Метрические и метризуемые отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

0050513*о

НГУЕН Тхи Хонг Ван

/I

й

МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

01.01.04. Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

4 АПР 2013

Москва - 2013

005051346

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» на кафедре геометрии математического факультета

доктор физико-математических наук, профессор Пасынков Борис Алексеевич.

Арутюнов Арам Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов»),

Фоменко Татьяна Николаевна доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова»).

Ведущая организация: ГБОУ ВПО «Московский городской

педагогический университет».

Защита состоится 26 апреля 2013 г. в 16 часов 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «26» марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Иванов Александр Олегович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, главными объектами исследования в общей топологии являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения. Однако на топологическое пространство можно смотреть как на простейший случай непрерывного отображения, так как пространство можно отождествить с его отображением в одноточечное пространство. Это наблюдение сразу же приводит к задаче распространения понятий и утверждений, касающихся пространств, на отображения, что и объясняет возникновение нового раздела общей топологии, который стал называться общая топология непрерывных отображений или послойная общая топология.

Отметим, что идея распространения понятий и результатов, касающихся пространств, на непрерывные отображения возникла достаточно давно. Например, в 1947 г. И.А. Вайнштейн предложил называть совершенные отображения компактными1, а в 1953 г. Г.Т. Уайберн рассмотрел компактификации отображений2. Однако общего подхода к указанному распространению выработано не было. Систематическое построение послойной общей топологии было начато Б. А. Пасынковым5 в 1984 г. и Джеймсом4 в 1989 г. В частности в статье Б.А. Пасынкова вводятся аналоги тихоновские отображения; для отображений строятся аналог тихоновских кубов; для тихоновских отображений (обобщенным методом Тихонова) строятся: тихоновские бикомпактификации того же веса, что и отображения (аналог теоремы А.Н. Тихонова); максимальные тихоновские бикомпактификации (аналог бикомпактификаций Стоуна-Чеху); бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификаций П.С. Александрова. Вводятся и изучаются также понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, паракомпактного, предметризуемого и т.д. отображения.

Одним из важнейших классов исследуемых в общей топологии пространств является класс метрических (и метризуемых) пространств. Рассмотрение этого класса пространств приводит к следующей важной специализации общей

'Вайнштейн И.А. О замкнутых отображениях метрических пространств// Докл.АН СССР, - 1947 — Т.57 - №4 - с. 319-321.

2Whyburn G.T. A unified space for mappings, Ttane. Amer. Math. Soc. 74 (1953), no. 2, 344-350.

'Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. М., 1984. с. 72-102.

4 James I.M. Fibrewise topology. Cambrige Univ. Press, Cambrige, 1989.

задачи, сформулированной в первом абзаце введения: найти в классе непрерывных отображений аналог метрических (и метризуемых) пространств, который охватывал бы достаточно широкий класс отображений и на который можно было бы распространить основные утверждения, касающиеся метрических (и метризуемых) пространств. В 1999 г. понятия метрики на множестве и метрического (метризуемого) пространства были распространены на отображения множеств в пространства в статье Б.А. Пасынкова5. Отметим, что понятия (псевдо) метрики и послойно полной метрики на непрерывном отображении были определены в статье студентки В.А. Пасынкова H.H. По-рожнеты6 в 1986 г. Отметим еще, что в статье Д. Бухаджера, Т. Мивы и Б.А. Пасынкова7 был рассмотрен класс отображений метризуемого типа, но в ней нет понятий метрики на отображениях и метрического (метризуемого) отображения.

Цель работы. Основные цели диссертации таковы: во-первых, (в главе 1) продолжить начатое в работах Б.А. Пасынкова и Г. Нордо5 8 изучение полноты и пополнений метрических отображений и, во-вторых, (в главе 2) для метрических отображений получить аналоги теорем Т.Н. Фоменко9 10 о неподвижных точках отображений поточечно сжимающих метрических пространств в себя и A.B. Арутюнова11 о точках совпадения пары отображений одного метрического пространства в другое; продемонстрировать возможность применения к метрическим отображениям разработанного Т.Н.Фоменко метода поисковых функционалов в задачах доказательства существования и отыскания неподвижных точек и точек совпадения для отображений метрических пространств.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы

5Пасынков В. А. О метрических отображениях. // Вестник Московского Университета. Сер. 1, Математика.. Механика. 1999. ДОЗ, с. 29-32.

6 Порожнета Н. Н. Послойный вариант принципа сжимающих отображений. // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1986, с. 76-82.

'Buhagiar D., Miwa Т., Paaynkov В. A., On metrizable type (MT-) maps and spaces// Topology and its applications, 96 (1999), 31-51.

8Nordo G., Pasynkov B. A., On trivially metrizable mappings// Q&A in General Tbpology, 18 (2000), 117-119.

'Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств.// Математические Заметки, том 86, №.1, Июль 2009, с.110-125.

10Фоменко Т.Н. Топологические методы в теории неподвижных точек и совпадений (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). Москва (2010)

11 Арутюнов A.B. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки// Доклады Академии наук. - 2007. Т. 416, №2, с.151-155.

являются новыми. Основные результаты работы таковы:

1. Получена характеризация полноты метрических отображений, позволяющая упростить первоначальное определение этой полноты. Показано, что полноту метрических отображений можно определять стандартным способом в случае, когда область значений метрического отображения удовлетворяет первой аксиоме счетности. Доказано, что для замкнутых метрических метрических отображений свойства полноты и послойной полноты равносильны.

2. Получен метод построения пополнения метрического отображения, не опирающийся на теорему существования и единственности пополнений метрических пространств, и близкий к стандартному методу построения пополнений метрических пространств (при помощи классов эквивалентных фундаментальных последовательностей точек). В случае, когда область значений отображения удовлетворяет первой аксиоме счетности, пополнение метрического отображения можно получить стандартным способом.

3. Доказано, что в частично упорядоченном множестве всех послойно полных расширений метрического отображения / существуют наибольший элемент (это пополнение отображения /) и наименьший элемент (это послойное пополнение отображения /). В случае замкнутости метрического отображения / послойная полнота / равносильна его полноте, а все его послойно полные метрические расширения совпадают с его пополнением (и с его послойным пополнением).

4. На метрические отображения распространена теорема Лаврентьева о продолжении на С^-оболочки гомеоморфизма подпространства одного метрического пространства на подпространство другого метрического пространства.

5. На метрические отображения обобщена теорема Т.Н. Фоменко о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрических пространств (обобщающая теорему С. Банаха о неподвижных точках сжимающих отображений).

6. Для метрических отображений получены три аналога теоремы A.B. Арутюнова о точках совпадения пар однозначных отображений (одно из которых а-накрывающее, а другое /3-липшицевское) одного метрического пространства в другое. Во всех трех случаях рассматриваются два шар-морфизма (один из которых накрывающий, а другой липшицев-ский) метрического послойно полного открытого отображения на пара-компакт в другое метрическое отображение на тот же паракомпакт. В первом случае этот паракомпакт предполагается 0-мерным, а в третьем случае на слои накрывающего тар-мофизма накладывается условие выпуклости. При этом роль точек совпадения отображений метрических пространств играют непрерывные сечения, целиком состоящие из точек совпадения тар-морфизмов метрических отображений.

7. Продемонстрирована возможность применения к метрическим отображениям разработанного Т.Н.Фоменко10 12 метода поисковых функционалов в задачах доказательства существования и отыскания неподвижных точек и точек совпадения для отображений метрических пространств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы при чтении спецкурсов и ведении спецсеминаров для студентов и аспирантов и в последующих научных исследованиях.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались

• на Всероссийской конференции "Математика, информатика и методика их преподавания", посвещенной 110-летию математического факультета Московского педагогического государственного университета, Москва, 2011.

• на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, 2012.

• на заседаниях научно-исследовательского семинара имени П.С. Александрова (кафедра общей топологии и геометрии МГУ).

"Fomenko Т. N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problems of n one-valued or multi-valued mappings.// Topology and Its Applications, vol. 157, no. 4, pp. 760-773, 2010.

• доклад Нгуен Тхи Хонг Ваи и Пасынкова Б.А. "Послойные варианты теорем Банаха и Арутюнова" включен в программу 4-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева, Москва, 25-27 марта, 2013г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из четырех параграфов, глава 2 - из трех параграфов. Список литературы состоит из 27 наименований. Работа изложена на 74 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность выбраппой темы научного ис-следоватения, вводятся основные понятия и излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

Под пространством в диссертации понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

Для системы 21 подмножеств пространства X считаем с? 21 = {clA: A е 21}. Для точки х е X через N(x) будем обозначать семейство всех ее окрестностей. Для отображения множеств /: ЛГ —> У коограничением отображения f на множество Z С У, содержащее образ fX, называется такое отображение corzf: X -4 Z, что corzf(x) = f(x) для всех х е X. Если Z = fX, то вместо corzf пишется cor f.

Фиксируем пространство У с топологией т.

Напомним некоторые определения из статьи5.

Для отображения / множества X в пространство (У, т) псевдометрика р на X называется метрикой на /, если ее ограничение на каждый слой /-1У> У & У, является метрикой на этом слое. Топологией т(р, /) (порожденной метрикой р на f) называется топология на X с предбазой тр U /_1т. Пара (/, р), состоящая из отображения / и метрики р на нем, называется метрическим отображением.

Непрерывное отображение /: (X, тх) У называется метпризуемым, если на / существует метризующая его метрика р, т.е. т(р, /) = ту.

Глава 1 посвящена изучению полноты и пополнений метрических отображений, определенных Б.А. Пасынковым в 5.

Метрика р на отображении f'.X-^Y называется полной, если (*) для любой точки у еУи любого фильтра УвХ, содержащего, во-первых, элементы сколь угодно малого диаметра и, во-вторых, систему f~1N(y), пересечение П р) cl $ непусто (замыкания берутся в топологии т(р, /)).

Метрическое отображение (/, р) называется полным, если метрика р на / полна.

Непрерывное отображение f:X—*Y называется полно метризуемым, если на / существует метризующая его полная метрика.

В §1 упрощается определение полноты метрических отображений. Для этого вводится следующее определение.

Определение 1.1. Пусть дано метрическое отображение (/,р): X —>■ К

1. Последовательность {хп}пек точек пространства X называется у-фундамен-тальной для у € У, если она фундаментальна относительно псевдометрики Р И последовательность точек {fxn}neN сходится к точке у.

2. Убывающая последовательность А\ Э Э ... подмножеств пространства X называется у-фундаментальной для у € Y, если у € cl fAn для всех п G N и diam Ап —>• 0 при п -> оо.

Теорема 1.1. Для метрического отображения (f,p): X -> Y следующие утверждения эквивалентны: г) метрика р на f полна;

Н) для любой точки у е У и любой у-фундаменталъной последователъно-

оо

сти множеств {j4n}neN выполняется соотношение /-1у П р| cl Ап -ф 0;

п=1

in) для любой точки у £ Y и любой у-фундаментальной последовательности замкнутых множеств выполняется соотношение f~1y П 00

П Fn ф 0.

П=1

Если в теореме 1.1 пространство Y имеет счетную тесноту, то полнота / равносильна сходимости ¡/-фундаментальных последовательностей счетных множеств (следствие 1.1).

Следующая теорема проясняет, когда полнота метрического отображения

может быть определена стандартным способом.

Теорема 1.2. Метрическое отображение (/, р) пространства X в хаусдор-фово пространство Y, удовлетворяющее первой аксиоме снетности, полно тогда и только тогда, когда для всех у £ Y любая у-фундаменталъная последовательность точек сходится.

В конце §1 рассматривается послойная полнота метрических отображений (Метрическое отображение (/, р): X У называется послойно полным, если ограничение метрики р на каждый слой f~ly, у 6 У, полно). Нетрудно заметить, что полные метрические отображения послойно полны, но обрати ное утверждение неверно (приведен контрпример). Все же иногда послойная полнота эквивалентна полноте метрического отображения.

Теорема 1.3. Замкнутое метрическое отображение полно тогда и только тогда, когда оно послойно полно.

Основным результатом §2 является описание метода построения пополнения произвольного метрического отображения, близкого к стандартному. Напомним определение пополнения метрических отображений, данное в 5.

Для метрических отображений (fip):X-^Yv.(g,d):Z-^Y отображение /¿: X —¥ Z называется (плотной) изометрией feg, если (цХ плотно в (Z, r{d, g)),) f = g о ц и d{ßx, рх') - р(х, х') для любых х, х' € X.

Полное метрическое отображение g называется пополнением метрического отображения /, если фиксирована плотная изометрия / в д. (Как обычно, при помощи этой изометрии мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.)

Теорема 1.1 позволяет строить пополнение произвольного метрического отображения методом при помощи фундаментальных последовательностей множеств. Этот метод близок к стандартному (при помощи фундаментальных последовательностей точек) методу построения пополнения метрического пространства. Он позволяет доказать существование пополнения метрического отображения без привлечения теоремы о существовании пополнений метрических пространств (как это сделано в статье Б. А. Пасынкова5). В случае, когда метрическое отображение идет в хаусдорфово пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, то, в силу теоремы 1.2, пополнение метрического отображения можно получить стандартным методом (при помощи фундаментальных последовательностей точек).

В конце этого параграфа на метрические отображения распространяется рассмотренный в книге Р. Энгелькинга13 способ получения пополнения метрического пространства при помощи ограниченных непрерывных функций.

В §3 рассматриваются послойно полные расширения метрического отображения. Показывается, что их у метрического отображения может быть бесконечно много.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Послойно полное метрическое отображение (д,(1): 2 —»• У называется послойно полным расширением метрического отображения (/, р): X —> У, если фиксирована плотная изометрия ц отображения / в д. Как обычно, при помощи изометрии ц мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Послойно полное расширение (д,с1): 2 -Л У метрического отображения (/, р): X У называется послойным пополнением отображения /, если отображение / послойно плотно в д, т.е. для каждого у € У слой f~ly всюду плотен в д~1у-

Послойное пополнение метрического отображения / обозначается символом с? f.

Следствие 1.3. Для каждого метрического отображения / существует единственное (с точностью до тождественной на / изометрии) послойное пополнение.

Через РС£{{) обозначим множество всех послойно полных расширений метрического отображения f. На определим частичный порядок

следующим образом: для д, Л, Е ТС£(/) считаем д ^ Л, если существует плотная изометрия отображения д в Н, тождественная на X (при этом, будем считать д подотображением отображения Ь). Некоторые элементы множества 7С£($) могут быть несравнимыми, но верна следующая теорема. ТЕОРЕМА 1.6. Пополнение и послойное пополнение сметрического отображения / являются соответственно наибольшим и наименьшим элементами семейства

Дополнительную информацию дает СЛЕДСТВИЕ 1.5 Для замкнутого метрического отображения все его послойно полные расширения совпадают с его пополнением и послойным пополнением (т.е. семейство ^С£(/) содержит только один элемент).

13Энгедыншг Р. Общая топология.// М. "Мир", 1986, 752 с.

Перейдем к §4. Для непрерывных отображений f:X-¥Zug:Y—tZ непрерывное отображение tp: X —Y называется тар-морфизмом отображения f в отображение д, если / -- дар. Если, дополнительно, tp есть гомеоморфизм (топологическое вложение), то tp называется тар-гомеоморфизмом f на д (топологическим вложением feg).

Для тар-морфизма tp отображения / в отображение д используется символ tp: / -> д.

Следующая теорема является распространением на случай метрических отображений известной теоремы Лаврентьева о продолжении на Gj-оболочки гомеоморфизма подпространства одного метрического пространства на подпространство другого метрического пространства.

Теорема 1.10. Пусть f: X Z ид :Y Z - полно метризуемые отображения и пусть А всюду плотно в X и С всюду плотно в Y. Тогда любой тар-гомеоморфизм tp: А —► С отображения /Ц на д\с продолжается до некоторого тар-гомеоморфизма Ф: В D отображения на отображение g\D, где В и D - Gs-множества в X uY соответственно.

Глава 2 состоит из трех параграфов 5-7. Она посвящена получению послойных аналогов теорем о неподвижных точках и точках совпадения отображений между метрическими пространствами.

В §5 рассматривается теорема Т.Н. Фоменко (теорема 8, стр. 136 из диссертации10 и теорема 8 из статьи9) о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрического пространства в себя.

Напомним, что для непрерывного отображения f:X—¥Z а) непрерывное отображение s: Z —¥ X называется непрерывным сечением отображения /. если fos = idz; b) для R С X ретракция г: X -> R называется /-послойной, если / о г = /. В дальнейшем под непрерывным сечением отображения / будем понимать любое такое подпространство s пространства X, для которого f\s - гомеоморфизм на Z.

Фиксируем метрическое отображение "на" (/, р): X —»• Z.

Через S(f) обозначим множество всех непрерывных сечений отображения /. Для любых двух сечений s, s' £ S(f) положим

d(s, s') = sup{p(a;, х'): х € s, х' € s', fx = fx'}.

Соотношение d(s,s') < +oo является отношением эквивалентности на £>(/)• Классы эквивалентности, определяемые этим отношением, будем называть

метрическими частями множества 3(f). Очевидно, d является метрикой на каждой метрической части множества S(f).

Следующая теорема и вытекающее из нее следствие дополняют и обобщают упомянутую теорему Фоменко.

Теорема 2.1. Если отображение / послойно полно, а тар-морфизм А: / — / для некоторого числа ß, 0 ^ ß < 1, и любой точки х б X удовлетворяет условию (поточечного сжатия)

р{Ах, А2х) < ß • р(х, Ах), (2.2)

то для множества R = {х € X: Ах = х} (всех неподвижных точек А) существует такое отображение г: X —> R, что г|д = idn, for — f,

r(x) = lim Anx и p(x, r(x)) < ^ ' (и поэтому R Л f~lz ф 0 для любой

точки z € Z). Если, дополнительно, (1) для любой точки z G Z существуют окрестность Oz и число C(z), такие, что р(х,Ах) ^ C(z) для всех х 6 /-1Огг, то отображение г непрерывно и является f-послойной ретракцией. Если еще (2) f обладает непрерывным сечением s, то в R лежит непрерывное сечение s' отображения f, для которого

(2-3)

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если для полного метрического пространства X и для непрерывного отображения А пространства X в себя существует число ß, О ^ ß < 1, такое, что для любой точки х 6 X выполняется соотношение р(Ах,А2х) ^ р(х,Ах), то для множества R всех неподвижных точек отображения А существует такое отображение г: X R, что = idR,

л[ л» Л /у* I

r(x) — lim Ап(х) и р(х,г(х)) < ' , х € X. Если, дополнительно, су-n—t 00 1 — ß

ществует число С > 0, такое, что р(х, Ах) ^ С для всех х 6 X (например, diamX < +оо), то отображение г непрерывно и является ретракцией.

Отметим, что послойный вариант теоремы Банаха о неподвижных точках сжимающих отображений метрического пространства сначала был получен ученицей Б.А. Пасынкова H.H. Порожнетой6 для открытых метрических отображений и затем был распространен Б.А. Пасынковым14 на случай факторных метрических отображений.

14Нгуен Тхи Хонг Ван, Пасынков Б.А. О непрерывных оечениях метрических отображений/ МПГУ -М., 2012. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 26.11.2012 № 435-В2012.)

Теорема 2.1 может рассматриваться как частичное обобщение теоремы Порожнеты-Пасынкова.

Параграфы 6 и 7 инициированы теоремой 1 A.B. Арутюнова11 о точках совпадения двух отображений одного метрического пространства в другое. В этих параграфах получаются послойные аналоги теоремы Арутюнова. Получение этих аналогов основывается на разработанном Т.Н. Фоменко методе (а, ß) -поисковых функционалов. Напомним данное ей определение (а, ß)-поискового функционала.

Фиксируем метрическое пространство (Х,р). Определение 0.6. (Т.Н. Фоменко9 10) Функционал ip: X -> R+ называется {а, ß)-поисковым, a,ß е R,0 < ß < а, если (*) для любой точки х е X существует точка х' = х'(х) е X, такая, что

< ^ и < ^,(3).

В 2012 г. Б.А. Пасынков ввел понятие почти точно (а, /?)-поискового функционала14, обобщающего понятие (а, /3)-поискового функционала. Почти точно (а, ß) -поисковые функционалы позвовили распространить (с некоторыми потерями) теоремы Арутюнова со случая метрических пространств на случай метрических отображений.

Определение 0.7. Функционал ip\ X R+ называется почти точно (а, ß)-поисковым для чисел а, ß е М, 0 < ß < а, если

(**) для любой точки х е X и любого числа Ö > 0 можно найти точку х' — х'(х, 6) G X, такую, что

р{х, г'Х—+ <5и ф') < + 6.

а а

Б.А. Пасынков дал также два следующих определения14

Определение 0.8. Для почти точно (а, /3)-поискового функционала w : X -у

00

М+, числа е > 0, сходящегося ряда S = с неотрицательными чле-

k=1

нами и суммой а > 0 и числа 7 = ——— последовательность точек

__(X

Хо — Х,Х1,... ,хк,... пространства X называется (ip, Е, х, е)-порожденной, если

(ак) р(Хк_и Хк) < + 1 1.

ß {ß\ — (h) <p(Xk) -(fi{xk-i)+ i -J • jak<p(xk-i),

ke N. a

Определение 0.9. Почти точно (а, /3)-поисковый функционал ip: X —> R+ называется

эффективным, если для любой точки х € X, любого с > 0 и любого 00

сходящегося ряда Е = неотрицательными членами и суммой а > О

*=1

(#) существует сходящаяся х, е)-порожденная последовательность хк,

k е N+) для предела г(х) которой выполнено соотношение <р(г(х)) — 0;

вполне эффективным, если он эффективен и для любой точки х € X,

00

любого £ > 0 и любого сходящегося ряда Е = ак с неотрицательными

k=1

членами и суммой а > О

(##) любая ((/?, S, х, £)-порождепная последовательность хк, к € N+, сходится и для ее предела г(х) выполняется соотношение <р(г(х)) — 0.

В §6 и §7 для метрических отображений получены аналоги теоремы 1 A.B. Арутюнова11 о точках совпадения двух отображений (одно из которых накрывающее, а другое липшицевское) одного метрического пространства в другое.

Фиксируем, кроме метрического отображения f:X-*Z, еще метрическое отображение д: Y —> Z.

Мар-морфизмом Ф: / —> g называется послойно а-накрывающим (соответственно, ß-Липшицевским), если а-накрывающим (соответственно, ß-липшицевским) в смысле статьи11 является коограничение на g~lz ограничения Ф|/-1г, z&Z.

Фиксируем какой-нибудь тар-морфизм Ф: f д. Для любого s £ S(f) образ = Ф(в) есть элемент множества S(g). Таким образом, определено отображение Ф*: S(f) S(g), ставящее в соответствие любому сечению s € S(f) сечение s$ € S(g).

Для метрической части S множества S(f) и метрической части Т множества S(g) положим 5фГ = S П (Ф*)_1Т.

Замечание 2.1. Если тар-морфизм Ф: / —> д является ß-липшицевским, ß > 0, то для любой метрической части S множества S(f) существует метрическая часть Т множества S(g), такая, что Ф*(5) С Т.

Следующая теорема является первым послойным аналогом теоремы Арутюнова.

Теорема 2.2. Пусть даны метрические отображения / : X -> Z и g: У —> Z на 0-мерный паракомпакт Z и отображение f открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф : f —ï g и 3-липшицевкий тар-морфизм Ф:/->д, 0</3<&. Если метрическая часть S множества S(f) и метрическая часть Т множества S(g) таковы, что Ф(5) С Т и Svt ф 0, то функционал <p(s) — Ф(в)) на S-фх является почти точно (а, ¡3)-поисковым и вполне эффективным и для любого е > 0 и любого s Е S$r существует сечение £ = £(s, е) Е S^t, такое, что

Фк=Ф| iUd{s,0^djmm+e. (2.6)

Следствие 2.4. Пусть даны метрические отображения f'.X —» Z и g : Y Z на 0-мерный паракомпакт Z и отображение f открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф : / —> g и /3-липшицевкий тар-морфизм Ф: / -у g, 0 < /3 < а. Если для s Е S(f) выполнено условие ¿(Ф(й), Ф(в)) < +оо, то для любого е > 0 существует сечение £ = Е S(f), такое, что верны соотношения (2.6).

Определение 2.5. Для отображений f, g и для положительных функций a(z) и /3(z), z G Z,

тар-морфизм Ф '■ f g назовем послойно а-накрывающим, если для любой точки z 6 Z коограничение на g~xz ограничения Ф на f"lz является а(г)-накрывающим;

тар-морфизм Ф : / —ï g назовем послойно ¡3-Липшицевским, если для любых z Е Z и х,х' Е f~lz

р(Фх, Фх') < /3(z)p(х, х').

Следствие 2.6. Пусть f:X-ïZug:Y-+Z - метрические отображения на 0-мерный паракомпакт Z и отображение f открыто и послойно полно. Если еще даны:

послойно а-накрывающий для непрерывной на Z функции а тар-морфизм Ф : f -ï g и послойно [3-Липшицевский для непрерывной на Z функции ¡3 тар-морфизм Ф: / g, 0 < /3(z) < a{z), z S Z, то для любого сечения

й £ 5(/) существует сечение £ = € 5(/), для которого

Ф|С = Ф|€.

Напомним, что совершенным сечением непрерывного отображения /: X —> 2 называется подпространство Ре пространства X, такое, что /(Ре) = 2 и отображение /|р5 совершенно.

Множество всех совершенных сечений метрического отображения f■. X Z обозначим через Р5(/). Для Рй и Ра' из Р5(/) положим

Л(Рв, Ре') = 8ир{Л2(/_12 П Рз, Ггг П Ра'): г £

где Нг - метрика Хаусдорфа на множестве всех компактных подмножеств слоя /-1.г.

Следующая теорема является вторым послойным аналогом теоремы Арутюнова.

Теорема 2.3. Пусть (f,p):X-^Zu(g,a):Y-^Z- метрические отображения на паракомпакт 2 и отображение f открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —>• д и (3-липшицевский тар-морфизм Ф: / —± д, 0 < ¡3 < а. Если для совершенного сечения Рв отображения / выполнено неравенство /г(Ф(Рй), Ф(Р$)) < +оо, то для любого е > 0 существует совершенное сечение Р£ отображения f, такое, что

Для третьего послойного аналога теоремы Арутюнова, формулируемого далее, нам требуются некоторые определения.

Определение 2.6. Для метрического отображения (/, р): X —У 2 отображение q множества X в (соответственно, на) метрическое пространство (Я, рп) назовем изометрией (/, р) в В. (соответственно, на Я), если

рн(ях, дх') = р(х, х'), х, х' 6 X.

Определение 2.7. Для банахова пространства В и изометрии q метрического отображения (/, р): X -» 2 в В будем называть / послойно (Р,д)-выпуклым, если все множества д(/_1г), г € Z, выпуклы в В.

Теорема 2.4. Пусть даны метрические отображения (f,p): X —ï Z и g: Y Z на паракомпакт Z. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф: / —>■ g, fî-Липшицев ский тар-морфизм Ф : / —> g, 0 < Д < а, и изометрия q отображения (f,p) в банахово пространство В, такая, что отображение (Ф, р): X —> Y является послойно {В^-выпуклым. Если метрическая часть S множества S(f ) и метрическая часть Т множества S (g) таковы, что Ф(5) С Т и SyT ф 0, то функционал ip(s) = d(4f(s), <i(s)) на является почти точно (а, ^-поисковым и вполне эффективным и для любого е > 0 и любого s £ S<ht существует £ = £(s, г) £ S^t, такое, что верны соотношения (2.6).

Следствие 2.9. Пусть даны метрические отображения/ : X Z ug: Y —)• Z на 0-мерный паракомпакт Z и отображение f открыто и послойно полно. Пусть еще даны послойно а-накрывающий тар-морфизм Ф : f g и /З-липшицевкий тар-морфизм Ф: f —ï g, 0 < /3 < а. Если для s £ ¿>(/) выполнено условие ¿(Ф(в), Ф(я)) < +оо, то для любого е > 0 существует £ = Ç(s,e) £ S(f), такое, что верно (2.6).

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Бориса Алексеевича Пасынкова за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе работы над диссертации и поддержку.

Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

1. Nguyen Thi Hong Van, В.A. Pasynkov. Metric and metrizable mappings (статья принята к опубликованию в журнал Topology and its Applications). (Нгуен Тхи Хонг Ван принадлежат все результаты параграфов 2-5.)

2. Нгуен Тхи Хонг Ван. О полноте и пополнениях метрических отображений / МПГУ - М., 2011. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 31.03.2011 № 157-В2011.

3. Нгуен Тхи Хонг Ван. О полноте и пополнениях метрических отображений II/ МПГУ - М., 2011. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 17.11.2011 № 495-В2011.

4. Нгуен Тхи Хонг Вал. О полноте и пополнениях метрических отображений III/ МПГУ - М., 2012. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 07.06.2012 № 267-В2012.

5. Нгуен Тхи Хонг Ван. Теорема Лаврентьева для отображений/ МПГУ -М., 2012. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 07.06.2012 № 268-В2012.

6. Нгуен Тхи Хонг Ван, Пасынков Б.А. О непрерывных сечениях метрических отображений/ МПГУ - М., 2012. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 26.11.2012 № 435-В2012. (Нгуен Тхи Хонг Ван доказала теоремы 4.1, 4.3 и 4.4.)

7. Нгуен Тхи Хонг Ван, Пасынков Б.А. Послойные варианты теорем Банаха и Арутюнова/ Тезисы докладов 4-й Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева, 25-27 марта, 2013г. (Вторая теорема доказана Нгуен Тхи Хонг Ван.)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж I О О экз. Заказ № /3

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

04201357132

На правах рукописи УДК 515.126

НГУЕН Тхи Хонг Ван

МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

01.01.04 — Геометрия и общая топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Пасынков Борис Алексеевич

Москва - 2013

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

1 Полнота метрических отображений. 19

§1. Характеризация полноты для метрических отображений ... 20

§2. Пополнения метрических отображений ..........................26

§3. Послойно полные расширения метрических отображений ... 36

§4. Теорема Лаврентьева для метрических отображений............41

2 Послойные варианты теорем о неподвижных точках и точках совпадения. 47

§5. Послойный вариант теоремы Фоменко............................48

§6. Первые два послойных аналога теоремы Арутюнова............52

§7. Ещё один послойный аналог теоремы Арутюнова................68

Литература 72

Список обозначений

N+ расширенное множество всех натуральных чисел, т.е. {0} U N.

множество всех неотрицательных действительных чисел, первый несчётный ординал. W{ш) топологическое пространство ординальных чисел, не превос-

ходящих ординального числа ш. [ждг] носитель последовательности.

N(x) семейство всех окрестностей точки х.

X х Y топологическое произведение пространств X и Y.

cl К замыкание множества К.

cl 21 множество замыканий всех множеств семейства 21.

diam К диаметр множества К.

dßК послойное замыкание множества К С. X для отображения

cf пополнение метрического отображения /.

с// послойное пополнение метрического отображения /.

/|а ограничение отображения / на подмножество А.

corzf коограничение отображение /: X —У на множество Z С Y,

такое, что fX С Z.

cor /, cor(f) коограничение отображения /.

сог(/\а) коограничение ограничения отображения / на А с x.

f д тар-морфизм отображения / в отображение д.

Оех, 0(х, е) ег-окрестность точки х.

В£х, В(х)е) е-замкнутый шар с центром х.

0(х, 0?(х,е) /-послойная ^-окрестность точки х.

В{х, В^(ж, е) /-послойный замкнутый £-шар с центром х.

е-окрестность сечения В(з,е) замкнутый £-шар для непрерывного сечения й непрерывного

отображения.

£(/) множество всех непрерывных сечений отображения /.

Р5(/) множество всех совершенных сечений отображения /.

Ап п-кратная композиция отображения А.

Введение

Как известно, главными объектами исследования в общей топологии являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения. Однако, на топологическое пространство можно смотреть как на простейший случай непрерывного отображения, так как пространство можно отождествить с его отображением в одноточечное пространство. Это наблюдение сразу же приводит к задаче распространения понятий и утверждений, касающихся пространств, на отображения, что и объясняет возникновение нового раздела общей топологии, называемого общей топологией непрерывных отображений или послойной общей топологией.

Отметим, что идея распространения понятий и результатов, касающихся пространств, на непрерывные отображения возникла достаточно давно. Например, в 1947 г. И.А. Вайнштейн предложил называть совершенные отображения компактными (см. [3]), а в 1953 г. Г.Т. Уайберн рассмотрел ком-пактификации отображений (см. [20]). Однако общего подхода к указанному распространению выработано не было. Систематическое построение послойной общей топологии было начато Б.А. Пасынковым в 1984 г. (см. [5]) и Джеймсом в 1989 г. (см. [16]). В частности в статье [5] вводятся тихоновские отображения; для отображений строятся аналоги тихоновских кубов; для тихоновских отображений (обобщенным методом Тихонова) строятся: тихоновские бикомпактификации того же веса, что и отображения (аналог теоремы А.Н. Тихонова); максимальные тихоновские бикомпактификации (аналог бикомпактификаций Стоуна-Чеха); бикомпактификации, являющиеся аналогом одноточечных бикомпактификаций П.С. Александрова. Вводятся и изучаются также понятия локально бикомпактного, полного по Чеху, параком-пактиого, предметризуемого и т.д. отображения.

Одним из важнейших классов исследуемых в общей топологии пространств является класс метрических (и метризуемых) пространств. Рассмотрение этого класса пространств приводит к следующей важной специализации общей задачи, сформулированной в первом абзаце введения: найти в классе непрерывных отображений такой аналог метрических (и метризуемых) пространств, который охватывал бы достаточно широкий класс отображений и на который можно было бы распространить основные утверждения, касающиеся метрических (и метризуемых) пространств. В 1999 г. понятия метрики на множестве и метрического (метризуемого) пространства были распространены на отображения множеств в пространства в статье Б.А. Пасынкова [4]. Отметим, что понятия (псевдо)метрики и послойно полной метрики на непрерывном отображении были определены в статье студентки Б.А. Пасынкова H.H. Порожнеты в 1986 г. (см. [7]). Отметим еще, что в статье Д. Бухаджера, Т. Мивы и Б.А. Пасынкова [12] был рассмотрен класс отображений метризуемого типа, но в ней нет понятий метрики на отображениях и метрического (метризуемого) отображения.

Основные цели диссертации таковы: во-первых, (в главе 1) продолжить начатое в [4] и [19] изучение полноты и пополнений метрических отображений и, во-вторых, (в главе 2) распространить на метрические отображения теоремы Т.Н. Фоменко ([8], [10]) о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрических пространств в себя и A.B. Арутюнова [2] о точках совпадения пары отображений одного метрического пространства в другое.

Под пространством в диссертации понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

Для системы 21 подмножеств пространства X считаем cl 21 = {clA: А Е 21}. Для точки х £ X через N(x) будем обозначать семейство всех ее окрестностей. Для отображения множеств /: X —> Y коограничением отображения f на множество Z С Y, содержащее образ fX, называется такое отображение corzf: X —> Z, что corzf (х) = f(x) для всех х Е X. Если Z = fX, то вместо corzf пишется cor f.

Фиксируем пространство У с топологией т.

определение 0.1. ([4]) Для отображения / множества X в пространство

(У, т) псевдометрика р на X называется метрикой на /, если ее ограничение на каждый слой f~ly, у Е Y, является метрикой на этом слое. Топологией т(р, /) (порожденной метрикой р на f) называется топология на X с пред-базой TpU/_1T. Пара (/, р), состоящая из отображения / и метрики р на нем, называется метрическим отображением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. ([4]) Непрерывное отображение /: (Х,тх) —>• У называется метризуемым, если на / существует метризующая его метрика р, т.е. т(р, /) = тх.

Диссертация состоит из двух глав. Глава 1 посвящена изучению полноты и пополнений метрических отображений, определенных Б.А. Пасынковым в [4].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3. ([4]) Метрика р на отображении f:X—>Y называется полной, если

(*) для любой точки у € Y и любого фильтра ^вХ, содержащего, во-первых, элементы сколь угодно малого диаметра и, во-вторых, систему /-1АТ(у), пересечение f~ly П непусто (замыкания берутся в топологии т(р, /)). Отметим, что пересечение f~ly П Р) cl $ не более чем одноточечно. Метрическое отображение (/, р) называется полным, если метрика р на / полна.

Непрерывное отображение /: X —» Y называется полно метризуемым, если на / существует метризующая его полная метрика.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.1. Если для у eY фильтр $ в X содержит систему f~1N(y), то у £ cl fA для всех А

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.4. ([4]) Для метрических отображений (/, р): X F и (g,d): Z —> У отображение р: X —> Z называется (плотной) изометрией f в д, если (рХ плотно в (Z, r(d, д)),) f = pop и d{p,x, /ix') = р(х, х') для любых х, х' G X. Если, дополнительно, рХ = Z, то р будет называться изометрией f па д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.5. ([4]) Полное метрическое отображение д называется пополнением метрического отображения /, если фиксирована плотная изомет-рия / в д. (Как обычно, при помощи этой изометрии мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.)

ТЕОРЕМА 0.1. ([4]) Любое метрическое отображение /: X —>• У обладает пополнением и для любых двух его пополнений существует тождественная на X изометрия каждого из них на другое.

Б.А. Пасынков определил полноту метрических отображений с помощью фильтров (как это делается в случае равномерных пространств) и доказал существование пополнений метрических отображений при помощи теоремы о существовании пополнений метрических пространств. Так как, обычно, полнота метрических пространств определяется при помощи фундаментальных последовательностей точек, то возникают вопросы: во-первых, можно ли определить полноту метрических отображений более простым (без фильтров) и близким к стандартному для пространств способом; и, во-вторых, можно ли доказать существование пополнений метрических отображений, не опираясь на соответствующее утверждение для пространств. Ответ на первый вопрос получен в §1 первой главы. Оказывается, что для метрического отображения его полнота равносильна сходимости ?/-фундаметнальных последовательностей множеств (см. следующее определение).

Определение 1.1. Пусть дано метрическое отображение (/, р): X —»• У.

1. Последовательность {жп}пе^ точек пространства X называется у-фунда-ментальной для у £ У, если она фундаментальна относительно псевдометрики р и последовательность точек {fxn}n^ сходится к точке у.

2. Убывающая последовательность А1 Э А2 Э ... подмножеств пространства X называется у-фундаментальной для у € У, если у £ с1 /Ап для всех п £ N и (ИатАп —> 0 при п —> оо.

ТЕОРЕМА 1.1. Для метрического отображения (/, р): X —> У следующие утверждения эквивалентны: г) метрика р на / полна;

И) для любой точки у € У и любой у-фундаментальной последовательного

сти множеств выполняется соотношение f~ly П р) cl Ап ф 0;

п=1

Ш) для любой точки у 6 У и любой у-фундаментальной последовательности замкнутых множеств {-Fn}neN выполняется соотношение П

ос 71=1

Если в теореме 1.1 пространство У имеет счетную тесноту, то полнота / равносильна сходимости ^/-фундаментальных последовательностей счетных множеств (см. следствие 1.1).

Следующая теорема проясняет, когда полнота метрического отображения может быть определена стандартным способом.

ТЕОРЕМА 1.2. Метрическое отображение (/, р) пространства X в ха-усдорфово пространство У, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, полно тогда и только тогда, когда для всех у € У любая у-фундаментальная последовательность точек сходится.

В конце §1 рассматривается послойная полнота метрических отображений (Метрическое отображение (f,p): X —> У называется послойно полным, если ограничение метрики р на каждый слой f~ly, у Е У, полно). Нетрудно заметить, что полные метрические отображения послойно полны, но обратное утверждение неверно (приведен контрпример). Все же иногда послойная полнота эквивалентна полноте метрического отображения.

ТЕОРЕМА 1.3. Замкнутое метрическое отображение полно тогда и только тогда, когда оно послойно полно.

Основным результатом §2 является описание метода построения пополнения произвольного метрического отображения, близкого к стандартному. Этот метод исползует фундаментальные последовательности множеств. Он позволяет доказать существование пополнения метрического отображения без привличения теоремы о существовании пополнений метрических пространств. В случае, когда метрическое отображение идет в хаусдорфово пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, то, в силу теоремы 1.2, пополнение метрического отображения можно получить стандартным ме-

тодом, т.е. при помощи фундаментальных последовательностей точек. В конце этого параграфа на метрические отображения распространяется рассмотренный в [11] способ получения пополнения метрического пространства при помощи ограниченных непрерывных функций.

В §3 рассматриваются послойно полные расширения метрического отображения. Показывается, что их у метрического отображения может быть бесконечно много.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Послойно полное метрическое отображение (д, с1): Z —У У называется послойно полным расширением метрического отображения (/, р): X —> У, если фиксирована плотная изометрия ¡л отображения / в д. Как обычно, при помощи изометрии /л мы будем отождествлять / с соответствующим подотображением отображения д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Послойно полное расширение (д,с1): Z —» У метрического отображения (/, р): X У называется послойным пополнением отображения /, если отображение / послойно плотно в д, т.е. для каждого у Е У" слой всюду плотен в д~1у.

Послойное пополнение метрического отображения / обозначается символом с^/.

Следствие 1.3. Для каждого метрического отображения / существует единственное (с точностью до тождественной на / изометрии) послойное пополнение.

Через ТС£{/) обозначим множество всех послойно полных расширений метрического отображения /. На ТС£^) определим частичный порядок ^ следующим образом: для д,1г 6 ТС£(/) считаем д ^ к, если существует плотная изометрия отображения д в /г, тождественная на X (при этом, будем считать д подотображением отображения И). Некоторые элементы множества 7ГС£(/) могут быть несравнимыми, но верна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.6. Пополнение с/ и послойное пополнение с// метрического отображения / являются соответственно наибольшим и наименьшим элементами семейства 7ГС£(/).

Дополнительную информацию дает СЛЕДСТВИЕ 1.5 Для замкнутого метрического отображения все его послойно полные расширения совпадают с его пополнением и послойным пополнением (т.е. семейство TC£(f) содержит только один элемент).

Перейдем к §4.

Для непрерывных отображений /: X —> Z я g:Y —> Z непрерывное отображение (р: X —У Y называется тар-морфизмом отображения f в отображение g, если f — g о (р. Если, дополнительно, (р есть гомеоморфизм (топологическое вложение), то (р называется тар-гомеоморфизмом f на g (топологическим вложением feg).

Для тар-морфизма ср отображения / в отображение g используется символ </?:/-» д.

Следующая теорема является распространением на случай метрических отображений известной теоремы Лаврентьева о продолжении на С^-оболочки гомеоморфизма подпространства одного метрического пространства на подпространство другого метрического пространства.

ТЕОРЕМА 1.10. Пусть f:X—}Zug\Y—¥Z- полно метризуемые отображения и пусть А всюду плотно в X и С всюду плотно в Y. Тогда любой тар-гомеоморфизм tp: А С отображения /Ц на д\с продолжается до некоторого тар-гомеоморфизма Ф:_£?—>■ D отображения f \в на отображение g\j), где В и D - G^-множества в X uY соответственно.

Глава 2 состоит из трех параграфов 5-7. Она посвящена получению послойных аналогов теорем о неподвижных точках и точках совпадения отображений между метрическими пространствами.

В §5 рассматривается теорема Т.Н. Фоменко (теорема 8, стр. 136 из [8] и теорема 8 из [10]) о неподвижных точках поточечно сжимающих отображений метрического пространства в себя.

Напомним, что для непрерывного отображения f: X ^ Z а) непрерывное отображение s: Z —X называется непрерывным сечением отображения f, если f о s — idz', b) для R С X ретракция г: X R называется

f-послойной, если / о г = f. В дальнейшем под непрерывным сечением отображения / будем понимать любое такое подпространство s пространства X, для которого f\s- гомеоморфизм на Z.

Фиксируем метрическое отображение "на" (f,p):X—>Z. Через S(f) обозначим множество всех непрерывных сечений отображения /. Для любых двух сечений s, s' £ S(f) положим

d(s, s') — siip{p(x, x'): x e s, x' € s', fx = fx'}.

Соотношение d(s,s') < +00 является отношением эквивалентности на S(f). Классы эквивалентности, определяемые этим отношением, будем называть метрическими частями множества S(f). Очевидно, d является метрикой на каждой метрической части множества S(f).

Следующая теорема и вытекающее из нее следствие дополняют и обобщают упомянутую теорему Фоменко.

Теорема 2.1. Если отображение f послойно полно, а тар-морфизм А: f —»■ / для некоторого числа ß, 0 ^ ß < 1, и любой точки х G X удовлетворяет условию (поточечного сжатия)

р(Ах,А2х) ^ ß -р{х,Ах), (2.2)

то для множества R = {х £ X : Ах = х] (всех неподвижных точек А) существует такое отображение г : X —У R, что г|д = idR, / о г = f,

r(x) = lim Апх и р(х, г(х)) ^ ^Х' ^^ (и поэтому R П f~lz ф 0 для любой

та—»■ оо 1 — ß

точки z € Z). Если, дополнительно, (1) для любой точки z 6 Z существуют окрестность Oz и число C(z), такие, что р(х,Ах) ^ C{z) для всех х 6 f~xOz, то отображение г непрерывно и является f-послойной ретракцией. Если еще (2) f обладает непрерывным сечением s, то в R лежит непрерывное сечение s' отображения f, для которого

(2-3)

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если для полного метрического пространства X и для непрерывного отображения А пространства X в себя существует число ß,

О ^ ß < 1, такое, что для любой точки х Е X выполняется соотношение р(Ах,А2х) ^ р(х, Ах), то для множества R всех неподвижных точек отображения А существует такое отображение г: X R, что г\ц — id,R,

r(x) = lim Ап{х) и р(х,г