(p,q)-аналитические функции в круге с вырождением на границе и квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Терснтьева Юлия Валерьевна

(р,^-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КРУГЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2013

31 ОКТ 2013

005536113

Работа выполнена на кафедре теории функций ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Щербаков Евгений Александрович ФГБОУ ВПО "КубГУ"

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Журавлев Игорь Владимирович ФГАУО ВПО "ВолГУ"

доктор физико-математических наук, доцент Шабалин Павел Леонидович ФГБОУ ВПО "КазГАСУ"

Ведущая организация: ФГБУН "Институт математики им. С.Л.Соболева

СО РАН"(Новосибирск)

Защита диссертации состоится 28 ноября 2013 года в 14 часов 30 минут на заседании совета Д212.081.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан " 2-%." октября 2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.081.10 к.ф-м.н., доцент

Е. К. Линачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы н степень разработанности проблемы. В современной геометрической теории функций комплексного переменного большое место занимает теория плоских квазиконформных отображений, одно из направлений которых связано с изучением эллиптических систем уравнений, подобно тому, как теория конформных отображений связана с решением системы уравнений Коши-Римана.

Первые исследования по квазиконформным отображениям появились около 80 лет назад и принадлежат М. А. Лаврентьеву и Г. Гретшу. В работах J1. Альфорса, И. И. Векуа и Б. В. Боярского были исследованы квазиконформные отображения с обобщенными производными. Ими были установлены теоремы существования такого рода отображений и компактности их семейств.

С начала 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений (см., например, В. М. Миклкжов, А. В. Сычев, Ю. Г. Решетняк, Б. В. Шабат).

Наряду с К - квазиконформными отображениями в работах отечественных и зарубежных авторов: Л. Альфорса, П. П. Белинского, Б. В. Боярского, А. А. Вашарина, В. Я. Гутлянского, В. И. Крутикова, С. Л. Крушкаля, Б. Е. Левицкого, В. М. Миклюкова, И. П. Митюка, А. П. Михайлова, И. С. Овчинникова, В. И. Рязанова, Г. Д. Суворова, Е. А. Щербакова, К. Asíala, G. R. David, J. J. Gergen, E. W. Stredulinsky, U. Srebro, E. Yakubov, O. Martio и др., — изучались квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками.

Первой работой в этом направлении была работа П. П. Белинского о существовании решений вырождающегося уравнения Бельтрами, осуществляющих квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками.

Б. В. Боярским, наряду с существованием решения уравнения Бельтрами:

Л = M (*)/* + "(■*) Л, (1)

с ограниченной характеристикой К (z),

к(=).- 1 + И*)1 + И*)1

1 - |/j.(z)| - Hz)I'

показано (1957 г.), что производные К - квазиконформных отображений обладают улучшенными свойствами интегрируемости. Недавно (2008 г.) Б. В. Боярским и др. доказано существование гомеоморфного решения / (z) уравнения (1), принадлежащего пространству W¡£, s e [1,2).

В. Н. Монаховым (1961 г.) впервые методами квазиконформных отображений были доказаны теоремы существования решения задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами.

Учеником И. И. Данил го ка А. Игликовым (1968 г.) было изучено классическое уравнение Бельтрами с вырождением во внутренней точке единичного круга и показано, что в зависимости от скорости вырождения его решение обладает различными топологическими свойствами.

Е. А. Щербаковым (начиная с 1969 г.) изучались квазиконформные отображения, осуществляемые решениями нелинейных уравнений Бельтрами с различными случаями вырождения. Им был разработан метод доказательства существования таких отображений, основанный на теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений.

В работах Г. Д. Суворова, И. С. Овчинникова, В. М. Миклюкова и их учеников обобщается принцип длины и площади на основе теории нелинейных функциональных пространств. Результатом их исследований стали оценки равностепенной непрерывности и открытости семейств квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками.

Г. Н. Положий в 60-х годах изучал общую теорию р - и (р. q) - аналитических функций. Им были проведены исследования по построению интегральных представлений р - аналитических функций от г = х + ¡у с весом р = хк' (к = соп.чЬ > 0). Основное внимание Г. К. Положий уделял вопросам приложения развиваемой им общей теории в механике сплошных сред.

В работах П. II. Белинского и его учеников (1974 г.) изучались квазиконформные в среднем отображения колец. Ими были получены экстремальные функции для отображений колец и установлены модули равностепенной непрерывности квазиконформных отображений в среднем. В нашей диссертации показано, что в классе квазиконформных в среднем отображений колец нет отображений кроме К — квазиконформных, которые экстремально всякое подкольцо из С,1 := {г е С : г < |г| < 1} переводят на подкольцо из Ср\.

В настоящее время в работах В. Я, Гутлянского, О. Мартио, Т. Шугавы, М. Вуоринена, В. И. Рязанова, В. М. Миклюкова, Б. В. Боярского, Ю. Г. Решетняка и др. изучается проблема существования квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками, как в плоском, так и пространственном случае.

В работе У. Сребро и Э. Якубова (1997 г.) изучается случай вырождения внутри области, для которого показано, что решение / (г) уравнения Бельтрами принадлежит И7,^2.

К. А51а1а (2009 г.) исследовал свойства общих квазиконформных отображений плоскости на себя с интегрируемой характеристикой. В частности, им показано, что обобщенные производные первого порядка локально интегри-

руемы в С, кроме того существует конечное множество, вне которого первые производные локально интегрируемы с квадратом.

Уравнение Бельтрами второго рода

/* = "(*) л,

которое является частным случаем уравнения (1), имеет приложения во многих задачах математической физики, а также играет значительную роль в теории гармонических отображений на плоскости.

В. Я. Гутлянским и В. И. Рязановым (2011 г.) исследуются проблемы локального поведения квазиконформных отображений на плоскости и связанные с ним вопросы граничного соответствия. При этом особое внимание уделено случаю, когда комплексные характеристики являются аппроксимативно непрерывными функциями. Здесь приводятся явные решения уравнения Бельтрами для случаев, когда комплексная характеристика /J является произвольной измеримой функцией, но зависит только от одной вещественной переменной х = Rez или у = Imz, либо |/i| или arg//. Для этих решений авторами получены интегральные представления, подынтегральная плотность которых зависит от функции /и (г). В нашей диссертации получены интегральные представления решений и их производных вплоть до второго порядка включительно. При этом подынтегральная плотность зависит от производных координатных функций этих решений.

В. М. Миклюковым, Г. Д. Суворовым, О. Маргио, У. Сребро и др. в разные годы была определена зависимость локального поведения производных первого порядка решения от локального поведения производных первого порядка характеристик.

В. Я. Гутлянским, В. И. Рязановым, У. Сребро, Э. Якубовым (2012 г.) изучались вопросы существования, единственности и ограниченности решений уравнения Бельтрами. Ими, в частности, показано, что каждое гомеоморфное решение / (z) этот уравнения с локально интегрируемой в области D с С характеристикой К (z), принадлежит пространству (D). Более того, если К (z) е Цж (D), V е [1, с»], то / € (D), я = ф.

В вышеуказанных работах определена зависимость локального поведения производных первого порядка решения от локального поведения производных первого порядка характеристик решения. Нами были изучены свойства интегрируемости производных определенного класса общих квазиконформных отображений, являющихся решениями вырождающихся эллиптических систем в дополнительном предположении, что производные весовых функций обладают некоторыми свойствами интегрируемости. При этом в диссертации автора произведены не локальные (глобальные) оценки производных второго

порядка, а показано, что производные первого порядка решений принадлежат весовым пространствам С. Л. Соболева. Существенную роль при этом играют ин тегральные представления для производных второго порядка, имеющие, хотя и.известный вид, но являющиеся при этом нетривиальными из-за того, что, априори, неизвестна интегрируемость плотностей сингулярных интегральных операторов, участвующих в таких интегральных представлениях.

Несмотря на обилие научных исследований в области общих квазиконформных отображений, многие принципиальные вопросы по сию пору остаются неразрешенными. Это определяет актуальность данной работы.

Предметом исследования являются квазиконформные отображения т = и + /V с неограниченными характеристиками К (г), осуществляющие топологическое отображение единичного круга В\ = {г € С : |г| < 1} на себя.

Объектом настоящего исследования являются вырождающиеся па граничном множестве Го единичного круга В\, Г : = дВх, эллиптические системы:

решения которых называют (р, д) - аналитическими функциями.

Во всей работе относительно функций р (г), (¡(г) предполагаем выполненным условие И: пусть функции р, г/: В\ - > Е, непрерывно дифференцируемы и неотрицательны на множестве ВДГо и в окрестности Го удовлетворяют условиям:

а1(Н.ч1" {г, Г0) < р О) < а2,ИзГ (г, Г0), >П-Ч*Г 1 (с, Го) < \УР (г)| < Мй«"-1 Го),

<•,'/'•-/■'" Г„) < ч (г) < ъаы2" (г, Г„), <1Х(1Ы2,х'1 (г, Г0) < \S7q (г)| < 1 (г, Г„),

О < а < 1,0 < (И < п2,0 < 1)1 <Ь2,0 < сЛ < с:2,0 < Л\ < (12.

Целыо исследования является получение интегральных представлений типа И. Н. Вскуа и 1. 1. Се^еп, К О. Огсввс! для решений вырождающихся эллиптических систем (2) и дополнительных интегральных свойств производных решений этих систем.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения круга £?] на себя, обладающих интегральными представлениями типа И. II. Векуа и 1. 1. Оет§еп, К О. Отезке!.

(2)

2. Получены интегральные представления для производных решений вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения круга Bt на себя, вплоть до второго порядка включительно.

3. Доказаны теоремы об оценке сингулярных интегралов с плотностью, неограниченной в г раничной точке z¡¡ и на граничной дуге Г0.

4. Показано, что решения вырождающихся эллиптических систем, осуществляющие топологическое отображение круга В\ на себя, принадлежат классическим и весовым семействам пространств С. JI. Соболева с более высокой степенью интегрируемости, чем было известно.

Научная новизна. Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми и подтверждены доказательствами.

Методы исследования. Основные положения диссертации получены с помощью интегральных представлений И. Н. Векуа и J. J. Gergen, F. G. Dressel, «весовой» теоремы вложения, критерия Винера, теории сингулярных интегральных операторов и других методов теории функций комплексного переменного.

Достоверность полученных результатов обусловлена тем, что применяются проверенные и строго обоснованные методы исследования; основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение, заполняя определенный пробел в теории вырождающихся эллиптических систем, и могут быть использованы для получения новых результатов в этом разделе теории функций комплексного переменного.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспекгива-2009» (г. Нальчик, КабБГУ, 2009 г.); на студенческих научных конференциях факультета математики и компьютерных наук (г. Краснодар, КубГУ, 2009 г., 2012 г.); на научных семинарах кафедры прикладной математики (г. Краснодар, КубГТУ, 2009 - 2012 г.); на VIII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ» (г. Переяславль-Хмельницкий, 26-28 февраля 2013 г.); на 4-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (г. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г.); на научном семинаре «Геометрический анализ и вычислительная геометрия» (г. Волгоград, ВолГУ, 13 мая 2013 г.); на научном семинаре «Геометрическая теория функций» (г. Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 21 мая 2013 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1-3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ. В совместной работе [1] Е. А. Щербакову принадлежит постановка задачи, идея решения и лемма о поведении сингулярного интеграла с подынтегральной плотностью, неограниченной в одной граничной точке г:0 круга В\. Реализация идеи решения поставленной задачи принадлежит 10. В. Терепгьевой. Работы [6, 8] носят совместный характер.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (150 наименований), изложена на 120 станицах машинописного текста (106 страниц основного текста и 14 страниц литературы).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор результатов по исследуемой тематике, обоснованы актуальность, цель, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту, теоретическая значимость полученных результатов, приведены сведения об апробации результатов, о публикациях по теме диссертации, об объеме и структуре работы, отражен вклад автора в проведенные исследования.

Глава 1 посвящена изучению р - аналитических функций w (z), являющихся решениями систем (2) при q (г) = 0:

7>(г)«х = «„, (3)

р {z) иу = -vr,

осуществляющих топологическое отображение круга В] на себя с нормировкой:

I" (~о) = г, in (^t) = -г, и: (z2) =ч«2, ¿о, ги z2, щ е дВи (4)

г(, ф z{ ф г2, w2 ф г, w2 ф -г,

в случае вырождения на фаничном множестве Г() = {^о}.

Переходя к комплексным переменным, запишем систему (3) в следующем виде:

w, = u{z)wZ. i-ll^. (5)

1

Поскольку характеристика К (г),

K(z) :=

W,

отображения w(z), являющегося решением уравнения (5), имеет вид:

и функция р (г) удовлетворяет условию О, то в точке ,~„ функция К (л) не является ограниченной. Поэтому такие отображения не являются К - квазиконформными ни для какой константы К е К в В1. Такие отображения назовем общими квазиконформными отображениями, а соответствующую им систему (3) - вырождающейся. Система (3) при этом не является равномерно эллиптической.

Следующая теорема существования и единственности решений является известной (В. И. Крутиков, В. М. Миклюков, И. П. Мипок, Е. А. Щербаков), но в нашей работе приводится иной способ доказательства, который позволил получить интегральные представления для решений систем (3).

Теорема 1. Пусть функция р(г) из системы (3) удовлетворяет условию Д в котором 0 < о < 1, Г() = {-?„}, е дВь и допускает продолжение в С функцией, являющейся Л-, (С) - весом. Тогда существует единственное решение т (г) уравнения (5), непрерывное вплоть до границы В,, нормированное условием (4), являющееся квазиконформным в среднем топологическим отображением круга В1 па себя. Для функции и/ (г) = р (г) и (г) + ги (л) и её производной ш, (г) имеют место интегральные представления типа 7. ./. Се/^еп, Е в. Оге.уле/ в круге В\:

ьф)=Ф(г)

и? (г) = Ф

4(0

+

гС-1

ч(0

_ч:(0 ч(0

С1{(1Г1:

(0)

(7)

(.(С-*)2 (<-!)■ ф {г) = ¿ /1пш (с) 111 + ¿ / (С) ^ С = ш< = р<и-

При доказательстве теоремы 1 был использован критерий Винера регулярности граничных точек функций и (г), V (г) в задачах Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений:

(Н1+ (?"")„ »<--'!»». = '"'ф ми,. м

+ (!>«,)„ - 0, .ф)и, - { (0)

которые являются следствиями системы (3).

Нами обобщен результат И. Н. Векуа о поведении 1пц - интегралов на случай сингулярных интегралов с подынтегральной плотностью, неограниченной на граничном множестве Г(), представляющее собой в главе 1 точку zo G дВ\. Пусть dist (С- Г()) — расстояние от точки С до Г«.

Теорема 2. Пусть t (С) := (list (С Г„)" 1, zl} € дВи 0 < rv < 1, и г = г (С) -ограниченная в круге By функция, z 6 В\, С = i + Щ Тогда

а

¿(С)г( о

././«, (С-*)2'

itdrj

<

1

dist (~,Г„)

где А (г) е Ь^В^, Мр, р > 1.

Данный результат позволил получить улучшенные интегральные свойства производных координатных функций и (г), и (г) отображения и) (г), являющегося решением системы (3) в случае вырождения на Г() = {го}.

Теорема 3. Пусть функция р (л) из системы (3) удовлетворяет условию В, в котором 0 < а < 1, Г() = {~о}, г() € дВ\, и существуют производные первого порядка в В], такие, что:

Рх (2) р„ {z)

y/rW л/гФ)

е L.M(Bx),i >о,

и вес р(г) допускает продолжение в С функцией, являющейся А-г (С) - весом. Пусть т (г) = «(с) + - квазиконформное в среднем отображение из теоремы 1, являющееся решением уравнения (5) а В\, нормированное условием (4). Тогда функции и (г), с (г) принадлежат семействам пространств С. Л. Соболева:

V (г) 6 И'1" {<1ШГ' (г, г„), В,) : г, = «* € [-«; 0];

А — Ос

а (2 - <$)

а-2

ueW1* {(Hsth =

5 - 2 < ki < ue\vl^{distk'(z,z<i),B1),q2 =

;0

2{2 + a'){2~S + kl) (2 +a) (2 + a*) + 5 (a -2)'

4a + a* (2 + a)

2 (2 - <5) (2 + a*') (2 - 6 + k2)

(4 - (Y5) (2 + a") + (5 (4a - a6 - 4)'

4а (2 — 6) + а** (4 — аб)

д — г < К-2 < -----;-;-,

4-4 л + пд

где 5, 0 < <5 < 1, - фиксированная константа.

Для вычисления показателя т1 в данной теореме были использованы доказанные нами интегральные представления типа И. Н. Вскуа дляи2. (г):

" ^ 4тг ././а, (С - г)1

clO.lv, (Ю)

Для нахождения показателя тг мы применили георему 2 к доказанным нами интегральным представлениям типа И. Н. Векуа дляы(г) и си,(г) в В\.

И(г) = й(г)--// (11) 7"" ./ .Л), С - 2

ц,г (г) = В' {г) - — //* (12)

т ././л, (С - г)

^(г), Я. (г) - аналитические в круге функции.

Сравнивая показатели т^ и т2, можно сказать, что при скоростях вырождения су, достаточно близких к единице, и малом <5, высокую степень суммируемости производных ух, уу дает показатель если же су достаточно близко к нулю, то более высокую степень интегрируемости дает показатель п. Заметим также, что пространства И/1т' (г, го), Вх) и

И/1,Т2 (¿Иа1п" (г, 2п), В\) совпадают лишь, когда су = ^ , су* = су**, а пространства \¥1<1> (¿.Ш.^ (2, г„), В1) и И/1,72 (>//Л/(- (г, 20), В\) - при = к2,

, а*' (—4а + 8<5 - 2а<5 + а<52 - 2<52) + 4 (<5 - 2) (а - <5) 2а" (а - 6) + су (2 - Л")2

Глава 2 посвящена изучению р - аналитических функций, являющихся решениями систем (3), осуществляющих топологические отображения круга В1 на себя, нормированных условиями:

ш (2^ = г, ш (г2) = —г, ш (г..,) = ш-л, (13)

е дВх\Г(), 21 ф г-, ф г:ь гил ф г, ф -г, zu г2 & дВъ в случае вырождения на граничной дуге Г(),

Гц = {;€ дВ1 : < ящг < атя^} , ^лvgzl - < 2тг. (14)

В главе 2 нами доказана теорема существования и единственности решений системы (3) , вырождающейся на граничной дуге Г0.

Теорема 4. Пусть.в системе (3) функция р (г) удовлетворяет условию О, в котором 0 < а < 1, Г(| — граничная дуга (14). Тогда существует последовательность Кп - квазиконформных отображений {)/;„ },

сходящаяся равномерно внутри В1 вместе со своими производными первого порядка к единственному квазиконформными отображению ги {г) круга В] на себя, непрерывному вплоть до границы, являющемуся решением системы (3), удовлетворяющему нормировке (13). Функции и (г) и V (г) являются решениями вырождающейся эллиптической системы (3). При этом для функции и = ри + п> и её производной имеют место интегральные представления У. ./. Сещеп, К & Dmv.se/ (6), (7) в круге Въ а в случае, когда 1/2 < а < 1, имеют место также интегральные представления И. П. Векуа (11), (12). В случае, когда О < а < 1/2, отображение и>(2) является квазиконформным в среднем отображением круга В\.

Для доказательства данного результата так же был использован критерий Винера при исследовании регулярности граничных точек функций и (г), V {г) для задач Дирихле (8), (9).

С помощью интегральных представлений (10), (11), (12) а также теоремы 2, доказанной нами и для случая, когда Г0 - граничная дуга (14), получен один из основных результатов главы 2 об улучшенных свойствах производных функций V (г), и (г), отображений ги (г), являющихся решениями вырождающейся на дуге Г„ системы (3).

Теорема 5. Пусть функция р (г) из системы (3) удовлетворяет условию А в котором 0 < а < 1, Г0 - граничная дуга (14). Пусть т - и+т - квазиконформное отображение круга В, на себя, являющееся решением системы (3) в круге Въ нормированное условием (13). Тогда производные координатных функций и (г), V (г) принадлежат семействам пространств С. Л. Соболева:

Щг (г) = ип (г) + ю„ (г), Л'„ = нпр ——,

;еЛ, Рп (г)

Рп (г) гм 1 -

п

1

гф)е (г, Го), £?,),*!

4(1-д-)(2 + а,)

(15)

5 - За + а5 - 25 4- Р'

«1 <е

1 4- а - «<5 - б2 а 4- 5 - 3

;0 ;

с»)

__4(1 -<?>)(2 +»!)(! -5 + к)_

'Ч ~ 4 (1 - 6) (2 + +(5- За + пб - 26 + Я2) (1 - <5 + щ)'

где 6, 0 < 6 < 1 - фиксированная константа.

Ясно, что при скорости вырождения а, достаточно близкой к нулю, и малом й, производные ух, г>у суммируемы со степенью Ц (15). Если же скорость а близка к единице и константа Л — мала, более высокую степень интегрируемости производных ух, дает показатель (16). Заметим также, что пространства 1К1''1 ((ИМ"1 (г, Го), В\) и И7' '2 (В1) совпадают лишь при а! = 0 и з+ш-л3

5+<М"

Глава 3 посвящена изучению (р, д) - аналитических функций, являющихся решениями систем вида (2), осуществляющих топологические отображения круга 51 на себя, удовлетворяющих нормировке (13) в случае вырождения на граничной дуге Го (14).

Запишем систему (2) в комплексной форме:

гч^ = и(г)й77, (17)

в которой

чЦг) + (1+р(г))2 ' при этом характеристика К (г) отображения га (г) имеет вид:

,,, , \/(1 + V (¿))2 +12 (?) + \/(1 ~ Р (г))2 + <12 (г)

К (г) = 4 =-\ _.

\/(1 +р (г))2 + с,2 (г) - у/(1 - р (Г))2 + ф (2)

Так как функции р (г) и д (г) удовлетворяют условию 15, то в точках дуги Гц характеристика К {г) не ограничена. Поэтому система (2) вырождается в точках Го. Для таких отображений нами была доказана теорема существования и единственности решения уравнения (17) при 0 < а < 1.

Теорема 6. Пусть в уравнении (17) функции р, д : В^ —> Е удовлетворяют условию Д в котором 0 < а < 1. Тогда существует последовательность Кп - квазиконформных отображений {«;„} , и!п(г) = ип{г) + юп(г),

сходящаяся равномерно внутри В\ вместе со своими производными первого порядка к единственному квазиконформному отображению го (г) = и(г) + гу(г) круга В\ на себя, непрерывному вплоть до границы В1, являющемуся решением системы (2) и нормированному условием (13). При этом в круге В{ для функции IV (г) = и (г) + гV (г),

ипл ■ + <г{г) , Л Ф) / л , ■ / ч

И. (.) .=. р(г) ф) - ^ф) + „.(*),

и её производной \У. (г) имеют место интегральные представления типа ./. J. Се>%еп, К й. Dres.se!,

.с Щ(0

гС- 1 1

Щ(0

(гс-1)

^ИА(С)

с +

'-<11. С =

2тт./г 'Ч

при 1/2 < а < 1 имеют место также представления типа И. Н. Векуа:

то

в которых

и и^-Ш)^)

В том случае, когда 0 < а < 1/2, отображение ги (г) является квазиконформным в среднем в круге В{.

Для доказательства теоремы 6 был использован критерии Винера при исследовании регулярности граничных точек функций и (г), у {г) в задачах Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений:

р2 (р.

]Г + (]1

ьшх + чщ)х + + ,ы = о, ,ф)и = { у; "еаВЛг„,

которые являются следствиями системы (2).

Основным результатом главы 3 является теорема об интегрируемости производных и,, и, решений вырождающейся на дуге Г() системы (2).

Теорема 7. Пусть функции р, 7 : Ву —» М из системы (2) удовлетворяет условию О, в котором 0 < а < 1, Гц - граничная дуга (14). Пусть также и> (г) есть квазиконформное отображение, являющееся решением уравнения (17) в круге В\, нормированное условием (13). Тогда функции г'(г), и (г) принадлежат семействам пространств С. Л. Соболева:

V {г) 6 И/'- (г, Г„), В,), р, = ^ " (2 + ^

«1 е

1 + а - аб + 5

а- — 3

V (г) е 1У1'"2 (ВО , рг =

5 -- За — (5 + аб

;0 ; 1 - 6

I. =

(1-«)(1 +6)' и в IV1 (,1Шк (г, Го) ,вг) , 4(1 — 6) (2 + «[) (1 -6 + к)

4(1 -(5)(2 + пг1)л + (5-Зл + а<5-2(5 + Л"2)(1 +

Л < 4пг(1-Д) (2 + оп)

5 — За + — +

где 6, 0 < <5 < 1 , - фиксированная константа.

Заметим, что при доказательстве этого результата, нами было получено интегральное представление И. Н. Векуа для производной е., (г):

в котором

Д~) ---- ------- 7

Я-(г)

Р(г)

ч' (*) := ^

р'(г) </00

С? (г) - аналитическая в круге В[ функция.

Заметим также, что пространства V/1>,ц (Лг.ч1'п (л, Г0), В\) и (Вг) совпадают при «1 = 0 и

3+10(5 5 + 8(5 + 5<$2

Также в главе 3 исследуются квазиконформные в среднем отображения ю (г) колец С,.,. Рассмотрим классическое уравнение Бельтрами:

шг = -(¡е^ги,, 0 < г/„ < 4 < 1. (18)

Характеристика К (г) отображения и> (г), являющегося решением уравнения (18), имеет вид

К (г) = —^—- = с.опя1.

1 - ч

Используя известную теорему П. П. Белинского о квазиконформных в среднем отображениях колец, нами была доказана

Теорема 8. В классе отображений ги : СТ\ —> С/Л, удовлетворяющих уравнению Бельтрами (18), квазиконформные в среднем отображения с характеристикой q (г) ^ сопМ, они и только они, переводят в экстремальном смысле кольцо С,1 в кольцо С/Л, при этом любое кольцо Сп, г <1 < 1, переводится в соответствующее ему кольцо также экстремальным образом.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений вырождающихся эллиптических систем, осуществляющих топологические отображения круга £?х на себя, которые вместе со своими производными вплоть до второго порядка обладают интегральными представлениями типа И. Н. Векуа и .1. .Г. Ое^еп, Е О. ОгеяБеК

2. Обобщен результат И. И. Векуа о поведении интегралов типа/,,,) на случай сингулярных интегралов с плотностью, неограниченной в граничной точке 2о и на граничной дуге Г0 круга й,.

3. Показано, что решения вырождающихся эллиптических систем, осуществляющие топологическое отображение круга Вх на себя, принадлежат классическим и весовым семействам пространств С. Л. Соболева с более высокой степенью суммируемости, чем было известно.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Терентьева Ю. В. Исследование свойств интегрируемости производных решения сопряженного (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения в граничных точках / Е. А. Щербаков, ТО. В. Терентьева // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2012. — №3. — С. 7884.

2. Терентьева Ю. В. О свойствах сингулярного интеграла с неограниченной весовой плотностью / Ю. В. Терентьева // Изв. ВУЗов, Северо -Кавказский регион. Серия: Естественные науки. — 2013. — №1. — С. 2325.

3. Терентьева Ю. В. Исследование свойств интегрируемости производных решения сопряженного (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге / Ю. В. Терентьева // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2013. — №1. — С. 5-18.

Публикации в других изданиях

4. Терентьева Ю. В. Теорема искажения и экстремальные функции для класса общих квазиконформных отображений / Ю. В. Терентьева // Вестник студенческого научного общества, Краснодар. — 2009. — Выпуск 11.-С. 117-123.

5. Терентьева 10. В. Теорема Белинского и экстремальные функции для класса квазиконформных в среднем отображений / Ю. В. Терентьева // Материалы международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива 2009», Нальчик. Сер. Физика. Математика. - 2009. - Том 8. - С. 111-115.

6. Terentieva Yu. V. On the integral properties of the derivatives of the solutions of the boundary degenerate (p,q) analytic systems representing topological mapping of the unit disk / E. A. Shcherbakov, Yu. V. Terentieva // Нелинейные граничные задачи, Донецк. — 2012. — Т 21. — С. 153-164.

7. Терентьева Ю. В. Квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками и вырождающиеся эллиптические системы / 10. В. Терентьева // Материалы VIII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ», 26-28 февраля 2013 г., г. Переяслав-Хмельницкий. — С. 87-90.

8. Терентьева, Ю. В. О суммируемости обобщенных решений (р, 7) - аналитических систем, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на ссбя, в случае вырождения на граничной дуге [Тезисы] / Щербаков Е. А., Терентьева Ю. В. // Материалы 4-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», 2529 марта 2013 г., г. Москва. - С. 358-359.

Подписано в печать 19.09.2013. Печать трафаретная. Формат 60x84 '/м- Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 974. Отпечатано в ООО «Издательский Дом-Юг» 350072, г. Краснодар, ул. Московская 2, корп. «В», оф. В-120, тел. 8-918-41-50-571 e-mail: olfomenko@yandex.ru Сайт: http://id-yug.com

Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

На правах рукописи

04201364595 Терентьева Юлия Валерьевна

«(р, g)-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КРУГЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ»

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

(физико-математические науки)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., доцент Щербаков Евгений Александрович

Казань 2013 г.

Оглавление

Стр

Введение.......................................................... 4

Глава 1. О суммируемости производных;? - аналитических функций в случае вырождения в конечном множестве граничных точек единичного круга 16

1.1. Основные определения и обозначения........................... 16

1.2. р - аналитические функции, осуществляющие топологическое отображение единичного круга на себя.............................. 22

1.2.1. Интегральные представления для р - аналитических функций ... 23

1.2.2. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в одной граничной точке единичного круга...................... 36

1.2.3. Суммируемость производных р - аналитических функций....... 39

1.3. Выводы...................................................... 50

Глава 2. О суммируемости производных р - аналитических функций в случае вырождения на граничной дуге единичного круга 51

2.1. Оценка сингулярного интеграла с плотностью, неограниченной в точках граничной дуги единичного круга........................... 51

2.2. р - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга.............................................. 62

2.2.1. О функциях класса Макенхаупта.............................. 62

2.2.2. Интегральные представления для р - аналитических функций ... 67

2.2.3. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных

р - аналитических функций................................... 68

2.2.4. Существование р - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя........... 70

2.2.5. Суммируемость производных р - аналитических функций....... 77

2.3. Выводы...................................................... 80

Глава 3. (р, д) - аналитические функции в случае вырождения на граничной дуге единичного круга 81

3.1. - аналитические функции, осуществляющие топологическое отображение единичного круга на себя.......................... 83

3.1.1. Интегральные представления для (р, <?) - аналитических функций 83

3.1.2. Слабая сходимость последовательностей взвешенных производных

(р, </) - аналитических функций............................... 85

3.1.3. Существование (р,я) - аналитических функций, осуществляющих топологическое отображение единичного круга на себя......... 87

3.1.4. Суммируемость производных (р, д) - аналитических функций ... 95

3.2. Теорема П. П. Белинского и экстремальные функции класса квазиконформных в среднем отображений............................ 99

3.3. Выводы...................................................... 104

Заключение....................................................... 105

Список литературы................................................. 107

Введение

Актуальность и степень разработанности темы. Первые исследования по квазиконформным отображениям появились около 80 лет назад и принадлежат М. А. Лаврентьеву ([97], [100], [93], [94], [95], [96], [99], [98]) и Г. Гретшу [16]. В настоящее время теория плоских квазиконформных отображений представляет собой хорошо разработанный, но вместе с тем активно развивающийся раздел геометрической теории функции комплексного переменного, имеющий глубокие связи со многими ветвями математики и механики (уравнения в частных производных, дифференциальная геометрия и топология, теория групп, гидродинамика и газовая динамика, теория упругости). С начала 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений (см., например, В. М. Миклюков ([105], [106]), А. В. Сычев [133], Ю. Г. Решетняк [125], Б. В. Шабат [142]).

М. А. Лаврентьевым, М. В. Келдышом, И. Н. Векуа, Л. Г. Гудерлеем, С. А. Христиановичем, С. А. Чаплыгиным, и др. была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи, возникающие при исследовании непрерывности решений вырождающихся эллиптических уравнений и систем, привлекают внимание многих авторов (см., например, О. А. Вихрева [66], И. Б. Давыдкин ([77], [78], [76]), И. Е. Егоров [81], С. Г. Михлин [114], В. Н. Монахов ([116], [115], [118], [117]), С. Л. Соболев [131], С. М. Никольский [119]).

Одно из направлений теории квазиконформных отображений связано с изучением уравнения Бельтрами, являющегося частным случаем эллиптических систем уравнений, подобно тому, как теория конформных отображений связана с решением системы уравнений Коши-Римана.

Впервые уравнение Бельтрами в вещественной форме появилось в работе Бельтрами [2] в 1867/1868 г. в связи с изучением аналитических функций на поверхностях. Аналитическое определение квазиконформного отображения, как гомеоморфного обобщенного решения уравнения Бельтрами, фактически содержалось в работе Морри [28] в 1938 г. вне всякой связи с существовавшей

тогда геометрической теории квазиконформных отображений. Полная эквивалентность этого определения геометрическому определению квазиконформных отображений была установлена много позже (начиная с 1957 г.), благодаря работам L. Bers [3], A. Pfluger [29], О. Lehto [24] и т.д.

При изучении квазиконформных отображений с точки зрения систем уравнений интерес представляют вопросы компактности, существования и единственности. В этом направлении к настоящему времени получены значительные результаты. Среди наиболее известных следует отметить теоремы сходимости Штребеля [45] и Берса - Боярского ([60], [3]), а также теоремы компактности Шиффера [42], Лесина [123] и др. ([24], [64], [87]).

Классический случай уравнения Бельтрами

h = /i (z) U (1)

изучался в 60-х—80-х годах в работах ([51], [54], [60], [24]).

Известно также [51], что если в уравнении Бельтрами (1) функция fi(z) измерима и Ц/иЦ^ < qo < 1, то существует единственное квазиконформное отображение w (z) круга на себя, нормированное, например, соответствием трех пар граничных точек, комплексная характеристика /¿/ fz которого равна /л (z) почти всюду. При этом координатные функции и (z), v (z) принадлежат пространству W1,2 (В\) [60].

Наряду с квазиконформными отображениями в работах отечественных и зарубежных авторов: JI. Альфорса ([52], [51]), Г. Д. Суворова ([111], [132]), П. П. Белинского ([56], [55], [53], [54]), Б. В. Боярского [60], В. А. Зорича [82], В. Я. Гутлянского [74], А. А. Вашарина [62], И. Н. Лесина ([122], [123]), С. Л. Крушкаля ([91], [92], [90]), П. А. Билуты [58], М. О. Перовича [121], В. М. Миклюкова ([111], [107], [110], [109], [108]), В. Э. Гейнемана [72], В. И. Крутикова ([89], [88]), В. И. Рязанова и др. ([127], [128], [130], [129], [34], [35], [37], [36], [38], [39], [40], [41], [33]), Б. Е. Левицкого ([102], [101], [103]), И. П. Митюка и др. [112], Е. А. Щербакова ([143], [144], [145], [146], [147], [148], [149]), М. И. Вишика ([67], Н. Д. Введенской [63], А. П. Михайлова [113], [68]), М. В. Келдыша [85], О. А. Олейника [120], К. Astala [1], G. R. David [10], J. J. Gergen, F. G. Dressel ([13], [14], [15]), F. W Gehring [12], O. Lehto [23], O. Martio ([25], [26], [27]), H. Renelt ([32],

[31]), E. W. Stredulinsky [46], P. Tukia [48], - изучались квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками, то есть случай неравномерно эллиптических систем.

По-видимому, первой работой в данном направлении была работа П. П. Белинского о существовании решений уравнения Бельтрами, осуществляющих квазиконформные отображения с неограниченными характеристиками.

Одним из важных достижений в этой области является теорема существования и единственности для уравнения Бельтрами, доказанная Г. Давидом в 1988 году. Г. Давид в работе [10] рассматривал ACL вложения / : D —> С с комплексной характеристикой /х (z), удовлетворяющей экспоненциальному условию:

\{z е D С С : \ц (z)I > 1 - е}\ < се~^£,Уе <= (0; е0], (2)

для некоторого £о € (0; 1], с > 0, d > 0. Одним из результатов этой работы является тот факт, что если функция ¡л - измерима в С и удовлетворяет условию (2), то уравнение Бельтрами имеет гомеоморфное решение : С —> С, оставляющее неподвижными 0, 1 и оо. Кроме того, отображение е W^c для любого s < 2. Он также доказал, что если / — другое гомеоморфное решение уравнения Бельтрами и / 6 И^1 (С), то f = h о //хдля некоторого конформного отображения h.

Изучение свойств компактности для гомеоморфизмов Давида было начато П. Тукиа [48].

Б. В. Боярским, помимо доказательства существования [60] решения уравнения Бельтрами с двумя комплексными характеристиками,

h = n(z)fx + v(z)Tz, (3)

с ограниченной характеристикой К (z),

1 + И*)| + Иг)|

u" 1-и*)|-К*)|'

для случая, когда |/i (z) | + |г> (z)| < 1 почти всюду, было показано [59], что производные К - квазиконформных отображений обладают улучшенными свойствами интегрируемости. Недавно (2008 г.), Б. В. Боярским [4] доказано су-

ществование гомеоморфного решения / {z) уравнения (3), принадлежащего пространству Wjfc, s€ [1,2).

В работах Г. Д. Суворова, И. С. Овчинникова, В. М. Миклюкова и их учеников (В. И. Крутикова, А. П. Михайлова и других) используется принцип длины и площади, основанный на теории нелинейных функциональных пространств. Результатом их исследований были оценки равностепенной непрерывности семейств квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками.

В. Н. Монаховым (1961 г.) впервые методами квазиконформных отображений были доказаны теоремы существования решения задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами.

Учеником И. И. Данилюка А. Игликовым (1968 г.) в работе [83] было изучено уравнение Бельтрами с вырождением во внутренней точке круга и показано, что решение этого уравнения указывает на зависимость от скорости вырождения характеристики отображения: при «малых» скоростях вырождения единичный круг ßi = {2GC:|2;|<l} отображается частным решением на себя, при «больших» же скоростях вырождения круг В\ с выколотым началом координат отображается на кольцо Ст\ = {а;€С:г<|а;|<1}.

Е. А. Щербаковым в работах ([143], [144], [145], [146], [147]) изучались квазиконформные отображения, осуществляемые решениями нелинейных уравнений Бельтрами с различными случаями вырождения. Им был разработан метод доказательства существования таких отображений, основанный на теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. В нашей диссертации, на основе связи квазиконформных отображений и теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений были получены оценки интегральных свойств производных квазиконформных отображений, вплоть до второго порядка.

О. Lehto [22] (1968 г.) рассматривал вырождающееся уравнение Бельтрами в случае, когда множество вырождения

S, := [z е С : lim \\К {z)\\L<x{BM) = оо}

имеет нулевую меру и показал, что в C\S/t существует ACL гомеоморфизм / : (С —У С, удовлетворяющий уравнению Бельтрами (1) почти всюду. В работах

([22], [23]) он рассматривал случай, когда ¡i — локально ограничено в €\Е для некоторого компактного множества Е С D,m2 (Е) = 0. Для точек z G С, г > 0, О. Lehto определил функцию ф)Х (z, г),

, ч 1 f2n ll-e-2ie{i(z + reie)l2

ф fz г) :=— / ^-^-^-dQ.

} 2тг70 1 — |/х (z + гег0)|

Используя результаты Рейха и Вальчака [30], он показал в [22], что если для всех z € D, 0 < г\ < г2,

j / л Г dr

I (п, г2, г) := / ——-- оо,

когда г\ —> 0 или оо, то существует гомеоморфизм / : С —> С, такой, что для каждой относительно компактной области U в С\Е сужение f\v есть решение уравнения Бельтрами.

И. Н. Песин в работе [123] (1969 г.) установил существование ц - гомеоморфизма / (z) в круге D С С, когда

[ еКР^ < оо, (4)

J D

для некоторого р > 1. Он также показал, что при этом условии / £ U2Wlfc(D)uf-'eWt2c(D).

В. М. Миклюковым и Г. Д. Суворовым [111] (1972 г.) было доказано существование fi - гомеоморфизма / : D —» С, для которого К (z) < К0 + Q (z), для некоторой положительной константы Ко, Q (z) € Wq'2, при этом /_1 G wioc (/ (D))• Недавно (2003 г.) О. Мартио и В. М. Миклюков [25] обобщили этот результат на случай, когда К (2) мажорируется Q (z) G (D).

Г. Н. Положим (1973 г.) в работе [124] изучалась общая теория р и (р, q) -аналитических функций, а также проведены исследования по построению интегральных представлений р - аналитических функций от z = х + iy с весом р = хк (к = const > 0). Основное внимание Г. Н. Положий уделяет вопросам приложения развиваемой им общей теории в механике сплошных сред. В диссертации автора рассматривается класс р - и (p,q) - аналитических функций, для которого получены теоремы существования и интегральные свойства производных решений. При этом весовые функции оцениваются степенями расстояний до граничного множества единичного круга.

В работе П. П. Белинского [54] и его учеников (1974 г.) изучались квазиконформные в среднем отображения колец. Им были получены экстремальные функции для отображений колец и установлены модули равностепенной непрерывности квазиконформных отображений в среднем. В данной диссертации показано, что в классе квазиконформных в среднем отображений колец нет отображений кроме К - квазиконформных, которые экстремально всякое подкольцо из С г 1 переводят на подкольцо из Ср\.

С. К. Водопьяновым и др. [71] была показана схема получения интегральных представлений функции и (z) через значение Lu линейного дифференциального оператора L. Метод работает в том случае, когда существует дифференциальный оператор М, представляющий собой систему Коши, определяющую однозначно решение уравнения Lu = 0. В работе [69] С. К. Водопьянов обобщает критерий Винера регулярности решения задачи Дирихле для широкого класса уравнений субэллиптического типа общей природы. Так же [70] получены необходимые и достаточные условия на гомеоморфизмы ip : Q -> Q' евклидовых областей в пространстве Rn, п > 2, гарантирующие принадлежность обратного отображения классу Соболева.

Проблема существования для вырождающегося уравнения Бельтрами, в котором характеристика К (z) £ L°°, в настоящее время активно исследуется ([1], [4], [5], [6], [11], [18], [26], [35], [44], [50]). Для многих вырождающихся уравнений Бельтрами недавно доказано существование гомеоморфизма из например ([17], [18], [19], [27]).

В работе У. Сребро и Э. Якубова [43] (1997 г.) изучается случай вырождения внутри области, для которого показано, что решение уравнения Бельтрами / (z) принадлежит W^. В нашей работе рассматривается случай вырождения на граничной дуге единичного круга, при этом для решений нелинейного уравнения Бельтрами строятся шкалы весовых пространств С. Л. Соболева.

В работе В. И. Рязанова, У. Сребро и Э. Якубова [130] (1997 г.), а так же В. Я. Гутлянского, О. Мартио, Т. Sugawa, М. Vourinen [18] (2005 г.) также были получены результаты по существованию, единственности и свойствам ACL гомеоморфных решений для вырождающегося уравнения Бельтрами (1).

М. А. Бракалова и Y. A. Jenkins [7] (1998 г.) модифицировали условие И. Н. Лесина (4) и доказали для измеримых функций ¡1 в С, Ц/хЦ^ < 1,

существование ц - гомеоморфизма / : С —> С, нормированного условиями / (0) = 0, / (1) = 1 при выполнении следующих условий:

-^-Т- }dA< Фв

для любого ограниченного множества В С D, где является константой, зависящей от В и

[ -—\-rdA = О (Я2), Я —>• оо.

J{\z\<R}DD 1 - Щ

Они также показали, что при этом f £ ^U ^ W^ (С).

В работе [21] (2001 г.) Т. Иванец и Г. Мартин изучали более широкий класс функций ß с характеристикой К (z), удовлетворяющей экспоненциально и субэкспоненциально условиям интегрируемости. Они показали, что если существует число ро > 1, такое, что \ß(z)\ < и € LP (D)

для р > ро, то уравнение Бельтрами имеет принципиальное решение h G

* + Kl (с).

В работе [17] (2001 г.) В. Я. Гутлянского, О. Мартио, М. Вуоринена и Т. Шугавы получены условия существования в пространстве W^ // - гомеоморфизма, в которых участвуют \\(л\\ и arg /л.

В главе 6 книги В. Я. Гутлянского и В. И. Рязанова [75] (2011 г.) исследуются проблемы локального поведения квазиконформных отображений на плоскости и связанные с ним вопросы граничного соответствия. При этом особое внимание уделено случаю, когда комплексные характеристики квазиконформных отображений являются аппроксимативно непрерывными функциями. Здесь приводятся явные решения уравнения Бельтрами для случаев, когда комплексная характеристика fi является измеримой произвольной функцией, но зависит только от одной вещественной переменной х = Rez или у = Imz, либо И или arg/i. Для этих решений в работе [75] получены интегральные представления, подынтегральная плотность которых зависит от функции^ (z). В данной диссертации же получены интегральные представления для решений и их производных вплоть до второго порядка для вырождающегося уравнения Бельтрами второго типа. При этом подынтегральная плотность зависит от производных координатных функций этих решений.

В монографии К. Asíala [1] (2009 г.) исследуются свойства общих квазиконформных отображений плоскости на себя с интегрируемой характеристикой. Там, в частности, показано, что обобщенные производные первого порядка локально интегрируемы в С, кроме того существует конечное множество, вне которого первые производные локально интегрируемы с квадратом.

В книге В. Я. Гутлянского и др. [19] (2012 г.) изучаются вопросы существования, единственности и ограниченности решений системы:

аих + fiuy = vy /Зих + 7 иу = -vx

В этой книге, в частности, показано, что каждое гомеоморфное ACL решен�