B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОЛОВИНКИНА МАРИНА ВАСИЛЬЕВНА

003481787 В-ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПИСАНИЮ

ВЕСОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

ДРОБНОЙ ГЛАДКОСТИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2009

п П л • • — ^

003481787

Работа выполнена в Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов Лев Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Калитвин Анатолий Семенович,

доктор физико-математических наук профессор Новиков Игорь Яковлевич.

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 17 ноября 2009 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при.Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться--в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан -а- октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы диссертации.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И.М. Стейном в частном случае О < а < 2, где а — порядок потенциала, и П.И. Лизоркиным в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости Ьр Г , получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов для описания

пространств потенциалов было осуществлено С.Г. Самко.

Л.Н. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта. Им же введены пространства В-потенциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Л„ по всем переменным и дано описайие пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингулярных интегралов. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных обобщенных сдвигов (т. е. когда по части переменных действуют обычные сдвиги, а по другой — обобщенные сдвиги разных весовых индексов), для описания пространств весовых потенциалов Рисса и Бесселя.

Необходимость исследования пространств В-потенциалов Рисса и Бесселя обусловлена также построением основ теории весовой интегральной геометрии на базе преобразования Радона-Киприянова, поскольку именно пространства В-потенциалов оказываются, в некотором

смысле, худшими из тех, на которых преобразование Радона-Киприянова обратимо. Поэтому вопрос о распознавании функций из этих пространств является актуальным и эти результаты могут быть использованы в компьютерной томографии осесимметричных объектов.

Изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя в конце ХХ-го и начала ХХ1-го веков посвящено немало работ, среди которых выделяются работы Г.Гаджиева и В.Гулиева и их учеников. Однако эти работы, как и работы других авторов, посвященные изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя, не используют схемы Стейна-Лизоркина-Самко (т.е. аппарат дробного В-риссового дифференцирования) по причине малой изученности последних.

Это обусловливает интерес к пространствам дробной В-гладкости , которые включают в себя и пространства В-потенциалов Рисса и пространства В-потенциалов Бесселя, а также к функциональным пространствам Киприянова И^'®. Кроме того, самостоятельный интерес представляет и техника исследования. Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы теории пространств дробной В-гладкости актуальны в современных научных исследованиях.

Цель работы. Изучить пространства смешанных В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса, промежуточные между ними пространства лиувиллевского типа дробной В-гладкости , а также пространства И.А. Киприянова И^^71. Дать описание пространств •В-потенциалов и тем самым установить критерии принадлежности функций пространствам В-потенциалов Рисса и В-потенциалов Бесселя. Установить важнейшие свойства пространств Ьи , такие,

как теоремы вложения пространств по параметрам г и а, теоремы о промежуточных производных, критерии принадлежности этим пространствам на основе В-дифференцирования целого порядка.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Введены смешанные усреднения Соболева-Киприянова функций из весовых пространств Лебега Щ, изучены их свойства и доказаны теоремы о плотности некоторых пространств бесконечно дифференцируемых четных функций в пространствах Щ .

2. Определено ядро В-потенциала Бесселя в случае, когда В-потенциал Бесселя определен в виде свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом. Установлена связь В-потенциалов Бесселя с В-потенциалами Рисса .

3. Введены классы функций дробной В-дифференцируемости Ц>а и (построенные по типу лнувиллевских классов функций). Последние совпадают с пространством В-потенциалов Бесселя при р = г и с пространством В-потенциалов Рисса, когда число г равно предельному показателю Соболева в весовых функциональных классах Щ. Получено описание пространств В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса на основе дробного В-дифференцировалия, осуществляемого В-гиперсингулярным интегралом смешанного типа.

4. На основе весовых сферических функций введено смешанное В-преобразование Рисса и квазириссов В-потенциал. Получено представление квазириссовых В-потенциалов в виде суперпозиции В-преобразования Рисса целого порядка т = [а] (или В-дифференцирования целого порядка) и В-потенциала Рисса дробного порядка а —т.

5. Получены оценки модулей непрерывности для В-потенциалов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит

теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математическом анализе, в компьютерной томографии осесимметрических объектов и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической

школе, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2004 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в С.-Петербурге в 2006 г., на международной школе-коллоквиуме по прикладной и промышленной математике, на 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева, международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина в 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [8] . В совместных публикациях [1], [2], [4], [5] соавтору принадлежит только постановка задач. Работа [2] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации 121 стр.

Краткое содержание диссертации.

Перейдем к изложению содержания диссертации. При этом мы сохраним нумерацию основного текста диссертации.

В главе 1 приводятся известные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов, используемые'далее в диссертации. В начале этой главы вводятся используемые далее основные понятия и обозначения.

Мы будем рассматривать функции, определенные в части евклидова пространства точек

К^ = {х={х',х"), х'=(х1,...,хп), х"-(хп+и...,хк), £1>0,...,а:п>0}.

При этом число п предполагается фиксированным, 1 < п < N (случай п = 0 отвечает классической теории). Через П+ будем обозначать область, прилегающую к гиперплоскостям хх = 0,..., хп — 0. Граница области П+ состоит из двух частей:

Г+ , расположенной в части пространства и Го, принадлежащей гиперплоскостям х\ — 0,... ,хп = 0 .

Обобщенный сдвиг определяется формулой

тг

(Ту/)(х) — П ТЩ/(х',х" — у"), где каждый из обобщенных сдвигов

г=1

Ванштейна-Дельсарта определен по формуле

7Г

х J f + у\ -2xiyicosa,xi+i,...,xNSj sin ъ~г a da,

о

г = 1,...,п,

п

а произведение П Tjf£ понимается как суперпозиция операторов. fc=i

Введем в рассмотрение нецентрированные обобщенные конечные

разности (□[</>) (х) = ¿2(-1)кС?Т?ф). к=О

Общий В-гиперсингулярный интеграл порядка а > 0 с однородной характеристикой П(х) = 0,{х]\х\) определяется формулой:

Rt/ п

Здесь 7 = (71,... ,7п), (а;')7 = П ХТ> 7« > 0 суть фиксированные

¿=i

числа, djvi7,¡(a) — нормирующая константа, подобранная так, что эта конструкция не зависит от I.

По аналогии с риссовым дифференцированием выражение (D^)7<p) (х) можно назвать также риссовой В-производной функции <р порядка а.

В-потенциал Рисса определяется формулой:

(U?/)(*)= / /(») ^ Q>0-

rn

Глава 2 посвящена некоторым свойствам функциональных пространств .

Определение 2.1.1. Функция f 6 называется

непрерывной в целом в по обобщенному сдвигу Ту , если для

любого е > 0 найдется 5{е) > 0 такое, что для всех < 6 \\Thf(x) — f(x) H^fj-f) < e , где ftj" — s-внутренняя подобласть области П+ , расстояние от каждой точки которой до части границы Г+ больше 5.

Теорема 2.1.1. Всякая функция из , 1 < р < оо

непрерывна в целом в по обобщенному сдвигу Ту .

Далее в этой главе рассматриваются усреднения Соболева-Кинриянова.

Обобщенная свертка функций f,g S LJ(Ü+) определяется формулой

(f*9)-y(x)= / f{y)T%g(x)(y')~!dy.

Пусть ф{£) — бесконечно дифференцируемая в R\ четная функция, обращающаяся в ноль при |i| > 1 и удовлетворяющая условию f V(M) {x')i dx = 1. Положим <pe(x) = -р^щф •

Определение. Пусть f 6 LJ(il+). Будем считать, что функция f продолжена нулем вне области . Функцию fe(x)=(f * ipE)^(x) назовем е— усреднением Соболева-Киггриянова функции f .

Теорема 2.2.1. Пусть f G LJ(Ü+). Тогда lim ||/£ - = О-

Пусть ß = (/?', ß") - мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами, ß' = (ßi, ß2, ■ ■ ■ ,ßn), ß" — {ßn+i, ■ ■■ >ßN)-Через будем обозначать оператор, определенный равенством

В^'.и = B£lB?l...B^u, где BXi = ВХ{„, - оператор Бесселя, действующий по переменной Xi по формуле BXiu = BXiniu = + ^-föTi » a чеРез ^х" ~ оператор , действующий по

формуле D%,f{x>,x") = , где \ß"\ = ßn+1+.. ,+ßN. Функцию

°xn+l —XN

вида ßf, Dx„f(x',x") мы будем называть смешанной B-производной от функции f(x',x").

Весовое скалярное произведение определяется формулой

(«,«)7= / и{х',х")и{х',х"){х')~< ¿х.

о.+

Мы также используем основное пространство Ф7(Д]у) = Ф7 , построенное по типу основных пространств Лизоркина. Введем в рассмотрение класс Ф7 , состоящий из функций ф £ 5ег), обращающихся в точке х = 0 в нуль вместе со своими производными. Классом типа Лизоркина назовем класс всех прообразов Фурье-Бесселя функций из класса Ф7: Ф7 = {(р £ РвМ 6 Ф7}. Этот класс имеет следующее описание: он состоит из тех и только тех функций <£> (ж) £,?<,„ ), которые ортогональны (в смысле весового скалярного произведения) всем многочленам, четным по каждой из переменных .. ,хп .

Показано, что множества С™0(П+),

Ф7(Дд.) всюду плотны в Ь7(Г2+). Далее рассмотрен вопрос о смешанном В-дифференцировании усреднений Соболева-Киприянова.

Определение. Пусть т — 2\в'\ + |/3"| и функция /(ж', х") интегрируема с весом (а;')7 по любой в - внутренней подобласти области . Если существует функция шр , интегрируемая с весом {х')1 по любой 5 - внутренней подобласти области Г2+ , такая, что для любой функции (р 6 С™ 0(П+)

то функцию шр называют обобщенной смешанной В-производной от функции /(х',х"). Если же правую и левую часть этого равенства понимать как действия соответствующих распределений из пространства Ф^ на функцию <р(х) € Ф7 , то мы приходим к понятию слабой смешанной В-производной, определенной с точностью до аддитивного многочлена, четного по каждой из переменных ,х„.

Функцию игр £ будем называть сильной В-производной порядка

т от /(х) £ Щ , если существует последовательность функций £ , такая, что

||/-<л|Ь о, I шр - В^В^(х',х")\ —> 0, г —>■ оо, 2|/3'| + |/3"| = т.

I I Х/г»

Во всех этих случаях мы будем использовать обозначение

Теорема 2.3.1. Пусть функция f{x\x") имеет обобщенную смешанную В-производную В^, /(х', х") в области . Тогда на любой з - внутренней подобласти области выполняется равенство

(то есть смешанная В-производная от усреднения /Е функции / совпадает с усреднением ее обобщенной смешанной В-производной). Глава 3 посвящена пространствам В-потенциалов Бесселя. Будем называть В - потенциалом Бесселя, или, короче, (В-В) -потенциалом следующий потенциал, порожденный обобщенной сверткой:

В^(х) = I <р(у)Т*С°(х)(у'Ус1у.

■

Ядро В- потенциала Бесселя определим как функцию,

которая при применении смешанного преобразования Фурье-Бесселя имеет образ

Получено следующее представление ядра В-потенциала Бесселя

4 у к=1 где Ки{г) - функция Макдональда, определенная формулами

ВД = ТГ^—У-М + Ш), »¿О,±1,±2,...,

2 БШ V7Г

Кт(г) = 1пп К„{г), т = 0, ±1, ±2,...,

г Ы - V

¿^ т\Г(т + и+1)

ш=0 4 '

- модифицированная функция Бесселя первого рода порядка V.

В этой же главе получены свойства В-потенциалов Бесселя и их ядер. Укажем некоторые из них.

Теорема 3.2.1 .Функция в"(г) бесконечно дифференцируема вне начала координат и справедливы равенства

a) при х —>■ О

= О* (^щ) , а = N + |7|;

b) при х оо' = 0*(|я|°"^"|7|е-1»1). Кроме того доказаны следующие свойства.

= а > О, /?>0.

Обозначим через Е единичный оператор в ЬКЩ/), а через Дв — эллиптический оператор , определенный формулой

Имеют место следующие формулы:

(Е - Дв)тС?? = в*-2™, т = 1,2,..., а > 2т; (Я - Дв)го В^ = В°-2го то = 1,2,..., а > 2т; / (¡сТ^аОЛ: = 1.

К

Связь между В-потенциалами Рисса и Бесселя устанавливается формулой В«<р = А) <р, е 0(Д£), где 13° - В-потенциал

Рисса, а А оператор свертки с суммируемым ядром, образом Фурье-Бесселя которого является функция |£|а(1 + |£|2)"~а/2 — 1.

Определение 3.5.1. Пространством В-потенциалов Бесселя будем называть линейное пространство

в= : / = в<реь;(в+)}

с нормой ||/||Ва = \\vWli .

Определение 3.5.2. Пространством В-потенциалов Рисса будем называть линейное пространство

1ВД!) = {/ : / = <р е 1Рр)

С нормой ||/1|и° = Мг^ •

Введено также пространство функций , построенное на

основе (В-11)-дифференцирования О":

£;•<> = {/ : / е ь;(в+), е

с нормой ||/||ьГ = ||/||ь; + нвдиз .

Для описания пространства (В-В)-потенциалов применен подход П.И. Лизоркина, предложенный для описания пространств бесселевых потенциалов. Это описание дается в следующей теореме.

Теорема 3.5.1. Пространство В-потенциалов Бесселя состоит из тех и только тех функций, которые имеют в Ь^(К^) (В-В.)-производную порядка а , т.е.

В = 1<р<оо, а > О,

причем

сйПф <т\в^р)<смь^ ■

Кроме того, для всех 1 < р < оо имеет место совпадение пространств

в =

где при р > ^ (В — В.) -потенциал понимается в смысле распределений Ф^ .

При доказательстве теоремы 3.5.1. было также доказано, что класс 0 плотен в Щ,а .

Глава 4 посвящена пространству В-потенциалов Рисса. Обобщая весовой функциональный класс дробной гладкости , введем пространство

Ж = /бЬЛЯй), О"/ 6 ,«>0,1<р<оо, 1<г<оо,

с нормой 11/11/,;;° = И/Ил? + , совпадающее с Ц;а при г-р.

Описание пространства и"(Щ) дается в следующих теоремах.

Теорема 4.2.1. Пусть / е Ф^(Д^). Для того, чтобы / £ (Щ), а > 0, 1 < р < оо, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:

1) € Ц(К+), / е при 1 < р < ш, где Ра = N+11 ^ар ~~ показаТпель Соболева для весовых пространств Щ ;

2) т>°/ е ь;(в+), (□!,/) (®) е ь;(в+) при Р > м , где

I — а при целом нечетном. а, и I > [а] в остальных случаях. Кроме того, = а>0, 1<р<оо, 1<г<оо.

Приведем еще один вариант описания пространства ,

в котором условие сходимости по норме пространства Щ заменено требованием равномерной ограниченности норм.

Теорема 4.2.2. Для того, чтобы / е ,

1 < Р < необходимо и достаточно, чтобы / €

или (1+|х|)а/(ж) £ Ь^(Е^) и чтобы существовала последовательность чисел Е]ь 4 0 такая, что ЦО^Ек/И^р — где постоянная С не зависит от £к ■

Определение. Модулем непрерывности порядка тп функции / в метрике весовых функциональных пространств Щ (К^) будем называть величину ш{},Ь) = Бир^^Ц (Ш™/) (ж)||£7 .

Пусть /(х) £ и^(Ь^), 1 <■ р < , тогда для модуля

непрерывности порядка т справедливы следующие соотношения:

т> а;

2)ш(/,Л) =о(|?г|а) Щ —^ 0, т> а.

Теорема 4.4.3. Пусть р < г < ра, 0 < £ < а, 0 < 6 < ра — г . Тогда имеет место непрерывное вложение Щ'" С .

В главе 5 обсуждается существование слабых В-производных целого порядка от функций из пространства В-потенциалов Рисса. Здесь введено смешанное В-преобразование Рисса и порожденный этим преобразованием квазириссов В-потенциал.

В-преобразования Рисса определяются на функциях из

пространства по формуле

(к™/)(х)=нш I (у'ГФ/,

где У^ — весовая сферическая функция порядка тп .

Рассматриваемое в образах Фурье-Бесселя (В-Я)-преобразование представляется как сингулярный псевдодифференциальный оператор, символом которого вновь является весовая сферическая функция У^ :

(в?/) (®) - Рв1 /(£)] (*) > / е

Основное пространство инвариантно относительно

(В-Б,)-преобразования: К™(Ф7) С Ф7(Я^). Пусть шеФ7. Интеграл

(К-т-РЧ.в'Ч»» ")(«) = / №(»)) К^Пг/Г-^171]

э+

при а — 2|/3'| — |/3"| > 0 представляет собой интеграл типа В-потенциала Рисса и мы будем называть его квазириссов В-потпенциал.

Для любой функции <р € , 1 < р < , а > тп справедливо

следующее представление квазириссового В-потенциала

= ч> = и- и— V,

где 5 = (В71, ... ... - однородный

В-гармонический полином, четный по каждой из переменных £1, ... , , порождающий весовую сферическую функцию У,^ .

Теорема 5.2.1. Если f е , 1 <р< , а > 2тп,

Б«/ = Б"-2т(-Дв)го/ = (-Ав)тВ°-2т/.

то

Через и Ж^ф^) будем обозначать классы функций

/(я) € , имеющих слабые и, соответственно, сильные

В-производные порядка тп, принадлежащие весовому пространству

ЩИ%). Назовем эти классы функций пространствами Киприянова (в случае п = 1 эти классы функций введены И.А. Куприяновым).

Теорема 5.3.1. (О совпадении слабых и сильных В-прсшзводных) Пусть 1 <_р < £±Ь1, I - ^ < 1 < I. Тогда

Теорема 5.3.2. Пусть 1 < р < ■ Для того, чтобы

/ € необходимо и достаточно, чтобы

1) / е ща, В^Б0;,} е , Щ = 2|/?'| + = [а], = т.е.

2) 6 |/?| = 2(/3'|+|Я = [а]. При этом и"(¿2) = .

В последней главе рассмотрены лиувиллевские пространства, порождаемые В-гиперсингулярными интегралами со стабилизирующейся характеристикой , измеримой, четной по каждой из

переменных ¿1,..., Ьп, измеримой при 4 = 0, Ь — оо, при этом удовлетворяющей неравенствам |П(£) — П(0)| < -»■ О, (Щ < г]),

|П(0 - П(оо)| < сЩ-^^г > 0, 62 > 0,|<| ->• оо,(|£| > АГ) и равномерной оценке / |П(/Ост)| П < М < оо, р > 0.

5+ ) = 1

■К

Пусть

где (г) - ядро В-потенциала Рисса.

Теорема 6.2.1. Имеет место непрерывное вложение

Теорема 6.2.2. Если I = т и а(х) -ф 0, то пространства Щ'^(К^) и Ь^° ДД^г) совпадают с точностью до эквивалентных норм.

Публикации автора по теме диссертации

1. Половинкина М.В. О пространствах дробной гладкости, построенных на основе В-производных Рисса / М.В. Половинкина, Л.Н. Ляхов // Воронежская зимняя математическая школа —2004: Тез. Докл. - Воронеж, 2004. - С. 88 - 89.

2. Половинкина М.В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Труды математического института им. Стеклова. — 2005. - Т.250. — С. 192 -197.

3. Половинкина М.В. Ядра В-потенциалов Бесселя смешанного типа / М.В. Половинкина // Вестник Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина. — 2005. — Выпуск 8, N 1. — С. 71 -

4. Половинкина М.В. Пространство потенциалов Рисса-Ванштейна-Киприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Материалы научной конференции "Герценовские чтения". — 2006. — С. 201 - 208.

5. Половинкина М.В. О смешанных усреднениях Соболева -Куприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Математические модели и операторные уравнения: Сб. науч. тр. — Т.4. — Воронеж: ВорГУ, 2007. - С. 98 - 103.

6. Половинкина М.В. Пространства И.А. Киприянова дробной В-гладкости лиувиллевского типа /М.В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. N 1 (5), март 2007. — С. 131 - 139.

7. Половинкина М.В. О В- дифференцировании смешанных усреднений Соболева - Киприянова / М.В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. — N 2 (6), декабрь 2007. — С. 135 - 142.

8. Половинкина М.В. О весовых функциональных классах лиувиллевского типа / М.В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (8), апрель 2009. — С. 316 - 325.

Подписано в печать 08,10. 2009. Формат 60x84 1/1б. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 386 ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» Участок оперативной полиграфии ГОУ ВПО «ВГТА» 394000, Воронеж, пр. Революции, 19.

75.

1 Основные понятия и обозначения. Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов

1.1 Основные понятия и обозначения.

1.2 Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов.

1.2.1 В-гиперсингулярные интегралы с В-гармоническими характеристиками.

1.2.2 Представление В-гиперсингулярных интегралов в виде регуляризации Адамара расходящихся интегралов.".

1.3 Основные факты теории В-потенциалов Рисса.

2 Некоторые свойства функциональных пространств

2.1 Непрерывность в целом по обобщенному сдвигу в весовом функциональном классе LJ(£l+).

2.2 Усреднения Соболева-Киприянова и плотность всюду в множества бесконечно дифференцируемых на Rn ФункЦий и пространства типа Лизоркина.

2.3 Обобщенное В-дифференцирование.

3 Пространства В-потенциалов Бесселя

3.1 Определение В-потенциалов Бесселя и нахождение явного вида их ядер.

3.2 Свойства В-потенциалов Бесселя и их ядер.

3.3 Весовые кольца Винера.

3.4 Связь между В-потенциалами Рисса и Бесселя.

3.5 Пространство В-потенциалов Бесселя.

4 Пространство В-потенциалов Рисса

4.1 Интегральные представления обобщенных конечных разностей и В-гиперсингулярных интегралов.

4.2 Описание пространства весовых потенциалов Рисса

4.3 О модуле непрерывности (В-11)-потенциалов.

4.4 Свойства весовых функциональных пространств дробной В-гладкости

5 Существование слабых В-производных целого порядка от функций из пространства В-потенциалов Рисса

5.1 В-преобразование Рисса и квазириссов В-потенциал

5.2 Слабые В-производные.

5.3 Описание пространства (В-Я)-потенциалов U^(Z^) посредством В-производных порядка 2[ а/2 ]

6 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой и весовые классы функций L^r(R+) НО

6.1 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой.

6.2 Весовые классы функций (R^)

Актуальность темы диссертации.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И. А. Киприянову [5]. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом (см. [13]) в первой половине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И.М. Стейном [41] в частном случае 0 < а < 2, где а — порядок потенциала, и П.И. Лизоркиным [15]—[18] в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости г , получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов для описания пространств потенциалов было осуществлено С.Г. Самко [32]—[38].

JI.H. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта (см. [19], [23]). Им же введены пространства В-потенциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Rn по всем переменным и дано описание пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингулярных интегралов [24]. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных обобщенных сдвигов (т. е. когда по части переменных действуют обычные сдвиги, а по другой — обобщенные сдвиги разных весовых индексов), для описания пространств весовых потенциалов Рисса и Бесселя.

Необходимость исследования пространств В-потенциалов Рисса и Бесселя обусловлена также построением основ теории весовой интегральной геометрии на базе преобразования Радона-Киприянова, поскольку именно пространства В-потенциалов оказываются, в некотором смысле, худшими из тех, на которых преобразование Радона-Киприянова обратимо (см. [3]). Поэтому вопрос о распознавании функций из этих пространств является актуальным и эти результаты могут быть использованы в компьютерной томографии осесимметричных объектов.

Изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя в конце ХХ-го и начала XXI-го веков посвящено немало работ, среди которых выделяются работы А.Д. Гаджиева и B.C. Гулиева [46] и их учеников. Однако эти работы, как и работы других авторов, посвященные изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя, не используют схемы Стейна-Лизоркина-Самко (т.е. аппарат дробного В-риссового дифференцирования) по причине малой изученности последних.

Это обусловливает интерес к пространствам дробной В-гладкости L^'" , которые включают в себя и пространства В-потенциалов Рисса и пространства В-потенциалов Бесселя, а также к функциональным пространствам Киприянова W^'f. Кроме того, самостоятельный интерес представляет и техника исследования. Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы теории пространств дробной В-гладкости актуальны в современных научных исследованиях.

Цель работы. Изучить пространства смешанных В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса, промежуточные между ними пространства лиувиллевского типа дробной В-гладкости а также пространства И.А. Киприянова . Дать описание пространств В-потенциалов и тем самым установить критерии принадлежности функций пространствам В-потенциалов Рисса и В-потенциалов Бесселя. Установить важнейшие свойства пространств Lfy* и , такие, как теоремы вложения пространств по параметрам г и а , теоремы о промежуточных производных, критерии принадлежности этим пространствам на основе В-дифференцирования целого порядка.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Введены смешанные усреднения Соболева-Киприянова функций из весовых пространств Лебега LJ , изучены их свойства и доказаны теоремы о плотности некоторых пространств бесконечно дифференцируемых четных функций в пространствах LJ .

2. Определено ядро В-потенциала Бесселя в случае, когда В-потенциал Бесселя определен в виде свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом. Установлена связь В-потенциалов Бесселя с В-потенциалами Рисса.

3. Введены классы функций дробной В-дифференцируемости Щ,а и L^r (построенные по типу лиувиллевских классов функций). Последние совпадают с пространством В-потенциалов Бесселя при р = г и с пространством В-потенциалов Рисса, когда число г равно предельному показателю Соболева в весовых функциональных классах LJ . Получено описание пространств В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса на основе дробного В-дифференцирования, осуществляемого В-гиперсингулярным интегралом смешанного типа.

4. На основе весовых сферических функций введено смешанное В-преобразование Рисса и . квазириссов В-потенциал. Получено представление квазириссовых В-потенциалов в виде суперпозиции В-преобразования Рисса целого порядка т = [си] (или В-дифференцирования целого порядка) и В-потенциала Рисса дробного порядка а — т .

5. Получены оценки модулей непрерывности для В-потенциалов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математическом анализе, в компьютерной томографии осесимметрических объектов и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2004 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в С.-Петербурге в 2006 г., на международной школе-коллоквиуме по прикладной и промышленной математике, на 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева, международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина в 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [49]—[56] . В совместных публикациях [49], [50], [52], [53] соавтору принадлежит только постановка задач. Работа [50] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр.

1. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М.Гельфанд , Г.Е. Шилов - М.:ГИФМЛ, 1959.- 470 с.

2. Гоц Е.Г. Обобщенные разности и общие В-сингулярные интегралы / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // ДАН. 2005. - Т. 405, N4. - С. 444 -447

3. Гоц Е.Г. Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова-Рисса / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Доклады Академии Наук. 2007. - Т. 412, N 1, с. 11 - 14.

4. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн , И.М. Рыжик. — М: ГИФМЛ. 1965.- 1100 с.

5. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов.— М.: Наука, 1997.-199 с.

6. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов / И.А. Киприянов // Тр.МИРАН.— 1967.- Т.89, С.130-213.

7. Киприянов И.А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН 1969.- Т. 186, N6.- С. 740-743.

8. Киприянов И.А. Оценки поверхностных потенциалов, порожденных обобщенным сдвигом / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН 1969.- Т.188, N5.- с. 115-118.

9. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.— 1970.— Т.11, N 5.— С.1060-1082.

10. Киприянов И.А. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя / И. А. Киприянов, М.И. Ключанцев // Дифференциальные уравнения с частными производными: сб.научн. тр.

11. Киприянов И.А. Об операторе осреднения связанным с обобщенным сдвигом / И. А. Киприянов, Н.А. Кащенко / / Доклады Академии Наук СССР. 1974. - Т.218, N 1. - С. 21-23.

12. Киприянов И.А. Весовые потенциалы Рисса. Сингулярные задачи / И.А. Киприянов // ДАН.- 1998.- Т.363, N6.- С. 738-740.

13. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Левитан // УМН.- 1951.- Т.6, N2.- С.102-143.

14. Левитан Б.М. Нормированные кольца, порожденные оператором обобщенного сдвига / Б.М. Левитан // ДАН, 1945 т.47, N1, с. 3-6.

15. Лизоркин П.И. Теоремы вложения для функций из пространства Lrp{En) / П.И. Лизоркин // ДАН.- 1962.- Т.143, N5.- С.1042-1045.

16. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lp{En) . Теоремы вложения / П.И. Лизоркин // Мат.сб.— 1963.- Т.60, N3.- С.325-353.

17. Лизоркин П.И. Пространства Lrv. Теоремы продолжения и вложения / П.И. Лизоркин // ДАН, 1965. 145. С. 527-530.

18. Лизоркин П.И. Описание пространства Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов / П.И. Лизоркин // Мат.сб.— 1970.- Т.81, N1.- С.79-91.

19. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л.П. Ляхов // ДАН.- 1990.- Т.315, N2.- С.291-296.

20. Ляхов Л.Н. Обращение В-потенциалов / Л.Н. Ляхов// ДАН.— 1991.- Т.321, N3.- С. 466-469.

21. Ляхов Л.Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов // Тр.МИРАН.— 1996.- Т.214.- с.234-249.

22. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л.Н. Ляхов // ДАН,— 1996.- Т.350, N6.- С.735-738.

23. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л.Н. Ляхов.— Воронеж: ВГТА, 1997.- 144 с.

24. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов// ДАН.—1998.— Т. 360, N1- С.16-19.

25. Ляхов Л.Н. Весовые кольца Винера и Тауберова теорема аппроксимации, порожденные обобщенным сдвигом Бесселя / Л.Н. Ляхов // ДАН.- 2001.- Т.380, N5.- С. 588-590.

26. Ляхов Л.Н. Общие гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой / Л.Н. Ляхов, Э.Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2007. Т. 412, N 2, с. 162 - 166.

27. Ляхов Л.Н. Обращение общих В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых классах функций / Л.Н. Ляхов, Э.Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2009. — Т. 426, N 4, с. 1 5.

28. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский М.: Наука. 1977. С.456.

29. Самко С.Г. О пространствах Риссовых потенциалов / С.Г. Самко // Изв. АН, Сер. мат.- 1976.- Т.40, N5.- С.1443-1472.

30. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы; их символы и обращение / С.Г. Самко // ДАН.— 1977.- Т.232, N3.— С.528-531.

31. Самко С.Г. Пространства Lp^r{Rn) и гиперсингулярные интегралы / С.Г. Самко // Stud.Math.— 1977.- Vol.61, N3.- Р.193-230.

32. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы; их символы и обращение / С.Г. Самко // Тр.МИАН.— 1980.- Т.156.— С.157-222.

33. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения / С.Г. Самко.— Ростов н/д: Изд-во Рост.ун-та, 1984.— 208 с.

34. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко. — Минск: Наука и техника, 1987.— 688 с.

35. Самко С.Г. Описание пространства риссовых потенциалов в терминах старших производных / С.Г. Самко, С.М. Умарходжиев // Изв.вузов.Мат.— 1980.- N11.- С.79-82.

36. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. — ЛГУ. 1950, С. 255.

37. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / С.Л. Соболев — М.: Наука, 1974. — 808 с.

38. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. М. Стейн; перев. с англ. В.И. Буренкова М.: Мир, 1973.- 343 с.

39. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель; перев. с англ. В.И. Буренкова. — М.: Мир, 1980 — 664 с.

40. Чернышев Г.Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором: Автореф. дис. . канд. физ.-мат.наук: 01.01,02 /Воронежск.госуниверс.— Воронеж, 1973.— 11 с.

41. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. Б.Х. Бермана и И.Б. Раскиной под редакцией В.Я. Лина.- М.: Мир 1960. 1072 с.

42. Calderon А.P. On the existence of certain singular integrals / A.P. Calderon, A.Zygmund // Acta Math. — 1952.— T. 88.— P.85-139.

43. Gadjiev A.D., Guliyev V.S. The Stein-Weiss type inequality for fractional integrals, associated with the Laplace-Bessel differential operator / A.D. Gadjiev , V.S. Guliyev // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2008. Vol. 11, N 1. - P. 77 - 90.

44. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com.Pure Appl.Math.— 1961.- T.14.— P. 785-799.

45. Stein E.M. The characterisation of function arising as potentials / E.M. Stein // Bull. Amer. Math. Soc.- 1961.- Vol.67, N1.- P.102-104.

46. Половинкина M.B. О пространствах дробной гладкости, построенных на основе В-производных Рисса / М.В. Половинкина, Л.Н. Ляхов // Воронежская зимняя математическая школа —2004: Тез. Докл. — Воронеж, 2004. — С. 88 89.

47. Половинкина М.В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Труды математического института им. Стеклова. — 2005. — Т.250. — С. 192 -197.

48. Половинкина М.В. Ядра В-потенциалов Бесселя смешанного типа / М.В. Половинкина // Вестник Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина. — 2005. — Выпуск 8, N 1. — С. 71 75.

49. Половинкина М.В. Пространство потенциалов Рисса-Ванштейна-Киприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Материалы научной конференции "Герценовские чтения". — 2006. — С. 201 208.

50. Половинкина М.В. О смешанных усреднениях Соболева -Киприянова / Л.Н. Ляхов, М.В. Половинкина // Математические модели и операторные уравнения: Сб. науч. тр. — Т.4. — Воронеж: ВорГУ, 2007. С. 98 - 103.

51. Половинкина М.В. Пространства И.А. Киприянова дробной В-гладкости лиувиллевского типа / М.В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (5), март 2007. С. 131 - 139.

52. Половинкина М.В. О В- дифференцировании смешанных усреднений Соболева Киприянова / М.В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. — N 2 (6), декабрь 2007. - С. 135 - 142.

53. Половинкина М.В. О весовых функциональных классах лиувиллевского типа / М.В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (8), апрель 2009. — С. 316 325.