ark. Mat. 16 (1978), 1, 83-88.

Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. of Dynamical and Control Systems. 2001. V. 7, N 4. 473-500.

Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics, Birckhauser. 2009. P. 233-335.

[28] Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Differential Geometry, 1985. V. 21. P. 35-45.

[29} Montanari A., Morbidelli D. Balls defined by nonsmooth vector fields and the Poincare' inequality // Annales de l'institut Fourier. 2004. V. 54, N 2, P. 431-452.

[30] R. Montgomery. A Tour of Subriemannian Geometries, their. Geodesies and Applications. Providence, AMS. 2002.

[31] Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. Interscience, New York. 1955.

[32] Nagel A., Stein E.M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103-147.

[33] Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of flow maps of nonsmooth vector fields // Journal of Differential Equations 2007. V. 232, P. 134171.

[34] Rotshild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups. Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

[35] Siebert E. Contractive automorphisms on locally compact groups. Mat. Z. 191 (1986) 73-90.

[36] Stein E. M., Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton, NJ, Princeton University Press. 1993.

[37] Vershik A. M., Gershgovich V. Ya. Nonholonomic Dynamical Systems, geometry of distributions and variational problems // Dynamical Systems VII. Springer Verlag, New York. 1994. P. 1-81.

[38] Vodopyanov S. K. Differentiability of mappings in the geometry of Carnot manifolds // Sib. Math. Zh. 2007. V. 48, N 2. P. 251-271.

[39] Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces and differentiability of mappings. Contemporary Mathematics // 2007. V. 424. P. 247-302.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[40] Селиванова С. В. Касательный конус к регулярному квазиметрическому пространству Карно - Каратеодори // Докл. Акад. Наук, 2009. Т. 425, № 5. С. 595-599.

[41] Водопьянов С. К., Селиванова С. В. Алгебраические свойства касательного конуса к квазиметрическому пространству со структурой растяжений // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 428, № 5. С. 586-590.

[42] Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. Мат. Жури. 2010. Т. 51, > 2. С. 388-403

[43] Selivanova S. V., Vodopyanov S. К. Algebraic and analytic properties of quasimetric spaces with dilations // Contemporary Mathematics, 2011, Vol. Complex Analysis and Dynamical Systems IV. P. 273-294.

[44] Селиванова С. В. О локальной геометрии многообразий Карно // Изв. вузов. 2011. № 8. С. 85-88.

[45] Селиванова С. В. Касательный конус к субриманову пространству в нерегулярной точке, в условиях минимальной гладкости векторных полей // Тезисы Лобачевских чтений 2010. Казань. С. 124-128.

[46] Selivanova S. V. On some metrical and algebraic questions for general nonholonomic spaces // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 19-27 August 2010. Hyderabad, India. P. 236-237.

[47] Селиванова С. В. К вопросам субримановой геометрии в условиях минимальной гладкости векторных полей // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу 2-9 августа 2010. Горно-Алтайск. С. 63-64.

[48] Selivanova S. V. The tangent cone to a quasimetric space with dilations // Тезисы международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" 14-20 сентября 2009. Новосибирск. С. 151.

[49] Selivanova S. V., Vodopyanov S. K. Mal'cev's theorem and sub-Riemannian geometry // Тезисы международной конференции "Mal'tsev Meeting посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, 24-28 августа 2009. Новосибирск. С. 108.

[50] Selivanova S. V. Some metrical aspects of the theory of Carnot-Caratheodory spaces // Proceedings of the IV International conference on Complex analysis and dynamical systems. Bar-Ilan University, Ramat-Gan, Israel, 18-22 May 2009. P. 72-73.

[51] Селиванова С. В. О понятии касательного конуса к квазиметрическому пространству // Материалы XLVII Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный "Университет, 2009. С. 24.

[52] Селиванова С. В. Алгебраические свойства пространств с растяжениями // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2011. С. 87.

[53] Селиванова С. В. Локальная геометри многообразий Карно с С2М-гладкими горизонтальными векторными полями в окрестности нерегулярной точки. // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет. 2011. С. 112.

Селиванова Светлана Викторовна

Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно — Каратеодори

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 3.05.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 80 экз. Заказ № 70.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр-т Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск

1 Предварительные сведения

1.1 "Классическая" субриманова геометрия, примеры.

1.2 Касательный конус к метрическому пространству но Громову - Хаусдорфу.

1.3 Предварительные сведения о квазиметрических пространствах

1.4 Локальная геометрия регулярных квазиметрических пространств Карно - Каратеодори.

1.5 Локальная геометрия регулярных многообразий Карно

2 Локальная геометрия квазиметрических пространств Карно — Каратеодори в окрестности произвольной точки

2.1 Основные определения и предварительные замечания

2.2 Примеры

2.3 Выбор базиса.

2.4 Построение нильпотентных аппроксимаций.

2.5 Квазиметрика р1\ определяемая нильпотентными аппроксимациями

2.6 Построение системы свободных векторных полей, продолжающих данные (редукция к случаю регулярных точек)

2.7 Свойства квазиметрик р и ри.

2.8 Теорема о расхождении интегральных линий и локальная аппроксимационная теорема

3 Локальная геометрия многообразий Карно с внутренней метрикой Карно — Каратеодори

3.1 Предварительные замечания.

3.2 Редукция к случаю регулярных точек.

3.3 Локальная аппроксимационная теорема.

3.4 Обобщение теоремы Рашевского - Чоу на случай См-гладких полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.

4 Метрический касательный конус

4.1 Определение расстояния между двумя квазиметрическими пространствами и его простейшие свойства.

4.2 Определение и свойства сходимости последовательности компактных квазиметрических пространств.

4.3 Сходимость последовательности произвольных пунктированных квазиметрических пространств. Единственность предела.

4.4 Понятие касательного конуса к квазиметрическому пространству

4.5 Сравнение с определением для метрических пространств

4.6 Касательный конус к квазиметрическому пространству Кар-но — Каратеодори и к многообразию Карно с внутренней метрикой

5 Аксиоматический подход к описанию локальных касательных конусов эквирегулярных пространств Карно —

Каратеодори

5.1 Определение и свойства пространств с растяжениями

5.2 Существование касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями

5.3 Локальная группа, определяемая сильной структурой растяжений

5.4 Обзор известных результатов.

5.5 Алгебраические свойства касательного конуса.

5.6 Пространство Карно - Каратеодори как пример пространства с растяжениями.

История вопроса

В данной работе мы исследуем некоторые геометрические, алгебраические и аналитические аспекты теории пространств Карно - Каратеодо-ри, обобщающих классические субримановы пространства и важных для многих приложений, включая теорию оптимального управления, теорию субэллиптических уравнений и др. Приведем мотивацию проводимых исследований и осветим основные этапы развития субримановой геометрии и ее обобщений.

Напомним, что субримановым пространством М называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем "горизонтальными" С°°-гладкими векторными полями {Х1,. :Хт}, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка М порождают все касательное пространство к М в каждой точке (условие Хёрмандера). Число М называется глубиной субриманова пространства. Горизонтальные векторные поля естественным образом индуцируют фильтрацию касательного расслоения

ЯМ = #1 С #2 С • • • £ Нм = ТМ, где

Нк(у) = зрап{[^15., [Хкг)

Точка и € М называется регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех Нк постоянны, иначе точка называется нерегулярной.

Отметим, что случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Например, на К2 горизонтальные векторные поля ЯМ = зрап{5ж, хшду} задают структуру субриманова пространства глубины М — 101 (точки, для которых х = 0, нерегулярны), в то время как регулярных субримановых структур на М2 не существует. Поэтому методы работы с нерегулярными субримановыми пространствами основаны на новых, по сравнению с регулярным случаем, идеях.

Субримановы пространства моделируют физические процессы, в которых движение возможно лишь вдоль нескольких выделенных "горизонтальных" направлений (в частности, такие пространства описывают конфигурационное пространство в неголономной механике подобно тому как римановы пространства — в классической, т. е. голономной, механике) и естественным образом возникают во многих приложениях и смежных областях математики, таких как субэллиптические уравнения, теория оптимального управления, контактная геометрия, ней-робиология, квантовая механика, термодинамика, роботехника и т. д. [1, 4, 20, 24, 25, 30, 50, 38, 44, 47, 53, 55, 59, 62, 68, 70, 71].

В 1967 г. в работе [47] Л. Хёрмандер доказал, что условие о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей {Хо, Хх,., Хш} является необходимым и достаточным условием гипоэллиптичности дифференциального оператора второго порядка т ¿=1

Уравнения вида

771

Ргг = (]£х? + х0 + с)г1 = / (1) г=1 называются субэллиптическими или вырожденными эллиптическими уравнениями.

Одно из наиболее важных применений таких операторов иллюстрируют уравнение Колмогорова д2и ^ ди ди дх2 ду дЬ описывающее процесс диффузии, и уравнение Грушина [9]. Из критерия Хёрмандера следует, что свойства этих и других важных в приложениях уравнений тесно связаны с с субримановой геометрией.

В 1971 г. И. Стейн выдвинул программу исследования геометрии векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, с целью изучения геометрии особенностей ядер фундаментальных решений уравнений вида (1).

В 1976 г. Л. Ротшильд и И. Стейн [68] показали, что в окрестности регулярной точки субрнманово пространство можно приблизить ниль-потентной стратифицированной группой Ли, а также предложили метод сведения некоторых вопросов для нерегулярных точек к случаю регулярных точек. Этот метод основан на вложении исходного пространства в регулярное субрнманово пространство большей размерности. Позже были предложены различные его модификации и обобщения [48, 41, 34, 49, 23], идеи некоторых из которых мы используем в настоящей работе.

Дальнейшее изучение теории субэллиптических уравнений привело к необходимости выработки более общих постановок задач, в частности ослабления условия Хёрмандера [62, 34, 38, 37] и снижения требований на гладкость порождающих пространство векторных полей (см. [58, 22, 23] и цитированную в этих работах литературу).

Что касается теории оптимального управления: тот факт, что любые две точки многообразия М можно соединить кривой, являющейся решением системы уравнений т г=1 т. е. другими словами, управляемость этой системы) эквивалентен базовому факту субримановой геометрии — теореме Рашевского — Чоу [16, 32] о том, что любые две точки можно соединить горизонтальной кривой при выполнении условия Хёрмандера. Элементарный вариант этой теоремы (при т = N — 1) был доказан еще в начале XX века Каратеодори в связи с вопросами термодинамики Карно. Следует отметить, что в практически важных задачах ранг системы векторных полей ., Хт} редко бывает постоянен в каждой точке, поэтому рассмотрение нерегулярных точек становится принципиальным.

Отметим актуальность рассмотрения более общей постановки задачи [35, 18], когда зависимость от управляющего параметра нелинейная: х = /(х,а), .тЕ1ЛГ,аеГ ж(0) = х0.

Необходимым условием локальной управляемости этой системы является следующее условие: эрап < Л(0) : /1 £ 1ле

Естественным образом возникает фильтрация касательного расслоения: обозначим

Тогда Щ С Н\ С . С ПА1 — ТШ. Эта фильтрация обладает свойством [Щ, Н3] С Н^. Таким образом, и для теории оптимального управления важно рассмотрение пространств, заданных более общей фильтрацией, чем классические субримановы пространства.

Кроме того, и в задачах теории оптимального управления интересен вопрос о снижении гладкости задающих систему векторных полей, см., например, работу [66], в которой рассматривается случай липшицевых векторных полей и глубины М = 2.

Следует также упомянуть о появлении новых моделей в нейробиоло-гии, описываемых геометрией Карно - Каратеодори, для уточнения которых существенно понизить требования на гладкость векторных полей до минимальных.

Таким образом, бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к появлению множества различных определений, задач и подходов. В данной работе мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно - Каратеодори, охватывающую широкий спектр описанных выше подходов и приложений, и исследуем свойства полученного объекта.

Щ := врапЦЛ,., [/•!, /¿]] | ¡з € , иг + . + щ < /}.

Поясним теперь актуальность основных задач, которые решаются в диссертации.

Вернемся к рассмотрению системы (2). Пусть А(1;:хо) — множество всех точек, достижимых из точки а;о за время 0 < т < В силу условия Хёрмандера множество гсц) непусто. Изучение его структуры может быть сложным. С помощью стандартной линеаризации получаем систему, для которой это множество может быть пусто. В качестве аппроксимации, которая сохраняет субриманову структуру, подходит нильпо-тентная аппроксимация. Различные варианты предлагались в [68, 41, 21, 46, 20], их построение тесно связано с выбором удобной для вычислений системы координат.

Проблема выбора аппроксимаций ставится следующим образом: найти аппроксимацию исходных векторных полей векторными полями которые образуют нильпотентную алгебру Ли и таковы, что

Х{ = XI + Яг, где векторные поля Яъ имеют больший порядок малости. Условие нильпотентности сильно упрощает вычисления, поскольку коэффициенты векторных полей становятся полиномиальными. При этом естественно пытаться подобрать поля {X"} так, чтобы все их коммутаторы в точке и совпадали со значениями соответствующих коммутаторов исходных векторных полей {X"}. Такой выбор аппроксимаций возможен для свободных векторных полей [68] (при этом точка является регулярной); в общем же случае нильпотентных аппроксимаций с таким свойством может не существовать. Однако, возможен выбор нильпотентных аппроксимаций такой, что Нк(и) = Щ(и), где

Нк{и) = зрап{[Х];,., [Х^ХЩу)}.

В связи с теорией оптимального управления встает вопрос о расхождении интегральных линий векторных полей {^ч} и {.Х™}. Получение оценок расхождения позволяет построение алгоритмов планирования движения для системы (2) [49] и оценивать их сложность.

Тесно связан с построением нильпотентных аппроксимаций вопрос о локальной структуре субримановых пространств.

Хорошо известно, что риманово многообразие с первым порядком точности приближается евклидовым пространством.

В 1981 г. М. Громов предложил понятие касательного конуса к метрическому пространству [42, 43], обобщающее понятие касательного пространства к гладкому многообразию (касательный конус к риманову пространству в каждой точке — евклидово пространство). Касательный конус к (X, (Г) в точке х € X определяется как предел пунктированных метрических пространств (X, х, А ■ (I) при А —> оо, при этом сходимость вводится с помощью расстояния по Громову — Хаусдорфу между двумя абстрактными метрическими пространствами.

Вопрос о касательном конусе аналогичен возникающему при линеаризации различных физических задач вопросу о приближении исходного пространства некоторым более простым объектом.

В 1985 г. Дж. Митчелл [57], в 1996 М. Громов [44], А. Беллаиш [20], в 2001 Ф. Жан [49] доказали существование и исследовали алгебраическую структуру касательного конуса к субримановому пространству: нильпотентная стратифицированная группа Ли в регулярной точке и фактор-пространство такой группы по ее подгруппе изотропии (относительно естественном образом определяемого действия) в нерегулярной точке.

Как показано выше, актуальны два основных направления обобщения -концепции субримановых пространств:

I) Снижение гладкости порождающих пространство векторных полей;

II) Ослабление гипотезы Хёрмандера о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей.

При рассматриваемых нами обобщениях, большинство классических методов изучения локальной и метрической геометрии пространств Кар-но - Каратеодори неприменимы, требуется выработка новых подходов. В частности, теорема Рашевского — Чоу может быть неверна, и внутренней метрики <1С может не существовать. Возможно введение различных квазиметрик [62] (основное отличие квазиметрики от метрики заключается в том, что неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, т. е. с некоторой константой). По ряду причин, прямолинейное обобщение теории Громова на квазиметрические пространства невозможно. Таким образом, становится актуальным вопрос о введении адекватного определения касательного конуса к квазиметрическому пространству, которое естественным образом обобщало бы определение Громова для метрических пространств, и исследование вопроса о существовании и структуре касательного конусе к квазиметрическому пространству Карно — Каратеодори.

Для случая регулярных пространств Карно - Каратеодори, в предположениях (1), (и), вопросы локальной геометрии при минимальной гладкости векторных полей изучались в [53, 11, 5, 7, 8]. В 2007-2010 гг. С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова предложили новый подход, позволяющий доказать, для случая регулярных точек и С1,а-гладких векторных полей (а > 0), аналоги большинства классических теорем субримановой геометрии. В частности, они доказали теоремы о построении нильпотентных аппроксимаций, о расхождении интегральных линий, локальную аппрок-симационную теорему в одной из квазиметрик, введенных в [62].

Вопрос о локальной структуре нерегулярных пространств Карно -Каратеодори в предположениях (1), (и) исследуется в настоящей работе впервые.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. К. Водопьянову за постановку задач, плодотворные дискуссии и неоценимую поддержку в работе, М. Б. Кармановой за консультацию по статьям [11, 52], а также всем своим коллегам за теплую и творческую атмосферу.

Обзор результатов диссертационного исследования

Охарактеризуем работу по главам.

1. Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматгиз. 2004.

2. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 6. С. 17-29.

3. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой II // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14-28

4. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2004.

5. Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимацион-ная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости векторных полей // Докл. Акад. Наук, 2009. Т. 427, № 3. С. 305-311.

6. Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Субриманова геометрия при минимальной гладкости векторных полей // Докл. АН. 2008. Т. 422, N0 5. С. 583-588.

7. Грешнов А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазинрострапств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 68, № 2. С. 290-312.

8. Грешнов А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. матем. журн. Т. 50, № 1. С. 47-62.

9. Грушин В. В. Об одном классе гипоэллиптических операторов // Мат. сб. 1970. Т. 83,. № 3. С. 456-473.

10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

11. Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно-Каратеодори // Докл. АН. 2010. Т. 434, № 3, С. 309-314.

12. Карманова М. Б. Пример многообразия Карно с С1-гладкими векторными полями // Изв. вузов. 2011. К2 5. С. 84-87.

13. Мальцев А. И.О локальных и полных топологических группах // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 9. С. 606-608.

14. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука. 1984.

15. Постников М. М. Группы и алгебры Ли, семестр V. М.: Наука. 1982.

16. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне него-лономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, № 2. С. 83-94.

17. Проблемы Гильберта. 1969. М.: Наука.

18. Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic construction and rigid dimensions // Electron. Res. AMS. 2003. V. 9. P. 111-120.

19. Basalaev S., Vodopyanov S. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Caratheodory spaces // Eurasian Matematical Journal. 2011 (to appear).

20. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry // Sub-Riemannian geometry. Birkhauser, Basel. 1996. V. 144. P. 1-78.

21. Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903 -924.

22. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. On the lifting and approximation theorem for nonsmooth vector fields, arxiv.org: 1002.131vl.

23. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hormander vector fields and Poincares inequality. 2009. arXiv:0809.2872.

24. Bongfioli A. Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-laplacians. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg. 2007.

25. Brocket R. W. Control theory and singular Riemannian geometry // New directions in applied mathematics, Springer-Verlag. 1982.

26. Buliga M. Dilatation structures I. Fundamentals. J. Gen. Lie Theory Appl. 1 (2) (2007) 65-95.

27. Buliga M. Contractible groups and linear dilatation structures. 2007. arxiv.org: 0705.1440v3.

28. Buliga M. Dilatation structures in sub-Riemannian geometry. 2007. arxiv.org: 0708.4298.

29. Buliga M. A characterization of sub-Riemannian spaces as length dilatation structures cunstructed via coherent projections. 2009. arxiv.org: 0810.5040v3.

30. Capogna L., Danielli D., Pauls S.D. and Tyson J. T. An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem. Progress in Mathematics. Birkhäuser. 2007.

31. Cheeger J. Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces // Geom. Funct. Anal. 1998. V. 9, N 3. P. 428-517.

32. Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98-105.

33. Christ M. Lecture on singular operators. CBMS Reg. Conf. er. Math. AMS., Providence, RI. 1990.

34. Christ M., Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Singular Radon transforms: Analysis and geometry // Ann. of Math. 1999. V. 150, N 2. P. 489-577.

35. Coron J.-M. Stabilization of controllable systems // Sub-Riemannian Geometry, Progress in Math. Birkha"user. 1996. V. 144. P. 365-388.

36. Van der Dries L., Goldbring I. Locally compact contractive local groups // J. of Lie Theory. 2010. V. 19. 685-695.

37. Folland G. B. Applications of analysis on nilpotent groups to partial differential equations // Bull, of Amer. Math. Soc. 1977. V. 83, N. 5. P. 912-930.

38. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton Univ. Press, 1982.

39. Gleason A. M. Groups without small subgroups. Ann. of Math. 1952. V. 56. P. 193-212.

40. Goldbring I. Hilbert's fifth problem for local groups // J. of Logic and Analysis. 2009. V.l, N. 5. P. 1-25.

41. Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups //J. Math. Pures et Appl. 1978. V. 57. P. 77-86.

42. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53-73.

43. Gromov M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Birkhauser, 2001.

44. Gromov M. Carno-Caratheodory spaces seen from within // Sub-riemannian Geometry, Progress in Mathematics. Birckhauser. 1996. V. 144. 79-323.

45. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Universitext, Springer-Verlag. New York. 2001.

46. H. Hermes, Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review. 1991. V. 33. P. 238-264.

47. Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119 (3-4) (1967) 147-171.

48. Hormander L., Melin A. Free systems of vector fields // Ark. Mat. 16 (1978), № 1, 83-88.

49. Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. of Dynamical and Control Systems. 2001. V. 7, N 4. 473-500.

50. Jean F., Oriolo G., Vendittelli V. A globally convergent steering algorithm for regular nonholonomic systems // 44th IEEE Conference on Decision and Control, Seville, SP. 2005. P. 7514-7519.

51. Jean F. Complexity of nonholonomic motion planning // International Journal of Control. 2001. V. 74, N. 8. P. 776-782.

52. Karmanova M. A new approach to investigaion of Carnot-Caratheodory geometry // GAFA. 2011 (to appear).

53. Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics, Birckhauser. 2009. P. 233 335.

54. Macias R. A., Segovia C. Lipshitz functions on spaces of homogeneous type // Adv. in Math. 1979. V. 33. P. 257-270.

55. Margulis G. A., Mostov G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geom. Funct. Anal. 1995. V. 5, N. 2. 402-433.

56. Margulis G. A., Mostov G. D. Some remarks on definition of tangent cones in a Carnot-Caratheodory space //J. Anal. Math. 2000. V. 80. P. 299-317.

57. Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Differential Geometry, 1985. V. 21. P. 35-45.

58. Montanari A., Morbidelli D. Balls defined by nonsmooth vector fields and the Poincare' inequality // Annales de l'institut Fourier. 2004. V. 54, N. 2, P. 431-452.

59. Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries, their Geodesies and Applications. Providence, AMS. 2002.

60. Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. Interscience, New York. 1955.

61. Müller-Römer P. Kontrahierbare Erweiterungen kontrahierbaren Gruppen // J. Reine Angew. Math. 1976. V. 283, N. 284. P. 238264.

62. Nagel A., Stein E.M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103-147.

63. Olver P. Non-associative local Lie groups. Journal of Lie theory. 1996. V. 6. P. 23-51.

64. Paluszyriski M., Stempak K. On quasi-metric and metric spaces // AMS Proceedings. 2002. V. 137, N. 12. P. 4307-4312.

65. Pansu P. Metriques de Carnot-Carathéodory et quasiisometries des espaces symetriques de rang un // Ann. of Math. 1989. V. 119. P. 160.

66. Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of flow maps of nonsmooth vector fields // Journal of Differential Equations 2007. V. 232, P. 134171.

67. Rampazzo F., Sussmann H.J. Set-valued differentials and a nonsmooth version of Chow's Theorem // Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control CDC'01. Orlando, 2001. P. 26132618.

68. Rotshild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups. Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

69. Siebert E. Contractive automorphisms on locally compact groups. Mat. Z. 191 (1986) 73-90.

70. Stein E. M., Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton, NJ, Princeton University Press. 1993.

71. Vershik A. M., Gershgovich V. Ya. Nonholonomic DynamicalSystems, geometry of distributions and variational problems // Dynamical Systems VII. Springer Verlag, New York. 1994. P. 1-81.

72. Vodopyanov S. К. Differentiability of mappings in the geometry of Carnot manifolds // Sib. Math. Zh. 2007. V. 48, N. 2. P. 251-271.

73. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Carathéodory spaces and differentiability of mappings. Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 247-302.Публикации автора по теме диссертации

74. Селиванова С. В. Касательный конус к регулярному квазиметрическому пространству Карно Каратеодори // Докл. Акад. Наук, 2009. Т. 425, № 5. С. 595-599.

75. Водопьянов С. К., Селиванова С. В. Алгебраические свойства касательного конуса к квазиметрическому пространству со структурой растяжений // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 428, № 5. С. 586-590.

76. Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. Мат. Журн. 2010. Т. 51, № 2. С. 388-403

77. Selivanova S. V., Vodopyanov S. К. Algebraic and analytic properties of quasimetric spaces with dilations // Contemporary Mathematics, 2011, Vol. Complex Analysis and Dynamical Systems IV. P. 273-294.

78. Селиванова С. В. О локальной геометрии многообразий Карно // Изв. вузов. 2011. № 8. С. 85-88.

79. Селиванова С. В. Касательный конус к субриманову пространству в нерегулярной точке, в условиях минимальной гладкостивекторных полей // Тезисы Лобачевских чтений 2010. Казань. С. 124 128.

80. Selivanova S. V. On some metrical and algebraic questions dor general nonholonomic spaces // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 19-27 August 2010. Hyderabad, India. P. 236-237.

81. Селиванова С. В. К вопросам субримановой геометрии в условиях минимальной гладкости векторных полей / / Материалы школы-конференции по геометрическому анализу 2-9 августа 2010. Горно-Алтайск. С. 63-64.

82. Selivanova S. V. The tangent cone to a quasimetric space with dilations // Тезисы международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" 14-20 сентября 2009. Новосибирск. С. 151.

83. Selivanova S. V., Vodopyanov S. К. Mal'cev's theorem and sub-Riemannian geometry // Тезисы международной конференции "Mal'tsev Meeting посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, 24-28 августа 2009. Новосибирск. С. 108.

84. Selivanova S. V. Some metrical aspects of the theory of Carnot-Caratheodory spaces // Proceedings of the IV International conference on Complex analysis and dynamical systems. Bar-Ilan University, Ramat-Gan, Israel, 18-22 May 2009. P. 72-73.

85. Селиванова С. В. О понятии касательного конуса к квазиметрическому пространству // Материалы XLVII Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2009. С. 24.

86. Селиванова С. В. Алгебраические свойства пространств с растяжениями // Материалы ХЫХ Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2011. С. 87.

87. Селиванова С. В. Локальная геометри многообразий Карно с С2М-гладкими горизонтальными векторными полями в окрестности нерегулярной точки. // Материалы ХЫХ Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет. 2011. С. 112.