Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

Гусельникова, Ольга Михайловна

Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Гусельникова, Ольга Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса»

Автореферат диссертации на тему "Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса"

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Факультет физико-математических и естественных наук

На правах рукописи

005009018

Гусельникова Ольга Михайловна

Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

2 0ЕЗ 2^1

005009018

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Скориков Александр Васильевич

Ведущая организация:

МАТИ-Российский государственный технологический университет им.

К. Э. Циолковского

Защита состоится "21"февраля 2012 года в 17-00 на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском Университете Дружбы Народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, аудитория 495а. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РУДН. Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Е.Россовский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бссселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С.М.Никольского 1 Большую роль играют Лиувиллевские классы Z£(Rn), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева а при дробных показателях гладкости являются наи-

более естественным продолжением классов И^(МП). Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отмстим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский 2, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья 3, X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.

В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости.Отметим здесь работы В. И. Бурен-кова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др. В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов.

Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в исследовании интегральных свойств обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса, в

1 С.М.Никольский Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. // М.: Наука, 1977.

2S.M.Nikolskii Approximation of functions of several variables and imbedding theorems// Springer, Berlin, 1975.

3 V.G.Maz'ya Sobolev Spaces // Springer, Berlin, 1985.

установлении критериев вложениях потенциалов Бесселя и Рисса в перестановочно инвариантные пространства, а также в описании оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений.

Методика исследования. Основными методами исследования являются использование убывающих перестановок, построение и эквивалентное описание конусов убывающих перестановок, сведение к оценкам норм комбинированных операторов типа Харди на положительной полуоси.

Научная новизна. Построены и описаны конусы убывающих перестановок для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Решена задача об оптимальном перестановочно инвариантном пространстве, содержащем данный конус убывающих перестановок. Для обобщенных потенциалов на базе пространства ЬР(Ш"), получены конструктивные описания перестановочно инвариантных оболочек потенциалов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. На основании общих результатов этой работы может быть получен ряд критериев вложения для различных конкретных пространств и различных типов ядер, включая классические потенциалы Бесселя и Рисса.

Исследование интегральных свойств потенциалов служит базой для дальнейшего изучения свойств гладкости потенциалов в тех интегральных метриках, в которых получены соответствующие вложения.

Апробация работы и публикации. По темам диссертации опубликованы 7 работ [1-7].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

1) XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2008 г.;

2) семинар кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов (рук. д.ф.-м.н., проф. A.B. Арутюнов, 2010, 2011);

3) Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения, Ростов-на-Дону, 2011;

4) Международная конференция OMTSA - 2011, Kirsehir, Turkey, 2011;

5) 8-ая Международная конференция по проблемам функциональных пространств, дифференциальных операторов и нелинейного анализа, Tabarz, Thür, Germany, 2011.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, списка литературы. Общий объем диссертации 98 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, описывается структура и дается краткое содержание работы, излагаются основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе кратко даны основные понятия и известные результаты, используемые в данной работе.

Во второй главе изучается пространство потенциалов Hf(K") на n-мерном евклидовом пространстве:

= {« = <?*/:/€ £(«")},

где £'(Rra) - перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Мы используем здесь аксиоматику, развитую в книге К. Бен-нетта и Р. Шарпли 4. Ядро свертки называется допустимым, если G е Li(]Rn) + E'{W). Здесь Е?{Ж") означает ассоциированное ПИП для ПИП Е(Ж").

Пусть Х(Ж"),£:(ЖП) есть ПИП, Е'{Rn) - ассоциированное ПИП, а Е(М.+),Е (R+) - их представления Люксембурга, т.е. такие ПИП, что

\\f\\E=\\rh, II 9 HßHI 9* b' •

Определение

Убывающей перестановкой мы будем называть функцию /*, определенную на [0, оо] следующим образом:

/*(*) = inf{A : М/(А) < t}, t> О,

где fJ.f(\) = ß{x € Ж" : |/(а;)| > А}, А > 0 - функция распределения.

Определение

Сферической перестановкой функции / называется:

/*(р) = г(упрп), реR+,

4 С. Bennett and R. Sharpley. Interpolation of Operators Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston, MA, 1988.

где V„— объем шара единичного радиуса в R™.

Определим класс Cün(-R) монотонных функций для R е (0, оо] следующим образом:

Функция Ф : (О, Л) —> R+ принадлежит классу 3„(R), если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (О, R);

2) существует постоянная с £ R+, такая что

J Ф(р)рп-Чр < сФ(г)г", г € (О, R). о

Сформулируем условия первого типа на ядра: Пусть Ф 6 Зп(оо)- Считаем, что G € ^(Ф), если

С#(р)^Ф(р), р=\х\еЖ+. Считаем, что G S , если

С(р) = Ф(р), р=\х\еж+. Для i, г € (О, Т) обозначим

ф) = Ф (№)1/n) € UT), hit, т) = min {^(i), <р(т)} .

В предположении: Ф € 3n(oo); /$(i;-) € Ё'{R+), (i € R+); G £ 5^,(Ф), получаем что, ядра G являются допустимыми и потенциалы, построенные с помощью ядер этого типа Hf(Mn) назовем обобщенными потенциалами типа Рисса.

Классические ядра Рисса получим при G(x) = ра~п, р = |х| € R+, а € (0, п).

Для них Ф(р) = ра~п 6 3»(оо), G е S°x(Ф) и /Ф(г; •) е £'(R+) & г"/"-1 е E'(t,оо), при (г е R+).

Сформулируем условия второго типа на ядра G.

Для R € R+ определим

BR = {х € R+ : |i| < Д}; G°R = GXbr, G\ = СХнЛвн.

Пусть R s R+, Ф G Зп(й); * = X{Rn) есть ПИП.

Считаем, что (2 6 5д(Ф;Х), если

(С°д)# (р) - Ф(р), ре (О, Л); С'еЦГ). Считаем, что б € 5д(Ф;Х), если

с°я(х) * Ф(р), р=Ие(0,д); о^еХОй"). Тогда обобщенные потенциалы Бесселя строятся при помощи ядер

С? € 5д(Ф; 1<1 П Е'); JGdx¿0.

Е"

Ядра классических потенциалов Бесселя имеют вид:

в(х) = с(а, п)р-"Ки{р), р=\х\е К+, а € (0, п], I> = {п- а)/2,

где /Г„ - функция Макдональда (функция Бесссля мнимого аргумента). Классические потенциалы Бесссля охватываются этой схемой при ф(р) = и любом ПИП Е(Ш").

При исследовании вопроса о нахождении критерия вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство, ключевую роль играет оператор типа Харди, определенный на положительной полуоси. Использование убывающих перестановок потенциалов позволяет редуцировать проблему вложения потенциалов к задаче об ограниченности оператора Харди и использовать разработанную для операторов этого типа теорию.

Оператор типа Харди:

тФ,т : Е0 -> Х(0, Т), Т € (0, оо]

Иф,г[з](*)= ГМЬт)д(т)<1т, д е Ёо(0,Т)

Здесь при Т € К+ через Е(0,Т) обозначим сужение Е(Ш+) на (О, Г):

II 5 Ь(0,Г)=11 3° Ь(к+); 30(0 = э(4«е(0,Т); =

Ёо(0,Т) = [д € Ё{0,Т) : 0 < д | д{1 + 0) = дЦ), t € (0,Т).} Сформулированы и доказаны следующие критерии вложения.

Теорема 1.

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение Н^К") с экви-

валентно ограниченности оператора 5Яф]00. В частности, для £ € К+,

/«.(*;■) € Ё'(Ж+) & Н|(Еп) С Ьг{Шп) + Ь^Ш1).

Теорема 2.

В случае обобщенных потенциалов Бесселя, каждое из следующих двух условий необходимо, а их совокупность достаточна для вложения Hg(R") С :

(а) оператор ограничен, где Т = Vn (ji/2j

(b) справедливо вложение £(Rn) П L^W1) С Х(КП).

Определение.

Оболочкой локального роста пространства потенциалов называется функция:

А я (i) = sup ju*(i) : и е ||м||нс < l|.

Рассмотрение этой функции содержательно в том случае, когда пространство потенциалов не вложено в C(Rn).

Теорема 3.

Справедлива двусторонняя оценка

AH(i) = ||/ф(*;-)11ё<(0,т)> te(0,T).

Далее в этой главе для вложения Hf(R") С X(Rn) было получено описание оптимального ПИП (перестановочно инвариантная оболочка, минимальное ПИП, в которое вложено пространство потенциалов).

Теорема 4.

1. Если R = оо , то оптимальное ПИП Xq = Xo(Rn) в случае обобщенных потенциалов Рисса имеет эквивалентную норму

11/11x0(0,Г) = sup jji /у(ft : 9 G Lo(0,T); ||<ИФ,ту; i)b'(0,r) < lj

сТ = оо

2. Если В,еШ+ , то оптимальное ПИП Х0 = Х0(МП) в случае обобщенных потенциалов Бесселя имеет эквивалентную норму

!1/И^о(К+) = 11/11хо(0,Г) + 11/Ия(Ц+) •

В процессе доказательства задача нахождения оптимальных ПИП будет сведена к задаче о построении оптимального ПИП для вложения конуса убывающих перестановок.

Глава третья посвящена доказательству результатов, представленных во второй главе.

В четвертой главе рассматриваются пространства потенциалов, построенные с помощью свертки ядер <3 € Ь^Е") с функциями из банахова инвариантного пространства Е(Ж").

Дадим определение пространства функций с ограниченным спектром:

М^еО^1) = {де Е{К") : вирр Рд С [-V, и]п}, где Рд— преобразование Фурье функции д.

Одним из шагов при получении необходимого условия вложения рассматриваемого в этой главе пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство является следующая теорема.

Теорема 5. Если в(х) е ^(ЕГ) и / С(х)йх ф 0, тогда:

Е»

31/ > 0, такое что: •М„1.е(Мп) С

О использованием известного результата, полученного М.З.Верколайко и В.И.Овчинниковым 5 было доказано следующее необходимое условие вложения:

Теорема 6.

Пусть Х(КП),¿?(МП)- перестановочно инвариантные пространства,

ЬМ. 3. Берколайко, В. И. Овчинников. Неравенства для целых функций экспоненциального типа в нормах симметричных пространств. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 101 (1983), 3-17.

тогда для вложения пространства потенциалов (Кп) в ПИП Х(Шп) необходимо чтобы:

Ьоо(Кп) П Е{Жп) С Х(1Г).

При наложении достаточно жестких условий на ядра <3, а именно, рассматривая ядра (3, такие что С € П £', было найдено явное описание оптимального ПИП по вложению.

Предложение 7.

Х0(МП) = Ь00(М.п)Г)Е(Мп) является оптимальным ПИП для вложения: Н|(1Г) С Х(ЕП), при С € Ьх(1Г) П

Отметим, однако, что эти предположения о ядрах слишком жесткие. Даже ядра классических потенциалов Бесселя и Рисса не всегда удовлетворяют подобным условиям, поэтому основное внимание в диссертации уделено рассмотрению ситуации, когда это жесткое требование не выполняется.

В главе пятой в качестве базового перестановочно инвариантного пространства Е(Жп) выступает пространство Ьр(Ж"), 1 < р < оо. В этом случае, мы имеем дело с обобщенными потенциалами типа Бесселя и типа Рисса. Для них справедливы общие результаты, полученные во второй главе, но здесь удалось получить соответствующие критерии в эффективной форме.

В случае, когда р = 1 этот вопрос решается достаточно просто. Для потенциалов типа Рисса оптимальным ПИП оказывается обобщенное пространство Марцинкевича Му(Мп) с весовой функцией <р, определенной по ядру (3 следующим образом <р{т) = Ф ((т/У„)1/п) £ СЦТ), /Ф(£, т) =

Для потенциалов типа Бесселя оптимальным будет пересечение

здесь пространство Марцинкевича с нормой

11/1к = ||ГНм,(ад=^Р [/"(«М«)"1]

. Имеет место следующая теорема.

Теорема 8.

1). Для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса при р = 1 критерии вложений в ПИП имеют вид

(здесь Т = оо для потенциалов Рисса, Т = У„(Д/2)П для потенциалов типа Бесселя)

2). Оптимальное ПИПХ0(М.п) для вложения в случае потенциалов типа Рисса совпадает с М^(ЕП); а в случае потенциалов типа Бесселя оно совпадает с пересечением П Ь^(К") с нормой

В процессе получения явных критериев при 1 < р < оо важную роль играют весовые пространства Лоренца Л9(ш) и Г,(о;), где и > 0 - измеримая функция (вес), 1 < 5 < оо;

Теорема 9.

Пусть 1 < р < оо и у е 3,(Т) Л 1у (£, Т), Ь е (О, Т); ц> £ ¿р,(0, Т). Тогда, оптимальное ПИП для вложения (К") С Х(К") имеет эквивалентную норму:

Н/11хо = ll/lta + H/lk

11/11л,(Ш) = ||/*Ик(к+);

Il/Ilr,(u) = ||/"w||L,(R+).

11/11

Xo(R+) -

ll/llrP(VT) := I I [г(t)VT(t)]PdtY,

где

оо

t е к.

а при Т е к.

VT(i) = j^'dr) \ t G (О,T/2]; Vr(i) = Vr(T/2), t > Т/2.

Для того, чтобы сформулировать критерии вложений потенциалов типа Рисса и типа Бесселя в весовые пространства Лоренца Г, (а;) и Л, (а;) введем несколько обозначений. При Т £ (0, оо], г =рд/(р-д) обозначим

ЕЯ(Г)= эир

16(0,Т/2) Т/2 г. I

( ¡шЧт)1,Ч{ У>с*т)

1/р'

ЕР9(Т) =

а при Т е '

1/р'

0 4

Гот(оо) = 0,

(р&У<и

Р<Т,

1 /г

Р>4\

¥п{Т) = зпр

¿>Т/2

( J иРйт}

1/9

-1/Р

р<<?;

-1/Р

г \ 1/г СЙ

р > д.

Т/2 0

Теорема 10.

Пусть 1 < р < д < оо или 1 < д < р < оо; функция (р удовлетворяет условиям условиям, указанным в теореме 9. Тогда имеют место эквивалентности:

Н* (К») С Л» ^ Н® (Мп) с Г» ^ ЕИ(Т) + РИ(Г) < оо.

В шестой главе представлено подробное обоснование результатов, полученных в пятой главе.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Михаилу Львовичу Гольдману за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Гуселъникова О.М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, 21-25 апреля 2008 года, Москва, тезисы докладов секции математики и информатики, с. 5

[2] Гуселъникова О.М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. // Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 16, вып. 3, 2011, с. 738-741

[3] Голъдман М.Л., Гуселъникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1. // Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3, 2011, с.4-16.

[4] Goldman M.L., Guselnikova О.М. Some general properties of operators in Morrey type spaces. // Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения, 22-28 апреля 2011 года, Ростов-на-Дону, тезисы докладов, с. 7

[5] Goldman M.L., Guselnikova О.М. Local Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. // Intern Workshop "Operators in Morrey type spaces and Applications OMTSA - 2011, May 20-27, 2011, Kirschir, Turkey, Book of Abstracts, 20

[6] Goldman M.L., Guselnikova O.M. Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. // 8-th International Conference on Function Spaces, Differental Operators and Nonlinear Analysis, Tabarz, Thur, Germany, September 18-24, 2011, Book of Abstracts, 19

[7] Голъдман M.JI., Гуселъникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 2. // Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, (принято в печать)

Гусельникова О.М.

Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

Аннотация

В работе изучаются интегральные свойства обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса, устанавливаются критерии вложения потенциалов в перестановочно инвариантные пространства, а также описываются оптимальные перестановочно инвариантные пространства для таких вложений.

Построены и описаны конусы убывающих перестановок для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса, решена задача об оптимальном перестановочно инвариантном пространстве, содержащем данный конус убывающих перестановок. Для обобщенных пространств на базе пространства Лебега Ьр(Жп), получены конструктивные описания перестановочно инвариантных оболочек потенциалов.

Guselnikova O.M.

Optimal embeddings of Bessel and Riesz type potentials

Abstract

We study integral properties of generalized Bessel and Riesz type potentials. The criteria of embedding for potentials are established in rearrangement invariant spaces, and optimal rearrangement invariant spaces are described for such embeddings.

The cones of decreasing rearrangements for potentials are constructed and described. The problem of optimal rearrangement invariant space is investigated for given cone of decreasing rearrangements. The constructive descriptions are obtained for rearrangement invariant hull of potential space based on Lebcsgue space Z/p(]Rn).

Подписано в печать 12.01.12. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Усл. печ. л.1. Заказ 3

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гусельникова, Ольга Михайловна, Москва

61 12-1/466

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Факультет физико-математических и естественных наук

На правах рукописи

Гусельникова Ольга Михайловна

Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и

типа Рисса

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович

Москва - 2011

Содержание

Введение. 4

1 Основные понятия и обозначения. 13

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)............................13

1.2 Ассоциированное пространство................................................14

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки........................14

1.4 Максимальная функция........................................................16

1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)........................16

1.6 Фундаментальная функция....................................................17

1.7 Сферическая перестановка......................................................18

2 Эквивалентные описания конусов перестановок 19

2.1 Пространство потенциалов и конусы убывающих перестановок............19

2.2 Два типа условий на ядра представления..................21

2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок..............................26

2.4 Интегральные свойства потенциалов........................................28

3 Доказательства основных результатов главы 2. 33

3.1 Доказательство теоремы 2.19.........................33

3.2 Доказательство теоремы 2.21.........................36

3.3 Доказательство теоремы 2.24..................................................38

3.4 Доказательство теоремы 2.25..................................................40

3.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций....................43

3.6 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Рисса. ... 47

3.7 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Бесселя. . . 48

4 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. 53

4.1 Множество функций с ограниченным спектром..............................53

4.2 О вложении пространства функций с ограниченным спектром в пространство потенциалов..........................................................54

4.3 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в ПИП. ... 56

4.4 Задача об оптимальности вложения Н^(МП) в ПИП Х(МП) для ядер Се^ПЯ'........................................................................57

5 Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. 60

5.1 Потенциалы типа Бесселя и типа Рисса. Следствия общих теорем. ... 60

5.2 Оптимальные вложение при р = 1...................... 62

5.3 Оптимальные вложение при 1<р<оо........................64

5.4 Критерии вложения в весовые пространства Лоренца при 1 < р < оо. . 66

6 Доказательства основных результатов главы 5. 69

6.1 Доказательство теоремы 5.6..............................69

6.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Рисса........72

6.3 Обоснование оптимального вложения потенциалов типа Бесселя. .... 76

6.3.1 Вспомогательные результаты о сужениях БФП......................76

6.3.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Бесселя. . . 78

6.3.3 Доказательство замечания 5.12....................83

6.4 Доказательство теоремы 5.15..................................................85

Введение.

Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бесселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С.М.Никольского [1]. Большую роль играют Лиувиллевские классы Пр(Шп), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева а при

дробных показателях гладкости являются наиболее естественным продолжением классов

Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья [4], X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.

В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости.Отметим здесь работы В. И. Буренкова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др.

В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов. Использование общих перестановочно инвариантных пространств в качестве базовых пространств расширяет классы дифференциальных уравнений, для которых применимы построения решений в виде потенциалов.

В работе изучаются пространства потенциалов на п— мерном евклидовом пространстве. Они построены на основе перестановочно инвариантных пространств

(ПИП) с помощью сверток с ядрами общего вида. В рассмотрение включены как пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса, так и пространства обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Исследованы интегральные свойства потенциалов. Для них установлены критерии вложений в ПИП и получены описания оптимальных ПИП для этих вложений.

В первой главе кратко даны основные понятия и известные результаты, используемые в данной работе.

Во второй главе изучается пространство потенциалов Н^(МП) на n-мерном евклидовом пространстве:

где Е(Шп) - перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Мы используем здесь аксиоматику, развитую в книге К. Беннетта и Р. Шарпли. Ядро свертки называется допустимым, если G Е Li(Rn) + Е'(Шп). Здесь E'(Rn) означает ассоциированное ПИП для ПИП E(Rn).

Пусть X(Rn),E(Rn) есть ПИП, Е'(Шп) - ассоциированное ПИП, а Ё{Ш+),Ё'{Ш+) - их представления Люксембурга, т.е. такие ПИП, что

\\ f \\е=\\ Г \\ё, \\9\\е' = \\9*\\е> ■

Убывающей перестановкой мы будем называть функцию /*, определенную на [О, оо] следующим образом:

/*(i) = inf{A : fJif(X) <t}, t> О,

где A) = ц{х E Rn : |/(ж)| > A}, A > 0 - функция распределения.

Сферической перестановкой функции / называется:

f*(p) = r(vnpn),

где Vn— объем шара единичного радиуса в Rn.

Определим класс 3П(Я) монотонных функций для R Е (0, оо] следующим образом:

Функция Ф : (О, R) —» принадлежит классу если выполнены следующие

условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (О, Я);

2) существует постоянная с € такая что

! Ф{р)рп-1йр ^ сФ{г)гп, Г е (О, Я). о

Сформулируем условия первого типа на ядра:

Пусть Ф е Зп(оо)- Считаем, что <3 € б'оо(Ф), если

р=\х\еШ+.

Считаем, что О е , если

С(р)^Ф(р), р=\х\е М+.

Для т € (0,Т) обозначим

^(г) = Ф ((г/Уп)1/") еЛх(Т), /ф(<,г)=тшЫ£)^(г)}.

В предположении: Ф е Зп(оо); /ф(4; •) € £'(К+)> £ М+); С € ¿^(Ф), получаем что, ядра (7 являются допустимыми и потенциалы, построенные с помощью ядер этого типа Нд(Кп) назовем обобщенными потенциалами типа Рисса. Классические ядра Рисса получим при (7(х) = ра~п, р = \х\ £ а <Е (0, п).

Для них Ф(р) = ра'п е 3„(оо), в € 5^(Ф) и

/ф(4; •) 6 Ё'(ж+) г"/"-1 е £'(г,оо), при (< € М+).

Сформулируем условия второго типа на ядра С.

Для Я € определим

Вя = {х £ К+ : \х\ < Я} ; С°к = СХвк, С1К = СХцп\Вн■

Пусть Я е М+, Ф б 3П(Я); X = Х(КП) есть ПИП. Считаем, что (7 € Ф; X), если

(^)#(р)-Ф(р), ре (О,Я); С^ХГ).

Считаем, что (3 € 5д(Ф;Х), если

С°(*) = Ф(р), р=|а;|е(0,Я); £

Тогда обобщенные потенциалы Бесселя строятся при помощи ядер

Е'); ! 0.

К"

Ядра классических потенциалов Бесселя имеют вид:

С(х) = с(а, п)р~рКи(р), р=\х\е М+, а е (0,п], и = (п - а)/2,

где Ки - функция Макдональда (функция Бесселя мнимого аргумента). Классические потенциалы Бесселя охватываются этой схемой при Ф (р) = ра~п и любом ПИП Е(Шп).

Оператор типа Харди:

: Ё0 Х(0,Т), Те( 0,оо]

9ЧтШ= / Ш,т)д{т)йт, деЁ0(0,Т) Jo

Здесь при Те!+ через Е(0,Т) обозначим сужение Е(Ж+) на (О;^)1

II 9 Ь(0,Т)=11 9° Ь(«+); д0№ = яШ<= (0,Т); д\£) = 0,0 Г; Ё0(0,Т) = {д е Ё(0,Т) : 0^д1 д(Ь + 0) = дЦ), *е(0,Т).} Сформулированы и доказаны следующие критерии вложения.

Теорема.

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение Н^(КП) С Х(М") эквивалентно ограниченности оператора 91ф100. В частности, для £ € К+,

/ф№.) е Ё'(ш+) & н|(кп) с ь^ш1) + ¿оо(кп).

Теорема.

В случае обобщенных потенциалов Весселя, каждое из следующих двух условий необходимо, а их совокупность достаточна для вложения С Х(КП) :

(а) оператор 9ЯФ)т ограничен, где Т = V

(Я/2)"

(Ь) справедливо вложение Е(Шп) П Ь^Ш71) С X(Rn).

Оболочкой локального роста пространства потенциалов называется функция:

A H(t) = sup {u*(í) :иЕ H|, \\и\\н% ^ l} .

Рассмотрение этой функции содержательно в том случае, когда пространство потенциалов не вложено в C(Rn).

Теорема.

Справедлива двусторонняя оценка

Ая(*) = ||/Ф(*;-)1Ь'(0,Т), t е (0,т).

Далее в этой главе для вложения С было получено описание

оптимального ПИП (перестановочно инвариантная оболочка, минимальное ПИП, в которое вложено пространство потенциалов).

Теорема.

1. Если R = оо , то оптимальное ПИП Хо = Xo(Rn) в случае обобщенных потенциалов Рисса имеет эквивалентную норму

У\\х0{0,т) = sup [I f*9*dt : g е L0(0,T); ||$ПФ,Г(<?*; í)||F(0iT) < l|

cT = оо

2. Если R 6 R+ , mo оптимальное ПИП Хо = Хо(Мп) в случае обобщенных потенциалов Бесселя имеет эквивалентную норму

11/11х0(»+) = 11/11хо(0,Т) + ll/lb(K+) •

В процессе доказательства задача нахождения оптимальных ПИП будет сведена к задаче о построении оптимального ПИП для вложения конуса убывающих

перестановок. Одним из важных методов исследования в данной работе является использование конусов убывающих перестановок для потенциалов, построение и эквивалентное описание данных конусов.

Глава третья посвящена доказательству результатов, представленных во второй главе.

В четвертой главе рассматриваются пространства потенциалов, построенные с помощью свертки ядер G G Li(Rn) с функциями из банахова инвариантного пространства Е(Шп).

Дадим определение пространства функций с ограниченным спектром:

-M^R71) = {д 6 Е{Rn) : supp Fg С [-и, и]п}, где Fg— преобразование Фурье функции д.

Теорема. Если G(x) € Li(Rn) и J G{x)dx ф 0, тогда:

шп

3 и > 0, такое что: MU¡E{К") С Hg(Rn)

С использованием известного результата, полученного М.З.Берколайко и В.И.Овчинниковым [13] было доказано следующее необходимое условие вложения:

Теорема.

Пусть X(Rn), Е(Шп)— перестановочно инвариантные пространства, тогда для вложения пространства потенциалов H^(Rn) в ПИП X(Rn) необходимо чтобы:

Loo(Rn) П £(1Г) cI(Rn).

При наложении достаточно жестких условий на ядра G, а именно, рассматривая ядра G, такие что G G L\ П Е'. было найдено явное описание оптимального ПИП по вложению.

Предложение.

Xo(Mn) = Ьоо(Мп) П Е(М.п) является оптимальным ПИП для вложения: Hg(Rn) С Х{Шп), при G g Li(Rn) П Е'{Rn).

Главная цель пятой главы состоит в получении конструктивных критериев вложения в ПИП и явных описаний оптимальных ПИП для вложений потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Основу для этого дают общие результаты, представленные в главе 2, в которой проблема вложения потенциалов была редуцирована к описанию действия комбинированных операторов типа Харди на полуоси R+ = (0, оо). В ней так же были приведены следствия этих результатов, относящиеся к случаю Е = Ьр и используемые в дальнейшем теоремы А, В, С. Отметим, однако, что получение из них эффективных критериев и явных описаний требует еще в некоторых случаях значительных усилий. В качестве базового перестановочно инвариантного пространства Е{Rn) мы рассматриваем пространство Lp(Rn), 1 < р < оо. В этом случае, мы имеем дело с обобщенными потенциалами типа Бесселя и типа Рисса. Для них справедливы общие результаты, полученные во второй главе, но здесь удалось получить соответствующие критерии в эффективной форме.

В случае, когда р = 1 этот вопрос решается достаточно просто. Для потенциалов типа Рисса оптимальным ПИП оказывается обобщенное пространство Марцинке-вича M¥,(Rn) с весовой функцией </?, определенной по ядру G следующим образом ^(т) = Ф ((r/Vn)1/«) eUT), Ы1,т)=тш{<рЦ),<р(т)}.

Для потенциалов типа Бесселя оптимальным будет пересечение M^(Rn) П Li(R"), здесь M¥,(R71)— пространство Марцинкевича с нормой

ll/lk» = ИЛ1м^(к+) = suP [/**(¿M¿)-1]

v t> о

Имеет место следующая теорема.

Теорема.

1). Для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса при р = 1 критерии вложений в

ПИП имеют вид

(здесь Т = оо для потенциалов Риеса, Т = УП(Д/2)П для потенциалов типа Бесселя)

2). Оптимальное ПИП Хо(Мп) для вложения в случае потенциалов типа Рисса совпадает с Му(1я), а в случае потенциалов типа Бесселя оно совпадает с пересечением П ¿Х(МП) с нормой

Н/1к = ||/1к, + ||/|к

При рассмотрении случай, когда 1 < р < оо получение явных описаний оптимальных ПИП для вложения уже требует применения нетривиальных результатов, связанных с принципом двойственности в общих весовых пространствах Лоренца. Установлено, что оптимальные ПИП представляют собой весовые пространства Лоренца, в которых весовые функции вычисляются по функции (р. Весовые пространства Лоренца Ад(о;) и Тя(ш), где ш > О - измеримая функция (вес), 1 < д < оо определяются следующим образом;

Н/Нл^И = ||/*Нк(к+); ||/||г,(ш) = I |/**Н1 £,(«+)•

Теорема.

Пусть 1<р<оои(рЕ 3Х(Т) П Ь е (0,Т); <р & £у(0,Т). Тогда, опти-

мальное ПИП для вложения Н^ (К™) С Х(М") имеет эквивалентную норму:

Н/11хо(К+) = 11/1к(Уг):= / Гтт{1)

<Й ,

где

Уоо(ь) = ф)1/-1[ I </йт) ,

а при Тб1+

ут(г) = ЖУ-Ч I </<1т)~\ I € (О,Т/2]; Ут(*) = Уг(Т/2), í > Т/2.

Сформулирован и доказан следующий критерий вложения пространств потенциалов типа Рисса и типа Бесселя в весовые пространства Лоренца Г9(о;) и Ад(ш).

Теорема.

Пусть 1 < р < д < со или 1 < д < р < оо; функция удовлетворяет условиям условиям, указанным в предыдущей теореме. Тогда имеют место эквивалентности:

иЦЖ1) С Л» ^ Н^ИГ) С Г» ^ ЕИ(Т) + ¥п{Т) < оо

где:

при Те (0, оо], г = рд/(р — (¡) Е „(Т)= зир

¿6(0, Т/2) , т/ 2г 4

(/¿¿Г

1/я / Г , \1/У и^т ) ( / (1т)

р < <?;

1/г

Р > ч\

ЕР9(оо) = О,

а при Т е К4

РИ(Г) = зир

4>Т/2

иЧт) Г1/р

р<я;

Рря(Т) =

{оо г 4 Т/2 О

г N 1/г £

Р > 9-

В шестой главе представлено подробное обоснование результатов, полученных в пятой главе. В них важную роль играют результаты теории весовых пространств Лоренца и оценки норм комбинированных операторов типа Харди на конусах монотонных функций. Стоит отметить, что еще одним важным методом исследования в данной работе является сведение задачи о вложении к оценкам норм операторов указанного типа на положительной полуоси.

Основные результаты диссертации были опубликованы в [28, 32, 33, 34]. Кроме того, нами были рассмотрены некоторые свойства операторов в пространствах типа Морри [29, 30, 31]. Но эти результаты остались за рамками диссертации, поскольку они стоят несколько в стороне от основного направления работы и поэтому не были включены в диссертацию.

1 Основные понятия и обозначения.

В данном разделе приведены известные понятия банаховых функциональных пространств, ассоциированных к ним пространств, перестановочно инвариантных пространств, а так же некоторые другие понятия и результаты, которыми мы будем пользоваться в дальнейшей в данной работе.

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП).

При работе с банаховыми функциональными пространствами мы будем пользоваться аксиоматикой, введенной К. Беннетом и Р. Шарпли в книге о вещественном методе интерполяции пространств, [см. 1]

Пусть (Жп,р) — измеримое пространство, р — а конечная, а аддитивная, полная неотрицательная мера.

M - множество измеримых функций / : R™ —> К1;

М+ - множество измеримых функций / : Rn —> [0, оо];

Mo - множество измеримых функций /, таких что |/| < оо почти всюду;

MJ = М0 П М+ Определение 1.1

Отображение р : Mo —> [0, оо] называется банаховой функциональной нормой, если для любых функций f,g,fn(n = 1,2,3...) из М+, для любой константы а > 0 и для всех р,— измеримых подмножество Е из Rn выполнены следующие свойства:

1. p(f) = 0 / = 0 почти всюду; p(af) = ap(f ); p(f + g) < p(f) + p(g)\

2. 0 < g < f почти всюду => p(g) < p(/);

3. 0 < fn î / почти всюду =Ф- p(fn) î p(/);

4. ц(е) <oo=> p(xe) < oo;

5. fi(e) < oo / f dp < cepU)

для некоторой конечной ненулевой константы се, зав