Преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций

Попова, Ольга Игоревна

Преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Попова, Ольга Игоревна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций»

Автореферат диссертации на тему "Преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций"

На правах рукописи

Попова Ольга Игоревна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА-КИПРИЯНОВА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

6 ИЮН 2013

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005060892

Воронеж — 2013

005060892

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов Лев Николаевич, Воронежский государственный университет профессор кафедры математического и прикладного анализа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Новиков Игорь Яковлевич, Воронежский государственный университет профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений

доктор физико-математических наук, профессор Калитвин Анатолий Семенович, Липецкий государственный педагогический университет

профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии

Ведущая организация: Владимирский государственный университет

имени А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита состоится 18 июня 2013 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «■££» мая 2013.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 212.038.22

доктор физико-математических наук, профессор

"¿сЧи^к*' Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы диссертации. Исследование специального преобразования Радона, приспособленного для работы с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и с функциями из весовых лебеговских классов, было инициировано И.А.Киприяновым. Первое упоминание о подобном преобразовании содержала одна из его работ (совместная с В.И.Кононенко) 1969 года, где было предположено, что в задачах с осевой сферической симметрией существует аналог преобразования Радона.

Только в 1997 г. И.А.Киприяновым и Л.Н.Ляховым в статье, опубликованной в ДАН, было дано определение специального преобразования Радона, которое называлось „специальным" и могло применяться при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений и весовых функциональных классов. В дальнейшем этот вид преобразования Радона получил название „преобразование Радона-Киприянова". Далее, сокращая, преобразование Радона-Киприянова будем называть К^ - преобразованием. Первые формулы обращения /^-преобразования получены Л.Н.Ляховым на основе теории В-потенциалов и В-гиперсингулярных интегралов. Им же получены формулы представления преобразования Радона радиальных и частично радиальных (т.е. по части переменных) функций в виде /^-преобразования. Оказалось, что введенное И.А.Киприяновым и Л.Н.Ляховым /Су-преобразование лишь для случая, когда число 7 натуральное, представляет собой (с точностью до соответствующего нормирующего коэффициента) классическое преобразование Радона радиальных или осесимметрических функций. В случае 0 < 7 < 2 /^-преобразование радиальной функции снова оказывается преобразованием Радона-Киприянова функций одной переменной, но с другим индексом, равным п+7—1, где тг — размерность области определения функции (Л.Н.Ляхов, 2009). Обнаружено, что индекс /^-преобразования ведет себя как размерность евклидова пространства, где задана функция, хотя может быть числом дробным. Отметим, что по своей сути преобразование Радона (классическое) не определено дяя функций одного переменного, а вот /^-преобразование одномерных функций — просто частный случай общего определения /^-преобразования. Это вызывает интерес к исследованиям /(^-преобразования функции одного переменного, поскольку к нему сводится преобразования Радона и Радона-Киприянова (при произвольных 7 > 0) радиальных и осесимметрических функций. Кроме того, известно еще из работ Ф. Джона, что преобразова-

ние Радона является очень тонким и продуктивным инструментом исследования уравнений с частными производными. И.М.Гельфанд, М.И. Граев и Н.Я.Виленкин в известной монографии (5-й выпуск „обобщенные функции") ввели научное направление, названное „интегральной геометрией", где впервые дали описание образов, ядер и формул обращения для интегралов по подмногообразиям (простой природы) гладких многообразий. Подходы к исследованиям проблем метематики и компьютерной томографии, использующие преобразование Радона, развивались такими известными и выдающимися математиками (кроме выше названных) как В.Я.Арсенин, Ф.А.Верезин, С.Г. Гиндикин, С.Хелгасон, А.А.Кирилов, М.А.Наймарк, Ф. Наттерер, А.Н.Тихонов, В.П.Паламодов и многих других. Ясно, что задачи естествознания, содержащие элементы сферической симметрии сводятся к исследованию дифференциальных уравнений, содержащих сингулярные дифференциальные операторы Бесселя. А к исследованию последних и могут, и должны применятся ^-преобразования. Поэтому исследования /Су-преобразований функций с элементами сферической симметрии является актуальной задачей.

Хорошо известно, что формулы обращения преобразования Радона лежат в основе компьютерной томографии. Но тогда формулы обращения одномерного ^-преобразования могут оказаться востребованными при создания компьютерных программ для исследования радиальных и осесим-метрических задач естествознания и, что еще более интересно, для работы с функциями, которые, по каким-то признакам, могут считаться радиальными или осесимметрическими, заданными во фрактальных множествах с размерностью п + 7, 7 > 0. Следовательно, естественно ожидать, что рассматриваемое в диссертации научное направление найдет применение в задачах компьютерной томографии фрактальных сред. Это вновь показывает актуальность и перспективность темы исследования диссертации.

Цель работы. Изучить преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций, установить связь с классическим преобразованием Радона радиальных и осесимметрических функций, получить формулы обращения ^-преобразования функций одной переменной для произвольного 7 > 0, установить формулу /Су-преобразования и его обращения сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом, ис-

следовать ^-преобразование в весовых функциональных классах Лебега и Соболева-Киприянова.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А.Куприянова при исследовании задач сингулярных дифференциальных уравнений и весовых функциональных пространств.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получена формула связи преобразования Радона и /^-преобразования радиальных функций с одномерным преобразованием Радона-Киприянова порядка ц = п+7—1 и формула, представляющая /^-преобразование в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Определен подход к созданию таблицы /^-преобразования элементарных функций и элементарных функций от радиальной переменной в евклидовом п-мерном пространстве (при целых значениях пераметра у эта таблица трансформируется в таблицу преобразования Радона элементарных функций от радиальной переменной). Найдены формулы обращения преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной при 7 > 2.

2. Исследовано сферическое среднее радиальной или частично радиальной функции и сферические средние функций, порожденные обобщенным сдвигом. Найдена формула /^-преобразования весового сферического среднего, порожденного обобщенным сдвигом. На основе этой формулы выведены соотношения типа классических соотношений Асгейрссона сферических средних.

3. Доказаны теоремы о непрерывности преобразования Радона-Киприянова функций с конечным носителем, принадлежащим полушару

= {|х| < Я}, как оператора из весового лебеговского класса Ь1(0.+) в пространство функций //г(—Д, Щ р), со специальным сингулярным весом

4. Введены весовые пространства функций, заданных на полуцилиндре 2 = х Д1, построенных по типу пространств Соболева-Наттерера-Смита. В нормах этого пространства получены оценки образов /Су-преобразования функций с финитным носителем через обычные нормы Соболева-Киприянова в образах смешанного преобразования Фурье-Бесселя этих функций. Доказана эквивалентность соответствующих норм.

Практическая значимость и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и устанавливает важные формулы связи весового интегрального преобразования сферически симметричных функций с классическими интегральными преобразованиями. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач томографии, обработки изображений, математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2012 г., на Международном научном семинаре «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» в г. Минск в 2012 г., на Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» в г. Воронеж в 2012 г., на четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д.Кудрявцева в г. Москва в 2013 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [9]. Работы [1], [2], [3], [4] написаны совместно с Л.Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены автором. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы, включающего 55 наименований. Общий объем диссертации 120 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 приводится определение интегрального преобразования Радона-Киприянова и его свойства, эквивалентные представления Ку-

преобразования, известные формулы обращения, а также описание соответствующих функциональных классов.

Пусть Rn={x — (xi,... ,хп)} — евклидово пространство точек, a — его полупространство, определенное неравенством х\ > 0.

Рассматриваемые функции Г(х)четны по переменной ц в Rn и суммируемы в

Пусть (х, £) = Xi & — скалярное произведение векторов в ñ+. Уравнение гиперплоскости Г„ G находящейся на расстоянии \р\ от начала координат, с единичным вектором нормали £ (¡£| = 1), имеет вид

(*,о=р, iei = i- (i-11)

Определение 1.1.1 Преобразованием Радона-Киприянова функции f называется функция

к7ит *) = / я*) - 0)) dx> (LL4)

Jfíi

где а; = (xi,x') G i?*. В определении 1.1.1 символом обозначено действие по переменной xi оператора Пуассона порядка v = ^^ :

7—1

f(xi cosa, х') sin7-1 a da, и = —-—.

Лемма 1.1.1 К^-преобразование (1.1.4) 6 евклидовом пространстве R++v полученным вращением пространства Д+ вокруг „гипероси"1 {xi = 0} представляется в виде

К^Ш;*) = I f{z) S(s - (z¿)) zj-'dz, (1.1.5)

2 2 Rt+i

где s — (z,£) = 0 — уравнение гиперплоскости

z = (zitz2,x?) G R++l = {z : z2 > 0}, í = (6,0,6,

R2 это ось координат Охг, которая имеет уравнение х\ = 0. В данном случае роль этой „гипероси" играет координатная гиперплоскость, определенная уравнением Х\ = 0.

/(*) = / (7*12 + ¿2,

Равенство (1.1.5) может быть записано в виде интеграла по плоскости, проходящей через заданную точку ортогонально заданному вектору £ в виде

КМЪ*) = г / f{s-Z +V) УГ1 "п+1, (1.1.6)

2 2 уе{£х}+

где — множество векторов ортогональных вектору у —

(Уъ ■ ■ ■ I Уп+iji Уг 0, wn+i — дифференциальная форма на гиперплоскости Г„+1 в евклидовом пространстве размерности п + 1.

Преобразование (1.1.6) можно задать интегрированием по одной из координатных гиперплоскостей в в следующем виде

Г (з±1) Г ~

s) = г ^ ^ ^ J f{Ay, s) z{ dy, у = {zu z2, z3,..., zn),

(1.1.7)

где A — матрица вращения в Rn+i, совершаемого вокруг оси Oz2, при котором направление одной из координатных осей (не Oz2) совпадет с единичным вектором нормали к гиперплоскости

В главе 2 устанавливаются формулы связи преобразования Радона и Радона-Киприянова радиальных, осесимметрических функций, связь преобразования Радона-Киприянова радиальных функций с преобразованием Радона-Киприянова функции одной переменной.

Частично радиальными функциями или функциями со сферической симметрией будем называть функции вида / = f{yjx\ + ... хт+\,...,хп), где т < п. При т = п такие функции называются радиальными.

Пусть Д„. — Rm X Rn.-m И / = f(\x'\,x"), где х' е Rm, х" 6 Rn-m, |х'| = \Jx\ + ... -f Функцию / удобно называть функцией с гиперосевой симметрией (имеется в виду сферическая симметрия).

Формула связи преобразований Радона радиальной функции в R„ и Радона-Киприянова функции одной переменной (можно считать, что эта переменная — радиус)

^[/(NI)](p) = |Si(n)|^_1[/(r-)](p), 8

(2.1.6)

где Кп-1[/(г)](р) = / /(г)П"(р — г)г~<с1г, у = о

Формула связи преобразования Радона осесимметрической функции (с осью симметрии хх = 0, ... ,хт = 0) с преобразованием Радона-Киприянова, отвечающего весовому индексу 7 = т — 1:

Д[/](£р) = 1&(го)|Ят-а[/](Ы £ = е Дп_го+1.

Теорема 2.3.1 Преобразование Радона-Киприянова порядка 7 радиальных функций, определенных в Нц не зависит от вектора нормали к плоскости интегрирования £ и представляет собой одномерное преобразование Радона-Киприянова с весовым индексом = п + 7 — 1 (т.е., порядка V = п+12~2), умноженное на константу |5^(п)|7:

^[/(МЖр) = К(п)|7 ВД(р). V = п + 7 - 1. (2.3.7)

где

^ Г

|5Г(п)|7 = у у1 д,Б(у) =

шми

Глава 3 посвящена формулам /^-преобразования и обращения функции одной переменной.

Шр) = I Пх)Щ(р ~ х)хЧх, (3.1.1)

где Щ — оператор Пуассона, действующий по переменной х.

Если / — четная абсолютно интегрируемая функция, то при 7 е (0,2) ее преобразование Радона-Киприянова (3.1.1) представляет собой преобразование Абеля порядка 7/2 функции /0(г) = ^фу/(у/г).

Пусть / — финитная четная абсолютно интегрируемая функция, 7 е (0,2) и / = К1 [/] ее преобразование Радона-Киприянова

7(р) = / /(х)Щ(р-х)хЧх.

Если / € АС(\\х\ < а]), то справедлива следующая формула обращения ^-преобразования

9 1

Теорема 3.3.1 Обращение преобразования Радона-Киприянова порядка 7 = 2т функции / (одного переменного) осуществляется по формуле

Замечание 3.3.2 Формула (3.3.7) представляет собой формулу обращения К-преобразования радиальной функции в пространстве нечетной размерности п = 2771 + 1(= 7 + 1). В евклидовом пространстве размерности 2 т +1 формула обращения принимает вид сингулярной производной целого порядка от К-у [/] -преобразования:

Теорема 3.3.2 К1-преобразование четной финитной функции / € Ь\ с носителем включенным в множество А £ {х : |х| < а, а < оо} представляется в виде интеграла Римана-Лиувилля дробного порядка %

(3.3.7)

= ь = а2' (3'ЗЛ6)

от. функции

Л (г) = Дл/7), зирр Д 6 (-Ь, Ь), Ь = а2.

Если /(р) е АС1еу([—а,а\), то справедлива формула обращения

(3.3.17)

Если же ЦуГр) е АС '„([—6,6]), Ь = а2, то имеют место следующие формулы обращения К1-преобразования:

(3.3.18)

(3.3.19)

Глава 4 посвящена /^-преобразованию и обращению сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом.

Смешанный обобщенный сдвиг /(ж) —> (Ту/)(х) устроен следующим образом. Он действует как обобщенный по переменной х\, отвечающей положительному параметру 7, и как обычный по переменным х'\

(ТЧ)(х) = I Ау/х1+у1-2хт соз а, х'+у') щП^ а ¿а.

(4.1.1)

Далее через {|г| = 1}+ будем обозначать поверхность единичной полусферы > 0 в евклидовом пространстве Нщ.

Теорема 4.1.1 Сферическое среднее функции / = /(\х'\,х"), определенной в Яп с (п — т)-мерной гиперосевой симметрией есть весовое сферическое среднее функции / = /(г, х"), порожденной обобщенным сдвигом (4-1-1) с показателем 7 = т — 1, определяемое по формуле

= / Г»/(Х) (ггГ-Чг.

2 {М=1К_т+,

Определение 4.1.1 Пусть функция / четная по переменной хг определена в полупространстве И+. Сферическим средним, порожденным смешанным обобщенным сдвигом (4-1-1) с показателем у > 0 будем называть выражение

Р/{Х]Г) = / у1 ММ' (4Л-2)

1 7{М=1}£

где (¿^(п)|7 — весовая площадь поверхности {|г/| = 1}+.

Теорема 4.1.2 Пусть / = /(хихг) интегрируемая в Я+ с весом х\ функция. Операция вращения

/(*) = /(^5+5. А 11

(-1)г22-'0Р

4)1 (:

переводит весовое сферическое среднее (4-1.2), порожденное обобщенным сдвигом (4.1.1) в следующее весовое сферическое среднее от функции /(г), порожденное обычным сдвигом

М/(х-,г)= 1 [ Дгг + ад^сВД, (4.1.5)

где вектор сдвига х имеет вид х = (х1,0,х') и принадлежит координатной гиперплоскости гг = 0 в евклидовом полупространстве = {2=(гьго,х') : ¿2 > 0}, а интегрирование происходит уже по поверхности единичной полусферы в с центром в точке х на координатной гиперплоскости г-2 = О.

Теорема 4.1.2 Положим /л = п + 7 — 1 и

ОД = С(п + 7 - 1)

Г(^)

Г(В±р1)Г(1) '

и пусть четная по переменной XI функция / 6 Преобразова-

ние Радона-Киприянова в.сф. среднего х\г), порожденного обобщенным сдвигом индекса 7 > 0 (см. формулу (4-1-1)), функции / определяется по формулам

I +Т М'1(х\ л/гУг

К.Щ^Х- у/д) = - ОД |#(п)| ] ^ , (4.2.1)

при этом

ОД |Я+(п)|' = тг^ = (п - 1)|7.

* V 2 >

Для финитных четных функций / с носителем в шаре |л;| < а выражение (4.2.1) примет вид

К1т(х-,у/я)= у 1;/2 , ^ = п + 7-1. (4.2.2)

(г ~Я)

Теорема 4.2.2 Имеет место следующее соотношение (типа соотоно-шения Асгейрссона)

+оо

[М/(х;-)]Ы = М/(х;Р) = |51+(гг-1)| [ (4.2.4)

1 1 7 (¿2 - р2) 2

Ь1 12

Если supp f(x) 6 {x : |ar| < а}, то

__} Ml(x-t)t

Kß[M](x;-)](p) = M](x-,p) = \Snn-l)\ ' ,

J (t* — рг)

IpI

(¿2 _ p2

dt.

(4.2.5)

и если f(p) G ACl([—a,a]), то справедлива формула обращения

\х\+а

М](х]Г) = -—

=î) и s

М](х-,р)р,

2,_1Г («±2)г Wr

п + 7 — 1

(jD^ — 7>2)'+2 + 1 *

ГТФ ,

(4.2.6)

+ 1.

Глава 5 посвящена /¡^-преобразованию в весовых функциональных классах Лебега и Соболева-Киприянова. Через ГГ1' будем обозначать конечную область, прилегающую к весовой гиперплоскости Х\ = 0, а через Г0 часть ее границы, принадлежащей этой гиперплоскости.

Пространство Лебега определяется как множество функций,

определенных на П+ и Г°, для которых конечна норма

где 7 > 0 фиксированное число.

Рассмотрим множество функций одного переменного в, завися-

щих от параметра £ (|£| = 1), который считается фиксированным. Предположим, что вирр с^(б') принадлежит интервалу (—Я, К) и пусть

Р = Р(3) = (5-1.3)

(Д2 _ S2)^

Для каждого фиксированного единичного вектора £ введем пространство

Ll([-R;R]lP) =

if V/2 '

9t(s) ■ J p(a) ds 1 < +oo

Теорема 5.1.1 Пусть supp f = Г2+, / G Ll(Q+) и носитель функции f принадлежит полушару {|а;| < R}+. Тогда К^-преобразование является непрерывным оператором, действующим из пространства Ь^П*) в

Ь2([—Я;+Д],р), т.е. существует независимая от функции / константа С такая, что

где сингулярный вес определен по формуле (5.1.3).

Функция определена на полуцилиндре (£; р) 6 2 = ^^(п) х

Ль где 5Дп) = {£ : |£| = 1, 6 > 0} — единичная полусфера с центром в начале координат, принадлежащая полупространству

Функция д{£,р) е если (пространство Соболева-Наттерера-

Смита)

\\яГщ{2) = [ $ / (1 +*2)3 Ча < 00, (5.2.1)

J ^ Лх

где через Г обозначено преобразование Фурье функций, действующее только по переменной р:

/+оо

д&р) е-^йр.

оо

Смешанное интегральное преобразование Фурье-Бесселя функций, четных по переменной х\ и интегрируемых по определяется по формуле

ыт = I/(*) ЗфЫт) е-^ х\ йх.

Через 0+ будем обозначать конечную область в прилегающую к координатной гиперплоскости х\ = 0. Классический класс функций Соболева-Киприянова определяется с помощью смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя и представляет собой множество функций, для которых конечна норма

= + м2л адм2^-

Теорема 5.2.1. Для всякого в существуют такие положительные константы с(з,п,'у), С(э,п,7), что для / е С~е.ц(П+)

7)11/11™«) < ^ ^,«,7)11/11^) ■ (5-2.5)

Публикации автора по теме диссертации

1. Попова О.И. Весовые оценки преобразования Радона-Киприянова функций с ограниченным носителем /JT.H. Ляхов, О.И. Попова // Научные ведомости Белгородского госуниверситета. Серия: Математика, Физика. № 17(112) 2011, выпуск 24. С. 54-62.

2. Попова О.И. Обращение преобразования Радона-Киприянова радиальных функций / Л.Н. Ляхов, О.И. Попова // Научные ведомости Белгородского госуниверситета. Серия: Математика, Физика. № 17(136) 2012, выпуск 28. С. 56-69.

3. Попова О.И. Весовые оценки преобразования Радона-Киприянова функций с компактным носителем. / Л.Н. Ляхов, О.И. Попова // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17 - 21 октября 2011). - Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2011. -С. 98.

4. Попова О.И. Преобразование Радона и Радона-Киприянова функций со сферической симметрией. /Л.Н. Ляхов, О.И. Попова // Обратные и некорректные задачи математической физики: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 80-летию академика М.М. Лаврентьева. — Новосибирском СО РАН, 2012. - С. 390.

5. Попова О.И. О связи преобразования Радона осесимметрических функций в Rn = Rm х R(n-m) с преобразованием Радона-Киприянова в i?(„_m+1). / О.И. Попова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции, Воронеж, 26-28 ноября 2012 г.: в 2 ч. Ч. 1. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. — С. 315-319.

6. Попова О.И. О связи преобразования Радона осесимметрических функций с преобразованием Радона-Киприянова. / О.И. Попова // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов международного научного семинара 10-14 сент. 2012 г., Минск, Беларусь. - Мн.:ИМ HAH Беларуси, 2012. — С. 56.

7. Попова О.И. О мультипликаторе класса Соболева-Киприянова Н^. / О.И. Попова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХХШ",— Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. — С. 152-153.

8. Попова О.И. Преобразование Радона-Киприянова финитных функций, принадлежащих весовому классу / О.И. Попова // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания. — Липецк: ЛГПУ, 2012. - С. 119-127.

9. Попова О.И. Полугрупповое свойство дробных интегралов и обращение преобразования Радона-Кипириянова функций одного переменного и радиальных функций." / О.И. Попова// Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования:тезисы Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.Д. Кудрявцева. М.:РУДН, 2013. - С. 111-112.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 26.04.13. Формат 60x84 l/i6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 408.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полшрафического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Попова, Ольга Игоревна, Воронеж

Воронежский государственный университет

На правах рукописи

01356876

Попова Ольга Игоревна

■г*

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА-КИПРИЯНОВА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов JI.H.

Воронеж — 2013

2.2 О связи преобразования Радона осесимметрических функций в Яп = Кт х Яп-т с преобразованием Радона-Киприянова в ...................... 40

2.3 Преобразование Радона-Киприянова радиальных функций . 41

3 Формулы К7 -преобразования и обращения функции одной переменной 46

3.1 К^ -преобразование функции одной переменной ......47

3.2 Обращение преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной при 0<7<2 ................ 49

3.3 Обращение преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной при 7 > 2................... 53

3.3.1 Случай четных положительных 7........... 53

3.3.2 Случай дробных положительных ^ .......... 57

3.4 Преобразование Радона-Киприянова некоторых элементарных функций...................... 65

4 К1 -преобразование и обращение сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом 75

4.1 О сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом....................... 76

4.1.1 Сферические средние функций с гиперосевой симметрией......................... 76

4.1.2 Весовые сферические средние, порожденные обобщенным сдвигом................... 79

4.2 ^-преобразование в.сф. среднего функций, формула обращения, соотношение Асгейрсона.............. 83

4.2.1 К^ -преобразование в.сф. среднего, порожденного обобщенным сдвигом................... 84

4.2.2 Соотношения типа соотношений Асгейрссона..... 86

4.2.3 Об отсутствии принципа Гюйгенса в евклидовых дробномерных пространствах.............. 89

нормирующего коэффициента) классическое преобразование Радона радиальных или осесимметрических функций. В случае 0 < 7 < 2 К7 -преобразование радиальной функции снова оказывается преобразованием Радона-Киприянова функций одной переменной, но с другим индексом, равным п + 7 — 1, где п — размерность области определения функции (JI.H. Ляхов, 2009). Обнаружено, что индекс ^-преобразования ведет себя как размерность евклидова пространства, где задана функция, хотя может быть числом дробным. Отметим, что по своей сути преобразование Радона (классическое) не определено для функций одного переменного, а вот К1 -преобразование одномерных функций — просто частный случай общего определения -преобразования. Это вызывает интерес к исследованиям -преобразования функции одного переменного, поскольку к нему сводится преобразования Радона и Радона-Киприянова (при произвольных 7 > 0) радиальных и осесимметрических функций. Кроме того, известно еще из работ Ф. Джона, что преобразование Радона является очень тонким и продуктивным инструментом исследования уравнений с частными производными. И.М. Гельфанд, М.И. Граев и Н.Я. Виленкин в известной монографии (5-й выпуск „Обобщенные функции") ввели научное направление, названное „интегральной геометрией", где впервые дали описание образов, ядер и формул обращения для интегралов по подмногообразиям (простой природы) гладких многообразий. Подходы к исследованиям проблем математики и компьютерной томографии, использующие преобразование Радона, развивались такими известными и выдающимися математиками (кроме выше названных) как А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин([44],[45]), Ф.А. Березин, М.А. Наймарк([2]), С.Г. Гиндикин, С. Хелгасон ([46]), A.A. Кирилов ([14]), Ф. Наттерер ([35]), В.П. Паламодов([37]) и многими другими. Ясно, что задачи естествознания, содержащие элементы сферической симметрии, сводятся к исследованию дифференциальных уравнений, содержащих сингулярные дифференциальные операторы Бесселя. А к исследованию последних и могут, и должны применяться К7 -преобразования. Поэтому исследования К1 -преобразований функций

с элементами сферической симметрии является актуальной задачей.

Хорошо известно, что формулы обращения преобразования Радона лежат в основе компьютерной томографии. Но тогда формулы обращения одномерного ^-преобразования могут оказаться востребованными при создании компьютерных программ для исследования радиальных и осесимметрических задач естествознания и, что еще более интересно, для работы с функциями, которые, по каким-то признакам, могут считаться радиальными или осесимметрическими, заданными во фрактальных множествах с размерностью п + 7, 7 > 0. Следовательно, естественно ожидать, что рассматриваемое в диссертации научное направление найдет применение в задачах компьютерной томографии фрактальных сред. Это вновь показывает актуальность и перспективность темы исследования диссертации.

Цель работы. Изучить преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций, установить связь с классическим преобразованием Радона радиальных и осесимметрических функций, получить формулы обращения К7 -преобразования функций одной переменной для произвольного 7 > 0, установить формулу К7 -преобразования и его обращения сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом, исследовать /Су-преобразование в весовых функциональных классах Лебега и Соболева-Киприянова.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании задач сингулярных дифференциальных уравнений и весовых функциональных пространств.

1. Получена формула связи преобразования Радона и преобразования радиальных функций с одномерным преобразованием Радона-Киприянова порядка ц = п + у — I и формула, представляющая Кгу -преобразование в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Определен подход к созданию таблицы -преобразования

элементарных функций и элементарных функций от радиальной переменной в евклидовом п -мерном пространстве (при целых значениях пераметра 7 эта таблица трансформируется в таблицу преобразования Радона элементарных функций от радиальной переменной). Найдены формулы обращения преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной при 7 > 2.

2. Исследовано сферическое среднее радиальной или частично радиальной функции и сферические средние функций, порожденные обобщенным сдвигом. Найдена формула -преобразования весового сферического среднего, порожденного обобщенным сдвигом. На основе этой формулы выведены соотношения типа классических соотношений Асгейрсона сферических средних.

= {х : \х\ < Я}, как оператора из весового лебеговского класса в пространство функций 1/2(—Я, Щ р), со специальным

сингулярным весом р = (1 — й2) .

4. Введены весовые пространства функций, заданных на полуцилиндре Z = х , построенных по типу пространств Соболева-Наттерера-Смита. В нормах этого пространства получены оценки образов ^-преобразования функций с финитным носителем через обычные нормы Соболева-Киприянова в образах смешанного преобразования Фурье-Бесселя этих функций. Доказана эквивалентность соответствующих норм.

Краткое содержание диссертации.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 приводится определение интегрального преобразования Радона-Киприянова и его свойства, эквивалентные представления К7-преобразования, известные формулы обращения, а также описание соответствующих функциональных классов.

Пусть Нп={х : х — (гг1,..., хп)} — евклидово пространство точек, а В+ — его полупространство, определенное неравенством х\ > 0.

Рассматриваемые функции £(х)четны по переменной х± в Ип. Кроме того, вычисление интегралов по гиперплоскостям в В^ приводит к необходимости считать их суммируемыми во всем евклидовом полупространстве К^ .

Пусть = ]СГ=1 хг £г — скалярное произведение векторов в .

Уравнение гиперплоскости Гп 6 Я+ , находящейся на расстоянии \р\ от начала координат, с единичным вектором нормали £ (|£| = 1), имеет вид

И = (1.1.1)

Определение 1.1.1 Преобразованием Радона-Киприянова функции / называется функция

*) = / /М К А8 ~ 0)) Х1 (I-1-4)

-/я*

где ж = (х\,х') £ В+. В определении 1.1.1 символом Щ обозначено действие по переменной х\ оператора Пуассона порядка V — > 0 :

/ /(zi cosa, х') sin7 1 a da, ^

7-1

Лемма 1.1.1 -преобразование 1.1.4 6 евклидовом пространстве R-n+i > полученным вращением пространства R+ вокруг „гипероси"1 {х\ = 0} ; представляется в виде

Шд) = гДгт / f(z)ô(s-{z,0) zr'dz, (1.1.5)

r(i)r(è)

тг + 1

где s — — 0 — уравнение гиперплоскости ;

= (zi, Z2,x') е Я++1 = {z : z2 > 0}, £ - (6,0,6, • • •, Çn) е R^

/со = / (\Ai2+, *') •

Й2 это ось координат Ожг , которая имеет уравнение х\ = 0. В данном случае роль этой „гипероси" играет координатная гиперплоскость, определенная уравнением х\ — 0.

Равенство 1.1.5 может быть записано в виде интеграла по плоскости, проходящей через заданную точку , ортогонально заданному вектору £ в виде

Г(т±1\ г

= У ¡^^^у)^*'1^^ (1.1.6)

где — множество векторов ортогональных вектору £ вида

у = (г/1,...,Уп+1), У2 > 0, и>п+1 ~ дифференциальная форма (1.1.3) на гиперплоскости Гп+1 в евклидовом пространстве размерности п + 1.

Г (о±1) г „

К1 [/К£; = У 1 ¿У' У=(* 1,22,г3,...,гп),

(1.1.7)

где А — матрица вращения в 12п+1, совершаемого вокруг оси О £2, при котором направление одной из координатных осей (не О г2 ) совпадет с единичным вектором нормали к гиперплоскости .

Функции со сферической симметрией имеют вид / =

), где т < п. При т — п такие функции

называются радиальными.

Пусть Яп = Ят х и / = ¡{\х'\,х"), где х' е Ят, х" е

11п-т , \х'\ = х\ + ... + х^ . Функция / является радиальной только по части переменных. Функцию /,

заданную в Ип и радиальную по части из т переменных, т < п удобно называть функцией с гиперосевой симметрией (но мы имеем в виду сферическую симметрию).

Формула связи преобразований Радона радиальной функции и Радона-Киприянова функции одной переменной (радиуса)

Д[/(М)](р) = |51(п)|^„_1[/(г)](р), (2.1.6)

оо

Формула связи преобразования Радона осесимметрической функции (с осью симметрии х\ — 0, ... , хт = 0) с преобразованием Радона-Киприянова, отвечающего весовому индексу 7 = т — 1:

т&р) = шт^Кгп-шьр), е = сап е Лп_т+1.

Теорема 2.3.1 Преобразование Радона-Киприянова порядка 7 радиальных функций, определенных в Яп, не зависит от вектора нормали к плоскости интегрирования £ и представляет собой одномерное преобразование Радона-Киприянова с весовым индексом [1 = п+7—1 (т.е., порядка V = п+7~2 умноженное на константу (п)|7 :

т\х\)](р) = |5+(п)|7 ц = п + 7 - 1. (2.3.7)

Глава 3 посвящена формулам К7 -преобразования и обращения функции одной переменной.

= 11(х)Щ5(р-х)х^х, (3.1.1)

где Щ — оператор Пуассона, действующий по переменной х .

Теорема 3.2.1 Пусть / — четная абсолютно интегрируемая функция. При 7 е (0,2) преобразование Радона-Киприянова (3.1.1) представляет собой преобразование Абеля порядка 7/2 функции

р/7±1\

/оМ =

Теорема 3.2.2 Пусть / — финитная четная абсолютно интегрируемая функция, 7 € (0,2) и / = К7[/} ее преобразование Радона-Киприянова:

т = I №Щб(р - х)хмх.

Тогда, если / £ ЛС([|гс| < а]), то

т = - / /'(Р) Лр . (3.2.4)

Теорема 3.3.1 Пусть для числа 7 выполняется условие {7/2} ф О Обращение преобразования Радона-Киприянова порядка 7 = 2т функции f (одного переменного) осуществляется по формуле

(3.3.7)

Замечание 3.3.2 Формула (3.3.7) представляет собой формулу обращения Ш-преобразования радиальной функции в пространстве нечетной размерности п = 2т + 1(= 7 + 1). В евклидовом пространстве размерности 2т + 1 имеет место следующая формула обращения

215^ + 1)1 ^

\) 2т~1Г(Ц±) \pdpj и

, X £ ^2т+1

р=|ж|

Теорема 3.3.2 К7 -преобразование четной;2 финитной функции / Е Ь\ с носителем, включенным в множество А £ {х : <

а, а < оо} представляется в виде интеграла Римана-Лиувилля дробного порядка % ;

ТШ = гт [, ъ =а2> (3-3-16)

1 \ 2> 3 (т — д) 2

'и, следовательно, речь идет о функции одного переменного х €

от функции

fl(r) =

0 2г- /(л/т), supp /1 G (-Ь, Ь), 6 = а2.

Если f(p) G AClev([—а, а]), то справедлива формула обращения

(-1У V^

/(р) Р

-ф, Z =

2 2

+ 1.

2г~1Г(^)Г(/~!) \xdxj } (р2

(3.3.17)

ЕЪ/ш а/се /(у/р) £ ЛС 6,6]), Ь = а2 , то имеют место следующие формулы обращения К7 -преобразования:

f(x) =

(-1У А

Г(^±1) Г(/-|) J dp1 (p-x2)i-/+1

(3.3.18)

( — 1) 2 2~ д/7Г

'А'

/(р)

___ 2 ^ I 1

dp, I —

1 2J

+ 1. (3.3.19)

Глава 4 посвящена -преобразованию и обращению

сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом.

Смешанный обобщенный сдвиг f(x) —> (Tyf)(x) устроен следующим образом. Он действует как обобщенный по переменной х\ отвечающей положительному параметру 7 (см. [22]), и как обычный по переменным х' (смешанные обобщенные сдвиги изучались в ряде работ, например см. в книгах [16], [25]):

(Tyf)(x) = r[i)T(l) //(\/^12-2х1?/1 cos а, х'+у') sin^ a da.

(4.1.1)

Теорема 4.1.1 Сферическое среднее функции f — f(\x'\,x"), определенной в Rn с (п — то) -мерной гиперосевой симметрией, есть

весовое сферическое среднее функции / = f(r,x"), порожденной обобщенным сдвигом (4-1-1) с показателем 7 = т — определяемое по формуле

Г Г

М™~\х,г) =-Чтт^Г / Тгх*/(х)

/ V 5 / 27Гп_тГ (—) /

2 {и=1}+-т+1

Определение 4.1.1 Пусть функция четная по переменной х\, определена в полупространстве К^ ■ Сферическим средним, порожденным смешанным обобщенным сдвигом (4-1.1) с показателем 7 > 0 (см. [27]), будем называть выражение

{|1/|=1}*

где через {|т/| = 1}+ обозначена поверхность единичной полусферы в с центром в начале координат, а |5^(п)|7 — ее весовая площадь (см. [25], формула (1.2.5)):

г ^гГ^Щ

{|у|=1}^ 2

Теорема 4.1.2 Пусть / = ¡{х\,х') интегрируемая в с весом х\ функция. Операция вращения

переводит весовое сферическое среднее (4-1.2), порожденное обобщенным сдвигом (4-1-1), в следующее весовое сферическое среднее от функции /(г), порожденное обычным сдвигом

= --/ /(гг + г)*?-1^*), (4.1.5)

Рп+1|7-1 J

где вектор сдвига х имеет вид х — (2:1,0, х') и принадлежит

координатной гиперплоскости = 0 в евклидовом полупространстве

= г2,х') : Z2 > 0}, а интегрирование происходит уже

по поверхности единичной полусферы в с центром в точке х на

координатной гиперплоскости 2:2 = 0.

Теорема 4.2.1 Положим /л = п + 7 — 1 и

Г(=±2)

С(м) = С(п + 7"1) =

Г(2±р1)Г(1) '

и пусть четная по переменной х\ функция / € Ь\(Я^) ■ Преобразование Радона-Киприянова в.сф. среднего М^{х\г), порожденного обобщенным сдвигом индекса 7 > 0 (см. формулу (4-1.1)), функции f, определяется по формулам

К,[М]](*; у/д) = - СЫ |5+(п)| I , (4.2.1)

при этом

СМ (п)| = тг^ = - 1)|7 .

^ I 2 /

Для финитных четных функций / с носителем в шаре < а выражение (4-2.1) примет вид

2щ}2) ] » М = п + 7-1.

(4.2.2)

Теорема 4.2.2 Имеет место следующее соотношение (типа соотоношения Асгейрссона):

______М1 (х- £)

К,[М](х-гЖр) = М](х;р) = \3+(п-1)\ / (4.2.4)

7 (¿2 - Г) ) 2

м ^

Г№)

Если эирр / С {х : \х\ < а}, то

К^[Му(х', -)}(р) = М]{х-р) = |5+(п-1)|

\р\

-7 ; (4.2.5)

и если /(р) € АС ([—а, а]), то справедлива формула обращения

с/

п + 7—1

М1{х\р) р

о /

, 9 оч 21±Д±1 л ^р ,

1 ЭТ^ — ) 2 с

(4.2.6)

£ =

+ 1.

Глава 5 посвящена К7 -преобразованию в весовых функциональных классах Лебега и Соболева-Киприянова.

Пространство Лебега определяется как множество

функций, определенных на 0+ и Г° , для которых конечна норма

¿2 (Г2П)

- » ь-п

\/(х)\2 (хгГёх

1/2

где 7 > 0 фиксированное число.

Рассмотрим множество функций {^(з)} одного переменного й, зависящих от параметра £ (|£| = 1), который считается фиксированным. Предположим