Теоремы типа Борсука-Улама в комбинаторной и выпуклой геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

004609327

Математический институт им. В.А. Стеклова Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 514.17

ТЕОРЕМЫ ТИПА БОРСУКА-УЛАМА В КОМБИНАТОРНОЙ И ВЫПУКЛОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

3 0 СЕН 2010

Москва 2010

004609327

Работа выполнена на кафедре высшей математики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор Дольников Владимир Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Райгородский Андрей Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Чернавский Алексей Викторович

доктор физико-математических наук,

профессор Щепин Евгений Витальевич

Ведущая огранизация:

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится 07 октября 2010 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан «_»_2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.002.022.03

доктор физико-математическ] Н.П. Долбилин

Актуальность темы

Одним из первых результатов, относящимся к топологическим методам в выпуклой геометрии, является теорема Брауэра1 о неподвижной точке.

Теорема Брауэра. Пусть К С. — выпуклый компакт. Тогда для всякого непрерывного отображения / : К —> К найдётся неподвижная точка, то есть точка х 6 К, для которой х = /(х).

Первые доказательства теоремы Брауэра были основаны на геометрических идеях, или, чуть позже, на использовании комбинаторной леммы Шпернера2. Впоследствии доказательства теоремы Брауэра были переформулированы в рамках топологических препятствий, которые по сути являются относительными классами Эйлера. Осознание наличия гомологического препятствия позволило построить практически эффективные алгоритмы нахождения неподвижной точки3 4.

Был разработан метод гомотопического продолжения, который основывается на следующем утверждении, сформулированном здесь в частном случае.

Теорема о гомотопическом продолжении. Пусть расслоение V —X имеет ненулевой класс Эйлера. Пусть также гомотопия связывает два сечения этого расслоения йо и вь Тогда в пространстве гомотонии X х [0,1] некоторая компонента множества нулей вf пересекается и с X х {0}, и с X х {1}.

В случае, если X является многообразием размерности п, слои V также имеют размерность п, и гомотопия находится в общем положении, утверждение теоремы просто говорит о том, что некоторый нуль 5о связан гладкой кривой с некоторым нулём в пространстве X х [0,1]. Это наблюдение позволяет построить эффективные

Brouwer, «Über abbildung von mannigfaltigkeiten», Mathematische Annalen, 71 (1910), 97115.

2E. Spemer, «Neuer beweis fur die invarianz der dimensionszahl und des gebietes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar Universität Hamburg, 6 (1928), 265-272.

3B. Eaves, «Homotopies for computation of fixed points», Mathematical Programming, 3 (1972), 1-22.

4R. Kellogg, T. Li, J. Yorke, «Constructive proof of the Brouwer fixed point theorem and computational results»-, SIAM J. Numer. Anal., 13 (1976), 473-483.

вычислительные алгоритмы для нахождения некоторых нулей произвольного сечения вь если для некоторого фиксированного сечения во все нули известны.

Хотя рассмотрение вычислительных аспектов задач не является целью данной работы, можно сказать, что доказательство теоремы существования с помощью вычисления класса Эйлера некоторого расслоения также даёт некоторый способ эффективной вычислительной реализации теоремы существования.

Ещё один тип теорем существования в геометрии даёт теорема Хелли5 и разнообразные её следствия и обобщения.

Теорема Хелли. Пусть Т — конечное семейство выпуклых множеств в Ж''. Тогда семейство Т имеет общую точку тогда и только тогда,, когда всякое подсемейство О С Т с |(?| < <1+1 имеет общую точку.

Сама по себе теорема Хелли, в частности, допускает топологическое доказательство6 путём рассмотрения нерва покрытия и Т семейством Т как симплициалыюго комплекса и рассмотрения гомо-логий этого комплекса. Также существует доказательство теоремы Хелли через теорему Брауэра.

В литературе «теоремой типа Хелли» называется утверждение о семействе множеств, в котором некоторое свойство семейства выводится из выполнения того же или аналогичного свойства для всех подсемейств фиксированного размера. В частности, изучаются такое свойство, как наличие плоской трансверсали, то есть плоскости заданной размерности, пересекающей все множества семейства. Для плоских трансверсалей простых обобщений теоремы Хелли не существует (даже в случае трансверсалей — прямых), однако разнообразные утверждения типа теоремы Хелли всё же возможны. Некоторые из них рассматриваются и в этой работе.

5Е. Helly, «Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten», Jber Deutsch. Math. Verein, 32 (1923), 175-176.

6JI. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Клн, Теорема Хелли и ее применения, Мир, М., 1968.

Вернёмся собственно к теореме Хелли. Одним из способов доказательства теоремы Хелли является применение теоремы Радона7, более общая формулировка которой доказана Твербергом8.

Теорема Тверберга. Пусть конечное множество X € состоит из (d + 1)(п — 1) +1 точек. Тогда X можно разбить на п множеств Xi,..., Хп, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.

Позднее в работах Barony, Shlosman, Sziics5, Zivaljevic, Vrecica10

Воловикова12 были получены топологические доказательства теоремы Тверберга и её цветного обобщения для случая, когда речь идёт о разбиении на п частей и число п является степенью простого. Фактически, доказательства основывались на неравенстве нулю эквивариантного класса Эйлера некоторого расслоения.

Приведём формулировки цветных обобщений теоремы Тверберга. В работе13 доказана цветная теорема Тверберга на плоскости.

Двумерная цветная теорема Тверберга. Пусть на плоскости дано множество из 3п точек. Пусть эти точки раскрашены в три цвета так, что точек каждого цвета ровно п. Тогда эти точки можно разбить на п разноцветных троек так, что треугольники, соответствующие точкам, имеют общую точку.

Обобщить этот результат на (d+ 1)п точек в Rd пока не удалось, однако Zivaljevid, Vrecica в указанных выше работах удалось с помощью топологической техники доказать аналогичное утверждение, в котором точки берутся с некоторым запасом по количеству.

7J. Radon, «Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsainen Punkt enthalten», Math. Ann., 83 (1921), 113-115.

8H. TVerberg, <A generalization of Radon's theorem», J. London Math. Soc., 41 (1966), 123-128.

9I. Biirdjiy, S.B. Shlosman, A. Sziics, «On a topological generalization of a theorem of Tverberg», J. Lond. Math. Soc., 23 (1981), 158-164.

"R.T. Zivaljevic, S.T. Vredica, «The colored TVerberg's problem and complexes of injective functions», Journal of Comb. Theory, Ser. A, 61:2 (1992), 309-318.

nR.T. Zivaljevid, S.T. Vredica, «New cases of the colored TVerberg theorem», Jerusalem Combinatorics '93, ed. by H. Barcelo, G. Kalai, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, (1994), 325-334.

12А.Ю. Воловиков, «К топологическому обобщению теоремы Тверберга», Мат. заметки, 59:3 (1996), 454-456.

131. Вйгйлу, D.G. Laiman, «А colored version of TVerberg's theorem», J. London Math. Soc., 45:2 (1992), 314-320.

Цветная теорема Тверберга. Пусть в дано множество из (d+l)t точек, rflet > 2r—1, г — рк-,р —простое число. Пусть эти точки разбиты на d+1 множество (цвет) not элементов. Тогда, из данных точек можно выбрать г непересекающихся наборов Х\,...,ХТ с выполнением следующих условий. Для любою г = 1,... ,r \Xi\ = d + 1 и в Xi присутствуют все цвета. Кроме того

г

f^l conv Xi ф 0.

»=i

Приведём также одну из эквивалентных формулировок теоремы Борсука-Улама14 15, которая тесно связана с теоремами Хелли и Брауэра.

Теорема Борсука-Люстерника-Шнирельмана. Если сфера Sn покрыта n+1-м замкнутым множествомХ\,..., Xn+i, то по крайней мере одно из Xi содержит пару диаметрально противоположных точек на сфере.

Отметим также эквивалентную формулировку теоремы Борсука-Улама, в которой вместо покрытий рассматриваются функции.

Теорема Борсука-Улама. Если на сфере S" даны п нечётных непрерывных функций fi,...,fn, то для некоторой точки х € S"

Д(я) = /з(х) = ■ • ■ = fn(x) = о.

Близким к теореме Борсука-Улама утверждением является теорема Люстерника-Шнирельмана о категории проективного пространства. Ниже приведена одна из возможных формулировок.

Теорема Люстерника-Шнирельмана. Если сфера Sn покрыта п замкнутыми множествамиХ\,...,Хп, инвариантными относительно отраясения х —х, то для некоторого г одна из компонент

14Л.А. Люстсрник, Л.Г. Шнирельман, Топологические методы в вариационных задачах, ГИТТЛ, М., 1930.

15К. Borsuk, «Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre», Rmd. Math., 20 (1933), 177-190.

связности Xi содержит пару диаметрально противоположных точек па сфере.

Одним из следствий теоремы Хелли является теорема Неймана-Радо16 17 о центральной точке меры.

Теорема о центральной точке. Для абсолютно непрерывной вероятностной меры ц на найдётся такая точка х € что для

всякого полупространства H э х ц(Н) > —-.

d 1

Отметим также другой известный результат о делении мер из работ Stone, Tukey18, Steinhaus19, являющийся следствием теоремы Борсука-Улама.

Теорема «о бутерброде». Пусть на Rfi заданы d абсолютно непрерывных вероятностных мер fXi,...,[Xd- Тогда найдётся полупространство H С такое, что для любого i = 1,..., d

щ{Н) = 1/2.

В работах Дольникова20 21, Zivaljcvic, Vrecica22 теорема о центральной точке была обобщена на случай нескольких мер. Причём данное обобщение в случае m = d — 1 даёт теорему «о бутерброде».

Теорема о центральной трансверсали. Пусть на Ed заданы тп + 1 абсолютно непрерывная вероятностная мера fio, ■ ■ ■, ßm- Тогда

I6B.H. Neumann, «On an invariant of plane regions and mass distributions», J. London Math. Soc., 20 (1945), 226-237.

17R. Rado, «A theorem on general measure», J. London Math. Soc., 21 (1946), 291-300.

18A.H. Stone, J.W. Tukey, «Generalized 'Sandwich' Theorems», Duke Math. J., 9 (1942), 356359.

191I. Steinhaus, «Sur la division des ensembles de l'espaces par les plans et et des ensembles plans par les cercles», Fund. Math., 33 (1945), 245-263.

20B.JI. Дольников, «О разбиении системы мер подпространством многочленов», Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики, Доклады 8 Всесоюзного семинара «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Красновидово 7-11 октября 1990), Москва, ИПМ им. Келдыша, (1991), 80-85.

21В.Л. Дольников, «Об одном обобщении теоремы о бутерброде», Мат. заметки, 52:2 (1992), 112-133.

22R.T. 2ivaljevií, S.Т. Vreíica, «An extension of the ham sandwich theorem», Bull. London Math. Soc., 22 (1990), 183-186.

найдётся т-плоскость Ь 6 такая, что для всякого полупространства Н Э Ь и всякого г = 0,..., га+ 1

№(Я) >

1

d — m + 1

Теоремы Тверберга и гипотезу Тверберга о трансверсалях (формулировка — в главе 4) можно рассматривать как некоторые дискретные обобщения теорем о центральной точке и центральной транс-версали соответственно.

К теореме о центральной трансверсали близко следующее утверждение из цитированной выше работы Дольникова:

Теорема Дольникова о трансверсали. Пусть 0 < к < <1 — 1 ив1|! даны к + 1 семейство Т{ (г = 0к) выпуклых компактов. Предположим, что в каждом семействе любые (1 + 1 — к множеств имеют общую точку. Тогда существует к-плоскость, пересекающая все множества из и£=о

Из этой теоремы при к = 0 получается обычная теорема Хелли. Следующая теорема23 24 также имеет дело с плоскими трансверсаля-ми.

Теорема Хорна-Кли. Для натуральных 1 <к <6 и семейства Т выпуклых компактов в К^, следующие три условия эквивалентны:

1) Каждые к множеств из Т имеют общую точку;

2) Каждая плоскость коразмерности к — 1 в имеет транслят, пересекающий все множества Т\

3) Каждая плоскость коразмерности к в принадлежит плоскости коразмерности к — 1, пересекающий все множества Т.

В главе 6 приведены некоторые новые результаты но плоским трансверсалям, близкие к теоремам Борсука-Улама, теореме Хелли и двум вышеприведённым теоремам.

23A. Horn, «Some generalization of Helly's theorem on convex sets», Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 923-929.

24V. Klee, «On certain intersection properties of convex sets», Canad. J. Math., 3 (1951), 272275.

Также типичными теоремами существования в геометрии являются результаты о вписывании и описывании фигур из данного класса в/вокруг выпуклого тела в Одна из первых теорем о вписывании25.

Теорема Шнирельмана. Для всякой гладкой замкнутой кривой С С М2 найдётся квадрат, все вершины которого лежат на кривой С.

Другая типичная теорема об описывании имеет вид?6.

Теорема Какутани. Вокруг всякого выпуклого тела К с Ш3 можно описать куб.

Конечно, эти теоремы являются простейшими примерами. Множество разных утверждений о вписывании и описывании можно найти в работах Громова27, Макеева28 29 30 31. Например, в диссертации Макеева доказан следующий аналог теоремы Шнирельмана для трёхмерного пространства.

Теорема Макеева. Во всякое гладкое выпуклое тело К С К3 можно вписать октаэдр.

Предметом данной работы является, в частности, обобщение этой теоремы на ббльшие размерности.

Близкими к задаче вписывания многогранника является серия задач о бильярдных траекториях в выпуклых телах. Типичный результат такого рода даёт теорема32 (ф(п) — функция Эйлера).

25Л.Г. Щнирельман, <0 некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых», Успехи мат. наук, 10 (1934), 34-44.

26S.A. Kakutani, «А proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in R3», Ann. of Math., 43:2 (1942), 739-741.

27М.Л. Громов, «О симплексах, вписанных в гиперповерхности», Мат. заметки, 5:1 (1969), 81-89.

28В.В. Макеев, «Задача Кнастера и почти сферические сечения», Мат. сборник, 180:3 (1989), 424-431.

29В.В. Макеев, Универсально вписанные и описанные многогранники. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет, 2003.

30В.В. Макеев, «Вписанные и описанные многогранники для выпуклого тела и задача о непрерывных функциях па сфере в евклидовом пространстве», Алгебра и анализ, 18 (2006), 187-204.

31В.В. Макеев, «Некоторые экстремальные задачи да я векторных расслоений», Алгебра и анализ, 19:2 (2007), 131-155.

32G. Birkhoff, Dynamical systems, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 9,1927.

Теорема Биркгофа. Для всякого гладкого выпуклого компакта К С К2 найдётся не менее ф(п) различных замкнутых бильярдных траекторий в К сп ударениями о край.

Некоторые результаты по многомерному обобщению данной теоремы были доказаны в работах Бабенко33, Фарбера и Табачникова34 35. В этой работе доказано аналогичное утверждение в случае простой длины (количества звеньев) траектории и произвольной размерности d> 3.

Научная новизна

Все результаты работы являются новыми. Основные результаты работы следующие.

(1) Доказан аналог теоремы Брауэра для общих неподвижных точек нескольких послойных отображений пространства векторного расслоения. Изучены некоторые близкие вопросы топологии многообразий Грассмана и канонических расслоений над ними.

(2) Доказаны новые случаи в гипотезе Тверберга о трансверса-лях, получены обобщения теоремы Тверберга о трансверсалях в духе цветной теоремы Тверберга.

(3) Доказаны «двойственные» аналоги теорем о центральной точке и Тверберга для конечных наборов гиперплоскостей. Приведены обобщения этих теорем в духе гипотезы Тверберга о трансверсалях.

(4) Доказано обобщение теоремы Кнастера-Куратовского-Мазур-кевича для покрытий произведения симплексов. Исследованы некоторые следствия этого обобщения.

33И.К. Бабенко, «Периодические траектории трехмерных бильярдов Биркгофа», Мат. сборник, 181:9 (1990), 1155-1169.

34М. Farber, S. Tabachnikov, «Topology of cyclic configuration spaces and periodic trajectories of multi-dimensional billiards», Tbpology, 41:3 (2002), 553-589.

35M. Färber, «Topology of billiard problems, II», Duke Mathematica Journal, 115 (2002), 587621.

(5) Получены новые теоремы о разбиении мер гиперплоскостями, критерии существования плоской трансверсали, и теоремы типа Хелли для плоских трансверсалей.

(6) Получена новая оценка снизу на количество замкнутых траекторий с данным количеством отражений для бильярда в гладком выпуклом компакте.

(7) Доказаны теоремы о вписывании кроссполитопов (многомерных октаэдров) в гладкие выпуклые тела и гиперповерхности с некоторыми ограничениями на симметричность кроссполи-топа. Доказан результат о делении меры с системой конусов с общей вершиной.

(8) Доказано утверждение о категории в смысле Люстерника-Шни-рельмана прообраза точки при непрерывном отображении.

Основные методы исследования

В работе, в основном, используются методы алгебраической топологии, в том числе: когомологии и характеристические классы векторных расслоений, эквивариантные когомологии пространств с действием конечной группы. Также используются стандартные методы комбинаторной и выпуклой геометрии.

Цель работы

(1) Систематизация некоторых топологических методов в комбинаторной и выпуклой геометрии на основе использования относительного (эквивариантного) класса Эйлера векторного расслоения.

(2) Исследование аналогов и обобщений теоремы Тверберга.

(3) Исследование критериев существования плоских трансверсалей, утверждений о деления мер.

(4) Исследование выпуклых тел с точки зрения вписывания в тело выпуклых фигур из данного класса и бильярдных траекторий в выпуклых телах.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут применяться в дальнейших исследованиях в области комбинаторной и выпуклой геометрии. Доказательства основных результатов работ также могут быть использованы для эффективной вычислительной реализации доказанных теорем существования, в силу использования класса Эйлера и возможности гомотопического продолжения.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на конференциях:

(1) Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov : Abstracts, St.-Petersburg, Russia, June 1823, 2007.

(2) International conference on Differential Equations and Topology, dedicated to the Centennial of L.S. Pontryagin, Moscow. 17-22 June, 2008.

(3) Workshop "Transversal and Helly-type theorems in Geometry, Combinatorics and Topology" in Banff, Alberta, Canada, 20-25 September 2009.

(4) Conference Analysis, Topology and Applications 2010, Vrnjacka Banja, Serbia, 20-25 June 2010.

Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, в Московском государственном университете (кафедра высшей геометрии и топологии, кафедра теории чисел), в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А. Стеклова.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 12 работ, перечень которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из 9 глав (включая введение) и списка литературы. Объём работы 158 страниц текста. Библиография состоит из 102 наименований.

Содержание работы

В главе 1 даётся исторический обзор и описание общей структуры работы.

В главе 2 приведены основные сведения из топологии, которые будут применять в дальнейшем для получения геометрических следствий. Рассматриваются свойства класса Эйлера векторного расслоения, вводится понятие относительного класса Эйлера как первого препятствия к продолжению сечения расслоения с подпространства.

Рассматриваются пространства с действием группы G = (Zp)k и их гомотопические инварианты. В частности, определяются индексы G-пространств следующим образом.

Определение. Для G-пространства X индексом со значением в идеалах (ideal-valued index) называется

IndX = kerр*х : H*(BG)Н^{Х).

Определение. Для Zp-пространства X найдём такое п, что IndX = /П+1ЛР, если IndX нулевой, положим п = +оо. Тогда число п назовём когомологическим индексом X и обозначим hindX.

Доказывается новая теорема об оценке индекса снизу.

Теорема 2.16. Пусть пространство X связно и Hm(X,Zp) являются свободными Zp[G]-модулями относительно действия G при m <п. Тогда

IndX с in+lap(fe), в частности, при G — Zp hind X > п.

Приводятся некоторые факты из теории Люстерника-Шнирельмана, в частности, в приложении к пространствам с действием конечной группы. Определяется род свободного G-пространства (в смысле Кра-сносельского-Шварца).

Определение. Минимальное п, для которого существует экви-вариантное отображение X EGn, называется родом G-пространства X и обозначается д{Х).

Следующая теорема, судя по всему, является новым утверждением.

Теорема 2.27. Пусть компактное свободное G-пространство Y покрыто открытыми инвариантными подпространствами\У^}\_^, Тогда найдётся точка х 6 У такая, что

Y,9GlYi)>9G{Y).

Yi Эх

Также доказываются некоторые новые теоремы о покрытиях для пространств с действием группы Zi, которые обобщают теорему Борсука-Улама для покрытий.

Определение. Для свободного ¿^-пространства X возьмём произведение X на отрезок I = [0,1] и определим в нем действие Zi по формуле сг(х, t) = (с(а:), 1 — t). Тогда пространство X х I свободно и пусть В(Х) = (X х I)/Z2. Можно заметить, что В(х) получено из X приклеиванием отрезка к каждой паре точек {х, сг(а;)} и введением соответствующей топологии на этом множестве. Естественное отображение В(Х) —X/Z2, является расслоением со слоем / (а значит и гомотопической эквивалентностью), аХс В(Х) отождествляется с пространством сфер этого расслоения.

Теорема 2.28. Если у Zz-пространств X и Y индексы hind X = hind Y = п, то для любого эквивариантного отображения f : X -+Y отображение /* : Hn(Y) —^ НП(Х) нетривиально. Кроме того, не существует такого (не обязательно эквивариантного) отображения h : В(Х) что f = h о ix, где ix : X -»■ В(Х) — естественное

вложение.

Теорема 2.29. Пусть компактное метрическое Z^-пространство X с индексом hind X = п покрыто семейством замкнутых множеств

Т = {UUU2,..., Un+2}. Пусть никакое Ui не содержит антиподаль-ных точек. Тогда для всякого разбиения семейства {U} на два непустых семейства Т\ и Тг найдётся точка х G X такая, что i £ f)Jj и a(х) е Тч- Кроме того, если покрытие 1~ индуцировано из некоторого замкнутого покрытия Q — {V\, V2, ■ ■ ■, Vn+2} пространства В(Х), то семейство Q имеет общую точку.

Также доказано некоторое утверждение о покрытиях декартова произведения двух пространств с действием Zi-

Теорема 2.32. Пусть компактные метрические ¿^--пространства X и Y имеют индексы hindX = n, hind У = m, m > п и произведение В(Х) х B(Y) покрыто семейством замкнутых множеств т - {Vij}je[n+2],je[m+2]- Обозначим проекции жх : В{Х) х B(Y) -» В{Х), ттуВ(Х) х B{Y) B(Y).

Пусть для любого i € [п + 2] проекция i"x(Uje[m+2] Ki) П X не содержит антиподальных точек и для любого j € [m + 2] проекция 7rv(Ui6[n+2] И?) Г* У также не содержит антиподальных точек. Пусть {ai}ie[n+2] ~ положительные целые числа, сумма которых равна m + 2. Тогда найдётся такое отображение a : [m + 2] —> [п + 2], что

Vi€[n + 2] |<7-1(г)| = Oj и р) Ua(j)j ф 0.

je[m+2]

В главе 3 формулируются и доказываются аналоги теоремы Брау-эра для послойных отображений тотального пространства векторного расслоения.

Теорема 3.1. Пусть дано векторное расслоение iту : V -4 X и число к > 0, причём для класса Эйлера выполняется e(V)k ^ 0. Пусть даны k + 1 послойное непрерывное отображение fi : B(V) B(V) (г = 1,...,А; + 1). Тогда найдётся точка х 6 В (V), для которой

х = fi(x) = ... = fk+1(2).

Также рассматриваются вещественные грассманианы и канонические расслоения над ними. Доказывается следующее свойство класса Эйлера грассманиана, известное ранее в частных случаях.

Лемма 3.3. Пусть р — простое число, -¡ = (грассмани-ан ориентированный, если р нечётно). Для класса Эйлера е(7) по модулю р выполняется соотношение

е(7)* ± О g Hn{n-k){Gnn~k, Zp),

если р = 2 или п — к четно.

Рассматривается действие группы Z2 на пространстве сфер канонического расслоения над грассманианом, переводящая вектор х в —х послойно. Доказывается теорема об индексе этого действия.

Лемма 3.4. hindz2 S{= n - 1.

Из этой леммы и теоремы 2.32 выводится следствие.

Теорема 3.6. Пусть S(^~k) покрыто семейством замкнутых множеств Т — {U\, U2,..., l/n+1}- Пусть никакое f/¿ не содержит ан-типодальных точек. Тогда для всякого разбиения семейства {Ui} на два непустых семейства Т\ и Тч найдётся точка с € S(такая, что с € Р| и a (с) <6 Р| J~2- Кроме того, если покрытие Т индуцировано из некоторого замкнутого покрытияQ = {Vi,V2,..., Vrl+i} пространства B(j"~k), то семейство Q имеет общую точку.

Также приводятся известные ранее сведения об индексе ^-действия на ориентированном грассманиане, заключающемся в смене ориентации.

В главе 4 формулируются разные обобщения и аналоги теоремы Тверберга, теоремы о центральной точке и теоремы о центральной трансверсали. Все эти результаты являются прямыми следствиями вычисления препятствия в виде класса Эйлера. Приводится гипотеза.

Гипотеза Тверберга о траисверсалях. Пусть 0 < m < d — 1

и So, Si,..., Sm —m + 1 конечное множество в Rd, такое что |S¿| = ' (r¿ — l)(d — то +1) +1. Тогда каждое множество Si можно разделить на г¡ частей Su, Su, ■.., S¿rj так что все выпуклые оболочкиconvSy можно пересечь одной тп-плоскостью.

Эта гипотеза доказывается для случая, когда числа являются степенями одного и того же простого числа. Более того, доказывается «топологическое» обобщение этого утверждения.

Теорема 4.1. Пусть 0 < m < d — 1 и числа г; (г = 0,... ,тп) являются степенями одного и того же простого числа rt = pki. Если р нечётно, потребуем, чтобы d — m было чётным. Пусть для каждого i = 0,... ,m fc отображает непрерывно (г* — 1 )(d — m + 1)-мерный симплекс Дг- = A(ri-1)(d_m+1) ц пространство Rd.

Тогда на каждом симплексе Д; найдётся Г{ точка Хц, £¿2, ■ ■ ■ ,xin € Д» с попарно непересекающимися носителями так, что все fi(xij) содержатся в одной т-плоскостп.

Доказываются также «цветные» аналоги предыдущей теоремы. Теорема 4.5. Пусть р — простое число, 0 < m < d — 1л So, Si,..., Sm — m + 1 конечное множество в Rd. Если р ф 2, потребуем, чтобы d — m было чётным.

Пусть числа и (г = 0,..., тп) являются степенями р, к — число цветов и либо к = d—7П+1, либо к < d—m+l и для каждого г = 0,... ,тп

ri < -----. Положим также U = 2г, — 1. Пусть для каждого

d - т. + 1 - k

i = 0,..., m мощность |iSj| = Uk и пусть каждое Si раскрашено в к цветов и каждый цвет встречается в Si ровно ti раз. Тогда для каждою г можно найти Г{ попарно непересекающихся разноцветных множества

Pili Pi2i ■ ■ ■ 1 PiTi Q Si,

так что все множества соnvPij (i = 0,... ,m, j = 1,... ,ri) можно пересечь одной m-плоскостью.

Теорема 4.6. Теорема 4.5 также верна, если k = d + 1 — m и для тех Ti, которые равны 2, положить ti = 2 вместо 3.

Формулируются и доказываются «двойственные» теоремы о центральной точке для конечных множеств и абсолютно непрерывных мер.

Теорема 4.7. Пусть в Ш'1 дано семейство Т из п гиперплоскостей общего положения. Тогда найдётся точка х такая, что всякий

n + d

проходящий через неё луч пересекает как минимум плоскостей из Т.

с?+1

гипер-

Теорема 4.8. Пусть на многообразии гиперплоскостей у} задана абсолютно непрерывная вероятностная мера /л с компактным носителем. Тогда найдётся точка х такая, что для всякого луча г с началом в х

КИт.а-

Также доказывается «двойственный» аналог теоремы о центральной трансверсали.

Теорема 4.9. Пусть на множестве задано й — к абсолютно непрерывных вероятностных мер ,..., [¿¿-к с компактными носителями. Тогда найдётся й — к — 1-плоскость Ь такая, что для всякой й — к-полуплоскости М с краем Ь и любого I = 1,... ,й — к

В духе «двойственных» теорем о центральной точке рассматриваются и «двойственные» теоремы типа Тверберга. Формулируется гипотеза.

Гипотеза 4.2. Пусть в К'' дано семейство из (й + 1 )п гиперплоскостей общего положения. Тогда их можно разбить на наборы из <1+1 штук так, что все симплексы, образованные наборами, имеют общую точку.

Доказывается её частный случай и «цветной» аналог.

Теорема 4.22. Пусть в дано семейство из (<1+ 1)п гиперплоскостей общего положения, причём п = рк, где р — простое число. Тогда эти плоскости можно разбить на п непересекающихся наборов из (1+1 штук так, что все симплексы, образованные наборами, имеют общую внутреннюю точку.

Теорема 4.23. Пусть в дано семейство из (¿+1)1 гиперплоскостей общего положения, где £ > 2г — 1, г = рк, р — простое число. Пусть эти гиперплоскости разбиты на й + 1 семейство (цвет) но t элементов.

Тогда из данных плоскостей можно выбрать г— в, непересекающихся

наборов по d + 1 гиперплоскости в каждом наборе так, что все симплексы, образованные наборами, имеют общую внутреннюю точку и каждый набор разноцветный, то есть не содержит пары одноцветных плоскостей.

В главе 5 доказываются некоторые обобщения теоремы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича (сокращённо — ККМ), используя технику типа теоремы Борсука-Улама.

Теорема 5.1. Рассмотрим множество X из п точек в и множество индексов [т], где т > п. Пусть {А(х, j)}, где х € X, j € [m] — семейство замкнутых множеств, для которого

Vj € [m] VY С X сопуУ с у A(x,j).

xeY

Пусть каждому х € X сопоставлено такое натуральное число а(х), что а(х) = m■ Тогда найдётся такое отображение множества

индексов a : [m] —> X, что

m

VxeX\ а~1(х)\=а(х) и f)A(a(j),j)^<ö.

i=i

Доказывается следующее обобщение теоремы ККМ на произведение двух симплексов.

Теорема 5.8. Предположим, что произведение симплексов А™"1 х Äm_1 (m > n) покрыто семейством из mn замкнутых множеств Ау (г 6 [nj,j € [m]), причём каждое Aij не пересекает ¿^Д"-1 х Am_1 я не пересекает А™-1 х djAm~l. Возьмём натуральные числа ai,... an, сумма которых равна т.

Тогда найдётся отображение a : [т] —[п], для которого

т

Vi 6 [п] |сг~1(г)| = ah PI Aa{j)j ф 0.

i=i

Из этой теоремы выводятся следствия.

Следствие 5.9. Пусть в квадрате Q = [0,1] х [0,1] дана абсолютно непрерывная мера ft. Рассмотрим пары разбиений отрезков на отрезки [0,1] = iiU^U.. .Uln и [0,1] = JjU J2U.. .U Jm порядков m>n и соответствующие разбиения квадрата на прямоугольники

Q= U h х Jj.

ie[n),j£[m]

Пусть с > 0. Тогда либо найдётся такая пара разбиений, что для любых i 6 [71], j € [m]

fi{Ii x Jj) < с,

либо для любого разбиения числа m = aj + аг + • • • + найдётся пара разбиений отрезка I порядка n, J порядка тп и отображение a : [тп] —> [п], такое что

Vi е [n] |<т_1(г)| = ah Vj G [ш] fi{IaU) х Jj) > с.

Следствие 5.11. Рассмотрим конечное семейство связных ограниченных открытых (замкнутых) множеств Т в К2. Пусть m>n — натуральные числа. Предположим, что всякое подсемейство Q С Т, у которого \Q\ < тп + 1, можно пересечь либо тп горизонтальными, либо п вертикальными прямыми. Тогда всё семейство Т можно пересечь набором из m горизонтальных и п вертикальных прямых.

Формулируется некоторое «цветное» обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке и из него выводится цветная теорема Хелли.

Теорема 5.12. Предположим, что в Kd даны d + 1 конечное семейство открытых множеств Ti (i = 1,..., d + 1), причём каждое семейство покрываетЖ^ и существует такое отображение n : (J4 Jj Sd~l, что

W е U Л inf (u, тг{и)) > -00. i

Рассмотрим d+1 непрерывное отображение fi: Rd —> Rd такое, что все отображения х ь-> fi(x) — х ограничены.

Тогда найдётся точка х € Ed и система представителей Ui € Jj такие, что

\/i = l,...,d+l fi{x) eUi и 0 € conv{n(t/i),...,n(i/rf+i)}.

Также рассматриваются некоторые «цветные» обобщения леммы Шпернера.

В главе 6 доказываются теоремы типа Борсука-Улама о покрытиях пространств канонических расслоений над вещественными грас-сманианами типа теоремы 2.29. Из них выводятся некоторые следствия.

Теорема 6.5. Пусть в расслоении даны m непрерывных сечений si,..., sm, причём для всякою L £ Gп многогранник Р(Ь) = conv{si(L),..., sm(L)} имеет непустую внутренность. Тогда найдётся такой слой L € и пара непересекающихся опорных к P(L) полупространств Hi,H2 С L, что множество Hi U Н2 содержит не менее n + 1 точки из (si(L),..., sm(L)}.

Из них выводятся результаты о разбиении мер гиперплоскостями.

Определение. Пару из абсолютно непрерывной вероятностной меры с компактным носителем р и числа е € [0,1/2) будем называть мерой с допуском. Для краткости при рассмотрении нескольких мер Pi допуск каждой будем обозначать e{pi).

Определение. Пусть в R" дана мера с допуском ц. Будем говорить, что гиперплоскость h пересекает (с допуском) меру ц, если h делит на два полупространства Hi и и

p(Hi),p(H2)>e(p).

Определение. Пусть в R" дана мера с допуском р. Будем говорить, что полупространство H содержит (с допуском) меру р, если

р(Н)> 1-ф).

Определение. Пусть в М" даны два семейства мер с допусками М.\ и М-2- Будем говорить, что гиперплоскость к разделяет (с допуском) семейства М.\ и М.2, если /г делит М" на два полупространства Н\ и Яг, для любой р, £ М\ Н\ содержит с допуском /1 и для любой р. € Мо П.2 содержит с допуском р..

Следствие 6.6. Пусть в М™ дано семейство из п + 1 меры с допуском М. Тогда либо найдётся гиперплоскость, которая пересекает с допуском все меры М; или для всякого разбиения М на два непустых семейства М\ и М.2 найдётея гиперплоскость, которая разделяет с допуском Мг и М2-

Доказываются теоремы типа Борсука-Улама, дающие плоские транс-версали семейств множеств, плоскости, равноудалённые (равноукло-няющиеся) от всех множеств семейства.

Следствие 6.8. Если в К" дано неантиподальное семейство компактов Т, | Т7! = п +1, то найдётся к-плоскость, находящаяся от всех множеств семейства на равном расстоянии. Если кроме того и Т (тг — к)-выпукло, то у него существует к-трансверсаль.

Также доказываются результаты типа Борсука-Улама для подмножеств сферы.

Теорема 6.10. Пусть на сфере Б'1'1 даны п открытых подмножеств VI,..., Уп, причём всякое Ц пересекает всякую к-подеферу. Тогда найдётся к-полусфера, пересекающая все множества Ц.

Также с помощью лемм о категории Люстерника-Шнирельмана грассманиана доказываются некоторые теоремы типа Хелли для плоских трансверсалей, в частности следующая теорема.

Теорема 6.13. Пусть 0 < к < п и в Шп дано п — к + 1 семейство {■7гх}г<=[п_|£+1] выпуклых компактов. Тогда выполняется одна из следующих альтернатив:

1) Найдётся система представителейК{ е Т{, такая что П»е[п-к+1] = •0;

2) В некотором из семейств любые к +1 или менее множеств имеют к — 1-трансверсаль.

3) Найдётся семейство параллельных к-плоскостей {сч}ге[п-к+1]> такое что для всех г € [п — к + 1] се{ является к-трансверсалью Тг.

Причём третья альтернатива, возможна только если 2к < п, к = 1 или к = 2 и п = 2'.

В главе 7 рассматривается задача о бильярде в выпуклом теле и даётся новая (неулучшаемая) оценка на категорию Люстерника-Шнирельмана конфигурационного пространства. Из этой оценки выводится оценка снизу на количество различных траекторий простой длины.

Определение. Длиной замкнутой бильярдной траектории Р назовём количество точек излома на Р.

Теорема 7.1. Пусть Т — (1-мерное гладкое выпуклое тело, <1 > 3, ар >2 — простое число. Тогда вТ найдётся не менее {й—2)(р—1)+2 различных замкнутых бильярдных траекторий длины р.

Также доказывается следующая теорема о совпадающих точках отображения.

Теорема 7.9. Пусть группа свободно действует на топологическом пространстве X и Ыпс1Х > (¿—1)(р—1) + 1. Обозначим образующую за Т. Тогда для всякого непрерывного отображения / : X —> найдётся точка х £ X, для которой /(х) = /(Т(а;)).

В главе 8 доказывается результат о вписывании многомерного аналога октаэдра (кроссполитопа) в гладкое выпуклое тело, рассматриваются возможные ослабления условия гладкости и вписывание в невыпуклую гиперповерхность.

Теорема 8,2. Пусть Н С К1' — образ гладкого вложения й — рк— нечётная степень простого. Пусть С — кроссполитоп, натянутый на базис (еь..., е^). Предположим, что группа {2р)к действует транзитивно на векторах базиса (е\,..., е^) и её действие продолжается до действия на К^ ортогональными преобразованиями. Тогда найдётся кроссполитоп С" С подобный С, все вершины которого лежат на Н.

С помощью небольшой модификации рассуждений доказывается утверждение о разбиении меры конусами.

Теорема 8.3. Рассмотрим группу С? = пусть (I = рк —

нечётная степень простого. Предположим, что С? действует на М^ ортогонально, транзитивно переставляя векторы некоторого базиса. Пусть замкнутый конус С с центром в начале координат таков, что

семейство конусов {±g(C)}sea даёт разбиение Rd, а его подсемейство {g(C)}gc_g имеет ровно один общий луч.

Тогда для всякой абсолютно непрерывной вероятностной меры у, на найдётся сохраняющее ориентацию движение р такое, что для любого g € G

ß(p(g(C))) = ß(P(-g(C)) = j-d.

Также рассмотрены близкие по духу результаты о существовании в каждом многообразии с непрерывной метрикой конечного набора точек, расстояния между которыми связаны равенствами определённого вида.

Теорема 8.5. Пусть р > 2 — простое число, М — ориентируемое многообразие размерности d. Пусть на М х М задана непрерывная функция р.

Пусть в группе G = Zp (с аддитивной записью) даны d элементов gi, ■.. ,(jä- Тогда найдётся непостоянное отображение ф : G —> М такое, что

Mg G G, Vi = 1,..., d р{ф{д), ф{д + 9i)) = р{ф{е), ф{д{)).

Доказываются и более общие версии утверждения, в которых вместо метрики используются произвольные непрерывные функции нескольких точек.

В главе 9 вводится некоторое обобщение понятия категории Лю-стерника-Шнирельмана и для него доказывается утверждение о категории прообраза точки при непрерывном отображении.

Определение. Пусть X — топологическое пространство, а к — ' функция, определённая на непустых открытых подмножествах X, обладающая следующими свойствами:

1) если и С V, то к(I/) < к(у) (монотонность);

2) к{Щ и • • • и и„) < к(и{) + ■•■-(- к(и„) (субаддитивность);

3)к(ихи- ■ -и ип) < тах{£([/1),.. .,&({/„)}, если замыкания сШх,... ,с\Иг попарно не пересекаются.

Такую функцию к будем называть обобщённой относительной категорией.

Теорема 9.2. Пусть на пространстве X задана обобщённая относительная категория к, для которой k(X) > n(d+1). Предположим, что / : X —» Y — непрерывное отображение в d-мерное (в смысле покрытий) метрическое пространство Y и образ f(X) относительно компактен. Тогда найдётся точка с £ Y такая, что для любой окрестности U Э с

к(Г\и)) > п.

Выводятся следствия типа теоремы Ворсука-Улама для функций на сфере.

Следствие 9.4. Пусть даны натуральные числа к,1,п, причём к(1 + 1) < п. Тогда для любых I чётных непрерывных функций на сфере Sn (fi,... ,fi) найдутся такие числа (ci,..., q), что для любых к нечётных непрерывных функций (gi,..., gk) система

fi{x) = ci, /2(х) = с2,..., fi(x) = Cl gi{x) = 0, g2{x) = 0,... ,gk(x) = О

имеет решение.

Публикации автора по теме диссертации

[1] P.H. Карасёв, "Раскрашенная версия леммы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича", Моделирование и анализ информационных систем, 13:2

(2006), 66-70.

[2] R.N. Karasev, "Tverberg's transversal conjecture and analogues of nonembed-dability theorems for transversals", Discrete and Computational Geometry, 38:3

(2007), 513-525.

[3] P.H. Карасёв, "Род и категория Люстериика-Шнирельмана прообразов", Моделирование и анализ информационных систем, 14:4 (2007), 66-70.

[4] Р.Н. Карасёв, "Двойственные теоремы о центральной точке и их обобщения", Мат. сборник, 199:10 (2008), 41-62.

[5] R.N. Kaxasev, "Periodic billiard trajectories in smooth convex bodies", Geometric and Functional Analysis, 19:2 (2009), 423-428.

[6j P.H. Карасёв, "Топологические методы в комбинаторной геометрии", Успехи мат. наук, 63:6(384) (2008), 39-90.

[7] Р.Н. Карасёв, "Вписывание правильного кроссполитопа", Мат. заметки (в печати).

[8] R.N. Karasev, "Equipartition of a measure by (¿^-invariant fans", Discrete and Computational Geometry, 43:2 (2010), 477-481.

[9] R.N. Karasev, "The genus and the category of configuration spaces", Topology and its Applications, 156:14 (2009), 2406-2415 doi10.1016/j.topol.2009.06.012.

[10] R.N. Karasev, "Knaster's problem for (¿^-symmetric subsets of the sphere S2"'1", Discrete and Computational Geometry, 44:2 (2010), 429-438.

[11] Р.Н. Карасёв, "ТЬоремы типа Борсука-Улама для плоскостей и плоские трансверсали семейств выпуклых компактов", Мат. сборник, 200:10 (2009), 39-58.

[12] R.N. Karasev, A.Yu. Volovikov, "Knaster's problem for almost (Z^-orbits", Topology and its Applications, 157:5 (2010), 941-945.

В данной работе Р.Н. Карасёву принадлежит постановка задачи и доказательство в случае степени двойки. А.Ю. Воловикову принадлежит общий топологический подход к задаче Кнастера и остальные доказательства.

Карасев Роман Николаевич

ТЕОРЕМЫ ТИПА БОРСУКА - УЛАМА В КОМБИНАТОРНОЙ И ВЫПУКЛОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подписано в печать 25.08.2010г Формат 60x84 Усл. печ.л. 1,2 Тираж 100 экз. Заказ 28 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская область г. Долгопрудный, Институтский пер. 9

1 Введение

1.1 Историческая справка.

1.2 Описание структуры работы.

2 Вспомогательные утверждения из топологии

2.1 Класс Эйлера векторного расслоения и практические методы его вычисления.

2.2 Относительный класс Эйлера.

2.3 Эквивариантный класс Эйлера.

2.4 Когомологии пространства В^р)к.

2.5 Индекс действия.

2.6 Род С-дейетвия.

2.7 Категория Люстерника-Шнирельмана.

2.8 Теоремы о покрытиях для ¿^-пространств

3 Топология векторных расслоений

3.1 Теоремы о неподвижной точке для послойных отображений

3.2 Топология грассманианов и канонических расслоений над ними

4 Теоремы типа Тверберга

4.1 Конфигурационные пространства и расслоения в теоремах типа Тверберга.

4.2 Теорема Тверберга для трапсверсалей.

4.3 Теоремы типа Ван-Кампена-Флореса для плоских транс-версалей.

4.4 Цветная теорема Тверберга для трапсверсалей.

4.5 Формулировки теорем о центральной точке.

4.6 Сведения о мерах и их центральных точках.

4.7 Доказательства теорем о центральной точке.

4.8 Двойственные теоремы типа Тверберга.

4.9 Некоторые гипотезы.

5 Теоремы о покрытиях и разбиениях

5.1 Цветная теорема Кпастера-Куратовского-Мазуркевича

5.2 Теоремы типа ККМ на произведениях симплексов

5.3 Теорема об отображениях и цветная теорема Хелли

5.4 Цветные обобщения леммы Шперпера.

6 Геометрия пространства плоскостей

6.1 Геометрические свойства грассманиана.

6.2 Разбиение мер гиперплоскостями.

6.3 Теоремы типа Борсука-Улама для плоскостей.

6.4 Теоремы типа Хелли для плоских трапсверсалей

7 Бильярды в выпуклом теле

7.1 Задача о количестве замкнутых траекторий.

7.2 Конфигурационное пространство, его индекс.

7.3 Квазинеподвижные точки Zp-действия.

8 Вписывание многогранников и деление меры

8.1 Вписывание правильного кроссполитопа и кроссполитопа с (Z^^'-симметрией.

8.2 Деление меры конусами.

8.3 Теоремы существования для метрических соотношений на многообразиях.

9 Категория Люетерника-Шнирельмана прообразов

9.1 Обобщённая относительная категория.

9.2 Доказательство и следствия.

1.1 Историческая справка

В данной работе доказываются разнообразные теоремы существования в геометрии выпуклых и конечных множеств в конечномерном евклидовом пространстве К".

Типичным (и одним их первых) результатом в этом направлении является теорема Брауэра о неподвижной точке [12].

Теорема 1.1 (Теорема Брауэра). Пусть К С М^ выпуклый компакт. Тогда для всякого непрерывного отображения / : К —»• К найдётся неподвижная точка, то есть точка х € К. для которой х = /(ж).

Первые доказательства теоремы Брауэра были основаны на геометрических идеях, или, чуть позже, на использовании комбинаторной леммы Шперпера [53] (см. главу 5). Впоследствии доказательства теоремы Брауэра были переформулированы в рамках топологических препятствий, которые но сути являются относительными классами Эйлера (см. главу 2 и теоремы 3.1 и 3.2). Осознание наличия гомологического препятствия позволило построить нрактически эффективные алгоритмы нахождения неподвижной точки, см. [16, 36].

Был разработан метод гомотопического продолжения, который основывается на следующем утверждении, сформулированном здесь в частном случае.

Теорема 1.2 (О гомотопическом продолжении). Пусть расслоение V —У X имеет ненулевой класс Эйлера. Пусть также гoмomonuяst связывает два сечения этого расслоения во и вь Тогда в пространстве гомотопии X х [0,1] некоторая компонента множества нулей пересекается и с X х {0}, и с X х {1}.

В случае, если X является многообразием размерности п. слои V также имеют размерность п. и гомотопия вь находится в общем положении, утверждение теоремы просто говорит о том, что некоторый нуль во связан гладкой кривой с некоторым нулём 51 в пространстве X х [0,1]. Это наблюдение позволяет построить эффективные вычислительные алгоритмы для нахождения некоторых нулей произвольного сечения 51, если для некоторого фиксированного сечения во все пули известны.

Хотя рассмотрение вычислительных аспектов задач не является целью данной работы, можно сказать, что доказательство теоремы существования с помощью вычисления класса Эйлера некоторого расслоения также даёт некоторый способ эффективной вычислительной реализации теоремы существования.

Ещё один тип теорем существования в геометрии даёт теорема Хелли [27] и разнообразные её следствия и обобщения.

Теорема 1.3 (Теорема Хелли). Пусть У7 конечное семейство выпуклых множеств в Тогда семейство Т имеет общую точку т,огда и только тогда, когда, всякое подсемейство 0 С Т с \Я\ < с?+ 1 имеет общую точку.

Сама по себе теорема Хелли, в частности, допускает топологическое доказательство (см. [79]) путём рассмотрения нерва покрытия У Т семейством Т7 как симилициального комплекса и рассмотрения гомологий этого комплекса. Также существует доказательство теоремы Хелли через теорему Брауэра.

В литературе «теоремой типа Хелли» называется утверждение о семействе множеств, в котором некоторое свойство семейства выводится из выполнения того же или аналогичного свойства для всех подсемейств фиксированного размера. В частности, изучаются такое свойство, как наличие плоской трансверсали, то есть плоскости заданной размерности, пересекающей все множества семейства. Для плоских трапсверсалей простых обобщений теоремы Хелли не существует (даже в случае трансверсалей прямых), однако разнообразные утверждения типа теоремы Хелли всё же возможны. Некоторые из них рассматриваются и в этой работе.

Вернёмся собственно к теореме Хелли. Одним из способов доказательства теоремы Хелли является, применение теоремы Радона [50], более общая формулировка которой доказана Твербергом [58[.

Теорема 1.4 (Теорема Тверберга). Пусть конечное множество X € состоит из (с/+1)(п—1) + 1 точек. Тогда,X можно разбить нап множеств Х\,., Хп, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.

Позднее в работах Вагапу. БЫойтап, Бгйсз, ЁгуаЦеук:. УгесНса, Во-ловикова были получены топологические доказательства теоремы Тверберга и её цветного обобщения [3, 60, 67, 74] для случая, когда речь идёт о разбиении на п частей и число п является степенью простого. Фактически, доказательства основывались па неравенстве нулю эквивариантного класса Эйлера некоторого расслоения.

Приведём формулировки цветных обобщений теоремы Тверберга. В работе [5] доказана цветная теорема Тверберга на плоскости.

Теорема 1.5 (Двумерная цветная теорема Тверберга). Пусть на плоскости дано множество из 3п точек. Пусть эти точки раскрашены в три цвета так, чт,о точек каждого цвета ровной. Тогда эти точки можно разбить на п разноцветных троек так, что треугольники, соответствующие точкам, имеют общую точку.

Обобщить этот результат на (с1+ 1 )п точек в пока не удалось, однако в работе [67] с помощью топологической техники доказано утверждение, в котором точки берутся с некоторым запасом.

Теорема 1.6 (Цветная теорема Тверберга). Пусть в дано множество из (б? 4- 1)£ точек, где I > 2г — 1. г — рк, р - простое число. Пусть эти точки разбиты нас1+ 1 множество (цвет) по £ элементов.

Тогда из данных точек люжно выбрать г непересекающихся наборов Х[,.,ХГ с выполнениелг следующих условий. Для любого г = 1,.,г |Х,:| = д + 1 и в присутствуют все цвета. Кроме того г

Р|С0ПУХ; ^0. г=1

Приведём также одну из эквивалентных формулировок теоремы Борсука-Улама [85, 11], которая тесно связана с теоремами Хелли и Брауэра.

Теорема 1.7 (Теорема Борсука-Люстерпика-Шнирельмана). Если сфера 5" покрыта п + 1-м замкнутым множеством . ,Хп+1, то по крайней ,мере одно из Х-ь содержит пару диаметрально противоположных точек на сфере.

В главах 5 и 6 будут рассмотрены разного рода обобщения и следствия из обобщений этой теоремы, в которых вместо покрытия сферы рассматриваются некоторые покрытия канонического расслоения над грассманианом.

Отметим также эквивалентную формулировку теоремы Борсука-Улама [11], в которой вместо покрытий рассматриваются функции.

Теорема 1.8 (Теорема Борсука-Улама). Если на сфере Sn даны и нечётных непрерывных функций fi,., fn. то для некоторой точки х е Sn

Ых) = f2(x) = ■ ■ • = fn(x) = 0.

Близким к теореме Борсука-Улама утверждением является теорема Люстерпика-Шнирельмапа о категории проективного пространства. Ниже приведена одна из возможных формулировок.

Теорема 1.9 (Теорема Люстерника-Шнирельмана). Если сфера Sn покрыта п замкнутыми множествами Х\,., Хп. инвариантными относительно отражения х У —х, то для некоторого г одна из колтонент связности XL содержит пару диаметрально противоположных точек на сфере.

Одним из следствий теоремы Хелли является теорема Неймана-Радо [46. 49] о центральной точке меры.

Теорема 1.10 (Теорема о центральной точке). Для абсолютно непрерывной вероятностной меры, \i на W1 найдётся, такая точка х Е

M.d, что для всякого полупространства Н Э х }i{H) > ^ ^.

Отметим также другой известный результат о делении мер (см. работы Stone. Tukey, Steinhaus [55, 54]), являющийся следствием теоремы Борсука-Улама.

Теорема 1.11 (Теорема «о бутерброде»). Пусть на W1 заданы d абсолютно непрерывных вероятностных мер /ii,., . Тогда найдётся полупространство Н С такое, что для любого г = 1,., d

Я) = 1/2.

В работах Дольникова, ЙуаЦеую. Угеспса [65, 81, 82] теорема о центральной точке была обобщена на случай нескольких мер. Причём данное обобщение в случае т = (I— 1 даёт теорему «о бутерброде».

Теорема 1.12 (Теорема о центральной трансверсали). Пусть на заданы ?д+1 абсолютно непрерывная вероятностная мера^о./.¿т

Тогда найдётся т-плоскость Ь € М^ такая, что для всякого полупространства Н 1Э Ь и всякого ? = 0,., тп + 1

1М(Н) > с1 — т + 1

Теоремы Тверберга и гипотезу Тверберга о трансверсалях (формулировка. в главе 4) можно рассматривать как некоторые дискретные обобщения теорем о центральной точке и центральной трансверсали соответственно.

К теореме о центральной трансверсали близко следующее утверждение из [81. 82]:

Теорема 1.13 (Теорема Дольникова о трансверсали). Пусть 0 < к < с1 — 1 и в Ж'1 даны к + 1 семейство Ть (1 = 0,., к) выпуклых компактов. Предположим, что в каждом селгействе любыед+1—к множеств им,еют общую т,очку. Тогда существует к-плоскость, пересекаются все .множества из

Из этой теоремы при к = 0 получается обычная теорема Хелли. Следующая теорема из [30, 35] также имеет дело с плоскими транс-версалями.

Теорема 1.14 (Теорема Хорна-Кли). Для натуральных 1 < к < <1 и семейства Т выпуклых компактов в М^, следующие три условия эквивалентны:

1) Каждые к множеств из Т имеют общую точку;

2) Каждая плоскость коразмерности к — 1 в Жг/ имеет транс-лят. пересекающий все лаю жесте а Т;

3) Каждая плоскость коразмерности к в принадлежит плоскости коразмерности к — 1. пересекающий все множества Т.

В главе б будут приведены некоторые новые результаты по плоским трансверсалям, близкие к теоремам Борсука-Улама, теореме Хел-ли и двум вышеприведённым теоремам.

Также типичными теоремами существования в геометрии являются результаты о вписывании и оиисывании фигур из данного класса в/вокруг выпуклого тела в

Одна из первых теорем о вписывании из [102].

Теорема 1.15 (Теорема Шнирельмана). Для всякой гладкой замкнутой кривой С С М2 найдётся квадрат, все вершины которого лежат на кривой С.

Другая типичная теорема об оиисывании имеет вид [34].

Теорема 1.16 (Теорема Какутани). Вокруг всякого выпуклого тела К С М3 можно описать куб.

Конечно, эти теоремы являются простейшими промерами. Множество разных утверждений о вписывании и описывапии можно найти в работах [77. 88, 89, 90, 91]. Например, в диссертации Макеева [89] доказан следующий аналог теоремы Шнирельмана.

Теорема 1.17 (Теорема Макеева). Во всякое гладкое выпуклое те,ло К С М3 м,ожно вписать октаэдр.

Предметом данной работы является, в частности, обобщение этой теоремы на большие размерности.

Близкими к задаче вписывания многогранника является серия задач о бильярдных траекториях в выпуклых телах. Типичный результат такого рода даёт теорема (ф(п) - функция Эйлера).

Теорема 1.18 (Теорема Биркгофа). Для всякого гладкого выпуклого компакта К С К2 найдётся, не менее ф(п) различных замкнутых бильярдных траекторий в К с п ударениями о край.

Некоторые результаты но многомерному обобщению данной теоремы были доказаны в работах Бабенко, Фарбера и Табачникова [ТО, 20, 21]. В этой работе будет доказано аналогичное утверждение в случае простой длины (количества звеньев) траектории и произвольной размерности (1> 3.

1. G. Birkhoff, "Dynamical systems", Amer. Math. Soc. Coll. Puhl, 9 (1927).10| T. Bisztriczky, "On separated families of convex bodies", Arch. Math., 54 (1990), 193—199.

2. K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre'', Fund. Math., 20 (1933), 177-190.12j L. Brouwer, "Über abbildung von mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen. 71 (1910), 97-115.

3. S.E. Cappell S.E., J.E. Goodman, J. Pach, R. Pollack, M. Sliarir, R. Wenger, "Common tangents and common transversals", Adv. in Math., 106 (1994), 198—215.

4. L. Danzer L., B. Grünbaum, V. Klee, "Helly's theorem and its relatives", Convexity, Proc. of Symposia in Pure Math, 7, Amer. Math. Soc., Providence, 1963. 101-180.

5. V.L. Dol'nikov, "Some generalizations of transversal theorems" (to appear).16| B. Eaves, "Homotopies for computation of fixed points", Mathematical Programming, 3 (1972), 1-22.

6. R. Kellogg, T. Li, J. Yorke, "Constructive proof of the Brouwer fixed point theorem and computational results", SIAM J. Numer. Anal., 13 (1976). 473483.

7. B. Knaster, "Problem 4", Colloq. Math., 30 (1947), 30-31.

8. M.A. Krasnosel'skii. "On special coverings of a finite-dimensional sphere", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 103 (1955), 961-964.

9. N.H. Kuiper, "Double normals of convex bodies", Israel Jo urnal of Mathematics. 2 (1964), 71-80.43| E.L. Lusk, "The mod p Smith index and a generalized Borsuk-Ulam theorem", Michigan Math. J., 22 (1975), 151-160.

10. J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer Verlag, BerlinHeidelberg, 2003.45| J. McClearv, A user's guide to spectral sequences, Cambridge University Press, 2001.

11. B.H. Neumann, "On an invariant of plane regions and mass distributions", ./. London Math. Soc., 20 (1945), 226-237.

12. R. Palais, "Homotopy theory of infinite dimensional manifolds", Topology, 5 (1966), 1-16.

13. R. Palais. "Lusternik-Schnirelmann theory on Banach manifolds", Topology, 5 (1966), 115-132.49| R. Rado. "A theorem on general measure", J. London Math. Soc., 21 (1946). 291-300.

14. J. Radon, "Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsamen Punkt enthalteir, Math. Ann., 83 (1921), 113-115.

15. E.A. Ramos, "Equipartiotion of mass distributions by hyperplanes", Discrete and Computational Geometry, 15 (1996), 147-167.

16. И.К. Бабсико, "Периодические траектории трехмерных бильярдов Биркго-фа", Marri, сборник, 181:9 (1990), 1155-1169.71J К. Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987.72| В.А. Васильев, Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. МЦНМО, М., 2000.

17. А.Ю. Воловиков, "Точки совпадения отображений ^'-пространств", Изв. РАН. Сер. мат,ем., 69:5 (2005), 53-106.77| М.Л. Громов, "О симплексах, вписанных в гиперповерхности", Мат. заметки, 5:1 (1969), 81-89.

18. Б. Грюнбаум, Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, Наука, М., 1971.

19. Л. Данцер. Б. Грюнбаум, В. Кли, Теорема Хелли и ее применения, Мир, М., 1968.

20. В.Л. Дольников, "Обобщенные трансверсали семейств множеств в К" и связи между теоремами Хелли и Борсука", Докл. АН СССР, 297:4 (1987), 777780.

21. В.Л. Дольников, "Об одном обобщении теоремы о бутерброде", Мат. заметки. 52:2 (1992), 112-133.

22. В.Л. Дольников, Теоремы типа Хелли для трансверсалей семейств множеств и их приложения. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2001.

23. В.В. Макеев, "Вписанные и описанные многогранники для выпуклого тела и задача о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве", Алгебра и анализ, 18 (2006), 187-204.

24. В.В. Макеев, "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Алгебра и анализ, 19:2 (2007), 131-155.92| Д. Милнор, Д. Сташеф. Характеристические классы,, Мир, М., 1979.

25. A.C. Мищенко, Векторные расслоение и их применения, Наука, М., 1984.94. ¿ЪНирепбсрг, Лекции по нелинейному функциональному анализу, Мир, М.,

26. Е.С. Половинкин, Элементы теории многозначных отображений, Московский физико-технический институт, М., 1982.

27. У И Сян, Когомологическая теория топологических групп преобразований, Мир, М., 1979.

28. Г. Хадвигер, Г. Дебрунпер, Комбинаторная геометрия на плоскости, Наука, М., 1965.

29. М. Холл, Комбинаторика, Мир, М., 1970.

30. С. Улам, Нерешённые математические задачи, Наука, М., 1964.

31. А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Наука. М., 1989.101| Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, Наука, М., 1967.

32. Л.Г. Шннрельман, "О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых", Успехи мат. наук, 10 (1944), 34-44.