О некоторых классах равномерных пространств и их равномерно непрерывных отображениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

# ■ ц '?, I! ^ л..

МОСКСВСКШ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

БОРУБАЕВ Алтай Асылканович О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РАВНОМЕРНЫХ ЛРОСТРАНСТВ И ИХ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1991

го

Работа выполнена . на кафедре алгебры и геометрии математического факультета Кыргызского государственного университета им. 50-летия СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор К.В. Величко доктор физико-математических наук, профессор Ю.М.Смирнов доктор физико-математических наук, профессор М.М. Чобан

Ведущая организация: Ленинградское отделение Магематическо:

института им. В.Л. Стеклова АН СССР

Зашита состоится _199 4 г.

е ч. 40 мин. на заседании специализированного сов(

Д.053.05.05 при Московском государственном университете ] М.В.Ломоносова по адресу:

119399, ГСП, Москва, Ленинские гора, [Я механико-математический факультет, аудитория 14-08. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механш математического факультета МГУ.

АЕТот}ефэсат ■разослан " ДЗ "_99 199 4._г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ кандидат физико-математических наук

В.Н. Чусарии

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория равномерных пространств является одним из основных направлении теоретико-множественной топологии, а равномерные пространства давно заняли важное место как а самой: теоретпко-мнокестЕенной топология, так и з ее применениях.

В 1906 г. М.Фрепе ввел понятие метрического пространства - равномерного пространства специального типа. Теория метрических пространств далеко продвинута Ф.Хзусдорфом з его книге "Crunfeüge der Mengenlehre" (1914 г.), где были сформулированы такие основные понятия, как полнота, пополнение и равномерно непрерывное отображение метрических пространств. Теория метрических пространств приобрела особую важность после 1920 г. благодаря фундаментальным работам С.Банаха и его гколы по теории нормированных пространств и их приложениям.

Когда з математик?/ всдли яеметризуемые пространства, стало необходимым coczsi-nie естественной структуры, зырахакл?:! идею равномерности, связанной, в первую очередь, с понятием полноты и равномерно непрерывного отображения, а так:;:е создание аппарата исследования. обоСЕаняегэ метрический подход. 3то тсг-эло А.Зейля' 'в It-27 г. к понят;по равномерного пространства и создании основ теории равномерных пространств.

В настоящее время равномерные пространства имеют

I) A.'.Veil. Actual. Sclent, et Ind., a° 551,Paris (Неплапп), 1937.

логически ссооноЕанную, стройную и далеко продвинутую теорию, имехпую приложения в различных областях математики, благодаря фундаментальным работам А.Вейля, К.Вурбаки, Ж.Дьедонне, Ю.М.Смирнова, В.А.Ефремовича, Яз.Исбелла, М.Катетова, К.Мориты, Б.А.Пасынкова, П.Самюэля, Дж.Тыоки, В.В.Федорчука, З.Фрсллка. Интересные результаты по теории равномерных пространств получены в работах М.Я.Антоновского, А.В.Архангельского, Д.Дойчиновг, А.А.Иванова, В.Кульпы, Е.Майкла, А.С.Мищенко, Я.Пелантг, В.И.Пономарева, Н.Д.Patea, М.М.Чобана," Е.З.Щепина и др.

С равномерными структурами тесно связаны структуры близости, структуры смежности и меротопические структура.

Хотя теория равномерных пространств имеет независимый характер, она особенно тесно связана с теорией топологически пространств, и меглу ниш существует глубокая аналогия. Многие топологические результаты имеют равномерностную природу, а равномерные структуры являются более тонкими, чем топологические. Поэтому исследование равномерных аналогов топологически свойств, о одной стороны, часто позволяет обобщить и уточнить топологические результаты, а с другой стороны, позволяет применить аппарат теории равномерных пространств к решения чисто топологически (по формулировке) задач. Так, в работах

oí oí

50.М.Смирнова"" и Дж.Мсбелла0' развита теория размерности равномерных и Олизостных пространств и дано ее приложение к теории размерности тихоновских пространств.

2) Ю.М.Смирнов. Мат.сб.1956. Т.40, ,42. СЛ37-156.

3) J.R.lsbell. ünllorm Spaces. РготШепсе, 196*:

А.С.Мишенко ввел и исследовал равномерные аналога некоторых классов непрерывных отображений и применил их при нахождении таких непрерывных отображений, для которых вес образа не превосходит веса прообраза. Этот список можно продолжить и дальше. Для развития исследований в этом направлении З.Фролаксм в 1983 г. на семинаре по топологии Карлова университета (Прага) поставлена следующая осаая задача:

I. Найти и исследовать равномерные аналоги важнейших классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Одним из основных методов теоретико-множественной топологии является метод взаимной классификации пространств и отображений. Его суть отражена в следующих общих

с \

проблемах, поставленных П.С.Александровым"':

II. Даны класс А топологических пространств и класс М отображений. Каша,® внутренними свойствами выделяются те топологические пространства, которые можно полупить как образы пространств класса А яри отображениях из класса М?

III. Как описываются прообразы пространств из класса А при отображениях из класса ii?

IV. Какие свойства топологических пространств сохраняются при отображениях из класса .Т?

К настоящему времени оС^::е проблемы II и III, в основном, можно считать ревенными благодаря, прежде всего, фундаментальным работам А.В.Архангельского, 5.Ii.Пономарева и

4) А.С.Ьйшэнно. Fund. Uazh. 1966. Т.53. 0.135-208. £) P.S.AIexancLroif. Proc. 5улр. Gen. Topology, Prague, 1962. P. 41 -54.

о

их учеников.

Однако, эти проблемы II-IV в классе, равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений крайне мало исследованы.

М.Стоун в основополагающей работе®* отмечал, что одной из интересных и трудных проблем общей топологии является изучение всех расширений данного топологического

71

пространства. П.С.Александровым'' была поставлена проблема классификации компактных расширений и сформулированы различные обаие задачи о расширениях топологических пространств. Исходя из общей проблемы !.!. Стоуна, Б.Банашевский3* следующим образом систематизировал общие задачи теории расширений:

7. При каких условиях существует расширение данного пространства с заданными наперед свойствами?

71. Указать общий способ построения расширений с заданными свойствами.

711. Если К - класс расширений пространства X, то при каких условиях в К существует максимальный элемент?

Классические результаты Ю.М.Смирнова9 \ исследования А.А.Иванова3-0* и К.Мориты***, связанные с задачами V-7II, показывают естественность и универсальность использования

6) M.H.Stone. Trans. Amer. Math. Soc. 1937. Y.41. P.375-481.

7) П.С.Александров. Матем. сб. 1939. 1.5. С.403-424.

-8) B.SanaschevsfcL. Cañad. lath. Bull. 1964. 7.7. Jé 1. P.1-22.

9) Ю.М.Смирнов. Матем. сб. 1952. T.31. С.543-547.

10) A.A.Иванов. Зап. научн. семин. ЮМИ. 1973.Т.36.С.50-125.

11) К.Monta. Sel. Rep. Tokyo Kyollcu Daigaku (A). 1S70. 7.10. P.271-288.

понятия равномерной структуры при решении этих -задач.

Диссертационная работа состоит из нескольких циклов результатов, охватываемых изложенными выше общими постановками 1-711.

Цель работы. Целью работы является, во-первых, нахождение и исследование равномерных аналогов некоторых важных свойств топологических пространств и их непрерывных отображений, во-вторых, выяснение равномерностной природы некоторых топологических результатов, и, в-третьих, применение аппарата теории равномерных пространств к решению чисто топологических задач.

Методика исследования. Основным методом исследования является метод покрытий, а гзкке используются метод обратных спектров и метод взаимная классификации пространств и отображений.

Научная новизна. Основные результаты работы следующие:

1. Найдена внутренняя характеристика равномерных пространств, являющихся пределами обратных спектров, составленных из равномерных пространств веса и ¡кекщпх Сазы, состоящие из покрытий с заданным свойством Р.

2. Определен индекс полноты для полных равномерных пространств, показываний их "степень полноты"; дана его спектральная характеристика и установлена его непосредственная связь с весом полных равномерных пространств посредством совершенных равномерно непрерывных отображений.

3. Найдены равномерные аналоги паракомпактннх, перистых, псевдсксмпактных (и других) пространств и их основных

свойств.

4. Найдена внутренняя характеристика образов равномерных пространств веса (в частности, метризуемых равномерных пространств) при равномерно факторных (и других) отображениях. Доказано, что каждое равномерное пространство является образом некоторого нульмерного равномерного пространства того яе веса и того же индекса ограниченности при равномерно открытых отображениях.

5. Найден равномерный аналог совершенных отображений -равномерно совершенные отобракения. Основные факты теории совершенных отображений распространены на равномерно совершенные отображения.

6. .Теория Глисона-Пономарева об абсолютах топологических пространств распространена на равномерные пространства.

7. Посредством равномерных структур построены все паракомпактные, сильно параксмпактные, линделефовы и родственные им расширения произвольного тихоновского пространства. Аналогичные расширения построены в классе топологических груш и в классе линейно упорядоченных пространств.

8. Даны внутренние характеристики равномерных пространств, поддающихся равномерному вложению в евклидовы пространства о?".

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории равномерных и топологических пространств, а также в теории .топологических груш.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации

докладывались на общемосковском топологическом семинаре им. П.С.Александрова в 1990 г., на семинаре кафедры обшей топологии и геометрии (МГУ, 1987-1990), на семинарах по топологии проф. В.В.Федорчука (МГУ, 1987, 1989), проф. В.И.Пономарева (МГУ, 1986,1988), проф. З.Фролика (Карлов университет, Прага, 1983), проф. Д.Дойчинова (Софийский университет, 1988), проф. Л.Г.Замбахидзе (ТГУ, 1988, 1989). Результаты работы докладывались на международном топологическом симпозиуме (Прага, 1981), на международной; топологической конференция (Ленинград, 1982), на международной летней топологической школе (Болгария, Приморско, 1984), на V Тирзспольсхом симпозиуме по обшей топологии (Тирасполь, 1985), на международной топологической конференции (Баку, 1987), на топологическом коллоквиуме (Венгрия, Печь, 1989), на международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1989), на международной топологической конференции (Болгария, Варна, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертант:;: опубликованы з работах Ш-С16] и в монографии [17].

Структура я об~ем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав (разделенных на 17 параграфов) и списка использованной литературы, включавшего 143 наименования. Полный объем диссертации - 193 странзшы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I, в соответствии с обшей задачей I, исследуются ■

равномерные аналога паракошактных, связных, перистых, псевдокошакткых и других пространств. Кроме того, в этой главе исследуется специфическое равномерностное свойство пространства - свойство полноты. Во-первых, это слабая т-полнота {вводимая в §1.1) и, во-вторых, индекс полноты полных равномерных пространств (вводимый в §1.2). Следует отметить, что свойство равномерной т-перистости (вводимое в §1.4) также может рассматриваться как свойство полноты равномерного пространства. Все три указанные свойства гарантируют разложимость равномерного пространства в "хорошие" обратные спектры.

В §1.1 показывается, что равномерные пространства являются естественной средой для доказательства теорем о разложимости пространств в обратные спектры, в частности, дается решение (при естественных ограничение) следующей задачи:

Каковы те равномерные пространства, которые являются пределами всевозможных обратных спектров, составленных из равномерных пространств, имеющих базы, состоящие из покрытий с некоторым свойством Р?

Равномерное пространство (Х,И) называется Р-компактным, если равномерность и имеет базу В, состоящую из покрытий со свойством Р.

Равномерное пространство (Х,1т) называется слабо т-полным, 1 ^ Ко , если всякий г-центрированный фильтр Коши сходится.

Основным результатом этого параграфа является следующая

1.1.5. Теорема. Для равномерного пространства (Х,11)

следующие условия равносильны:

(1) Равномерное пространство (Х,Ш является Р-компактным и слабо г-полным.

(2) Равномерное пространство (X,U) является пределом обратного спектра С(Ха, üa), ,А}, составленного из Р-компактных равномерных пространств (Xa,Ua5 веса w(Ua)$T и равномерно непрерыных сюрьектиЕных отображения h*.

Из теоремы I-1.5 вытекают известные результаты, например:

теорема С.Мардешича*2^ о характеризации произвольного

компакта К (размерности dlmX < п) как предела обратных

спектров, составленных из метризуемых компактов X*

(размерности <ИтХа < п) (следствия 1.1.Э и I.I.I0),

п)

результаты Б.А.Пасынкова °' о характеризации полных по Дьедонне (вещественно компактных) пространств как пределов обратных спектров, составленных из метризуемых (сепарабельных метризуемых) пространств (следствия I.I.II и I.I.I2). Примером нового результата, вытекаг-лего из теоремы I.I.5, является

I.I.5. Следствие. Для равномерного пространства iX,U) следующие условия равносильны:

(I) Равномерное пространство (X,ü) является слабо

т-полеым.

'2) Равномерное пространство (X,U) является пределом обратного спектра, составленного из равномерных пространств веса с равномерно непрерывными проекциями.

В §1.1 также рассматриваются кардинальные инварианты:

12) S.Mardesic. Illinois J. of Math. I960. ЧЛ. P.278-291.

13) Б. А. На сынков. Матем. сб. IS65. Т.66. C.G5-79.

вес, юзазквес и индекс ограниченности равномерных пространств. Теорема 1.1.19 показывает, что любое равномерно непрерывное отображение равномерных пространств можно факторизовать по весу и индексу ограниченности, а из предложения 1.1.14 следует, что вес равномерного пространства не превосходит счетной степени его квазивеса.

В §1.2 вводится понятие индекса полноты равномерных пространств, характеризующего "степень полноты" полных равномерных пространств:

Наименьшее кардинальное число т называется индексом полноты полного пространства (Х,Щ и обозначается 1с(11), если существует такая система НЧ1, что ¡НКт и всякий фильтр Г в X, имеющий общий элемент с каждым покрытием а из Н, имеет точку прикосновения в (Х,И).

Индекс полноты полного равномерного пространства (Х,и) либо равен I, либо К $ 1с(Ш ^ №(11).

Для полного равномерного пространств (Х,И) его индекс полноты равен I тогда и только тогда, когда пространство (Х,Ш равномерно локально компактно.

Если для полного пространства (Х,11) выполняется неравенство 1с(и) < К. то его топологическое пространство (Х,Ти) является полным по Чеху паракомпактным пространством. Поэтому, в соответствии с внутренней характеристикой полных по Чеху пространств, при помоши полной последовательности покрытий14 \ полное равномерное пространство (Х,11) с индексом полноты 1с(И)< К называется равномерно полным по Чеху пространством15'.

14) а.В. Архангельский. Вестник ЫГ/. 1961. ,1Ш.С.37-40.

15) МЛте1т. Ршс1. Магь. 1981. У.124. Р.219-228.

В §1.2 изучается поведение индекса полноты полных пространств при основных операциях над равномерными пространствами (предложение 1.2.4, теоремы 1.2.5 и 1.2.9).

Основным результатом этого параграфа является следующая

1.2.II. Теорема. Для равномерного пространства (X,ü) и бесконечного кардинального числа т следующие условия равносильны:

(1) Равномерное пространство (X.U) полно и lc(U) ^ т.

(2) Равномерное пространство (X,U) является пределом обратного спектра {(Xa,Ua), h*. А}, составленного из полных равномерных пространств (Xa,TJo) веса vv(Ua) í т и совершенных равномерно нерперывных отображений h\

(3) Равномерное пространство (X.U) отображается на некоторое полное равномерное пространство (Y.V) веса w(V) < т посредством совершенного равномерно непрерывного отображения.

(4) ГлперпростраястЕо (ехрсХ, expcrJ) компактных подмножеств пространства (X,U) с равномерностью Хаусдорфа exp.lJ на нем является полнел и le (expelí) < т.

Из теоремы 1.2.11 следует ряд известных результатов, например, теорема З.Фролкка-6^ о характернаапзш полных по Чеху паракомпактов как совершенных прообразов полных метрических пространств (следствие 1.2.12) и теорема М.М.Чобана17' о том, что ппхерпространство ехр.л компактных подмножеств тихоновского пространства X является полным по

16) a.Prolilc. Bull. Acad. Pol. Sel. Ser. Math. 1960.3.?.147-150.

17) a.Cecan. Fund. Math. 1971. V.71. P.27-41.

Чеху ларскомпактсм тогда и только тогда. когда пространство X является полным по Чеху паракомпактом

(следствие 1.2.14!.

Отметим одно ногсе следствие из теоремы 1.2.II.

1.2.12. Следствие. Для равномерного пространства (X.U)

следующие условия равносильны:

(I) Равномерное пространство tX,U) является полным и

1сШ) ^ к .

(2; Равномерное пространство (X.U) является пределом обратного спектра UXa.üa>, А), ссстояшего из полных метрнзуемых равномерных пространств (Xt,Ue) и совершенных ргЕнсметао непзешвных отображений "на"

г - а

:2; Равномерное пространство (X.U) отображается на некоторое полное метризуемсэ пространство iY.\!) посредством совершенного равномерно непперывного отображения'.

Общепризнано. что паракомпакты образуют важнейзлй класс топологических пространств и поэтому заманчивым является похождение его равномерного аналога. Ранее были предложены

rq\ го\ ОТ1

различные варианты равномерной паракомпактности.* '' Бее они обладают теми или иными недостатками. Наиболее предпочтительным. нам кажется. является следующее определение равномерной паракомпактности, данное в <> 1.3: 1.3.I. Определение. Равнсмерное пространство tX.U)

13) 1.D.Rice. Proс. Amer. Math. Soc. 1977. V.62. P.359-362.

19! Z.Froiiic. Osscii. Math. J. 19S3. У.33. P.476-484.

¿ü) a.Höht1. агл. Асай. Sel. ïenrtical, Ser. Math. Helsinki.

1981.

■ называется - равномерно, паракомпактным, если для любого аддитивного открытого покрытия у пространства (Х,и) существует последовательность покрытий (апУси такая, что выполняется следующее условие:

для любой точки хеХ найдутся номер шеИ и элемент Гет такие, что звезда ат(х) содержится в Г.

Класс равномерно паракомпактных пространств достаточно широк. Он содержит, во-первых, класс всех метризуемых равномерных пространств и, во-вторых, класс зсех равномерно полных по Чеху пространств. Отметим, что каг^дый паракомпакт с его ■ максимальной равномерностью будет равномерно паракомпактным в нашем смысле и обратно", топологическое пространство равномерно паракомпактного пространства является паракомпактным.

Доказываются равномерные аналоги теоремы Даукера -

■7Т Ч

Катетова - Пономарева ; о характеризации паракомпактных пространств посредством ш-отобракений на метрические пространства (предложение 1.3.5) и теоремы Х.Тамано~2^ о характеризации паракомпактных пространств в терминах их расположения в компактных расширениях (предложение 1.3.6). Эти результаты, как нам кажется, подтверждают удачность определения 1.3.1.

В §1.4 вводится класс разномерно т-перистых пространств: 1.4.1. Определение. Равномерное пространство называется равномерно т-перистым, где т » если существует

псевдоразномерность Рси, удовлетворяющая следующим

21) В.И.Пономарев. ДАН СССР. 1962. Т.141. С.46-49.

22) Н.Такало. Рас1Г.«Г. о! Маш. 1960.7.1С.?. 1043-1047.

условииям:

(1) и(Р) < т;

(2) пересечение звезд Л(а(х): аеР) = Кх является компактным для любой точки хеХ;

(3) система звезд Са(Кх):а € Р> является фундаментальной системой окрестностей компакта Кх в пространстве (Х,Ти) для любой точки х € X.

Класс равномерно т-перистых пространств содержит класс полных равномерных пространств, индекс полноты которых не превосходит т (предложение 1.4.2) и содержится в классе всех слабо т-полных равномерных пространств (предложение 1.4.4).

Равномерно -перистые пространства называются

равномерно перистыми. Они являются равномерным!: аналогами

от \

перистых пространств, введенных А.В.Архангельскик~ .

Топологические свойства перистости и паракомпактности являются независимыми. Однако, в классе топологических групп свойство перистости влечет свойство паракомпактности24^. Стоит подчеркнуть, что аналогичное явление наблюдается также в классе равномерных пространств:

Всякое равномерно перистое пространство равномерно паракомпактно.

Класс равномерно перистых пространств содержит класс всех метризуемых равномерных пространств и класс всех равномерно полных по Чеху пространств.

Основным результатом §1.4 является следующая

23) A.B.Архангельский.Матем.cö.1965.Т.67.,№31.С.55-85.

24) Б.А.Пасынков.ДАН СССР.1965.T.I6I JB.C.28I-284.

1.4.6. Теорема. Для равномерного пространства (Х,И) следующие условия равносильны:

(1) Равномерное пространство (Х,И) является равномерно т-перистым.

(2) Равномерное пространство (X,U) является пределом обратного спектра C(Xa,Ua), составленного из равномерна! пространств (Ха,ив)~веса w(U ) i ти совершенных равномерно непрерывных отображений "на" 1г\

(3) Равномерное пространство (X.U) отображается на некоторое равномерное пространство (Y.7) веса w(VKx посредством совершенного равномерно непрерывного отображения 1.

(4) Гиперпросгранство (ехр^Х.ехр^Я) является равномерно т-перистым.

Теорема 1.4.6 имеет ряд следствий, среди которых отметим теорему Клюшина-Мориты25 * "с,е ^ о характерпзашш перистых паракомпактов как пределов обратных спектров, составленных из метрических пространств с совершенными проекциями

nrt 1

(следствие 1.4.8) и теорему A.B. Архангельского о характеристике перистых паракомпактов как совершенных прообразсз метрических пространств (следствие Г.4.9). -

Читатель, наверное, уже заметил "параллельность" некоторых результатов (теоремы I.I.5, I.2.II и 1.4.6), которые показывают тесную связь между свойствами типа полноты 'л разложения пространств в обратные спектры.

25) В.Л.Клшш.ДАН СССР.IS64.Т. 109.С.734-737.

26) KJiorita. Sei. Rep.Tolcyo Kyolku üalgolcu (А).(970. 7.10. Р.271-288.

Отметим, что произведение т штук равномерно т-перистых пространств является равномерно t-перистым (предложение 1.4.II).

Б §1.5 исследуются равномерные аналога связных и псевдокомпактных пространств.

Равномерное пространство (X,U) называется равномерно связным27 \ а равномерность U связной, если всякое раномерное отображение 1: CX.ü) -> (D,V) равномерного пространства (X.U) в любое дискретное равномерное пространство (D.V) является постоянным отображением.

Следующий критерий метризуемости равномерно связанных пространств интересен тем, что он формулируется без привлечения "паразита счетности".

1.5.5. Предложение. Равномерно связное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно имеет линейно упорядоченную (по вписанности) базу.

Слудующая теорема является одним из примеров решения задачи V в конкретном случае.

1.5.7. Тесрема. Для того, чтобы тихоновское пространство X имело связное компактное расширение, необходимо и достаточно, чтобы на X существовала связная равномерность U, порогагахшая топологию пространства X.

Равномерное пространство (X,U) называется равномерно псевдокомпактным, если всякая равномерно непрерывная вещественная функция на (X,U) ограничена.

Всякое предкомпактное пространство является равномерно

27) I.M.James. Topological and Uniform Spaces. Springer, New-York, 1937.

псевдокомпактным. Обратное, вообще говоря, неверно.

Через С (У,У) обозначим пространство равномерно непрерывных вещественных, определенных на (У,V) функций с топологией поточечной сходимости, наделенное естественной равномерностью.

Следующая т-орема является одним из основных результатов §1.5.

1.5.17. Теорема. Для равномерного пространства (Х»Ш следующие условия -равносильны:

(1) Равномерное пространство (Х,0) является равномерно псевдокомпактным.

(2) Существует такое прелхомпакткое равномерное пространство :г,У), что равномерное пространство Ср(1,У) изоморфно равномерному пространству Ср(Х,11).

13) Равномерное тгасгоэнство С (Х,1Т) является

* р

объединением счетного числа своих предкомпактных подпространств.

Перейдем к изложению осноешх моментов содержания главы 2. «

Теория равномерных пространств может успешно раззиваться лишь в единстве с теорией их равномерно непрерывных отображений. В главе 2 исследуются равномерно факторные, равномерно открытые и равномерно совершенные отображения. Далее на равномерно непрерывные отображения распространяется ряд результатов, касающихся пространств. В этой главе дается решение ряда конкретных задач, в рамках равномерного варианта обяих проблем П-1У.

§2.1 посвящен равномерно факторным . отображениям.

Известное определение равномерно факторного отображения является внешним. Оно во многих ситуациях неудобно для использования. Предложение 2.1.3 дает новую внутреннюю характеристику равномерно факторных отображений, которое играет ключевую роль при доказательствах основных результатов данного параграфа.

2.1.5. Предложение. Если Г:<Х,и> -> (Т,V) равномерно факторное отображение, то и(7) (те(II).

Отметим, что в топологическом случае такое неравенство, как в предложении 2.1.5, не выполняется.

Основным результатом §2.1 является

2.1.6. Теорема. Для равномерного пространства (Х,Ш следующие условия равносильны:

(1) Квазивес равномерного пространства (Х,и) не больше т.

(2) Равномерное пространство (Х,и) является "образом некоторого равномерного пространства (У,У) веса ^ т при равномерно факторном отображении Г. При этом равномерное пространство (У,7) можно считать нульмерным.

Следствие 2.Г.7 теоремы 2.1.6 дает внутреннюю характеристику соразов метрических пространств при равномерно факторных отображениях.

Дается также внутренняя характеристика образов (нульмерных! равномерных пространств веса ^ т, в частности, метрических пространств, при равномерно факторных компактных отображениях (теорема 2.1.3 и следствие 2.1.9).

3 §2.2 вводится и исследуется класс равномерно открытых отображений.

Равномерно непрерывное сюръективное отображение

Г: (X,U)->(Y,V) называется равномерно открытым, если отображение Г переводит каждое открытое равномерное покрытие а € U в открытое равномерное покрытие ía е V.

Следующая теорема является одним из основных результатов данного параграфа.

2.2.2. Тесрема. Каждое равномерное пространство (X,U) является образом некоторого нульмерного равномерного пространства (2,7) того же веса w(V) = w(U) и того же индекса ограниченности Z(7)=Z(U) при равномерно открытом отображении.

Доказывается, что равномерные .пространства, имеющие оазы, которые состоят из точечно конечных покрытий, и только они, являются образами нульмерных пространств при равномерно открытых компактных отображениях (теорема 2.2.3). Отметим еше один результат §2.2.

2.2.9. Теорема. Пусть отображение í:(X,U)->(Y,V) является равномерно открытым, пространство (Y.V) и прообраз каждой точки у € Y являются полными равномерными пространствам:;. Тогда равномерное пространство (X.U) является полным.

Теорема 2.2.9 усиливает соответствующий результат

''я !

А.С.Мппэкко из нее следуют также результата

Н.Я.Вплеккика"' и. М.И.Рраева'-' , доказанные соответственно для полных по Вейлю и полных по Райкову топологических групп.

В этом параграфе изучаются также другие классы

23) А.С.Мишенко. Fund. Math. 1966. V.58. Р.185-208.

29) К.я.виленкин. Матем. сб.' 1948. Т.22.С Л35-177.

30) М.И.Граев, УМК. 1950. Т.5. вып.2. С.3-56.

отображений, являющихся подклассами класса равномерно открытых отображений.

§2.3 является центральным параграфом главы 2. В этом параграфе найден равномерный аналог совершенных отображений - равномерно совершенные отображения и на равномерно совершенные отображения распространены основные факты теории совершенных отображений.

Равномерно непрерывное отображение Г:(Х,и)->(1,4) называется предкомпактным, если для любого а £ и существуют покрытие ¡3 е 7 и конечное покрытие 7 с О такие, что покрытие Г"1|ЗЛ7 вписано в'покрытие а.

Равномерно непрерывное отображение Г: (Х,И)->(УД) называется равномерно совершенным, если оно одновременно предкомпактно и совершенно в топологическом смысле.

Категорную характеристику равномерно совершенных отображений дает следующая

2.3.3. Теорема. Отображение Г: ;Х,Ш~> (У,7) равномерного

пространства (Х.Ш на равномерное пространство (У,7)

равномерно совершенно тогда и только тогда, когда следующий

кЕадрат декартов в категории Ш1Г: 1ч

iX-.il)-~-(SX.SU)

Г| 1 ¡3(Г)

(1,7)---ХзУ,з7) ,

где (зХ.зИ) и (эУ.зУ) - ксмпактиСпкашш Самюэля равномерных пространств (X,") и (У,7) соответственно, э(Г) естественное продолжение отображения Г, а 1х и -равномерно непрерывные канонические инъекции.

Как и в случае совершенных отображений тополопгческих

пространств многие важнейшие свойства при равномерно совершенных отображениях сохраняются и в сторону образа и в сторону прообраза.

2.3.9. Теорема. Пусть 1:СХ,Л)->(У,У) - равномерно совершенное отображение. Тогда следующие равномерные свойства сохраняются как в сторону образа, так и в сторону прообраза: компактность, полнота и индекс полноты ^ т, предкомпактность, т-ограниченнссть, равномерная локальная компактность, равномерная полнота по Чеху и разномерная паракомпактность в смысле Райса13>.

Равномерно непрерывное отображение Г:(Х,и)->(У,У) называется полным, если всякий фильтр Коши Р в (Х.11), для которого ГР сходится в (У,7), сходится в (Х,П).

Связь между равномерно совершенными, предкомпакгными и полными отображениями дает

2.3.15. Теорема. Отображение I: (Х,И)-ХУ,7) равномерно совершенно тогда и только тогда, когда оно полно и предкомпактно.

Теорема 2.3.15 обобщает следующий фундаментальный факт^: равномерное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и предкомпактно.

Эти и другие результаты показывают, что равномерно совершенные отображения играют среди всех равномерно непрерывных отображений роль, сходную с ролью компактов среди всех равномерных пространств и с ролью совершенных отображений среди всех непрерывных отображений.

В §2.3 вводится также понятие пополнения равномерно непрерывного отображения. Из предложения 2.3.17 следует, что

каждое равномерно непрерывное отображение имеет единственное, с точностью до изоморфизма, пополнение. Пополнение равномерно непрерывного отображения является равномерно совершенным тогда и только тогда, когда оно является предкомпактным (теорема 2.3.18).

В §2.4 рассматривается специальная категория UnII(Y,V), объектами которой являются равномерно непрерывные отображения произвольных пространств в фиксированное пространство (Y,7). В случае, когда (Y,7)-одноточечное пространство, эта категория превращается в категорию Unii, то есть категорию равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. В этом параграфе на категорию Unir(Y,7) распространяются факторизашснная теорема С.Мардеппча12', теорема Зарелуа-Пасынкова31^'32^ о существовании универсального компакта данного веса и данной

то \

размерности и спектральная теорема Е.В.Щепина .

В главе 3 теория Глисона-Пономарева°4)'35)'26^ об абсолютах топологических пространств и результаты

°7)

З.В.£здорчука об упорядоченных абсолютах упорядоченных пространств распространяются на равномерные пространства. Ключевую роль в -этой главе играют равномерно совершенные отображения. В этой главе скрещиваются многие результаты

3D А.В.гарелуа. ДАН СССР. 1964. T.I54. C.I0I5-I0I8.

32) Б.A.ZaCLffiKOB. ДАН СССР. 1964. Т.154. C.IC42-IQ43.

33) Е.В.^эпин. УШ. 1976. Т.31. вып.5. С. 181-226.

34) АЛ.Лзаэоп. ril.J. oi Math. 1958. V.2. P.482-489.

35) В.Л.Пономарев. ДАН СССР. 1963. Т.149. С.626-629.

36) В.И.Пономарев. Матем.сб. 1963. 1.60. С.89-113.

37) В.В. -5едорчук. Сибирский мат.ж..1969..Т.10. С.172-137.

прениествуюшкх двух глав.

В §3.1 по аналогии с определением абсолюта

ОС, \

топологического пространства, данного В. ¡1. Пономаревым ; и ставшего уже классическим, вводится понятие абсолюта равномерного пространства. Другими словами, абсолют равномерного пространства - это его максимальный равномерно совершенный неприводимый прообраз. Вводится такие понятие равномерно экстремально несвязного пространства:

Равномерное пространство -(Х,1?) называется равномерно экстремально несвязным, если, во-первых, равномерность и

содеркит максимальную ггоедкомпактную оавнометшссть ид '

р

пространства К, во-вторых, топологическое пространство £Х,Ти} является экстремально несвязным.

3.1.4. Теорема. У всякого равномерного пространства существует единственный, с точностью до изоморфизма, абсолют, являющийся равномерно экстремально несвязным пространством.

Деэ равномерных пространства называются соабсолютнымк, если их абсолюты изоморфны. Таким образом, все равномерные ппсстранстЕа распадаются на классы соабсолютных меаду собой псостранств. Теорема 3.1.9 дает критерий соабсолютнссги двух равномерных пространств в терминах многозначных неприводимых оавнсмерно соЕетшенных отображений. Из теоремы 3.1.10 следует, что у соабсолютных равномерных пространств много общих свойств. Так, например, если одао из них полно (предкомпактно), то и другое является полным ¡предкомпактным), у них один и гот^же индекс ограниченности и т.д.

3.1.II. Предложение. Равномерно экстремально несвязные пространства, и только они, являются абсолютами самих себя.

3 этсм же параграфе вводится понятие абсолюта равномерно непрерывного отображения. Из теоремы 3.1.7 следует, что абсолют равномерно совершенного (предксмпактного) отображения является равномерно совершенным (предкомпактншл) отображением, а абсолют равномерно совершенного неприводимого отображения является изоморфизмом.

Одним' из основных результатов §3.1 является теорема 3.1.12, утверждающая, в частности, что пополнение (кошактишкаиля Самюэля) абсолюта любого равномерного пространства изоморфно абсолюту его пополнения гксшактификаиии Самюэля). Из этой теоремы следует соответствующий результат С.Д.Илиадиса23^ о том, что компактпаикация Стоуна-Чеха абсолюта любого тихоновского пространства гсмеоморфна абсолюту его компактифинашш Стоуна-Чеха.

§3.С посвящен проективным объектам категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. В нем доказывается, что равномерно экстремально несвязные пространства, и только.они. являются проективными объектами категории ип1Г относительно класса равномерно совершенных отображений (теорема 3.2.1).

В 53.3 вводится понятие упорядоченного равномерного пространства, и на этот класс пространств распространяются

ос 1

результаты исследований З.В.Федорчука"' об упорядоченных

33) С.Д.Ялиадис. ИДЯ СССР. 1963.

абсолютах упорядоченных пространств. Основным тэезудьтатсм 53.3 является теорема 3.3.4, утверждающая существование упорядоченного равномерного абсолюта у каждого упорядоченного равномерного пространства и дакпая егс характеристику посредством специальных многозначных отображений.

В главе 4 посредством равномерных структур дается решение ряда конкретных задач в рамках вшепоставленных оошгх проблем V-'VII.

В §4.1 посредством равномерных структур строятся различные расширения тихоновского пространства. Одним из основных результатов §4.1 является теорема 4.1.5, на ссноЕе которой строятся все полные по Дьедонне, все параксмпакткые. все сильно паракомпактные, все линделефовы расширения произвольного тихоновского пространства X как пополнения по соответствующим равномерным структурам пространства X (см. задачу VI}.

3 теореме 4.1.8 устанавливается изоморфизм между частично упорядоченным множеством всех локально компактных паракокпактных (локально компактных линделефэЕых) расширений данного -тихоновского пространства X л частично-упорядоченным . множеством зсех предуниверсальных раЕнсмерностей пространства X, содержащих равномерное покрытие (счетное равномерное покрытие), состоящее из предксмпактных подмножеств.

Предложение 4.1.9 дает необходимые и достаточные условия, при которых частично упорядоченное множество всех параксмпактных- расширения тлеет наибольший

элемент (см. задачу Vir).

С псмошыо равномерных структур строятся также все паракомпактные (соответственно сильно паракомпактные, линделефовы) полные по Чеху расширения данного тихоновского пространства (теорема 4.Г.II). Предложение 4.1.13 дает необходимое и достаточное условие, когда пополнение по универсальной равномерности данного тихоновского пространства является паргкемпактным (соответственно сильно паракомпактным, линделефовы:,!). Предложение 4.1.13 дает ответ

ос n

на одну задачу К..'.!ориты~ .

3 §4.2 посредством равномерных структур строятся все упорядоченные паракомпактные, все упорядоченные линделефовы и все упорядоченные компактные расширения данного упорядоченного пространства (теорема 4.2.4). В отличии от частично упорядоченного множества всех паракомпактных расширений данного тихснсасксго пространства, частично упорядоченное множество всех упорядоченных паракомпактных расширений данного упорядоченного пространства всегда алеет наибольший элемент (следствие 4.2.5).

О ГГ \

Отметим, что 2 расотэ 3.3.£эдорчука"' методом сечений построены все упорядоченные компактные расширения данного упорядоченного пространства и установлено, что среди этих упорядоченных расширений существует наибольшее расширение. Эти результаты также следуют из теоремы 4.2.4.

Следствие 4.2.Э утверждает, что наибольшее упорядоченное паракемпоктное расширение упорядоченного абсолюта данного упорядоченного пространства (X, о изоморфно (как упорядоченное пространство! упорядоченному абсолюту

2S

наибольшего паракомпактного расширения (Х,< ).

В §4.3 вводится понятие равномерной группы:

Тройка (G,•,U) называется равномерней группой, а равномерность U-групповой равномерностью, если выполняются следующие условия: I) (G, • ) - абстрактная группа; 2) (G,U) -равномерное пространство; 3) для любых двух фильтров Коши J и ?г в (G.U) семейство CF^-F^1: Pt £ 7Х, ?2 € ? > ягляется базой фильтра Коши в (G,iï).

Всякая равномерная группа является топологической группой с топологией, порожденной групповой равномерностью. Обратно, всякая топологическая группа относительно ее двусторонней равномерности является равномерной группой. Однако, кроме двусторонней равномерности на топологической группе, ЕооСше говоря, существует много других равномерностей, превращающих ее в равномерную группу, и среди них существует наибольшая равномерность (следствие 4.3.5).

4,2.5. Теорема. Пусть (G,*) - абстрактная группа, U -равномерность на G, такая, что (G,-,TU) - топологическая группа, a (G.'J) - поцолнение равномерного пространства iG.'J). Для тего, чтобы продолжить групповую -операцию с (G,Tu; на (C.Ï, ) с сохранением непрерывности, необходимо и

и

достаточно, чтобы fG,•,U) была равномерной группой.

Посредством равномерных структур строятся все полные по Яьедонне топологические группы, содержащие данную топологическую группу в качестве всюду плотной подгруппы (теорема 4.3.9) и устанавливается, что среди таких топологических групп существует максимальная (следствие 4.3.10).

Одним из основных результатов §4.3 является теорема 4.3.1, которая в терминах равномерных групп описывает подгруппы паракомпактных (соответственно линделефовых) топологических групп. Теорема 4.3.11 дает ответ на один вопрос, поставленный А.В.АрхангельскимЗЭ).

В §4.4 рассматривается одна задача, поставленная О.М.Смирновым более 30 лег назад, о нахождении необходимых и достаточных условий для равномерного вложения пространств в евклидовы пространства кп. В классе вполне ограниченных метрических пространств эта задача решена в работе

Е.А.Гсрпна4аЧ В работах Дж.Исбелла<41) и Д.Дойчинова^ найдены необходимые и достаточные условия для равномерного вложения равномерного пространства (Х,и) в евклидово к". Условия, найденные в работе Дж.Исбелла4*^, выглядит довольно сложно, и не все условия сформулированы во внутренних

АО \

терминах, а з работе Д.Дойчинова ' требуется существование специального Еида отображений из (Х,П) в к" Поэтому вопрос о нахождении внутренней характеристики равномерных пространств, поддающихся указанному вложению, оставался открытым. Предложенные в данном параграфе условия дают такую характеристику (теорема 4.4.5).

¿21

39) А. 3. Архангельский.УШ. 1981.Г.36.вып.3.С. 127-146.

40) Е.А.Горин.УЖ. 1959.Т. 14.3ЫП.5.С.129-134.

41) «7.1зЬе11.?ас1Г.«Г. оГ МаШ. 1958.7.8.Р.67-56.

42) Д.Дсйчинов.ДАК СССР.I961.Т.133.С.1276-1279.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Борубаев A.A. О пополнениях и отображениях равномерных пространств// Сообщ. АН Груз. ССР. 1931.Т.103,ЖЗ,С.533-536.

2. Борубаев A.A. Равномерные структуры и расширения топологических пространств// УМН.1932.Т.37.Вып.5.С.165-166.

3. Борубаев A.A. О равномерно совершенных отображениях //Теоретич. и приклад, вопросы матем. Тарту,1985.С.28-30.

4. Борубаев A.A. Об отображениях равномерных пространств //Бакинская междун. конф. Тезисы, Часть II. Баку, 1937,С.53. 5". БорубаеЕ A.A. Абсолюты равномерных пространств //УМН.1933.Т.43,Вып.I.С.193-194.

6. Борубаев A.A. Равномерно совершенные отображения. Абсолюты равномерных пространств// Докл. Болт. АН.1989.Г. 42,Ж. С.19-23.

7. Борубаев A.A. О равномерных группах и их пополнениях //Докл. Болт. АЕ.1389,Т.42,Я2.С.З-П.

8. Борубаев A.A. К теории упорядоченных пространств// Докл. Болт. АН.1989.Т.42,,'йВ,С.21-23.

9. Борубаев A.A. О пополнениях равномерных пространств и расширениях топологических пространств// СЕРДИКА, Българско мат.списание.1989.Т.15,Кн.I.С.63-73.

10. Борубаев A.A. О трех свойствах равномерных пространств//Сообщ. АН Груз. ССР. 1939.Т.35..»£2.С.273-275.

11. Борубаев A.A. Об упорядоченных равномерных пространствах// Математически Весник.1989.Т.41.С.217-226.

12. Борубаев A.A. Геометрия равномерно непрерывных отображений// Сообщ. АН Груз.ССР. 1990.Т. 137,.'КЗ,С.497-500.

13. Борубаев A.A. О разложении равномерных пространств в обратные спектра// Вестник МГУ, сер. матем.механ. 1990.С.59-61.

14. Борубаев A.A. О равномерном вложении пространств в евклидовы пространства// Докл. Болгарской АН. I99Q.Т.43.)®.С.13-15.

15. Eorabaev A.A. On completeness and completions oí uniformly continuons mappings// Zbomik. radora Fllozofskog fakulteta u Mlsu. Serina Matem. 1990. V.4. P.95-97.

16. BorubaeY A.A. A classification oí complete uniform space// Tartu Ullk. Tolmetlsel. 1990. Y.899. P.103-110.

17. Борубаев A.A. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения. Фрунзе, "Илим", 1990, -172 С.

Подписано к печати C2.08.9I. Заказ 412.

Тираж ICO зкз. Усл.п.л. 1,5 .

МП "СИСТЕМА". 720000 Бишкек, Белинского 102.