Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Малышева Анастасия Владимировна

Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

24 ОКТ 2013

Москва - 2013

005535524

005535524

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН).

Научный руководитель:

Гольдман Михаил Львович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН.

Официальные оппоненты:

Осипенко Константин Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики МАТИ-Российского государственного технологического университета им. К.Э.Циолковского;

Скориков Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа им. И. М. Губкина.

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 19 ноября 2013 года в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, аудитория 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан

диссертационного совета

Ученый секретарь

Россовский Леонид Ефимович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах С.М. Никольского1 и И. Стейна 2. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования и характеризуются наличием особенности степенного типа.

Лиувиллевские классы LJ(Rn), построение которых основывается на классических ядрах Бесселя-Макдональда, при целых показателях гладкости пространства совпадают с пространствами Соболева (Rn), а при дробных значениях г представляют собой естественное продолжение соболевских классов.

Теория таких пространств, ее приложений, в том числе теория вложения пространств классических потенциалов, получили развитие в работах многих математиков, особенно стоит отметить исследования следующих выдающихся авторов: C.JI. Соболев, С.М. Никольский 1 , О.В. Бесов 3, В.И. Буренков 4, Л.Д. Кудрявцев, П.И. Лизоркин, Ю.Г. Решет-няк, П.Л. Ульянов, Л. Хёрмандер, И. Стейн, В.Г. Мазья 5, а также многие другие специалисты в области математического анализа, теории уравнений в частных производных. Также отметим работы В.И. Бурен-кова, A.B. Бухвалова, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, В.И. Коляды, Ю.В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др., в чьих трудах в последние десятилетия теория пространств была обогащена развитием теории пространств обобщенной гладкости.

Цель работы. Цель работы состоит в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя в случае вложения в пространство непрерывных функции. Эти свойства характеризуются с помощью модулей непрерывости любых порядков в равномерной норме. Также изучены интегральные свойства обобщенных потенциалов Рисса,

1С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

2И, М. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

30. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы

вложения.Наука, Москва, (1996).

4 V. I. Burenkov. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 137, Teubner, Stattgajd,

Leipzig (1998).

5B. Г. Мазья. Пространства Соболева. Изд-во ЛГУ, 1985.

для них установлены условия вложения пространств потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства, кроме того, описаны оптимальные перестановочно-инвариантных пространств для таких вложений, в случае, когда в качестве "базовых перестановочно-инвариантных про-странств"используются пространства Лоренца с общим весом.

Методика исследования. Основными методами исследования являются использование убывающих перестановок, построение и эквивалентное описание конусов убывающих перестановок, сведение к оценкам норм комбинированных операторов типа Харди на положительной полуоси. Дифференциальные свойства свертки описываются в терминах ее модуля непрерывности любого порядка в равномерной норме.

Научная новизна. Изучаются обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая, в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат, а их поведение на бесконечности связано только с условием интегрируемости, и, таким образом, в рассмотрение включены также ядра с компактным носителем. И, значит, такое обобщение будет охватывать более общие функции оператора дифе-ренцирования, уже необязательно только степенного типа. Заметим, что такие обобщения дают при описании дифференциальных свойств функции большую гибкость, кроме того, в тех ситуациях, когда классические потенциалы не дают результатов, подобные обобщения доставляют содержательные ответы и теоремы вложения пространств.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. На основании общих результатов этой работы может быть получен ряд критериев вложения для различных конкретных пространств и различных типов ядер, включая классические потенциалы Рисса.

Исследование интегральных свойств потенциалов может быть использовано для дальнейшего изучения свойств гладкости потенциалов для тех интегральных метриках, для которых получены вложения. Описание поведения операторов дифференцирования необязательно степенного типа позволяют получать содержательные ответы и теоремы вложения пространств в тех случаях, когда классические потенциалы не дают результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под ру-

ководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова. Доклад, основанный на результатах диссертации, сделан на международной конференции: "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвященной 90-летию член-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2013.

Публикации. По темам диссертации опубликовано 4 работы [1-4].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации 73 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, описывается структура и дается краткое содержание работы, излагаются основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе в краткой форме даны основные понятия, сформулированы известные результаты, которые используются в работе.

Во второй главе более подробно описано пространство потенциалов (Rn) на n-мерном евклидовом пространстве:

flf(Rn) = {u = G*/:/eS(R")},

где Е (R") - перестановочно-инвариантное пространство. При этом используется аксиоматика, введенная авторами К.Беннет и Р.Шарпли 6. В частности, Е' = Е' (Rn) - ассоциированное ПИП, т.е. ПИП с нормой:

\\д\\Е, = sup jjf \fg\dp : / £ В, ||/||в < 1 j •

Для ПИП Е (R") и Е' (Rn) рассмотрим пространства Ё = Ё (R+), Ё' = Ё' (R+) - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения:

11/11* = Н/Ъ, 1Ык = НЛ*.

где /* - убывающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на R+ = (0, оо), равноизмеримая с

6С. Bennett and R. Sharpley. Interpolation of Operators. Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston, MA, 1988.

/:

^{х е К" : |/Ы| > у] = е К+ : |/'(()| > у], У € К+. Введем понятие максимальной функции:

4

/"М = \] Пт)Лт. о

Введем класс монотонных функций Л„(оо) следующим образом: функция Ф : (0, оо) —> М+ 6 Лп(оо), если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (0, оо);

2) существует постоянная с € такая что

г

I ф(р)рп~1<1р < с ■ Ф(г)гп, г > 0. о

Обобщенными потенциалами типа Рисса мы будем называть потенциалы, построенные с помощью ядер <?, таких что С(х) = Ф(р),р = е К+. Классические потенциалы Рисса получим при Ф(р) = ра~п, 0 < а < п. В этой главе мы формулируем результаты, полученные в работах М.Л. Гольдмана 7'8'9,10, в которых установлены критерии вложений обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса в различные перестановочно-инвариантные пространства, которыми будем пользоваться при доказательстве результатов в третьей главе.

Важную роль при этом играет оператор типа Харди !Кф100 : ¿(М+) , определенный на положительной полуоси следующим образом: 00

У /<Д£, т)д(т)(1т, где д € Ё (К+) , о

где /ф(г,т) = тт{#),^(т)}, ф(т) = Ф >уп ~ объем единичного

шара в К".

Оптимальным перестановочно-инвариантным пространством для вложения Я£(Е") С Х(К") называют такое ПИП Х0 = Х0(КП), что Не с -^(К") справедливо при X = Х0, и если для некоторого ПИП X имеет место вложение #£ (К") С то Х0 С X.

7М. Л. Гольдман. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Доклады РАН. Т. 423, ЛП (2008), 151-155.

8М. Л. Гольдман. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов. Доклады РАН. Т. 414, №2 (2007), 159-164.

9М. Л. Гольдман. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260 (2008), 144-156.

Л. Гольдман Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова, 2010. Т. 269. С. 91-111.

Теорема. (М.Л. Гольдман8)

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение Я® (К") С экви-

валентно ограниченности оператора ЭТ^оо- Кроме того, оптимальное ПИП для вложения Яf (М") С Х(К") имеет норму:

11/11х„(к+) = 8ЧР |¡ГЗ'М : д € Ь0(Ж+); 11ёчк+) < 11 •

Здесь £о(К+) означает множество измеримых и почти всюду конечных на М+ функций.

В третьей главе мы получаем условия вложения пространств потенциалов типа Рисса, когда в качестве "базового пространства"выступают пространства Лоренца Лр(и),1 < р < оо с некоторым общим весом О < и е Ь'1ос(М+), т.е. пространства с нормой

Н/Нл^и) =

1 < р < оо;

/оо \ р

еэв вир {/*(<)иМ} > р = оо.

1Е(0,оо)

Также описаны оптимальные перестановочно-инвариантные пространства, в которые вложены потенциалы. Заметим, что при и = 1 мы получаем критерии вложения, когда в качестве "базовых про-странств"используются пространства Ьр, 1 < р < оо, установленный авторами М.Л. Гольдманом и О.М. Гусельниковой п. Здесь мы рассматриваем пространство с весом О < и в £'10С(М+), для которого мы устанавливаем следующие результаты: Теорема А.

Пусть 1 <р < оо, ^ + ^ = 1, Положим,

' 2 ' ' * и{1) = I и(т)йтМ*) = = / Мт№.

о о

Кроме того, пусть

I у )

Тогда оптимальное ПИП для вложения Н%р(и)(Ш") С имеет норму

11/11*.««+) = Н/НГР^О = [ ,

11Гольдман М.Л., Гусельникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, Л* 3, 2011, с.4-16.

где

tP+P,-iV1(t)fT-^v1(T)dT

Щ (t) =

/ оо \ Р+1 '

\Vi(t) + tf f T-P'v^dTj Теорема В. Положим,

t

0<s<t О

Кроме того, пусть

В2 = sup ( [-——— I • ess sup • ess sup u(s)l < oo.

r>0 \J ess sup u(s) / te( ) I t 0<s<( J

\0 0<s<( / '

Тогда оптимальное ПИП для вложения #aL(u)(R") С X(R") имеет эквивалентную норму

ll*o(R+) - 11/11г~(ад) = ess sup {f"(t)u)2(t)},

0<t<oo

где

и.l2(t) = sup

4

В четвертой и пятой главах рассмотрен случай, когда пространство потенциалов вложено в С (Еп). Устанавливаются двусторонние оценки модулей непрерывности свертки в С (ПГ), а также приводится описание общего класса радиально-симметричных ядер, на котором имеют место двусторонние оценки модулей непрерывности свертки.

Здесь мы рассматриваем свертку

i{x) = Jg(x- y)f(y)dy

щ

R"

измеримой конечной почти всюду функции / : Г 1 с ядром G € Li(R"),G ^ 0. Свойства гладкости свертки описываем в терминах ее модуля непрерывности порядка А; € N в норме C(Rn):

a4(u; г) = sup || A£u|Lr„, , т 6 R+ = (О, оо).

|ft|<r

В четвертой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер

G(x) = Ф(|х|),х е К",

для которых для свертки и = G * f имеет место оценка сверху модуля непрерывности любого порядка к € N.

При этом мы будем считать, что функция Ф : R+ —f [0, оо) удовлетворяет условиям

оо

Ф 4; 0 < J \Ф(г)\zn~1dz < оо.

о

Обозначим ;

Ф,(г)=(Й) НО.'Є N„ = {0,1,2,...}.

Пусть оі,гі € R+;fc Є N. Через B/:(z1,ai) обозначим класс функций Ф Є Cfc(R+), таких что

max [z21 |Фі(г)|] < агФ(г), z Є (0,гх).

Пусть zi Є R+, Фі : [zi,oo) —> [0, оо), такая что:

оо

Фі 4-; Фі(г + 0) = Фі(г), г Є [zu оо), J 9і(г)гп~Чг < оо.

21

Через Dk(zi^i) обозначим класс функций Ф є Ck(R+), таких что

max [z21 |Ф((г)|] < zkt>i(z),z > zx.

Сформулируем основной результат данной главы, при этом считаем, что функции ф и Ф, такие как определено выше. Теорема С.

Пусть G{x) = Ф(М),я Є К", где Ф Є Bk{zu ai) f\Dk(zi, Фі). Тогда, для любой функции / Є Л1^; (0, Гі)) с весовой функцией ф(т) = Ф и Ті = Vnz", свертка и = G * f непрерывна, ограничена, и для любого Т Є R+ справедлива оценка т

Ф{т)Г(т)іт,і Є (0,T],Cl = Cl(T).

n L

В пятой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер, для которых имеет место оценка снизу модуля непрерывности свёртки.

Через Еь(го,$о), го,бо € 6 N обозначим класс функций Ф €

СЛ(К_|_), для которых

(_1)*ф№(г) > 60г~кФ(г)^е (0,го).

Основной результат данной главы заключается в следующем утверждении, при этом функция Ф : —» [0, оо) удовлетворяет условиям

Ф

ОО

4.; О < J |Ф(г)| zn~ldz

Теорема D.

Пусть G(x) = Ф(|х|),х G R", где Ф б Ек{г0,60)Г\Вк(г0,а0). Пусть Т G R+ и функция а : R+ —¥ [0, оо) удовлетворяет условиям

О < о 4.; <т(т + 0) = <т(г), т € (О, Г); <т(т) = 0, т > Т

т

¡фа

фсг < оо,

о

где 0(т) = Ф Тогда существует функция /о : К™ —> К, такая

что

Ус;(г)<а(г),теК+,

а для свертки и0 = в* при < € (О,Т] справедлива оценка с постоянной сТ = сГ(<50, го, а0, п) € R+

Оценки сверху модулей непрерывности свертки, приведенные в главе 4, и оценки снизу, приведенные в главе 5, получены при различных условиях на ядра свертки. Существует, однако, достаточно широкий класс радиально - симметричных ядер, к которым применимы одновременно результаты обоих разделов. Для сверток функций с ядрами данного класса мы получаем, таким образом, двусторонние оценки модулей непрерывности. Мы показываем, что классические ядра Бесселя - Макдональда Ga принадлежат указанному классу. Таким образом, результаты применимы к этим ядрам и дают, в частности, двусторонние оценки модулей непрерывности классических потенциалов Бесселя, полученные ранее для модулей непрерывности порядков к > а в работе авторов А. Гогатишвили, Дж. Невес, Б. Опиц 12, и для модулей непрерывности любых порядков в работе авторов Гольдман М. Л., Малышева А. В., Хароске Д.13.

Мы применяем все приведенные выше результаты, учитывая в них, что ф(т) = rS_1,r G (0,Т]. Здесь a G (0, п) - параметр ядер Ga Бесселя-Макдональда.

12Gogatishvili A., Neves J. S., Opic В. Sharp estimates of the k-modulus of smoothness of Bessel potentials. J. London Math. Soc. 2010. V. 81. N 2. P. 608-624.

13Гольдман M. Л., Малышева А. В., Хароске Д. Оценки равномерного модуля непрерывности для потенциалов Бесселя. Доклады Академии наук, 2013, Т.450, Л* 2, С. 143-146.

0

а(т)ф(т)с1т.

При к > а оценка упрощается до вида, полученного ранее авторами А. Гогатишвили, Дж. Невес, Б. Опиц 12: при £ € (О,Г]

о о

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Михаилу Львовичу Гольдману за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Малышева А. В. Оптимальные вложения обобщенных потенциалов Рисса. Вестник РУДН. Серия математика, информатика, физика, 2013, Л"5 2, С.28-37.

[2] Малышева А. В. Optimal embeddings of Riesz type potentials. 4th International conference Function spaces. Differential operators. General topology. Problems of mathematical education, March 25-29, 2013, Moscow, Russia. Theses of reports, P. 94-95.

[3] Голъдман M. Л., Малышева А. В., Хароске Д. Оценки равномерного модуля непрерывности для потенциалов Бесселя. Доклады Академии наук, 2013, Т.450, № 2, С. 143-146.

[4] Голъдман М. Л., Малышева А. В. Двусторонняя оценка модуля непрерывности свертки. Дифференциальные уравнения, 2013, Т. 49, Л*8 5, С. 585-596.

Малышева A.B.

Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов

Аннотация

В работе рассматривается пространство потенциалов типа Рисса на га-мерном евклидовом пространстве. Они строятся на основе перестановочно-инвариантных пространств с помощью свёрток с ядрами общего вида, их конструкция опирается на описание класса ядер с помощью некоторой неотрицательной, убывающей функции Ф. Рассмотрение обобщённых потенциалов Рисса включает пространства классических потенциалов Рисса.

Здесь мы будем рассматривать случай, когда в качестве базового пространства ПИП выбраны весовые пространства типа Лоренца Ap(u),l < р < оо с общим весом и. При исследовании вопроса о нахождении условий вложения пространств потенциалов типа Рисса в ПИП мы используем критерий вложения, установленный в работе М.Л. Гольдмана. Ключевую роль при этом играет оператор типа Харди, определённый на положительной полуоси, а также неравенства для операторов такого типа. Для случая обобщенных пространств потенциалов Рисса при 1 < р < оо сформулирована и доказана теорема об оптимальном вложении в ПИП. При и = 1 мы получаем критерии вложения, когда в качестве "базовых пространств" используются пространства Lp, 1 < р < оо, установленные в работе авторов М.Л. Гольдмана и О.М. Гусельниковой.

Изучаются дифференциальные свойства потенциалов, которые характеризуются в терминах поведения их равномерного модуля непрерывности порядка к. Оценки такого типа для потенциалов Весселя были найдены при условии к > а в работе А. Гогатишвили, Дж. Невес, Б. Опиц. Здесь снимается это ограничение и получена оценка для любого fc £ N. Кроме того, рассмотрены более общие ядра и устанавливается оценка модуля непрерывности снизу. Описывается класс радиально-симметричных ядер, для которых выполняются двусторонние оценки модуля непрерывности.

Malysheva A.V.

Optimal embeddings and two-sided estimates of modulus of continuity for generalized potential spaces

Abstract

We study Riesz potentials in ^-dimensional Euclidean space. They are constructed on rearrangement-invariant spaces as convolutions with kernels with general form, their description of the class of kernels is based by means of some non-negative, decreasing function Generalized Riesz potentials include classical Riesz potentials spaces. Here we consider as a 'base"space RIS Lorentz type space Ap, 1 < p < oo. During consideration of the question of finding conditions for embeddings of Riesz type potentials in RIS we used proven by M.L. Goldman criteria, where the operator of Hardy type and inequalities for operators of this type are playing the key role. For the case of Riesz potentials, 1 < p < oo, are established the condition of optimal embedding in RIS. Case of based on space Lp, 1 < p < oo Riesz type potentials, considered by the authors M.L. Goldman and O.M. Guselnikova, corresponds with the result of this work.

In the theory of function spaces it is an important problem to describe the differential properties for the classical Bessel and Riesz potentials as well as for their generalizations. Bessel potentials are determined by the convolutions of functions with Bessel-MacDonald kernels Ga. Here, we characterize the integral properties of functions by their decreasing rearrangements. The differential properties of potentials are characterized by their modulus of continuity of order k in the uniform norm. Estimates of such type were obtained by A. Gogatishvili, J. Neves, and B. Opic in the case k > a. Here, we remove this restriction and obtain the results for all values k € N. We established the lower estimate for modulus of continuity and describe a class of radially symmetric kernels, for which the two-sided estimates of modulus occurr.

Подписано в печать 30.09.13. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Усл. печ. л 1. Заказ 1307

Типография Издательства РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Факультет физико-математических и естественных наук

На правах рукописи

04201363148

Малышева Анастасия Владимировна

Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов.

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович

Москва - 2013

Содержание

Введение. 3

1 Основные понятия и обозначения. 10

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)....................10

1.2 Ассоциированное пространство........................................12

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки................13

1.4 Максимальная функция................................................14

1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)................15

1.6 Сферическая перестановка..............................................16

1.7 Конечные разности и модули непрерывности........................16

2 Пространство потенциалов, ядра представления, интегральные свойства потенциалов. 18

2.1 Пространство потенциалов..............................................18

2.2 Два типа условий на ядра представления............................20

2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок......................24

2.4 Интегральные свойства потенциалов................................26

2.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций............28

2.6 Доказательство теоремы 2.6 для обобщенных потенциалов Рисса. 30

3 Оптимальные условия вложения пространства потенциалов типа Рисса. 32

3.1 Оптимальные условия вложения при 1 < р < оо..........35

3.2 Оптимальные условия вложения при р = оо..........................38

4 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки. 42

4.1 Основные оценки сверху модуля непрерывности свёртки.....42

4.2 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер........................................53

5 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки. 58

5.1 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер........................................58

5.2 Двусторонняя оценка модуля непрерывности для потенциалов Бесселя....................................................................68

Список литературы. 71

Введение.

Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах С.М. Никольского [2] и И. Стейна [3]. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования и характеризуются наличием особенности степенного типа.

Лиувиллевские классы Ьтр (Мп), построение которых основывается на клас-сичечких ядрах Бесселя-Макдональда, при целых показателях гладкости пространства совпадают с пространствами Соболева (К"), а при дробных значениях г представляют собой естественное продолжение соболевских классов.

Теория таких пространств, ее приложений, в том числе теория вложения пространств классических потенциалов, получили развитие в работах многих математиков, особенно стоит отметить исследования следующих выдающихся авторов: С.Л. Соболев, С.М. Никольский [2,15], О.В. Бесов [15], В.И. Буренков [18], Л.Д. Кудрявцев, П.И. Лизоркин, Ю.Г. Решетняк, П.Л. Ульянов, Л. Хёр-мандер, И. Стейн [3], В.Г. Мазья [4], а также многие другие специалисты в области математического анализа, теории уравнений в частных производных. Также отметим работы В.И. Буренкова, А.В. Бухвалова, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, В.И. Коляды, Ю.В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др., в чьих трудах в последние десятилетия теория пространств была обогащена развитием теории пространств обобщенной гладкости.

Здесь мы изучаем обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая, в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат, а их поведение на бесконечности связано только с условием интегрируемости, и, таким образом, в рассмотрение включены также ядра с компактным носителем. И, значит, такое обобщение будет охватывать более общие функции оператора диференцирования, уже необязательно только степенного типа. Заметим, что такие обобщения дают при описании дифференциальных свойств функции большую гибкость, кроме того, в тех ситуациях, когда классические потенциалы не дают результатов, подобные обобщения доставляют содержательные ответы и теоремы вложения пространств.

Мы изучаем пространство потенциалов на п,-мерном евклидовом пространстве, которые построены на основе перестановочно-инвариантных про-

странств (ПИП) с помощью светрок с ядрами общего вида, в это рассмотрение включаются пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса.

Цель работы состоит в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя в случае вложения в пространство непрерывных функций. Эти свойства характеризуются с помощью модулей непрерывости любых порядков в равномерной норме. Также изучены интегральные свойства обобщенных потенциалов Рисса, для них установлены условия вложения пространств потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства, кроме того, описаны оптимальные перестановочно-инвариантных пространств для таких вложений, в случае, когда в качестве "базовых перестановочно-инвариантных пространств"используются пространства Лоренца с общим весом.

В первой главе в краткой форме даны основные понятия, сформулировы известные результаты, которые используются в работе.

Во второй главе более подробно описано пространство потенциалов Н^ (Кп) на п-мерном евклидовом пространстве:

где Е (К™) - перестановочно-инвариантное пространство. При этом используется аксиоматика, введенная авторами К.Беннет и Р.Шарпли [1]. В частности, Е' = Е' (М") - ассоциированное ПИП, т.е. ПИП с нормой:

Для ПИП Е (К") и Е' (К71) рассмотрим пространства Ё = Ё (М+), Ё' = Ё' (М+) - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения:

где /* - убывающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на М+ = (0, оо), равноизмеримая с /:

п% (1Г) = {и = С*/:/е Е(Шп)},

№ = н/ъ, ме' = \\9*\\ё

Ип{х е М" : |/(у)| >у} = 6 м+ : |Г(*)| > у}, У £ М+.

Введем понятие максимальной функции:

о

Введем класс монотонных функций Зп(оо) следующим образом: функция Ф : (О, оо) —> М+ 6 Зп(оо), если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (0, оо);

2) существует постоянная с € К+, такая что

г

£ (Ъ/ ,Л „П-1,

Ф(р)рп~Чр < с ■ Ф(г)гп, г > 0.

о

Обобщенными потенциалами типа Рисса мы будем называть потенциалы, построенные с помощью ядер С, таких что С(х) = Ф(р),р = |ж[ € М+.

Классические потенциалы Рисса получим при Ф(р) = ра~п, 0 < а < п.

В этой главе мы формулируем результаты, полученные в работах М.Л. Гольдмана [6,7,8,26], в которых установлены критерии вложений обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса в различные перестановочно-инвариантные пространства, которыми будем пользоваться при доказательстве результатов в третьей главе.

Важную роль при этом играет оператор типа Харди ЭТ^оо : Е (Ш+) —> X (К+), определенный на положительной полуоси следующим образом:

оо

^Ф,оо[зШ) = I /ф(г,т)д(т)с1т,гдедеЁ(Ш+), о

где и(1,т) = гшп{ф(1),ф(т)}, ф(т) = Ф

Оптимальным перестановочно-инвариантным пространством для вложения 11% (М") С Х(МП) называют такое ПИП Х0 = Х0(МП), что Н% (Мп) С Х(ЕП) справедливо при X = Хо, и если для некоторого ПИП X имеет место вложение (Еп) С то Х0 С X.

Теорема. (М.Л. Гольдман [7])

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение (Мп) С Х(МП) эквивалентно ограниченности оператора Кроме того, оптимальное ПИП для вложения Яд (Еп) С Х(МП) имеет норму:

Х0(К+) — 8иР *

I ГдЧ1 : д е Ь0(М+); П^соИИ^) < 1 ко

Здесь 1/о (М+) означает множество измеримых и почти всюду конечных на М+ функций.

В третьей главе мы получаем условия вложения пространств потенциалов типа Рисса, когда в качестве "базового пространства"выступают пространства Лоренца Ар(и), 1 < р < оо с некоторым общим весом 0 < н £

¿^(М.).), т.е. пространства с нормой

(J f*P(t)u(t)dt )" , 1 < р < оо;

11/11лр(«) =

ess su] V ie(ov

sup {f*(t)u(t)}, p = oo. ■oo)

Также описаны оптимальные перестановочно-инвариантные пространства, в которые вложены потенциалы. Заметим, что критерии вложения, когда в качестве "базовых пространств"используются пространства Lp, 1 < р < оо, установленный авторами M.J1. Гольдманом и О.М. Гусельниковой [28], согласуется с результатами данной главы, в которой мы рассматриваем пространство с весом 0 < и Е Ll10C(R+) и для которого мы устанавливаем следующие результаты:

Теорема А.

Пусть 1<р<оо,± + ^ = 1, Положим,

t , / t U(t) = J u(r)dT, v\{t) = t2PfJ^(t\vi(t) = J vi(r)dr.

о 0

Кроме того, пусть

r>o\J и* [I) / \J &>uf(t) /

Тогда оптимальное ПИП для вложения Ядр^(Еп) С Х(МП) имеет норму

(ОО \ р

I rr(t)Wl(t)dt\ ,

где

оо

tp+p'-iv^t) f T-r'vii^dr

wiW = 7-ST-\p+r-

Vi(t) + V fT-fviWdr)

t J

Теорема В. Положим,

t

v2(t) = m) V2{t) = [ v(r)dr.

ess sup u(s) J

0<s<t

Кроме того, пусть

B2 = sup I f-——гт I " ess SUP i - • ess sup u(s) \ < oo.

r>o I J ess sup u(s) i te(r,oo) {t o<s<t J \o о<s<t J

Тогда оптимальное ПИП для вложения Яд^^М") с имеет норму

ll/llxo(R+) - ll/llr-iwj) = ess sup {f**(t)u2(t)},

0<t<oo

где

u2(t) = sup

В четвертой и пятой главах рассмотрен случай, когда пространство потенциалов вложено в С (Мп). Устанавливаются двусторонние оценки модулей непрерывности свертки в С (Мп), а также приводится описание общего класса радиально-симметричных ядер, на котором имеют место двусторонние оценки модулей непрерывности свертки.

Здесь мы рассматриваем свертку

и(х) = J G(x — y)f(y)dy

н™

измеримой конечной почти всюду функции / : R" 4 R с ядром G G L](M"), G ф 0. Свойства гладкости свертки описываем в терминах ее модуля непрерывности порядка к G N в норме C(Rn):

t4(u;r) = sup ||ДМГГ_П. ,r G Ш+ = (0, оо).

|Л|<г " '1С(Г)

В четвертой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер

С(х) = Ф(|а;|),хеЁп,

для которых для свертки и = (7 * / имеет место оценка сверху модуля непрерывности любого порядка к & N.

При этом мы будем считать, что функция Ф : М+ —» [0, оо) удовлетворяет условиям

I

оо

Ф|;0 < j \<S>(z)\zn~ldz < оо. о

Обозначим

Фг(г)= = {0,1,2,...}.

Пусть 0,1, € Ж._)_; А: 6 N. Через Вк{г\,а\) обозначим класс функций Ф е +), таких что

гшк [г21 |Ф,(*)|] < а1Ф(г), 2 6 (0, гг).

Пусть г\ £ М+, Ф1 : [г\, оо) -> [0, оо), такая что:

оо

Фх и фх(2 + 0) = Ф^я), 2 е [ги оо), J ^!(г)гп-Чг < оо.

¿1

Через Ок{гьФх) обозначим класс функций Ф £ СА:(М+), таких что

тах [г21 |Фг(г)|] < 2*^1(2), г >

Сформулируем основной результат данной главы, при этом считаем, что функции Ф и Ф, такие как определено выше. Теорема С.

Пусть й(х) = Ф(|.т|), х Е К™, где Ф е Вк(гх, ах) П Ок(хх, Фх). Тогда, для любой функции / £ ЛДО, Т\) с весовой функцией ф(т) = Ф и = К,2",

свертка и = С * / непрерывна, ограничена, и для любого Т £ М+ справедлива оценка

т Г -- "

Ф(т)Г(т)йт, í е (0,Т], с: = С1(Т).

г п + £ "

о ь

В пятой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер, для которых имеет место оценка снизу модуля непрерывности свёртки.

Через Ек(го, 50), го, ¿о £ е N обозначим класс функций Ф £ Ск (]&+), для которых

(-1)*ф№>(2) > 60г~кФ(г),г£ (0,го).

Основной результат данной главы заключается в следующем утверждении, при этом функция Ф : К+ —> [0, оо) удовлетворяет условиям

/ ,к ис

1

(и;^ < сх J

оо

Ф 0 < J \Ф{г)\гп~Чг

< оо.

Теорема Б.

Пусть <?(х) = Ф(|ж|),х € М", где Ф е Ек{г0,50)р[Вк{г0,а0). Пусть Т £ М+ и функция а : М+ —)■ [0, оо) удовлетворяет условиям

0 < а I] а(т + 0) = <т(т), г € (0, Т);а(т) = 0, г > Т т

У фа < оо, о

где ф(т) = Ф ( (рН " ) • Тогда существует функция /о : Кп —> М, такая что

а для свертки щ = С * /о при Ь Е (0,Т] справедлива оценка с постоянной сТ = ст(60, ¿>ь а0, к, п) е К+

Оценки сверху модулей непрерывности свертки, приведенные в главе 4, и оценки снизу, приведенные в главе 5, получены при различных условиях на ядра свертки. Существует, однако, достаточно широкий класс радиально -симметричных ядер, к которым применимы одновременно результаты обоих разделов, для сверток функций с ядрами данного класса мы получаем, таким образом, двусторонние оценки модулей непрерывности. Мы показываем, что классические ядра Бесселя - Макдональда Са принадлежат указанному классу. Таким образом, результаты применимы к этим ядрам и дают, в частности, двусторонние оценки модулей непрерывности классических потенциалов Бесселя, полученные ранее для модулей непрерывности порядков к > а в работе авторов А. Гогатишвили, Дж. Невес, Б. Опиц [32], и для модулей непрерывности любых порядков в [33].

Мы применяем все приведенные выше результаты, учитывая в них, что ф(т) = г»-1, г е (О, Т]. Здесь а € (0, п) - параметр ядер Са Бесселя-Макдональда.

При к > а оценка упрощается до вида, полученного ранее в [32]: при £ е

Ш<я(т),теш+,

о

(0,Т]

о

о

1 Основные понятия и обозначения.

В данном разделе приводятся известные понятия банаховых функциональных пространств (кратко БФП), ассоциированных к ним пространств, перестановочно инвариантных пространств (кратко ПИП), а также некоторые другие понятия и результаты, которыми мы будем использовать в данной работе в дальнейшем.

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП).

При работе с банаховыми функциональными пространствами мы будем пользоваться аксиоматикой, которая было введена в книге о вещественном методе интерполяции пространств авторами К. Беннетом и Р. Шарпли [1].

Пусть (R™,/х) - измеримое пространство, ц - сг-конечная, сг-аддитивная, полная неотрицательная мера. M - множество измеримых функций / : К" —> R; М+ - множество измеримых функций / : Rra [0, оо] ; М0 - множество измеримых функций /, таких что |/| < оо почти всюду; Обозначим Mq = М0 П М+.

Определение 1.1.

Отображение р : Mo —>■ [0, оо] называется банаховой функциональной нормой, если для любых функций /, д, /п, (га = 1,2,3...), из М+, для любой константы а > 0 и для всех /^-измеримых подмножеств Е из R™ выполнены следующие свойства:

(i) p(f) = 0&f = 0 почти всюду; p(af) = ор(/); p(f + g) < p{f) + p(g)

(ii) 0<g<f почти всюду p(g) < p(f)

(iii) 0 < /„ t / почти всюду p(fn) t pU)

(iv) ц(Е) < oo => p(xe) < °°

(v) ft(E) < оо => существует некоторая конечная ненулевая константа се, зависящая от Е и р и независящая от /, такая что f ¡dp < C£p{f)-

е

Определение 1.2.

Пусть р - функциональная норма. Множество X = Х(р) всех функций / G M, для которых р(|/|) < оо называется банаховым функциональным

пространством (далее кратко БФП), при этом норма задется следующим образом: ||/||х = р(|/|).

Теорема 1.1. Пусть р - функциональная норма. X = Х(р) - БФП. Тогда X - линейное банахово пространство со следующими свойствами:

(i) пусть / G Х,д е М, такие что \д\ < |/|, тогда дЕХ, и \\д\\х < \\f\\x

(ii) пусть 0 < fm t /, fm^X, тогда если / е X ||/m|| t \\f\\x,

если / (£ X => ||/т|| t оо

(iii) пусть /т£Х/„4 / почти всюду, liminf ||/т||х < оо

тогда / в X и при этом \\f\\x < liminf ||/то||х м

(iv) пусть / = Y. стХЕт, тогда f е X, если Vm fx(Em) < оо

т=1

(v) пусть ц(Е) < оо ^¡fdfi< cE\\í\\x Vf ex

E

(vi) fn —> f в X ==> /п —>• / по мере любого конечного подмножества.

Замечание 1.1. Пусть X - БФП, /i и /2 G X неотрицательные. Тогда верно следующее соотношение:

||/l+/2|U=||/l|U + ||/2||x.

Пример 1.1.

Будем рассматривать множество /¿-измеримых на М71 функций /. Пусть и неотрицательная локально интегрируемая функция на (0, оо), которую мы будем называть весом. Введем функцию

s

U(s) = J u(t)dt.

о

Пространством Лоренца Ар(и) с весом и называется пространство с нормой:

11/ЦА.С.) =

(Jf*r(t)u{t)d?J Р , 1 < р < оо; ess sup {f*(t)u(t)} , р = оо.

te( о,00)

Пространством Лоренца Гр(и) с весом и называется пространство с нормой:

11/11гр(«) = <

(Jrp(th(t)dty , 1 < р < оо; ess sup {f**(t)u(t)}, р = оо.

t£(0,oo)

Пространство Г°°(и) называют также пространством Марцинкевича.

1.2 Ассоциированное пространство. Определение 1.3.

Пусть р - функциональная норма, р' - ассоциированная к ней норма, которую определяют на функциях из М+ следующим образом:

Теорема 1.2. Пусть р - функциональная норма, тогда ассоциированная к ней норма р' также является функциональной нормой.

Определение 1.4.

Пусть р - функциональная норма, X = Х(р) - БФП, р' - ассоциированная к р норма, тогда соответствующее норме р' пространство Х(р') называют ассоциированным к X пространством и обозначают X' с нормой

Теорема 1.3. {Лоренц, Люксембург) Каждое БФП X совпадает с дважды ассоциированным X", другими словами:

Теорема 1.4. (Неравенство Гёлъдера) Пусть X - БФП, X' - ассоциированное к X БФП. Если / е X, д Е X', тогда /д интегрируема и выполняется неравенство:

Пример 1.2.

Если X = Lp{ 1 < р < оо), тогда X' = Lp>, где р и р' связаны соотношением

Пример 1.3.

Известно, что ассоциированными к пространствам Лоренца являются про-

11/11* = И/Их«.

странства, определяемые следующим образом (см. например [8]):

Ар(и)' = <

Г°° (ш) '

Гр' (tp'u(t)\

Л1

ess sup u(s)

0<s<t

p=l; 1 < p < oo; p = oo.

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки. Определение 1.5.

Функцией распределения ¡л/ функции / из множества М0 называется

= ц{х € Еп : |/(ж)| > Л}, Л > 0.

Определение 1.6.

Функции / G Мо (Кп, ¡л) и д Е М0 (М™, и) называются равноизмеримыми, если VA > 0 : fif(X) = ид{\).

Утверждение 1.1. (Свойства функции распределения)

Пусть /, д, /„ (п = 1,2,3...) из М0(КП, ц), а е М+ \ {0}:

(1) /// определена на [0, оо) неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция

(п) < |/| почти всюду т < Цд

(Ш) ^о/(А)=м/ (я). (А>0)

(1у) /г/+д(Лх + Л2) < /х/(А0 +/^(А2), (АьА2 > 0)

(у) |/| < Нтт£\/п\ почти всюду ¡л/ < Нтш£Цгп,

п->оо П—УОо

в частности, |/„| ^ / почти всюду =Ф- ///„ |

Определение 1.7.

Убывающей перестановкой функции / мы будем называть функцию /*, которая определена на [0, оо] следующим образом:

Г(1)=Ы{ А: /х/(А) <£},*> 0.

Утверждение 1.2. (Свойства убывающих перестановок)

Пусть /, д, /„ (п = 1,2,3...) и�