Алгебры подмножеств и функциональные конструкции топологических пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 ОА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - В ОМ ™ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 515.12

ШАПИРО ЛЕОНИД БОРИСОВИЧ

АЛГЕБРЫ ПОДМНОЖЕСТВ И ФУНКТОРИАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996 щЙ^

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И. К. Лифанов;

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН.

на заседании Диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический

факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Филиппов;

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Е. В. Щепин.

Защита состоится

года в 16 час. 05 мин.

Д.053.05.05 при МГУ, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящей диссертации производится исследование двух важных алгебр подмножеств топологических пространств и их "реакции" на действия конструкций функториальиого типа. Как известно, топология Т{Х) пространства X не является алгеброй подмножеств X. Поэтому Т{Х) либо сужают до С'О(Х) — семейства всех открыто-замкнутых подмножеств X, которое уже является булевой алгеброй, либо расширяют до алгебры В(Х) боре-левских подмножеств X, то есть наименьшей (7-алгебры, содержащей Т(Х). Булева алгебра СО(Х) в случае нульмерного компакта X содержит в себе всю информацию о топологических свойствах X, что отражено в теореме двойственности М. Стоуна. Но, например, для связного пространства X эта алгебра является очень "бедной", не дающей никакой информации о топологии X. Поэтому СО(Х) расширяют до булевой алгебры RO{X) канонических открытых подмножеств X, то есть множеств, совпадающих с внутренностями своих замыканий. Понятие канонического открытого (замкнутого — дополнение до канонического открытого) множества появилось в работе К. Ку-ратовского 1922 г. и с тех пор использовалось в различных разделах общей топологии. Наибольший интерес представляет сама булева алгебра RO(X), в которой булево пересечение совпадает с теоретико-множественным пересечением, булево объединение определяется как внутренность замыкания теоретико-множественного объединения, а булево дополнение — внутренность теоретико-множественного дополнения. RO(X) —■ полная булева алгебра, а для нульмерного компакта X пополнением СО(Х) как раз является RO(X). Для компакта X изучение булевой алгебры RO(X) заменяется описанием топологических свойств пространства Стоуна RO(X), а в топологической терминологии — абсолюта X. Понятие абсолюта компакта появилось первоначально (под другим названием) в работах А. Глисона [1]

[1] Gleason А. М. Projective topological spaces // 111. J. Math. 1958. 2, p. 482-489.

и Дж. Рейнуотера [2]. Построение же теории абсолютов регулярных пространств было осуществлено В. И. Пономаревым [3]. Итак, описание RO{X) является предметом теории абсолютов — раздела общей топологии.

Обсудим теперь второе направление, о котором говорилось выше, а именно — расширение топологии до булевой алгебры В(Х) борелевских подмножеств X. Понятие борелевского подмножества прямой, возникшее в анализе, с появлением определения топологического пространства стало объектом самостоятельного изучения общей топологии. Первоначально это относилось к алгебре борелевских подмножеств метрического пространства. В сепарабельном случае богатая результатами дескриптивная теория связана с именами П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, К. Куратовского, H. Н. Лузина, М. Я. Суслина, Ф. Хаусдорфа и др. Первые результаты в не-сепарабельном случае были получены Д. Монтгомери в 1934 г. В случае неметризуемого пространства алгебра В{Х) слишком велика и слабо связана с топологическими свойствами X. Поэтому для тихоновского пространства X алгебру В(Х) сужают до алгебры Bq(X) бэровских подмножеств, то есть наименьшей и-алгебры, содержащей все нуль-множества X. Эта алгебра уже в гораздо большей степени, чем В(Х), связана с топологией пространства X. Значение понятия алгебры бэровских подмножеств определяется хотя бы той ролью, которую оно играет в общей теории интегрирования. В этой связи достаточно упомянуть книгу П. Халмоша [4]. Кроме того, эта алгебра — объект самостоятельного изучения дескриптивной теории топологических пространств —■ раздела общей топологии, современ-

[2] Rainwater J. A note on projective resolutions // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. 10, p. 734-735.

[3] Пономарев В. И. Об абсолюте топологических пространств // ДАН СССР. 1963. 141, № 1, с. 46-49.

[4] Haimos P. R. Measure Theory. — D. van Nostrand Company, 1951.

ное состояние которого отражено в [5].

Итак, мы описали объекты нашего исследования Bq(X) и RO(X). В качестве X рассматриваются пространства Дугунджи, диаднче-ские компакты и «-метризуеиые компакты. Эти классы пространств представляют собой расширения класса метризуемых компактов, для которого структуры указанных алгебр полностью описаны. Весьма актуальной представляется задача изучения алгебр подмножеств пространств указанных классов, которой в диссертации уделено много внимания.

Как известно, такие конкретные ковариантные функторы, как гиперпространство (ехр), пространство вероятностных мер (Р), стали объектами изучения общей топологии задолго до появления первых понятий теории категорий. В середине 70-х годов Е. В. Щепин, выделив несколько естественных свойств, ввел понятие нормального функтора, включающее в себя упомянутые выше примеры. Теория кова-риантных функторов за последние 20 лет приобрела вполне конкретные очертания, выделившись в отдельную ветвь общей топологии. Можно условно выделить два направления исследований. Первое — дальнейшее изучение классических и близких к ним функторов. Это направление развивается в работах В. В. Федорчука [6], [7] и его учеников. Второе направление — изучение общих свойств ковариантных функторов. В этой связи отметим работы М. М. Заричного [8], [9]. Понятие абсолюта тоже имеет функториальный характер, поскольку

[5] Чобан М. М. Дескриптивная теория множеств и топология // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. 1989'. 51, с. 173-237.

[6] Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов // УМН. 1984. 39, № 5, с. 169-208.

[7] Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991. 46, № 1, с. 41-80.

[8] Zarichnyi М. М., On covariant topological functors, I // Questions and Answers in General Topology. 1990. 8, p. 317-369.

[9] Zarichnyi M. M., Oil covariant topological functors, II // Questions and Answers in General Topology. 1991. 9, p. 1-32.

можно определить абсолют не только пространства, а и отображения. Но если абсолют пространства единственен, то абсолют отображения, вообще говоря, нет. Последнее обстоятельство и послужило поводом для нестандартного словосочетания "функториальные конструкции". Изучение же свойств пространств, получаемых применением функториальных конструкций, находится в русле современных исследований, и ему в диссертации уделяется много внимания.

Цель работы. Изучение топологических свойств пространств, для которых булевы алгебры бэровских и канонических открытых множеств изоморфны соответствующим алгебрам тихоновского куба или инвариантны относительно действий ковариантных функторов.

Методы исследования. В диссертации широко используется спектральный метод, который для целей работы развивается. В частности, метод надождения в пределах спектров точек с заданными свойствами, предложенный во второй главе, является новым.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Некоторые из них дают ответы на поставленные в литературе вопросы.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть применены в дескриптивной теории топологических пространств, теории булевых алгебр, близких к проективным, и категорией топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ, на международных топологических конференциях (Москва, 1979; Ленинград, 1982; Баку, 1987; Бинц (ГДР), 1987; Варнемюнде (ФРГ), 1991), на Тираспольских симпозиумах по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1979, 1985).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация объемом 223 страницы состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, а также списка основных понятий и обозначений и списка литературы, содержащего 86 наименований.

Содержание работы

Глава 1 посвящена нахождению классов яеметризуемых компактов, имеющих изоморфные алгебры бэровских подмножеств (такие пространства называются бэровски изоморфными). Отправным пунктом нашего исследования является классический результат К. Ку-ратовского [10]: несчетное борелевское подмножество гильбертова куба борелевски изоморфно последнему. Иными словами, все несчетные борелевские подмножества гильбертова куба имеют единственную с точностью до изоморфизма структуру алгебры борелевских множеств.

§1 первой главы посвящен распространению теоремы К. Куратов-ского на пространства Becawi, с заменой борелевского изоморфизма на бэровский, а гильбертова куба на I"1 — тихоновский куб веса . Для этой цели мы используем введенный M. М. Чобаном и Б. Э. Ша-пировским кардинальный инвариант mrw(Y,X) = min{|7| : 7 — система открытых в X множеств, такая, что для любого открытого в X множества U, для которого 0 ^ U П У, существует V ё 7, такое, что 0 ji V ПУ С V С U}. un-весом, пространства X называется кардинальное число mrw(X) = гшп{п7гш(У,X) : С X}.

Первым основным результатом параграфа в компактном случае является

(10] Kuratowski К. Sur une generalization de la notion d'homéomorphie // Fund. Math. 1934. 22, p. 306-320.

Следствие 1.1.1. Компакт X весасиi бэровски изоморфен тихоновскому кубу IUl тогда и только тогда, когда mrw(X) = и>\.

Сформулированный результат может рассматриваться как аналог теоремы К. Куратовского для компактов веса wj. Он вытекает из более общего факта (теорема 1.1.1), в котором приведен критерий изоморфности алгебр В0(1Ы') и В0(Х) для полного по Чеху бэровско-го подмножества X некоторого компакта. Следует отметить, что не всегда алгебра бэровских подмножеств такого пространства, как было описано выше, изоморфна соответствующей алгебре некоторого компакта. Соответствующий пример построил Е. Г. Пыткеев [11], ответив надолго стоявший принципиальный вопрос 3. Фролика.

Использование дополнительных теоретико-множественных предположений, более слабых, чем аксиома Мартина, позволяет сформулировать критерий бэровской изоморфности компакта кубу I"1 в еще более привычных терминах. Речь идет о неравенстве "mu > wj", которое означает, что пересечение wi всюду плотных открытых подмножеств отрезка непусто. Отметим, что неравенство "mu > ui\" совместимо с системой ZFC и, как отмечено выше, слабее, чем МА + -пСН.

Следствие 1.1.2 (ты > wi). Компакт X веса бэровски изоморфен тихоновскому кубу IWl тогда и только тогда, когда х{х,Х) = ы\ для любой точки х Е. X.

Иными словами, все компакты X, у которых ю(Х) = х(а:,Л') = lj\ для любой точки х € X, имеют одинаковую бэровскую структуру. Забегая вперед, отметим, что в последнем параграфе главы на простом контрпримере устанавливается невозможность "наивного" доказательства сформулированного результата. Наконец, третий результат параграфа демонстрирует преимущества класса диадиче-ских компактов, введенного П. С. Александровым. Напомним, что

[11] Pytkeev Е. A note on Baire isomorphism // Comment. Math. Univ. Carol. 1990. 31, N 1, p. 109-112.

дпадическим называется компакт, являющийся непрерывным образом некоторого канторова куба От.

Следствие 1.1.3. Диадический компакт X весашх бэровски изоморфен кубу 1Ш| тогда и только тогда, когда х{%,Х) — Ш\ для любой точки х б X.

То есть бэровская структура всех пространств, описанных в следствии 1.1.3, одинакова. Этот факт свидетельствует о схожести свойств диадических компактов веса ш\ и метризуемых компактов. Во второй главе это будет продемонстрировано еще раз. Оказывается, — не последний кардинал, для которого можно получать положительные результаты о бэровской изоморфности тихоновскому кубу. Основной результат §2 первой главы как раз и иллюстрирует это утверждение. Для формулировки утверждения мы напомним, что понятие /с-метризуемого пространства было введено Е. В. Ще-пиным [12] в середине 70-х годов. В этих пространствах определено расстояние между точкой и каноническим замкнутым множеством, которое удовлетворяет четырем естественным аксиомам. Одним из первых и наиболее впечатляющих результатов Е. В. Щепина в этом направлении была теорема о замкнутости класса к-метризуемых пространств относительно произведения в любом количестве. Класс же «-метризуемых компактов включает в себя, например, компактные топологические группы и обладает хорошим спектральным представлением. Перечисленные факты — далеко не полный список свойств к-метризуемых компактов, установленных Е. В. Щепиным на начальном этапе развития этой теории. Далее был очень сильный результат А. В. Иванова [13], связывающий этот класс с пространствами Дугунджи, которым тоже уделяется много внимания. Уже приведенный беглый обзор показывает, что в компактном случае класс к-

[12] Щепин Е. В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. 31, № 5, с. 191-226.

[13] Иванов А. В. Суперрасширения открытопорожденных компактных хаус-дорфовых пространств // ДАН СССР. 1981. 259, № 1, с. 275-278.

метризуемых пространств является естественным расширением метризуемых компактов — идеальных объектов общей топологии. Поэтому интересен вопрос о тех свойствах метризуемых компактов, которые удается сохранить в процессе обобщения. Нас в первой главе интересует структура алгебры Bq(X), и основной результат параграфа как раз этому и посвящен. Мы сформулируем лишь компактную версию.

Следствие 1.2.1. Однородный по характеру к-метризуемый компакт веса uii бэровски изоморфен тихоновскому кубу 1Ыг.

Отметим, что кардинал и>2 — первый, для которого существуют примеры /с-метрнзуемых, но не диадических компактов. Но следствие 1.2.1 и пример однородного по характеру диадического компакта веса W2, не бэровски изоморфного Iй2 (пример 1.4.3) показывают, что бэровская структура /с-метризуемых компактов веса и>ч лучше, чем у диадических. Распространение приведенного результата на большие кардиналы невозможно, поскольку существует к-метризуемый компакт веса шз, не бэровски изоморфный 1из (пример 1.4.4). Таким пространством является exp DЫз, то есть функторы могут не сохранять алгебру бэровских множеств.

В §3 первой главы рассматриваются пространства Дугунджи, введенные А. Пелчинским. Этот класс содержится в обоих классах, рассмотренных ранее (диадических и к-метризуемых) и во многих вопросах выступает прямым аналогом класса метризуемых компактов. По своим общетопологическим свойствам пространства Дугунджи совпадают с компактными топологическими группами. Нульмерные же пространства Дугунджи — стоуновские пространства проективных булевых алгебр — изучались еще раньше в рамках теории булевых алгебр. Не последнюю роль в повышении интереса к этой тематике сыграли проблемы, поставленные П. Халмошем [14]. Существенный прогресс в изучении пространств Дугунджи начался после

[14] Haimos P. R. Injective and projective Boolean algebras // Proc. Sympos. Pure Math. II. 1961. P. 114-122.

появления работы Р. Хэйдона [15], в которой была дана спектральная характеристика этих пространств. Такой подход получил развитие в исследованиях Е.В.Щепина и других участников кафедрального семинара по общей топологии МГУ имени М. В. Ломоносова. К настоящему моменту литература по этой тематике весьма обширна. Укажем только, что геометрические аспекты теории пространств Ду-гунджи изложены в монографии В. В. Федорчука и А. Ч. Чигогидзе [16]. Приведенный беглый обзор демонстрирует важность этого класса пространств для задач общей топологии. Одним из подтверждений этого может служить компактный вариант результата §3 первой главы.

■ Следствие 1.3.1. Однородное по характеру пространство Дугуп-джи веса г бэровски изоморфно тихоновскому кубу 1Т.

Отметим, что ранее аналогичный результат для компактных топологических групп был получен М. М. Чобаном [17].

§4 первой главы содержит контрпримеры к утверждениям, установленным в первых двух параграфах. Некоторые из них уже были упомянуты выше. Отметим пример пространства X, бэровски изоморфного тихоновскому кубу для которого пкги(Х) = wq (пример 1.4.1). Это показывает существенность предположения о дескриптивном типе пространств в теореме 1.1.1.

Вторая глава диссертации является центральной по своему значению для всей работы. Она посвящена изучению алгебры канонических открытых множеств диадических компактов методами общей топологии. Иными словами, пространствам, соабсолютным диадиче-ским компактам, что нашло свое отражение в названии главы (напо-

[15] Haydon R. On a problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(O-dim) // Studia Math. 1974. 52, p. 23-31.

[16] Федорчук В. В., Чигогидзе А. Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия. — М.: Наука, 1992.

[17] Чобан М. М. О бэровских изоморфизмах и бгэровских топологиях. Решение проблемы Комфорта // ДАН СССР. 1984. 279, № 5, с. 1056-1060.

мним, что компакты X и Y называются соабсолютньгми, если алгебры RO{X) и RO(Y) изоморфны, а рХ — абсолют X, т.е. пространство Стоуна RO{X)).

В §1 главы предложено короткое построение основ теории абсолютов произвольных пространств и отображений. Главным для нас является доказательство существования абсолюта отображения и критерий его единственности. Последнее обстоятельство позволяет взглянуть на абсолют как на ковариантную конструкцию функ-ториального типа. Отметим, что раньше другие конструкции абсолюта пространства были приведены в работах А. Блащика [18] и В. М. Ульянова [19].

В §2 дается спектральное описание пространств, соабсолютных диадическим компактам, которое используется для получения следующих результатов.

Теорема 2.2.1. Любой диадический компакт соабсолютен либо конечной сумме (B{D*k : к <п < шо}, либо александровской компакти-фикации a(©{DA' : fc < ыо}) счетной суммы канторовых кубов.

Из этого результата видно, что каждый диадический компакт соабсолютен некоторому пространству Дугунджи.

Нульмерный вариант теоремы 2.2.1 удобно сформулировать на языке булевых алгебр.

Следствие 2.2.1. Пусть В — подалгебра свободной булевой алгебры. Тогда существует не более чем счетное множество кардиналов {Ajt : k < o/q}, такое, что пополнение Вст изоморфно пополнению (n{Fr(Afc) : k < wo})cm произведения свободных булевых алгебр с А* образующими.

[18] Blaszczyk A. On projectiveness in Я-closed spaces // Colloq. Math. 1975. 32, p. 185-192.

[19] Ульянов В. M. О бикомпактных расширениях счетного характера и абсолютах // Матем. сб. 1975. 98, № 2, с. 223-254.

Из этого результата видно, что хотя попарно неизоморфных подалгебр несчетной свободной булевой алгебры много, тем не менее их пополнения допускают исчерпывающее описание. Нульмерному случаю в параграфе уделено особое внимание. Так из общих утверждений получается важное

Следствие 2.2.6. Нульмерный диадический компакт допускает неприводимое отображение на нульмерное пространство Дугунджи.

Булев вариант этого утверждения звучит так:

Следствие 2.2.7. Подалгебра проективной булевой алгебры содержит плотную проективную подалгебру.

Здесь уместно вспомнить один вопрос П. Халмоша [14]: будет ли подалгебра свободной булевой алгебры проективной? Довольно быстро и просто Р. Энгелькинг отрицательно ответил на этот вопрос и интерес к нему, казалось, пропал. Следствие 2.2.7, с нашей точки зрения, демонстрирует максимальную степень близости подалгебр проективных булевых алгебр к проективным.

Наконец, теорема 2.2.5 преставляет собой критерий существования неприводимого отображения нульмерного диадического компакта на канторов куб того же веса. Для формулировки критерия напомним, что тг-базой точки х в X называется семейство 7 открытых в X множеств, такое, что для любой окрестности Ох точки х в X существует II 6 7, такое, что 0 ^ I/ С Ох. 7гх(х,Х) = тш{|7| : 7 — 7г-база х в X}.

Теорема 2.2.5. Пусть X — нульмерный диадический компакт веса т. Для того, чтобы существовало неприводимое отображение X на ИТ, необходимо и достаточно, чтобы X) = т для любой точки хеХ.

Очевидно, что булевым аналогом тг-характера точки является плотность ультрафильтра. Поэтому из теоремы 2.2.5 сразу получается

Следствие 2.2.8. Подалгебра свободной булевой алгебры тогда и только тогда содержит плотную свободную булеву алгебру, когда плотность каждого ультрафильтра равна мощности алгебры.

В §3 идеи и методы предыдущего параграфа используются для построения примера пространства, дающего отрицательные ответы на вопросы, поставленные различными авторами. Для этой цели вводится понятие абсолютного ретракта одного пространства относительно другого. Сформулируем точное

Определение 2.3.1. Пространство X называется абсолютным ре-трактом пространства У, если любое гомеоморфное X подпространство Y является ретрактом Y.

Иными словами, любое вложение X в Y является коретракцией.

Теорема 2.3.1. Пусть X — компакт веса и рХ является абсолютным ретрактом пространства /Щ. Тогда X соабсолютно диа-дическому компакту.

Теорема 2.3.1 используется для ответа на следующий вопрос Д. Макарам [20]: каждое ли замкнутое сепарабельное подпространство /Ж является ретрактом последнего? Естественность такой постановки объясняется тем, что каждое сепарабельное замкнутое подпространство /Ж гомеоморфно его ретракту. В нашей терминологии этот вопрос звучит так: каждое ли сепарабельное замкнутое подмножество /Ж является его абсолютным ретрактом? Другой вопрос, который рассматривается в параграфе, был поставлен А. В. Архангельским [21]. Им было предложено внутреннее описание класса пространств, названных дантовыми, который содержал все диадические компакты. Вопрос же А. В. Архангельского состоял в совпадении этих классов.

[20] Maharam D. Finitely additive measures on the integers // Sankhya, ser. A. 1976. 38, p. 44-59.

[21] Архангельский А. В. Аппроксимация теории диадических бикомпактов // ДАН СССР. 1969. 184, № 4, с. 767-770.

В 197G г. автором был указан пример дантова, но не диадическо-го компакта веса и>2. Оставался открытым вопрос о существовании такого пространства веса Решением указанных задач является

Пример 2.3.1. Существует дантов компакт веса который не соабсолютен диадическому.

Очевидно, что пример 2.3.1 дает ответ на вопрос А. В. Архангельского. А для того, чтобы увидеть, как получить ответ на вопрос Д. Махарам, достаточно рассмотреть абсолют построенного пространства, который является сепарабельным экстремально несвязным компактом, но в силу теоремы 2.3.1 не абсолютным ретрактом ßN.

Отметим, что отрицательный ответ на вопрос Д. Махарам был первоначально анонсирован П. Симоном, но его подробная публикация [22] появилась позже нашей работы [3].

§4 посвящен построению двух примеров /с-метризуемых компактов веса u¡2 со свойствами, отличающими их от пространств Ду-гунджи. Первый пример относится к вопросу о соабсолютности к-метризуемых компактов и пространств Дугунджи. Дело в том, что имевшиеся примеры к-метризуемых, но не диадических компактов были соабсолютны пространствам Дугунджи. Поэтому естественно возник вопрос о существовании /с-метризуемого, но не соабсолютного диадическому компакта. Ответ дает

Пример 2.4.1. Существует нульмерный к-метризуемый компакт X веса и/2, который не соабсолютен диадическому.

Отметим, что /с-метризуемый компакт веса wi является пространством Дугунджи и поэтому построенное пространство имеет минимально возможный вес.

[22] Simon P. A closed separable subspace of ßN which is not a retract // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. 299, N 2, p. 641-655.

Второй пример строится при дополнительных теоретико-множественных предположениях и отвечает на следующие два вопроса Е. В. Щепина [23].

1. Всякий ли /с-метризуемый компакт несчетного веса содержит топологически DWl?

2. Всякий ли к-метризуемый компакт веса г является непрерывным образом пространства exp DT?

На поставленные вопросы ответ дает

Пример 2.4.2 (wi = 2"° и = 2"1). Существует к-метризуемый компакт веса и>2, соабсолютный диадическому, но без сходящихся последовательностей.

Отсутствие сходящихся последовательностей уже влечет за собой отсутствие топологической копии DUl. Поэтому построенное пространство дает ответ на первый из поставленных вопросов. С другой стороны, из результата М. Велла и Я. Пеланта [24] следует, что не-прерывынй образ любого гиперпространства содержит сходящуюся последовательность. Поэтому построенное пространство не является образом никакого гиперпространства, и ответ на второй вопрос тоже отрицательный.

В §5 второй главы изучаются диадические компакты веса wi. Этот класс пространств занимает особое место, являясь одним из ближайших "соседей" класса метризуемых компактов. Ранее мы уже видели, что увеличение веса пространства ведет к потере хороших свойств. Кардинал же u¡\ является во многих вопросах общей топологии последним, для которого удается получить положительные результаты. Это и демонстрируется в следующих утверждениях.

[23] Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // УМН. 1981. 36, № 3, с. 3-62.

[24] Bell M., Pelant J. Continuous images of compact semilattices // Canad. Math. Bull. 1987. 30, Jf» 1, p. 109-113.

Теорема 2.5.1. Однородный диадический компакт весаи>х является пространством Дугунджи.

Следствие 2.5.1. Однородный нульмерный диадический компакт веса и>1 гомеоморфен Б"1.

Последнее утверждение связано со следующей задачей Б. А. Ефимова [25]: существует ли нульмерный, однородный диадический компакт, не гомеоморфный Э7! В.В.Пашенков [26] для каждого несчетного кардинала г построил нульмерный однородный диадический компакт веса 2Г, не гомеоморфный канторову кубу. Вопрос же Б. А. Ефимова для пространств весаш! оставался открытым. М. Белл в предпложении справедливости СН установил, что нульмерный диадический компакт веса гомеоморфен £>Ы1. Автор в предположении справедливости МА-Ь^СН, используя идеи своей работы [10], изложил доказательство того же факта, а затем и "наивно"доказал это утверждение, которое молено считать завершающим результатом, связанным с вопросом Б. А. Ефимова.

Второй основной результат параграфа также иллюстрирует схожесть свойств диадических компактов веса и метризуемых компактов в вопросах соабсолютности двух пространств. Напомним, что простым достаточным условием соабсолютности компактов явялется наличие у них гомеоморфных всюду плотных подпространств. Для метризуемых компактов это условие является также и необходимым. Оказывается, что в этом направлении можно подняться еще на одну ступеньку вверх. А именно, справедлива

Теорема 2.5.2. Два диадических компакта веса и/1 соабсолютны тогда и только тогда, когда они содержат гомеоморфные плотные подпространства.

[25] Ефимов Б. А. Диадический бикомпакты // Труды Моск. матем. о-ва. ¡965. 14, с. 211-247.

[26] Пашенков В. В. Продолжения бикомпактов // ДАН СССР. 1974. 214, № 1, с. 44-47.

В доказательствах приведенных выше утверждений существенную роль играет следующее понятие.

Рассмотрим коммутативную диаграмму £>

У 4- X

У X

Определение 2.5.2. Назовем у 6 У точкой бикоммутативности диаграммы £), если q~l{y) = /(р~'(х)) для любой точки х Е /"'(у).

Отметим, что диаграмма 2) будет бикоммутативной в смысле К. Куратовского [27], или точной в смысле П. Хилтона [28], если каждая точка у £ У будет точкой бикоммутативности 2). То есть в определении 2.5.2 предложена точечная версия известного понятия. Следует сказать, что бикоммутативность играет очень важную роль при изучении отображений компактов несчетного веса. Впервые это было продемонстрировано в работе Б. А. Пасынкова [29], посвященной построению открытого, нульмерного отображения одномерного компакта на произвольный ненульмерный. Достойное место это понятие заняло в цикле статей Е. В. Щепина о топологии предельных пространств несчетных обратных спектров. Особенно хорошо это понятие работает при изучении пространств Дугунджи и к-метризуемых компактов, поскольку пространства из этих классов являются пределами спектров с открытыми проекциями. Диа-дические компакты у лее не допускают разложения в спектры с открытыми проекциями. Поэтому понятие бикоммутативности диаграммы становится непригодным для изучения этого класса. Это

[27] Куратовский К. Топология, т. 1. — М.: Мир, 1966.

[28] Hilton P. J. Homotopy and duality (mimeographed). — Cornell University, 1959.

[29] Пасынков Б. А. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность // УМН. 1963. 18, № 5,'с. 183-190.

обстоятельство и побудило автора предложить точечную версию би-коммутативностн и использовать ее для описания топологии диади-ческих компактов веса Основным техническим инструментом нашего подхода явялется теорема 2.5.3, гарантирующая существование точек бикоммутатнвностн в предельных диаграммах морфнзмов несчетных обратных спектров. Мы сформулируем основной результат лишь для счетного случая, которого, однако, вполне достаточно для приложении. Напомним, следуя Е. В. Щепину, что обратный спектр Б = а,Р £ А} называется о-спект-ром, если все про-

странства Ха — метризуемые компакты, направленное множество А является сг-полным (последнее означает, что любая счетная цепь его элементов имеет точную верхнюю грань) и спектр непрерывен, то есть пространства с индексом, равным верхней грани цепи, является обратным пределом пространств цепи. Теперь мы готовы сформулировать основной технический результат, которым является

Теорема 2.5.3. Пусть 5 = {Ха; р0о, а,/3 £А}иТ = {Уа; а,0 £ А} — два а-спектра, X = Нтб1, У = ИтТ, отображение X У является пределом отображений /а : Ха -4 Уа. Тогда для любого а £ А и любой точки уа £ Уа существует ¡3 £ А и ур £ Ур, такие, что Р > а, чЧ{У()) — Ус, и Ур — точка бикоммутативности диаграммы Э^:

У X Г0 Л- Х0

Мы видим, что любую точку из любого элемента спектра Т можно "накрыть" точкой бикоммутативности предельной диаграммы с большим индексом. Особый интерес представляет случай вполне упорядоченных спектров, когда по индукции выбирая каждый раз точку бикоммутативности, накрывающую предыдущую, мы получаем в пределе точку с "хорошими", аналогичными дугундживским, свойствами. Из сказанного теперь ясно, что предположение об однородности пространства приводит к тому, что все точки являются "хорошими", а сам компакт — пространством Дугунджи. Эта схема

рассуждений нашла свое воплощение в доказательстве теоремы 2.5.1. В доказательстве теоремы 2.5.2, кроме того, мы используем результат §1 первой главы о спектральном представлении однородного по характеру бэровского подмножества диадического компакта веса ш\. Отметим, что теорема 2.5.2 является следствием более общего факта (теорема 2.5.5), суть которого состоит в том, что каждое счетное всюду плотное подпространство Dи' допускает вложение со всюду плотным образом в однородный по весу диадический компакт веса uii. Как известно, в метрическом случае существует только один топологический тип счетного плотного в себе пространства, и все метризуемые компакты без изолированных точек "плотно его содержат". И хотя неметризуемого аналога рациональных чисел нет, для диадических компактов веса lü\ ситуация очень напоминает в этом смысле метрическую.

Третья глава посвящена нормальным функторам в смысле Е. В. Щепина [23]. Напомним, что ковариантный функтор F : Comp —> Comp, действующий из категории компактов и непрерывных отображений в себя, называется нормальным, если он непрерывен, сохранят вес, пересечения и прообразы, мономорфен и эпиморфен и переводит одноточечное пространство в одноточечное, а пустое — в пустое. В этом понятии удачно найдена "золотая середина" между четырьмя чисто категорными условиями (непрерывность, мономорфность, эпиморфность, сохранение прообразов) и четырьмя чисто топологическими условиями (сохранение веса, пересечений, точки, пустого пространства). Если первая группа условий позволяет изучать наиболее общие свойства функторов с позиций теории категорий, то вторая половина условий делает это понятие вполне наглядным, "топологически осязаемым".

В §1 получены результаты о сохранении свойств алгебр RO{X) и Bq(X) произвольными нормальными функторами, то есть о взаимоотношении между RO{X) и RO(F(X)), В0{Х) и B0{F(X)). Это изучение проводится путем описания топологических свойств функтор-пространств F(X). Наиболее выпукло это демонстрирует

Теорема 3.1.1. Пусть F — произвольный нормальный функтор.

Компакт Р(Х) соабсолютен диадическому тогда и только тогда, когда X соабсолютен диадическому.

Напомним, что даже такие функторы, как ехр и Р, не сохраняют принадлежность пространства к классу диадпческих компактов и, тем более, к классу пространств Дугунджн. Причина этого состоит в том, что, сохраняя вес пространства, нормальные функторы увеличивают вес отображения. Это и ведет к ухудшению свойств функтор-пространства Р(Х) по сравнению с X. С другой стороны, как независимо показали Е. В. Щепин и А. Н. Дранишников, принадлежность Р(Х) к классу пространств Дугунджи влечет за собой аналогичное свойство для X. Теорема 3.1.1 показывает, что класс пространств, соабсолютных днадическим компактам, устойчив по отношению к действию произвольного нормального функтора. Ключевым свойством, обеспечившим такую формулировку, явилось сохранение нормальным функтором, при определенных условиях, 7Г-веса отображения.

Если же мы рассмотрим произвольный канторов куб Иг, алгебра ЯО{Ог) вообще не реагирует на действие функтора. Именно, справедлива

Теорема 3.1.2. Пусть Р — произвольный нормальный функтор. Тогда пространство Р(БТ) соабсолютно £>т для любого бесконечного кардинала т.

В случае И = ехр теорема 3.1.2 дает ответ на вопрос В.И.Пономарева о соабсолютности Ит и ехр£>г.

С алгеброй Во(Х) дело обстоит иначе. Пример 1.4.3 показывает, что функтор-пространство канторова куба веса и>2 не является бэров-ски изоморфным последнему. Тем не менее опять для кардинала удается доказать общий факт.

Теорема 3.1.3. Пусть Р — произвольный нормальный функтор. Компакт F(yY) бэровски изоморфен 1их тогда и только тогда, когда X бэровски изоморфен

При доказательстве теоремы 3.1.3 используется критерий бэров-ской изоморфностн кубу /"', установленый в первой главе.

§2 посвящен изучению функторов ехр и Р, нахождению их места в категории NF нормальных функторов и естественных преобразований. Функтор гиперпространства ехр является одним из первых и наиболее изученных в общей топологии. Его определение связано с именами Ф. Хаусдорфа и Л. Виеториса, а изучение началось буквально с началом общей топологии. К настоящему времени накоплена огромная информация о свойствах функтор-пространств ехрХ, особенно в случае метризуемого X. Причина этого в том, что функтор ехр улучшает геометрические свойства пространства. В подтверждение этого мы упомянем лишь замечательную теорему Кёртиса— Шори [30] о том, что гиперпространство нетривиального континуума Пеано гомеоморфно гильбертову кубу.

Пространство вероятностных мер является традиционным объектом функционального анализа и теории вероятностей. Интенсивное изучение же топологических свойств началось сравнительно недавно, но в последние годы разрыв между количеством информации о ехр и Р стремительно сокращается,что видно из обзора [7].

Из сказанного видно, что вопрос характеризацин функторов ехр и Р является весьма естественным. При этом мы стремимся к симметрии в описании ехр и Р. Для формулировки результатов нам потребуются некоторые обозначения и понятия. Через С+(Х) обозначается пространство неотрицательных на X непрерывных функций с естественными метрикой, линейной и мультипликативной структурами. Для числа а через ах обозначаем функцию, тождественно равную а на X.

Определение 3.2.1. Отображение и : С+(Х) -> С+(У) называется: 1) аддитивным; 2) полуаддитивным; 3) полумулътипликативным; 4) монотонным; 5) однородным; 6) слабо аддитивным; 7) слабо регулярным, если для любых f,g S С+(Х) в et 6 IR+ соответственно вы-

[30] Curtis D. W., Schori R. M. Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes // Fund. Math. 1978. 101, p. 19-38.

полнены условия: 1) и(] -Ь д) = м(/) + и(д); 2) и(/ + д) < и(/) + и{д)\ 3) и(/д) < и{/)и(д)\ 4) из / < д следует и(/) < и((/); 5) и(ог/) = сш(/); 6) и(/ + ах) = «(/) + ау; 7) и(а„у) = ау.

Одним из эквивалентных определений пространства вероятностных мер на компакте X является следующее: Р{Х) — это множество всех аддитивных, однородных, слабо регулярных функционалов из С+(Х) в К+, наделенное слабой* топологией.

Принимая во внимание ту параллель, которой мы следуем в изучении функторов ехр и Р, естественно возник вопрос о представлении гиперпространства ехрХ как множества надлежащим образом выбранного семейства функционалов в слабой* топологии. Для этой цели мы определяем множество Ф(Х) всех полуаддитивных, полумуль-тнпликативных, монотонных, однородных, слабо аддитивных, слабо регулярных функционалов <р : С+(Х) —> ¡й+, наделенное слабой* топологией. Очевидно, Ф —ковариантный функтор из категории Сотр в себя. Более того, справедлива

Теорема 3.2.2. Функторы Ф и ехр естественно изоморфны.

Иными словами, теорема 3.2.2 дает функциональное описание функтора ехр, вполне аналогичное определению Р, приведенному выше.

Далее в параграфе рассматривается вопрос о месте функтора ехр и его подфункторов ехр„ в категории /УР нормальных функторов. Для этой цели дается следующее

Определение 3.2.4. Функтор Р £ ТУР называется простым, .если у любого естественного преобразования I) : ? С £ Л^Р каждая компонента г]Х : Р{Х) -»■ О(Х) является вложением.

Иными словами, простой функтор нельзя профакторизовать, что и объясняет выбор термина. Введенное понятие и выделяет ехр, ехрп в категории NF. А именно, справедлива

Теорема 3.2.3. В категории Л^Р простыми являются функторы ехр, ехр„, и только они.

Для категорной характеристики функтора Р рассматривается подкатегория CNF категории NF. Объектами CNF являются нормальные функторы из категории Comp в категорию выпуклых компактов, лежащих в локально выпуклых топологических векторных пространствах, и непрерывных аффинных отображений. Морфизмы CNF — естественные преобразования с аффинными компонентами.

Категорную характеристику функтора Р дает следующая

Теорема 3.2.4. Функтор Р является начальным объектом категории CNF, причем для любого объекта F € CNF все компоненты естественного преобразования Т] : Р —> F суть вложения.

В §3 изучается вопрос об однородности пространств exp X и Р(Х) для диадического компакта X. Напомним известные примеры диа-дических компактов X, для которых ехрХ является однородным.

1) X — конечное пространство.

2) X —локально связный метризуемый компакт без изолированных точек.

3) X — канторово совершенное множество.

4) X — канторов куб DU1.

Отметим, что нетривиальными являются примеры 2 и 4. В первом случае однородность следует из упоминавшейся выше теоремы Кёртиса—Шори, а однородность expDu' — следствие теоремы С. М. Сироты [31] о гомеоморфности exp D"1 и D1"1.

Оказывается, что других примеров однородных гиперпространств диадических компактов нет. А именно, справедлива

Теорема 3.3.1. ЕслиХ — диадический компакт и ехрХ однородно, то X гомеоморфен либо локально связному однородному по характеру метризуемому компакту, лидо Dы°, либо D"".

[31] Сирота С. М. Спектральное представление пространств замкнутых подмножеств бикомпактов // ДАН СССР. 1968. 181, № 5, с. 1069-1072.

Примеров однородных пространств вида Р{Х) еще меньше. А именно, справедлива

Теорема 3.3.2. Если X — диадический компакт. Тогда, если пространство Р(Х) вероятностных мер на X однородно, то Р(Х) го-меоморфно либо гильбертову кубу либо тихоновскому кубу

Автор выражает благодарность профессору В. И. Пономареву за поддержку и профессору В. Н. Талпеву за гостеприимство.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Шапиро JI. Б. Об абсолютах топологических пространств и непрерывных отображениях // ДАН СССР. 1976. 226, № 3, с. 523526.

[2] Шапиро Л. Б. О пространствах вероятностных мер // УМН. 1979. 34, № 2, с. 219-220.

[3] Шапиро Л. Б. Контрпример в теории диадических бикомпактов // УМН. 1985. 40, № 5, с. 267-268.

[4] Шапиро Л. Б. О бэровских изоморфизмах пространств веса // ДАН СССР. 1985. 281, № 2, с. 283-287.

[5] Шапиро Л. Б. О бэровских изоморфизмах пространств несчетного веса // ДАН СССР. 283, № 2, с. 321-325.

[6] Шапиро Л. Б. О пространствах, соабсолютных обобщенному кан-торову дисконтинууму // ДАН СССР. 1986. 288, № 6, с. 13221326.

[7] Шапиро Л. Б. О пространствах, соабсолютных диадическим бикомпактам // ДАН СССР. 1987. 293, № 5, с. 1077-1081.

[8] Шапиро Л. Б. Категорная характеристика гиперпространства // УМН. 1988. 43, № 4, с. 227-228.

[9] Шапиро JI. Б. К дескриптивной теории множеств неметризуе-мых пространств // Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций. Саратов, 1989. С. 20-26.

[10] Шапиро Л. Б. Об однородности гиперпространств диадических бикомпактов // Матем заметки. 1991. 49, № 1, с. 120-126.

[11] Шапиро Л. Б. Об операторах продолжения функций и нормальных функторах // Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1992. № 1, с. 35-42.

[12] Шапиро Л. Б. Об однородности диадических бикомпактов // Матем. заметки. 1993. 54, № 4, с. 117-139.

[13] Шапиро Л. Б. О к-метризуемых бикомпактах // ДАН СССР. 1993. 333, № 3, с. 308-311.

[14] Heindorf L., Shapiro L. Nearly Projective Boolean Algebras. Lecture Notes in Mathematics 1596. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1994.

[15] Шапиро Л. Б. О плотных подпространствах диадических бикомпактов // Труды МИР АН. 1996. 212, с. 209-215.