Вложение пространств функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Гб од

6 пт

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Уральские ордена трудового краевого знамени государспенпый университет им. А. М. Горького

на правах рукописи УДК 517.982, 515.12

АЛЬПЕРИН Михаил Исаакович ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ •

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

/

№

Екатеринбург 1994

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов и уравнений математической физики Уральского государственного технического университета

Научные руководители:

— доктор физико-математических наук, профессор А. А. Ме-ленцов

— кандидат физко-математическях наук, старший научный сотрудник Е. Г. Лыткеев

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Чепцов

— кандидат физико-математических наук, додопт М. О. Аса-нов

Ведущая орг-шизацня: Томск'й государственный универстет. Защита диссертап-ш состоится

00 м. на заседании сдецпа.чкзпрованного Совета К 0C3.078.C3 в Уральском государственном университете по присуждению ученой степей кандидата физико-мглемагических на-' ук по адресу;. €20083, г. Екатеринбург, проспект Ленива 51, комн. 248

/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского

госунньерсктета

1 - • - 1 '

Автореферат разослан 1994 года

Ученый секретарь ' специализированного совета К 063.078.03 кандидат фнз.-мат. наук, »' • '

доцент /Хс х Пименов В. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пространство непрерывных функ-|й из одного топологического пространства а другое издавна ляется одним из основных объектов, изучаемых в фуих-юнальном анализе и топологии. Естественным образом, ш развитие понятий равномерно сходящейся последователь-ют и функций и поточечно сходящейся последовательности упкций, возникли понятия топологии поточечное и равно-;рпой сходимости на пространств«» фуяхтттт*, В изучении 1еих. этих тополопШ' достигнут значительный прогресс. В [учае топологии равномерной сходимости этот прогресс обловлен успехами в изучении банаховых пространств. А в [учае топологии поточечной сходимости большинство дости-ений связано с теоремой Тихонова о вложении пространства ункций в такой топологии в тихоновское произведение. Позже стали вводиться в изучаться и иные топологии на [ХуУ) пространстве всех непрерывных функций из X в У. 1945 году Фокс определил компактно открытую топологию, юзе появилось понятие открыто множественной топологии ^ренс и Дугунжи 1956 г.). В1955 году появляется понятие то-хяогии равномерной сходимости на семействе подмножеств, ервую из этих топологий, следуя Мак-Кою, мы будем обо-гачатъ Сх(Х, У), вторую — С\^(Х, У). Обе эти топологии на (X У) активно изучалась Гилманом а Джерисоном, Келля, ушзальтером и др. В данной работе делается попытка создания я применения энструкции, похожей на теорему Тихонова, но применимой к гкрыто множественной топологии а топологии равномерной содимостн на элементах покрытия. Исходным толчком Послужила теорема: Если X — ^-пространство, то для любого топалогиче-кого пространства У, пространство Се(Х, У) всех непре-ывных функций из X в У в компактно открытой тополо-

з

гни гомеоморфно пределу обрати: го спектра 5(Х, 2(Х), У) = {Сс(К,У),7Г$,2(Х)} пространств Се(К,У), где К нрипадле жит 2(Х) — множеству всех компактных подмножеств X.

И результат-птора:

Для хаусдорфова пространства X существует ¿-прост ранетво А'* такое, что Се{Х,У) вкладывается в Сс(^,У) дл? всякого топологического прострапства У.

Естествешгл вопросы: 1) насколько в этих теоремах существенно условие ¿-врострм - тиа? и 2) Как согласуется гомеоморфизм с алгебраическими структурам:! па С(А", У)?

Дс 1ьк> работы является решение этих вопросов, я применение получецштх результатов к иэучгк-яо компактных подмножеств функциональных пространств, а так же изучение достаточных условий полноты пространств функций по Дъе-донпс. '

Оскоа:ым методом нсследозаак:- является конструкция построенная в первой главе.

Научная новизна. В работе получены следующее результаты:

1) Дано определение Л- и А/-простраиств, А- и А/-лидеров (§1.1)

2) Построено влох ■ те пространств функций в пространство функций разлагающееся в обрг-гамй спектр банаховых пространств (§1.2 и §1^3)

3) Доказаны многочисленные новые обобщения теоремы Гротеядика о компактности в СР(Х). (гл. 2)

4) Найдены достаточные условия полноты пространств функций по Дьедонне, (§3.1)

5) Доказано обобщение теоремы Эберлейна-Шмульяна (§3.2

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение со мпожестве разделов фукди-овалыгого анал!гза и общей топологии.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на ссеыинаре кафедры общей топологии и

reo-летрии МГУ, па семинаре грофг -хора А. В. Архангельского в МГУ, ла городскс!.'. топологическом сс-'инаре (Екатсрип-аасемила^ах памяти П. Ci Александрова, па семпяа^тах <-':цесоюзпой Воронежской школы по фунпвдгааальпому анализу, па Тартусской копферепцил по фуахцнопальпому анализу (I9S8) КпевскоЛ международной тот логической конференций 1990) и других.

Публикации. Осповпые результаты о публикованы в С-тп рг^ботах, список которых пр уведен в колце автореферата.

Содержание длсссрта.уш, В первой глапе дается решение ДВУХ ВЫШе УПОМЯНУТЫХ ВОПППгл». П II J ZZQ£tZZ£it Д- а А/-простралсхза, а также А- и А/-лидеры. Вперз:-:е понятие А-прострапства для А, равного множеству всех компактных подмножеств (^-пространство) введег-э ГеЕлом в 1950 г. Конструкцию ¿-пространства X*, уплотняющегося па некоторое заданное пространство X п имеющее одинаковое с ним семейство компактных подмножеств, впервые описал Коэн. Термин fc-лидер появился в работе A.B.Архангельского, где впервые зроведеио систематическое изучение к-лидеров. Франклином юпятие А-прострапства, А-лцдера и основ}ше теоремы о ннх, )аснространяются па патуральные покрытая. Что касается ^-пространств и А/~лидсров, для натуральных покрытий они определены в Кдрником п Виландером.

Довольно неожиданно оказалось, что основные результа-ы, сформулированные для натуральных покрытий, оказа-нсь верны для произвольных семейств А. Эти результаты огут представлять интерес и сами по себе, не касаясь темы ростр ал ств функций. Например, следствие 1.3.19.: Пусть X аусдорфово пространство А .— семейство всех ограниченных одмножеств X, тогда А-лпдер и А/-лидер пространства X меют одипаховые с пространством X семейства ограничении замкнутых множеств.

Второй параграф посвящен проблеме вложения пространств \(X,Y) — непрерывных функций из X в У в множественно-крытой (А-открытой) топологии п CUX, У) — непрерыв-

S

ных функций из X в равномерное пространство У в топологии равномерной сходимости на элементах Л, то есть отвечает на первый вопрос.

Что касается Сх(Х,У), теорема 1.2.14. гарантирует разложение Сх(Х,У) в обратный спектр при очень небольших я естественных ограничениях на семейство Л. Результат же автора о вложении Сс(Х,У) в Сс(Хк,У) тоже без труда переносится на С\ (X, У) и Сх(Х\, У), где Х\ — А-лвдер пространства X (теорема 1.2.13).

Для пространства С\^(Х, У) ситуация еще проще, ограничений на семейство А, кроме того что А — покрытие, просто нет (теоремы 1.2.3 и 1.2.8).

Что касается второго вопроса, его рассмотрению посвящен третий параграф. В этом параграфе рассматриваются только пространства вида Сх^{Х,У), так как если топология Сх(Х, У Согласована с какой-либо алгебраической структурой на С(Х,У) (имеется в виду топологическая группа, либо топологическое кольцо, либо топологическое векторное пространство), то топология Сх(Х,У) совпадает с топологией СдДХ.У). Оказывается, что еслиСхф(Х,У) наделено какой-либо алгебраической структурой, то и вложение С\Ф(Х, У) в Сх,ц(Хх,У) и разложение в спектр сохраняют операцию (т.е. являются морфизмаыи соответствующей категории) (теоремы 1.3.5,1.3.6,1.3.13,1.3.16,1.3.24 и 1.3.27). Следствиями из этих теорем являются следующие результаты:

Если X тихоновское пространство, А — покрытие X, состоящее из ограниченных множеств, то Сд^(Х) подалгебра проективного предела топологических алгебр С*([Л]), где С*р({А]) — банахово пространство ограниченных действительнозначных функций на [А].

Если X хаусдорфово пространство, А — покрытие X, то С\#[Х) — подгруппа проективного предела метризуемых групп СР([А]).

Глава 2 посвящена применению конструкции, построенной в главе 1 для доказательства компактности подмножеств в

7д (X,Y) и Cxjt(X,Y), точнее, для обобщения теоремы Гро-"ендика: Бели X компакт, а У — тихоновское пространство, •о любое относительно счетно компактное подпространство 7Р(Х, У) относительно компактно.

Результаты первого параграфа посвящены СР(Х, У) в при-1Ыкают к работам М.А.Асанова, Н.В.Величко и А.В.Архан-ельского. Доказываются результаты в некоторое смысле ¡похожие» па результаты статьи А.В.Архангельского. То есть I формулировках его статьи функциональная порожденностъ вменяется порожденностыо по Асанову-Величко. Сам терши «иорОАДешюсть по Асанову—Беяичко» ввелея автором 1дя обобщения слябых-^- н слабых-у-пространств введенных I статье М.А.Асанова и Н.В.Величхо.

В §2.2 распространяются па Сд.ДА", У) теоремы первого па-1аграфа. Интерес представляет теорема 2.2.7: Если X порождено по Асааову-Величко семейством <тА={ U А% : А% € А}, де А покрытие X, то Сх^(Х) — /¿-пространство, т.е. каждое ираниченное подмножество C\tll(X) относительно компактно [ теорема 2.2.11, которую можно переформулировать следую-¡цта образом: Если для С?{Х,У) выполняется тот или иной ариант теоремы Гротендика, то тот же вариант теоремы Гро-•епдика выполняется Сх,ц(Х,У). В этом же параграфе вы-[сняются взаимоотношения классов пространств, порождеп-1ых по Асанову-Величко и функционально порожденных про-транств.

В параграфе 3 доказывается теорема, аналогичная теоре-ie 2.2.11 для открыто-множественной топологии на С(Х, У) сстсствеппьшп ограничениями на семейство А. Эта теоре-ia имеет множество следствий как и теорема 2.2.11. След-твия 2.2.12. в 2.3.6, можно объединить в следующее утверждение: Если тихоновское пространство JC порождено по юанову-Величко или функционально порождено семейством - всех своих подпространств, обладающих всюду плотным. -счетно пракомпактным подмножеством, а А — покрытие

пространства X (р С Л С 7), каждое псевдокомлактпос подмножество Сх#(Х%У)(Сх(ХуУ}) относительно компактно. Следствия 2.2.13 и 2.3.7 мохно объединить в такое утверждение: Если тихоновское пространство А' порождено по Асапову-Велачко или функционально порождено семейством 7 всех своих подпространств, обладающих всюду плотным <г-псевдокомпактпым подмножеством, а А - покрытие X, (р С Л С 7)» то каждое счетно пракомпахтное подпрострал-ство C\i(l(X, Y) (Сх{Х, У)) относительно компактно.

Глава 3 посвящена другим использованиям конструкции, построенной в гл. 1. В §3.1. исследуется вопрос о полноте по Дьедонне пространства Сх^{Х,У). Полнота по Дьедонне опроделепа в работе Дьедонне и там же впервые изучалась. В отношении пространств функций вопрос о полноте по Дьедонпе (точнее о очень похожем топологическом инварианте - функциональной полноте) поставил и решил для СР(А',У) A.B.Архангельский. В даппой работе пайдено достаточное условие для полноты по Дьедонне пространства C\th(X,Y):

Теорема 3.1.4 Бели хаусдорфово пространство А' функционально порождено счетными объединениями элементов некоторого покрытия А, то С\^(Х, У) полно по Дьедонне, каково бы ни было метрическое пространство Y.

В этом же параграфе указан пример, доказывающий, что условие теоремы 3.1.4 не является необходимым.

Так как функциональная полнота и полнота Дьедонне совпадают в случае, если ве существует измеримого по У ламу кардинала, то данные результаты автоматически распространяются на функциональную полноту, если не существует измеримого по Уламу кардинала.

Последний параграф посвящен обобщению теоремы Эбер-лейна-Шмульяна:. Бели А '— подмножество банахова пространства, то следующие условия эквивалентны:

(1) А — относительно компактно в слабой топологии.

(2) А — секвенциально компактно в слабой топологии.

(3) А — относительно счетно компактно в слабой тополо-

гии.

Импликация (3) => (2) доказала В.Л.Шмульяном, эквива-— пектность условий (1) и (2) доказал В.Эберлейн. Импликация [1) => (3) очевйдга.

В дальнейшем теорема Эберлейна-Шмульяпа обобщалась » нескольких направлениях. Одно из них связано с расши-юнием класса тополояй. Другое с добавлением условий, »кг.нвалентпых данным. Прайсом и Симоном, к трем, уже г.мекнднмся услопн: м, добавлена слабая псевдокомпактность пн :ества А. Из результатов Асанова М.О. н Велитхо Н.В. ледует, что можно добав»«тъ т: условие (5), Л — тополепг-играт-чепзо а топологии. Результатом автора

шллетс.ч следующая теорема

Теорема 3.2.4. Если X — банахово пространство, паделеп-1ое произвольной локально выпуклой линейной топологией, оторая сильнее слабой топологии, и А подмножество А", то ледугощие условия эквивалентны:

(1) А ~ относительно компактно,

(2) А — относительно сехвенциа^ьно ко шактпо,

(3) А — относительно счетно компактно,

(4) А — относительно псевдокочпактно, (5} А — топологически ограниченно.

оным у ловием в которой являете: тояологячесх:-.я егралл-епность.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Альперип М.И. Бикомпактные подмножества С\(Х) Ц ардинальные инварианты и расширения пространств. Ижевск: зд-во Удмуртского гос. университета, 1989. с. 75 — 79 ' Альперин М.И. Полпотл пространства С\(Х) Ц Исследова-1Я по фукнцаональпому анализу и топологии. Свердловск: зд-во УрГУ, 1990. с. 4 — б

Альперин М.И. Относительно компактные подмножества Сс(Х) // Проблемы теоретической я прикладной математихи. Свердловск: Из-во УрО АН СССР, 1990. с. 70 — 79

Альперин М.м. Топологические пространства и компактные подмножества пространств функций // Исследования по топологии и теории операторов. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1990. с. 14 — 19

Альперин М.И. Пространство Сх(Х): бикомпактные подмножества и полнота // Вестник московского университета, сер. 1: Математика и механика, 1991. №2, с. 86 — 87

Alperin M.I. Suslia пшпЬег of С\(Х) Ц Abstract colloquium on topology August 23 - 27. Szetsard, Hungary, 1993. p. 2 — 3