О некоторых кардинальных инвариантах равномерных пространств и топологических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И а правах рукописи УДК 515. 12

ЧЕКЕЕВ ЛСЫЛБЕК АСАКЕЕВИЧ

О НЕКОТОРЫХ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТАХ РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.04 — геометрия я топология

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Кырыз-

ского государственного университета-

Научный руководитель — доктор физико-математических

паук Борубаев Алтай Асылкановнч.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

Ш1ук, профессор Пасынков Борис Алексеевич (МГУ), доктор физико-математических ¡тук, профессор Иванов Александр Александрович (ПОМП).

Ведущая организация—Институт математики и механики

Уральского отделения РАМ г. Екатеринбург.

Защита диссертации состоится « » 1992 г.

в час. на заседании специализированного совета

К. 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 1-98904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2, математнко-меха-ннчеекпй факультет СПбу).

Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/0-•

Автореферат разослан « » ¿29 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Р. А. Шмидт

с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1) *

актуальность теин, гэз*/ году а.веаяь ввел понята« равномерного пространства и создал основу для развитая теории равномерных пространств. В настоящее время, благодаря фундаментальным ра этам Л.Вейлп, К.Бурбаки, Ю.И.Смирнова. В.А.Ефремовича, Дх.йпбеляа; fl.ft. Борубаева, ft.А.Яванова, К.йо-рити, Б.А.Пасъшкова. В.В.Федорчука, „З.Фролика, М.И.Чобана равномерные пространства кмепг логически обоснованную, далеко продвинутута теорио, имекщую приложения в различных областях математики. Поэтому, возникает естественная потребность зести нсслед'ования направленные на изучение различных кардинальных инвариантов равномерных пространств. С помочью кардинальных инвариантов выделяются важнейшие классы равномерных пространств: класс метризуемых равномерных пространств, -ограниченных равномерных прс-Трансгв,

2)

класс предкоипактных равномерных пространств. A.A.Борубаев ввел новые кардинальные инварианты: индекс ограниченности, псевдоЕес, индекс полноты и Т -полноту равномерных пространств. С помощь» этих кардинальных инвариантов выделяются такие важные классы равномерных пространств, как т-ограниченные равномерные пространства, равномерно Факторные образы метризуемых равномерных пространств, равномерно полные по Чеху пространства и т -полные равномерные пространства.

Теория равномерных про .грг тств имеет независимый характер, однако есть глубокая аналогия между "чисто" тополо^-гическими свойствами и равномерными свойствами. Особенно

1) A.Hell.Actual.Sceiivt.efc.Int.,N551 Paris(Herman).1937.

2) A.A.Борубаев.Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения.Фру«зе:Ихим,1990.

3) O.G.Okunev.Topol.and Apll.1990.V.36.P.157-171.

- А -

это видно на примере топ югичееккя групп. Зго обусловлено тем, что на кагдой топологической группе "сидят" три естественные групповые равномерности - левая, правая и двусторонняя, которые очс хь тесно связаны с алгебраической и топологической структурами группы. Естественно охидать в этой ситуации взаимного превращения свойств, т.е. перехода "чисто" топологический» свойств в ■авноиерные, н наоборот. Исходи из этого, очевидным образом возникает соблазн попробовать равномерные кардинальные инварианты на равномерностях топологических групп и изучать на группа» топологические кардинальные инварианты - с помощью равномерных кардинальны» инвариантов.

Диссертационная работа посвящена изучения некоторых кардинальных инвариантов равномерных пространств и топологических групп.

ЦЕЛЬ РАВОТЫ. С помощь» кардинальных инвариантов изучать "чисто" равномерные свойства равномерных пространств, а также искать взаимосвязь топологических и равномерных кардинальных инвариантов. Исследовать равномерные кардинальные инварианты на равномерностях топологических групп.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются: метод покрытий, метод обратных спектров, методы исследования

равномерных кардинальных инвариантов и гиперпространств

2)

равномерных пространств, выработанные й.Борубаевыл. а также методы теории топологических групп, разработанные Я.В.Архангельским, Б.А.Пасынковым и И.М.Чобаном.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы следующие:

1) Найдена оценка мощности пространств с помопьв индекса ограниченности и псевдовеса равномерных пространств.

С помощь® индекса перистостн и псевдовеса равиоиерщга

*

пространств обобщается известные критерии метризуемости в классе перисты я парак о;тпактов.

2. На свободные топологические группы разноперли я

3)

пространств перенесена конструкция О.Скунева поогрдаетил пар не равномерно гомзоморфных равномерно Н-эквнваяеетг-1Ш8 пространств- С ее помощь» показывается, что рашаегэдр-иая метризуемость и равномерная локальная компактность к© сохраняются прк равномерной И-эквивалентноста.

3. Доказано совпадение индекса ограниченности равн<же&-яого пространства с индексом ограниченности его свободной топологической группы.

4. С помощь» т -полноты охарактеризованы замкнутые подгруппы произведения групп характера 5 н веса ^ Т

24)

5. Обобщена известная теорема Н.М.Чобана , т. . показа-что в классе полны* по Райкову топологических групп индекс

ючти метризуемости совпадает с индексом полноты.

6. Для равномерно т -перистых пространств установлена •С -полнота его гиперпространства. Доказана суперполнота завномерно- полных по Чеху пространств.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация ио-

;ит теоретический характер. Полученные в ней результаты мо-

•ут найти приложения в теории кардинальных инвариантов рав-

юмерных пространств и топ логических групп.

йПРОВШгая РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты диссертации док; дат

«злись на научном семинаре проф. Б.А.Пасынкова (ИГУ,1930), (а конференция«* профессорско-преподавательского состава ТУ в 1985-1991 годах,.на акинской международной топологи-[еской конференции 198? года, на к-онференции "Проблемы тео-

- в

ретической и прикладной математики" в 1990 году в г.Тарту, в ккоае по приложениям топологии в алгебре и геометри». а 1991 году в г. Тарту.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты дисссертации опубликованы в работая /1/-/7/.

СТРУКТУРА И ОБЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, нести параграфов и списка использованной лиитературы, включающего 62 наименования. Полный обьен диссертации 91 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖВЯИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается постановка задач и приводится обзор содержания диссертации.

В первом параграфе рассматривается -пес ,

г) //2/)2)

псевдовес , индекс ограниченности С «■/ и индекс перис-т-остн

¿(и) равномерного пространства аю , а также топологические кардинальные инварианты - вес, псепдовее, слабое число Ликделс-фа, число Суслина и Х-вес пространства Наряду с вышеперечисленными кардинальными инвариантами рассматриваются равномерный вес и

(X) ° и равномерный псевдо-

6)

ри{

Предложение 1.1 показывает как мажорируется топологичес-

«ес pu (X) пространства X

кий вес пространства индексом ограниченное и и весом равномер

ности, а именно, для любого равномерного пространства aw

выполняется неравеентво W ah еаоф). Откуда в качестве

5)

следствия 1.1 получаем равенство дополняющее par ¡нства ШерФа

7> у

и Юхаса , точнее для каждого тихоновского пространства Л .

4) Р.Энгелькиинг.Обцая топология.-И.:Мир,1986,

5) H.M.Schaerf.Froc,Intern.Syinp.Top.1968,Beograd,1969.F.292.

6) Ä.Bella.Head.Circ.mat.Palermo.1368.V.57.HIS.P.203-208.

7) I.Juhasa.Hath.Centre Tracts 123.1980.

8) А.В.Архангельский.УМН.1981.T.36.N6.С.127-146.

(меет место равенство V/ (хитш) . где

л, 4> V

| Ц^ -универсальная равномерность пространства Л . Из

Федлохения 1.3 в качестве следствий 1.2 и-1.4 получаем для

:аадого тиаоновсхого пространства /V неравенства

¿(Х)ри(Х) и /X/ ^ 11то пваяется

>бобщеиием неравенств А.Белла. Из этого же предлояення 1.3 з

ачегтве следствий 1.6 и 1.7 получаем усиления неравенств

в) л

к.В.Архангельского: для всякой топологической группы (У вы-

голняются неравенства

И 11/ (вкгФШ.

Один из основных результатов этого параграфа ТЕОРЕМА 1.1. Равномерное пространство

(XV)

является

р-ограниченны« тогда и только тогда, когда (Х)Ы) равнсдаер-

ю вкладывается В произведение П^Х^И^'^М^ ^Ч-ограии-

■еиних мегрлзуечых равномерных пространств ^г) •

Из этой теоремы в качестве следствий получаются результа-1) 9)

■ы А.Вейда и Г.Каца.

2)

Понятие равномерно т -перистих пространств позволяет

шести следующие кардинальные инварианты: индекс перистости

равномерного пространства (Х/ К.) (определение 1.7)

I равномерный индекс перистости рбх (Ю тихоновского прос-

■ранства X < определение 1.8).

Основным результатом этого параграфа является следующая

ТЕОРЕМА 1.2. Для любого равномерного пространства "К)

меет место неравенство и (X) 6р£(И")рм (¿¿)*

Эта теорема в классе строго коллективно нормальных прос-

10)

ранств усиливает один результат Я.Ясуи, а следствие 1.12"

11)

>бобпает один результат из книги Э.Хьюитта, К.Росса. След-

12) 13)

гтвие 1.14 обобщает известную теорему К.Боргеса и А.Окуямы

I) Г.Й.Кац.ДАН СССР.1954.Т.99.С.897-900.

0) У.Уази1.МаЪЬ.^роп!са.1975.V.21.Р.129-140.

.1) Э.Хьюитт.К.Росс.Абстрактный гарм.анализ.Т. 1.11. :Наука. 1976.

и звучит саедуиц'.'.и образом: Для паракоипактиого р-пространства X выполняет са равенство и ¿Ю -рч (X)

о

Второй параграф работы начинается с изучения некоторых свойств свободной топологической группы ш равномерного простраи«мва а и) в смысле Нукеллы.

Теорема 2.1 является равномерный аналогом одной теоремы А.В.Архангельского. Из этой теоре» а, в частности, полу-

16)

чаем равномерный аналог известной лсикы Дхойнеоа :

СЛЕДСТВИЕ 2.1. ПУСТЬ Xß^X) и £

€ • Тогда базу в точке X из

образуют множества вида ^я'б^л^ > где

£■1 -°4' ^ *•= •»,Н н ^¿C^Jfj подпространство группы

состоящее из слов длины i ft ,

Равномерным аналогом известной теоремы fl.В.лрхангель-17)

.coro авдяетса следующая

ТЕОРЕМА 2.2. Равномерно непрерывное отображение f: (Xfä, ^Vflj) равномерного пространства на равномерное

пространство

равномерно факторно тогда и только тогда, когда равномерно факторним является гомоморфизм

Из этой теоремы получаем следующее СЛЕДСТВИЕ 2.3. Равномерно непрерывное отображение (jif 7/.) —* СУ/ if) равномерного пространства fX/ 1/С) на равномерное пространтсво

(W)

равномерно Факторно тогда и только тогда, когда гомоморфизм : ¡¡¿¿{К) являете

открытым отобрааением.

12) С.J.Borgen.Pacific J.Hath.1966.V.17.P.1-16.

13) A.Obujrama.Proc.Japan Acad.1964.V.40.F.176-179.

14) E.Nummela.Topol.and Appl.1982.V.13.N1.P.77-83.

15) Ä.B.Архангельский.УМНЛ980.Т.35.N3.C.3-22.

16) С.Joiner.Trans.Amer.Math.Soc.1976.V.220.P.401-418.

С поиоцьи этого следствия мы иохем построить раэнойер-

3)

ный аналог известной конструкции О.Окунева.

Равномерные пространства назовем

равномерно И-эквивалентными, если топологически изоморфны их свободные топологические группы ^¡¿(Х) н ^ (,

Равномерный аналог конструкции О.Окунева формулируется следующим образом:

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть

-равномерные пространства, (X, И) *У/ и -равномерно факторные отображения. Отображения /: * и ^ ^(Х) ^С^*)■ открытые гомоморфизмы являющиеся продолжениями отображения £ и Д соответственно. Если существует топологический автоморфизм с группы ^¿(Х) такой, что ¿¿С^ег/У = -мя.^ » то равномерные пространства (^ТГ) и ('¿¡^}"КГ,) являются равномерно И-эквивалентными.

Далее указывается конкретный автоморфизм топологической группы ¡^(Х) , удовлетворяющий условиям теоремы 2.3. Для

этого вводятся равномерные понятия, аналогичные понятиям ра-3)

боты' О.Окунева.

Равномерные ретракции "г^ и равномерного простран-

ства

(Х.и)

называются параллельными, если и

- ъ о . Ретракты и ^ равномерного простран-

ства ¿"X 2/.) называются параллельными, если они являются образами пространства (X 1 при параллельных равномерны*

ретракциях.

- 3)

Имеет место еще один равномерный аналое теоремы О.Окунева.

17) А.В.Архангельский.ДАН СССР.1968.Т.181.N6.С.1303-1306.

18) И.И.Гуран.Деп.ВИНИТИ N1483-81.Деп.1981.

19) И.И.Гуран.Автореферат , «ссертации.1981.

20) А.А.Борубаев.Сообц.АН Груз.ССР.1990.Т.37.ИЗ.С.497-500.

21) Л.Г.Замбахидзе.Сообщ.АН Груз.ССР.1980.Т.97.N3.С.563-577.

'lüöPüiji 2.4. Sycvb R^ н параллельное p-тракте

раанклерного npocvpaHCTBa (X/ Ii) . Тогда равномерные фактор-пространства А/о и ^/ß равномерно in-эквивалентны.

В качестве приложения этой теорем показано, что равномерная метризуемость, равномерная локальная компактность « мощность равномерно дискретных подпространств не сохраняется равномерной И-эквивалентность».

В третьей параграфе показывается, что псевдовес и индекс ограниченности т>авноиернык пространств сохраняется прн переводе от пространств к их свободны» топологическим группам. Такие доказывается, что в классе предкомпактнак пространств вес равномерных пространств и равномерная размерность соя-раняются равномерной М-эквивалентность».

Одним из утверждений параграфа является предяокение,

15)

которое обобщает одно утверждение A.B.архангельского .

Центральным Фактом этого параграфа являится следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 3.1. Если равномерное пространство

(Щ С-

-ограниченг->, то свободная топологическая группа ^(Х) явля-

18)

етсе «с -уравновеванной .

ТЕ0РЕШ1 3.2. Равномерное пространство является

Т -ограниченным тогда и только тогда, когда г -ограниченной является его свободная топологическая группа Щ^СХ").

Из этой теоремы получается усиление одного результата 19)

а.Гурана.

Отметим следующее следствие из этой теоремы. СЛЕДСТВИЕ 3.5. Пусть равномерное пространство (Х^ 1С) равномерно И-эквивалентно равномерному пространству (У Тогда €(Ю~ £(1Г).

А.Борубаев показал, что предкомпактность ив сояранзет-равномерной 1-эквивалентностью. Оказывается отнояением аинояерной Н-эквивалентности сохраняется предкомпактность, ричем при этом сохраняется н вес предкомпактных пространств, то демонстрирует предложение 3.3.

^ласс предкомпакгных пространств хорош еще и тем, что в

■том классе равномерной М-эквивалеьгностыо сохраняется равно—

ерная размерность. Это демонстрирует предложение 3.4. Сле-

ует отметить, что предложение 3.4. обобщает известный ре-21)

ультат Л.Г.Замбахидзе.

Одним из предложений этого параграфа является следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Псевдовес двусторонней равномерности рулпы ^ (Ю совпадает с псевдовесом равноиеряостн 1С на

Я .

В качестве следствия получаем следующий факт.

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Пусть равномерное пространство авномерно И-эквивалентно равномерному пространству (У, V") огда имеем равенство р^ (УС)-ръ/ •

Слабая Т -полнота равномерных пространств' определена 2)

..Борубаевым . С помоцыо этого понятия удается описать рав-омерности предельных пространств несчетных обратных спея-ров, состоящих из равномерных пространств веса 4Т .В етвертом параграфе диссертации рассматривается групповой налог слабой Т -полноты - Т-полнота топологических рупп, а именно, полнота топологических групп по Т -цен-* рированным фильтрам Коал. С помощью ТГ-подноты удается олучить характеристики замкнутых подгрупп произведений рупп характера ^ С и веса £ , в териииная раздо-ений в обратные групповые спектры. Основным результатом

четвертого параграфа явдяэтся следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 4Д. Для тс^одогмчесаой группы (? следующие условия равносильны:

1. группа б Т-Уравиовенаиа VI *г -полна;

2. гр,л па 0 является пределом обратного спектра £>

. гдеДГ^ЙС для каждого Л/ , ^-непрерыЕгяле гомоморфизмы, а М -есть 'Ь -полное индексное множество;

3. группа 0 замкнуто и топологически изоморфно вкл; дыэается в произведение /7^?, •' МJ , где Л^ ) ^ £ для кадцого « С м .

ТЕОРЕМА' 4.2. Для топологической группы ^ следующие условия равносильны:

1. группа 6"" С -ограничена п -полна;

2. группа {у является пределом обратного спектра £

^ 1 • где лая каждого

непрерывные гомоморфизмы, а -есгъ 'С -полное индексное

множество;

3. группа (з- замкнуто и топологичесхи изоморфно вк дываетса в произведение /7^ ¿■ъ № £ , где Ъг ) ^ ' для каадого «¿€

м .

Из эти» теорем получаются следствия, в которых характе ризуются замкнутые подгруппы произведений метрнзуемых, пред компактных метризуемых, уравновешанныя метрнзуемых, сепара-бельник -кетризуеяыя топологических групп.

Класс почти метризуемых топологических групп ввел Б.А. 22 > I

сынков, а класс проективно метризуемых групп ввел М.И.Чоба*

22) Б.Я.Пасынков.ДАН СССР. 1965.Т.61,Н2.С.231-284. 231. М.М.Чобан.в сб.Топологические структуры и алгебраическ» системы.1977.С.117-163.

Исходя из определений Б.й.Пасинкова и Ц.Ц.Чобака з аятсп параграфе вводятся два кардинальных инварианта - индекс почти метризуемости и индекс проективной метризуемости.

Говорят, что топологическая группа 0 имеет индекс почти, метризуемос. I ¿р/г>((у,)~'£ . если 'гг -наименьший кардинал такой, что в группе ^ существует компакт К характера 7СС^} О") ^ ^ • о

Говорят, что топологическая группа £ имеет индекс проективной метризуемости = Т. , если с -паименызий

кардинал такой, что в группе 0" для дабой окрестности единицы "ТУ найдется компактный нормальный делитель /Ц^--¿У характера ^Т . Ясно, что топологические группы со

счетными индексами почти метризуемости и проективной метризуемости - это в точности почти метризуемые топологические группы Б.А.Цасынкова и проективно иетризуемые топологические группы М.Н.Чобана.

Имеет место следующая теорема.

ТЕ0РЕШ1 5.6. Для топологической группы £ следующие условия равносильны:

1. ¿тг1ц(<£)&Г ;

2. группа £ является пределом обратного спектра -

• гд еХС&^Ъ лля каадого *«= И , --совершенные гомоморфизмы, а М есть Т-полное индексное

множество.

19)

Следующее предложение обобщает один результат И.Гурана . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть для топологической группы Q выполняется неравенство ¿рщ (Q) i С . Тогда следующие условия равносильны;

1. группа Q t -ограничена;

2. число Ливдедера

3. группа Q гс -ограничена и аTtnfjjJg'C ;

4. группа Q- является пределом обратного спектра £ -

' ГДе £ *** для каждого с<£

—совершенны** гомоморфизмы, а А/ есть t -полное индексное множество.

Индекс полноты равномерных пространств определен и изучен А.Борубаевын . Пиндексом полноты

Т ол с л огич е ск ой

группы о понимается индекс полноты iC (Щ) двусторонней равномерности группы G"

Основным результатом пятого параграфа является следующая

ТЕОРЕМА ,5.5. Пусть & полная по Райкову топологическая группа. Тогда имеет место равенство fato CQ)•

24)

Эта теорема обобщает известный результат М.М.Чобака о ■sjm, что в классе почти иетризуемых групп полнота по Райкову равносильна полноте по Чеху.

В шестом параграфе показывается, что равномерные гилер-пространства равномерно с-перистых пространств являются Ъ -полными равномерными пространствами. Описаны компактные подпространства гиперпространств равномерно перистых и равномерно полных по Чеяу пространств. Обобщаются некоторые

25) ?6)

результаты С.Гинзбурга,Дд.Избелла н А.Кохги .

Одним из основных результатов параграфа является

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть (К^Ц) равномерно Т -перистое равномерное пространство. Тогда равномерное пространство

яхр

U)

является И -полным.

Следующая теорема показывает коммутативность функтора

24) М.М.Чобан.Вестн.КГУ.Ыат.Мех.1970.N1.С.33-38.

25) S.ülnsburg,J.1зЬе11.Тгапз.Атег.Math.Бос.1958.V.93.P.145-168

26) A.Hohti.Reports of Department of Math.1S82.

- 15 -

взятия предела обратного спектра &т и Функтора перехода к решетке £ замкнутых подгрупп топологиеской группы £ .

ТЕОРЕМА в.2. Если & проектисно т-иетризуеиая топологическая груп" л, то

Из следующей теоремы вытекают как следствия результаты 25) 26)

С.Гинзбурга, Дж.Избелла и А.Хохти

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть (X, Ъ[) равномерно полное по Чеху пространство. Тогда (вхрX, ■ёхрЫ) является полным равномерным пространством.

Завершается параграф теоремой 6.4, когргш обобщает следу-

27) р

ющий результат И.Протасова, А.Чарыева : "Пусть (у полная

"По Вейлю почти метриэуемая группа, тогда явля-'

ется полюм равномерным пространством".

ТЕОРЕНА 6.4. Пусть

а, го

полное, равномер». • однороднее, равномерно перистое пространство. Тогда является полным разномерным пространством.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю доктору физико-математических наук А.А.Борубаеву, под руководством которого выполнена эта работа.

27) Я.Протасов,А.Чарыев.Укр.мат.журн.1990.Т.42.N4.С.542-549.

Основные результаты днссергацнк опубликованы в следующих работах автора :

1. Чекеев A.A. О X-полноте равномерных пространств // Бакинская международная топологическая конференция.- Тезисы (часть 1Т>. - Баку.- 1987.-С.32S.

2. Чекеев ft.ft. О некоторых свойствах равномерного веса и индекса ограниченности равномерных пространств // Неследования по топологи- зскнк и обобщенным прост-ранстзан.-Фрунзе - 1988.-С.77-81.

3. Чекеев А.Д. 0J одном равномерной пространстве // Тезисы докладов республиканской научной конференции.-Фрунзе.--1989.-С.127.

4. Чекеев A.A. О свободных гомоморфизма» равномерно непрерывных отображений У/ Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов конференции.-Тарту.-1990.--С.115-117.

5. Чекеев A.A. Индекс ограниченности, псевдовес равномерных пространств и свойства топологии свободных топологических групп равномерных пространств // Исследование по топологии а геометрии.-Бникек.-1992.-С.69-77.

6. Борубаев A.A..Чекеев A.A. О слабой полноте топологических групп // Tartu ülikooH Toinetiaed.-1992.-V.940.-P.95-100.

7. Чекеев A.A. Некоторые свойства топологии свободных топологических групп равномерных пространств //Tartu Dlikooll Toimetiaed.-1992.-V.940. -Р.115-122.