Обобщенные гиперсингулярные интегралы и обращение обобщенных потенциалов Рисса в эллиптическом и неэллиптическом случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

9 7 'Ми

ь'Н

Ростовский ордена Трудового Красного Зиамеж! государственный университет

Специализированный совет К 063.52.13 Р 3 I' " по физико-математическим наукам

На правах рукописи

ЛИИСУЛТАНОВА Эсмирл Покуевпл ОБОБЩЕНННЫЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ,

I

И ОБРАЩЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ РИССА В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ И НЕЭПНШТИЧЕСКОМ СЛУЧАЯХ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание уче1гой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-ня-Доку 1993

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор С.Г. САМКО, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. НОГИН

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор

Симоненко И.Б.

- кандидат физико-математических наук, доцент

Якубов А.Я.

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится 18 января 1994 г. в _ час на заседании специализированного Совета К 063.52.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 15 декабря 1993 г.

Секретарь специализированного

Совета К 063.52.13, доцент

/В.Д.Кряквин/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы — исследование сходимости гиперсингулярных интегралов (ГСИ)

г (¿¡f)U)

(П%/)(х) = j - * n+c, net) at, Tte а > о.

<1)

гдо

, 1 (А1/)(х) = —

f(x-knt) 1 kn ... k

/(x-k^t) 1 ..

1-1

f(X-kjt) 1 kj ...

-1

= YJGj fV-bjt) <2>

— обобщенная разность функции f(x) порядка I с шагом t, в рамках пространств типа риссовых потенциалов; применение ГСИ (1) и аппроксимативных операторов (АО) специального вида к обращению интегралов типа потенциала в эллиптическом и неэллиптическом случаях.

Актуальность теш. Впервые ГСИ Юа/ с постоянной характеристикой (риссовы производные) в рамках пространств бесселевых потенциалов были исследованы Е. Стейном при О < d < 2 и П.И. Лизор-киным ;— для любого ос > О (в более общей ситуации, включающей анизотропный случай). В теории ГСИ важным является вопрос о сходимости. Этот вопрос в рамках пространств Ьраг. совпадающих с пространствами бессолевых потенциалов при г = р и пространствами риссовых потенциалов при г = np/(n - dip), был рассмотрен С.Г. Самко, В.А. Ногиным, Г.П. Емгушевой, Б.С. Рубиным. В работах упомянутых авторов рассматривались ГСИ с различными характеристиками в основном вещественного порядка и "обычными" (центрированными или нецентрированными) разностями.

ГСИ нашли применение при обращении операторов типа потенциала в работах С.Г. Самко, С.М. Умархадаиева, В.А. Ногина, Б.С. Рубина, Г.С. Костецкой, И.А. Кувшинниковой, М.М. Заволженского.

1

В диссертации изучаются вопросы сходимости ГСП комплексного порядка с обобщенными разностями в рамках пространств 1раг, йе с« > 0. Дается приложение таких ГСИ к обращению обобщенных потенциалов Рисса (ОПР) комплексного порядка с ./^-плотностями в эллиптическом случае. Кроме того, аппроксимативным методом, развитым в работах В.А. Ногина и М.М. Заволженского в эллиптическом случае, строится обращение некоторых ОПР в не э ллиггшчо с ком и исключительном случаях.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, интерполяционная техника, мультипликаторы, аналитическое продолжение интегралов по параметру. Широко используются обобщенные функции, в особенности, над классом $>0 П.И. Лизоркина.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) дал широкого класса характеристик доказана сходимость по Хр-норме и почти всюду ГСИ (1) на функциях из

2) с помощью ГСИ (1) построено обращение ОПР комплексного порядка с 1^-плотностями и гладкими характеристиками в эллиптическом случае;

3) в рамках пространств 1>р"г исследовано влияние характеристики О на сходимость ГСИ (1);

4) в эллиптическом случае доказана сходимость ГСИ и АО при априорном предположении / € Ъг\

5) построено (в замкнутой форме) фундаментальное решение ГС оператора с гладкой характеристикой в эллиптическом случае и решена близкая задача восстановления характеристики ОПР по заданному его символу;

6) в рамках аппроксимативного метода построено обращение операторов типа потенциала с линейной и квадратичной характеристиками, а также ОПР с некоторыми осциллирующими характеристиками; дано описание образов указанных потенциалов в терминах обращающих конструкций. ■■

Перечисленные результаты новы; они могут быть попользованы в теории интегральных уравнений, в прикладных задачах, приводящих к

многомерным интегральным уравнениям первого рода, в теории вложений классов дифференцируемых функция, в теории дробных степеней дифференциальных операторов.

Апробация работы. Вэзультаты диссертации докладывались на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара), на VI конференции математиков Беларуси (г.' Гродно) и многократно — на научном семинаре С.Г. Сэмко "Линейные операторы в функциональных пространствах" (г. Ростов-на-Дону).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[11], список которых приводится в конце реферата. Работы [1J-C2], [4]-[6], [8]-[11] выполнены совместно с В.А. Ногиным, [3] — совместно с В.А. Ногиным и М.М. Заволженским. Их результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (13 параграфов). Объем работы — 170 страниц машинописного текста; в списке литературы 91 название.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой глаш рассматриваются вопросы сходимости ГСИ (1) комплексного порядка с обобщенными разностями на функциях из L а и дается их приложение к обращению операторов типа потенциала 'с

L -плотностями, р

51 носит вспомогательный характер. В нем собраны используемые в дальнейшем сведения и утверждения.

В §2 на функциях из Lar исследуется сходимость ГСИ (1), понимаемых следующим образом:

'V г (älf)(x)

П£/ = Um и (t) ü(t)dt, Re ы > О, I > Re d, (3)

x+O J Iii"

Rn '

где {u£(t)} — равномерно ограниченное семейство функций, обращающихся в нуль в некоторой окрестности начала координат и таких.

что lim u£(t) = 1 для почти всех t ç Rn. Доказана сходимость по

с-*0

Хр-норме интегралов (7) в предположении, что

а г Г п п 1

sup б' -я- dt < 00, 0 < Р < min Redi, -, -, 1 . (4)

6>o J \t\n+ß г р J

|t|>Ö

Условию (4) удовлетворяют, например, характеристики fl(t), ограниченные в нуле и на бесконечности: |í3(t)| ^ с при |í| < т) и |í| > > iV и суммируемые в слое т] < |t| < N.

В §3 рассматриваются ГСИ (3), в которых u (t) = % (t)

Rn\Ge

(XG(í> — характеристическая функция множества G), где íGr} — произвольное семейство открытых областей, содержащих начало координат и удовлетворяющих условию

mes (Gc П Я) —♦ О при е —» 0 (5)

для любого компакта Я с fin. Подучены Хр-оце«ки для максимального оператора

<ю£/)<;г) = sup |dDgiC/)U)|,

где

C./XJ>S J ,*пих "<t)dt. (б)

Rn\Ge

и на основе этих оценок доказана сходимость ГСИ (7) на функциях из Lp°r почти всюду.

При этом характеристика fl(î) подчинена несколько более сильному, по сравнению с (4), условию

00

п г ln(ta)l « 1

цл(а> = sup CT -î-r dt € Xg(Sn 1),

P <5>0 J IÍI1 P

6

f (fieo£)2 111 f 2 2 ") 1 1

0 < ß < min { -, -, — S = max •{ -, — [,- + — = 1.

I 2 P P' J I p p' J P ; P'

Заметим, что Г.П. Емгушевой и В.Л. Ногиным в рамках прост-

ранств I вещественного порядка с£ > 0 йылэ доказана сходимость интегралов <б) с "обычными" разностями по Ьр-норме и почти всюду. Эти результаты являются частным случаем полученных в диссертации.

Интерес, проявляемый нами к вопросам сходимости ГСИ (1), вызван, в первую очередь, приложениями этих интегралов к обращению операторов

Г

(КГср = -- ф(П (3£, О < Яе сС < п, (Т)

пп 1

с гладкими характеристиками и плотностями фЦ) € Т, в эллиптическом случае. Ранее В.Л. Ногиным и М.М. Ззволженским при Ее оС £ 1, 2, ... был построен обратный оператор к потенциалу (7) с характеристикой класса

Л" = Лп(Дп\{0)) =

0(t>eC"(fin4{0}> : I (i^9)(i)|a/|t|, Uisnj

= J ITr^ K{t) dt' 1 > Re

на достаточно "хороших" гладких функциях (ф £ i>Q) в виде ГСИ

<л]Л<г> jTp

л™

с обобщенной разностью и некоторой ограниченной характеристикой A.a(t). На основе проведенного в §2, 3 исследования сходимости ГСИ этот результат в распространяется на потенциалы (Т) с I -плотностями.

Теорема 4.2. Пусть 0 < Re oi < n, Tie d 1 1, 2, ..., Q(t) e ( Л", n > n + 2 l!e d и выполнено условие эллиптичности

in/ I иГ ' <8>

£eRn\m>

где — символ 0ПР (7). Тогда

(ID" оQp)(z) = <p(x). ф ei, 1 « p < n//teo£,

a ^

если ГСИ (D^ / трактовать в смысле (3), или как предел почти всюду

a

интегралов (б).

В §5 в рамках доказаны сходимость по I -норме и почти

всюду ГСИ с однородными характеристиками, суммируемыми на единичной сфере, конструкции которых не содержат конечных разностей (в смысле главного значения):

г П(Г) Г П<Г)

О = -f(x-t)dt = llm -— f(x-t)dt.

Rn |t|>c

При этом предполагается, что сферические моменты характеристики Í1

до порядка [Re cí] равны нулю.

Во второй главе рассматриваются ГСИ (3) и аппроксимативные

операторы (АО) ввдэ

(L ) _с. -

Л"/ = Ии Í КГ М£) е С |í) f(x-t) dt (9)

£->0 J Rn

с характеристиками Q(í) и k(t) e Am. Заметим, что АО вида (9) нашли применение ири обращении ОПР (7) в эллиптическом случае.

В фб исследуется вопрос: когда сходимость ГСИ (3) с характеристикой fi(t) на функциях / í влечет сходимость ГСИ с постоянной характеристикой. Полученные результаты формулируются в терминах обобщенных пространств

П^г = { Т J £ № <LP }'

/ е Ьг, е Ър 1 < р < ю, 1 $ г < «>, Ее ы. > 0.

Приведено достаточно общее условие совпадения пространств 01 °г и в терминах р-мультипликаторов в эллиптическом случае, когда

1пГ ПС!"0 Е£Ц)| 0. (10)

где

= J L°je dt - (11>

Rn J=0 |£|

— символ ГСИ (3). Основным результатом §6 является

Теорема 6.4, Пусть Re d > Ó, 1 < р, г < <», n(t) е Лт, т =

шаг(0, [п/2] + 1 - ос ), где ос

'[/?е (¿1, /?е сМ, 2, ... Яе ы - 1, /?ес*= 1 , 2, ... выполнено условие эллиптичности (10). Тогда

и

пЪ = Ъа . (12)

Доказательство (12) основано на исследовании дифференциальных свойств символа (11). Точнео, в диссертации показано, что

ж

е Лт+а . если (1 с Л", я = О, 1, ... Кроме того, показано, что равенство (12) в эллиптическом случае справедливо также для характеристик, стабилизирующихся в нуле и на бесконечности, как гельдеровские функции (ранее этот результат был получен С.Г. Сам-ко для ГСП вещественного порядка с "обычными" разностями другим методом).

ГСИ (3) и ДО (9) со специально подобранными характеристиками сходятся одновременно на образе потенциала, который они обращают. В §7 диссертации вопрос о сходимости этих интегралов рассматривается в априорной постановке. Пусть длл / е Хг сходится по Б -норме ГСИ (3) с некоторой характеристикой П класса Лт. Будет ли тогда существовать предел (9) для произвольной функции А.Ц) е Л™. Наоборот, пусть сходятся интегралы / с I. , А. е Лт. Будет ли тогда сходиться ГСИ (3) с произвольной характеристикой е

Лот? Даются положительные ответы на эти вопросы в эллиптическом случае при выполнении условия (10) и соотношения

1я/ |М?>| И О. ггеЛп\{0>

В третьей главе диссертации строится (в замкнутой форме) фундаментальное решение ГС оператора (1) с характеристикой П класса Лт в эллиптическом случае. Строится функция £ (£) такая, что

?„)(з:) = 5(1), (13)

где 0(1) — дельта-функция, сосредоточенная в начале координат. В рассматриваемом нами случае равенство (13) равносильно равенству

8аЮ = 1/

где преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций.

В §8 фундаментальное решение ГС оператора О е Лт, при выполнении условия (10) и п - 1 < Не с( < « строится в виде

п-г 1

| г р п-а-| „ ~ . '-Сур

= утр^ \ \ Р (гу 1/г£]<*'.р/1М> е ар,

-1 о

где (ЗМ/Г^), (I',р/\1\) —взвешенные средние функции 1/0^(£)

= и!-0 Е^Ш). Дчя 0 < 1?е ы < п решение еаИ) получается с помощью осуществляемого интегрированием по частям аналитического продолжения по х* интегралов в правой части.

Ранее фундаментальное решение ГС оператора с однородными характеристиками было построено в работах С.Г. Сзмко, В.А. Ногина, С.Г. Костецкой, С.М. Умэрхэдаиепа. Классы характеристик, рассмотренные этими авторами (где рассматривались ГСП вещественного порядка с "обычными" разностями >, вложены в Л"1 при соответствующем выборе т. Заметим, что применявшийся в указанных работах метод построения фундаментального решения не применим к ГСй (1) с характеристиками класса кт. В §8 развивается новый метод, основанный на аналитическом продолжении интегралов (равномерно сходящихся) по параметру с(. Исследован также вопрос о гладкости фундаментального решения.

В §9 доказано равенство

Г <Ак,><*>

<юп В«) IX) = 0(ОЛ = 0, х е /?п\(0},

й* Щ

фактически являющееся интерпретацией соотношения (13).

В §10 решается близкая к построению фундаментального решения задача восстановления характеристики ОПР (7) по заданному его символу А^Ц). в предположении, что Ц[а е Лп.

В четвертой главе строится обращение некоторых ОПР вида (7) в неэллиптическом и исключительном случаях с помощью ГСИ (3) и АО (9).

В §11 рассматривается задача обращения потенциалов af

г а 1

К"'« = - ф(x-í) dt, О < Re d < п, ф е L , (14)

а J р

tí'

QZ

с символами = с ^ ст4-1, вырождающимися на гиперплоскости.

Ранее этот неэллиптический случай был рассмотрен С.Г. Самко, который построил обращение потенциалов (14) в виде

(mt?s) (7Jp)

(KC1)"V = lim lim (IX.01)-1 /, a JJ->m e-»o a T.N

где

i i n £ (-1 ^(J/d-a^t)

Г Ka l"1 / = с f dij Г ^P---;--dt.

L ° K.v J J J J |t|n+a+1

O |í|>6

Более общая ситуация, когда символ ОПР (7) линейно вырождается на гиперплоскости:

= —|еГ*1 ' Аа'} * J(í') е (15>

была исследована В.Л.Ногиным.

В §11 показано, что обратный к (14) оператор в рамках можно реализовать в виде:

00 7

г г (Л;/)Ла:-ау)

(IXе*) / = 2im Ilm с \ E'sydu —5-;— dt,

£->0 6-уО J J

О |t|>6

где пределы понимаются по L -норме или почти всюду. Кроме того, в терминах обратного оператора дается описание образа потенциала (14). Приведенные утверждения переносятся затем и на потенциалы с символами (15).

В §12 в рамках L -пространств строится обращение ОПР (7), хараотеристика которых является сужением на единичную сферу квадратичной формы

/(*Д> = £ аи 6 Я1.

В образах Фурье имеем

Р<Ы) -

где Р(£,€) — квадратичная форма, коэффициенты которой явно выражаются через aiJ. В случае знакопеременной формы Р(£,|) применяется аппроксимативный подход, в рамках которого обращение строится в виде

а * 'V 1 а+2 (Ю V = Ил гы-------5-е •/, (16)

л-о с+0 Р(£,£)-Пг:г|£\г+1сг

где предел по I, -норме можно заменить тага© пределом почти всюду. Ядра сверток из (16) выписываются явно через специальные функции. Дается также описание образа в терминах обратного операто-

ра.

В §12 рассмотрена также эллиптическая ситуация, когда ^ 0 либо РЦ,£) ^ 0. Обращение здесь строится в виде

Г 0£ ] V = Пт Ит ъ - п£*2Л (17)

' е-»0 ¿>->0

где Ь£(£) = 1/(РЦ,£>+ег) (пределы в (17) понимаются по -норме или почти всюду).

В работах С.Г.Сзмко, С.М.Умзрхадаиевз, В.Л.Ногина, М.М.За-волженского была построена теория обращения ОПР (4) с радиальными характеристиками, включающая некоторые потенциалы с осциллирующими характеристиками. Однако эта теория не охватывает простоя модельный случай, в котором 6(|1|) = у е Я1\{0). Этот случай рассмотрен в $13.

При О < ы < 2 либо при п - 3 $ ы < п обращение потенциалов

c^y\tI

О» = -=-5<Р(®-«)(И (18)

Я"

с X -плотностями построено в виде

((K")"V)U) = lim —-5-5—g-s*/ (19)

(предел понимается но норме весового Ьр-прострзнства с весом

(1 + |х| или почти всюду). Символ Х^(|£|г) потенциала (18) выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса. Заметим, что наличие осцилляции в характеристике потенциала 9уф проявляется в том, что символ |I|2) или его производные могут обращаться в бесконечность (для некоторых d) при |f| = |'f|, что вносит в задачу обращения дополнительные трудности.

Указанные ограничения на о£ в обращающей конструкции (19) связаны с тем, что при остальных d (0 < с* < п) не удалось выяснить вопрос о нулях функции (При 0 < и < 2 или л-3 ^ о£<

< п установлено, что *у(|£|2) не имеет пулей.) Заметим, однако,

что если имеет пули в комплексной плоскости и эти нули

известны, то схему обращения, примененную здесь к ОПР (18), можно модифицировать и построить обращение при любом е<, 0 < d < п.

В §13 даетсп также описание образа к"(Ьр) в терминах обратного оператора.

Автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям профессору.С.Г.Самко и доценту В.А.Ногину за постановку задач и постоянное внимание к работе. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обращение обобщенных риссо-вых потенциалов с символами, линейно внрождаютютися на гиперплоскости // Рук. деп. в ВИНИТИ 30.05.91, Я 2271-В91. 14 с.

2. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обращение некоторых потенциалов Рисса с однородными характеристиками // Рук. деп. в ВИНИТИ 20.08.91, № 352U-B91. 25 с.

3. Алисултанова Э.Д., Заволженский М.М., Ногин В.А. Обращение потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками // Рук. деп. в ВИ1ШТИ 20.01.92, № 191-В92. 23 с.

4. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обращение некоторых потенциалов Рисса с однородными характеристиками // Междун. научная конф. "Дифф. и штегр. уравнения. Мэтем. физика и специальные

функции". Самара, 1992. С. 17.

5. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обобщенные гиперсингулярные интегралы и их приложение к обращению операторов типа ■ потенциала // Рук. деп. в ВИНИТИ 21.07.92, М 2386-В92. 65 с.

6. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обобщенные ггаврсингулярные интегралы и их приложение к обращению операторов типа потенциала // VI конференция математиков Беларуси. Гродно,1992. С. 76.

7. Алисултанова Э.Д. О фундаментальном решении обобщенного гиперсингулярного оператора // Рук. деп. в ВИНИТИ 18.12.92, № 3582-В92. 35 с.

8. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обращение и описание обобщенных потенциалов Рисса с квадратичными характеристиками // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. 1993. № 2. С. 3-11.

9. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Обобщенные гиперсингулярные интегралы и их приложение к обращению операторов типа потенциала // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. 1993. Мб. С. 65-68.

10. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. О сходимости гиперсингулярных интегралов и аппроксимативных операторов // Рук. деп. в ВИНИТИ 3.3.93, № 531-В93.

11. Алисултанова Э.Д., Ногин В.А. Гиперсингулярные интегралы в смысле главного значения // Рук. деп. в ВИНИТИ 21.07.93, N 2056-В93. 23 с.