Свободные топологические группы и локально выпуклые пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Терминология и обозначения

Глава 1. Описание топологии свободной группы в терминах продолжения псевдометрик. Вложения и полнота свободных топологических групп

§1.1. Терминология и обозначения

§1.2. Схемы слов.

§1.3. Определение семейства ©

§1.4. Определение функций N и N.

§1.5. Леммы

§1.6. Утверждения.

§1.7. Определение и свойства полунорм || •

§1.8. Основные утверждения.

§1.9. Вложения свободных топологических групп

§1.10. Полнота свободных топологических групп.

§1.11. Нульмерные свободные топологические группы.

Глава 2. Свободные топологические группы с факторными отображениями умножения и топологиями индуктивного предела

§2.1. Факторность отображения умножения.

§2.2. Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах.

§2.3. Свободные топологические группы с топологией индуктивного предела.

§2.4. Факторность отображения умножения и топология индуктивного предела в свободной группе.

В самом начале 1940-х годов А. А. Марков ввел понятие свободной топологической группы тихоновского топологического пространства, руководствуясь аналогией между группами абстрактными и группами топологическими. Данное им определение свободной топологической группы было вполне аналогично определению абстрактной топологической группы. Как показал Марков, любая топологическая группа является фактор-группой некоторой свободной топологической группы. Таким образом, свободные топологические группы занимают в теории топологических групп такое же место, какое в теории абстрактных групп занимают свободные группы.

За последующее десятилетие Граев, Накаяма и Какутани значительно упростили доказательства основных утверждений марковской теории свободных топологических групп и получили ряд новых теорем о свободных топологических группах, более полно вскрывающих их строение и в определенной мере параллельных результатам теории абстрактных свободных групп. Полученные результаты привлекли внимание А. И. Мальцева, который считал, что наиболее естественное место теории абстрактных свободных групп — в рамках общей теории алгебраических систем, и побудили его создать общую теорию свободных топологических алгебраических систем. Он написал большую статью, которая вышла в свет в 1957 году в «Известиях» [16] и в которой излагались основы теории свободных топологических универсальных алгебр с самых общих позиций (в частности, он не требовал тихоновости от порождающего топологического пространства, и место вложения порождающего пространства в свободную топологическую группу занимало непрерывное каноническое отображение этого пространства в его свободную топологическую универсальную алгебру). В той же статье Мальцев конструктивно описал топологию свободной топологической универсальной алгебры при помощи трансфинитного процесса неопределенной длины и поставил задачу явного описания топологии свободных топологических групп для произвольных тихоновских пространств (для компактов1^ эта задача была решена еще Граевым в конце 1940-х годов).

Под компактами мы подразумеваем хаусдорфовы компактные (не обязательно метризуемые) пространства.

В диссертации рассматриваются три наиболее важных и потому самых популярных свободных тополого-алгебраических объекта, порождаемых тихоновским пространством X, — свободная топологическая группа F(X) (в смысле Маркова), свободная топологическая абелева группа А(Х) и свободное локально выпуклое пространство L(X). Эти объекты характеризуются соответствующими универсальными свойствами. Так, группа F(X) допускает следующее описание: X топологически вкладывается в F(X), и для любого непрерывного отображения / пространства X в топологическую группу G существует и единственен непрерывный гомоморфизм h: F(X) —> G, для которого / = h\x. Группа F(X) как абстрактная группа является свободной группой множества X. Топологию группы F(X) можно определить как сильнейшую групповую топологию, которая индуцирует исходную топологию на X. С другой стороны, свободная топологическая группа F(X) — это абстрактная свободная группа, порожденная множеством X (а значит, любое отображение множества X в произвольную абстрактную группу продолжается до гомоморфизма на F(X)), наделенная самой слабой топологией, относительно которой непрерывны все гомоморфные продолжения непрерывных отображений из X в топологические группы.

Точно так же определяются свободная абелева топологическая группа Л(Х) и свободное вещественное локально выпуклое пространство Ь{Х)\ вместо непрерывных отображений в произвольные топологические группы нужно рассматривать непрерывные отображения в топологические абелевы группы и вещественные ЛВП соответственно, и в случае ЛВП они должны продолжаться до непрерывных линейных отображений. Элементами группы А{Х) (векторного пространства L{X)) служат формальные линейные комбинации элементов из X с целыми (соответственно с вещественными) коэффициентами. При этом А(Х) является топологической подгруппой в Ь{Х) — это теорема Ткаченко-Успенского2).

Топологию на А(Х) и L(X) можно легко описать с помощью следующей конструкции, восходящей к Граеву. Для псевдометрики3^ d

2)М.Г. Ткаченко объявил этот результат в 1983 г. [41], но его доказательство было неполным; через несколько лет В. В. Успенский [51] дал полное доказательство.

3)т.е. «метрики», в которой расстояние между разными точками может быть на множестве X U {0} (0 — нуль в А(Х) или, что то же самое, в Ь(Х)) обозначим через d максимальную инвариантную4^ псевдометрику на А(Х) со свойством <i|xu{o} = d. Существование такой псевдометрики более или менее очевидно, и ее можно вычислить явно. Семейство всех псевдометрик вида d (они называются граев скимщ или максимальными, псевдометриками) определяет топологию свободной топологической абелевой группы А(Х), когда d пробегает множество всех непрерывных псевдометрик на дискретном объединении Хф{0}. Подобным образом можно описать и топологию пространства L(X): всякая непрерывная псевдометрика d на X 0 {0} продолжается до максимальной полунормы \\'\\d на L(X) такой, что ||ж — = d(x,y) для всех х,у 6 X. Все полунормы такого вида определяют топологию на L(X). Конструкция максимальных полунорм подробно описана В. В. Успенским; он же аккуратно доказал, что псевдометрика на L(X), определяемая максимальной полунормой ||*||d, представляет собой продолжение граевской псевдометрики J на А(Х).

На свободной топологической (неабелевой) группе F(X) тоже можно строить граевские продолжения псевдометрик — максимальные инвариантные (относительно левых и правых сдвигов) псевдометрики, продолжающие непрерывные псевдометрики на порождающем топологическом пространстве X. Конструкция таких продолжений также вполне естественна и проста (она подробно описана Граевым), однако они уже не определяют топологию свободной топологической группы, поскольку определяемая ими топология локально инвариантна (т.е. для любой открытой окрестности единицы U найдется такая меньшая окрестность единицы V, что g~1Vrg = U для любого g Е € F(X)), а свободная топология этим свойством, вообще говоря, не обладает. Правда, граевские продолжения определяют самую сильную локально инвариантную групповую топологию, порождающую исходную топологию на X (т.е. любое непрерывное отображение из X в локально инвариантную топологическую группу продолжается до непрерывного гомоморфизма из F(X) с граевской топологией в эту группу) [12].

На самом деле граевские псевдометрики имеют значительно более нулевым.

4)относительно сдвигов на элементы группы, т.е. такую, что всегда d(u,v) = = d(u + w,v + w). глубокие корни, чем теория свободных топологических групп. Пусть X = (X,d) — метрическое пространство. Рассмотрим классическую транспортную задачу, интерпретируя значение метрики d(x,y) как стоимость перевозки единицы массы груза из ж в у. предположим, что груз единичной массы распределен между пунктами .,хп € Х: п причем для каждого гв^ хранится масса Лг- (так что А; = 1). Допуi=i стим, что мы хотим перевезти этот груз в пункты уь ., ут, причем так, чтобы в пункте yj оказалась масса juj (j = 1,. ,т). Минимальная стоимость такой перевозки известна как расстояние Канторовича между ^ixi и Ю/ VjVj- Метрика Канторовича играет весьма важную роль в разных областях математики и прикладных наук, начиная с теории вероятностей и кончая информатикой и теорией хранения данных; недавно вышедший двухтомник [77], посвященный исключительно метрике Канторовича, дает полное представление о современных проблемах и результатах, связанных с транспортной задачей. В то же время легко видеть, что метрика Канторовича совпадает с метрикой, порожденной максимальной нормой ||-||d на свободном ЛВП L(X), и в качестве таковой может быть аппроксимирована граевской метрикой на А{Х) с любой точностью. Метрика Канторовича определена не только на конечных линейных комбинациях элементов X, но и на пространстве вероятностных мер на X (куда X естественно вкладывается в качестве мер Дирака). При переходе от точек к мерам и от сумм к интегралам мы получаем пополнение свободного ЛВП [51], и метрики Канторовича порождены нормами, определяющими топологию этого пополнения.

Как уже отмечалось, еще Мальцев сформулировал (а до Мальцева Граев пытался решить) проблему явного описания топологии свободных топологических групп для произвольных тихоновских пространств. Такие описания были предложены М.Г. Ткаченко (в 1982 г. в терминах универсальных равномерностей на конечных степенях порождающего топологического пространства [39]) и В.Г. Пестовым (в 1985 г. в терминах универсальной равномерности самого порождающего пространства [21]). Однако из этих описаний, которые, естественно, оказались сложными, не удалось извлечь особой практической пользы. Центральное место в первой главе диссертации занимает описание топологии свободной топологической группы произвольного тихоновского пространства в терминах продолжения непрерывных псевдометрик на порождающем пространстве до полунорм на свободной группе. К сожалению, как было сказано выше, граевская конструкция, столь удачно описывающая топологию свободных абе-левых групп и свободных ЛВП, не работает в случае свободных топологических групп, и описать топологию свободной группы с помощью псевдометрик, каждая из которых определяется одной непрерывной псевдометрикой на порождающем пространстве, нельзя; приходится одновременно продолжать целые семейства псевдометрик. Так что построенное описание топологии свободной группы никак нельзя назвать простым; выглядит оно значительно сложнее описаний Пестова и Ткаченко. Однако использование псевдометрик позволяет описывать окрестности единицы неравенствами, а с неравенствами гораздо проще иметь дело, чем следить за отношениями между покрытиями (их пересечениями, композицией, звездной вписанностью и пр.), которые возникают при использовании универсальных равномерно-стей. Доказательством тому служат результаты, которые удается получить с помощью нового описания свободной топологии. Самые важные из них — теоремы о вложении и полноте свободных топологических групп.

Пусть У — подпространство в X. По определению свободной топологической группы вложение Y в X продолжается до непрерывного инъективного гомоморфизма г: F(Y) —> F(X). Гомоморфизм г может не быть топологическим вложением, так что в общем случае F(Y) нельзя рассматривать как топологическую подгруппу в F(X). В тех случаях, когда i является топологическим вложением, мы будем говорить, что F(Y) — естественная топологическая подгруппа в F(X). Аналогичную терминологию будем использовать для А(Х) и Ь(Х). Благодаря граевской конструкции те пары пространств X С Y, для которых A(Y) — естественная подгруппа в А(Х) (и L(Y) — естественное подпространство в L(X)), удалось охарактеризовать еще в 1983 г. (М.Г. Ткаченко [41]); а именно, для подпространства Y в X следующие условия эквивалентны:

• A(Y) является естественной топологической подгруппой в А(Х)]

• L(Y) является естественным топологическим линейным подпространством в Ь(Х)\

• У Р-вложено в X.

Последнее условие означает, что всякая непрерывная псевдометрика на У продолжается до непрерывной псевдометрики на X. Эквивалентные условия: (i) всякое непрерывное отображение из У в замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства допускает непрерывное продолжение на X; (ii) пространство У со своей универсальной равномерностью (сильнейшей равномерной структурой, согласованной с его топологией) является равномерным подпространством пространства X с его универсальной равномерностью. В частности, если подпространство У всюду плотно в X, то оно Р-вложено в X тогда и только тогда, когда X лежит в его пополнении по Дьёдонне tiY.

Один из основных результатов первой главы (теорема 1.1) состоит в том, что тот же критерий верен и для свободных топологических групп, а именно, F(Y) является естественной топологической подгруппой в F(X) тогда и только тогда, когда У Р-вложено в X. (Этой задачей занимались многие авторы в течение долгого времени (см., например, [69, 20, 74, 41, 48, 51]; первый нетривиальный результат принадлежит, по-видимому, Сэмюэлу, который доказал в 1948 г. [79], что свободная топологическая группа тихоновского пространства является естественной подгруппой свободной топологической группы пополнения по Дьёдонне этого пространства.)

Другая важная проблема, которую удается решить с помощью нового описания свободной топологии, — это проблема о полноте свободной топологической группы.

На каждой топологической группе определены три естественные равномерности — левая, правая и двусторонняя. Базисные элементы левой (правой) равномерности получаются левыми (правыми) сдвигами окрестностей единицы, т.е. их умножениями на всевозможные элементы группы. Двусторонняя равномерность — это верхняя грань левой и правой равномерностей. Топологическая группа полна по Вей-лю, если она полна как равномерное пространство относительно левой (или, что равносильно, правой) равномерности, и полна по Райкову, если она полна относительно двусторонней равномерности. Всякая полная по Вейлю группа полна по Райкову. Всякая топологическая группа вкладывается в качестве всюду плотной подгруппы в полную по Райкову группу, определенную однозначно с точностью до изоморфизма. Топологическая группа полна по Райкову тогда и только тогда, когда она замкнута во всякой топологической группе, содержащей ее в качестве подгруппы.

Вопрос о полноте свободной абелевой группы А(Х) был решен М. Г. Ткаченко в 1983 г. [41] (для абелевых групп полнота по Вей-лю совпадает с полнотой по Райкову): А(Х) полна по Вейлю тогда и только тогда, когда X полно по Дьёдонне. Пополнение группы А{Х) отождествимо с A([iX), где цХ — пополнение по Дьёдонне пространства X. Одновременно В. В. Успенский [47] решил ту же задачу для свободных ЛВП. Там ситуация иная: пополнением Ь(Х) служит не L(/iX), а пространство мер с компактным носителем на fiX, поэтому L(X) полно тогда и только тогда, когда X полно по Дьёдонне и не содержит бесконечных компактных подмножеств.

Полученное в диссертации решение проблемы о полноте свободной топологической группы, как и следовало ожидать, совпадает с решением для свободной абелевой группы — группа F{X) полна по Вейлю тогда и только тогда, когда X полно по Дьёдонне (теорема 1.3). Более того, пополнение свободной группы тихоновского пространства отождествимо со свободной группой пополнения по Дьёдонне этого пространства (теорема 1.4). Таким образом, всякая свободная топологическая группа пополняема по Вейлю, что дает ответ на вопрос, поставленный Хантом и Моррисом в 1974 г. [69].

Еще одно следствие из нового описания топологии свободной группы связано с нульмерностью свободной группы. Ясно, что если indF(X) = 0, то indX = 0, поскольку X вкладывается в FM(X), однако обратное неверно: Д. Б. Шахматов построил примеры нормального пространства X и псевдокомпактного пространства У таких, что ind X = ind У = 0, но свободные топологические группы этих пространств не нульмерны [80]. Разными авторами были получены результаты, содержащие достаточные условия нульмерности свободных групп; все эти условия включают в себя нульмерность пространства X в смысле размерности dim: indF(X) = 0, если dimX = 0 и (1) X лиделёфово (В. К. Бельнов [9]); (2) X метризуемо (А. В. Архангельский [5]; в этом случае F(X) также паракомпактно и dimF(X) = 0); (3) X ^-ограничено (М. Г. Ткаченко [43]); (4) X псевдокомпакт-но (М. Г. Ткаченко [45]; в этом случае dimF(X) = 0). Кроме того, М. Г. Ткаченко доказал, что если dimX = 0, то свободная абелева топологическая группа пространства X нульмерна в смысле размерности ind [39]. Из описанной в диссертации конструкции продолжения непрерывных псевдометрик до полунорм на свободной группе довольно просто выводится следующее утверждение (теорема 1.5):

Теорема. Если X — тихоновское пространство и dimX = 0, то 'mdF(X) = 0.

Дело в том, что для нульмерного пространства среди всех полунорм, продолжающих псевдометрики, можно выбрать подсемейство полунорм, которые порождают топологию свободной топологической группы и принимают только рациональные значения; шары с рациональными радиусами относительно этих полунорм образуют открыто-замкнутую базу топологии свободной группы.

Эта теорема также отвечает на вопрос, открытый более тридцати лет (см. [2, 5]) и рассматриваемый многими авторами. Вышеупомянутые примеры Шахматова показывают, что заменить dim на ind в этой теореме нельзя; если понимать dim в смысле Урысона (как в [1]), то заменить ind на dim тоже нельзя, так что в этом отношении теорема неулучшаема5).

Наконец, новое описание топологии оказывается удобным для исследования свойств типа локальной инвариантности в свободных топологических группах (такое исследование проведено в четвертой главе).

Основные результаты первой главы опубликованы в работах автора [31, 32, 84, 85, 91].

Явное конструктивное описание элементов базы окрестностей единицы — лишь один из возможных подходов к описанию топологии свободной топологической группы. Можно также попытаться описать ее топологию с помощью факторных отображений; именно этого подхода придерживался А. И. Мальцев в цитированной выше статье [16]. Трансфинитная конструкция, с помощью которой Мальцев описывал свободные топологии универсальных алгебр, состоит в следующем (для простоты мы будем рассматривать свободную группу

5)Она неулучшаема также и в том отношении, что получить подобные общие утверждения для ненулевых конечных размерностей нельзя: нетрудно построить одномерные пространства X и У, для которых indF(X) = dim F(X) = Indi?(X) = = 1 и ind F(Y) = oo.

F(X)). Пусть X~l — гомеоморфная копия пространства X (каждой точке х £ X соответствует точка ж-1 £ Х-1), и пусть X © X — дискретное объединение пространств X и Х-1. Умножение в свободной топологической группе должно быть непрерывным, а топология этой группы должна индуцировать на X (и на X ф Х-1) исходную топологию, поэтому в качестве первого шага (первой топологии Т0 на F(X)) естественно рассмотреть самую сильную топологию такую, что для произвольной окрестности U £ Т0 любого слова Х\. .хп, где п£Миж;£Хф Х-1, найдутся открытые окрестности букв Xi в X ф Х-1, групповое произведение которых (как подмножеств свободной группы) содержится в U, т.е. естественное отображение умножения i: ф {X фХ-1)" —> F{X) из дискретного объедиnGN нения пространств (X ф Х1)п в F(X), сопоставляющее набору букв (xi,. .,хп) произведение этих букв в F(X) (т.е. слово х^ . .хп), непрерывно. Таким образом, Т0 — это фактор-топология, определяемая естественным отображением умножения i, т.е. та единственная топология, относительно которой отображение i факторно. Топология То может не быть групповой; тогда мы берем самую сильную топологию Ti на F(X) такую, что естественное отображение умножения 0(F(X),To)n —> (F(X),7i) непрерывно, и т. д. В результате получается убывающая трансфинитная последовательность топологий, которая из мощностных соображений должна в некоторый момент стабилизироваться. Эта стабилизированная топология и есть топология свободной топологической группы.

Следует признать, что такой подход к построению свободной топологии выглядит очень естественно. Однако проследить за тем, как меняются топологии на каждом следующем шаге или хотя бы понять, в какой момент топологии стабилизируются, — задача необычайно трудная. Можно лишь сказать, что если все сужения \п = i^xex-1)" (рассматриваемые как отображения на их образы Fn(X) — множества слов длины, не превосходящей п) факторны и свободная топологическая группа является индуктивным пределом своих подпространств Fn(X), то мальцевский трансфинитный процесс стабилизируется уже на первом шаге — Т0 в этом случае совпадает со свободной топологией группы F(X), и естественное отображение умножения i факторно относительно свободной топологии; верно и обратное. Подобная ситуация складывается довольно редко (это показывают, в частности, результаты второй главы). Иногда отображение i все же бывает факторным — например, для компактных X (это заметил сам Мальцев [16]).

Тем не менее кажется естественным попытаться описать свободную топологию в терминах факторных отображений из степеней пространства X или пространств, получающихся из них каким-нибудь явным способом. Такое описание предлагается в первом параграфе второй главы.

Заметим, что дискретная сумма пространств {X 0 Х~1)п 6) естественно вкладывается в сг-произведение гп(Х 0 {е} ф = { (zn)n€N :хпеХф{е}ф Х~\\{хпфе}\< и;} с ящичной топологией; здесь Х0{е}0Х-1 — дискретное объединение пространств X, Х-1 и {е} (е — единица группы F{X) — является изолированной точкой в этом объединении). Отображение умножения i естественно продолжается до отображения i: иD(X0{e}0X-1f^F(X), которое каждой точке ставит в соответствие произведение ее координат (считаем, что произведение бесконечного числа единиц равно единице). Поскольку i — это композиция факторного отображения i&а(Х 0 {е} 0 X1)N ф Х-1)", которое каждой точке ставит в соответствие набор ее неединичных координат, и отображения i, факторность отображения i равносильна факторности i. В литературе обычно рассматривают именно i (чаще даже сужения (X 0 {е} 0 Х-1)" —> Fn(X) этого отображения на конечные степени дискретной суммы X 0 {е} 0Х-1, естественно вложенные в <Тп(Х 0 {е} 0X-1)N). Мы также придерживаемся этой традиции.

В первом параграфе второй главы мы показываем, что существует простая модификация произведения 0"а(Х 0 {е} 0 X-1)N, на которой все еще определено естественное отображение умножения в свободную топологическую группу F(X), причем оно непрерывно и открыто. Модификация состоит в изменении нумерации сомножителей —

6) Кстати, она представляет собой не что иное как свободную топологическую полугруппу над алфавитом X ф Х-1. они индексируются рациональными, а не натуральными, числами — и в замене сомножителей X ф {е} ф X"1 на их четные степени (точнее, на четные степени пространства ХфХ-1), профакторизованные по диагонали. Таким образом, F{X) все-таки можно представить как фактор-пространство некоторого пространства, которое получается из X с помощью простых операций.

Несмотря на то, что предложенная конструкция описывает топологию свободной топологической группы в терминах произведений и факторных отображений, разумеется, несравненно удобнее иметь дело со свободными топологическими группами тех пространств, для которых все отображения факторны, а сама группа F(X) является прямым пределом своих подпространств Fn(X) (т.е. естественное отображение умножения i факторно) или выполнено хотя бы одно из этих условий. К сожалению, об условиях факторности отображений in известно чрезвычайно мало: В. Г. Пестов охарактеризовал те пространства, для которых отображение i2 факторно (а именно, он доказал, что i2 факторно тогда и только тогда, когда X строго коллективно нормально, т.е. любая открытая окрестность диагонали в X2 является равномерным окружением диагонали относительно универсальной равномерности пространства X [19]), а Фэй, Ордман и Томас доказали, что i3 не факторно даже для пространства рациональных чисел [60]. Кроме того, М.Г. Ткаченко [45] распространил утверждение о факторности отображения i (а значит, и всех in) с компактов на более широкий класс пространств, включающий пространства счетно компактные и нормальные в любой конечной степени.

Во втором параграфе второй главы исследуется вопрос о факторности отображений i3 и i4. Доказано, что если X — тихоновское пространство и отображение i4 факторно, то пространство X строго коллективно нормально и отображение 8х х $х '• (X х X) х {X х X) —> —» (X х X)/А х (X х X)/А факторно (теорема 2.2), а если отображение i3 факторно, то пространство X строго коллективно нормально и отображение 5Х х idx: {X х X) х X —У (X х X)/А х X факторно (теорема 2.3); здесь Д — диагональ в X х X, $х — фактор-отображение X х X —> (X х X)/А и idx — тождественное отображение X —> X. Из этих теорем получается ряд следствий, основанных на том, что указанные отображения не факторны для некоторых простых тестовых пространств.

Оставшаяся часть главы посвящена исследованию вопроса о том, когда F(X) является индуктивным пределом своих подпространств Fn{X) (напомним, что это свойство является второй составляющей факторности естественного отображения умножения i). Этот вопрос изучен лучше, чем факторность отображений in. Первый результат (положительный ответ для компактов) получил еще Граев в 1948 г. [11]. Затем Мак, Моррис и Ордман (1973 г., [70]) распространили результат Граева на /^-пространства (индуктивные пределы счетной последовательности компактов). По-видимому, самый сильный результат принадлежит Ткаченко [45], который доказал, что если X — Р-пространство или Сш-пространство (индуктивный предел возрастающей последовательности своих подпространств Хп таких, что X£ счетно компактно и строго коллективно нормально для любых п и А;), то F(X) является индуктивным пределом своих подпространств Fn(X). Ткаченко также охарактеризовал псевдокомпактные пространства X с тем же свойством. Пестов и Лмада [75] дали полное описание метризуемых X, для которых F{X) является индуктивным пределом подпространств Fn(X) и тех метризуемых X, для которых А(Х) является индуктивным пределом своих подпространств Ап(Х) (Ап(Х) определяется аналогично Fn(X) — как множество слов длины, не превосходящей п).

В диссертации охарактеризованы счетные пространства X с единственной неизолированной точкой, для которых F(X) (А(Х)) — индуктивный предел подпространств Fn(X) (Ап(Х)). Характеризация простая — пространство X (точнее, фильтр окрестностей единственной неизолированной точки) должно быть Р-фильтром. Для ультрафильтров это условие означает, что ультрафильтр является Р-точкой в /?N\N. Полученный результат позволил привести пример пространства X такого, что

1) F(X) и А{Х) — индуктивные пределы подпространств Fn(X) и Ап(Х) соответственно;

2) X — счетное пространство с единственной неизолированной точкой;

3) все (псевдо)компактные подпространства в X конечны, так что X — не кш- (и даже не к-) пространство и не Су-пространство.

Таким образом, показано, что ни одно из известных достаточных условий того, что F(X) — индуктивный предел Fn(X) (в общем — неметризуемом — случае), не является необходимым. Кроме того, получены некоторые необходимые условия.

Эти необходимые условия удивительно похожи на необходимые условия факторности отображений i3 и i4 из второго параграфа; конец второй главы посвящен обсуждению этого сходства. В частности, показано (теорема 2.9), что для метризуемого пространства X естественное отображение умножения i: ф (X ф {е} ф Х-1)" —)■ F{X) n€N факторно тогда и только тогда, когда F(X) является индуктивным пределом своих подпространств Fn(X).

Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [86, 89] и в совместной работе [24] автора и Е. А. Резниченко (в диссертацию включены результаты первого параграфа этой работы, которые получены автором; Е. А. Резниченко принадлежат результаты второго параграфа).

Если в первом параграфе второй главы рассматривались факторные отображения в свободные топологические группы, то в первом параграфе третьей рассматриваются факторные отображения (более того, ретракции) из свободных топологических групп.

Когда топологическое пространство X является ретрактом некоторой топологической группы G? Этот вопрос равносилен такому: когда топологическое пространство X является ретрактом своей свободной топологической группы F(X)7 В самом деле, пусть г: G —> X — ретракция. Продолжим вложение X в G до непрерывного гомоморфизма h: F(X) G и рассмотрим композицию ho г. Получится снова ретракция.

Сформулированный выше вопрос тесно связан с вопросом о существовании на X непрерывной операции Мальцева. Напомним, что операция Мальцева на множестве X — это отображение /: X3 —> X такое, что f(x,y,y) = /(у, у, х) = х для любых ж, у 6 X. Если пространство X является ретрактом топологической группы G, то на X существует непрерывная операция Мальцева — ее можно определить, положив f(x,y,z) = г(х • у-1 • z) (где г — ретракция G на X, а точкой обозначено умножение в группе G — оно определено для элементов X, поскольку X вложено в G). Основной результат первого параграфа второй главы состоит в том, что для компактов верно и обратное: всякий компакт (и даже счетно компактное пространство) с непрерывной операцией Мальцева является ретрактом топологической группы. Более того, если тихоновское пространство X таково, что естественное отображение умножения i из конечных степеней пространства X 0 {е} ф Х-1 в F(X) факторно и X обладает непрерывной операцией Мальцева, то X является ретрактом топологической группы (теорема 3.1).

Заметим, что долгое время оставалось неясным, а не совпадают ли классы пространств с непрерывной операцией Мальцева и ретракты топологических групп? Автору совместно с П. Гартсайдом и Б. А. Рез-ниченко удалось построить пример пространства с непрерывной операцией Мальцева, которое не является ретрактом группы [63].

Вряд ли следует объяснять, почему пространства с операцией Мальцева и ретракты топологических групп представляют интерес; достаточно упомянуть, что все компакты с непрерывной операцией Мальцева (=ретракты групп) являются пространствами Дугун-джи [100].

Во втором параграфе рассматриваются ретракты свободных локально выпуклых пространств7). Для этой цели естественнее всего привлечь теорему Дугунджи.

Знаменитая теорема Дугунджи о продолжении [59] гласит, что если F — замкнутое подмножество метризуемого пространства X, а Е — локально выпуклое пространство (ЛВП), то существует линейный оператор продолжения Ф: C(F,E) —> С'(Х: Е) такой, что для всякого отображения / £ C(F, Е) образ его продолжения Ф(/)(Х) содержится в выпуклой оболочке образа f(F) самого отображения / и оператор Ф непрерывен при наделении обоих пространств C(F,E) и С(Х,Е) топологией поточечной сходимости, компактно-открытой топологией или топологией равномерной сходимости. (Как обычно, C(Y, Z) — пространство непрерывных отображений из Y в Z\ словосочетание

7)3десь впервые на сцену выходят свободные ЛВП. Дело в том, что проблемы, обсуждавшиеся до сих пор, для ЛВП либо решены (как, например, вопрос о вложении свободного ЛВП над подпространством или вопрос о полноте), либо имеют мало смысла (в частности, свободное ЛВП Z(X) не является индуктивным пределом подпространств, состоящих из линейных комбинаций ограниченной длины или из линейных комбинаций ограниченной длины с ограниченными по модулю коэффициентами, — естественных аналогов множеств Fn(X), — если X содержит бесконечный компакт; это показано в последней главе). оператор продолжения» означает, что сужение отображения Ф(/) на F всегда совпадает с /.)

В 1966 году Борхес [55] обобщил теорему Дугунджи с метризуе-мых пространств на пространства X из более широкого класса, известного в то время как класс Мз-пространств. Из-за того, что эти пространства оказались чрезвычайно важными и полезными, Борхес предложил использовать для них специальный термин — stratifiable; с тех пор они так и называются. С легкой руки А. В. Архангельского в русской литературе их принято называть кружевными. По своим топологическим свойствам кружевные пространства очень близки к метризуемым; в частности, все они паракомпактны и совершенно нормальны (см. [65]). Однако свойство пространства быть кружевным сохраняется замкнутыми отображениями [55], поэтому класс кружевных пространств существенно шире класса метризуемых пространств. Он включает в себя, в частности, все клеточные комплексы, а также, как недавно доказал С. А. Шкарин [81], многие неметризуе-мые ЛВП, естественно возникающие в функциональном анализе (такие как D — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций, D' — пространство обобщенных функций, S' — пространство обобщенных функций умеренного роста, £' — пространство финитных обобщенных функций) с их естественной топологией.

Существует много эквивалентных определений кружевных пространств, большинство которых выглядят пугающе сложными. С определением кружевного пространства легче всего смириться, если рассматривать свойство быть кружевным пространством как монотонный аналог совершенной нормальности: пространство X называется кружевным, если каждое замкнутое в X множество F можно так представить в виде пересечения F = Un{F) = р) Un(F), где все Un{F) открыты, что и для любого замкнутого F' С F Un(F') С Un(F) при всех п.

Основной результат второго параграфа состоит в том, что свободное локально выпуклое пространство кружевного пространства является кружевным (теорема 3.2); отметим, что свободные ЛВП бесконечных пространств никогда не бывают метризуемыми.

В последнем параграфе обсуждаются следствия теоремы 3.2. Из теоремы Дугунджи для кружевных пространств вытекает, что всякое замкнутое выпуклое подмножество F кружевного ЛВП Е является ретрактом этого ЛВП — чтобы получить ретракцию, достаточно продолжить тождественное вложение id: F^EkslX = Eb соответствии с теоремой Дугунджи-Борхеса. Таким образом, всякое выпуклое подмножество свободного ЛВП L{X) над кружевным пространством X, в частности, пространство вероятностных мер с конечным носителем на X (которое совпадает с выпуклой оболочкой множества X в L(X)), является ретрактом пространства Ь(Х). Кроме того, если F — кружевное выпуклое подмножество некоторого ЛВП Е, то F является ретрактом некоторого другого ЛВП, а именно, своего свободного ЛВП L(F), — ретракция получается продолжением вложения id: F Е на X = L(F). Для некружевных пространств это не так — нетрудно построить пример компактного выпуклого подмножества в ЛВП, которое не является ретрактом никакой топологической группы.

Основные результаты третьей главы опубликованы в [36, 37, 87, 88, 90, 93].

Как уже упоминалось, граевская топология (определяемая гра-евскими продолжениями псевдометрик), вообще говоря, не является свободной, потому что она локально инвариантна. Однако иногда эта топология все же совпадает со свободной. В первом параграфе четвертой главы дается полное описание всех таких случаев.

По-видимому, локально инвариантные топологические группы (в зарубежной литературе они чаще именуются SIN-группами; это группы, имеющие базу в единице, чьи элементы инвариантны относительно внутренних автоморфизмов) были впервые введены в 1950 М.И. Граевым [12], который назвал их группами с инвариантным базисом и доказал, что топологическая группа локально инвариантна тогда и только тогда, когда она топологически изоморфна подгруппе тихоновского произведения топологических групп, метризуемых двусторонне инвариантными метриками. Подгруппы произведений метрических групп с неинвариантными метриками могут не быть локально инвариантными, но они тоже обладают свойством типа инвариантности: Г. И. Кац [14] доказал в 1953 г., что топологическая группа G топологически изоморфна подгруппе произведения групп с первой аксиомой счетности (т.е. метризуемых) тогда и только тогда, когда для каждой открытой окрестности U единицы существует семейство {Кг}ПбМ открытых окрестностей единицы такое, что для любого д £ G д 1Vng С U при некотором п £ N. В [14] такие группы названы группами с квазиинвариантным базисом.

А. В. Архангельский [5] распространил определение Г. И. Каца на большие кардиналы, введя понятие т-уравновешенных групп. Мы вводим формально новое (а по сути то же, что у Архангельского) понятие т-локалъно инвариантных групп, которое совпадает с локальной инвариантностью для г = Но? и даем характеристику всех пространств, для которых свободная топологическая группа т-локально инвариантна, в терминах свойств типа ограниченности этих пространств (теоремы 4.2 и 4.3 и следствие 4.1). Грубо говоря, г-локальная инвариантность получается из локальной инвариантности заменой одной окрестности единицы U на < т: требуется, чтобы в каждой окрестности единицы U содержалось семейство окрестностей единицы {Va}a<ri, где т' < г, такое, что для всякого д £ G g~lVag С С U при некотором а < т'. Кроме того, исследуется в некотором роде двойственный объект — r-тонкие подмножества свободной топологической группы, т.е. такие подмножества, сопряжение элементами которых не сильно увеличивает достаточно малые окрестности единицы (например, подмножество А тонко в топологической группе G, если для любой окрестности единицы U найдется такая окрестность единицы V, что a~lVa С U для всех а £ Л).

Во втором параграфе четвертой главы предлагается общая конструкция, позволяющая строить на F{X) групповые топологии, индуцирующие исходную топологию на X (теорема 4.4). Так, например, для всякого нульмерного в смысле ind пространства X с помощью этой конструкции строится локально инвариантная ind-нульмерная (и даже имеющая базу из нормальных подгрупп в единице) групповая топология на F{X) того же веса, сетевого веса и плотности, что и X, и такая, что само пространство X, его конечные степени и множества Fn{X) замкнуты в F{X) относительно этой топологии (теорема 4.8).

Третий параграф содержит краткое обсуждение несвободных топологий на свободных векторных пространствах, в частности, слабой топологии. Доказано, что слабая топология практически никогда не совпадает со свободной (утверждение 4.1). Кроме того, рассматриваются пространства мер с разными топологиями в контексте свободных ЛВП и их вложения в функциональные пространства; оказывается, «свободная» (в естественном смысле) топология на пространстве вероятностных мер с компактным носителем (которое содержит выпуклую оболочку пространства X в его свободном векторном пространстве) уже может совпадать со слабой (утверждение 4.2).

Наконец, в последнем параграфе производится попытка обобщить основополагающие свойства свободных топологических групп на свободные локально выпуклые пространства («попытка» — потому что некоторые свойства не выполняются для свободных ЛВП; в таких случаях доказываются соответствующие контрутверждения). Свойства эти таковы:

1) если X — тихоновское пространство, G — топологическая группа и /: X G — факторное отображение, то гомоморфизм /: F{X) —> G, продолжающий отображение /, открыт [2];

2) множество Fn(X) всех слов длины, не превосходящей п, замкнуто в F(X) [18];

3) всякое компактное подмножество группы F(X) содержится в Fn(X) для некоторого п [96];

4) если X — компакт, то F(X) является индуктивным пределом возрастающей последовательности своих компактных подпространств Fn{X) {п € N) [12];

5) подгруппа группы F(X), порожденная замкнутым подмножеством пространства X, замкнута в F(X) [18];

6) для всякого натурального п Хп гомеоморфно вкладывается в F(X) в качестве замкнутого подпространства [96].

Кроме того,

7) свободная топологическая группа F(X) метризуема тогда и только тогда, когда X дискретно [4, (4.14)].

Для свободных ЛВП верны аналоги всех этих утверждений, кроме 3) и 4). Естественно, утверждение 6) для ЛВП, как и для абе-левых групп, следует изменить — Хп нужно профакторизовать по порядку сомножителей (мы доказываем измененную версию для свободных абелевых групп, откуда немедленно вытекает соответствующее утверждение для свободных ЛВП). Кроме того, метризуемость

Терминология и обозначения

Мы даем определения большей части используемых понятий и обозначений в этом разделе или непосредственно в тексте диссертации. Недостающие определения, а также факты, используемые без ссылок, можно найти в книге Р. Энгелькинга «Общая топология» [53], в первом томе двухтомника Э. Хьюитта и К. Росса «Абстрактный гармонический анализ» [52]8^ и в книге «Топологические векторные пространства» А. Робертсона и В. Робертсон [25].

Все рассматриваемые в диссертации топологические пространства предполагаются тихоновскими (т.е. вполне регулярными Т\-пространствами), если явно не оговорено противное. Под ЛВП мы подразумеваем вещественные хаусдорфовы локально выпуклые топологические векторные пространства.

Под компактами понимаются хаусдорфовы компактные (не обязательно метризуемые) пространства.

Обозначение N используется для множества всех натуральных (положительных целых) чисел, а обозначение N0 — для множества всех неотрицательных целых чисел. Как обычно, Q — это множество рациональных, а К. — вещественных чисел.

Псевдометрика определяется так же, как метрика, за исключением того, что она может принимать нулевые значения на парах разных точек.

Для псевдометрики р на множестве X, числа а > 0 и точки х £ X Вр{х, а) = {у е X: р(х,у) < а} шар радиуса а с центром в х относительно псевдометрики р.

Псевдометрика р на множестве X называется неархимедовой, если p(x,z) ^ тах{р(ж, у),р(у,г)} при всех x,y,z Е X.

Пространство X является индуктивным (или прямым) пределом семейства своих подпространств {Ха : а € А], если множество А С С X замкнуто тогда и только тогда, когда каждое пересечение АГ\Ха

8'В этой книге содержится определение топологической группы, а также основные факты, касающиеся топологических групп, такие как тихоновость любой отделимой группы, аксиомы, описывающие базу топологии в единице, метризуемость группы с первой аксиомой счетности и т.п. замкнуто в Ха, или, что тоже самое, если А С X открыто тогда и только тогда, когда каждое пересечение А П Ха открыто в Ха.

Топологическое пространство называется к-пространством (кш-пространством), если оно является индуктивным пределом некоторого семейства (возрастающей последовательности) своих компактных подпр о странств.

Говорят, что подмножество А топологического пространства X имеет тип Gs (или является Gs-множеством), если А есть пересечение счетного числа открытых множеств. Подмножество А имеет тип G\, где Л — кардинал, если А есть пересечение Л открытых множеств. Точка в топологическом пространстве называется Р-точкой, если она лежит во внутренности множества типа Gj. Пространство, в котором все точки являются Р-точками, называется Р-пространством.

Мы говорим, что подмножество А топологического пространства X ограничено, если всякая непрерывная функция /: X —> К. ограничена на А.

Символом |Л| обозначается мощность множества А.

Для бесконечного кардинала г через с/(г) обозначается его конфинальность, т.е. минимум мощностей всех таких множеств Л, что кардинал г допускает представление т — та, где та < т при всех а€А а в А.

Отображение f: X Ц- Y топологических пространств факторно, если в У открыты те и только те множества, которые имеют открытые прообразы в X, или, что то же самое, если в У замкнуты те и только те множества, которые имеют замкнутые прообразы в X. Иными словами, топология пространства У должна быть самой сильной из всех топологий, относительно которых отображение / непрерывно. Непрерывное отображение /: X У называется ретракцией, если У С X и сужение / на У является тождественным отображением; в этом случае У называется ретрактом пространства X и автоматически оказывается замкнутым в X. Отображение f:X->Y называется компактно накрывающим, если для всякого компакта К С Y найдется компакт К' С X, для которого f(K') = К.

Носитель функции /: X R — это множество supp / = {х € eX:f(x)^ 0}.

Мы используем стандартное обозначение СР(Х) (Сс(Х)) для пространства всех непрерывных функций на X с топологией поточечной сходимости (с компактно-открытой топологией, т.е. с топологией равномерной сходимости на компактах).

Под компактным расширением (компактификацией) топологического пространства мы подразумеваем любой компакт, содержащий это пространство в качестве всюду плотного подмножества.

Через (ЗХ обозначается стоун-чеховскал компактификация пространства X, которая характеризуется тем свойством, что любое непрерывное отображение пространства X в компакт продолжается до непрерывного отображения его компактификации (ЗХ в этот компакт.

Универсальная равномерность на топологическом пространстве определяется как сильнейшая из всех равномерностей, индуцирующих топологию этого пространства. Пространство называется полным по Дъёдонне, если оно полно относительно этой равномерности. Пополнение по Дъёдонне — это пополнение по универсальной равномерности.

Пусть G — топологическая группа и Ъ — база ее топологии в единице. Каждый элемент U 6 Ъ определяет три покрытия пространства группы G: 7/(С7) = {gU}g€G, 7r{U) = {Ug}geG и j(U) = {gUh}gihEG. Обозначим через С/, 6Г и С совокупности всех покрытий G, в которые вписаны покрытия вида yi(U), 1Г(Ц) и l(U) соответственно (U 6 Ъ). Каждая из этих совокупностей порождает равномерность на G, индуцирующую исходную топологию. Первая равномерность называется левой равномерностью, вторая — правой, и третья — двусторонней. Топологическая группа полна по Вейлю, если она полна относительно левой (или, что то же самое, правой) равномерности; топологическая группа полна по Райкову, если она полна относительно двусторонней равномерности. Пополнение топологической группы по левой (или, эквивалентно, по правой) равномерности как равномерного пространства может не быть топологической группой. Топологическая группа называется пополняемой по Вейлю, если она топологически изоморфно вкладывается в полную по Вейлю группу в качестве (всюду плотной) подгруппы. Пополнение топологической группы по двусторонней равномерности всегда является топологической группой и называется пополнением по Райкову.

Для абелевых групп левая, правая и двусторонняя равномерности совпадают, поэтому для них нет смысла различать полноту по Вейлю и по Райкову. Под полнотой локально выпуклого пространства подразумевается его полнота как абелевой группы.

Топологическое пространство называется коллективно нормальным, если для любого дискретного семейства {Fa}aGA замкнутых множеств в этом пространстве найдется дискретное семейство {[/,а}аел открытых множеств, для которых Fa С Ua при каждом а £ А.

Топологическое пространство X строго коллективно нормально, если любая открытая окрестность диагонали в X2 является равномерным окружением диагонали относительно универсальной равномерности пространства X. Из строгой коллективной нормальности вытекает коллективная нормальность, и из паракомпактности вытекает строгая коллективная нормальность.

Подпространство У Р-вложено в пространство X, если любая непрерывная псевдометрика на Y продолжается до псевдометрики на X (или, что то же самое, если универсальная равномерность пространства X индуцирует на Y универсальную равномерность пространства У)

Пространство X называется монотонно нормальным, если любой паре F С U, где F замкнуто и U открыто в X, можно поставить в соответствие открытое множество V(F, U) так, что F С V(F, U) С С V(F, U) С U ж для любой меньшей пары F' С U' замкнутого и открытого множеств (т.е. такой, что F' С F и U' С U) V(F', U') С С V(F, U).

Пространство X называется кружевным, если каждое замкнутое в X множество F можно так представить в виде F = f]Un(F) = = р| Un(F), где все Un(F) открыты, что для любого замкнутого F' С С F Un{F') С Un{F) при всех п. Свойство быть кружевным пространством сильнее монотонной нормальности.

Если 7 и 7; — семейства подмножеств множества X (например, его покрытия), то запись 7^7' означает, что 7 вписано в 7',

7 д 7' = | А П В :АЕ7,В G 7', А П В ^ 0} минимальное семейство, вписанное в 7 и 7' одновременно, и

Т ° т' = {(J St7 А : А £ 7'}, где St7 А = {В 6 7 : А П В ф 0} — звезда множества А относительно 7. Семейство 7 сильно звездно вписано в семейство 7', если 707^7'.

Подмножество А частично упорядоченного множества (Р, называется антицепью, если ни для каких различных х,у € А не существует z £ Р такого, что х ^ z и у ^ г.

Символом ф мы обозначаем операцию дискретной топологической суммы пространств. Так, если Ха для а Е А — топологические пространства, то ф Ха это пространство, представляющее собой дизъctEA юнктное объединение множеств Ха и наделенное топологии индуктивного предела семейства {Ха : a G А}.

Мы используем стандартное обозначение Sn для множества всех перестановок элементов множества {1,., п}.

В диссертации упоминаются следующие кардинальные инварианты произвольного тихоновского пространства X: w(X) (вес) — наименьшая мощность базы топологии пространства X; nw(X) (сетевой вес) — наименьшая мощность сети пространства Х9); d(X) (плотность) — наименьшая мощность всюду плотного множества в X; с(Х) (число Суслина) — наименьший кардинал г такой, что X не содержит дизъюнктного семейства открытых множеств мощности больше г;

Ъ(Х) (степенью ограниченности) — наименьший кардинал т такой, что X не содержит дискретного семейства открытых множеств мощности г; е(Х) (экстент) — наименьший кардинал т такой, что X не содержит замкнутого дискретного подмножества мощности больше т; х{х,Х) (характер в точке х 6 X) — наименьшая мощность базы топологии пространства X в точке х\

9) Сетью называется такое семейство N подмножеств X, что для любой точки х € X я любой ее открытой окрестности U найдется N € ЪГ, для которого х € £ N С U. Говоря неформально, сеть — это то же, что база топологии, только ее элементы не обязательно открыты. х(Х) (характер) — наименьший кардинал т такой, что X) ^ ^ г для всех х £ X; ф(х, X) (псевдохарактер в точке х £ X) — наименьшая мощность семейства открытых подмножеств X, чьим пересечением является точка х; ф{Х) (псевдохарактер) — наименьший кардинал г такой, что ф(х, X) ^ г для всех х Е X.

Свободная топологическая группа (свободная абелева топологическая группа, свободное локально выпуклое пространство) топологического пространства10^ X — это такая топологическая группа F(X) (абелева топологическая группа А(Х), локально выпуклое пространство L(X)), что X топологически вкладывается в F(X) (в А(Х), в Ь(Х)) и для любого непрерывного отображения / пространства X в топологическую группу G (в топологическую абелеву группу G, в локально выпуклое пространство Е) существует и единственен непрерывный гомоморфизм /: F(X) —> G (непрерывный гомоморфизм /: А(Х) —» G, непрерывное линейное отображение /: L(X) Е) такой, что / = f\x- Как абстрактные алгебраические объекты F(X), А(Х) и L(X) являются, соответственно, свободной группой, свободной абелевой группой и векторным пространством с базисом X. Элементами свободной группы F(X) служат слова, составленные из букв алфавита X UX-1, с отношением эквивалентности, порожденным равенствами g£e£eh = gh для любых g, h Е F(X), а; £ I и £ = ±1 и с операцией конкатенации (приписывания). Когда мы говорим о словах как элементах свободных групп (или векторных пространств), мы всегда имеем в виду элементы (классы эквивалентности), чьими представителями (записями) являются данные слова. Единица группы F(X) — пустое слово — обозначается как е. Слово — запись элемента группы F(X) — называется несократимым (приведенным), если оно не содержит пар стоящих рядом букв вида хх~1 или х~1х. Элементами группы А(Х) (векторного пространства L(X)) служат формальные линейные комбинации элементов из X с целыми (соответственно с

10) Напомним, что под топологическими пространствами мы подразумеваем тихоновские пространства — здесь требование тихоновости весьма существенно. вещественными) коэффициентами с естественным отношением эквивалентности. Эти линейные комбинации мы тоже называем словами. Слово — запись элемента А(Х) (Ь(Х)) — несократимо, если оно не содержит пар вида х, —х (слагаемых с одинаковыми буквами — элементами X). Ноль группы А(Х) и векторного пространства L(X) обозначается как 0.

Мы обозначаем моноид всех (в том числе сократимых) слов в алфавите X U X1 с единицей е через S(X). Для g = . хепп G S(X), где Xi G X и £i = ±1, мы используем формальное обозначение g1 для слова x~Sn . .яр1 G -^(Х). Свободную группу F(X) можно интерпретировать как подмножество (но не подмоноид!) моноида 5*(Х), состоящее из всех несократимых слов. В таком случае произведение двух слов в F(X) -— это слово, которое получится, если записать два данных слова подряд и последовательно вычеркнуть из получившегося слова все пары букв вида хех~е.

Мы полагаем

In

S*(X) = {ж*1 . хе£ € S(X) : п G N, х{ G X, = ±1, е,- = о} U {е}, i=i In

F*(X) = j^1 . хе£ G F{X) : n G N, x{ G X, e,- = ±1, ^ = o} U {e} i=1 и n

L*(X) = G L(X) : n G N, А,- G R,®,- G Х,^Аг- = о}. г=1

Для g, h G <5*(Х) запись g = h означает, что слова g и h равны как элементы моноида S(X), т.е. имеют одинаковое число букв и их соответственные буквы совпадают. Для обозначения равенства приведенных форм этих слов используется запись g = h. Когда g и h рассматриваются как элементы моноида S(X) или его подмоноида 5*(Х), gh обозначает конкатенацию слов g и h, т.е. слово, которое получается, если написать g и h друг за другом. Когда речь идет о словах g и h как элементах группы F(X) или ее подгруппы F*(X), та же запись обозначает групповое произведение слов g и h.

Если g — слово из S(X), то его длина 1(g) — это число букв в слове g, а если это слово из F(X), А(Х) или L(X), то длина этого

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНА ЧЕНИЯ 30 слова равна числу букв в его несократимой записи. Мы используем обозначения Fn(X), Ап(Х) и Ln(X) для множеств слов длины, не превосходящей п, в F(X), А(Х) и L(X) соответственно.

Как правило, слова (элементы свободных групп и ЛВП), упорядоченные наборы (элементы произведений множеств) и другие «векто-роподобные» объекты выделяются полужирным шрифтом в отличие от составляющих их букв, координат и т.п. Исключение составляет первая глава, где этого не делается из эстетических соображений по причине обилия тильд.

1. П. С. Александров, Б. А. Пасынков, Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М.: Наука, 1973.

2. А. В. Архангельский, Об отображениях, связанных с топологическими группами, Докл. Акад. Наук СССР, 1968, т. 181, №6, с. 1303-1306.

3. А. В. Архангельский, Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969.

4. А. В. Архангельский, О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств, УМН, 1980, т. 35, вып. 3, с. 3-22.

5. А. В. Архангельский, Классы топологических групп, УМН, 1981, т. 36, вып. 3, с. 127-146.

6. А. В. Архангельский, Пространства функций в топологии поточечной сходимости. Часть I, в кн. Общая топология. Пространства функций и размерность, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985, с. 366.

7. А. В. Архангельский, Алгебраические объекты, порожденные топологической структурой, в кн. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 25, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987, с. 141-198.

8. А. В. Архангельский, Топологические пространства функций, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

9. В. К. Бельнов, О размерности свободных топологических групп, Тезисы IV Тираспольского симпозиума по общей топологии и ее приложениям, Кишинев: Штиинца, 1979, с. 14-15.

10. А. А. Борубаев, А. А. Чекеев, О г-полноте топологических групп, Зап. Научи. Сем. Санкт-Петербург. Отдел. Мат. Инта им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ), 1997, т. 208, Исслед. по топол. 7, с. 103-114, 220-221.

11. М. И. Граев, Свободные топологические группы, Изв. Акад. Наук СССР. Сер. матем., 1948, т. 12, с. 279-324.

12. М. И. Граев, Теория топологических групп I, УМН, 1950, т. 5, № 2 с. 3-56.

13. И. И. Гуран, О вложениях топологических групп, М.: Моск. ун-т, 1981. Деп. в ВИНИТИ 1981, № 1483-81.

14. Г. И. Кац, Изоморфное отображение топологических групп в прямое произведение групп, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, УМН, 1953, т. 8, №6, с. 107-113.

15. А. И. Мальцев, К общей теории алгебраических систем, Матем. сборник, 1954, вып. 35, с. 3-20.

16. А. И. Мальцев, Свободные топологические алгебры, Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем., 1957, вып. 21, с. 171-198.

17. А. А. Марков, О свободных топологических группах, Докл. Акад. Наук СССР, 1941, т. 31, № 4, с. 299-301.

18. А. А. Марков, О свободных топологических группах, Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем., 1945, вып. 9, № 1, с. 3-64.

19. В. Г. Пестов, О строении и вложении топологических групп, Томск: Томский ун-т, 1981. Деп. в ВИНИТИ 03.04.81, № 1495-81.

20. В. Г. Пестов, Некоторые свойства свободных топологических групп, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех., 1982, № 1, pp. 3537.

21. В. Г. Пестов, Окрестности единицы в свободных топологических группах, Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Мат. Мех., 1985, №3, с. 8-10.

22. Д. А. Райков, О пополнении топологических групп, Изв. Акад. Наук СССР, 1946, вып. 10, с. 513-528.

23. Д. А. Райков, Свободные локально выпуклые пространства равномерных пространств, Матем. сб., 1964, т. 63, №4, с. 582-590.

24. Е.А. Резниченко, О. В. Сипачева, Факторные отображения на слова ограниченной длины в свободных топологических группах, в сб. Общал топология. Отображения, произведения и размерность пространств, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995, с. 98-119.

25. А. Робертсон, В. Робертсон, Топологические векторные пространства, М: Мир, 1967.

26. О. В. Сипачева, Топологии на свободных группах, в кн. V Тирасп. симп. по общей топологии и ее прил., Кишинев: Штиинца, 1985, с. 220-222.

27. О. В. Сипачева, Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур, в сб. Общая топология. Отображения топологических пространств, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986, с. 122-130.

28. О. В. Сипачева, Нульмерная топология на свободной группе, порожденной нульмерным пространством, в сб. Топологические пространства и их кардинальные инварианты, Устинов, 1986, с. 45-52.

29. О. В. Сипачева, О линделёфовых Е-пространствах функций и числе Суслина, Вестник Моск. ун-та. Сер. Мат. Мех., 1987, №3, с. 18-21

30. О. В. Сипачева, О топологии свободных групп, в кн. Топологическая алгебра. Тезисы республиканской школы, Кишинев: Штиинца, 1988, с. 68.

31. О. В. Сипачева, Нульмерность и полнота в свободных топологических группах. I, Сердика, 1989, № 15, с. 119-140.

32. О. В. Сипачева, Нульмерность и полнота в свободных топологических группах. II, Сердика, 1989, № 15, с. 141-154.

33. О. В. Сипачева, Линделёфовы подпространства функциональных пространств над линейно упорядоченными сепарабельными компактами, в кн. Общая топология. Пространства и отображения, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989, с. 143-148.

34. О. В. Сипачева, Функциональные пространства в топологии поточечной сходимости и линделёфовостъ, М.: Моск. ун-т, 1990, деп. в ВИНИТИ 10.10.90, №5513-В90.

35. О. В. Сипачева, Структура многократных функциональных пространств в топологии поточечной сходимости для компактов Эберлейна, Матем. заметки, 1990, т. 47, вып. 3, с. 91-99.

36. О. В. Сипачева, Компакты с непрерывной операцией Мальцева и ретракты топологических групп, Вестн. Моск. ун-та. Сер. Мат. Мех., 1991, № 1, с. 33-36.

37. О. В. Сипачева, Об одном классе свободных локально выпуклых пространств, Матем. сборник, 2003, т. 194, №3, с. 25-52.

38. О. В. Сипачева, В. В. Успенский, Свободные топологические группы без малых подгрупп, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., Мех., 1987, №4, с. 21-24.

39. М. Г. Ткаченко, О нульмерных топологических группах, Труды Ленинградской международной конф. по топологии и ее приложениям, Л.: Наука, 1982, с. 113-118.

40. М. Г. Ткаченко, О свойстве Суслина в свободных топологических группах над бикомпактами, Матем. заметки, 1983, т. 34, вып. 4, с. 601-607.

41. М. Г. Ткаченко, О полноте свободных абелевых топологических групп, Докл. Акад. Наук СССР., 1983, т. 269, pp. 299-303.

42. М.Г. Ткаченко, О полноте топологических групп, Сиб. мат. ж., 1984, т. 25, №1, с. 146-158.

43. М. Г. Ткаченко, О нульмерности свободных топологических групп, Докл. Болгарской акад. наук, 1985, т. 38, № 2, с. 173-174.

44. М. Г. Ткаченко, О некоторых свойствах свободных топологических групп, Матем. заметки, 1985, т. 37, вып. 1.

45. М. Г. Ткаченко, Строгая коллективная нормальность и счетная компактность в свободных топологических группах, Сиб. мат. ж., 1987, т. 28, № 5, с. 167-177.

46. В. В. Успенский, Топологическая группа, порожденная линде-лёфовым Е-пространством, обладает свойством Суслина, Докл. Акад. Наук СССР, 1982, т. 265, № 4, с. 823-826.

47. В. В. Успенский, О топологии свободного локально выпуклого пространства, Докл. Акад. Наук СССР, 1983, т. 270, №6, с. 13341337.

48. В. В. Успенский, О подгруппах свободных топологических групп, Докл. Акад. Наук СССР, 1985. т. 285, №5, с. 1070-1072.

49. В. В. Успенский, О непрерывных образах линделёфовых топологических групп, Докл. Акад. Наук СССР, 1985, т. 285, № 4, с. 824827.

50. В. В. Успенский, Топологические группы и компакты Дугунджи, Матем. сборник, 1989, №8, с. 1092-1118.

51. В. В. Успенский, Свободные топологические группы метризуе-мых пространств, Изв. Акад. Наук СССР. Сер. матем., 1990, т. 54, №6, с. 1295-1319.

52. Э. Хьюитт, К. Росс, Абстрактный гармонический анализ, М.: Наука, 1975, т. I.

53. P. Samuel, On universal mappings and free topological groups, Bull. Amer. Math. Soc., 1948, vol. 54, no. 6, pp. 591-598.

54. D. B. Shakhmatov, Zerodimensionality of free topological groups and topological groups with noncoinciding dimensions, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 1989, vol. 37, no. 7-12, pp. 497-506.

55. S. A. Shkarin, On stratifiable locally convex spaces, Russian J. of Math. Phys., 1999, vol. 6, no. 4, pp. 435-460.

56. О. V. Sipacheva, On the topological structure of function spaces with the topology of pointwise convergence, in Interim Report of the Prague Topological Symposium, 1987, no. 2, p. 7.

57. О. V. Sipacheva, On the topological structure of function spaces with the topology of pointwise convergence, in Baku International Topological Conference. Abstracts //, Baku, 1987, p. 276.

58. О. V. Sipacheva, A new description of the free group topology and some corollaries, in VI Tiraspol' Symposium on General Topology and its Applications, Кишинев: Штиинца, 1991, p. 186.

59. О. V. Sipacheva, Free topological groups of spaces and their sub-spaces, in Seventh Prague Topological Symposium, Prague, 1991, p. 101.

60. О. V. Sipacheva, Quotient Maps and Weak Union Topologies in Free Groups, in Tenth Summer Conference on General Topology and Applications, Amsterdam, 1994, p. 146.

61. О. V. Sipacheva, Stratifiability of free topological groups, Topol. Proc., 1993, vol. 18, pp. 271-311.

62. О. V. Sipacheva, A Lindelof group with large cellularity, в кн. Тезисы Межд. конф. по топологии и ее прил., Киев, 1995, с. 41.

63. О. V. Sipacheva, On free topological groups with the inductive limit topologies, in Annals of the New York Acad. Sci., vol. 788, N.Y.: The New York Acad. Sci., 1996, pp. 188-196.

64. О. V. Sipacheva, Stratifiable locally convex spaces, in Eighth Prague Topological Symposium, Prague, 1996.

65. О. V. Sipacheva, Free topological groups of spaces and their sub-spaces, Topol. and Its Appl., 2000, vol. 101, pp. 181-212.

66. О. V. Sipacheva, r-Locally invariant groups, Topol. and Its Appl., 2000, vol. 107, pp. 169-182.

67. О. V. Sipacheva, Stratifiable locally convex spaces, in Int. Conf. on Functional Analysis and Its Applications Dedicated to the 110th Anniversary of Stefan Banach, Lviv, 2002, p. 186.

68. О. V. Sipacheva and M. G. Tkachenko, Thin and bounded subsets of free topological groups, Topol. and Its Appl., 1990, vol. 36, no. 143156.

69. A. H. Stone, On the compactification of topological spaces, Ann. Soc. Po. Math., 1948, vol. 21, pp. 153-160.

70. В. V. S. Thomas, Free topological groups, Gen. Topol. and Appl., 1974, vol. 4, pp. 51-72.

71. M. G. Tkacenko, On topologies of free groups, Czechoslov. Math. J., 1984, vol. 34, no. 4, pp. 541-551.

72. M. G. Tkacenko, Free topological groups and inductive limits, Topol. and Its Appl, 1994, vol. 60, pp. 1-12.

73. J. W. Tukey, Convergence and uniformity in topology, Ann. of Math. Studies 2, Princeton, 1940.

74. V. V. Uspenskii, The Mal'tsev operation on countably compact spaces, Comment. Math. Univ. Carol, 1989, vol. 30, no.2, pp. 395402.

75. A. Weil, Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generate, Publ. Math. Univ. Strasbourg, Paris: Hermann&Cie, 1937.

76. S. W. Williams, Box Products, in Handbook of Set-Theoretic Topology, K. Kunen, J. E. Vaughan, Eds., Amsterdam-N.-Y.-Oxford-Tokyo: North-Holland 1984, pp. 169-200.