Предел суслина для топологических А-модулей и его приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИ« ГОСУДАРСТВЕННЫМ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л. И. ГЕРЦЕНА

РГ6 од

■ i OKI j

На правах рукописи

КОЗЛОВ Георги» Евгеньевич

ПРЕДЕЛ СУСЛИНА ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ А-МОДУЛЕЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа лавского государственного педагогического института имени Ушнпского.

Ярос-

к. д.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Смирнов Евгений Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Московского педагогического государственного университета Горин Евгений Алексеевич;

кандидат физико-математических паук, доцент Ярославского государственного хшшерситета Бережной Евгений Иванович.

Ведущая организация: Воронежский государственный педагогический институт

о а щит а диссертации состоится в 10 часов 15 минут на заседании Диссертационного Совета К 113,05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Автореферат разослан « » 1993 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

10. Яшин а.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие функционального анализа привело к появлению в математике конструктивно сложных объектов (аналитические и проективные множества, псевдотопологии, различные классы векторных пространств со сходимостью, пространства Ы.де Вильде, П.П.ЗабреЯко и Е.И.Смирнова и т.д.), нашедших разнообразные плодотворные приложения. 0 то же время в последнее десятилетие наблюдается бурное развитие теории топологических модулей. В частности, проблема А.Гротендика о построении классов локально выпуклых пространств, обладающих теоремой о замкнутом графике и широкими свойствами перманентности, получила положительное решение в работах ^.Швар-ца, В.Слошковского, Д.А.РаЯкова, М.де &»льде, П.П.Забрейко, Б.И.Смирнова, Т*А.Ефимовой и многих других.

После появления работы А.Грбтендака СП возникла пробяе- . аапостроения классов ^ топологических векторных пространств, содержащих все полные метрические векторные простран-5тва (ШЗП) й обладающих следующими двумя свойствами:

1)Для любого ИЩ второй категории X и любого пространства справедлива теорема о замкнутом графике для мнейных операторов, действующих из X в V V

2)Класс ^ аамкнут относительно операций образования роиэведений, проективных и индуктивных пределов счетного иела пространств.

Существенно используя конструкции В.Словиковского, эту роблему впервые решил Д.А.Райков С23, который ввел класс ространств, допускающих так называемые <2)0 - представление, озднее, близкие и более просто описываемые классы были вве-

- ■* -

дены М.де Вйльде, М.Накамурой, П.П.Забрейко, Е.И.Смирновым, Т.А.Ефимовой и другими авторами; Т.А.Ефимовой были изучены взаимосвязи между различными классами пространств. Расширение этого круга вопросов на класс топологических модулей представляет интерес как в теоретическом, так ив практическом плане.

Цель работы. В диссертации вводится и изучается класс модулей с топологией, обладающий аналогии свойств 1) и 2) и расширяющий класс пространств Суслина П.П.Забрейко и Е.И.Смирнова. Устанавливаются условия.совпадения совместной и раздельной непрерывности умножения в модуле на элементы топологической алгебры. Исследуются связи между классами пространств Суслина топологических А -модулей и топологических А -групп с сетями. В классе Н -пространств Е. И. Смирнова Г 33 изучается операция топологического тензорного произведения»

Общая методика.выполнения исследований. Используются классические методы теории топологических векторных пространств (ТБП) и топологических модулей (*Ш), в частности,ка-тегорнне методы и техника, связанная с А -операцией Суслика и -операцией О.Хаусдорфа и А.И.Колмогорова.

Научная новизна. Операция конструирования ТБП - предел Суслина распространяется на класс топологических модулей. Полечены обобщения теорем о замкнутом графике, доказанных Е.И.Смирновым для МВД и Т.А.Ефимовой для топологических векторных групп (ТБГ) с сетью (С43). Рассмотрены условия сохранения свойств Н —пространств при операции топологического тензорного произведения. Доказана теорема о совместной непрерывности в классе топологических модулей, иа которой вы-

текает теорема С.Какутани'для квазинормированных пространств. Получены условия уравновешенности бависа окрестностей нуля в топологической А -группе.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит Фундаментальный характер, разработаны новые теоретические положения, развивающие классические результаты. Результаты могут быть использованы в исследованиях, связанных с теоремой о замкнутом графике, в теории диЭДеренциальных операторов, а также при изучении топологических тензорных произведений, а также в вопросах, связанных с применением теории гомология а топологических модулях.

Апробация. Результаты работы докладывались на ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Ульяновске, на семинарах профессора В.П.Одинца по геометрии банаховых пространств в Российском государственном педагогическом университете им.А.И.Герцена, профессора И.А.^ахтина по теории банаховых пространств с конусами я Воронежском педагогическом институте и на Герценовских чтениях в г.Санкт-Петербурге в 1992 году.

Публикации.. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация излахена на 97 стра-ницахницах, состоит из введения й шести параграфов. Список литературы содержит 45 наименований,

содЕРХАиг работы

Во введении содержится краткий исторический обзор,обсуждаются задачи исследования и формируются основные результаты.

Теоремы о замкнутом графике берут свое начало с фундаментальной теоремы С.Банаха, доказанной для полных ыетриауемшс

ТЕП. Затем классический реаультат С.Банаха обобщался в связи ' со стремлением "освободить" атот результат от ненданых предположений. Первое направление обобщений связано с работами В.Птака С53, который ввел класс совершенно полных пространств и доказал для них теорему о замкнутом графике. Однако, этот класс оказался узким и неустойчивым относительно многих операций анализа. \

Второе направление в обобщениях теоремы о замкнутом графике основывалось на категорных рассуадениях и тщательном анализе схемы С. Банаха. Зтим вопросом занимались А.Гротендик, Л.Шварц, В.Словиковский. В 1966 г. Д.А.Райков построил в С23 класс ТЗП, допускающих <Й0 -представления, который обладал . свойствами 1) и 2). Позднее М.де &льдом в СбЗ были построены близкие, но более просто описываемые пространства с сетями, которые были обобщены Т. А. Ефимовой на случай ТВП и ТВГ с сетями (Сф). Затем П.П.Забрейко и Е.И.Смирнов рассмотрели но-вув операцию конструирования локально выпуклых пространств, с помощь» которых были получены новые классы пространств: пространства Суслина и Н-пространства. Зти операции аналогичны соответственно классическим операциям Алексаадрова-Суслина и Хаусдорфа в теории множеств. Данные классы прост- . ранств содержат пространства Фреше и обладают свойствами 1) и 2).

В 1969 г. Д.А.Райков ввел в анализ понятие топологической векторной группы, которое получило широкое распространение в различных разделах математики, в том числе, в теории обобщенных функций, в теории меры и т.п. ТЕГ явились удачнш обобщением, о одной стороны, топологических векторных пространств и, с другой стороны, топологических гругп. Метризационные

теоремы Ж.Биркгофа и С.Какутани позволяют описать топологию ТВГ при наличии счетного базиса некоторой метрикой, инвариантной относительно сдвигов.

Всякая ТВГ является ТВП, если ее базис состоит из уравновешенных и поглощающих окрестностей нуля, что означает совместную непрерывность операции умножения на элементы поля скаляров. В случае замены поля скаляров К на элементы некоторой топологической алгебры и топологического кольца А приходим к понятию топологического модуля, являющегося обобщением ТВП. '

Перейдем к краткому изложению содержания работы. Диссертация состоит из введения и шести параграфов, включая параграф О , в котором собрано большинство предварительных»хорошо известных сведений.

В 5 1 вводится понятие топологической А -группы, близкое к понятию топологического модуля В.П.Паламодова С73.

Определение 1.1. Пусть А - коммутативная унитарная топологическая алгебра. Топологической А -группой назовем хаусдорфово пространство X наделенное

а)структурой А -бимодуля;

б)топологией, согласующейся со структурой аддитивной группы в X и удовлетворяющей, кроме того, следующей аксиоме:

( ^отображение Ж —■» ><о0й для любого «<0 е А непрерывно в точке эс — О .

Отметай, что для того, чтобы топологическая А -группа X была топологическим модулем с совместно непрерывной операцией умножения (или А -в -модулем), необходимо и достаточно, чтобы базис окрестностей нуля в X состоял из А -уравновешенных и А —поглощающих множеств.

Далее приведены оригинальные примеры топологических А -групп и доказана .

Теорема 1.1. Пусть (X ,t ) - ТВГ со счетным базисом окрестностей нуля. Тогда для того, чтобы (Х .'С ) обладала базисом окрестностей нуля из уравновешенных множеств, необходимо и достаточно, чтобы существовал ассоциированный функционал ci = ciçx.") > задающий топологию t , такой, что для каждого осе л функция d(tai) измерима по Лебегу на & .

Теорема 1.2. Пусть (X ,t ) - топологическая А -группа со счетным базисом окрестностей нуля, где А - локально компактная алгебра и функционал , задающий тополо-

гию t таков, что для каждого -ХС X функция игмерима по Борелю на А .

Тогда базис окрестностей нуля в (X /С } состоит из А -уравновешенных множеств.

В 5 2 приводится определение А—"® -модуля и доказывается теорема о совместной непрерывности, из которой следует теорема С.Какутани для квазинормированных пространств.

Определение 2.1. Топологическую А -группу X назовем А-©-модулем, если отображение rr>ï X. раздельн<?

непрерывно.

Теорема 2.1. Пусть (X ) - метризуемый А -© -модуль, где А - локально-компактная алгебра. ТогдаХ- А-®-модуль.

Следствие 2.1. Пусть X - квазинормированное пространство, тогда X -топологическое векторное пространство.

Далее исследуется базис окрестностей нуля ТВГ И. Б. Яро-шевской, который является R —® -модулем.

Теорема 2.2. Базис окрестностей нуля ТВГ И.Б.ЯрошевскоИ несчетен.

В пункте 15 3 вводится и исследуется предел Суслина А - а -модулей.

Пусть 1М - множество натуральных чибел,

е ^(»лг и«,**,,.,-,«^ ем*.

Множество ГЫ00 будет частично упорядоченным, если отношение порядка ввести следующим образом: ^ если где лм.а,,,, .

Определение 3.2, Назовем суслинским спектром над категорией А -модулей (® -ТМ) систему 2£. = Хд^ , , объектов вместе с набором морфиз-

мов Хд^.^—» Х^^зпределенных для всех ^ е ГЫ**3 а такае набором морфйзмов * —» ^определен-

ных для всех К = 1,2,... и так, что выполняются

следующие условия:

а)для любых ^ е И к О 1,2,.;. морфизм ^^ тождественный;

б)для любых ^^'^"^(М00 таких, что >)-<.>Г-<Ч" выполнено соотношение

- • *с _ 1 к \к ,

~ ¿ч'м" ° ОЧЧ' г

. и' • • V« • <1 \ > VI '

в> ° = Аму' ° ^ для лвбых ^ ^ и

К « 1,2,. . . ;

г)для любого номера и любых VI е.М00

таких, что ^ , .т.е. = и,' „„.и^П,,'

существует ^''еЫ00такая, что ^{к} » ,

где «е^ , ^^ и для каждого го » 1,2,...

• ту _ : *<п л*

■¿астнш случаен суслинского спектра является прямой спектр последовательности объектов ( ^ к тождественные, А**'* Аму' ) и обратный спектр (Хуоо-Х«;» ~ тождественные, и^хс1'* для любых '^'е 1М°° ). Пространство

Х-

является модулем над А и его мокно наделить топологией "С* , сильнейшей, для которой все вложения.пространств

в X непрерывны, где Х(^) - подмодуль модуля X и топология в X есть верхняя грань топологий 8

ке(МУ

Определение 3.3. Пространство (Х/Ь*) назовем пределом Суслина суслинского спектра 26. .

В пункте 2 дано определение ® -пространства (Целина. . Пусть 2 — метризуемый А-в -модуль. В атом случав на 5Г можно определить действительную функцию определяющую топологию на "2 со свойствами:

а) О ¿ « 1

б) «и*«/*-*»}.* аил

в) Еип «1(е(г^=0 для лвбого о(е А • "2-»О '

для любого "2. € £. .

и-» О'

Определение 3.5. Функцию <1 со свойствами а) - г) назовем ® -квазинормой, заданной на А-модуле И . А —в-модуль 2 назовем ассоциированным о ® -квазинормой . . . ' '; Определение 3.6. Топологическое п^странство X над

топологической алгеброй А наэовеи © -пространством , Суслина, если существует такое семейство^Щ^иелЛ; ® -кваэинорм на X , для которого выполнены следующие свойства:

1) X как А -модуль является пределом Суслина семейства эцау А - © -модулей Х^у",

2)для любой последовательности А € 00 всякая . . последовательность X , Фундаментальная в © -ква-эинорые

оо

сходится в пространстве X . V

В заключении пункта 2 дан конкретный пример © -пространства Суслина в -модулей.

В пункте 3 докаанвается теорема о ваикнутои графика.

Теорема 3.1. Пусть А - топологическая алгебра, содержащая счетную последовательность сходящихся к нулю обратимых элементов, - нетощий метрический А - ® -иодуль, X - © -пространство Суслина метрических А-в -модулей. Т - замкнутый А -линейный оператор, действующий из ^

в х .

Тогда Т - непрерывный оператор.

Теорема 3.2. Регулярный предел Суслина © -пространств Суслина есть €9-пространство Суслина.

В пункта 4 показана инвариантность класса )§ -пространств Суслина относительно операций взятия замкнутого подмодуля» счетного произведения и фактор-пространства.

5 4 посвящен изучению еще одного класса пространства, для которых справедлива теорема о эамкнутом графика - топо-

логическим А -группам с сетью типа У .

В пункте 1 изучаются пространства с сетями, и их связь о А - ® -модулями.

Пусть А - топологическая алгебра, X - топологическая А -группа. Семейство ».»^д.^бЭД00, = (уц, „„, улц^ 6М*.} подмножеств множества X назовем сетью в X , если выполнены условия:

ОО «о

X - и , = ^ ,«•>! •

К,!4

Определение 4.2. Сеть ^ в X называется сетью типа V/ , если для любой последовательности ^ 6существует последовательность С А такая, что для любых 1С* € ^^Н*} и для любой последовательности

(•л ОО

> 11' РЯД 21-«Л* ЭСц сходится.

Свяэь топологических А -групп с сетью и А - © -модулей дает следующее

Предложение 4.1. Пусть X - топологическая А -группа с сетью типа и и выполнено свойство . Тогда Х- А*©—модуль«

Теорема о замкнутом графике справедлива в следующем виде. ....

Теорема 4.1. Пусть (Ч'/О - топологическая А -группа, допускающая сеть типа и, (Х^) _ нетощая метриэуемая топологическая А -группа, - замкнутый Д -линейный оператор, отображающий X в

V . Тогда V непрерывен.

В заключении пункта 1 приведен пример топологической А -группы с сетью типа и .

В пункте 2 устанавливаются взаимосвязи пространств с

сетями и ® -пространств Суслина.

Теорема 4.2. Пусть X - топологическая К -группа над нормированным полем К с сетью типа и , состоящей из абсолютно выпуклых ыножзств. Тогда X — ® -пространство Суслина.

Теорема 4.3. Пусть Х - ©-пространство Суслина метрических векторных пространств. Тогда X допускает сеть типа С .

§ 5 целиком посвящен изучению топологических тензорных произведений Н -пространств Е.И.Смирнова. В частности, изучаются различные топологии тензорного произведения: проективная, слабая, индуктивная и их пополнения. А такие рассматриваются условия, при которых операция взятия тензорного произведения В -пространств сохраняет свойства Н -пространства.

Пусть А - счетное множество и (Х^Ал (1 е А^ -подпространства I кторного пространства X , где -локально выпуклая топология счетного характера. Для каждого подмножества Р.с! А определяется ТВГ Х(^) на X , базис абсолютно выпуклых окрестностей нуля, который образован из окрестностей пространств (Хг.,^^ ("Ь^?"),

ЛВП называется Н -пространством, если суще-

ствует семейство ^ подмножеств Р А таких, что

X = Ц (Л X*

и каждая ТВГ является полной и непрерывно вложенной

в пространство ( X .

Теорема 5.1. Пусть (Х,^ , (V, ^ - Н

-пространства, Г - семейство ограниченных подмножеств, покрывающее X и такое, что:

а)всякое множество M е Г* содержится и ограничено в некотором пространстве

X = C\Xt 116F4) ; -1er; ■

- секвенциально полное пространство. Тогда ЬДХ.Ч^- И -пространство.

Основной ревультат параграфа формирует Предложение 5.1. Пусть (Х.<У . (Х.й) - секвен-

циально полные H -пространства, причем пространство Х^ секвенциально полно. Тогда — H-пространство.

Здесь означает секвенциальное пополнение

слабого тензорного произведения.

- На ядерных пространствах проективная и слабая топологии оовпадают. Поэтому для проективного тензорного произведения справедлива

Теорема 5.4, Пусть (Х,<^ - секвенциально полное ядерное H -пространство, - секвенциально полное И -пространство и секвенциально полно. Тогда X®t»V — H-пространство.

Пусть X » - ивдуктивное тенворное произведение. Тогда выполнена

Теорема 5.5. Пусть (Х,£) - H -пространствоЛУ»Х*) -Н-пространство с условием (<*) . Тогда w : X •—* Х®^ Y -топологический ивоморфивм.

Основные результаты параграфа справедливы и в случае, если V - любое локально выпуклое пространство.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Cil (эхо t&e«dicte, A. í4oáú.tAs ie^sot teCGev topo-

etespftcts nwcÊeolt«S// tyet.. Av*et. Matft. &oc.4$55. Ы 16.

[2l Райков Д.А. Двусторонняя теорема о замкнутой графике для ТДО // Сиб.мат.журн. 1966. Т.7, !3 2. С. 353-372, m Смирнов Е.И. О сопряженном пространстве к пространству Суслина // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1985, С.52-60.

С41 Ефимова Т.А. Теорема о замкнутом графике для ТВГ с сетью типа U // Вегтник ЛГУ. 1978. IS 13. 0.28-31,

[5] PtcxckV. Ov4 t^e ceosetT ^tapk tfteotew// Ceí\. Mot. "2 . 49S9. â. P. S2B - 58?.

£63 De M. Réseaux dans ве% espaces 6c-

ле&оьеа e\ notwts // MtmoLies Soc. Ro^.

Sai.delA^e Set.S. t. I8.J/2. Pj-W,

Г?3 Паламодов 8.П. Линейные дифференциальные оператора с постоянными коз^фициентами. М. : Наука, 1967.

Основные результата диссертации опубликованы н следующих работах автора:

1.К08Л0В Г.Ё. Функциональные пространства в теории топологических А-групп // Тезисы доклада ХУ Всесоюзной школы го теории операторов в функциональных пространствах. Ульяновск. 1990. 0,124.

2.Козлов Г, Б, О топологических А -группах // Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1991, С. 67-7 9. . _ .

3.Козлов Г.Е. Предел Суслина Í&- ® -модулей // Теаисц докладов 2-ой конференции молодых ученых. Ярославль. 1991. С. 50-51.

4.Козлов Г.Е. Предел Суслина топологических А -модулей и тензорные произведения M -проетранотв. - Уч.Сове* Ярославского пединститута. - 1993. - 21 с, - Деп.шдати 30.03,93. !? 778-ВЭЗ.

Подписано в печать 5.07.93. Формат 60Х84*/1б. Бумага газетная. Офсетная печать.

Печ.л. I. Тираж 100. Заказ 1864. Типография Ярославского политехнического института;

Ярославль, ул.Советская, 14а.