О сверхсходимости лакунарных последовательностей таблиц аппроксимаций Паде и наилучших рациональных приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ5 ОД

'I ' МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ик. Н.В.ЛОМОНОСОВА

НеханЕко-катемалгчесхяй факультет

На правах рукописи УДК 517.518.84

ЕГУЕН ТЬН КОНГ

О СВЕРХСХОДИМОСТИ ЛАХУНА7БЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ТАБЛИЦ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ И НАИЛУЧШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на-соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук, доцент В.В.ВАВИЛОВ

г

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, В.н.с. А.И.АПТЕРКАРЕВ кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.К.БАХТИН

Ведущая организация: САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИБЕРСИХЕТ

Защита диссертации состоится "/у уАл)Ц 1994 г. в 16 час.05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московской государственной университете имени М.В.Ломоносова ло адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " /р7" 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

оечая характеристика работы

Лхтуальность таки. Изучение сходимости рациональных приближений функции ( в особенности, аппроксимаций Паде и наилучших рациональных Чебытегзских приближений ) является одним из центральных направлений в теории приближении функции. Свойство схо-.' дикости рациональных аппроксимаций к аппроксимируемой функции лежит в основе многих приложений рациональных приближений к различным вопросам анализа, теории аналитических функций, математической физики.Решение открытых вопросов в этом направлении является актуальной научной задачей,- важной как для развития теории, так и в связи с приложениями.

Определяющее влияние на тему диссертации оказали работы Адамара [ 5 ] н Островского [2 ], в которых изучаются свойства сверхсходимости ряда Тейлора аналитической функции. Как известно, ряд Тейлора равномерно сходится к аналитической, в начале координат, функции внутри (и только внутри) своего круга сходимости. Но в случае, когда ряд Тейлора имеет лахунарнуп структуру, как показали Адакар и Островский, он обладает свойством сверхсходимости, что позволяет, в частности (в случае лакун Островского), сделать вывод об однозначности функции в своей естественной Вейерштрассовой области существования .

- г -

Аппрохсииации Паде, которые впервые были изучены Паде [26,27] и Якоби [Ii], являются естественный обобщением ряда Тейлора. Ряд результатов о сходимости различных последовательностей таблицы Паде были получены Монтессу де Боллора [13], Помиеренке], На-толлом [11,23, Буслаевым [3,4- ], Вавиловым [5-7], Рахмановым [ii,17], Суетиным [ll-го], и , особенно. Гончаром [3-15 ].

Наряду с аппроксимациями Паде, в диссертации рассматривается и другой важный способ приближения рациональными функциями - наилучшие рациональные приближения, впервые рассмотренные Че-быаевым [ 2 i ].

Цель работы - изучение вопросов сверхсходимости различных последовательностей таблицы аппроксимаций Паде, 4 многоточечных аппроксимаций Паде, обобщенных аппроксимаций Паде, наилучших Чебьшевских рациональных приближений, в случае, когда зти последовательности обладают лакунарныки структурами; одновременно будут получены некоторые условия для однозначности аналитического и мероморфного продолжения функции.

научная новизна, теоретическая и практическая деияость. Все результаты диссертации являотся новыми. Основные результаты следующие:

1. Аналоги теорем Островского и Адамара для т-ой строки таблицы Паде с лакунами соответствующих типов.

2. Аналог теоремы Островсхого для произвольной лучевой последовательности таблицы Паде, который устанавливает существова-

кие такой ее подпоследовательности, которая сходится по Ш)-мере внутри полной естественной мероморфной вейерштрассовой области существования данного элемента.

3. Теоремы для лучевых последовательностей таблицы многоточечных аппроксимаций Ладе и строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде, которые обладают лакунами Островского.

4. Теоремы для строк таблиц многоточечных и обобщенных аппроксимаций Паде с лакунами Адамара.

5. Теоремы для строк таблицы Чебьшева с лакунами различных типов.

. 6. Теорема для лучевых последовательностей таблицы Чебыше-ва, которые-обладают лакунами Островсхого.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут найти применение в исследованиях по вопросам приближения, аналитической функции рациональными функциями и аналитического продолжения функций. " -

Апробация работы. Основные полученные результаты диссертации обсуждались на специальных семинарах в ИГУ им. М.В.Ломоносова .и Математического института им. В.А.Стеклова.

Публнкаата■ Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [10], [31], [Л], [«].

Структура в обьаи диссертация. Диссертация изложена на 90 страницах и состоит из введения и грех глав. Библиография - 65 наименований.

содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, даются краткие исторические сведения, общая характеристика рассматриваемых за. дач и полученных результатов, основные литературные ссылки. Некоторые замечания об обозначениях и терминологии и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов. В ней рассматривается таблица (классических) аппроксимаций Паде. Доказаны аналоги теорем Островского и Адамара для т-ой строки таблицы Паде с лакунами соответствующих типов. Для лучевой последовательности таблицы Паде будет доказана теорема, обобщающая теорему Островского .

Аппроксимации Паде 7[ ^ ^ типа (.п , го ), степенного .ряда ( функции ) £ - ото рациональные функции, дающие максимально возможный порядок касания в точке в своем классе рациональных функций,т.е. такая ( единственная!) рациональная функци-я Т1п гп, ■ для которой

г £ <Л п, т

где

гг." { Г-Р/Я : ^ ^ЗЯ^'ЧФО]

и 2 (Я") обозначает наименьший индекс отличного от нуля коэффициента в степенном разложении функции ^ .

Эти аппроксимации существуот и определяются единственным образом. Множество |Т1 п N , всех таких аппроксикаций

называется таблицей Паде ряда ( функции ) £ .

Пусть функция ( степенной ряд )

1г о

голоморфна в нуле;п ,целые числа. Тогда всегда существуют многочлены р и С] такие, что

а) йе^р^п , ¿ед ^ £ т. , Ц £ О ;

Аппроксимацией Паде типа (п ,т) функции ^ тогда является ( сьг. ] ) такая ( единственная !) рациональная функция Я пгп, которая является отношением любых двух многочленов р и С|, удовлетворяющих условиям а) и б) одновременно. Оба данных определения эквивалентны ( см.[Л9]).

Первый параграф является вспомогательным. В нем приведены основные понятия и необходимые результаты для дальнейшего рассмотрения задач этой главы.

Во втором параграфе изучается т-ая - строка таблицы -Паде. -• Доказываются следующие результаты:

Теорема 1.2.1. Пусть функция ( ряд )

4-У л0иро

1Г о

.и число т1? о таковы, что последовательность аппроксимаций Паде |ЯП , п-• обладает лакунами Островского, т.е. существуют две последовательности натуральных чисел } , такие, что

при «,...)

■>

п ^

причем----оо ( 1< -* 00 ) .

"к .....

Тогда ряд определяет однозначную т - мероморфнуга функцию в

своей естественной иероморфной области существования• г-е-

имеет там не более т полюсов с учетом кр?тностей.

(1)

Для любого па} О через $т С £) г -{ г. '. 12 | < Я ^ (4 ] }

обозначил максимальный открытый круг с центром в нуле, в который

функция допускает мероиорфное продолжение и имеет там не

более пг\ полюсов с учетом кратностей.

Теоремы 1.2.2. Пусть функция ( ряд )

оо

- =£(20=1 (1) , К0(4)>о

п =о

й число т^о таковы, что последовательность аппроксимаций Паде ^ | , пго,!,},..., 1*4 - фиксировано, обладает лакунами Адакара, т.е. существуют две последовательности натуральных чисел {п^} и такие, что

Яп,т=Яак,т "Р""к<'Ч<"'к(

причем -»О (к — со ),С)>1.

Тогда последовательность! К^ ^»кбМ сходится поп^-мере

(к функции^) в достаточно малой окрестности любой точки границы

кругаЪ ({■}, в которой сохраняется свойство пя - мероморфности, т

В третьем параграфе изучаются лучевые последовательности таблицы Паде. Доказывается Теорема 1.3.1.

Если лучевая последовательность аппроксимаций Паде |тТп ^ т-Да , п;«*,^ ..., ряда (1) обладает лакунани Остров-

ского, то существует подпоследовательность этой последовательности, которая сходится по т, - мере внутри естественной меро-^ +

морфной вейерштрассовой области существования УМ £ иероморфной функции, определяемой элементом ($ ,2)д од), к функции , и , следовательно, ряд (1) определяет однозначную мероморфную функцию в области £ .

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней рассматриваются таблицы многоточечных и обобщенных аппроксимаций Паде. Доказаны аналоги теоремы Островского для лучевых последовательностей таблицы многоточечных аппроксимаций Паде и строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде, которые обладают лакунами островского. Для строк этих таблиц доказаны соответствующие аналоги теоремы Адамара.

В первом параграфе второй главы приведены основные понятия и необходимые результаты для дальнейшего решения рассматриваемых вопросов.

Во втором параграфе второй главы изучается таблица многоточечных аппроксимаций Паде. Доказываются следующие результаты:

Теорема 2.2.1.

Пусть даны регулярный компакт ЕсС Со связным дополнением и функция { еЖсв) .

Если лучевая последовательность таблицы многоточечных аппроксимаций Паде (соответствующих экстремальной Ньютоновой системе узлов ос) {11 ^ I , п - о. 1 д,.. . , т; йп / о < Д < со , для I п, уп ]

функции ^ , обладает лакунарной структурой по Островскому,то функция £ допускает однозначное мероморфное .продолжение в мерокорфную естественную область существования V*' ^ .

Теорема 2.2.2.

Пусть даны регулярный компакт Е со связным дополнением и функция ^ , голоморфная на нем. Если т -ая строка таблицы многоточечных аппроксимаций Паде этой функции ( соответствующих экстремальной системе узлов интерполяциио<СЕ) обладает лакунар-

ной структурой по Адамару, го в достаточно малой окрестности любой точки на границе максимальной канонической области Е с в которой сохраняет свойство т - мероморфности, имеет место сходимость по т, - мере соответствующей подпоследовательности I К ^ ^ | этой строки ( к функции

Б третьем параграфе второй главы изучается таблица обобщенных аппроксимаций Паде. Доказываются следующие аналоги теорем Островского и Адамара для т. - ой строки этой таблицы: Теорема 2.3.1.

Если т. -ая строка таблицы обобщенных аппроксимаций Паде Г17*'13 !

Л Л ^ | , ггго^...» т^ О обладает лакунами Островского, т.е. существуют две последовательности натуральных чисел ^ и-( п'^} , |<£ |Ь) , такие, что

■ГГ«,? А^Р . . , п\ , „

Я - = Лп „ , П Лп^п,. , причем —- -¡» оо • ( к оо )

то функция однозначно продолжается во всю мероморфную естественную область существования ^(Е). Теорема 2.3.2.

Если т. -ая строка таблицы обобщенных аппроксимаций Паде обладает лакунами Адамара, го подпоследовательность обобщенных аппроксимаций Паде| Л^ ' N сходится по т^- мере к функции

^ в достаточно малой окрестности любой точки границы максимальной канонической т. - мероморфной области & ^ ^ , в которой функция £ сохраняет свойство т - мероморфности.

Третья глава тоже состоит из трех параграфов. В ней рассматривается таблица Чебышева наилучших рациональных приближений. Доказаны теоремы о свойстве сверхсходимости для строк и

лучевых последовательностей таблицы Чебышева, которые обладают лакунами Островского. Кроме зтого, доказан и аналог теоремы Адамара для п -ой строки этой таблицы.

Пусть даны вещественный отрезок Е -G'l.-'i-l и функция , вещественная и голоморфная на компакте Е .

Для каждой пары неотрицательных целых чисел (n,i*n) мы обозначим через класс рациональньрс функций порядка (п ,пг):

По определению, положим

ü^ IW-ril .

Наилучшим Чебышевсхим рациональным приближением типа (п,т) для функции на компакте Е. называется рациональная функция

С & 51 п ^ , удовлетворяющая условию

...... . ;

Существование и единственность наилучшего рационального приближения типа ( n ,т. ) на Е следует из известной теоремы Чебышева об альтернансе (cm.[í]). Таблица наилучших Чебышевс-ких рациональных приближений функции £ (на компакте Р ){ гп (Г_ J, é N , называется таблицей Чебышева наилучших рациональных приближений для функции ^ ( на компакте с. )•

В первой параграфе третьей главы приведены основные понятия и необходимые результаты для дальнейшего решения рассматриваемых задач этой главы.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается гп - ая строка таблицы Чебышева. Доказываются следующие результаты:

Теорена 3.2.1.

Если т. -ая строка таблицы Чебашева функции обладает лакунами Адамара, т.е. существуют две последовательности натуральных чисел ^ "и ^ , к€]Н , такие, что

, ■ п х

г ' - «* « лк , причем ит - } С\ > 1 ;

п,т пК)т. к пК

то подпоследовательность рациональных функций Гп пЛ ] , к € ¡М ,

Р • к' •

сходится по - мере к функции в достаточно налой окрестности любой точки границы области Е с , в которой функция

"м-п.

сохраняет свойство т - мероморфности. Теорема 3.2.2.

Если т. - ая строка таблицы Чебышева функции ^ обладает

лакунами Островского, т.е. существуют две последовательности

натуральных чисел '|Г1к]и'1пкЗ . к £ N , такие, что

г г г , пк $п <п' , причем со ( к 00 ),

К ^ х пк

то последовательность рациональных функций |Т1 ^ , к£ |М ,

сходится по тч - мере х функции внутри мероморфной естествен-

+ . ■ - . ной области существования ^, и следовательно, определяет,

однозначнуо гп - мероморфную функцию в области гг).

Третий параграф третьей главы посвящается изучению свойства сверхсходимости лучевой последовательности таблицы Чебышева, которая обладает лакунами Островского. • Теорена 3.3.1.

Если лучевая последовательность | Гп ^ | , |-1 - Д т , о ,

пгОД,..., таблицы Чебышева (для функции ) обладает лакунами Островского, т.е. существуют две последовательности натуральных чисел { ак ) и такие, что

Гп т-гп ПРИ < причем Лё_ _оо ( к-*оо ),

Л ' П о

то однозначная мероморфная функция в своей неронорфной

естественной области существования ^ .

В заключение автор выражает благодарность академику A.A. Гончару за идею тема, своему научному руководителю доценту В.В. Вавилову за дальнейшую постановку задач и всестороннею поддержку при работе над диссертацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М, 1965

2. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. Москва. Наука. 1967

3. Буслаев В.И. О полосах m-й строки таблицы Паде.- Магеи.сборник, Т.117(159), с. 435-441. (1982)

4. Буслаев В.И., Гончар A.A., Суетин С.П. О сходимости последовательностей ш-й строки таблицы Паде. - Матем.сборник, т.120 (162), No.4, с.540-545. (1983)

5. Вавилов В.В. о сходимости аппроксимаций Паде мерояорфных функций. - Матем.сборник, т.101 (143), No.l, с. 44-56. (1976)

6. Вавилов В.В., Лопес Г., Прохоров В.А. Об одной обратной задаче для строк таблицы Паде. - Матем.сборник, т.110 (152), Np.l, с.117-129 (1979) ...

7. Вавилов В.В., Прохоров В.А., Суетин С.П. Полюсы m-й строки таблицы Паде и особые точки функции. - Матем.сборник, т.12 (164), Но. 4, с 475-480. (19S3)

8. Голузин Г.Н. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва. Наука. 1966.

9. Гончар A.A. Локальное условие однозначности аналитических функций. - Матем.сборник, т.89 (131) No 4, стр. . (1972)

10. Гончар A.A. О сходимости аппроксимаций Паде.- Матем.сборник, Т.92 (134), N0.1, стр.152-164. (1973)

11. Гончар A.A. 0 сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов функций. - Иатем.сборник, т.97 (139) No 4, стр.607629. (1975)

12. Гончар A.A. О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде меро-морфных функций. - Магем.сборник т. 98 (140) No 4, стр. 564-

'577 (1975)

13. Гончар A.A. Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функции.- Натем.сборник, г.115 (157) No 4, стр.590-613. (1981)

14. Гончар A.A. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде. - Матем.сборник, т. 113 (160) Но 4, стр. 535-555. (1933)

15. Гончар A.A., Гиермо Лопес Л. О тереме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде. - Натем. сборник, т. 105 (147) No 4, стр. 512-524. (1978)

16. Рахманов Е.А. 0 сходимости диагональных аппроксимаций Паде. - Матем.сборник, т. 104 (146) No 2, стр. 271-291. (1977)

17* Рахманов Е.А. О сходимости .аппроксимиций Паде з классах голоморфных функций. - Матем.сборник, т.112 (154) No 2,стр.162 169. (1980)

13. Суетин С.П. Обратные теоремы об обобщенных аппроксимациях Паде. - Натем.сборник, т. 109 (151), стр. 629-645. (1979)

19. Суетин С.П. О полюсах ш-й строки таблицы Паде. - Матем.сборник, Т. 120 (162), Но 4, СТр 500-504. (1983)

20. Суетин С.П. Об одной обратной задаче для ni-й строки таблицы

Паде. - Матем.сборник, г. 124 (166), No 2, стр. 238^250. (1984)

21. Чебыаев П.Л. Полное собрание сочинений. T.III М,-Л., Из-во АН СССР,1948

22. 3acobi e.G. Uber die Dastellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rational Function, J.fur Reine Angewandte Math.,30, 127-156 (1846)

23. de Montessus de Ballore R. Sue les fractions continues algébriques, Bull.Soc.Kath.de France,30, 28-36 (1902)

24. Nuttall 3. Convergence of Pade aproximants of meromorphic functions, 3. Math. Anal.Appl.,31, 147-153 (1970)

25. Nuttall Э. Variational principles and Pade approximants, in P.R. Graves-Morris (éd.), Pade Approximants and Their Applications, Academic Press, New York, pp, 29-40 (1973)

26. Pade H. Sur la representation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Ann.de 1'Ecole.Norm.Sup.,3-serie, 9, Suppl., 3-93 (1892)

27. Pade H. Sur les series entières convergents on divergents, et les fraction continues rationelles. Acta Math.,18, 97-112 (1894>

28. Poramerenke Ch. Pade approximants and convergence in capacity, 3.Math.Anal.Appl.,41, 775-780 (1973)

29. Vavilov V. V., Lagomasino G.L., Alqunas guestiones de la teoria de approxinacion, La Habana, 1983.

30. Нгуен Тьи Конг. " О сверхсходимости строк таблицы аппроксимаций Наде ". - Труды конференции молодых ученых Мехмата МГУ 1989 г.

31. Нгуен Тьи Конг. " Аналоги теоремы Островского для таблицы аппроксимаций Паде". Труды 4-го съезда математиков Вьетнама, ( вьетнамский .язык ).

32. Нгуен Тьи Конг. " О сверхсходимости диагональной последовательности таблицы аппроксимаций Паде", Вестник МГУ (в печати).

33. Нгуен Тьи Ковг. " о сверхсходимости диагональной последовательности таблицы многоточечных аппроксимаций Паде", Вестник МГУ. (в печати).