Нелинейная теория потенциала субэллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК -317.9-30.224+517.952.2-3

Маркина Ирина Генриховна

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА СУБЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-1995

Работа выполнена в Институте математики СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор С. К. Водопьянов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Миклюков. кандидат физико-математических наук Н. С. Лаирбеков.

Ведущая организация:

Вычислительный центр ЛВО РАН.

Защита диссертации состоится " "ноЯ^/7 (Я 1995 г. в " /У " час. на заседании диссертационного совета К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО РАН по адресу: (630090) г. Новосибирск. Университетский пр.. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " /Уф/сТЛ'Л 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета при Институте математики СО РАН канд. физ.-мат. наук ( В. В. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена нелинейной теории потенциала субэллиптических уравнений второго порядка

(1) -с11УЛ(а-,У£и) =0

и исследованию основных понятий этой теории во внутренней геометрии области Л.

Нсюрия теории потенциала насчитывает Гтлее 10!) лет. За последние 20 лет развилась ветвь теории потенциала, называемая нелинейной теорией. Она возникла при решении трудных задач теории нелинейных уравнений с частными производными, теории функциональных пространств и других вопросов.

В классической теории потенциала известна знаменитая теорема Ф. Рисса, согласно которой всякая супергармоническая функция локально представима в виде суммы потенциала и некоторой гармонической функции. Благодаря этой связи изучение поведения супергармонических и гармонических функций и свойств потенциала, фактически, является одной и той же задачей. Теорема о представлении для гармонических функций позволяет дать определение супергармонической функции, как функции, значение которой в центре шара не меньше среднего значения по шару. Кроме того, ввиду линейности оператора Лапласа, его решения, а следовательно, и супергармонические функции, образуют линейное пространство. ч

Решения уравнения (1) имеют много общего с гармоническими функциями. Самое основное — это порядковое свойство: если и к V — два решения задачи Дирихле в ограниченной области О С К" такие, что и < V на границе области П, то это неравенство сохраняется и внутри области. Именно порядковое свойство позволило развить нелинейную теорию потенциала при отсутствии линейности пространства решений. Супергармоническая функция определяется посредством сравнения с непрерывными решениями данного

нелинейного уравнения. '

При изучении свойств решений и суперрешений нелинейных уравнений с частными производными развился аналитический аппарат, базирующийся на таких положениях как принцип сравнения для субрешений и суперрешений, неравенство Гарнака' для гармонических функций, теоремы сходимости монотонных последовательностей и др.

Позднее было доказано, что локально ограниченная сверху супергармоническая функция является суперрешением соответствующего нелинейного уравнения. Такая связь позволила применить разработанный для исследования 'суперрешений мощный аппарат теории дифференциальных уравнений к изучению свойств и поведения супергармонических функций в нелинейной теории.

Параллельно с развитием теории супергармонических функций как основы теории потенциала предпринимаются попытки сформулировать и изучить основные понятия классической теории потенциала: выметание, барьер, решение Перррна, гармонические меры, полярные- множества и другие, применительно к нелинейной теории.

В книге Килпелайнена, Мартио и Хейнонена "Нелинейная теория потенциала вырождающихся эллиптических уравнений" подробно и наиболее полно изложена весовая нелинейная теория потенциала, развитая в связи с решениями квазилинейного уравнения второго порядка.

В работе С. К. Водопьянова "Весовые пространства Соболева и граничное поведение решений вырождающихся ги-поэллиптических уравнений", опубликованной во втором номере "Сибирского математического журнала", введено понятие несобственной границы как результата пополнения по Хаусдорфу метрического пространства fii = (fi,cin) по внутренней метрике d.Q. В связи с этим возникла задача осмысления понятий нелинейной теории потенциала с точки зрения внутренней геометрии области П.

Цель работы. Цель представленной диссертации состоит в исследовании граничного поведения, контролируемого вну-

тронной метрикой, гармонических и супергармонических функций, определяемых субэллиптическим уравнением второго порядка

~<ЦуЛ(х,\;си) = 0.

где субградиент У'с» = (Л')и,... ,Л\.и) определяется векторными полями, удовлетворяющими условию гипоэллиптич-ности Хёрмандера.

Методика исследования. В диссертационной работе используются методы иесовой няяинрйиоЯ теорий ноюнциаля, теории вырождающихся субэллиптических уравнений и теории пространств Соболева.

Научная новизна. Поскольку теоретико-потенциальные свойства решений нелинейных субэллиптических уравнений изучаются впервые, а вопросы регулярности граничных значений с точки зрения внутренней метрики, по-видимому, систематически ранее не изучались, то все главные результаты являются новыми. Их можно объединить в следующие основные группы:

1. Совпадение определения регулярности в смысле Соболева и в терминах верхнего решения Перрона.

2. Критерий регулярности граничных точек области в терминах выметаний.

3. Условие полярности множеств, расположенных на несобственной границе области.

4. Устранимые множества для решений субэллиптических уравнений общей природы.

Теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер." Ее результаты могут применяться в теории нелинейных субэллиптических уравнений, теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно и объектах более общей природы и др. вопросах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством Ю. Г. Решетняка, на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике

памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, август 1994), на конференции группы в анализе и геометрии (Омск, август 1995). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 4].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы, занимает &0 страниц, обработанных издательской системой Лд^-ТцХ. Библиография включает 68 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий исторический обзор и сжато излагаются основные результаты диссертации.

В § 1.1 главы 1 вводится понятие весового пространства Соболева О С <3, как пополнения класса

{уз 6 С°°(П) : || <р | И^(П;/х)|| < оо} относительно нормы

(2) Ии'рЧВДН = у

п п

где йц = ги(х) (¿х, ги(х) — р-допустимый вес, йх — п-мерная мера Лебега, а Vсф — ■ ■ • , Хкф) — субградиент, определяемый

С°°-векторными полями, заданными в некоторой окрестности и замыкания С? ограниченной области (? С К" и удо-. влетворяющими условию гипоэллиптичности Хёрмандера, т. е. предполагается существование целого положительного числа я такого, что коммутаторы векторных полей порядка |а| = образуют касательное пространство в каждой точке замыкания области С?. Метрика р(х,у), ассоциированная с векторными полями, индуцирует на области П, П С б, внутреннюю метрику <1п(х, у), если среди всех кривых, соединяющих точки а; и у, рассматриваются лишь лежащие в области П. Хаусдорфово пополнение метрического пространства = (П,йп) обозначается символом Пх, а множество = П1 \ П называется несобственной границей области О (всюду предполагается, что — компактное множество). Наряду с упомянутыми выше весовыми пространствами Соболева опре-

- - - — - __о _

деляются пространства Wp(Q\-,fi) и !Vp(f2i;/i) как пополнение непрерывных на iii функций из Ир (ii; fi) по весовой норме Соболева (2).

Известно, что определение регулярной граничной точки по Соболеву совпадает с определением регулярности, данным в терминах верхнего решения Перрона. Поскольку-ре-гулярность в диссертации определяется с использованием внутренней ¿ияриьи. то для доказательства основного критерия регулярности, а, в дальнейшем, теоремы о совпадении различных определений регулярности, возникла необходимость расширить понятия гармонической и супергармонической функций и рассмотреть задачу со свободной границей. Это потребовало установить необходимые свойства вновь введенных понятий, поэтому изложение материала в диссертации дается именно для этого случая.

Фиксируются два непересекающихся компакта Ко и A"i на несобственной границе dQi, имеющие положительные емкости cap (A*,-, Wp (fii; ц)), i — 0,1. Емкостью компакта К в пространстве Wp(iii;/i) называется следующая величина

inf { ||/ | W^-М)||р : / € С(Пх) П W^fi; ¡i), f(x) Мдляхб А'}.

о

Определим пространство A'oUATi;/<) как пополнение по

весовой норме Соболева функций / 6 Wp(fi;/i) непрерывных в области Q вплоть до компактов A;, i = 0,1, и таких, что / = 0 на А'о U A"i. При этом все понятия, термины, классы, функции снабжаются значком <т, символизирующим сумму компактов Ао U К\.

о

Если А'о = 0, то полагаем A'i = 9fii и Wlp(Q.,Ko U h\; ¡l) =

о ~

iyj,(f2i;/i). В этом случае все определения при Х{ = d/dxi (стандартные векторные поля) принимают известные формулировки, которые могут быть найдены в книге Килпелай-нена, Мартио и Хейнонена.

В § 1.2 главы 1 определяются *4ст-супергармонические функ-

ции и исследуются их свойства. Рассмотрим уравнение

(1.2.1)

Здесь Л: А х К1' —♦ К* отображение, удовлетворяющее для некоторых чисел 1 <р<ооиО< а <0<ос следующим условиям:

(.41) отображение х —» А(х,£) измеримо для всех £ 6 К*',

отображение ( —» ,4(.г,£) непрерывно для почти всех

х 6 Я;

(Л2)

МЗ) И^о^/М^ЖГ1;

(А4) 1 > О для всех € К*,

(И5) А(х,М) = Л|А|р-2Л(х,0 для любых АеК,А/0. В условиях (А2) — (ИЗ) неотрицательная функция ш — некоторый }>■ допустимый вес на области П.

Определение 1.2.1. Функция и е Н/Гр1(ос(П; /1) называется (слабим) решением уравнения (1.2.1) на множестве Я относительно компактов Ко и Л'ь если для каждой функции ¡р 6

^¿(Я, Л'о иЛ'ь ц) непрерывной в области Я вплоть до компактов Ко и А' 1 имеет место соотношение

Определение 1.2.2. Непрерывная функция и : Я —> К называется А"-гармонической на множестве Я относительно компактов Л'о и Л'1 (и е ^(Я) или и 6 Н(О,К0 иЛ'1)), если она есть слабое решение уравнения (1.2.1) на множестве Я относительно компактов Ко и Л" 1.

Определение 1.2.3. Функция и : Я —» К и {+00} называется А"-супергармонической в Я относительно компактов Л'о и Л'х. (и 6 5"(Я) или и € 5(Я,Л"ои А'1)), если выполнены следующие условия:

1. функция и полунепрерывна снизу,

2. функция и^ оо в области Я,

о

(1.2.2.)

п

3. для каждого открытого множества V С Г2 такого, что Q \ \' = Uq U 0), U0 Л Ui - 0, Л'о С U0, h'i С fi, и каждой Л^-гар-монической в Г относительно <9V'Oi2, непрерывной в V и на 0V П П функции h из того, что неравенство h < и выполняется на сН'ПП следует, что оно выполняется на всем множестве V.

Функция v называется Л"-субгармонической (v € —SCT(fl) или и <= -S(Q, Т\'ъ и .Л.*:)}, ?г.тл г С

Справедлив следующий принцип сравнения. Теорема 1.2.1 (принцип сравнения). Предположим, что и — Л"-супергармоническая функция, a v — ^-субгармоническая функция в области Я относительно компактов К,- С 0Q1, i = 0,1, имеющих положительные емкости cap (Л*;, IFp (fij;fi)). Если для всех точек ж G К0 UA'i С дО.\ выполняется неравенство

и если обе части неравенства не обращаются в +оо или —оо, тогда и < и в Q.

В § 1.3 главы 1 исследуется связь .Д^-супергармонических функций и суперрешений уравнения 1.2.1, где, в частности, доказано, что локально ограниченная сверху .Л^-супергармо-ническая функция является суперрешением уравнения 1.2.1 относительно компактов Л',, i = 0,1.

В §2.1 главы 2 определяется выметание.

Определение 2.1.2. Пусть ф : üj —> (—оо;+оо] — ограниченная снизу функция и пусть Ф^ — класс функций, удовлетворяющих следующим условиям

1. ueSCT(fi), .

2. u(x) > ф(х) для всех точек 1бП,

3. lim inf u(x) > ф(у) для всех точек у 6 Л"0 U/i'i С öfii-

г~0 В{у,г)

Тогда = lim iuf (inf Ф^) называется выметанием функции

dfl(l,I/) —о 1/6П

lim L'(i/) < lim u(y)

г—0 B(l,r)

В fti.

Определение 2.1.3. Если и — неотрицательная функция на множестве Е С Пь то Щ; = где

(и на Е,

I 0 на Пг\Е,

называется выметанием функции и относительно множества Е. Функция Я1Е называется ,Аст-потенциалом множества Е в Ах.

Доказывается, в частности, следующее утверждение.

Лемма 2.1.3. Предположим, что К\ — компактное подмножество П] и к = { (П1) — Л"-потенциал компакта К\ в Пх. Пусть функция (р € С(П 1) такова, что <р = 1 на Кх, <р = 0 на некотором компакте К0, где Ко С дП^ \ К0 П К\ = 0. Тогда и|п\д', — единственная А"-гармоническая функция в К\

о

такая, что и — <р € К0 и К и ц).

В § 2.2 главы 2 приводится критерий регулярности в смысле Соболева точек х £

Определение 2.2.1. Точка х0 6 Ко и К\ С 9Пг, внутренняя для компактов К{1 * = 0,1, регулярна в смысле Соболева для ограниченного открытого множества П, если равенство .

; Мх)=в(хо)

*еп

выполнено для любых функций Л 6 ~Н(0, КоИКг) и в € И^(П; ц), непрерывной в области П вплоть до компактов Л';, г = 0,1, и таких, что Л - в £ И^ДП, К0 и К^, /х).

Следующая теорема является основным критерием регулярности.

Теорема 2.2.1. Предположим, что хо — внутренняя точка компактов Ко или Кх, принадлежащих несобственной границе д(1\. Если для любого шара В с рациональными центром и радиусом выполняется равенство

то точка хо регулярна в смысле Соболева. '

Определению решения Перрона посвящен § 2.3 главы 2.

Определение 2.3.1. Пусть дана функция / : 3i2i —> [—00; +00]. Верхний класс Uj функции / состоит из всех функций и таких, что выполнены следующие условия:

1. функция и — Дст-супергармоническая в П относительно

компактов Ко и К\\

2. функция и ограничена снизу;

3. lnn,in(X)j,)_o и{х) > f(y) для всех точек у 6 А'о U Ä'i С 3f2i.

Оттределеште 2.3.2. Функция Нf — inf{w : м С !(/} пазыва1 ется верхним решением Перрона функции / в области П относительно компактов Ко и Кх.

В §2.4 главы 2 формулируется определение »^-регулярных точек х 6 dÜi.

Определение 2.4.1. Внутренняя для компактов Ki, г = 0,1, точка Хо G Ко U К\ С 3Üi,. называется Л"-регулярной, если

,lin\ H]{x) = f{x о) xen

для каждой непрерывной на компактах К0 и A'i функции / : ЭП1 — К.

Доказывается теорема, связывающая два определения регулярности.

Теорема 2.4.8. Точка х0 6 3f?i А"-регулярна, тогда и только тогда,, когда она регулярна в смысле Соболева.

В § 2.5 главы 2 исследуется связь .Д^-потенциалов и решений Перрона и формулируется следующий критерий ^-разрешимости граничной функции /.

Теорема 2.5.3. Каждая непрерывная на K0UK1 С 3QX функция f : dtl\ —» R является Л"-разрешимой относительно Ко и Кг.

Глава 3 посвящена затираемым и полярным множествам. В §3.1 главы 3 формулируются критерии устранимости особенностей уравнения 1.2.1 в терминах нулевой емкости. Устанавливается обобщенный принцип сравнения.

Лемма 3.1.3. Пусть множество Е С А'о U A'i с ЗП1 имеет емкость cap(ß, Wp(Qi;/x)), равную нулю. Пусть и 6 S(fi, Ко U

Л"]) и и € —5(П, А'о и Л']) — ограниченные функции такие, что

Тогда в случае, если одна из функций и или и принадлежат то неравенство у < и выполняется в области О. В §3.2 главы 3 решается вопрос устранения особенностей решений для следующего типа уравнений

где функции /: П х К х К* -» К и Л,: О х П1 х К* К,./' = 1,... Д-измеримы по х для любых фиксированных 6 К и £ е и для почти всех х £ Г2 непрерывны по и Пусть для некоторого р € (1>о°) существуют константа а > 0 и измеримые функции /ь/2,/3,92,дз>Ьз такие, что выполнены следующие условия:

(Л6) И(*,г,,$)| < аМ>-1и1(х) + д2\,,\'-11и(х) + д3ш(х), (А7) 1/(1,9,01 <-/1К1р-Ч*) + /2Мр-Ч*) + /3Цх), (А8) > —/2|»/|рш(х)-/1з1у(х) для почти всех

х е п и всех т/ е к, £ е к*; ш(х) — р-допустимый вес, /1 € Ьр(9,,р), /2,/з,/»з € Ь\{$1,ц), 92,9з € 1р/р_1(П,/*).

Теорема 3.2.1. Пусть е — компакт в П нулевой (р, ^-емкости. Если функция и 6 И'р\ е; р) П ¿^(П \ е) удовлетворяет уравнению (3.2.1) на множестве П\е, то существует единственное продолжение й € р) решения и такое, что й есть решение уравнения (3.2.1) на П.

Там же установлены эквивалентные необходимые и достаточные условия затираемости особенностей уравнения 1.2.1 Теорема 3.2.2. Пусть е — компакт в П. Для того чтобы множество е было устранимым для всех ограниченных решений и € И£,ое(П \ е; ¿1) уравнения (1.2.1), необходимо и достаточно, чтобы (р, р)-емкость компакта е равнялась нулю.

Лана характеристика устранимых особенностей уравнения 3.2.1, не использующая понятия емкости.

для всех точек х £ (A'oUA'i )\Е С <9П[ выполняется неравенство Иш v(y) < lim u(y).

(3.2.1.)

div.4(x, u, V£u) = /(x, u, V^u),

Пусть Ii : [0. ос) —> [0, ос). /i(0) = 0. возрастающая непрерывная функция, а ¡г1-4. 6 р ■ q — р + q. Для любого борелевского множества Е С R" определим величин}'

m-r.j.)

где I) < /) < х и нижняя грань берется по всем покрытиям

h М' Г;, ' • г пялигтями i: с /#. i i iit-/irrji

Will (Е) = Л/,.и-(Е) < ос существует, и называется весооои 1—0 '

[h. w)-Mepoü Хаусдорфа множества Е С R", а функция множества А^и.(Е) —- весовой вместимостью Хаусдорфа.

Следствие 3.2.2. Пусть с С R" — компактное множество и /i(f) = t*~p, 1 < р < s. Тогда если Л/|-и,(е) < оо, то множество г устранимо для ограниченных решений уравнения (3.2.1) в области Q \е. где iJ С R" — ограниченная область, содержащая е.

Полярным множествам посвящен §3.3 главы 3. Существенным является то, что они могут располагаться на несобственной границе.

Определение 3.3.1. Множество Е (= А'0 U A'i С 0Г1\ или 1Тносительно замкнутое подмножество Ü называется Л"-полярным. если существует Л^-супергармоническая функция и в Л относительно компактов А~0 и A'i такая, что lim inf и(х) =

г —О H(j/,r)

foo для всех точек у £ Е.

Теорема 3.3.1. Пусть Е — множество п Тогда следующие утвержден ил эквивалентны:

1. множество Е А"-полярное,

2. если и — неотрицательная и А"-супергармоническая функция в U относительно А'0 и А"ь то выметание RuF{(l\) = 0,

3. множество Е имеет емкость cap (Е, \ (Qi; /1)), равную нулю.

4. существует неотрицательная полунепрерывная снизу функция f такая, что / 6 И^Пь/г) и f = оо на Е.

D главе 4 приводятся дальнейшие результаты, связан-ibie с .Л-супергармоническими функциями, изучаются Л^-гар-ионические меры различных множеств. Начнем с определе-

ния. Пусть Е С А'о U Л'] С Ofti- Верхним классом U/.; множества Е называется верхний класс ЫХЕ характеристической функции \е, который состоит из всех функций и таких, что • 1. функция и Л^-супергармоническая в Í2,

2. и > 0, - -

3. Иш^п(г.у)—о > \t:(У) Для всех точек у £ А'о U A'i С díii.

xے!

Определение 4.3.1. Функция и! = шШе называется А"-гармонической мерой множества Е в области Í2.

Определение 4.3.2. Множество Е С А*0 U A'i С имее! А"-гармоническую меру нуль в области Q, если и! = 0.

Теорема 4.3.7. Множество Е С A'0UA'i С <9ííi имеет А"-гармоническую меру нуль тогда и только тогда, когда оно А"-по лярно.

В заключение автор выражает благодарность своем}- научному руководителю д.-ф.-м. н., профессору С. К. Водопьянову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Маркина И, Г. Геометрия векторных полей и И-гармони-ческие меры // Теория функций и ее приложения: Тез. докл. (Казань, июнь, 1995). Казань, 1995. С. 40-41.

2. Маркина И. Г. Внутренняя геометрия и регул яркость решений задачи Дирихле // Л1еждун. конф. по группам в анализе и геометрии: Тез. ппк-п.- (0\:с::, авг.. 13SÓ). Ом«-*-, 1995. С. 40 41.

3. Водопьянов С. К., Маркина И. Г. Исключительные множества для решений субэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 4. С. 805-818.

4. Водопьянов С. К, Маркина И. Г. Нелинейная теория потенциала субэллиптических уравнений // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние, 1995. Т. 31: Пространства Соболева и смежные вопросы анализа. С. 92-152.

Подписано к печати

Объем 1 п.л. Заказ 93 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте