Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОЦ ЕКАТЕРИНА ГРИГОРЬЕВНА

ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КИПРИЯНОВА-РАДОНА И АНАЛОГИ ТЕОРЕМЫ ТИПА ПЛАНШЕРЕЛЯ И ТЕОРЕМЫ О НОСИТЕЛЕ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2006

Работа выполнена и Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель:

доктор физико-математических

наук

Ляхов Лев Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Костин Владимир Алексеевич

доктор физико-матемйтических наук,

профессор Пенкин Олег Михайлович

Ведущая организация:

Владимирский государственный педагогический университет

Защита, состоится 24 октября 2006 г. в 15.40 на заседании диссертационного сонета K212.038.Q5 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж. Университетская пл., 1, ВГУ, м атематн чески й фа кул ьтет.

С диссертацией можно ознакомиться п библиотеке Воронежского государственного у н иверситета.

Автореферат разослан: 4 сентября 2006 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К212.038.05,

доктор фю.-мат. наук, профессор

3LOO Cft-

A&ZSB

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознания особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновской и электромагнитных диагностик. Первое описание преобразования Радона появилось в книге F. John в 1955 году. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллиптических уравнений И.А. Киприянов и В.И. Кононенко предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, т.е. в ситуации когда часть переменных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие исследования этого научного направления оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1991 году JI.H. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов, который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И.А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе ИА. Куприянова, Л.Н. Ляхова "О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона" (1998 г.). Хотя в этих исследований все же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 20С^акт"/- С)П

работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Бесселя и Радона. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться преобразованием Куприянова-Радона (далее используем сокращение — КЯ-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (т.е. лишь для задач с осевой симметрией), Л.Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими В- гиперсингулярными интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) по одномерному параметру, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от. начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах Л.Н. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных Ад, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсингулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения КII-преобразования (обобщающие классические формулы и формулы Л.Н. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных по соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы - аналог теоремы План-шереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Ра-

дона.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применении результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и в вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими сим-метриимн.

Целью работы является исследование наиболее общей формы преобразования Кинриянова-Радона, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированного и нецентрированного видов; создание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингулярные интегралы, построенные по схемам И. Стейна; П.И. Лизоркина, С.Г. Самко и В-гиперсингулярные интегралы Л.Н. Ляхова. Получение обобщенных формул обращения общего КЕ-преобразования путем применения дробных степеней оператора Ки-приянова Дв (общие В-гиперсингулярные интегралы). Получение формул обращения КЛ-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля Л1Я КК-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носич'еле КЯ-преобразования.

Методика исследований. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы и подходы развитые в трудах И.А. Киириянова и его учени-кОндля исследований весовых функциональных классов и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Следующие результаты, полученные в диссертации являются новыми.

1. Введены конечные разности смешанного тина (по одной части переменных действует обычный сДвиг, а по /фугой часги - обобщенный, главной особенностью последнего является то, что он не имеет обратного и перестановочен с сингулярным дифференциальным оператором Весселя). Этот результат обобщает введенные ранее Ляховым Л.Н. обобщенные конечные разности, порожденные обобщенным сдвигом.

2. Введены общие Б-гиперсингуллрные интегралы (далее примем сокращение — общий В-г.с. интеграл) с постоянной характеристикой. Эти операторы, в зависимости от весового параметра могуч' представлять, с одной стороны, обычные гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко, а с другой, В-гиперсингулирные интегралы (В-г.с. интегралы) Ляхова. Принципиально то, что введенные в данной работе общие В-г.с. интегралы не обладают некоторыми из свойств В-г.с. интегралов.

3. Получены общие формулы обращения КП-преобразования на основе применения к КК-нреобразонанию функции общего В-г.с. интеграла дробного порядка.

4. Получены формулы обращения преобразования Кинриянова-Радона путем применения одномерных дробных производных Грюнвальда-Летникова-Рисса, или применением средних от левосторонней и правосторонней /фобных производных Римана-Лиувилля.

5. Для преобразования Киприянова-Радона доказана теорема типа теоремы Плапшереля.

6. В одном част ном случае доказана теорема о носителе для КП-преобразования, представляющая собой аналог хорошо известной теоремы С. Хелгасона.

Практическая и теоретическая значимость. Исследовании, проведенные в данной работе, позволяют ввести КК-преобразование весовых распределений, что откроет возможность применения КН-иреобразования при исследовании краевых задач уравнений с частными производными, в которых но одному или нескольким переменным действуют сингулярные дифференциальные операторы Весселя разных индексов. Кроме того, в работе приведены способы применения преобразования Радона к центрально-симметрическим функциям, то есть, по сути к функциям одной переменной, что казалось невозможным, поскольку преобразование Радона можно применять лишь к функциям, заданным в пространствах с размерностью п > 1. Результаты работы также могут быть полезны для проблем фундаментальной физики, для исследования осессимметрических и центральносимметрических задач математической физики и .уравнений с частными производными, в тео-

рии функции и функциональных пространств, в теории приближений. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/Д университетах, в институте математики СО РАН, к математическом институте им. Стеклова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре Л. Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. О.М. Пенкина в Белгородском государственном университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В. А. Стек-лова АН России; на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2005; международной конференции "Анализ и связанные с ним вопросы", Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005; второй международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения", Дагестанский государственный университет, Махачкала, 2005; школе молодых ученых "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания", 25-26 ноября 2005 г., Липецк; Воронежской зимней математической школе-2006; научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006", Санкт-Петербург, 2006; Воронежской весенней математической школе "Понт-рягинские чтения -XVII", Воронеж, 2006; международной конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006; международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006; международной летней школе и конференции по операторным еыгебрам, теории операторов и их приложениям \VOAT 2006, Лиссабон, Португалия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16], список которых приведен в конце автореферата. В сов-

местных работах [3], [5], [7-9], [11], [13] J1.H. Ляхову принадлежит постановка задачи. Доказательства основных результатов принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. грех ivIав, включающих девять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 44 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность 'темы, приводится методика исследовании и дан краткий обзор содержания диссертации по iv гакам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

Первая глава посвящена исследованию общих В-гииерсингулярных интегралов, порожденных обобщенным сдвигом смешанного 'типа.

В параграфе 1.1 рассматриваются обобщенный сдвиг Т^,, действие которого но каждой из неременных Xi (г = 1,2,..., п) определяется но формуле

T*:f(x) = r^Kxl) }f ('''' ~2XiVi cos ai> ■ ■ ■ >x") x

xsm*-1 on da, (1.1.2)

и смешанный обобщенный сдвиг

{Tyf){x) = {Tif){x',x>> -у"). (1.1.1)

Здесь Г— гамма-функция Эйлера, а ж € Е^={х = (х',х") : х' = (х],...,хп),х" = (а;п+ь... ,xN), xi>0, ■.. , ®„>0}, у = (fl} ...,7п), 7,— фиксированные положительные числа (г = 1,2,... , п).

Также вводятся смешанные обобщенные конечные (о. к. разности) нецентрмроваиного и центрированного видов и исследуются их свойства.

Центрированные смешанные o.k. разности имеют вид

= ¿(-W (ти-к><р) (х) =

к=0

= ¿(-1 )»cl° (ri/-fc)tV) (*', + Q - kj i") • (1.1.4)

Нецентрировапные смешанные o.k. разности имеют вид i I

(DÏ<p)(x) = £(-1)^ СTkt<p){x) = J2(-ûkcï +

fc=0 fc=0

(1.1.5)

В параграфе 1.2 рассматриваются общие В-гиперсингуллрных интегралы (общие В-г.с. интегралы) следующего вида

Здесь а) нормирующая константа, значение которой далее вы-

брано так, чтобы конструкция (1.2.1) не зависела от I при / > a, а

п

(О7 = П tf dt - Регуляризация расходящегося интеграла к правой ча-з=1

сти (1.2.1) ^достигается применением смешанных o.k. разностей центрированного или Hei центрирован ного видов. В случае применении нецен-трированной o.k. разности нормирующая константа имеет вид:

(1.2:6)

|'Де h(x'\i') — П?=1 Jz-liziÇi)) а функции jv(l) связаны с соответствующими функциями Бесселя первого рола. J„{t) формулой j„(t) —

2T(f+l)

В случае центрированной o.k. разности:

(

dN,y,i{a) = lim £(-l)fcClx

k-.O

(|<|>г}+

В формулах (1.2.6) и (1.2.7) интегрирование ведется но области {|£| > = {* > £,¿1 > > О.п^^У}

Теорема 1.2.1 Общие В-г.с. интегралы (1.2.1) сходятся абсолютно на функциях, имеющих все ограниченные производные (по переменным хп+1,... и В-производные (по переменным х\, ... ,хп) до порядка т. = 2к' + к" = [а] + 1.

В параграфе 1.3 иссле,1уетси вопрос, аннигиляции общих В-г.с. интегралов. Корректность определения общего В-г.с. интеграла Щ имеет место во всех случаях, кроме а=1,3,— В противном случае, т. е. когда нечетное натуральное число а < I, мы сталкиваемся с явлением "аннигиляции" : Т>1/ = 0, V /.

Теорема 1.3.2 Общий В-г.с. интеграл (1.2.1) с нецентрированной смешанной о.к. разностью (1.1.5) сходится условно при I > 2[а/2].

Вторая глава посвящена общему преобразованию Киприянова-Радона (КЛ-преобразованию) и проблеме обращения этого преобразования. Основным результатом этой главы являются формулы обращения.

В параграфе 2.1 вводится функция типа весовой плоской волны и приводятся формулы для вычисления некоторых сферических интегралов.

В параграфе 2.2 вводится КЛ-преобразование. Обозначим через Зы(Ем) подпространство шварцевского пространства основных функций, четных по каждой из переменных а^, г = 1,2,3,...,п. Дли /(ж) € £,.„(£$) К К-преобразован и ем будем называть

= П тЗт //» (2.2.1)

И 2 > ^

где = ¡{\/4 + г|,..., + г^х"), Г+- поверхность, опреде-

ленная равенством (©,г) —р, , 0,0,..., 0, 1©1 =

В 2.2.1 рассматриваются основные свойства КП-нреобразования.

В пункте 2.2.2 вычисляются КЛ-преобразования некоторых функций. Здесь иссле, дуется связь меж,|у классическим преобразованием Ра-

дона, функций сферически симметричных но части переменных и КИ-преобразованием.

В пункте 2.2.3-4 рассматривается связь КИ-преобразованин с преобразованиями Фурье и Фур ье-Бесселя и его действие на сметанные сдвиги и обобщенные свертки.

В пункте 2.2.5 доказывается формула действия КII-преобразования на сдвиг в евклидовом пространстве

В пункте 2.2.6 рассматривается дифференциальный оператор, в котором по переменным х' действует сингулярный дифференциальный оператор Бесселя = + ^ -уг > 0, г = 1,2,.. .',п. и доказываются формулы взаимодействии КЁ-преобразования с сингулярными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами.

В параграфе 2.3 доказываются общие формулы обращения КН,-преобразования и теорема типа теоремы Плашиереля.

В пункте 2.3.1 приведены формулы обращения, полученные применением общих В-г.с. интегралов.

Теорема 2.3.1 Пусть / 6 и Я"7[/] — КЯ-преобразование

функции / (2.2.1). Тогда

1 2

(2.3.3)

где — общий В-г.с. интеграл (1.2.1), <5^(1) — поверхность полусферы |©| = 1, 0! > 0,..., ©„ > 0.

Если о/се число |7| натуральное, то:

a) при N 4-17| нечетном справедлива формула

22п-\-у\~Я „п- \-\-N лчы-1 г

ЯХ) = ^-Ц7|-1П? хГ2 3 У ©»(©Т^©)-

(2.3.4)

b) при N + |7| четном справедливы формулы

о2п~ЛГ-|7| лг+Ы-з с

/(*) =----дв . / (©')7 ¿5(9) х

^и-п п Т2 ^

7г

-» П Г2

р=+оо

х h (<dF?)dA4i/](e;p)' (2-з-5)

p=—со

r{QrdS{Q)x

r / 1

(foe)-p) (2.3.6)

— oo

Основным результатом пункта 2.3.2 является теорема представляющая собой аналог теоремы Планшереля для преобразования Радона.

Теорема 2.3.2 Пусть функции f(x) и д(х) принадлежат пространству Sev(Etf), и Ky[f](Q\p), АГ7[з](©;р) их KR-преобразованил (2.2.1). Тогда

/ /<*> ,(*) * - w ? / / ](в; ,) х

Et, S+ -«о

X - <в,«»)|и_о {Q'ydt dS(Q). (2.3.9)

Ясли же число |7| натуральное, то:

а) при N + \-у\ нечетном справедлива формула

4* со

«•) 'W <*'>" - „^.д.рвд / / ад» *> х

N+M-1

(в')7 dt dS(Q), (2.3.10)

х=0

Ь) при N 4- ¡7| четном справедлива формула [ Дх) W) (*Vdx = + Ы - 1)! [{Q<yds{ey,

4

-f со +oo

X

—оо —со

11 (2,U)

В параграфе 2.4 исыучены формулы обращении преобразования К и п р и я н о ва-Р а, 1,ом а посредством дробного дифференцировании по одномерному параметру. Дробные производные, обращающие преобразование Кинриннова-Радона в образах Фурье имеют вид

®"<p(x) = F-l№a Fornix), (2.4.6)

где &а(/?(х)~ производная Грюнвальда-Летникова-Рисса дробного порядка а, связанная со средней дробной производной Римана-Лиувилля равенством

-J <Р(Х) = c°s -у®

Введем следующий оператор

a = 2m, m = 1,2,3,..., (Д«/)(р)= { a=2m-l, гтг = 1,2,3,..., (2.4.7)

Daf(x), в случае дробного а > О,

оо

где [Нf)(t) = £ / j^dp — преобразование Гильберта, а оператор 33"

—оо

определен равенством (2.4.6) Л1я всех а > 0.

Теорема 2.4.1 Пусть Л™ - оператор, определенный равенством (2.4-7), действующий по переменной р. Тогда

f{x) = C(N,-r)K J (Л^+М-1^^)^,?)^^,«) Wdw, (2.4.9) s%( 0,1)

где в случае целого и дробного |соответственно

П< М „Л - n-(-')W+hfl~' гт" + l r*(N - * П" + 1 C(N,-y) = -Hj=i г, ъ+t >4^.7) = ilj-i рГЗ^Г'

Третья глава и оснащена теореме о носителе дли KR-иреобразования.

В параграфе 3.1 показано, что КК-преобразование /С-Д/] является линейным взаимно однозначным отображением пространства основных функций, четных по каждой из переменных х» г = 1,2,... ,п , на пространство , состоящее из функций (р 6 5е„(1Рлг) таких, что для

любого целого к ^ 0 интеграл f р)ркйр является однородным мно-

Д>

гочленом степени к от переменных СьСг» - • •

В параграфе 3.2 сформулирована и доказана теорема о носителе ,,|дя К11-11 реобразо ван и я. Пусть Е^— полупространство, определенное неравенством хг > 0. Обозначим через пространство функций,

четных по XI, т раз непрерывно дифференцируемых с конечной нормой 11/||с- = тах^£аЬ1+|ь»|=1I т = 0,1,2, ..., .

Теорема 3.2.1 Пусть функция / 6 СеУ(Е^) удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любого целого к > 0 функция |ж|ь/(а;) ограничена.

2. Существует такая константа А > 0, что /СД/](£; р) = 0, р > А. Тогда /(х) = 0, |ж| > А.

Публикации автора по теме диссертации

1. Гоц Е.Г. Представление ^„-функции Весселя./ Б.Г. Гоц // Материалы ХЬШ отчетной научной конференции за 2004 год.- ВГТА.- Воронеж, 2005.- С. 202.

2. Гоц Е.Г. Аналог теоремы Планшереля для двумерного преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Сборник научных статей под ред. Ю.Е. Гликлиха и Ю.И. Сапронова.- Воронеж: ВГУ, 2005.- Выи.1.-С. 45-51.

3. Гоц Е.Г. Формулы обращения преобразования Кинриянова-Радона, / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Материалы международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения ВГУ.- Воронеж, 2005,- С. 78-79.

4. Гоц Е.Г. Аналог формулы Планшереля для двумерного преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелиней-

ный анализ": Тезисы докладов.- М.: Математический институт им. В. Стеклова- РАН, 2005.- С. 374.

5. Гон, Е.Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./' Е.Г. ГЪц, J1.H. Ляхов // Доклады Академии Наук.- 2005.- Т. 405, N 4.- С. 444-447.

6. Гоц Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона характеристической функции,/ Е.Г. Гоц // Материалы второй международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения",- Дагестанский государственный университет- Махачкг,-ла, 2005.- С. 84-85.

7. Гоц Е.Г. О весовых ¿-функциях, сосредоточенных на плоскости, л вычисление преобразования Киириянона-Радона некоторых функций./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Вестник Елецкого Государственного Университета им. И.А. Бунина. Вып.8: Математика. Компьютерная математика.-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2005.- С. 5-11.

8. Гоц Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона некоторых основны < функций./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // International Conference "Analysis and Related Topics". Abstracts.- Lviv Ivan P.'anko National Unrversiiy- Lvh, Ukraine.- 2005.- P. 35.

9. Гоц Е.Г. Преобразование Кинриянова-Радона сдвигов./ ID.Г. Toi , Л.Н. Ляхов // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005.- С. 73.

10. Гоц Е.Г. Символ общего В-гиперсингулярного интеграла./ Е.Г'. Гоц // Материалы научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Гер-ценовские чтения - 2006".-' СПб., 2006.- С. 175-181.

11. Гоц Е.Г. Отображен ие, осуществляемое преобразованием Кинриянова-Радона основных функций./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета.- Т.1. - Вып.1. - 2006 г.- С. 13-19.

12. Гоц Е.Г. Носитель преобразования Киприянова-Р£|дона./ Е.Г. Гоц // Материалы XLIV отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА.- Воронеж, 2006. -Ч.2.- С. 199.

[31 8 9 9 8

13. ГЬц Е.Г. Обращение преобразования Кинриянова-Радона приме-нзнием /фобных производных Римана-Лиувилля./ Е.Г. 1Ъц, Л.Н. Ляхов ¡! Международная конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов.- Владимир, Владимирский государственный университет, 2006. - С. 78-79.

14. ГоцЕ.Г. Преобразование Киириянова-Радона основных функций. Теорема о носителе./ Е.Г. Гоц // Труды участников Международной н колы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 2006 г.- Ростов-на-Дону: Ростовское математическое общество, 2006.- С. 185-186.

15. Гоц .Е.Г. Общие В-гииерсиигулярные интегралы, порожденные цзнтриронаннмми смешанными обобщенными конечными разностями. / Е.Г. Гоц // Труды воронежской зимней ма'тематической школы С.Г. Крейна- 2006.- Воронеж: ВорГУ, 2006.- С. 44-51.

16. Gots E.G. Support theorem for Kipriyanov-Radon transform. / E.G. Gots // WOAT 2006, Operator Algebras, Operator Theory aid Applications, International ¡Summer School and Workshop. Book of Abstracts.- Instituto Superior Tecnico, U.T.L., Lisboa, 2006.- P. 21-22.

Подписано в печать 09-&6 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография. Усл. иеч. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ

ГОУ ВПО "Воронежская государственная технологическая академия" (ГОУ ВПО "ВГТА") Адрес академии и участка оперативной полиграфии: 39400 Воронеж, ир. Революции, 19

Ведение

1 Общие В-гиперсингулярные интегралы

1.1 Обобщенные сдвиги. Конечные разности.

1.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы.

1.3 Аннигиляция.

2 Аналог теоремы Планшереля для преобразования Киприянова-Радона

2.1 Весовые сферические интегралы.

2.2 Преобразование Киприянова-Радона

2.2.1 Свойства преобразования Киприянова-Радона

2.2.2 О весовых (^-функциях, сосредоточенных на плоскости, и вычислении преобразования Киприянова-Радона некоторых функций.

2.2.3 Связь преобразования Киприянова-Радона с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя.

2.2.4 Преобразование Киприянова-Радона смешанного обобщенного сдвига и обобщенной свертки

2.2.5 Сдвиг в пространстве 2.2.6 В-дифференцирование.

2.3 Аналог теоремы Планшереля.

2.3.1 Обращение преобразования Киприянова-Радона р 2.3.2 Аналог теоремы Планшереля.

2.4 Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством одномерного дробного дифференцирования

3 Теорема о носителе

3.1 Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций.

3.2 Теорема о носителе.

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознания, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Иоганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллип-тических уравнений И.А. Кинриянов и В.И. Кононенко [3] предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть переменных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие исследования этого научного направления оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1990 году J1.H. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов [4], который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И.А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе И.А. Киприянова, J1.H. Ляхова [5] (1998 г.). Хотя в этих исследований все же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Весселя и Радона. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться :преобразованием Киприянова-Радош (далее используем сокращение — KR-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (то есть лишь для задач с осевой симметрией), Л.Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе [6] использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими В-гиперсингулярными интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) но одномерному параметру, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах JI.H. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных А#, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсингулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения KR-преобразования (обобщающие классические формулы и формулы JI.H. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных ио соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы - аналог теоремы Планшереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Радона [7j.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применения результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими симметриями.

Целью работы является исследование наиболее общей формы KR-нреобразования, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированного и нецентрированного видов; создание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингулярные интегралы, построенные по схемам И. Стейна [8], П.И. Лизоркина [9], С.Г. Самко [10] и В-гиперсингулярные интегралы Л.Н. Ляхова. Получение обобщенных формул обращения общего KR-иреобразования путем применения дробных степеней оператора Киприянова А в (общие В-гиперсингулярные интегралы). Получение формул обращения KR-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля для KR-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носителе для KR-иреобразования.

Методика исследований. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы и подходы, развитые в трудах И.А. Киприянова и его учеников, для исследования весовых функциональных классов и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Следующие результаты, полученные в диссертации являются новыми.

1. Введены конечные разности смешанного типа (но одной части переменных действует обычный сдвиг, а по другой части - обобщенный, главной особенностью последнего является то, что он не имеет обратного и перестановочен с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя). Этот результат обобщает введенные ранее Ляховым Л.Н. обобщенные конечные разности, порожденные обобщенным сдвигом.

2. Введены общие В-гиперсингулярные интегралы (далее примем сокращение — общий В-г.с. интеграл) с постоянной характеристикой. Эти операторы, в зависимости от весового параметра могут представлять, с одной стороны, обычные гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко, а с другой, В-гинерсингулярные интегралы (В-г.с. интегралы) Ляхова. Принципиально то, что введенные в данной работе общие В-г.с. интегралы не обладают некоторыми из свойств В-г.с. интегралов.

3. Получены общие формулы обращения KR-преобразования на основе применения к KR-преобразованию функции общего В-г.с. интеграла дробного порядка.

4. Получены формулы обращения KR-преобразовапия путем применения одномерных дробных производных Грюнвальда-Летнико-ва-Рисса, или применением средних от левосторонней и правосторонней дробных производных Римана-Лиувилля.

5. Для KR-преобразования доказана теорема типа теоремы План-шереля.

G. В одном частном случае доказана теорема о носителе для KR-преобразования, представляющая собой аналог хорошо известной теоремы С. Хелгасона.

Практическая и теоретическая значимость. Исследования, проведенные в данной работе, позволяют ввести KR-иреобразование весовых распределений, что откроет возможность применения KR-преобразования при исследовании краевых задач уравнений с частными производными, в которых по одному или нескольким переменным действуют сингулярные дифференциальные операторы Бесселя разных индексов. Кроме того, в работе приведены способы применения преобразования Радона к центрально-симметрическим функциям, то есть по сути к функциям одной переменной, что казалось невозможным, поскольку преобразование Радона можно применять лишь к функциям, заданным в пространствах с размерностью п > 1. Результаты работы также могут быть полезны для проблем фундаментальной физики, для исследования осессимметрических и центральносим-метрических задач математической физики и уравнений с частными производными, в теории функции и функциональных пространств, в теории приближений. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/Д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. В.А. Стек-лова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре JI. Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. О.М. Пенкина в Белгородском государственном университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России; на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2005; международной конференции "Анализ и связанные с ним вопросы", Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005; второй международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения", Дагестанский государственный университет, Махачкала, 2005; школе молодых ученых "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания", Липецк, 2005; Воронежской зимней математической школе-2006; научной кон- . ференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006", Санкт

Петербург, 2006; Воронежской весенней математической школе "Понт-рягинские чтения -XVII", Воронеж, 2006; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006; международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT 2006, Лиссабон, Португалия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [И]-[26], список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [13], [15], [17]-[19], [21], [23] Л.Н. Ляхову принадлежит постановка задачи. Доказательства основных результатов принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих девять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 44 наименований.

1. Radon J. Uber die Bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte langs gewissel mannigfaltigkeiten./ J. Radon // Ber. Verh. Sache. Acad. Wiss. Leipzig. Math.-Nat. kl., 1917, 69, 262-277.

2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в приложении к дифференциальным уравнениям с частными производными./ Ф. Йон.-М.: ИЛ, 1958.- 156 с.

3. Киприянов И.А. О фундаментальных решениях некоторых уравнений в частных производных./ И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения.- 1969,- Т.5.- N 8.- С. 1470-1483.

4. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных операторов./ Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1990.- Т. 315, N 2.- С. 291-296.

5. Киприянов И.А. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона./ Киприянов И.А., Ляхов Л.Н./ И.А. Киприянов, Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1998.- Т.360, N 2.- С.157-160.

6. Ляхов Л.Н. Обращение преобразования Киприянова-Радона./ Л.Н. Ляхов // ДАН.- 2004.- Т. 399, N 5.- С.597-600.

7. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ./ С. Хелгасон- М.: Мир, 1987.- 736 с.

8. Stein Е.М. The caracterisation of function arising as potentials./ E.M. Stein // Bull.Aiiier.Math.Soc.- 1961.- Vol.67, N 1.- P. 102-104.

9. Лизоркин П.И. Описание пространств Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов./ П.И. Лизоркин // Мат.сб- 1970.-Т.81, N 1.- С. 79-91.

10. Гоц Е.Г. Аналог теоремы Планшереля для двумерного преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Сборник научных статей иод ред. Ю.Е. Гликлиха и 10.И. Сапронова.- Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.

11. Гоц Е.Г. Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона / Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов.// Материалы международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения ВГУ.- Воронеж, 2005 С. 78-79.

12. Гоц Е.Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./ Е.Г. Гоцг Л.Н. Ляхов // Доклады Академии Наук.- 2005.Т. 405, N 4.- С. 444-447.

13. Год Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций./ Е.Г. Гоц, JI.H. Ляхов// Материалы международной конференции "Analysis and Related Topics".- Национальный Университет им. Ивана Франко Львов, Украина, 17-20 ноября 2005.- С. 35.

14. Гоц Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона сдвигов./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005 С. 73.

15. Гоц Е.Г. Символ общего В-гииерсингулярного интеграла./ Е.Г. Гоц // Материалы научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2006".- СПб., 2006.- С. 175-181.

16. Гоц Е.Г. Отображение, осуществляемое преобразованием Киприянова-Радона основных функций./ Е.Г. Гоц, Л.Н. Ляхов // Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета.- Т.1.- Вып.1.- 2006.- С. 13-19.

17. Гоц Е.Г. Носитель преобразования Киприянова-Радона./ Е.Г. Гоц // Материалы XLIV отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА.- Воронеж, 2006.- Ч.2.- С. 199.

18. Год Е.Г. Общие В-гииерсингулярные интегралы, порожденные центрированными смешанными обобщенными конечными разностями./ Е.Г. Гоц // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2006.- Воронеж: ВорГУ, 2006.- С. 44-51.

19. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя./ Б.М. Левитан // УМН.- 1951.- Т. 6, N 2.- С. 102-143.

20. Самко С.Г. О пространствах риссовых потенциалов./ С.Г. Самко // Известие АН СССР. Сер.мат.- 1976.- Т. 40, N 5.- С. 1443-1472.

21. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения./ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев -Минск: Наука и техника, 1987.- 688 с.

22. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом./ Л.Н. Ляхов Воронеж, гос. технол. акад.-Воронеж, 1997.- 144 с.

23. Киириянов И.А. Сингулярные эллиптические граничные задачи./ И.А. Киприянов М.: Наука, 1997.- 196 с.

24. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик М.: ГИФМЛ, 1963.- 1100 с.

25. Гельфанд И.М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений./ И.М. Гельфанд, М.И. Граев, И.Я. Виленкин- М.: ГИФМЛ, 1962.- 656 с.

26. Ватсон Г.Н. Теория бессолевых функций./ Г.Н. Ватсон.- М.: ИЛ, 1947.- 780 с.

27. Хелгасон С. Преобразование Радона./ С. Хелгасон М.: Мир, 1983.- 148 с.

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения./ С.М. Никольский- М.: Наука, 1969.- 480 с.

29. Ляхов Л.Н. Об одном классе сферических функций и сингулярных псевдодифференциальных операторов / Л.Н. Ляхов// ДАН 1983-Т.272, N 4.- С. 781-784.

30. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л.Н. Ляхов // ДАН.- 1996,- Т.350, N 6-С. 735-738.

31. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения./ Н. Винер.- М.: ГИФМЛ, 1963.- 256 с.

32. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига./ И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН.- 1969.- Т. 188, N 5.- С. 115-118.

33. Киприянова Н.И. О разложении по собственным функциям некоторых сингулярных дифференциальных операторов / Н.И. Киприянова // ДАН.- 1976.- Т.231, N 2.- С. 523-525.

34. Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / М.И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.-1970.- T.ll, N 4.- С. 810-821.

35. Лизоркин П.И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием и классы дифференцируемых функций / П.И. Лизоркин // Тр.МИАН.- 1972.- Т. 117.- С. 212-243.

36. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com.Pure Appl.Math.-1961.- Vol.14.- P. 785-799