Квазигиперболические отображения и их обобщения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАТФУЛЛИН ТАГИР ГУМЕРОВИЧ

КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

01.01.01. — Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена в Тюменском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор В.В.Асеев,

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Семенов,

доктор физико-математических наук, профессор В.Г.Ткачев

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН

заседании Диссертацишшш и совета д uuz.23.02 при Институте Математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, пр. им. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться

в библиотеке Института Математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Защита состоится

2000 года в /г

1

часов на

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

Н.С. Даирбеков

03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В 80 годы 20 столетия в область интересов специалистов по квазиконформным отображениям попали квазигиперболические гомеоморфизмы, то есть гомеоморфизмы, ограниченно изменяющие квазигиперболическое расстояние. Стимулом к этому, вероятно, послужили работы Альфорса [14], Карлесона [16], Тукиа и Вяйсяля [25] о продолжении квазиконформного гомеоморфизма гиперпространства Л"-1 в полупространство Я", и упомянутая работа [25] в которой также доказывается возможность аппроксимации квазиконформных гомеоморфизмов квазигиперболическими. Эти работы показали близость класса квазигиперболических (<?Я) гомеоморфизмов классам квазиконформных гомеоморфизмов (<3С) и квазиизометрических (£)1) гомеоморфизмов. Класс С?Я занимает промежуточное положение между классами С}I и С}С, 0^1 с £?Я с ЯС, и унаследовал лучшие свойства того и другого класса. Граничные свойства гомеоморфизмов класса <2Я такие же как у гомеоморфизмов класса ОС, однако, внутри области определения гомеоморфизмы класса фЯ устро-зны также как гомеоморфизмы класса <?/, точнее говоря, они локально <вазиизометричны.

Квазигиперболические гомеоморфизмы обычно использовались как нн-:трумент при изучении квазиизометрических гомеоморфизмов. Их приме-1ение основано на эффекте обнаруженном Л.Альфорсом [2], заключаю-цемся в том, что квазигиперболический гомеоморфизм, квазиизометри-[еский на границе (в случае достаточно протяженной границы) является вазиизометрическим. Позднее этот эффект был использован в работах ав-ора (3], [4], [5], П.Тукиа и Ю.Вяйсяля [26], Д.С.Джерисона и С.Е.Кенига Ю], Ю.Вяйсяля [27]. В основном исследования квазигиперболических отображений и при-ожений квазигиперболической метрики ведутся американскими (школа •.Геринга) и финскими математиками (школа Ю.Вяйсяля). Цели работы. Изучение свойств квазигиперболических отображений,

их обобщений и приложений.

Методика исследования. В работе использованы методы, применяемые в теории отображений с ограниченным искажением. Для оценки искажений отображений развивается новый метод пробных конденсаторов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

Перечисленные результаты диссертации являются новыми.

1. Класс £?# квазигиперболических гомеоморфизмов расширен до класса, содержащего негомеоморфные отображения. Отображения постоянной ориентации, содержащиеся в расширенном классе С)Н являются отображениями с ограниченным искажением.

2. Разработан метод локальной пошаговой аппроксимации локально инъ-ективных отображений с ограниченным искажением.

3. Установлено, что любое локально инъективное отображение с ограниченным искажением сильно топологически эквивалентно некоторому отображению класса <3#.

4. Доказана теорема о том, что для любой квазиконформной инволюции (р : В.п К", п ф 4, существует квазиизометрическая инволюция ■ф : 11п Нп, множество неподвижных точек которой совпадает со множеством неподвижных точек инволюции ф (обобщение теоремы Альфорса о квазиизометрическом отражении [2]).

5. Доказана топологическая эквивалентность класса комплексных многочленов и класса неоднолистных квазиизометрических отображений, сохраняющих ориентацию (ВЫЗ-отображений в терминологии Ю.Вяйсяля).

6. Получены необходимые и достаточные условия на регулярные функции, заданные в полуплоскости, для того, чтобы эти функции были сильно топологически эквивалентны квазиизометрическим отображениям.

7. Найден класс эллиптических уравнений в областях Д", решения которых можно представить в виде композиции решения некоторого уравнения и негомеоморфного отображения класса С}Н.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Разработанный метод локальной пошаговой аппроксимации отображений с ограниченным искажением является аналогом метода "разбиения единицы", применяемого для аппроксимации числовых функций, метод не зависит от способа аппроксимации на канонических областях и может быть применен к другим задачам.

Предложенный метод пробных конденсаторов позволяет корректно исследовать локальное поведение отображений, чьи координатные функции принадлежат пространствам С.Л.Соболева Ь\. Использование пробных конденсаторов аналогично использованию финитных функций в задачах, связанных с суммируемыми функциями.

Найденные весовые пространства С.Л.Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями позволят перейти к двойственным задачам.

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут служить основанием для развития теории отображений.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 2000) (Новосибирск, 2000 г.); Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Ю.Г.Решетняка (Новосибирск, 1999 г.); Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98) (Новосибирск, 1998 г.); Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 96) (Новосибирск, 1996 г.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ. Основные >езультаты содержатся в работах [30 - 40].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав, списка обо-начений, предметного указателя и списка литературы. Объем работы 201

страница, библиография — 78 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даете; обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится кратко^ изложение диссертации. Там приведены некоторые определения и предва рительные результаты.

Пусть О — собственная область в пространстве Я", то есть ее границ; дО — непустое множество. Для точек Х\,Х2 из И квазигиперболическид расстоянием между ними называется величина

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющии XI и х% в интеграл — криволинейный первого рода, з — натуральны! параметр, 5о(х)~ евклидово расстояние от х до дБ.

Определение 2. Пусть й и (7 — собственные подобласти Нп и у -гомеоморфизм Б на С, К > 1 - постоянная. Гомеоморфизм <р называете1 К-квазигиперболическим, если для любых Х\,%2 € В выполнено

Доказываются теоремы о квазигиперболичности конформных отображений областей Ял.

Теорема 2. [2, с. 75] Пусть И и С собственные подобласти комплексной плоскости и / конформно отображает В на С, тогда / является 4-квазигиперболическим отображением.

Теорема 3. Пусть / — мёбиусово отображение Я", /(^о) = со. Если область О С Я™ такова, что х0 £ В, то ограничение / на О является 2-квазигиперболическгш отображением.

—к0{х1,х2) < М^О.Ф^)) < Кк0{хих2).

б

В главе 1 приводятся основные определения и примеры квазигиперболических и квазиизометрических отображений.

Пусть (X, кх) и (У, ку) — метрические пространства, кх и ку — метрики.

Определение 1.2. Пусть 0 < а < Ь < оо, отображение назовем (а,Ь)-квазиизометрическим, если для любых двух точек гь г2 б X выполнено

акх(х1,х2) < кг{/(х 1),/(х2)) < дкх(хих2).

Отображение / назовем квазиизометрическим, если оно является (а,Ь)-квазиизометрическим отображением при некоторых а и Ъ, 0 < а < Ь < оо.

Если рассматривать отображения областей евклидова пространства, то естественно перейти к локальному определению квазиизометричности, что можно сделать используя конформно-плоские метрики.

Определение 1.4. Пусть £> - область в В.71 иш : И Я. - непрерывная положительная функция. Для любых двух точек х\,хг из £> положим

к(х\, хч) = Ы11 ■'1

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющим х\ и х-1 в О. Функция к : О х 5 Л называется конформно-плоской метрикой с плотностью и [17].

Для некоторых конформно-плоских метрик есть стандартные названия. Если и(х) = 1, для всех х то метрика называется внутренней [1], обозначим ее ро-

Если ш(х) = 1 /5о(х), где 5о{х) — евклидово расстояние от точки х до границы области О , то метрика называется квазигиперболической, обозначение — ко-

При исследовании отображений бывает удобно использовать их локальные характеристики.

Определение 1.5. Пусть D и G области пространства R" и f : D —>

G. Для любой точки х € D определим главные растяжения отображение

к 1 \х-у\ v ' у=ъ 1г-2/|

Заметим, что главные растяжения могут принимать в некоторых точках бесконечные значения.

Теорема 1.1. [31]. Пусть в областях D uG заданы плотности шр и ujq конформно плоских метрик к о и kq- Гомеоморфизм f \ D —t G является (а, Ь)-квазиизометрическим отображением метрических пространств (D,kd) « (G, kg) тогда и только тогда, когда для любой точки х е D

МП*))' " ^(/(х))'

Следствие. Пусть V и (3 собственные подобласти В.п. Гомеоморфизм / : С -» б является (а,Ь)-квазигиперболическим, 0 < а < Ь, тогда и только тогда, когда для любой точки х £ Б выполнено

Понятие квазиизометричности распространяется на неинъектпвные отображения [23], [33].

Определение 1.6. Пусть Ю - область в Я", 0 < а < Ь < оо. Класс С}1(а, Ь; И) состоит из всех отображений / : В -» К1 таких, что для любой точки х 6 О а < Л(/, г), Л(/, х) < Ь. Если по смыслу высказывания не существенна область определения отображения /, то будем писать / € 1(а,Ь). Для / € (¿1(а,Ь) число назовем коэффициентом

квазиконформности /, а число С = л/а ■ Ъ — параметром /.

Пусть К > 1. Определим классы квазиизометрических отображений. <210(К)=<Э1(1/К,К).

Класс QI{K) состоит из объединения классов QI(a,b), у которых

К, отображения класса QI{K) будем называть подобными ЙГ-квазиизо-

метрическим.

Класс QI состоит из отображений, принадлежащих какому-нибудь классу QI(K), К > 1.

Отображения класса QI будем называть квазиизометрическими, уточняя являются ли эти отображения гомеоморфизмами, локально инъектив-ными или постоянной ориентации.

Обычно квазиизометрическими отображениями называют локально инъ-ективные отображения класса QI0(K), К > 1 [21]. (Отображение /:£)-> Rn называется локально инъективным, если для каждой точки х области D найдется окрестность, в которой отображение / инъективно, то есть взаимно однозначно.)

Класс BLD-отображений (boundary length distortion), определенный О.Мар-тио и Ю.Вяйсяля [23] состоит из (^/-отображений постоянной ориентации, то есть таких, у которых якобиан в точках дифференцируемости имеет один и тот же знак.

В главе 2 дается обобщение класса квазигпперболических гомеоморфизмов, включающее неинъективные отображения.

Первый параграф главы содержит оценки квазягиперболического расстояния между точками в области через евклидово расстояние.

В определении квазигиперболических гомеоморфизмов f : D G присутствуют квазигиперболические расстояния в областях D и G или, согласно теореме 1.1, расстояния от х и f(x) до границ 3D и 8G, то есть учитывается геометрическое строение обеих областей. Заметим, однако, что любое конформное отображение собственной области Rn в R" является квазигиперболическим (теоремы 2 и 3 Введения), хотя в определении конформных отображений гиперболическое расстояние отсутствует. Проблема состоит в указании свойств гомеоморфизма / : D —»■ Я", которые гарантируют

квазигиперболичность отображения О на /{О). Во второй главе излагается решение данной проблемы. Кроме того, дано распространение понятия квазигиперболического отображения на неинъективный случай (класс <ЗЯ). Основные положения главы изложены в статье автора [34]

Теорема 2.1 .(Критерий квазигиперболичности.) Гомеоморфизм / : И н Д" является квазигиперболическим тогда и только тогда, когда существуют числа М > 1 и а € (0,1) такие, что для любой точки х 6 В и любой точки у для которой |г - у\ < адц{х), выполнено неравенство

А(/,х) < М\и,у).

Замечание. Гомеоморфизмы областей пространства В?, обладающие свойствами, указанными в теореме 2.1 были рассмотрены К.Астала и Ф.Герингом в работе [15], О.Мартио распространил понятие для произвольной конечной размерности и на негомеоморфный случай, он назвал такие отображения квазиподобиями (яиг^вшШагШез) [22]. Автором диссертации этот класс переоткрыт, новым является то, что доказана эквивалентность классов квазигиперболических гомеоморфизмов и класса гомеоморфных квазиподобий [34].

Выделим класс отображений, которые обладают свойством, определенным в теореме 2.1, но без свойства инъективности. Полученный класс будет представлять собой естественное обобщение класса квазигиперболических гомеоморфизмов.

Определение 2.1. Пусть О - область в Яп. Отображение / : О ->■ В.п принадлежит классу ЯН, если существуют постоянные К > 1 и а £ (0,1) такие, что дм любой точки х € О и любой точки у ё В{х,а5о(х)) выполнено

Отображения класса ЯН будем называть квазигиперболическими.

Замечание 1. Если / е ЯН и является гомеоморфизмом, то по теореме 2.1 / — квазигиперболический гомеоморфизм.

Предложение 2.1. Имеет место следующее включение классов отображений.

Я1 с ян с дд.

Эквивалентные определения отображений класса ЯН.

Пользоваться определением 2.1 класса ЯН не всегда удобно, поэтому предложим другие, эквивалентные определения.

Теорема 2.2. Пусть О — собственная подобласть Еп и / : —¥ Яп. Следующие утверждения эквивалентны.

1) / € ЯН.

2) Существуют числа а € (0,1) и М > 1 такие, что для любого х € ограничение / на шар В(х,а5о(х)) принадлежит классу ф/(М).

3) Существует неубывающая непрерывная функция Ф : [0,оо] —>• [1,со] такая, что для любых х,у £ О выполнено неравенство

А(/,х)<Ф(к0(х,у)Щ/,у)

Теорема 2.3. Пусть И собственная подобласть пространства К" и / : П —» Я" — локально квазиконформное отображение. Если существует непрерывная функция Ф : [0, оо) [1,оо), такая, что для всех х,у 6 О в которых / дифференцируемо, выполнено

•/(/,*)< ф Ых,уМГ,у), то отображение / принадлежит классу ЯН.

В качестве рабочего варианта предлагается следующее определение коэффициента искажения квазигиперболического отображения.

Определение 2.2. Пусть / : О -> К1 — отображение класса ЯН- Да* каждой точки х € П найдем число

1(х) = зир{Л(/, у), у б Вп{х,5о(х)/4)}. 11

Коэффициентом искажения отображения / назовем число Ш) = {зир

Щ1,хУ

а отображение / назовем в этом случае -квазигиперболическим.

Как видно из теоремы 2.2, отображения с конечным коэффициентом искажения и только они принадлежат классу фЯ.

Теорема 2.6. Пусть О и О - собственные подобласти Я", д : О -> С, / : (7 -4 Я" - отображения класса О.Н; причем д имеет постоянную ориентацию. Тогда композиция ^ = / о д также принадлежит классу ЯН.

Замечание. Теорема 2.6 перестает быть верной, если на замену переменной д не наложить условие постоянства ориентации.

Определение 2.3. Пусть О — область в пространстве Я". Отображение / : О Я™ называется равномерно локально инъективным, если существует число а 6 (0;1), такое, что для любой точки х € Э ограничение } на шар Вп(х,а5р(х)) является инъективным. Число а назовем параметром инъективности отображения /.

Теорема 2.7. Любое локально инъективное квазигиперболическое отображение равномерно локально инъективно.

Замечание. Теорема 2.5 есть прямое следствие теоремы Мартио, Рик-мана, Вяйсяля [24] о радиусе инъективности отображений с ограниченным искажением в случае, когда размерность пространства п > 2. Действительно, это так потому, что квазигнперболические отображения являются отображениями с ограниченным искажением.

В главе 3 изучается вопрос о сильной топологической эквивалентности локально квазиконформных отображений и отображений класса ЯН.

Определение 3.1(12, с.735, "Внутренние отображения"]. Пусть Хь Х2, Y — топологические пространства. Отображения f\ : Х\ —>• Y и fi : X<i Y называются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм ц>, отображающий Х2 на Xi, такой, что = /1 о ¡р

Мы будем использовать более узкое определение.

Определение 3.2. Пусть X и Y — топологические пространства. Отображения f\ : X —»■ Y и f2 : X —»• Y называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм ip, отображающий X на себя, такой, что h = /1 0 <Р-

Если Y - Rn, а X = D С Rn — область с непустой границей, определим еще одно отношение эквивалентности отображений — сильную эквивалентность. Сначала определим понятие гомеоморфизма, тождественного па границе.

Определение 3.3. Пусть D — собственная подобласть пространства Rn и <р — гомеоморфизм D на себя. Назовем <р тождественным на границе, если для любой последовательности точек {хк} С D, сходящейся к точке х границы области D, выполнено

lim ip(xit) = х.

fc-юо

Определение 3.4. Пусть D — собственная подобласть пространства Rn. Отображения f\:D-+Rnuf2'-D~¥Rn назовем сильно эквивалентными, если существует гомеоморфизм <р : D -4 D, тождественный на границе, такой, что

A = fi°<P

Ясно, что из сильной эквивалентности отображений следует их эквивалентность

Интерпретируя теоремы о продолжении и об аппроксимации квазиконформных гомеоморфизмов [25], можно установить сильную эквивалентность квазиконформных и квазигиперболических гомеоморфизмов.

Предложение 3.1. Пусть квазиконформное отображение } шара Вп эквивалентно квазигиперболическому гомеоморфизму fi. Тогда f сильно эквивалентно некоторому квазигиперболическому гомеоморфизму.

Предложение 3.2. Пусть D — шар или верхнее полупространство пространства Rn, п > 2. Любой К-квазиконформный гомеоморфизм D на себя сгигьно эквивалентен К\-квазигиперболическому гомеоморфизму, Кг=Кг(К,п).

Предложение 3.3.. Пусть U и V — собственные подобласти в Rn п > 2, п 41 4. Любой К-квазиконформный гомеоморфизм f : U ~t V сильно эквивалентен некоторому М-квазигиперболическому гомеоморфизму F : U -tV, М = М[п, К).

Определение 3.5. Гомеоморфизмы ¡р из определений 3.1, 3.2, 3.4 назовем соединяющими отображения f\ и /2■

Теорема 3.6. Пусть f : D —> Rn — отображение с ограниченным искажением и<р — гомеоморфизм области D на себя, такой, что композиция g = / о <р есть отображение с ограниченным искажением. Тогда гомеоморфизм ip — квазиконформный.

Следствие. Если отображения с ограниченным искажением fug эквивалентны в смысле определения 3.2, то соединяющий их гомеоморфизм квазиконформный.

В параграфе 3 отдельно рассмотрены вопросы эквивалентности для регулярных функций комплексного переменного:

1) когда регулярная локально инъективная функция, заданная в области комплексной плоскости эквивалентна отображению класса QH?

2) когда регулярная локально инъективная функция, заданная в полуплоскости эквивалентна отображению класса ф/?

3) когда регулярная функция, заданная в комплексной плоскости эквивалентна отображению класса ф/?

Основные результаты параграфа опубликованы в работах [31], [33].

Регулярные локально-инъективные функщш, эквивалентные отображениям класса СЩ

Теорема 3.7. Пусть Б — собственная подобласть комплексной плоскости С. Регулярная функция / принадлежит классу ЯН тогда и только тогда, когда / является равномерно локально индективной функцией.

Предложение 3.4. Пусть / — регулярная локально однолистная функция в области О £ С. Следующие условия эквивалентны.

1) Функция / принадлежит классу ЯН.

2) Функция / равномерно локально однолистна.

3) Существует число р, такое, что для любой точки г £ Б выполнено

4) Существует число р, такое, что любых двух точек г\ 6 -О и гг € О зыполнено неравенство

1п

<рк0(гиг2),

№)1

5) Существует число р, такое, что. для любых двух точек £ П и 6 О выполнено неравенство

IГЫ\ < е^^/Чя)! .

Замечание. Локальной однолистности регулярной функции не доста-•очно для принадлежности её классу ЯН, например функция ¡(г) = ег,

определенная в верхней полуплоскости Н2+ — {г = х + гу £ С : у > О}, локально однолистна, но не принадлежит классу ЯН. Действительно, для любого натурального п

|/"(*)1 = Н = 1/'(г)1 >

если 1тг > п. Согласно пункту 3) предложения 3.4, / не принадлежит ЯН.

Далее на функцию не накладывается требование принадлежности классу ЯН.

Теорема 3.8. Пусть f : В С — регулярная локально однолистная функция, эквивалентная некоторому отображению ? : О -4 С класса ЯН. Тогда сама функция / принадлежит классу ЯН.

Замечание. Теорема не переносится на класс регулярных функций, не являющихся локально однолистными.

Пример. Функция /(г) = г2, определенная в круге \г\ < 1 комплексной плоскости, сильно эквивалентна отображению класса ЯН, хотя сама не принадлежит ЯН-

Задача описания областей, квазиизометрически эквивалентных полуплоскости или кругу была решена в работах [3], [4], [5], [26], [20], [27]. В этих работах подбирается гомеоморфизм <р полуплоскости на себя, такой, что композиция конформного отображения / и гомеоморфизма <р является квазиизометрнческим отображением. Другими словами, доказывается эквивалентность функции / некоторому квазиизометрическому отображению.

В диссертации устанавливаются свойства регулярных функций /, заданных в верхней полуплоскости, эквивалентных квазиизометрическим отображениям. Эти результаты опубликованы в [10], [31].

Теорема 3.10. Пусть f : В?+ С регулярная функция, удовлетворяющая условиям:

a) существует постоянная р > 0, такая, что для любой точки z е R\ справедливо неравенство

b) существует постоянная Q < 1, с которой выполнено

, Х+У г+у

-< / I f(s + it)[ds/ I \f'(s + iy)|<is < Q ,

для любой точки х + iy € ßl-

Тогда f эквивалентна некоторому квазиизометрическому отображению F : R\ С

Замечание. Условия теоремы 3.10, взятые по отдельности не достаточны для того, чтобы / была эквивалентна квазиизометрическому отображению.

Пусть fi конформно отображает R2+ на область, граница которой не спрямляема ни в какой своей части; /2(z) = ег, z G R\. Функция Д удовлетворяет условию а), но не удовлетворяет условию Ь), функция /■> удовлетворяет условию Ь), но не удовлетворяет условию а). Обе эти функции не эквивалентны ни какому квазиизометрическому отображению полуплоскости.

В конце третьей главы рассматриваются отображения класса QI постоянной ориентации. Термин "квазиизометрическое отображение" здесь будет означать именно такие отображения. Устанавливается, что любой комплексный многочлен эквивалентен некоторому квазиизометрическому отображению С на себя и любое отображение с ограниченным искажением /, удовлетворяющее условию

lim 1 iz) = 00,

z-+00 J \ ' '

эквивалентно некоторому многочлену (теоремы 3.11 и 3.12) (опубликовано в [33])

Для исследования вопроса об эквивалентности отображений областей Я", п > 2, строится алгоритм пошаговой локальной аппроксимации, использующий покрытия областей шарами типа покрытий Уитни. Результаты этого параграфа представляют собой переложение на случай отображений, не являющихся инволюциями, результатов статьи автора [39].

Обозначения. Любой собственной области D пространства Я" поставим в соответствие множество шаров В{а), 0 < а < 1, состоящее из шаров Bn(x,aSD{x)), xeD.

Определение 3.11. Пусть D - собственная область Я", а £ (0;1), а > 0. Семейство шаров Q, принадлежащее множеству В(а), такое, что для любых двух шаров Bi, Bi 6 Q квазигиперболическое расстояние между их центрами не меньше числа а, назовем (а, а)-семейством, связанным с областью D.

| Определение 3.12. Пусть D — собственная область в Rn, а £ (0; 1).

; Покрытие 7 области D С Я" шарами вида Вп(х,а ■ öß(x)) назовем специальным покрытием с параметром а, если для любых двух шаров из 7 центр одного из них лежит вне другого.

I

I Теорема 3.13. Пусть D область в Я". Для любого а G (0; 1) существу-

i

ет специсихьное покрытие 7 с параметром а.

В конструкции алгоритма аппроксимации важную роль играет свойство специальных покрытий, выраженное теоремой.

Теорема 3.14. Любое специальное, с параметром а, покрытие 7 собственной области D С Я" представимо в виде объединения конечного числа непересекающихся между собой семейств 7\, 7i,...,7м- Каждое из семейств i = 1,2,... ,М, состоит из непересекающихся между собой шаров.

В параграфе 5 третьей главы построен алгоритм пошаговой локальной аппроксимации локально квазиконформных отображений. Цель построе-

ний параграфа — доказательство теоремы 3.15, которая является аналогом предложения 3.3 для негомеоморфных локально инъективных отображений.

Операторы аппроксимации

Напомним, что Я"(/) означает коэффициент квазиконформности отображения /, £(/) — коэффициент квазигиперболичности отображения / (опред. 2.2).

Пусть С}С(Вп) — множество всех квазиконформных гомеоморфизмов шара Вп в пространство Я"; С)Н(Вп) — множество всех квазигнперболп-ческих гомеоморфизмов шара Вп в пространство Я". Для е > 0 оператор

Л£ : ЯС{Вп) ЯН{Вп)

назовем регулярным оператором аппроксимации, если существует функция С : [1; со) [1, оо), такая, что для любого отображения / 6 С}С(Вп) с коэффициентом квазиконформности К{/) выполнено

1) цм/)) < с(ВД),

2) для любой точки х 6 В выполнено

кМх),М/){х))<е.

Замечание. Теорема 3.3 означает, что при п ф 4 существуют регулярные операторы аппроксимации.

Определение 3.13. Пусть / : О —► Я" - равномерно локально инъек-тивное отображение с ограниченным исксаюением, ¡3 € (0; 1) — параметр инзективности. Определим оператор аппроксимации А\В,е].

Пусть а = /3/3 и Т — специальное покрытие области О с параметром а, (определение 3.12/ Воспользуемся также обозначениями теоремы 3.14.

Для £ > 0 и В е Т положим

ЛШ ut\< \ í Mf){*), еслих е2В,

{ /(г), еслих 6 D\2B.

Отображение A[B,s](f) является отображением с ограниченным искажением области D. Его коэффициент квазиконформности К* зависит только от п и К. v

Обозначим

Vi = U{2В :В 6 , 1 < г < М ,

и каждому из семейств ■.., Тм поставим в соответствие опера-

тор аппроксимации A¡[e}.

дМ/)(г) J если х 6 2В, В & Ti

[/(г), еслих eD\Vi.

Также как и в случае оператора А[В,е], отображение Лг[е](/) является отображением с ограниченным искажением.

Суть действия операторов аппроксимации определяется следующим эффектом. Пусть Si и В2 два шара принадлежащие специальному покрытию 7-, причем пересечение этих шаров непусто. Подействуем на отображение / оператором аппроксимации A{Bi, г] (отображение / заменим в шаре 2Bi аппроксимируюим его отображением), тогда ограничение отображе-цня fi — A[B,c¡(/) на концентрический шар В\ будет квазиизметриче-ским. Теперь применим оператор аппроксимации А[В^е\ к отображению f\. Тогда ограничение отображения /2 = А[В2, s]{fi) на объединение шаров В\ U В2 является квазпизометрическим. То есть последовательное применение операторов аппроксимации не ухудшает свойств отображения.

Теорема 3.15. Предположим, что для данного п существует регулярный оператор аппроксимации. Пусть D собственная подобласть пространства Rn и / — локально инъективное К-квазиконформное отобра-

Тогда / сильно эквивалентно локально инъективному К*-квазигиперболическому отображению Р. Величина постоянной К* зависит только от К и п и от параметра инзективности отображения /.

Замечание. Согласно теореме 3.3 Тукиа-Вяйояля об аппроксимации гомеоморфизмов, при п ф 4 существует регулярный оператор аппроксимации, поэтому при таких п любое локально инъективное квазиконформное отображение собственной подобласти Я™ сильно эквивалентно некоторому Я Я-отображению.

В главе 4 доказывается теорема о том, что для любой квазиконформной инволюции (р пространства Яп, п ф 4, существует квазиизометрическая инволюция с тем же самым множеством неподвижных точек, что и инволюция (р. Доказательство проводится применением специально приспособленного алгоритма пошаговой локальной аппроксимации.

Инволюцией топологического пространства X называется гомеоморфизм <р, отображающий X на себя, такой, что для любой точки х € X

(р(<р{х)) = х.

Заметим, что если две инволюции <р : Я™ —¥ Я™ и ф : К" Яп имеют одно и то же множество неподвижных точек Ь, то они эквивалентны, причем существует такой соединяющий их гомеоморфизм что = х для любой точки х € Ь. Справедливость этого высказывания проверяется указанием гомеоморфизма £ = <р о ф.

В книге Л.Альфорса [2] доказано, что если ¡р - квазиконформное отражение относительно кривой, то существует квазиизометрическое ( в евклидовой метрике ) отражение относительно этой же кривой. Этот результат перенесен на пространства размерности п > 2, п Ф 4, Р.ТиЫа и Д.Угиза1а [25]. Ими установлено, что если <р - квазиконформная инволюция Я" со множеством неподвижных точек Ь, причем Ь разбивает Яп, то есть множество и = Я" \ Ь несвязно, то существует квазиизометрическая инволюция с тем же самым множеством неподвижных точек Ь.

Цель четвертой главы — доказательство теоремы (теорема 4.4) в случае когда множество неподвижных точек инволюции <р не разбивает пространства Rn. Схема доказательство была депонирована в 1985 году в работе [6], однако, в той работе свойство отталкивания союзных точек квазиконформных инволюций (теорема 4.1) не было доказано, а накладывалось дополнительно. В 1999 году было опубликовано доказательство без дополнительных предположений [39].

Идея доказательства состоит в том, чтобы квазиконформную инволюцию <р аппроксимировать отображением (ра квазигиперболическим на U (см. [2]). Аппроксимация квазиконформных гомеоморфизмов при п ф 4 возможна согласно упомянутой работе [25], однако, отображение ipa будучи квазиизометрическим, может не быть инволюцией. Для того, чтобы аппроксимирующее отображение было инволюцией пришлось применить громоздкую конструкцию локальной аппроксимации.

Через L будем обозначать множество неподвижных точек инволюции U = Rn\ L, 5(х) — евклидово расстояние от х G U L.

Точки г и у назовем союзными (относительно инволюции ¡/>), если tp(x) = у, ясно, что при этом <р(у) = х.

Определение 4.1. Будем говорить, что союзные точки инволюции ip : Rn —»• Rn отталкиваются, если существует число С такое, что для любой точки х € U\ L (т.е. х не есть неподвижная точка ip)

ф) < С\х - <р(х)\

Теорема 4.1.(Отталкивание союзных точек.) Пусть (р - К-квазиконформ инволюция Rn, L ее множество неподвижных точек, L не разделяет Rn, U = R"\L. Существует число С, зависящее только от К un такое, что для любой точки х € U выполнено

S(x) < С\х-ф)\.

То есть, союзные точки квазиконформной инволюции отталкиваются.

Следствие 1. Если <р удовлетворяет условиям теоремы 4.1, то для любой точки х € и выполнено

ки(х,(р(х)) > а = 1п(1 + 1 /С).

Следствие 2. Существует число а € (0,1), такое, что для любого х £ С/ шар Вп(х,а5(х)) не пересекается со своим <р-образом и

<р(Вп(х,а6(х)))СВп(ф),5(х)/2).

Теорема 4.1 позволит применить алгоритм аппроксимации к инволюции, так, что результатом будет инволюция.

Далее дается описание специальных покрытий дополнения множества неподвижных точек шарами. Эти покрытия таковы, что для любого шара покрытия его образ не пересекается с шаром.

Аналогично тому как это было сделано в третьей главе, строятся алгоритмы аппроксимации инволюций. В результате удается построить инволюцию квазигиперболическую на множестве и = Я.Л\Ь. Однако, квазигиперболическая на и инволюция является квазиизометрической.

Теорема 4.4. Пусть <р — К-квазиконформная инволюция В.п, п ф 4, со множеством неподвижных точек Ь, и = Ип\Ь — связное множество.

Тогда существует С-квазиизометрическая в евклидовой метрике инволюция Я" с тем же самым множеством неподвижных точек Ь. Величина постоянной С определяется числами п и К.

В пятой главе собраны результаты, иллюстрирующие связь квазигиперболических отображений и пространств С.Л.Соболева, отображений и элллиптических уравнений. Там решаются следующие задачи.

1. Найти функциональные пространства Х(С) и У (О) в областях С и О, для которых любой квазигиперболический гомеоморфизм <р : О —> С порождает линейный изоморфизм этих пространств.

2. Указать вид весов в односвязных собственных подобластях О и С комплексной плоскости, с которыми любой квазигиперболический гомеоморфизм ¡р : £> —>• й порождает линейный изоморфизм , а конформное отображение порождает подобие соответствующих весовых пространств Соболева.

3. Указать пары эллиптических уравнений второго порядка, такие, что решение одного из них представимо в виде композиции решения другого с квазигиперболическим гомеоморфизмом.

Решение первой задачи изложено в 4 и 5 параграфах, параграфы 2 и 3 являются подготовительными. Решение второй задачи приведено в 6 параграфе, решение третьей задачи — в 7 параграфе.

Требует комментариев содержание параграфов 2 и 3. В §3 изучаются гомеоморфизмы классов /ДЯь Кг), порождающие изоморфизмы соболевских пространств Ь17 без веса. Для удобства вычислений класс 1р(Ки Кг) заменяется классом гомеоморфизмов Яр(К1,Кг), ограниченно изменяющих емкость конденсаторов. Поясним, почему в этом параграфе рассматривается класс ЯР{Кь Кг), а не класс гомеоморфизмов ограниченно изменяющих емкость сферических конденсаторов, определенный Герингом в работе [18]. Класс <3Р(К) формально более подходит на роль базового понятия, так как использует более узкий класс конденсаторов, однако он гораздо хуже приспособлен для вычисления искажений отображений, чем класс ЯР(К1,К2).

В качестве инструмента исследований предлагается техника пробных конденсаторов, чьи "обкладки" представляют собой евклидовы окрестности прямоугольных параллелепипедов. Техника эта изложена в параграфе 2. Результаты главы опубликованы в работах [7], [8], [32].

Пусть И — область в Д™ и ¡/о — положительная непрерывная в D функция, р > 1. Пространство и0) состоит из функций /, имеющих в В обобщенные производные 1 порядка, таких, что функция |У/(г)|р^д(г) ин-

тегрнруема в П. Полунорма в Д и о) определяется формулой

Если вес 1/о тождественно равен 1, то в обозначении пространства он не пишется.

Определение 5.3. Пусть К\ > 0, К2 > 0, р > 1 — постоянные, К\ < Кг- Класс С)р(Ки К2) состоит из гомеоморфизмов <р : О С, таких, что для любого кольцевого конденсатора {А, В) из области О выполнено

К1ыЬШ),<р(В)) < сар¿А, В) < Цс^(А)МВ)).

Определение 5.4. Для р > 1 класс 1Р{К\, Кг) состоит из гомеоморфизмов <р : Б -»• (?, порождающих линейный изоморфизм А9 пространств Ь\{0) и Ь\{И) (А^ = / о <р), причем < К2 и Н^Щ < (1/^).

Пусть <р с 1г,{К\, Кг)- Для выяснения связи искажений гомеоморфизма <р с коэффициентами К\ и К2 использованы пробные конденсаторы [9]. Пусть I - (1ъ12,...,1п^), где 0 < ¿1 < 12 < ... < 1п-\ < оо,

Л0 = € ВТ : \хк\ < 4/2,к € ЛГ, 1 < к < п - 1, хп = 0.}

Для £ > 0 через обозначим замкнутую ¿-окрестность множества Аа, 5г — замыкание дополнения А1. Отметим, что множество Д выпуклое. Конденсаторы вида (Д, ВТ), где 0 < £ < т < со, назовем пробными.

Оценка емкости пробного конденсатора дается в следующей теореме. Теорема 5.1. Пусть Л > 0, 0 < г < 1, I = (¿1,12, - - ■ ,1п-1), 5 = 1\ • 12 • • •£„_!• Тогда

24 о

Найдены опенки искажений отображений классов К2) и 1Т{К\, К2)

и доказано, что эти классы совпадают.

Теорема 5.2. Пусть р > 1, <р : И й — гомеоморфизм, такой, что для любого конденсатора (А, В) из О выполнено

сар¿А, В) < ЛГ -сарр(^(Л),у>(В)).

Если го — точка дифференцируемости ц> и ранг линейного отображения А = (р'(хо) равен п, то главные коэффициенты растяжения отображения А связаны между собой соотношением

др-1

то есть

Ш*ь)\\'<МЦъх о), где ||^'(го)|| — норма, матрицы Якоби, 7 — якобиан.

Следствие 1. Пусть <р 6 С>Р(М\, тогда в произвольной точке дифференцируемости жо отображения главные коэффициенты растяжения для <р'(хо) связаны соотношениями

ДР-1

, \ <Щ

ДР-1

Л2Л3 • • • хп ~ 1

Теорема 5.3. Класс 1?{МиМ2) совпадает с классом ^(М^Мг).

Теорема 5.4. Пусть ц> : й (7 принадлежит классу 1(р, М^Мг), р Ф п. Тогда <р является (К\, К2)-квазиизометрическим отображением, где

к __{ Мг- М2я/(р_п) если р < п, если р > п

если р <п, если р > п .

Следствие. Если М% = = М, то р является ограничением подобия пространства R71 на область D с коэффициентом Мр^р~пК

В параграфе 4 главы доказываются подобные оценки для весовых пространств Соболева.

Определение 5.5. Пусть р > 1, 0 < К\ < К2- Класс К2) со-

стоит из гомеоморфизмов tp : D G, порождающих линейный изоморфизм А9 весовых пространств Ll?(G, i/G) и i/o) (Avf = foipj, причем ЦА^К^иЩА^-ЩкуКг.

В этом параграфе рассматриваются только гомеоморфизмы областей, которые, однако, могут не принадлежать классам QR, QI или QH на всей области определения. Удобно будет придать новый смысл терминам "локально квазиконформный" и "локально квазиизометрический". Гомеоморфизм / области D на область G назовем локально квазиконформным (квазиизометрическим), если ограничение / на любую область U, замыкание которой лежит в D, квазиконформно (квазиизометрично).

Теорема 5.5. Пусть гомеоморфизм р : D G принадлежит классу lp>w(KbKi), тогда

1) гомеоморфизм ¡р локально квазиконформный, если р = п и локально квазиизометрический, если рФ щ

2) гомеоморфизм р почти всюду дифференцируемый;

3) в произвольной точке дифференцируемости хд гомеоморфизма <р глав-те коэффициенты растяжения для р'(хо) связаны соотношениями

М1 о) Мх о)

Следствие, (р ф п). При выполнении условий теоремы для любой точки о € D выполнено: в случае когда 1 < р < п

и

V(p-n)

\{<р,хо) < ВД"'

в случае же когда р > п

1 Цр-п)

А(р,х0) > К]

и

1 /(р-7.)

х) и Л(</з, г) — верхнее я нижнее искажения отображения в точке х.

В пятом параграфе установлены необходимые и достаточные условия на веса, при выполнении которых квазигиперболический гомеоморфизм областей порождает изоморфизм соответствующих весовых пространств.

Теорема 5.6. Гомеоморфизм <р : й й, порождающий изоморфизм весовых пространств Ь1Т{С,ид) и р ф п, является квазигипер-

болическим тогда и только тогда, когда

Запись f\ ~ /2 означает, что существуют положительные постоянные Ci и С;, с которыми выполнено Cifi(x) < /2(2:) < C\f\(x) для любых х.

Укажем теперь веса, с которыми любой квазигиперболический гомеоморфизм (р : D —> G порождает изоморфизм весовых пространств.

Определение 5.7. Области D и G назовем QH-эквивалентными, если D отображается на G посредством некоторого квазигиперболического гомеоморфизма.

Предложение 5.5. Пусть D и G — QH-эквивалентные области в Rn. Тогда любой квазигиперболический гомеоморфизм порождает изоморфизм весовых пространств L],{G, ¿с~п) и Lp(D, рфп.

V Мх) )

öD(x)

Доказательство этого предложения получается применением теоремы 5.6.

В шестом параграфе главы рассмотрен вопрос о весовых пространствах, связанных с конформными отображениями плоских областей.

Определение 5.8. Подобием полунормированных пространств X и Y назовем такой линейный изоморфизм А : X —> У, что для любого элемента х € X выполнено ||Лг|| = М||г|[, где М > 0 — постоянная.

Предложение 5.6. Пусть D и G — области в Rn, п 6 N, п > 2. Если гомеоморфизм <р : D G порождает подобие весовых пространств L1v(G,vg) и L\(I), vq), рфп, то <р — конформное отображение.

Предложение 5.7. Если конформное отображение <р : D -> G (D, G С Rn, п € N, п > 2) порождает подобие весовых пространств Lp(G,va) и L-p(D, ь>о), р фп, то для любой точки х € D выполнено

У{х)\Г*и0(х) = М>исШ)-

Если конформное отображение ip : D —>• G таково, что для всех х Е D выполнено (1), то <р порождает подобие пространств Llv{G, vg) и uD).

Напомним, что плотностью гиперболической метрики в односвязной собственной области U из С называется функция p(z) = 2|ip'(z)|/(l - |</j(z)|2), где tp некоторое конформное отображение U на круг В = {го : |ги| < 1}.

Лемма 5.5. Пусть D uG — односвязные собственные подобласти комплексной плоскости и tp конформно отображает D на G, тогда

Ы2) = Pg(v>(z)) ■ \<p'{z)|.

Теорема 5.7. Для того, чтобы любое конформное отображение <р : D G, где D и G — односвязные собственные подобласти плоскости, порождало подобие пространств Lfyfi, vg) и Lp(D, г/д) с коэффициентом

М, необходимо и достаточно, чтобы веса выражались формулами ь'о(г) = МрК(ц0(2))2~р, ^сСш) = К(р.с(и}))2~?, где К > 0 — произвольная постоянная.

В параграфе 7 устанавливается связь между эллиптическими уравнениями и квазигиперболическими отображениями.

Задача о представлении решений эллиптических уравнений в виде композиции решения некоторого уравнения и отображения с ограниченным искажением впервые была поставлена и решена Ю.Г.Решетняком в [13]. В начале 80 годов эта задача другими методами была решена авторами работы [19].

О.Мартио и Ю.Вяйсяля в работе [23] решили подобную задачу для отображений класса (?/ постоянной ориентации (ВЬБ-отображений по терминологии) авторов. Метод, использованный ими взят из работы [19].

В этом параграфе рассмотрим задачу применительно к отображениям постоянной ориентации класса Содержание параграфа опубликовано в [35] и представляет собой переложение для нового класса отображений результатов статьи [23], поэтому будем придерживаться обозначений упомянутой статьи.

АС1? — класс функций абсолютно непрерывных на почти всех прямых, р > 1 — показатель суммируемости производных функций из этого класса. Отображение / : О ->■ Я" принадлежит классу АС и если все его координатные функции оттуда. Отметим, что класс АСI/ совпадает с классом Соболева И^. Если отображение / : В ч й" принадлежит АС1?, то для почти всех х из И определена матрица Якоби /'(г) и якобиан /(/, г), частные производные понимаются в обычном смысле. Будем использовать термин АСГ^-отображение (функция), если пойдет речь об отображении (функции) класса АС1/, в случае когда р = 1 индекс р опустим. Полагаем, что все рассматриваемые отображения постоянной ориентации.

Через 5(х) будем обозначать расстояние от точки х до границы области С?, скалярное произведение векторов х я у пространства Я" будем обозна-

чать как х ■ у.

Определение 5.9. ([23], [13]). Пусть р > 1, А : D х Rn Rn дифференциальный эллиптический оператор второго порядка в дивергентной форме, р > 1. Это означает, что А удовлетворяет следующим условиям:

(a) Для каждого £ > 0 существует замкнутое множество F С D такое, что m(D\F) < е и ограничение А на F х R" непрерывно, ß(U) - мера Лебега множества U.

(b) Существуют положительные числа 71, 72 такие, что для почти всех х € D и всех h £ Rn выполнено

|А(г,Л)| < 7i|A|7-1 (1)

и

A{x,h)-h>lt\h\v. (2)

Свойство (1) называется ограниченностью оператора А, свойство (2) — равномерной эллиптичностью оператора А.

Непрерывная АС ¿^-функция и: D -у R является решением уравнения

V • Л(г, Vu(x)) = О,

если для всех у € выполнено

{ А(х, Чи{х)) ■ 4<fi(x)dß(x) = 0. о

Пусть теперь / - ACL-отображение области G в область D. Оператор f* А определяется формулой

f*A(x, h) = J(f, x)f(x)-'A(f(x), (!'(х)-'Гк),

если J(f,x) Ф 0; если же J(f,x) — 0 или не существует, то положим f*A( 1, h) — A(f(x), h). Напомним, что j'{x) - матрица Якоби, если Т -

матрица, то Т-1 - обратная, Т* - транспонированная матрицы. Вид оператора объясняется теоремой 3.11 [23], в которой показано, что решение уравнения V - А = О определяет решение уравнения V •

Построения параграфа продиктованы наблюдением, состоящем в том, что ограничения отображений класса <3# на компактные подобласти области определения принадлежат классу ф/, поэтому на таких подобластях можно применять методы статьи Мартио и Вяйсяля.

Мы будем предполагать, что оператор удовлетворяет условию (а) и условию

(с): существуют две положительные функции 7^ и 7 определенные на С такие, что существует положительное число М, с которым для каждой точки у 6 О выполнено

КъъЧУ);

и для каждой точки х £ В (у, 5{у)/2) имеет место оценка

1/^(^)1 < 7',(уРГ\ (3)

и

/*А(х,к)-к>7'2(уЩр. (4)

Свойство (3) назовем локальной ограниченностью оператора /#А, а свойство (4) локальной равномерной эллиптичностью этого оператора.

Теорема 5.7. Пусть /:(?-+!> АС Ь-отображение такое, что х) > О почти всюду, оператор А удовлетворяет условиям (а) и (Ь), оператор /*А удовлетворяет условиям (а) и (с). Тогда

1) / — квазигиперболическое отображение, если р фп,

2) / — локально принадлежит классу Я Я и функция J(f, х) локально интегрируемая, если р=п.

Теорема 5.7 допускает обращение.

Теорема 5.8. Предположим р ф п, оператор А в уравнении (3) удовлетворяет условиям (а) и (Ь) и отображение / : й О является К-квазигиперболическим.

Тогда оператор ¡*А удовлетворяет условиям (а) и (с) в £7, где функции 71 и 72 зависят только от А, К, р и п.

Теорема 5.9. Пусть / : <? £> - К- квазигиперболическое отображение. Предположим, что и - решение уравнения V • А = 0 в И. Тогда у = и о / является решением уравнения V • = 0 в (3.

Литература

[1] Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

[2] Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. - М.: "Мир", 1968.

[3] Латфуллин Т.Г. О геометрических условиях на образы прямой и окружности при квазиизометрии плоскости// Материалы XXIII Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. - Новосибирск, 1980. - С. 18-22.

[4] Латфуллин Т.Г. Геометрическая характеристика квазиизометрического образа полуплоскости// Теория отображений, ее обобщения и приложения. Киев: "Наукова думка", 1982. С. 116-126.

[5] Латфуллин Т.Г. О продолжении квазиизометрических отображений// Сиб.мат.журн. - 1983. - Т. 24, №4. - С. 212-216.

[6] Латфуллин Т.Г. О сглаживании квазиконформных инволюций/ Тю-мен. ун-т, Тюмень, 1985, 33 с. Рукопись депонированная в ВИНИТИ 07.03.85, №1730-85 Деп.

[7] Латфуллин Т.Г. Диффеоморфизмы, сохраняющие пространства Соболева Lp/ Тюмен. ун-т. - Тюмень. - 1988. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.88, №8238-В88.

[8] Латфуллин Т.Г. Функциональные пространства, связанные с квазигиперболическими отображениями/ Тюмен. ун-т. - Тюмень.- 1989. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.12.89, №7229-В89.

[9] Латфуллин Т.Г. Коэффициенты искажения для отображений, индуцирующих изоморфизмы пространств Соболева/ Тюмен. ун-т. -Тюмень. - 1990. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.06.90, №3379-В90.

[10] Латфуллин Т.Г. Вариант теоремы Ф.Рисса для полуплоскости/ Тюмен. ун-т. - Тюмень. - 1993. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.07.93, №2055-В93.

[11] Латфуллин Т.Г. Критерий квазиизометричности отображений областей с внутренними метриками/ Тюмен. ун-т. - Тюмень. - 1994. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.09.94, №2265-В94.

[12] Математическая энциклопедия. - М.: "Сов. энцикл.", 1977. Т. 1

[13] Решетняк Ю.Г. Об экстремальных свойствах отображений с ограниченным искажением// Сиб.мат.журн. - 1969. - Т. 10, №6. - С. 13081318.

[14] Ahlfors L. Extension of quasiconformal mappings from two to three dimensions// Proceedings Nat. Acad. Sci. USA. - 1964. - Voi.51, P. 768-771.

[15] Astsla K., Gehring F. Injectivity, the BMO norm and the universal Teichmiiller space// J.Analyse Math. - 1986. - Vol. 46, P. 16-57.

[16] Carleson L. The extension problem for quasiconformal mappings. - In.: Contribution to Analysis, New York, Academic Press, 1974, p.39-47

[17] Ferrand J. A characterization of quasiconformal mappings by the behaviour of a functions of three points// Lect. Notes Math. - 1988.

- Vol. 1351, P. 110-123

[18] Gehring F.W. Lipschitz mappings and p-capacity// Advanced Theory Riemann Surfaces, Proc. - 1969. - Stony Brook conf- 1971. P. 175-183

[19] Glanlund S., Linqvist P., Martio 0. Conformally invariant variational integrals// Trans.Am.Math.Soc. - 1983. - Vol. 277. - P.43-73.

[20] Jenson D.S., Kenig C.E. Hardy spaces, .4^, and singular integrals on chord-arc domains// Math. Scand. - 1982. - Vol. 50. - P. 221-247.

[21] John F. Quasi-isometric mappings, I// Comm.Pure Appl. Math. - 1968.

- Vol. 21. - P. 77-110.

[22] Martio O. Quasisimilarities// Rev. Roumaine Pures Appl. - 1991. - Vol. 36, P. 395-406.

[23] Martio O., Väisälä J. Elliptic Equations and Maps of Bounded Length Distortion// Mathematishe Annalen. - 1988. - Vol. 282. - P.423-443.

[24] Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings// Ann. Acad. Sei. Fenn., Ser.Al, Math. - 1971.-№488. - P. 1-3.

[25] Tukia P., Väisälä J. Lipschitz and quasiconformal approximation and extension// Ann. Acad. Sei. Fenn., Ser.Al, Math. - 1981. - Vol. 6, P. 303-342.

[26] Tukia P., Väisälä J. Bilipschitz extension of maps having quasiconformal extensions// Math. Ann. - 1984. - Vol. 269. - P. 561-572.

[27] Väisälä J. Homeomorphisms of bounded length distortion// Ann. Acad. Sei. Fenn., Ser.Al, Math.. - 1987. - Vol. 12. - P.303-312.

[28] Väisälä J. Uniform domains// Töhoku Math. J. - 1988. - Vol. 40, №1. - P. 101-118.

[29] Väisälä J. The free quasiworld. - Helsinki, 1997. - 73 p. - (Preprint 137/ Universiti of Helsinki).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[30] Латфуллин Т.Г. Условия на веса, гарантирующие подобие весовых пространств Соболева при конформных отображениях областей//Известия вузов. Математика.- 1991. - №11. - С. 96-97.

[31] Латфуллин Т.Г. Регулярные в полуплоскости функции, топологически эквивалентные квазиизометрическим отображениям// Сиб.мат.журн. - 1994. - Т. 35, №6. - С. 370-372.

[32] Латфуллин Т.Г. Пространства Соболева в областях R" и связанные с ними отображения// Фундаментальные проблемы математики и механики: Математика, Ч. 1. - М., 1994. - С. 75-76.

[33] Латфуллин Т.Г. Топологическая эквивалентность многочленов и квазиизометрических отображений плоскости// Сиб.мат.журн. -

1995. - Т. 36, т. - С. 1305-1313.

[34] Латфуллин Т.Г. Критерий квазигиперболичности отображений// Сиб. мат. журн. - 1996. - Т. 37, №3. - С. 610-615.

[35] Латфуллин Т.Г. Квазигиперболические отображения// Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96), Новосибирск, июнь 1996 г.: Тез.докл. - Новосибирск,

1996. - С. 76.

[36] Латфуллин Т.Г. Квазигиперболические отображения и эллиптические уравнения// Вестник Тюменского государственного университета. - 1998. — №2. - С. 7-11.

[37] Латфуллин Т.Г. Неинъективные квазигиперболические отображения и эллиптические уравнения// Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Новосибирск, июнь 1998 г.: Тез.докл. - Новосибирск, 1998. - С. 78.

[38] Латфуллин Т.Г. Топологическая эквивалентность отображений// Международная конференция по анализу и геометрии, посвящ. 70-летию акад. Ю.Г.Решетняка, Новосибирск, сент. 1999 г.: Тез. докл. - Новосибирск, 1999. - С. 56.

[39] Латфуллин Т.Г. Обобщение теоремы Альфорса о квазиизометрическом отражении// Сиб.мат.журн. - 1999. - Т. 40, №4. - С. 918-930.

[40] Латфуллин Т.Г. Аппроксимация отображений с ограниченным искажением// Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), Новосибирск, июнь 2000 г.: Тез.докл. - Новосибирск, 2000. - С. 128.

Тюмень - 2000

Оглавление

Введение

§1. Квазигиперболическая метрика и

квазигиперболические гомеоморфизмы........

§2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации . . Расширение класса квазигиперболических отображений .

Топологическая эквивалентность отображений......

Пространства Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями. Эллиптические уравнения и квазигиперболические отображения..........

Глава 1. Основные определения и примеры

§1. Квазиизометрические отображения метрических

пространств ........................

§2. Расширение понятия квазиизометрического отображения областей пространства Яп...........

Распространение понятия квазиизометричности на

неинъективные отображения..............

§3. Отображения с ограниченным искажением......

§4. Емкость конденсаторов..................

§5. Примеры..........................

Глава 2. Расширение класса

квазигиперболических отображений

§1. Оценки квазигиперболического расстояния в областях §2. Критерий квазигиперболичности гомеоморфизма . . .

§3. Определение отображений класса С^Н.........

Эквивалентные определения отображений класса (¿Н. Достаточные условия, с которыми принадлежность

классу С^Я влечет принадлежность классу С^Н . . .

О коэффициенте искажения отображений класса QH . . 57

§4. Некоторые свойства отображений класса QH..........58

Композиция квазигиперболических отображений..........58

Равномерная локальная инъективность отображений

класса QH................................................62

Глава 3. Топологическая эквивалентность

отображений 64

§1. Эквивалентность квазиконформных и

квазигиперболических гомеоморфизмов ....... 64

§2. Квазиконформность соединяющего гомеоморфизма . 69 §3. Эквивалентность регулярных функций комплексного

переменного отображениям классов QI и QH .... 73 Регулярные локально-инъективные функции,

эквивалентные отображениям класса QH...... 73

Регулярные локально-инъективные функции,

эквивалентные отображениям класса QI....... 77

Топологическая эквивалентность многочленов и

квазиизометрических отображений плоскости .... 89

§4. Покрытия областей шарами............... 97

§5. Топологическая эквивалентность локально квазиконформных отображений и отображений класса QH . 102

Операторы аппроксимации..................109

Операторы замены переменного ..............111

Глава 4. Топологическая эквивалентность квазиконформных и квазиизометрических инволюций Rn 122

§1. История вопроса......................122

§2. Отталкивание союзных точек квазиконформных инволюций ..........................123

§3. Покрытия области U....................132

§4. Операторы аппроксимации................134

§•5. Построение квазиизометрической инволюции.....136

Глава 5. Пространства С.Л.Соболева, связанные с квазигиперболическими отображениями 145

§1. Постановка задачи. Определения.............145

§2. Пробные конденсаторы..................148

§3. Оценка искажений отображений, порождающих

изоморфизмы пространств без веса..........159

§4. Оценки для весовых пространств............166

§5. Пространства, связанные с квазигиперболическими

отображениями .....................172

§6. Подобие весовых пространств Соболева в плоских

областях .........................175

§7. Эллиптические уравнения и квазигиперболические

отображения.......................181

Список основных обозначений 199

Предметный указатель 200

Введение

§1. Квазигиперболическая метрика и квазигиперболические гомеоморфизмы

В диссертации рассмотрены некоторые проблемы теории квазигиперболических отображений, то есть отображений, ограниченно изменяющих квазигиперболическое расстояние между точками. Класс квазигиперболических отображений {С^Н) занимает промежуточное положение между классами квазиконформных (С^С) и квазиизометрических ((^1) отображений. То есть, С)1 С С^Н С ЦС, кроме того, граничное поведение квазигиперболических гомеоморфизмов такое же как у квазиконформных гомеоморфизмов, а ограничение любого гомеоморфизма / класса ЦВ. на компактную подобласть области определения / принадлежит классу (¿1. Сказанное будет уточнено в последующем тексте.

Квазигиперболические отображения как самостоятельный объ ект изучения привлекли к себе внимание математиков после работы Тукиа и Вяйсяля 1981 года [76], в которой они обосновали возможность аппроксимации квазиконформных отображений квазигиперболическими. Термин "квазигиперболический" принадлежит Тукиа и Вяйсяля [77].

Квазигиперболические гомеоморфизмы обычно использовались как инструмент при изучении квазиизометрических гомеоморфизмов. Их применение основано на эффекте обнаруженном Л.Альфорсом [2, с. 70], заключающемся в том, что квазигиперболический гомеоморфизм, квазиизометрический на границе (в случае достаточно протяженной границы) является квазиизометрическим. Позднее этот эффект был использован в работах автора [15], [16], [17], П.Тукиа и Ю.Вяйсяля [77], Д.С.Джерисона и С.Е.Кенига [61], Ю.Вяйсяля [73].

Класс в современной конфигурации теории отображений играет вспомогательную роль при изучении классов ЦС и (^1. В силу включения С С^С все, что верно для квазиконформных отображений верно и для квазигиперболических отображений. Теория квазиконформных отображений и их обобщений — отображений с ограниченным искажением имеет богатую историю и хорошо разработана, поэтому постановка вопросов специфических для отображений класса С^Н — задача не простая. Однако, класс этот (С^Н) привлекает к себе внимание именно сочетанием свойств, присущих отображениям классов (¿С и Будучи близким к классу С^С он состоит из отображений, у которых отсутствуют некоторые "неудобные" свойства квазиконформных отображений. Например, любая локально спрямляемая кривая переходит в локально спрямляемую при (^-^-отображениях, этим свойством не обладают квазиконформные отображения; частные производные первого порядка компонент (^.^-отображения ограниченны на компактных подобластях области определения. С}Н-гомеоморфизмы наследуют больше свойств конформных отображений плоских областей, чем (^С-гомеоморфизмы. Родственность классов (¿С и }Н выражается также тем, что любой квазиконформный гомеоморфизм является грубо квазигиперболическим (по терминологии Вяйсяля) и любой квазиконформный гомеоморфизм можно аппроксимировать с любой точностью квазигиперболическими гомеоморфизмами.

Перейдем к более точным формулировкам.

Определение 1. Пусть Б - область в пространстве Яп и ее граница дВ — непустое множество, такие области называют собственными подобластями Яп.

Для точек Х\,Х2 из Б квазигиперболическим расстоянием

между ними называется величина

к0(х 1,г2) = т£

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющим х\ их 2 в И, интеграл — криволинейный первого рода, з — натуральный параметр, 5и(х)~ евклидово расстояние от х

Напомним, что если для любых двух точек х и у некоторого множества X определено расстояние между ними а(х,у), то функция а : X х X —>• Я называется метрикой.

Определение 2. Пусть Б и С - собственные подобласти Яп и (р - гомеоморфизм И на К > 1 - постоянная. Гомеоморфизм ср называется К-квазигиперболическим, если для любых х\,х2 Е В выполнено

Определение 3. Гиперболическое расстояние между точками круга В = {2 £ С : \г\ < 1} комплексной плоскости определя ется выражением

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим в В точки и г2.

Гиперболическая метрика является традиционным объектом теории функций комплексного переменного. Гиперболическое расстояние не изменяется при дробно-линейных автоморфизмах круга Б [12, с. 391]. Посредством конформных отображений круга на

до дВ.

-кП(хих2) < кс((р(х1),(р(х2)) < Ккв(хьх2).

односвязные собственные подобласти плоскости производится пе ренос гиперболической метрики.

Пусть И односвязная собственная подобласть Си/ — кон формное отображение В на В. Для точек £ь%2 Е & положим

Такое определение расстояния в Б корректно, так как оно не зависит от выбора гомеоморфизма /. Действительно, пусть ¡\ и /2 — два конформных отображения В на И. Тогда найдется дробно-линейный автоморфизм (р круга такой, что /2 = /1 о а так как гиперболическое расстояние в В инвариантно при дробно-линейных преобразованиях, то для любых 2:1,22 Е I)

Из определения гиперболической метрики с помощью форму лы замены переменной в интеграле можно получить представле ние

где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим в И точки и хч- / — конформное отображение И на В. Функцию

называют плотностью гиперболической метрики, она не зависит от выбора отображающей функции / [12, с. 420].

Происхождение термина "квазигиперболическая метрика" объ ясняется тем, что гиперболическая и квазигиперболическая метрики эквивалентны, то есть, существует постоянная С > 1 такая, что для любой пары точек 2:1,22 Е И выполнено

0£> (21,22) = <7в(/ 'Ы).

1

В следующей теореме устанавливается универсальная оценка постоянной С.

Теорема 1. Пусть Б - односвязная собственная подобласть комплексной плоскости С, тогда для любых точек и из Б выполнено

1

-огв(гиг2) < кв(г1,г2) < 2(т0(гиг2) (1)

Доказательство. Пусть г е И и / - конформное отображение Б на круг В = {\г\ < 1}, /(г) = 0 . Функция д(г) = {Г\г) -г)/'(г), г Е В, отображает В на область Б* = (Б — г)/'(г), д'(0) = 1, д(0) = 0. Тогда по теореме Кёбе [10, с. 51] область Б* содержит круг В (г, 1/4). Но так как Б* подобна И с коэффициентом подобия область Б содержит круг В(г, 1/(4|/'(г)|), следовательно 8 о (г) > 1/(4|/'(г)|).

Так как =0

1

^(г) = 2Ц'(г)\>

2 6П(г)

(2)

Рассмотрим теперь функцию ф(£) = ¡(8и(г)1 + г), £ Е С, |£| < 1. Так как ф(0) = ¡(г) = 0 и ф(г) Е /(и), то есть \ф(г)\ < 1, выполнены условия леммы Шварца [10, с.29], согласно которой |^(0)| < 1.Это неравенство означает, что 8^{г) |/' (г) \ < 1, поэтому

2|/'М1

= 2|/'(*)1<

Из оценок (2) и (3) следуют неравенства (1).

(3)

Следствие. Любое конформное отображение круга на область комплексной плоскости является 4-квазигиперболическим. Доказательство. Пусть / : В -> В — конформное отображение. По теореме 1

Согласно определению метрики а£> верно равенство

= (Гв(2ъг2) ■

Снова применив оценки из теоремы 1, получим

< 2кв(хьг2) .

Таким образом,

М/С* 1)5/Ы) < 4кв(гъг2) .

С помощью оценок снизу теоремы 1, подобные рассуждения приводят к неравенству

1

Верен и более общий результат (см., например,[2, с. 75])

Теорема 2. Пусть И и С собственные подобласти комплексной плоскости и / конформно отображает И на тогда / является 4-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Пусть г Е И, и) = f(z). Функция

¡„мм ~тг К|< '

удовлетворяет условиям теоремы Кёбе, то есть 99(0) = 0, <£>'(0) = 1, следовательно образ круга {|£| < 1} содержит круг радиуса 1/4, поэтому

60(<ш)>1-50(г)\Г(г)\

или

\П*)\

<

4

5с(и)) " 5в{г)

При помощи обратной функции д = /~1, получим неравенство

8в{х) > (6с(и))\д'(ги)\)/4. Однако, д'(ю) = 1/(/'(г)), поэтому

6с(т) ~ 48в(г)'

>

Переходя к инфинитезимальным обозначениям, получим

Ыг\ \Г(хШг\ Ыг\

А8в(г) ~ 5с{т) ~ 60(г)7

<

<

что и означает 4-квазигиперболичность /.

Замечание. Более формальное окончание доказательства можно получить с использованием теоремы 1.1 главы 1, если заметить, что А(/,с) = А(/, г) = |/'(г)|, где

главные растяжения отображения / в точке

Согласно теореме Лиувилля [41] конформные отображения областей пространства Яп — суть ограничения мёбиусовых отображений Ж1 на себя. Для таких отображений верна теорема 3, аналогичная теореме 2.

Лемма 1. Пусть (р(х) = х/\х\2 — инверсия пространства В4 и Б — область в Яп , такая, что О ^ Б. Тогда ограничение (р на О является 2-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Пусть х £ И. Через 5 обозначим сферу с центром в точке х радиуса г = 6о{х). Через К обозначим расстояние от <р{х) до <¿>(5). Так как <¿>(<5) — сфера (или гиперплоскость, когда О £ 5 ), число Я легко вычисляется.

Если г < \х\ , то

и

г — и)

Л =

1

1

г

х\ + г МО^! + г)

и если г = |.т|, то

й=ы-

Известно (см., например, [3, с. 19]), что при х ф О матрица Якоби инверсии <р является конформной, то есть (р' = ¡л • к, где /х > О, А- — ортогональная матрица. Группу ортогональных матриц обозначим 0(п)

0(п) = {А : А ■ Ат = I или А ■ А = 1} .

Так как, ||у/(:г)|| = 1/М2? из конформности матрицы р'(х) следует, что для всех х ф 0 имеют место равенства

\{<р,х)=А(?,х) = \\<р'(х)\\ = 1/\х\2.

Обозначим О = так как §с(<р(х)) > Л, получим оценки: при Г < |х'|

• 80{х) ^ г _ г|ж|(|ж| + г) _ |ж| + г

¿с((р(х)) ~~ \х\2Я \х\2г |ж|

и при Г = |х'|

Л(<£,х) ■ ^ г г|ж|(|ж| + г) г • 2\х\ ^

~ \х\2Я \х\2г \х\2

Итак, для любой точки х £ Б

А((р. х) 2 , ч

60(<р(х)) 6в(х) Так как = ср, то для любой точки у Е С = выполнено

У) < 2

М^Ы) ¿о{у)'

Пусть х — (р(у), тогда х £ И и А(<р, у) = 1/А(<^,ж), поэтому

1 2 <

Л (<р,х)5п(х) $с((р(х))

или

6С(Ф)) - 25о{х) •

\{(р}х) 1

(5)

Неравенства (4) и (5) означают, что ограничение отображения (р на область В является 2-квазигиперболическим отображением (см. следствие к теореме 1.1).

Определение 4. [41, с. 15]. Отображение / пространства Я на себя называется мёбиусовым, если оно представляет собой композицию конечного числа преобразований подобия и инверсий относительно сфер.

Теорема 3. Пусть / — мёбиусово отображение Яп, /(^о) = оо. Если область В С Яп такова, что х^ ^ В, то ограничение f на В являет,ся 2-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Согласно теореме 1.3 [41, с. 31] / представимо в виде а о д, где а — инверсия относительно некоторой сферы 5п_1(жо5гК 9 — движение Яп. Заметим, что

где (р — инверсия относительно единичной сферы 5П *((); 1). Обо значим (3(х) = г-ж, ^{х) = х + ^о- Тогда

бражения а и Ь суть линейные конформные преобразования Яп, то есть они представимы в виде композиции движений и гомотетий Яп с центром в нуле. Очевидно, что ограничения линейных

а = ~/о[Зо(ро/3 1 о 7

-1

конформных преобразований на собственные области Rn являются изометричными в квазигиперболической метрике отображениями. Инверсия ср по лемме 1 есть 2-квазигиперболическое отображение области 6(D), следовательно и отображение / является 2-квазигиперболическим отображением области D.

Заметим, что определения конформного (мёбиусова в случае п > 2) отображения не используют понятия "квазигиперболическая метрика", однако такие отображения оказываются квазигиперболическими.

Поясним значение термина "грубо квазигиперболическое отображение" .

Определение 5. [75, р. 12]. Гомеоморфизм собственной области D на собственную область G называется грубо квазигиперболическим (coarsely quasyhyperbolic), если существуют постоянные М и С, такие, что для любых двух точек х,у Е D выполнено

{kD{x,y) - С)/М < kG(f(x)J(y)) < Мкр(х, у) + С. (6)

Предложение 1. Гомеоморфизм f : D G является грубо квазигиперболическим тогда и только тогда, когда существуют две постоянные d и L, такие, что для любых двух точек х,у Е D, удовлетворяющих условию kjj(x,y) > d выполнено

kD(x,y)/L < kG(f(x),f(y)) < LkD(x,y). (7)

Доказательство. Пусть / грубо квазигиперболическое отображение, то есть, для любых двух точек х,у Е D справедливо неравенство (6). Положим d = 2С и возьмем две точки х, у Е D, удовлетворяющие условию ко (х, у) > d. Так как ки(х,у) = кр(х,у)/2+ кг>(х,у)/2 > ко{х, у)/2+С, получаем оценку кв(х,у)—С > кр{х,у)/2 С другой стороны, Мкц(х,у) + С < (М + 1/2)кп(х,у). Объединив найденные оценки, получим ко(х,у)/(2М) < кс(/(х),/(у)) <

(M+l/2)kD{x,y). Заметим, что в (6) М > 1, поэтому 2М > М+1/2 и верно неравенство кп(х,у)/(2М) < kc(f(x), f(y)) < 2Mk]j(x,y). То есть, выполнено (7) с L = 2М.

Пусть теперь гомеоморфизм / таков, что если k]j(x,y) > d, то выполнено неравенство (7). Покажем, что для любых х,у Е D справедлива оценка

(kD(x,y)-d)/L < kG(f(x)J(y)) < LkD(x,y) + Ld. (8) Действительно, если ки(х,у) > d, то оценки

/Ы) < LkD(x,y) < LkD(x,y) + Ld

и

М/М./М) > kD(x}y)/L>((kD(x,y)-d)/L очевидны. Если же кр(х,у) < d, то также очевидна оценка

{kD{x,y)-d)/L<0<kG(f(x)J(y)).

С другой стороны, из гомеоморфности / следует, что kc(f(x)if(y)) < Ld, откуда, в свою очередь следует неравенство кс{1{х),/{у)) < Ld < ко(х,у) + Ld. Таким образом, неравенство (8) доказано, значит отображение / является грубо квазигиперболическим с постоянными М = L и С = Ld. Предложение доказано.

Оказывается, любой квазиконформный гомеоморфизм собственных областей Rn является грубо квазигиперболическим (см., например [75, теорема 4.7]). Взяв определение грубой квазигиперболичности в форме предложения 1, можно понять связь между классами квазигиперболических и квазиконформных гомеоморфизмов: если "рассматривать квазиконформное отображение издалека", его не отличить от квазигиперболического.

Замечание. В теореме 4.7 цитированной работы Вяйсяля [75] доказывается более общее утверждение: любой целый (solid) гомеоморфизм собственных областей нормированного пространства является грубо квазигиперболическим.

Гомеоморфное отображение собственных подобластей называется целым, если прямое и обратное отображение равномерно непрерывно относительно квазигиперболической метрики. Отображения с таким свойствами в работе Ефремовича В.А. и Тихомировой Е.С. [13] 1964 года были названы эквиморфизмами.

§2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации

В диссертации рассмотрены три задачи.

Первая задача — определить расширение класса квазигиперболических гомеоморфизмов так, чтобы новый класс содержал и негомеоморфные отображения.

Вторая задача — установить топологическую эквивалентность отображений с ограниченным искажением и отображений класса

QH.

Третья задача — найти функциональные пространства "естественно" связанные с гомеоморфизмами класса QH.

Дадим краткое описание методов решения этих задач.

Расширение класса квазигиперболичес�