Преобразование Радона аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ломакин Денис Евгеньевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01. 01. 01. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Секерин Алексей Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кондаков Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Михайлов Андрей Борисович

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ

Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 19 декабря 2006 года в 16 ч. 50 мин. на заседании диссертационного совета К 212.208.06 в Ростовском государственном университете по адресу:344090, Ростов-на-Дону, по адресу: ул. Мильчакова, 8а, РГУ, ауд.311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.208.06

Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Преобразование Радона было введено И. Радоном в статье, опубликованной в 1917 году. Оно сопоставляет функции / на плоскости функцию / на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от / вдоль прямых. И. Радону удалось получить явную формулу обращения, выражающую функцию / через / . Аналоги этого преобразования, названного впоследствии преобразованием Радона, встречались и ранее, например, в работах Г. А. Лоренца, Г. Минковского и П. Функа, однако именно в статье Радона была поставлена задача об изучении преобразований типа / —> f на различных пространствах и намечены методы исследования таких преобразований.

Тем самым было положено начало новому направлению, часто называемому интегральной геометрией, предмет которой состоит в изучении преобразований, сопоставляющих для данной функции / на многообразии X функцию f на некотором семействе X подмногообразий многообразия X , задаваемую интегралами от / вдоль подмногообразий этого семейства. Задачи указанного типа часто встречаются в различных областях математики (дифференциальные уравнения, математическая физика, теория представлений и т.д.), что в значительной степени стимулировало развитие этого направления.

Преобразование Радона нашло применение в рентгеновской диагностике, точнее в ее области — вычислительной томографии, а также в геофизике и радиоастрономии.

Преобразование Радона является объектом исследования в течение достаточно длительного периода. Свойства преобразования Радона на пространствах распределений исследовались в работах И.М. Гельфанда, М.М. Граева, Н.Я. Ви-ленкина, С. Хелгасона , А. Хертле, Д. Людвига, С.Г. Гиндикина, А.Г. Сергеева, A.B. Секерина, и др. Следует отметить, что, в отличие от действительного случая, комплексное преобразование Радона распределений мало изучено.

В диссертации изучаются свойства преобразования Радона распределений в комплексном пространстве, задаваемых регулярными функциями из про-

странств целых функций многих комплексных переменных.

Цели работы:

• Получение явного вида оператора, ставящего в соответствие произвольной целой функции (как обобщенной) ее преобразование Радона.

• Выделение класса функций, в котором преобразование Радона целых функций определяестся единственным образом.

• Описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций Н(С) , а также весовых пространств целых функций индуктивного и проективного типов.

• Применение свойств пребразования Радона к вопросам полноты систем целых функций в различных пространствах целых функций многих переменных, к вопросу о разложении целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент.

• Описание образа преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных. Представление преобразования Радона аналитического функционала рядом из функционалов, сходящимся в сильной топологии пространства сопряженного к пространству всех целых функций. Применение преобразования Радона аналитического функционала к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Методы исследования. В работе используются методы современного и классического функционального анализа, комплексного анализа.

Научная и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, в задачах разрешимости уравнений свертки в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных и в вопросах разложения целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета (руководитель — проф.

Секерин А.Б.), на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа Орловского государственного университета (руководитель

— проф. Громов В.П.), на Воронежской зимней математической школе (2003, 2005 гг.), на Воронежской весенней математической школе (2004 г.), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (руководитель — проф. Коробейник Ю.Ф., проф. Абанин A.B.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ.

Совместные работы [9,12] с научным руководителем Секериным А.Б. содержат результаты параграфов 2.3 и 2.4 главы 2. В [9] результаты о преобразовании Радона аналитических функционалов принадлежат Ломакину Д.Е., а Секери-ну А.Б. — результаты о представлении функций разностью логарифмических потенциалов (не связанные с темой данной диссертации), а также определение преобразования Радона аналитического функционала. В [12] Секериным А.Б. сделаны постановки основных задач и определены методы исследования, а автором доказательств основных результатов является Ломакин Д.Е.

Структура и объем диссертации. Дисертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 92 наименования. Общий объем диссертации

— 155 листов машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изучению свойств оператора преобразования Радона в пространствах целых функций.

В § 1.1. главы 1 приводится определение преобразования Радона аналитических функций, рассматриваемых как обобщенные функции.

Обозначения: S2n~1 - единичная сфера в Cn , da - элемент площади S2n_1 . Для z,w G С" полагаем (z, w) — Ег.ш, , riüj2„ - элемент объема в С" . Через £>(С") обозначается пространство бесконечно дифференцируемых финитных в Сп функций. Для функции <p(z) € V(Cn) через ф(в, £) будем обозначать

комплексное преобразование Радона, которое задается равенством Ф{а,0= / (5,0бСх(С\{0}),

где ¿А — элемент площади на гиперплоскости {г Е С : (г, £) = з} .

Согласно известным свойствам преобразования Радона функций из Т>{С") верно ф{ав) — \а\~2ф(в, £), а € С\{0} . В связи с этим мы будем отождествлять функцию ф(з,£) с ее сужением на С х 52"-1 , которое будем обозначать

<р(з,ги),и> е 52"-1 .

Пусть ПТ> — векторное пространство, образованное комплексными преобразованиями Радона <£(в,и>) , функций <р(г) из 2?(СП) . Обозначим через М векторное пространство, образованное функциями вида

д2п-2

= Ээ^Эзп-М3^)'

где иг) € КО . Рассмотрим векторное пространство Т>{С х £>2™-1) , состоящее из функций непрерывных по совокупности переменных на С х 52п~1 , бесконечно дифференцируемых и финитных по в . Пусть ^ 6 Р'(С") — обобщенная функция. Преобразованием Радона обобщенной функции Р называется продолжение на 1>(С х 52"-1) линейного функционала, заданного на М и определяемого соотношением

(-1 Г-Чь^.Ф) =

где = д2п-2/(двп-1дГ1-'1)ф{з, ю) .

Важным классом обобщенных функций являются аналитические функции. В данной работе в качестве пространств обобщенных функций будут рассматриваться пространства целых функций многих переменных. В книге И.М. Гельфанда, М.И. Граева, Н. Я. Внленкина показано, что преобразование Радона целой функции -Р(г) (как обобщенной) может быть задано в виде и>) = |5|2"_2Я(в, ги), (я, ю) € С х Б2"'1 , где Я(в, ги) — целая функция комплексного переменного я . При этом дано только нестрогое доказательство

существования функции H(s, w) , но не описан характер зависимости функции H(s, w) от параметра w .

Пусть Н(С) — пространство целых в С" функций с топологией равномерной сходимости на компактах, то есть, топология в Н (С") задается с помощью системы полунорм:

||/(z)||p = max|/(*)|; р = 1,2,...

М<р

Введем в рассмотрение следующие функциональные пространства.

Через Нс(С х S2"-1) будем обозначать пространство функций f(s,w) , (s,w) £ С X S2n_1 , непрерывных по совокупности переменных и целых по s в С . Топологию в Лс(С х 52"-1) зададим с помощью счетного набора норм

||/||fc = max |/(e>«7)I; к = 1,2,...

HSjfc.lueS2"-1

Через Не» (С х S'2n_1) будем обозначать пространство функций вида f(s,w) = F(sw) , где F(z) € I/(Cn) . Топологию в ЯСп(С х 52n_1) зададим системой норм

||/||fc = max ,!/(*, «01; Л = 1,2,...

Введем также пространство |s|2n-2.ffc" (С х S2"-1) , элементами которого являются функции вида u(s,w) = |s|2n_2/(s, w) , где f(s,w) 6 Нс>(С X S2n_1) . Топологию введем с помощью счетного набора норм

||u||fc= max Mili^l = max |/(s, u>)|; к = 1, 2,...

На пространстве H(Cn) рассмотрим оператор Л , задаваемый формулой

t^w = ¿11 (¿>|:п*), (1)

j=l \i=l ' /

где I : Я(СП) —> Н(С") — тождественный оператор. На пространстве II(Сп) введем оператор 710 по следующему правилу:

S

{noF}(s,w) = (-1Г-Ч(Г;)!(^2)! /(s - t)n~2[AF}(tw)dt,

о

где bn — некоторая постоянная.

Теорема 1.2 Оператор Я0 : Я(СП) |«|2"-2Яс»(С х 52"-1) задает преобразование Радона функции F(z) из //(С") как обобщенной функции.

В § 1.2. выделен класс функций, в котором преобразование Радона целых функций определяется единственным образом:

Теорема 1.3 В классе функций |s|2n_2/ic" (<С х S2"-1) преобразование Радона функции F{z) из пространства Н (Сп) определяется единственным образом

В § 1.3. получена формула обращения для оператора Иа (теорема 1.4), дано полное описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций многих переменных. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.8 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространства Н(Сп) на пространство |s|2™-2.Hcn(C х S2"-1) .

В § 1.4. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций идуктивного типа.

Пусть Ф = {Vfcdzl)}^! — последовательность радиальных плюрисубгармо-ническнх функций в С" , неубывающая по к , то есть,

M\z\) < Vfc+i(M) VzeC".

Последовательность Ф представляет собой весовую последовательность индуктивного типа.

Для веса ipk,k = 1,2,... введем банахово пространство

ЖС-, Ы = {f(z) е Я(С») : „ли = sup ¿^L < со} .

DO

В векторном пространстве /(<С",Ф) = (J Е(Cn,<pk) введем топологию ин-

к= 1

дуктивного предела пространств E(<Cn,ipk) ■

В дальнейшем будем предполагать, что последовательность Ф удовлетворяет следующим условиям:

1) VfceNVa>03meN3C>0 такие, что

5flb(|z|)+aln(l + |z|) < ipm{)z)) + C-,

2) VisN3meN3C>0 такие, что

max Vfc(l(zi + z2 + ••■! z„ + An)|) < ipm(\z\) + C.

|Aj|<lj = l,2,...,n

Из последних условий следует, что /(СП,Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения па многочлен.

Через 7Cn(C х 52п-1,Ф) обозначим пространство функций f(s,w) из Не* (С х S2"-1) , удовлетворяющих для некоторого конечного к (зависящего от / ) равномерной по w 6 52"-1 оценке

\f(s,w)\ < C/exp(y>ft(|s|)),

где С/ — некоторое положительное число. Топологию в /с" (С х 52"-1, Ф) зададим как топологию индуктивного предела нормированных пространств

ECn(CxS2"-\tpk) =

— {f(s,w) 6 Яс»(С х S2"-1) : \\f\\k = sup Jff^L <

(s.iujecxs2"-1 exp(<^ft(|s|j)

Введем так же пространство |.s|2"-2/c„ (С х 52n_1, Ф) состоящее из функций

вида w(s, id) = |s|2n-2/(s, w), (s,w) 6 CxS2™"1 , где f(s,w) e /Сп (С x S2"-1, Ф)

Топологию в |s)2n_2/c"(C х 52n_1, Ф) зададим как топологию индуктивного

предела нормированных пространств

|s|2n-2.Ec»(C х S2"-1,^) =

- {«(в,«;) = |S|2"-2/(S,W) : f(s,w) € £с«(С х S2""1,^).

ни = sup J4£irm <

Основным результатом параграфа 1.4 является

Теорема 1.11 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространств /(С", Ф) и |s|2n-2/c«(C х 52"-1, Ф) .

В § 1.5. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций проективного типа.

Пусть Ф = {^fc(M)}EL 1 — последовательность радиальных плюрисубгармо-нических функций в С" , невозрастающая по к , то есть,

iMM) > v*ec\

Последовательность Ф представляет собой весовую последовательность проективного типа.

Для веса к — 1,2,... введем банахово пространство

= {f(z) € ЖС») : IIFIU = sup < оо}.

оо

В векторном пространстве Р(Сп, Ф) = f~) Е{Сп, -фц.) введем топологию про-

к=\

ективного предела пространств Е(<С'\ ф^) . Всюду далее будем предполагать, что последовательность Ф удовлетворяет следующим условиям:

1) Va>0Vm6N3fceN3Ci>0 такие, что всюду в С"

МИ) + aln(l + |z|) < фт{\г\) + С,;

2) VmeN3fceN3C2>0 такие, что всюду в С"

max Vb(|(zi + Ai,z2 + A2,...,zn + An)j) < ipm{\z\) +С2. |Aj|<1,j=1,2,-.»

Из этих условий следует, что V(C", Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения на многочлен.

ОС

Через Per (С х 52п-1,Ф) = П Ес»(С х обозначим весовое про-

fc=1

странство функций из Не "(С х 5"2"-1) с топологпей проективного предела нормированных пространств

= {/(в,го) 6 Нс-(С х 52п_1) : ||/||к = зпр

< оо}.

(з.иОеСхй2»-1 ехр(^(И))

Введем также пространство |5|2™ 27эс»(С х 52п ',Ф) функций вида |б|2п—ю) , где /(в, ад) € 7>с»(С х 52"-1,Ф). Топологию в |5|2«-2-рс„(С х , Ф) зададим как топологию проективного предела нор-

мированных пространств

Основным результатом параграфа 1.5 является

Теорема 1.14 Оператор 710 устанавливает топологический изоморфизм пространств Г{Сп, Ф) и |5|2п-2Рс„(С х 52""1, Ф)

Вторая глава посвящена примененню некоторых свойст дуального преобразования Радона и свойств преобразования Радона аналитических функционалов к вопросам полноты систем целых функций, представления целых функций рядами, а также к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

На пространстве С(С х 5'2п_1) , состоящем из функций, непрерывных на декартовом произведении С х Б2п~г , рассмотрим оператор

Этот оператор называется оператором дуального преобразования Радона.

В § 2.1. оператор дуального преобразования Радона IV применяется для конструктивного построения полных систем функций в пространстве Н(<С") по полным системам в пространстве //(С) .

Введем нормированное пространство Нз, состоящее из сужений на единичную сферу 52п_1 функций, аналитических в окрестности единичного шара В" сС",с нормой

|5|2"-2Есп(С х Б2п~\фк) = = {и(в,ш) = И2"-2/(3,™) : /(*,«) 6 ЕСп(С х Б2п-\фк),

< оо}.

52„-1

11<?М11 = шах [д(ю)\ = шах \д{-ш)\.

,,,СВП шР.Ч1»"1

№6 Вп

Следующая теорема дает конструктивный способ построения полных систем функций в пространстве Н(Сп) .

Теорема 2.1 Пусть система функций {/^(в)}^ полна в Н(С) , система {<?т(и>)}^=1 — полна в #52п-1 . Тогда система {'R■''{fq{s)gm{w))}^rrl=l полна в Н(Сп) .

Известно, что вопрос о полноте систем целых функций одного комплексного переменного во многих случаях сводится к теоремам единственности для аналитических функций. Так, например, если последовательность комплексных чисел Л*: сходится к некоторому числу Ао , то система функций еА*г полна во всей комплексной плоскости. Это вытекает из того, что целая функция экспоненциального типа, равная нулю на последовательности точек А*, А*, —> А0 (Е С , тождественно равна нулю. В многомерном случае последнее утверждение не верно, поскольку нулевое множество целой функции многих переменных не является дискретным, а представляяет собой некоторую поверхность. Таким образом, в вопросах полноты теорема 2.1 позволяет использовать одномерные эффекты в многомерном случае.

Возникает вопрос о виде полных системы функций в пространстве Н(С") , построенных по различным полным системам функций из //(С) и 1 . В

частности, если хотя бы одна из них представляет собой многочлен, то полученная система также является системой многочленов (теоремы 2.2 и 2.3). Но существуют и полные системы, построенные по теореме 2.1, отличные от систем многочленов. Пример полной системы функций, отличной от системы многочленов дает теорема 2.4.

Теоремы 2.5 и 2.6 являются аналогами теоремы 2.1 для весовых пространств индуктивного и проективного типа соответственно.

§ 2.2. посвящен распространению на многомерный случай результатов А.Ф. Леонтьева о разложении в ряды обобщенных экспонент произвольных целых функций одного комплексного переменного.

Фундаментальными трудами по теории рядов экспонент являются работы

А.Ф. Леонтьева. Вопрос о представлении функций рядами экспонент тесно связан также с теорией абсолютно представляющих систем и достаточных множеств. По указанному кругу вопросов следует отметить работы A.B. Абанина, Л.А. Айзенберга, В.П. Громова, Ю.Ф. Коробейника, В.В. Моржакова, В.В. Напалкова, А.Б. Секерина, и др.

оо

Пусть f{s) — akSk — целая функция порядка р, 0 < р < оо типа к=о

а ф 0, оо , причем а* ф 0 {к — 0,1,2,...) и существует

lim А^'УЫ = (vep)

Up

Пусть Ь(А) = ск^к — целая функция типа о\ ф 0,оо при уточненном по-

оо

рядке рг{г), р\(г) > р , = £ Ьквк — целая функция. Пусть А(Ь) — класс

к=0

целых функций ^(в) , для которых

у^i-1 (\bk-i\ , |„|1^-2| , , |„*-1,Ы

< OO, |/i| < оо.

Обозначим через B(L) класс целых функций F(s) , коэффициенты Ь^ которых таковы, что

-р— к1'г к/— {aepftP lim —-¡-г V 6)t < , Ч1/п ,

где функция г = tpi (t) — функция, обратная функции t = а

pi = lim Pi(r) . На функцию г = ipi(t) наложим условие

г—юа

tUp

—> оо, t —оо.

rPi(r) р _--оо, г оо.

Ы*)

Последнее условие означает, что

г/п(г)

ГР

В дальнейшем будем предполагать, что все нули = 1,2,... функции

Ь{А) простые, причем 0 < |А„| ^ оо . А.Ф. Леонтьевым в установлены следующие результаты:

Сопоставим функции F{s) ряд

сс

F(S)~5>„/(A„S), (2)

где

"" Ь'{Хи) '

и^, Р) = ¿с* + + ... + , ц б С.

Теорема 2.7 Для того чтобы ряд (2) сходился равномерно внутри плоскости к своей функции Р(в) ( какова бы ни была Р(в) € В(Ь)) , необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

Щ) /(А»а)

( сходимость равномерная внутри плоскости) ;

1

Ь'(Хк)

и существуют окружности |Л| = (¡к оо такие, что

2) lim т-V In

= оо, (3)

lim min ln|L(A)| = +oo. (4)

fc->oo qhk |a|=9t

Теорема 2.8 Пусть F(s) — целая функция. Имеется целая функция L(А) со свойствами (3) и (4) такая, что F{s) входит в класс B(L) .

Целью параграфа 2.2 является получение многомерного аналога теорем 2.7 и 2.8.

Пусть g(s, w) 6 Яс-(Сх52я-1) . Тогда из определения класса #o(CxS2"-1)

оо

вытекает, что она представляется в виде g(s,w) = Рк{'">)як где

к—О

Pk{w) — голоморфный многочлен, однородный степени к . Обозначим через ß(L,CxS2n_1) класс функций g(s,w) G /ic-fCxS2""1) , коэффициенты Pk(w) которых таковы, что

_ \А!Р ,--eos^-lp

lim J max Щ(«>)| < • (5)

На пространстве Н{С") рассмотрим оператор А , который задается формулой (1). Введем класс B^(L) целых функций многих переменных G(z) таких, что

HG](síB) = g(s,w) € B(L, С х S2n~l).

A.B. Секериным доказано, что верно G(z) — \JVg\{z) , где TV — оператор дуального преобразования Радона.

Пусть G(z) Е Вд{Ь) . Сопоставим функции g(s,w) = (ä, го) ряд

оо

g(s, го) ~ ^ a„(w)f(Ks), (6)

i/=i

где

аЛю) = L'{XV) ' (7)

ulík я^) = ±ск( ++...+¿-im.). (8)

^ V йк-\ а-к-г ао /

Тогда функции G(z) будет соответствовать ряд

оо .

/ a„{w)f{\„{z,w))da(w), (9)

Во введеных обозначениях справедливы теоремы Теорема 2.9 Пусть выполнены следующие условия:

1

lim тт—г- In к^оо |Ак|*>

= -оо, (10)

Ь'(Хк)

и существуют окружности |А| = qk t оо такие, что

lim -4 min ln|£(A)| = +оо. (И)

|A|=,t

Тогда ряд (6) сходится к функции g(s, w) равномерно на компактах из С х S2n_1 , и ряд (9) также сходится к функции G(z) равномерно на компактах из С" .

Теорема 2.10 Пусть G{z) <Е Я(С') . Найдется целая функция L{А) € Н(С) со свойствами (10) и (11) такая, что G(z) входит в класс Ba(L).

Следующая теорема является следствием теорем 2.9 и 2.10.

Терема 2.11 Любую функцию Р(г) £ Я (С) можно разложить во всем С" в ряд (9) при соответствующем выборе функции Ь(Х)

В § 2.3. введено определение преобразования Радона аналитических функционалов. Описан образ преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных.

Для пространства Л (Сп) целых в С" функций в стандартной топологии равномерной сходимости на компактах через Я'(Сп) будем обозначать пространство всех линейных непрерывных функционалов.

Назовем преобразованием Радона функционала /г € Я'(<С") линейный функционал, заданный на Яс(С х 52"-1) , и определяемый соотношением

(Пц,<р) = (ц,ТГ<р), (12)

где <р е Яс(С х Я2""1) .

Теорема 2.12 Функционал 7, задаваемый формулой (12), непрерывен в топологии //с(С х 52п_1) .

Через Н'с{<С х 5'2п_1) будем обозначать пространство линейных непрерывных функционалов на Лс (С х Б2"'1) .

Пусть Ксг7£* — ядро оператора IV , то есть,

КегТг* = {<р € Яс(С х 52"-1) : [7г>](г) = 0}.

Следующая теорема дает описание образа оператора : Я'(С") —Я^(Сх52п_1) .

Теорема 2.13 Яусгпъ / € Н'с{С х 52"-1) . Для того чтобы функционал / был преобразованием Радона Иу, некоторого функционала ц, 6 Я'(С") , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной функции ¡¿> £ Кег7£* было выполнено условие:

</,¥>> =0.

Описание ядра оператора 72* дает теорема 2.14.

Определяющим множеством функционала I € Н'с{С х S2"-1) называется такое компактное подмножество К в С х S2"-1 , что для любой окрестности w множества К существует такая постоянная Сы , что

|i(/)| < Сш sup |/(*,и>)|, V f(s,w) е Яс(С х S2""1).

ui

Следующая теорема является аналогом теоремы о носителе для преобразования Радона функций и распределений (см. работы Д. Людвига, С. Хелгасона, A.B. Секерина).

Теорема 2.15 Пусть ц е H'(Cn),Tlß € Я^СхЗ2"-1) — его преобразование Радона. Пусть К = {|s| < R} х S2"-1 — определяющее множество функционала TZß . Тогда К — {\z\ < /?} — определяющее множество функционала ц .

В § 2.4. рассматриваются применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки в классе целых функций многих переменных.

Важным мотивом для изучения преобразования Радона было его применение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Так, например, Д. Людвиг применял свои результаты при нахождении решения задачи Коши для гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных. В свою очередь его работа была стимулирована результатами Ф. Йона, П.Д. Лакса и P.C. Филлипса.

С. Хелгасон рассматривал дифференциальные уравнения вида

Du = /, (13)

где f(x) — заданная функция из пространства быстро убывающих функций на К" , D — некоторый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (13) сводилось им к решению уравнения

Dv = ~Т7

где fu = f((x,w),w) — плоская волна в направлении w , / — преобразование Радона функции / , другими словами, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной w . Плоская волна в направлении w является функцией одной переменной. Кроме того, если v — плоская волна в направлении w , то таковой же является и Dv . Тем самым уравнение (14) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Доказано, что если существует решение v уравнения (14) гладко зависящее от zu , то решение и уравнения (13) получатся из v при помощи формулы обращения для преобразования Радона.

В данном параграфе рассмотрена аналогичная задача для уравнений в классах аналитических функций, но в более общей постановке. Для класса целых функций многих комплексных переменных будем рассматривать уравнения свертки вида

(ß,f(z + t))=g(t), (15)

где g(t) £ II (Сп) — заданная функция, р — некоторый аналитический функционал, действующий по переменной z . Частными случаями уравнений свертки являются линейные дифференциальные уравнения с частными производными, линейные разностные и дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков, некоторые интегральные уравнения.

Уравнения свертки в комплексной области рассматривались в работах О.В. Епифанова, Ю.Ф. Коробейника, И.Ф. Красичкова-Терновского, A.C. Кри-вошеева, Б. Мальгранжа, А. Мартино, В.В. Моржакова, В.В. Напалкова, Л. Хер-мандера, JI. Эренпрайса, P.C. Юлмухаметова и др.

В диссертации показано, что вопрос о разрешимости уравнения (15) сводится к вопросу о разрешимости некоторого одномерного уравнения свертки. Вопрос о решении полученного уравнения в данной работе не ставится.

На пространстве /7с(С х S2n~1) рассмотрим оператор <5J(0), р Е N , который каждой функции f(s,w) € Яс(С х S2"-1) ставит в соответствие функцию

ф(ю) 6 С(Б271 по следующему правилу:

<1Р

а3 л=0

Здесь С(52п_1) — нормированное пространство, состоящее из всех функций \р(ю) непрерывных на сфере 52""1 с нормой

№ИН = №™|'„х_1

Далее на пространстве С(52п_1) рассмотрим функционал ад^ги^.-.ги^" , который каждой функции ф(и:) 6 С(52"-1) ставит в соответствие комплексное число

J ...и]^ ¿О {%!)).

52г.-1

Тогда функционал й],*' (0) 1 ..., заданный на Яс(Сх52"-1) , представляет собой композицию оператора ¿¡^'(О) и функционала ги*1 ги^2• • ■'ш*" • В лемме 2.6 показано, что «^'(О)^1^2...^" € Н'с(С х 52""1) . Самостоятельное значение имеет следующая теорема.

Теорема 2.16 Преобразование Радона 71^ функционала (1 6 Я'(С") представляется е виде

т=0 |*:|=т

где А: = (¿1, ..., к„) — мулътииндекс, = + к2 + ... + к,„ к\ = А^А^!...&„!, Ск1к2...кп = г11^22"-гп") > причем ряд сходится в сильной топологии пространства Н'с(С х 52п_1) .

На пространстве Яс(С х 52"-1) рассмотрим оператор V = А о 71* , где А : Я(С) -» ЯС"(С X 52"-1) задается по правилу: для F(z) € Я(С") полагаем [-4./^](я, из) = , а оператор А задается формулой (1). Назовем оператор

V : Яс(С х 52"~1) —> Яс»(С х 52"-1) оператором проектирования пространства Яс(С х 52п_1) на пространство Яс»(С х 52"-1) .

Пусть ц € Я'(СП) — некоторый аналитический функционал. На пространстве #с(С х 52п-1) рассмотрим оператор , который каждой функции и>) ставит в соответствие функцию

оо

(тг<1).[¥>(в,ш)] = £ Е ^(«,1«)), (16)

т=0 \к\=т

где ск1кг...кп = = к^-.кЛ .

Доказано (лемма 2.9), что оператор задает непрерывное отображение

пространства //с (С х 5'2"-1) в пространство С(5'2п~1) . Основным результатом параграфа 2.4 является

Теорема 2.17 Пусть д(г) 6 Н(Сп),р, € Я'(С"). Уравнение (15) разрешимо в классе функций /(г) 6 Н(Сп) тогда и только тогда, когда в классе функций Iр(з,ю) е IIС" (С X ¿>2п_1) разрешимо уравнение

+ (17)

где К= , а оператор Л определяется формулой (1) .

Как следует из теоремы 2.17, решения / и ¡р уравнений (15) и (17) существуют одновременно и связаны равенствами

/(г) = J <р{(г,и>),-ш)<1а(т), <р(з,ш) = [Л/](ей). (18)

я2»-'

Функция ¡р((г,1и),ги) представляет собой комплексную плоскую волну в направлении т , то есть, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной и) . Плоская волна в направлении т является функцией одного комплексного переменного.

Таким образом, любое решение уравнения (15) представляется в виде интеграла по сфере 52п_1 от плоской волны (18) , где ^(в, го) решение уравнения (17) (одномерного уравнения с параметром), непрерывно зависящее от ш € 52"-1 .

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору A.B. Секерину за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезное обсуждение результатов.

Список работ по теме диссертации

[1] Ломакин Д.Е. К вопросу о дуальном преобразовании Радона // Вестник науки: Сборник научных работ преподавателей и аспирантов физико-математического факультета ОГУ. Выпуск 2. — Орел, 2002. — С. 20-23.

[2] Ломакин Д.Е. О дуальном преобразовании Радона в комплексном пространстве // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. — Воронеж: ВГУ, 2003, - С. 143.

[3] Ломакин Д.Е. Преобразование Радона целых функций многих переменных / Орл. гос. ун-т. - Орел, 2003. - 24 с. Деп. в ВИНИТИ 07.07.2003 г., №1276-В2003.

[4] Ломакин Д.Е. Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных // Электронный журнал "Исследовано в России", 227, С. 2410-2432, 2004 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

[5] Ломакин Д.Е. Теорема единственности для преобразования Радона целых функций многих переменных // Современные методы теории краевых задач. Материалы конференции. — Воронеж: ВГУ, 2004, - С. 135.

[6] Ломакин Д.Е. Преобразование Радона в весовых пространствах целых функций многих комплексных переменных / Орл. гос. ун-т. — Орел, 2005. - 26 с. Деп. в ВИНИТИ 27.04.2005 г., №620-В2005.

Ломакин Д.Е. Свойства оператора преобразовании Радона в пространстве целых функций многих комплексных переменных // Современные мето-

ды теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. — Воронеж: ВГУ, 2005, - С. 145.

[8] Ломакин Д.Е. Оператор преобразования Радона целых функций многих комплексных переменных // Изв. вузов. Математика. — 2005. — №7, — С. 77-79.

[9] Секерин А.Б., Ломакин, Д.Е. Комплексное преобразование Радона распределений и функционалов // Владикавказский мат. журнал. 2005. Т7. Вып.З. С. 56-63.

[10] Ломакин Д.Е. Построение полных систем функций в пространстве Н(Сп) // Ученые записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. — Орел: ОГУ, Полиграфическая фирма "Картуш", 2006. Вып. 6. С. 91-102.

[11] Ломакин Д.Е. Применение оператора дуального преобразования Радона к вопросам полноты систем целых функций многих переменных и к вопросам разложения целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент / Орл. гос. уи-т. — Орел, 2006. — 25 с. Деп. в ВИНИТИ 29.06.2006 г., №871-В2006

[12] Секерин A.B., Ломакин, Д.Е. Применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки / Орл. гос. ун-т. — Орел, 2006. — 24 с. Деп. в ВИНИТИ 29.06.2006 г., №872-В2006

Ломакин Д.Е.

Преобразование Радона аналитических функций: Автореф.дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Ростов-на-Дону, 2006. — 24 с.

ОАО "Типография "Труд" г.Орел, ул.Ленина, д. 1. Сдано в набор 07.11.06. Подписано в печать 07.11.06. Формат 60 х 84/16. Объем 1 усл.п.л. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №7415.

Введение

1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных

1.1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных как регулярных обобщенных функций

1.2 Теорема единственности

1.3 Свойства оператора

1.4 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций индуктивного типа

1.5 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций проективного типа

2 Применение свойств преобразования Радона целых функций к некоторым вопросам многомерного комплексного анализа.

2.1 Построение полных систем функций в пространствах целых функций

2.2 Представление целых функций многих комплексных переменных рядами типа рядов обобщенных экспонент

2.3 Преобразование Радона аналитических функционалов

2.4 Применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Актуальность темы.

Преобразование Радона было введено И. Радоном в статье, опубликованной в 1917 году (см. [75]). Оно сопоставляет функции / на плоскости функцию / на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от / вдоль прямых. И. Радону удалось получить явную формулу обращения, выражающую функцию / через / . Аналоги этого преобразования, названного впоследствии преобразованием Радона, встречались и ранее, например, в работах Г.А. Лоренца, Г. Минковского и П. Фун-ка, однако именно в статье Радона была поставлена задача об изучении преобразований типа / —/ на различных пространствах и намечены меюды исследования таких преобразований.

Тем самым было положено начало новому направлению, часто ¡называемому интегральной геометрией, предмет которой состоит в изучении преобразований, сопоставляющих для данной функции / на многообразии X функцию / на некотором семействе X подмногообразий многообразия X , задаваемую интегралами от / вдоль подмногообразий этого семейства. Задачи указанного типа часто встречаю хся в различных областях математики (дифференциальные уравнения, математическая физика, теория представлений и т.д.), что в значительной степени стимулировало развитие этого направления.

Преобразование Радона нашло применение в рентгеновской диагностике, точнее в ее области — вычислительной томографии, а также в геофизике и радиоасчрономии.

Преобразование Радона является объектом исследования в течение достаточно длительного периода. Свойства преобразования Радона на пространствах распределений исследовались в работах И.М. Гель-фанда, М.М. Граева, Н.Я. Виленкина [5], С. Хелгасона [60],[61], А. Херт-ле [08],[69], Д. Людвига [72], А.Б. Секерина [76], [77], [89], и др. Следует огмепггь, чго, в огличие от действительного случая, комплексное преобразование Радона распределений мало изучено.

В данной работе изучаются свойства преобразования Радона распределений в комплексном пространстве, задаваемых регулярными функциями из пространств целых функций многих комплексных переменных.

Основные цели работы.

• Получение явного вида оператора, ставящего в соогвеютвие произвольной целой функции (как обобщенной) ее преобразование Радона.

• Выделение класса функций, в котором преобразование Радона целых функций определяестся единственным образом.

• Описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций Я (С") , а также весовых пространств целых функций индуктивного и проективного типов.

• Применение свойств преобразования Радона к вопросам полноты систем целых функций в различных пространствах целых функций многих переменных, к вопросу о разложении целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент.

• Описание образа преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных. Представление преобразования Радона аналитического функционала рядом из функционалов, сходящимся в сильной топологии пространства сопряженного к пространству всех целых функций. Применение преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Содержание диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Первая глава посвящена изучению свойств оператора преобразования Радона в пространствах целых функций.

В § 1.1. главы 1 приводится определение преобразования Радона аналитических функций, рассматриваемых как обобщенные функции.

Обозначения: - единичная сфера в С", (1а - элемент площади 52"-1.Для г,ги£Сп полагаем (г,ш)=Еггтг, йщп -элемент об ь-ема в С" . Через Т>(Сп) обозначается пространство бесконечно дифференцируемых финитных в С" функций. Для функции <р(г) Е Т>(Сп) через будем обозначать комплексное преобразование Радона

5], гл.2, §3, с.161). Так как ф{аз,а£) = 0>а 6 С\{°) (15Ь гл-2>

§3, с.102), то мы будем отождествлять функцию с ее сужением на С х 52"-1 , которое будем обозначать ф(з,т),т € 52"-1 .

Пусть ПТ> — векторное пространство, образованное комплексными преобразованиями Радона Ф(б, ги), функций <р{г) из £>(€") . Обозначим через М векторное пространство, образованное функциями вида д2п~2 где ф(з,ги) Е ВХ>. Рассмотрим векторное пространство Т>(С х 52п-1) , состоящее из функций непрерывных но совокупное!и переменных на С X 52"-1 , бесконечно дифференцируемых и финитных по е. Пусть ^ Е Т>'(Сп) — обобщенная функция. Преобразованием Радона обобщенной функции /-1 называется продолжение на Т>{С х 52"-1) линейного функционала, заданного на М и определяемого соотношением

-1 = 5 где il>(s,w) = d2n-2/{dsn~ldsn-l)(p(s,w) ([5], гл.2, §3, с.172).

Важным классом обобщенных функций являются аналитические функции. В данной работе в качестве пространств обобщенных функций будут рассматриваться пространства целых функций многих переменных. В [5, гл.2, §3, с. 179] показано, что преобразование Радона целой функции F(z) (как обобщенной) может быть задано в виде F(s, w) = |ô'|2"-2// (s, w), (s, ih) G С x S2"-1 , где H (s, w) — целая функция комплексного переменного s . При этом в [5] дано только нестрогое доказательство существования функции Я (s, ги), но не описан характер зависимости функции Я (s, w) от параметра w .

Пусть Я (С") — пространство целых в Сп функций с топологией равномерной сходимости на компактах, то есть, топология в Я (С") задает! с помощью системы полунорм: г)||р = тах|/(г)|; р= 1,2,.

М<?>

Введем в рассмотрение следующие функциональные пространства.

Через Яс(С x 52"-1) будем обозначать пространство функций f{s,w) , (s, iv) 6 С x S2"-1 , непрерывных но совокупности переменных и целых по s в С . Топологию в Нс{С x S2n~l) зададим с помощью счетного набора норм

Через Яс»(€ x 52"-1) будем обозначать пространство функций вида f(s, w) = F(stD) , где F{z) € Я(С'1) . Топологию в Яс-(С x S2'1"1) зададим системой норм ил=I .|/(s,u,)l; fc=1-2-

Введем также пространство |s|2"~2#c»«(C x S2"-1), элементами которого являются функции вида u(s,w) = |s|2"~2/(s,w) , где f(s,w) G с»(С х S'2'1 *). Топологию введем с помощью счетного набора норм u(s,w)\ птх . ., 9 = шах |/(.ç, м/)|; к = 1,2,.

На пространстве Я(С") рассмотрим оператор Л , задаваемый формулой wW'ififë^+j/W), (D j=i \1=1 / где / : Я (С") II (С") — тождественный оператор. На пространстве Я(С") введем оператор по следующему правилу: ч о где Ьп — некоторая постоянная.

Теорема 1.2 Оператор П0 : Я(С") |s|2"-2//c«(С х 52'1"1) ла-дает преобразование Радона функции F(z) ш Я(С") как обобщенной фупщии.

В § 1.2. выделен класс функций, в котором преобразование Радона целых функций определяйся единственным образом:

Теорема 1.3 В классе функций \s\2n~2Hc»{C х S2"-1) преобразование Радона функции F(z) из пространства Я (С") определяется единственным образом

В § 1.3. получена формула обращения для оператора 7£0 (теорема 1.4), дано полное описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций многих переменных. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.8 Оператор Т^о устанавливает топологический изоморфизм пространства Я(С") на пространство |.s|2,,-2#cn(C х S2n~l) .

В § 1.4. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций идуктивного типа.

Пусть Ф = — последовательность радиальных шпорисубгармонических функций в С" , неубывающая по к , то есть, ч>к(\А)<ч>ш(\А), V2 е

Согласно терминологии, используемой в [1], последовательность Ф представляет собой весовую последовательность индуктивного типа.

Следуя [1|, для веса = 1,2,. введем банахово пространство

Е{С\ук) = {ОД € Я (С") : И, = вир ^(г)| < оо} . со

В векторном пространстве /(С",Ф) = У введем топологию индуктивного предела пространств Е(Сп,<рь) .

В дальнейшем будем предполагать, что последовательность Ф удо-влепюряет следующим условиям:

1) V к £ N V а > 0 3 т £ N 3 С > 0 такие, что

2|) + а1п(1 + |г|) <у?т(И) + С;

2) V к £ N 3 т £ N 3 С > 0 такие, что шах (рк(\(г 1 + Аь г2 + А2,., гп + Ап)|) < (рт(\г\) + С.

Из последних условий слезет, что /(С", Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения на многочлен.

Через /с(С х 52"-1, Ф) обозначим пространство функций /(з,ш) из Яс» (С х 52'1"1) , удовлетворяющих для некоторого конечного к (зависящего от / ) равномерной ио и) £ 52'1-1 оценке

01 < Сг/ехр(^(к|)), 8 где С/ — некоюрое положительное число. Топологию в /с» (С х 52"1,Ф) зададим как топологию индуктивного предела нормированных пространств

ЕСп{£ х 52"-1,= {f(s, W) е Ясп(С х S2"-1) : Ц/Н, = Slip < оо}.

Введем так же пространство |s|2,,~2/c"(C X 52"-1,Ф) состоящее из функций вида u(s,w) = \s\2n~2f(s,w) , (s,w) £ CxS2"-1 , где f(s,w) € /Сп(Сх 52п"1,Ф)

Топологию в |s|2"~2/Cn(C X 52,11,Ф) зададим как топологию индуктивного предела нормированных пространств s|2n-2Ec»(Cx52"-1l^) = = {ii(s,w) = |.s|2n-2/(5>«;) : /(s,u/) G £Ь(С X 52?!"1,^),

Мк = sup '"7 < оо}. (viOeCxs2»-1 exP(mlsU)

Основным результатом параграфа 1.4 является

Теорема 1.11 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространств 7(С",Ф) и |s|2"-2/Cn(C х 52"-1, Ф).

В § 1.5. дано полное описание образов преобразования Радона весовых пространств целых функций проективного типа.

Пусть Ф = ~ последовательность радиальных плюрисубгармонических функций в С" , невозрастающая по к ,чо есть,

М\*\)>1>шШ V2GC".

Последовательность Ф представляет собой весовую последовательность проективного типа.

Для веса фк,к = 1,2,. введем банахово пространство

Я(С", ф,) = {ад 6 II(C"): IIFU = «Ф J^L < со} .

В векторном пространстве "Р(СП,Ф) = f) Е(Сп,фк) введем топок=i логшо проективного предела пространств Е(Сп, ф/„). Всюду далее будем предполагать, чю последовательность Ф удовлетворяет следующим условиям:

1) V а > О V т Е N 3 к G N 3 Сг > 0 такие, что всюду в Сп фк{\г\) + а\п(1 + \г\) < фт(\г\) + С,;

2) Vm€N3&eN3C2>0 такие, что всюду в С" max Фк{\{*1 + АЬ22 + Л2,2гп + Л„)|) < фт{\г\) + С2.

Из этих условий следует, что ^(С", Ф) замкнуто относительно дифференцирования и умножения на многочлен. ос

Через Ve»(С х 52'1"1, Ф) = f| ЕСп (С х 52n1, ф}) обозначим весовое к=i пространство функций из #с«(С х 52"-1) с топологией проективного предела нормированных прос транс тв

EZn{CxS2n-l^k) = U(S,W) е //с-(С х S2»"1) : 11/11, = sup Jf^íiL < оо}. s^ecxs2»-1 exp(V^(lAIJj

Введем также пространство \s\2n~2Vzn(C х 52"1,Ф) функций вида |s|2"2/(s, w) , где f(s,w) е VCn(C х S2""1^). Топологию в |.s|2'12Рс»((С х 52"-1,Ф) зададим как топологию проективного предела нормированных пространств s|2,!~2i?c»(C х S2"-1, V-vJ = {u(s,iu) = \s\2n-2f(s,W) : f(s,w) € ECn(С x S2""1,^), „ l/(s>^)l i Mk = sup i, n \w <

Основным результатом параграфа 1.5 является

Теорема 1.14 Оператор TZq устанавливает топологический изоморфизм пространств Р(С\Ф) и \s\2n-2VCn(Cx S2n~\y)

Вторая глава посвящена применению некоторых свойсг дуального преобразования Радона и свойств преобразования Радона аналитических функционалов к вопросам полноты систем целых функций, представления целых функций рядами, а также к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки.

Па иространс1ве С (С х 52'1-1), сосюящсм из функций, непрерывных на декартовом произведении С х S2"-1 , рассмотрим оператор

Я7К*)= / f((z,w),w)d<T(w).

S2"-1

Эюг оператор называется оператором дуального преобразования Радона.

В § 2.1. оператор дуального преобразования Радона TV применяется для конструктивного построения полных систем функций в пространстве Я (С") но полным системам в пространстве Я (С) .

Введем нормированное пространство Н$1п-\ , состоящее из сужений на единичную сферу 52"-1 функций, аналитических в окрестности единичного шара В'1 С С" , с нормой

HtfHIl = max \g(w)\ = max |<?И|. ■well"

Следующая теорема дает конструктивный способ построения полных систем функций в пространстве Я (С").

Теорема 2.1 Пусть система функций {/(/(s)}^i полна в Я (С) , система {gm{w)}m=i ~ полна в H&n-i . Тогда система {fcUMimH)}Sn=i полча в Я(С») .

Известно, »по вопрос о полноте систем целых функций одного комплексною переменного во многих случаях сводится к теоремам един-С1венноети для аналитических функций [33, с. 574-617]. Так, например, если последовательность комплексных чисел А/„ сходится к некоторому числу А0 , то система функций еХкг полна во всей комплексной плоскости. Эю вытекает из того, что целая функция экспоненциального типа, равная нулю на последовательности точек А/„,А/„ -> Ао € С, тождественно равна нулю. В многомерном случае последнее утверждение не верно, поскольку нулевое множество целой функции многих переменных не являйся дискретным, а представляяег собой некоторую поверхность. Таким образом, в вопросах полноты теорема 2.1 позволяет использовать одномерные -эффекты в многомерном случае.

Возникает вопрос о виде полных системы функций в пространстве Я (С1) , построенных по различным полным системам функций из Я (С) и Я52П-1 . В частности, если хотя бы одна из них представляет собой многочлен, то полученная система также является системой многочленов (теоремы 2.2 и 2.3). Но существуют и полные системы, построенные по теореме 2.1, отличные от систем многочленов. Пример полной системы функций, отличной от системы многочленов дает теорема 2.4.

Теоремы 2.5 и 2.0 являю 1ся аналогами теоремы 2.1 для весовых пространств индуктивного и проективного типа соотвеютвенно.

§ 2.2. посвящен распространению на многомерный случай результатов А.Ф. Леонтьева [27] о разложении в ряды обобщенных экспонент произвольных целых функций одного комплексного переменного.

Фундаментальными трудами по теории рядов экспонент являкнся работы А.Ф. Леонтьева [27],[28],[29]. Вопрос о представлении функций рядами экспонент тесно связан также с теорией абсолютно предствля

Ю1ЦИХ сип ем и достаточных множеств. По указанному кругу вопросов следует огмегигь работы А.Ф. Леонтьева [28],[27], Ю.Ф. Коробейника [12],[15],[16], В.В. Напалкова [42],[43], В.П. Громова [6], В.В. Моржакова [35], Л.А. Айзенберга [2], A.B. Секерина [53],[51],[54], A.B. Абанина [1] и др. ос

Пусть f(s) = ^ aibk — целая функция порядка р, 0 < р < оо типа а ф 0, оо , причем «д, ф 0 (к = 0,1,2,.) и существует lim к1/р{/\^\ = (аер)1'р. к~>0о

Пусть L(А) = ~ целая с])ункция типа crj ф 0, оо при уточненк~>0о

ОС к=0 ном порядке Pi{r), p\{r) > р , F(s) = bf„sk — целая функция. Пусть A(L) — класс целых функций F(s) , для коюрых

EklfH + W h-2\ . . I л. — 1,1¿'оI л ^ , . . 4- 1/Г [7—7 < 00, |//| < 00. lk-2\ |Ö()| Обозначим через B(L) класс целых функций F(s), коэффициенты ^ коюрых таковы, что т— к1/р КДГ1 (аер)1**1 lim—г—У М < т^— , где (функция г = (ßi(t) — функция, обратная функции t = rp^r\ а pi = lim pi(r) . На функцию г = (f\(t) наложим условие г-> ос

1//> —>оо, £ —> оо.

VI (О

Последнее условие означает, что rPl(r) грцп р --у qq —^ оо.

В дальнейшем будем предполагать, что все нули A,„i/ = 1,2,. функции L(A) простые, причем 0 < |А„| t 00 • А.Ф. Леонтьевым в [27, гл.2, §4] установлены следующие результаты:

Сопоставим функции F{s) ряд

00

F(b)~Y,Q"fM> (2) и=\

ГТ1,С мА„, F) а"~ V(K) '

ОС / .

Ил(/1; F) = ( ^ + . + , „ 6 С.

Теорема 2.7 [27, с. 204]. Для того чтобы ряд (2) сходился равномерно внутри плоскости к своей функции F (s) ( какова бы ни была F (s) Е , необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: од i(hs) ос

D/(A«) = £fr Л - An £'(А0 сходимость равномерная внутри плоскости ) ; 1

WT) и существуют окружности |А| = <7/„ "f оо такие, что

2) lim гJ-r ln oo, (3) 1 lim -= min ln |L(A)| = +oo. (4) л-»oo q'j |A|=%

Теорема 2.8 [27, с. 205]. Пусть F(s) — целая (функция. Имеется целая (функция Ь(А) со свойствами (3) и (4) такая, что F(ь) входит в класс В{Ь) .

Целью параграфа 2.2 является получение многомерного аналога теорем 2.7 и 2.8.

Пусть д(я, ш) е #с»(С х 52"-1). Тогда из определения класса IIсп (С х 52'1-1) вытекает, что она представляется в виде ш) =

ОС где Рк{ш) — голоморфный многочлен, однородный стек=о пени к . Обозначим через В(Ь, С х 52"-1) класс функций д(з, ги) € Яс"(€ х 52п1) , коэффициенты Р/Дм) которых таковы, что

Т— кЧР I-ГБТ^Т (аеРУ,П /сч lim —jjt и шах \Рк(ги </ . (5) h-íooip^k) V »"G52»-1 v л (o-^pi)1/^ w

На пространстве Н(Сп) рассмотрим оператор Л, который задается формулой (1). Введем класс Bj[(L) целых функций многих переменных G(z) таких, чю

AG]{sw) = g(s, w) е B(L, С х S2'1"1).

Согласно [52], верно G{z) = [1Z*g](z), где 1Z* — оператор дуального преобразования Радона.

Пусть G(z) € Ва{Ь) . Сопоставим функции g(s,iu) = [.4G](s, ш) ряд ос s, ш) z/=l где

W) = Щ К) ' (7) V flJL-l ак-2 «О /

Тогда функции будет соответствовать ряд оо «

1,= 152п-1

Во введеных обозначениях справедливы теоремы Теорема 2.9 Пусть выполнены следующие условия: 1 lim 7~т~ 1п к->ос IЛ л. | ^

Ь'М -оо, (10) и существуют окруэюности |А| = д^ | оо такие, что

П)

Тогда ряд (6) сходится к функции д(Б, ги) равномерно на компактах из Сх52п1 , и ряд (9) таксисе сходится к функции С(г) равномерно на компактах из С'1 .

Теорема 2.10 Пусть С(г) £ Н(Сп) . Найдется целая (функция ¿(А) €//(С) со свойствами (10) и (11) такая, что С{г) входит в класс Вд{Ь) .

Следующая теорема является следствием теорем 2.9 и 2.10.

Терема 2.11 Любую функцию Р(г) £ II (С") можно разлоэюить во всем Сп в ряд (9) при соответствуюгцем выборе функции Ь(А)

В § 2.3. введено определение преобразования Радона аналитических функционалов. Описан образ преобразования Радона сопряженного пространства к пространству всех целых функций многих переменных.

Для пространства Н(Сп) целых в С" функций в стандартной топологии равномерной сходимости на компактах через //'(€") будем обозначать пространство всех линейных непрерывных функционалов.

Назовем преобразованием Радона функционала р Е Н'(С") линейный функционал, заданный на Яс(С х 52"-1) , и определяемый соотношением

Теорема 2.12 Функционал Ир , задаваемый формулой (12), непрерывен в топологии IIс (С х 52"-1) .

Через //¿(С х 52"-1) будем обозначать пространство линейных непрерывных функционалов на Яс(С х 52'1"1). Так же как и для про

12) где <р е Яс(С х 52"-1). странства Я(С") , доказывается, что элементы пространства Н'с(С х 52"-1) могу г быть заданы комплексными мерами с компактным носителем, содержащимся в С х S2"-1 .

Пусть KevTl* — ядро операто1)а TV , то есть,

Ker7T = {ip е Яс(€ х S2'1-1) : [К*ф) = 0}.

Следующая теорема даег описание образа оператора К : Н'(Сп) -)• Н'с{С х S2"-1) .

Теорема 2.13 Пусть / е Н'с(С х 52"-1) . Для того чтобы функционал / был преобразованием Радона Иц некоторого функционала li Е Я'(С") , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной функции ip 6 Кег7£* было выполнено условие: = о.

Описание ядра оператора 7Z* дает теорема 2.14.

Определяющим множеством функционала / 6 Я^(С х S2n~l) [2G, с.227] называется такое компактное подмножество К в С х 52'1-1 , чю для любой окрестности ш множества К существует такая постоянная Cw , что < С>ф|/(5,«/)|, V f(s,w) е Яс(С х 52"-1). и>

Следующая теорема являе1ся аналогом теоремы о носителе для преобразования Радона функций и распределений (см. [72], [60], [76], [77]).

Теорема 2.15 Пусть ц Е H'{Cn),K,t Е II'C{£ х S2""1) - npeotf-разование Радона функционала ¡i. Пусть К = {|б| < R} X 52"-1 — определяющее множество функционала 1ZIL . Тогда К = [\z\ < R} — определяющее мноэюеетво (функционала ц .

В § 2.4. рассматриваются применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки в классе целых функций многих переменных.

Важным мотивом для изучения преобразования Радона было его применение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Так, например, Д. Людвиг [72] применял свои результаты при нахождении решения задачи Коши для гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных. В свою очередь работ [72] была стимулирована результатами Ф. Йона, П.Д. Лакса (см. [9]) и P.C. Фил-липса (см. [71]).

С. Хелгасон в монографии [60] рассматривал дифференциальные уравнения вида

Du = /, (13) где f(x) — заданная функция из пространства быстро убывающих функций на К" , D — некоторый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (13) сводилось им к решению уравнения

Dv = /ы, (14) где fu = f((x,w),w) — плоская волна в направлении w, / —преобразование Радона функции / . Другими словами функция fu постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной w . Плоская волна в направлении w является функцией одной переменной. Кроме того, если V — плоская волна в направлении w , то таковой же является и Dv . Тем самым уравнение (14) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с посюянными коэффициентами. В [60] доказано, что если существует решение v уравнения (14), гладко зависящее от w , то решение и уравнения (13) получатся из v при помощи формулы обращения для преобразования Радона.

В данном параграфе рассмотрена аналогичная задача для уравнении в классах аналитических функций, но в более общей постановке. Для класса целых функций многих комплексных переменных будем рассматривать уравнения свертки вида ftj(z + t))=g(t), где (j{t) 6 Я (С") — заданная функция, р — некоторый аналитический функционал, действующий по переменной z . Частными случаями уравнений свертки являются линейные дифференциальные уравнения с частными производными, линейные разностные и дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами как конечною, так и бесконечного порядков, некоторые интегральные уравнения (см. [44]). В настоящей paöoie показано, что вопрос о разрешимости данного уравнения сводится к вопросу о разрешимости некоторого одномерного уравнения свертки. Вопрос о решении полученного уравнения в данной работе не ставится.

Уравнения свертки в комплексной области рассматривались в работах Б. Мальгранжа [73], JI. Эренпрайса [65],[67], А. Мартино [74], J1. Хермандера [70], И.Ф. Красичкова-Терновского [18],[19],[20], Ю.Ф. Коробейника [13],[14],[17], В.В. Напалкова [44], О.В. Епифанова [7], В.В. Моржакова [36],[37], A.C. Кривошеева [21],[22],[23], P.C. Юлму-хаметова [64] и др.

На пространстве Яс(€х52'г1) рассмотрим оператор #,'(0), р € N , который каждой функции f{s,w) е Яс(С х S2"'1) ставит в cooibct-ciBiie функцию ip(w) по следующему правилу: dp

ФН= ТТ^Д5'™) • аь 4=0

Пус1ь С(52"-1) — нормированное пространспю, состоящее из всех функций непрерывных на сфере 52" 1 с нормой шах \ф(и))\.

Из лемм 1.4 и 1.5 (глава 1) следует, »по ф(ги) £ С(52"-1) .

Далее на пространстве С(52"-1) рассмофим функционал И)\11022~-1и1\п , который каждой функции £ С(52"-1) ставит в соответствие комплексное число j \1)(1и)и)\1и)22.Ли};1пс1(т(1и).

52П-1

Тогда функционал 6^(0)ю'{Чи'2 .ли^п , заданный на //с(С х 52п1), предствляег собой композицию оператора ¿['''(О) и функционала 1у{1ш£2.ш£п . В лемме 2.0 показано, что ¿1*''(О)ш^1 ги\2.и^1 £ Н'с(С х 52"-1).

Самостоятельное значение имеет следующая теорема. Теорема 2.16 Преобразование Радона 71ц функционала ц £ Я'(С") представляется в виде ос = Е Е^п^р^1^2---^1, ш=0 |/,|=т б)е А: = (А*1 Д'2, •••Д») — мультииндекс, |/с| = к\ + к2 + . + = к\\к2\.кп\, С)А}2 1п = (ц,х\1212 , причем ряд стадится в сильной топологии пространства Н'с(С х б"2"-1) .

Па пространстве Яс(€х52"-1) рассмотрим опера юр Р = А°К* , где Л : Я(С,г) ЯС"(С х 52"-1) задается по правилу: для € Я (С") полагаем [Л^]^, ш) = , а оператор А задается формулой (1). Назовем оператор V : Яс(С х 52""1) -» Яс,.(С х 52"-1) оператором проектирования пространства Яс(Сх52,!1) на пространство

Яс»(С х 52"-1) .

Пусть /I £ //'(С") — некоторый аналитический функционал. Па пространстве Яс(С х 52"-1) рассмотрим оператор (7£/4),, который каждой функции <р(з,т) ставит в соответствие функцию ос тг„),и.,,и,)] = Е Е ¥>(«,»)>, (15)

7/1=0 \Ц=т где сИк2 кп = = к{\к2\.кп\.

Доказано (лемма 2.9), что оператор (7^),, задает непрерывное отображение пространства #с(С х 52'1-1) в пространство С(52"-1) . Рассмотрим в пространстве Я(С") уравнение свертки *)) = <#), (10) где /,д £ Я(С"), а /I некоторый аналитический функционал, действующий но переменной 2 .

Основным результатом данного параграфа являе1сн Теорема 2.17 Уравнение (10) разрешимо в классе функций /(г) Е Я(С") тогда и только тогда, когда в классе (функций ги) £ Яс»(С X 52п1) разрешимо уравнение

Т1((К11)а,1р(з + \,1и)}} = к(\,1п), (17) где Л(.9, ш) = [.Дд](бчш) ; (¿>(з, ш) = [Л/](йй)) , оператор Л определяется формулой (1) .

Как следует из теоремы 2.17, решения / и <р уравнений (10) и (17) существуют одновременно и связаны равенством I <р({г,и>),ю)<1а(и>). (18)

52н-1

Функция (р((г,ги},ги) представляет собой комплексную плоскую волну в направлении т , то есть, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной ш . Плоская волна в направлении ш являйся функцией одного комплексного неременного.

Таким образом, любое решение уравнения (16) предетвляеюя в виде шпеграла но сфере 52"-1 от плоской волны (18) , где (p(s,w) решение уравнения (17) (одномерного уравнения с параметром), непрерывно зависящее от w £ S2n~l .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [81]—[92].

Совместные работы [89],[92] с научным руководителем Секериным A.B. содержат результант параграфов 2.3 и 2.4 главы 2. В [89] результаты о преобразовании Радона аналитических функционалов принадлежат Ломакину Д.Е., а Секерину A.B. — результаты о представлении функций разностью логарифмических потенциалов (не связанные с темой данной диссертации), а также определение преобразования Радона аналитического функционала. В [92] Секериным A.B. сделаны постановки основных задач и определены методы исследования, а автором доказательств основных результатов является Ломакин Д.Е.

Материалы неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета (руководитель — проф. Секерин A.B.), на научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа Орловского государственного университета (руководитель — проф. Громов В.П.), на Воронежской зимней математической школе (2003, 2005 гг.), на Воронежской весенней математической школе (2004 г.), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (руководитель — проф. Коробейник Ю.Ф., проф. Абанин A.B.)

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору A.B. Секерину за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезное обсуждение результатов.

1. Айзенберг Л. А., Юржаков А.П. Интегральные предеывления и вычеьы в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Паука, 1979. 368 С.

2. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных неременных. М.: Наука, 1964. — 412 С.

3. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физико-матемашческая литера1ура, 2000. — 400 С.

4. Гельфанд U.M., Граев М.И., Виленкин И.51. Обобщенные функции, вып. 5. Ишегральная геоме1рия и связанные с ней вопросы теории предегавленнй. — М.: Физматгнз, 1962. — 656 С., ил.

5. Громов В.П. О предегавлении целых функций двух комплексных переменных функциональными рядами типа рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т.ЗЗ. ДМ. С. 163-173.

6. Епифанов О.В. Об эпиморфизме сверпш в выпуклых облас1ях // Докл. АН СССР, 1974, 217, .VI, С 18-19.

7. Посида К. Функциональный анализ. М.: Мир,1967. — 624 С.

8. Ион Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частыми производными. М. ИЛ, 1958. 158 С.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. — AI.: Физматгиз, 1959.

10. Колмогоров А.П., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 С.

11. Коробейник Ю.Ф. Индукшвные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие сисюмы // Изв. АН СССР. 1986. - Т. 50. .V3. - С. 539-565.

12. Коробейник Ю.Ф. О некоторых приложениях нетривиальных разложений нуля в теории операторов сверши // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. .Y>6. С. 1324-1328.

13. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб., 1968, 75(117), .V2, С.225-234.

14. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т.42 Л"®2. С. 325-355.

15. Коробейник Ю.Ф. Предетвляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т.36. -V°l. С. 73-126.

16. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолкмно представляющим системам. Приложения к опера юрам свертки // Матем. сб. 1991. Т.182. .V5. С.661-680.

17. Красичков-Терновский П.Ф. Инвариашные иодиросмранспт ана-лишческих (функций. I. Спектральный сип юз на выпуклых обла-С1ях // Maюм. сб. 1972. Т.87. ЛМ. С. 459-489.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные поднросч ранет ва аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т.88. ЛМ. С. 3-30.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные нодпросгране п?а аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т.88. .V3. С. 331-352.

20. Кривошеев A.C., Напалков В.В. Комплексный анализ и уравнения свертки // Успехи матем. наук. 1992. Т.47. Л"6. С. 3-5G.

21. Кривошеев A.C. Регулярноеib pocia сис1емы функций и сисюмы неоднородных уравнений сверши в выпуклых областях комплексной обласш // Изв. РАН Сер. Матем. 2000. Т.64. .V5. C.G9-132.

22. Кривошеев A.C. Кршерии разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. АН СССР Сер. матем. 1990. Т. 54. .V3. С.480-500.

23. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. — М.: Высшая школа, 1988. — 576 С., с ил.

24. Левин Б.Я. Распределение корней целых (функций. М : Госгехиздат, 1956. 632 С.

25. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989. 348 С.

26. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. — 320 С.

27. Леошьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1981. 384 С.

28. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1970. 536 С.

29. Леонтьев А. Ф. Целые (функции. Ряды экспонент — М.: Паука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 176 С.

30. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. — М.: Наука, 1976.

31. Маркушевич А.И. О базисе в пространствах аналитических функций // Матем. сб. 17, 2. 1945.

32. Маркушевич А.II. Теория аналитических функций. Т.2 — М.: Наука, 1975.

33. Мерзляков С.Г. О возмущении линейных операторов в пространствах голоморфных функций // Матем. сб., 1995. Т.186 ЛХЗ, С. 103130

34. Моржаков В.В. Абсолютно представляющие сисюмы экспонент в пространстве аналитических функций многих переменных // Деп. в ВИНИТИ №245-81. Ростов-на-Дону, 1981. 31 С.

35. Моржаков В.В. Об уравнениях свертки в просгранпвах функций, голоморфных в Енлнуклых областях и на выпукл глх компактах в С" // Матем. заметки, 1974, 16, .УЗ, С.431-440

36. Моржаков В.В. Об эпиморфизме оператора свертки в выпуклых областях в С" // Матем. сб. 1987. Т. 132. Л«3. С.252-370

37. Мусин ИХ Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций. Авюреферат дисс. . докт. физ.-маг. наук. Уфа, 2001.

38. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространс1ве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб. 2000. Т.191, №10. С.57-86.

39. Мусин И.Х. Теорема Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАИ. Сер. матем. 2000. Т.64, .V6. С. 181-204.

40. Мусин И.Х. Сюръекшвность линейного дифференциального оператора в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. заметки 2002. Т.71(5). С.713-724.

41. Напалков В.В., Секерин Л.Б. Слабо достаточные множсчлва и представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле // Докл. АН СССР. 1982. T.2G0. .V3. С.535-539.

42. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функции // Докл. АН СССР. 1982. - Т.264, ЛЧ. - С 827830.

43. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространсшах.- М.: Паука, 1982.

44. Привалов И.II. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. шк., 1999. 432 С.

45. Привалов II.И. Субгармонические функции. М.: Госюхиздат, 1937.- 200 С.

46. Роберт сон А. Роберюон В. Топологические векюрные пространства. М.: Мир, 1967. 258 С.

47. Ронкпн JI.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 С.

48. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 С.

49. Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: Высшая школа, 1999.- 368 С.

50. Секерин A.B. О представлении аналитических функций многих переменных рядами экспонент // Известия РАН, сер. матем. — 1992.- Т.56, .V3. С.538-565.

51. Секерин A.B. Представление бесконечно дифференцируемых функций разностью шиорисубгармонических // Матем. заметки. 1986. Т.40, Л"°5. С. 598-607.

52. Секерин A.B. Представление функций кратными рядами экспонент. Дис. . канд. физ.-маг наук. У (фа. 1982.

53. Секерин A.B. Применения преобразования Радона в теории аппроксимации / ВИЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991. 192 С.

54. Секерин A.B. Применения преобразования Радона к аинроксимаци-ониым задачам многомерного комплексного анализа. Дис. . докт. физ.-мат. наук / Уфа, 1992.

55. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 С.

56. Стейн И. Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974. — 412 С.

57. Фихюнгольц Г.М. Курс дифференциального и интегральною исчисления. Т.1. М.: Физматгиз, 1962. - 607 С., с ил.

58. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. 304 С.6165