Сверхсходящиеся и универсальные ряды по многочленам Фабера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

* а

и

ц

о

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЦ

На правах рукописи

ДОДУНОВА ЛЮДМИЛА КУЗЬМИНИЧНА

СВЕРХСХОДЯЩИЕСЯ И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ФАБЕРА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 1992

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени института связи.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор П.К.Суетин

Официальные оппоненты - доктор фигш^т-математических наук,

профессор Ю.Н.Фролов

кандидат физико-математических наук С.В.Попёнов

Вздущая организация - Московский государственный универси- .

тет им.М.В.Ломоносова

Защита состоится "2.°)" ^ДЛ-ОЦ?- 1992 г. в "/5Г часов на заседании Специализированного совета К 003.59.01 по присуждению учёно? степени кандидата физико-математических наук в Институте математики с ВЦ Уральского отделения РАН (450000, Уфа, ул. Чернышевского., 112).

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ.

Автореферат разослан "2Н " 1992 г.

Учёный секретарь _ Специализированного совета, кандидат физико-математических наук

/

гч L if

ОЫЦДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин. Б теории функций большое гаклшие уделяется вопросам сверхсходимости и универсальности ^ункдцонааь-ных рядов различных ¡пассов. Многочлены Фобера хорошо известна и широко прм.'.енящтся в приложениях, о которых косшо прочитать в монографии U.K. Суетина, иосвядашой этому вопросу. Ряды со мнох'очяеная Фабера приатекаотся в качестве аппарата исследо-вашя и решении достаточно широкого прута задач. В дшной диссертации получены новые свойства этих рядов, касающиеся вопросов сверхсходимости и универсам ости. Кроме того, предлагел-нуи в днссерташш лвтодику решения некоторых задач м<нно рас-простршить на другие объекты псследовшня.

Рассмотрению сверхсходящихся функциональных рядов посвя-иейо значительное число работ. Указанным вопросом зашматись •А.И. Иаркушевич, А.Ф. Леонтьев, A.A. Гончар, L.2. Коробейник, L.H., Фролов, С.Я. Лльпер, П. Русев, H.H. Бруй и др. Основные теоремы о сверхсходимости степенных рядов устшовил А.Островскии. Позднее сни распространялись да другие класс:» функциональных рддов, в частности, на ряды Фабера одна из-них перенесена Т.И. Красноцековой.

Д.Е. ¡йеиыиов получил Зундажяталыше результаты об универсальных тригонометрических рядах. Д.Е. Меньшов поставил вопрос: нельзя ли для любой непрерывной функции неити в ее ряде Фурье рашоыерно сходящуюся подпоследовательность частичных суш/? Однако он сам «е дал отрицательный ответ на этот вопрос. Тем не менее мохно любую непрерывную функцию разлсшггъ на сумму двух непрерывных, для каадой из которых соответствую^ ей рад Фурье содержит подпоследовательность частичных сумм, сходящуюся равномерно. Б связи с рассмотрением теоремы Д.Е. Меньшова об' универсальных тригонометрических рядах Н.К. ъгфл отмечает, что само существование универсальных рядов, конечно, нисколько не очевидно. Различнее, авторы подходили к этому вопросу розными путяни.

Существование универсального степенного ряда единичного радиуса сходимости доказали O.K. Чуй и М.Н. Парнес. Б. Орют

показ ад сувдствоваше функциональных радов, универсальных относительно перестановок в смысле сходимости почти всюду. ортонормированиях систем в этой области исследования первый результат получил ПЛ. Ульянов. Функциональные универсальные ряды рассматривал таксе Б.С. Кашин и A.A. Саакян, Н.С.Чавдна, II.Б. Погосян и др.

Г. Алексия отмечает, что существование универсальных рядов интересно само во себе. Актуальность темы диссертации связгяа такхе с тем обстоятельством, что впервые рассмотрено суммирование унинерсатъних рядов по многочленам Фабера.

Цель работы. Изучить свойство сверхсходимости радог по мкогочяенач Фабера и их обобщений. Построить универсальный ряп по многочленам Фабера и рассмотреть его свойства. Исследовать приближение функции из определенного класса некоторыми суммами, СБЯЗЩ1ШЫ с универсальными функциональными радами.

Методика ксшедовшия. Используются оощиё методы теории <;уикций; свойства конформных отображений; методы теории многочленов Фабера; принципиальная схема исследования, предлоаен-, нгя И.Ф. Лохияыы; общий метод исследования, примененный Д.К. Меньшовым и разнятый другими авторами, как основной метод изучения приближения функций некоторыми суммами. .

Научная новизна. Все результаты диссертации являются но-Hiüvii. Основные из них заключаются в следующем. I. Изучено свойство сверхсходимости рядов но многочленам Фабе-

ра и кс обобщений на множествах тина fB . ü. Получены универсальный ряд по многочленам фабера и его обобщение на множествах, типа и рассмотрены их некоторые свойства, связанные с дифЗерешшруемостью, измеримостью по Лебегу.йункиш и др.

3. Установлено приложение универсального рада по многочленам Фабера, связаиное с предельными множествами.

4. Доказшо существование лакун арного универсального рада по многочленам Фабера с помощью связи универсального рада с полнотой систем функцкй.

5. Исследовано приближение функции из определенного класса не-которши суммами, связанными с универсашшш рядами по многочленам Фаоера и некоторыми другими. В результате дан-

ного исследования разработан метод д/гя решения подобных задач, который применен для доказательства необходимого п достаточного условий приближения функций указшнкл) выше суммой.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе, носят теоретический характер и могут ншти применение в теории приближений, сверхсходимости рядов, теории универсальных рядов, предельных ккохеств, теории суг.мироьачия функциональных рядов, а такхе в теории многочленов Фабера, ортогональных ьяогочленов, при исследовании вопроса полноты некоторых, систем функций, при чтении соответствувдос спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесошнои сл'лпозкумз по теории примирения функций (г. Уф о, 1987 г.), 2-й-, 4-й и 5-й Саратовской зиуней сколе по теории функций и прибл«кеннй (г. Саратов, 1984 г., ISS8 г. и 1990 г.), семкнгре Института массмахика с ВЦ Уральского отделенияр;н ц Банкирского г ос университет а под руководство;/, чя.-корр.РАН В.В. Напалкова (г. Уфа, 1991 г.), научней конференции с"ПК Вороне sexoro госуниверситета (г. Бороне.--, ISS0 г.), научно-технической конференции Московского института"связи (г. Москва, 1991 г.), научных конференциях молодых ученых Еолго-Етгсхого региона (г. Горький, 1984 г- , 1985 г.), научном семинара кафедры 1':ггемети ч е с ког о сн ^лез а Московского института связи (г. Москва, ISS9 г.), итоговых научных конференциях 1оръконекого' госуниварситета (г. Горький, 1982 - 1990 гг.), конференциях молодых ученых ¡.-.ex шпко -u zr е ? j ааи чес кого факультета 1орькозского госункверснтета (г. 1орькил, 1931 - 1934 гг.), научных соыша-рах по теории функций Харьковского госуяиверснтета (г. Горький, 1961 г., 1983 г., 1984 г., ISS6 г., 1939 г., 1990 г.; .

Публикации. Основные результаты опубликованы в восеьнея-цатн работах автора, список которых приведен в кенце автореферата.

Структура с объем -работы, диссертация состоит из введения, четырех глав и четырех приложений. Библиография содерг.гт 75 наименований. Сбъем диссертации 141 с транша машинописного текста.

СОДЕШДИЕ РАБОТЫ

Во введения деа краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, приведены необходимые определения и основные результаты. В верной гласе диссертации рассмотрено свойство сверхсходимости ряда по шогочяенам Фабера и ех'о обобщении. Во второй главе получены универсальный ряд по ллогочяенаы 5а-оера к его обобщение на шолествах типа ^ и док аз гни их некоторые свойства, показана связь универсального ряда с полнотой систем функций, с предельными многестваип. В третьей главе рассматривается суширование универсальных радов по ши-гочлензм Фабера. В четвертой главе основным результатом является исследование вопроса необходимого и достаточного условий равномерного приближения функций некоторыми суммами на замкну-тьх множествах.

Введем некоторые определения и обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Рассмотрим в комплексной плоскости С невырожденный ограниченный континуум К с односвязным дополнением . Пусть функция VI/= фа) отображает конформно и однолистно область . ^ на область {и/:|и/|7-1} при условиях ф(оо)=0о , ф(о°)?0 , а я= У(н') - обратная функция. Пусть С^ , Ъ 7 1 . есть ойраз окружности /и/| = % при отображении 2 => Т(^) • Обозначим через внутренность кривой С^ , а через , - ее внешность. Многочлены Фабера ф С1) Для континуума /<" определяются из разложения ^

Если выполняется условие

И, ->-оо

то ряд Фабера ^

(I)

Н = 0

сходится абсолютно я равномерно внутри и расходится в ..

Число X будем называть радиусом сходимости рада (I) .

Пусть Я(Т) - аналитическая в области функция, при-

чем . Тогда функция в(2)<р(г) млеет в беско-

нечности пая тс порядка кь , т. е. справедливо рсолспешге

п IX п (п>

ШФ (*>=<*<,/ 2 +■ о-п1 2 +...+Л, 2 + ао +

в котором сумма членов, содер-сащих неотрицательные степени переменного Л , называется обобщенным многочленом Фабера порядка 'П. для континуума К и весовой функции £(¡0 . Обозначим этот многочлен

„ к и. Н «■(

+ +••■ + <*, г

При имеем , приче!4 в случае, если К

есть круг , то ф^ № = (2 - ? „)*" .

Определение I. Рад Фабера Ш радиуса сходимости т наливается сверхсходящимся в некоторой о&ааста , расположенной ше кривой' Сх , если он ойладазт иодпоследовсгтель-ностьв частичных сумм, равномерно сходящейся шутса этой области к некоторой функция ^(г) .

Аналогично определяется сверхсходящийся рад по обосЦенным многочлевет Фабера. ^

Пусть £ - множество типа , т. е. Е - V и

1 \ - система однозначных и аналитических на множестве Е ¿ункшй.

Определение Рдц (I) назовем лакунарякм, еслв существует последовательности = 1,2,... п = ^ ^н) и число , <^,71 , не зависящие от /С » такие, что

у у, Пк (К 1,2,...) и <х = о при п'к

При этом, если выполняется условие —у оо , то ряд (I)

назовем усиленно лакунарным. В честности, рад о=>

г--о л

будет лакунарным, если существует последовательность

такая, что > ^ л> , гае и не

зависит от К . Если при этом ■ , то ряд (2)

будет усиленно лакунарньаи п*

iiycïb на плоскости С дана последовательность замкнутых мкокеств , ,

ïWfJ^,.....

Через Сд f Рт) обозначим класс функций, непрерывных на F^ и аналитических в окрестности каздой внутренней точки этого множества.

Определение 3. Систему функций

(4)

иезовем п'слной на совокупности шокеств ? , если для наглого множества Fm £ ? выполнено условие полноты системы (4) в яростршстве сд (Fm) , т. е. для любой сункцки -/а) е СА и любого S У о существует линейная комбинация Р(У = j. f^D* + •••фикций (4) такая, *гго - PÎWl С при всех le F^ .

Определение 4. Ряд (I) называется универсальным рядом Шабера радиуса сходимости Х~71 если для любого замкнутого ограниченного множества f с ty^ , такого, что дополнение к множеству р.) является областью, содержащей круг, iw/é: х и бесконечно удаленную точку vu = œ> , и произвольной функции •

е Сл (F) существует подпоследовательность частичных суш ряда (I) , равномерно сходящаяся на F к функции ■fil) .

Предположил, что дополнение С \ F(ri к каждому из шо-тсеств совокупности 1 является областью, содержащей

внутри себя замыкание внутренности кривой Сч и точку X = о° •

Определение 5. Ряд (I) называется универсальным рядом Фа-бера на сово1супности 9 , если для всякой функции ^(г) , аналитической на каадом из множеств г)Л из совокупности 7- , существует такая подпоследовательность частичных сумы ряда CD , которая сходится равномерно на какдом из множеств F к Функции .

Согласно этому определению, универсальный ряд Фабера (I)

исходится на каадои из множеств к функции е СЛ(Р).

¿нелогично определяется универсальный ряд по обобщенным [«■членам Фабера.

В первой параграфе 1'лава -I излагался исторические све-1Я по вопросу сверхсходимости функдаон альных рядов ж дока-1 лемма IЛ, необходимая в дальнейшей для докгзетадьства :еы.

В § 1.2 докязста атедувдая теорема 1Л, которая дам ¡огность получить, некбторуе результаты» излшевннз в иа-I § 2.3.

Теорема 1.2. Пусть мя любого )>-<•- -1, Я,... ограниченноз иутое кнсяество Р не разбивает плоскость с , т. е.

гть

дополнение с > Р^. связно и

со

Тотаа для произвольных двух функднЗ V а 6 Сд^)

оо

У а п (г)

¿Го * * (6)

уса сходимости % когро представить в виде суммы рядов

2Хпк(*>, £ с ГМ*) (7)

же радиуса сходимости Ч. , сверхсходящаяся на множества расположенном в области , соответственно к «функция;.! ) и . при этом коэффициенты рядов (7) моано выбрать чтобы они были локунарнши, в частности - усиленно лаку-ыми, и чтобы, если ипри и. о° , то л С л г стремились бы к нулю при п- о" .

В рассматриваемом параграфе приведено следствие последней змы и теорема, обобщающая теорему А.И. Маркушевнча о сверх-теости для ряда вида (6). А.Ф. Леонтьев при выполнении условия

£ - «С г.

и-т. д К-*" С« . л,

ал полноту подсистемы \ ф (2)) многочленов Фабе-

ра в осласти 3) с ^ . которая при отоора-

ьении IV = Ф(1) переходит в криволинейный угод растворат.

Криволинейным углом раствора У наеываем область, опи-сываецуэ жордшовой дугой £ , соединяющей точку окружности Г с точкой IV^о° , при повороте -плоскости »V на угод V вокруг начала и/=о .

Используя полноту указ шн ой выше подсистемы» в § 1.3 получено суигствовшие рада

(8)

^ со

сверхсходящегося в области Я)

В дщном параграфе устшовдено также сукествовдаие сверхсходящегося лакун араого рада по обобщенным многочленам Фабера

¿сспПА(г). (9)

ЦС0 к

В первом параграфе славы II приводятся исторические сведения. касавшиеся вопроса универсальных функциональных радов, а также определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения результатов.

В § 2.2 доказша теорема 2.1 о суцестЕовшии универсально го рада Фабера на масиестве (3), приведены теоремы, допсишяющи в некотором смысле теоремн Дд. Л. Усдша, У. Рунге и С Л. Ыерге' л ян а с равномерном приближении функций многочлен али^ показ то существование универсального рада вида (В) .

В § 2.3 доказшы следующие теоремы.

Теорека 2.5. Любой рад (6) радиуса сходимости 1 ,171 можно представить в виде суммы двух универсальных рядов (7)., где + сл= сСп о, 1,...) , того же радиуса сходимости X . пргчзм для кшдого о, ) дкбо ёпс р. , либо

Сле Я . где Р» - некоторая всвду цлотная сеть б простршс-тве комплексных чисел.

Теорема 2.6. Пусть Е - ограниченной измеримое в смысле лебега множество, расположенное в области , 'г 7-/ • |

Тогда существует некоторый рад (6) по обобщенным многочленам Фабера (универсальный,) радиуса сходимости X , обладающий

следусцым споЗстпоа: д^я лззбой ЕЗ'^ераюЯ в сгзлсяе Лебега на глнсзесява Е функции ^(х) суцзструег в донгом ряде (б) ¿сд-пссяедовзгальнссть частичных сумл, сходящаяся еочтя гсзду я а £ к функЕдл 2) , а правом равномерно надгбш мзсзесее. аз некоторой с о покупное? и заашуткг гзсиеста ^ (н= 2,...) гакюс, это Рг С ... , Рл С £ к ¿¿(и Р.) = у-* Е

Здесь под Епг.ержссг^п функция д) ги*.«} + <:И>,ч), 2: = зг+С^- » пснкмезтся измеримость в с;:гслз Лебега ¿унг.тспг ис*.«) и >'>.2) . Как обшно, через ^-Л сбсздетзи меру в яшсде Лебега тш&гесзва А .

3 ргадсмегривсгмстл параграфе получена таюхе теорема о су-;естЕОвгяил универсального ряда (5) на совокупности (3) . от-:эчено сусэствовгш£е ундв-зрсстьього ряда ($) .

3 § ¡¿.4 изучепн кеноторнз свойства ряда <5аЗера, ыз с оллеи пргксхенпем укшмрсатьного ряда, с. с. тгредедь-нмн шокес-твгглз, в чаотксстп, талучеяа

Теорема 2.9. Для любого коглплексаого чдсяа а , претат-

езап^го области , Л &3 , и любого з¡глшусаго кно-

ества ■ 6 комтиекспоЗ гиосксст;; существует ряд 'Зпбсра р :

оо

к=о

здауса сходимости •*£ тахОя, что - £ , где ¿<с*,р> -

>вохупность ксмпдрксяга чисел, являвшихся дрсделгмз лсех ио-пцихся в точке л подпесдедсвгггельнсстеа последовательнее;:! лтичвкх сукм ряда .

В первом параграфе главы Щ обобщатся свойство унпгер-льносач?. рядов йс мюгечленам Оаборз, полученное р славе II доказана

Теорема 3.1. Цусть А ={^„5 - шпняя треуташгагг беско-чная матрица; алешген которой удовлетворяет укож:

Тогда существует ряд по г-нсгечлснгм Байера СП реДгуса рдимости Ч , ^ 7/.. , обпзджпий следующим своЗствсу: дая

кдгдого ограниченного зашнутого мноаества F из совокупности (3) , принадлежащего о0ласти Д>г в любой функции е (?) найдутся последовательности целых чисел в. , аа-

висявде от F я , такие, что

где д

t и-0

pasaoverao сходится к на F .

В дшном параграфе устшавдивазтся, также обобщение теоремы 3.1.

В § 3.2 доказшы шалота теорем параграфа 3.1 для даку-нарных радов по шогочяенеы фабера с помощью результатов, полученных в главе П § 2.2.

В первом параграфе казн ЗУ показ то существование универсальных радов по многочлена* Эрыита и Лагерра. Этот результат слугпт примером распространения сриемов исследования на другие классы функциональные радов.

В ■§ 4.2 установлены необходимые и достаточные условия равномерного ьрийюкезия функций некоторыми сушами на замкяу-тых шояествах, отиуда следуют шалота теорем § 3.1 а § 4. Л дея степенного рада.

Теорема 4.4. Пусть Л = {<^л)>!| - нелняя треугольная бесконечная иьтрица, аяеиеяты которой удовлетворяют условиям (10). Тогда для того чтобы любую функцяю ^(D eCA(F) , где F вз совокупности (3), mosho было равномерно лиаблнзать суммами ада к

* * i i

где

¿

с?) = 7

5 c« = ZX ^Í«,

необходимо и достаточно существование универсального на совокупности (3) ряда по функциям п.-0,1,... . Здесь {'V- \ и {п-^<з подпоследовательности последовательности натуральных чисел, зависящие от Р и .

се>

Здесь ряд V назовем универсальным на шозизство

(3) , если для кадого мнсаестза Fn (к-о, 1,. .) п любой функции ^ ЕС (Р.) существует подпоследовательность

Пк . К-0,1, ..., пк . к=о

равномерно сходящаяся на ¡~к к ^(г).

В § 4.3 выводятся формулы получения многочленов Фабера для гипоциклоиды, разработано для этого случая два алгоритма построения многочленов, приведена таблица их для астроиды, предложен также алгоритм получения многочленов Фабера для произвольного континуума с помощью ЗВ'Л, показано значениз указанных алгоритмов.

В § 4.4 запрограмлировако определение многочленов Фзбера, составлены программы на двух машшных языках, по которым получена таблица многочленов Фабера для лемнискаты.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору, физико-^агеыагических наук, профессору Павлу Коидратьевичу Суетину за ценные консультации, полезные советы п внимание г. работе..

ОСНОШЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУШИКОВ/Ш В РАБОТАХ-

1. ¿одуяова Л .К. К теории универсальных рядов Фабзра // Материалы 6-й науч. конф. кол. ученых мех .-ыаг. фак. Горьк. ун-та и НИИ механики. Ч. 3 (29 апр. 1981 г.): Сборник / Горьк. ун-т. - Горький, 1981. - С. 314 - 318. - Библиогр.: 5. назв. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.82, № 202 - 82.

2. Додупоза Л .К. Об универсальных рядах по подсистемам обобщенны/. полиномов Фабера / Ред. хурн. "Изв. вузов. Математика". - Казань, 1982. - /1с.- Библиогр.: 4 назв. - Деп. в Е12ШИ 2.08 .82, Г 1162' -Р2.

3. Додунова Ji.K. 06 аналитической непрододжнмости, сверхсходимости и универсальности рядов по степеням дробно-линейной функции // Материалы 7-й науч. конф. мол., ученых иех.-мат. фак. Горьк. ун-ia и НИИ ыехашси. Ч. I (¡¿7 - 28 шр. IS82 г.): Сборник / Горьк. ун-т. - Горышй, 1982. - С. IB-22. - Библиогр.: 3 назв.-Деп. в ВИНИТИ 23.05.83, й 2745-63.

4. ДодуЕоваЛ.К. Некоторые вопросы теории шааитическсго продолжения и приближения фунишй, зааагаых рядами Фабера / Горьк. ун-т. - Горький, IS83. - 30 с. - Библиогр.: 21 назв.-Деп. в ВИНИТИ 13.07.83, & 3880 - 83.

5. Дсдукова Д.К. Предельные мнсвсества для некоторых функциональных радов //' Дифференциальные и интегральные уравнения. - 1983. - С. 123.

6. Додунова Л. .К. Об универсальных рядах и предельных ынотест-вах // Материалы 8-й ндуч. конф. мол. ученых мех.-маг. .фак. Горьк. ун-та и НИИ ыехшмки. Ч. I (25 - 26 шр. 1983 Сборник / Горьк. ун-т. - Горький, 1983. - С. 3 - 9. - Библиогр.: 3 на>в. - Деп. в ВИНИТИ 3.04.84, Jî- 1846 - 84.

7. Додунова Л.К. Сверхсходимость рядов по подсистемам обобщенных полиномов Фабера// .Тр. нцуч. - метод, конф, преп.

и сотр. uex.-маг. фак. Горьк. ун-та (23 - 24 апр. 1984 т+)г Сборник / Горьк. ун-т. - Горький, IS84. - С. 46 - 50. -Бийдиох-р.: 4 назв. - Деп. в ВИНИТИ 3.12.84, £ 7659 -.84.

8. Додунова Л .К. Универсальные ряды и полнота систем функотй// Научная конференция молодых ученых Горьковской области (тезисы докладов). - Горький: Горьк. пед. ин-г, 1984. -

С. 126 - 127.

9. Додунова Л.К. К теории сверхсходимости функционатьных рядов // Материалы 9-й неуч. конф. мол. ученых мех.-мат. фак. Горьк. ун-та и НИИ механики. Ч. 2 (24 - 26 апр. 1984 t,)z Сборник / Горьк. ун-т. - Горький, 1904. — С- 155 - 163. -Бибгногр.: 4 назв. - Деп. с ВИНИТИ 15.01.85., J& 390 - 85.

10. Додунова Д.К. Об универсальных последовательностях интерполяционных полиномов Дагранжа / Горьк. ун-т. - Горький, 1985. - 8 с. - Библиогр.: 3 назв. - Деп- в ВИНИТИ .28.01.85, £ 771 -85.

11. Додунова Л.К. 06 универсальных последовательностях антер-

иоляционных полиномов Лагршзса // Научная конференция молодых ученых Горьковской области (тезнсы докладов). - Горький: Горьковск. высшат школа МВД СССР, IS3S. - С. I40-I4I.

12. Додунова Л .К. Построение- многочленов Фабера с помощьв электронных вычислительных метан / Горьк. ун-т. - Горький,

1986. - 25 с. - Бябдиогр.: 3 назв. - Деп. в ВИНИТИ 2.07.86, № 3928 - 3.

13. Додунова Л.К. К двум теоремгм D.A. Казьмина о подпоследовательностях полиномов Зрмита и Лагерра // Мзгерлалн 10-й науч. конф. мол. ученых мех.-мат. фак. Горьк. ун-та п НИИ механики. Ч. 2 (24 - 26 апр. 1985 г.) : Сборник / Горьк.

. ун-т. - Горький, 1935. - С. 242. - 245. - Бнблиогр.: 5 назв.-Ден. в ВИНИТИ 24.03.87, Я 2097 - 387.

14. Додунова Л.К. 0 сверхсходимости универсальных рядов // Изв. вузов. Математика. - IS88. - В '?.. - С. 19 - 22.

15. Додунова Л .К. Об одном обобщения свойства универсальности степенного ряда // Исследования по теории функций / Горьк. ун-т. - 1орькпй, 1987. - С. 49 - 5В. - Библиогр.: 7 назв.-Деа. в ВШШИ Ю.1ЦВ7, Jé 8122 - ЕВ7.

16. Додунова Л.К. Радаомараые приблжения функций на замкнутых множествах частичными суммами функциональных рядов // Всесоюзный симпозиум по теория приближения функций (тезисы докладов). - 7фа: Изд-во Башкирского филиала Ж СССР. -

1987. - С. "55 - 56.

17. Додунова Л.К. Равномерные приближения функций на замкнутых ми сие страх некоторыми сукмгуя // Тр. 4-й Саратовской Бимнеи шкалы. - Саратов: Изд-bq Саратовск. ун-та. - 1990.4« ¡6. - С. 86 - 88.

18. Додунова Л.К. Об одном обобщении свойства универсальности рядов по многочлен агл Фабера // Изв. ну зов. Математика. -1990. - № 12. -- С. 31 - 34.