Непрерывные и компактные вложения весовых пространств Соболева на анизотропно нерегулярных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет)

На правах рукописи УДК 517.518.23

Трушин Борис Викторович

НЕПРЕРЫВНЫЕ И КОМПАКТНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ

ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА НА АНИЗОТРОПНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2008

ООЗДББ163

003456163

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор О.В. Бесов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.А. Калябин,

кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Скориков.

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН.

Защита диссертации состоится 23 декабря 2008 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495~.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан

ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию непрерывности и компактности вложения весовых пространств Соболева на нерегулярных областях. При этом характер вырождения рассматриваемых областей не является изотропным.

Теория вложения пространств дифференцируемых функций многих действительных переменных сложилась как новое направление математики в 30-е годы прошлого века благодаря работам С.Л.Соболева1,2'3. Эта теория изучает связи дифференциальных свойств функций в различных метриках. Кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории функций, она имеет также различные применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

В 60-е годы в ряде статей В.Г. Мазьи4'5'б'7 были получены необходимые и достаточные, а также более простые достаточные условия справедливости некоторых теорем вложения пространств Соболева Wp(G). Он установил также необходимые и достаточные условия вложения для ряда модельных "плохих" областей, в частности, для одиночного внешнего пика. Однако, в общем случае проверить, удовлетворяет ли область всем необходимым условиям, довольно трудно.

С.Л.Соболев установил свои теоремы вложения с помощью интегральных представлений функций через их производные. Этот метод получил затем развитие в работах В.П.Ильина8. Позднее О.В. Бесовым построены интегральные представления по гибкому рогу. Метод интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой

1 Соболев С.Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // Докл. АН СССР. 1936. Т. I. С. 267-270.

2 Соболев C.J1. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т. 4, №3. С. 471—497.

3 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Нзд-во ЛГУ, 1950; 2-е изд. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962; 3-е изд. М.: Наука, 1988.

* Мазъя В.Г. Классы областей и теоремы вложения функциональных пространств // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133, №3. С. 527-530.

5Мазъя В.Г. р-проводимость и теоремы вложения некоторых функциональных пространств в пространство С // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, №2. С. 299-302.

6 Мазъя В.Г. Об отрицательном спектре многомерного оператора Шредингера // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, №4. С. 721-722.

7Мазъя В.Г. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами // Снб. мат. о-ва. 1968. Т. 2. С.

8 Весов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975; 2-е изд. М.: Наука, 1996.

1322-1350.

функции в точках ограниченного конуса (или рога) с вершиной в точке х. Тем самым создается возможность для изучения функциональных пространств функций, заданных на открытом множестве достаточно общего вида (области, звездной относительно шара, открытого множества с условием конуса, с условием A-рога, с а-условием Джона и т.п.).

В 1980 г. Ю.Г. Решетняк9'10 перенес результат С.Л. Соболева на области с условием Джона, а в 1983 г. О.В. Бесов — на области с условием гибкого конуса с соболевским предельным показателем.

В определенном смысле класс областей с условием гибкого конуса — самый

широкий класс областей, для которого верна теорема вложения с соболевким

предельным показателем. В 1995 г. Бакли и Коскела11 показали, что если Get2

— ограниченная односвязная область и пространство W¿(G) вложено в L 2Р (G)

' 2—р

при некотором р €Е [1,2), то область G удовлетворяет условию Джона.

В 90-х годах теорема вложения С.Л. Соболева обобщалась на, весовые пространств Соболева в работах Чуа12, Хурри-Сюрьянен13,14, Килпелайнена и Малы и др. В 1990 г. Смит и Стегенга15 при q = р, в 1998 г. Хайлаш и Косксла1С при q сколь угодно близком к максимально возможному, в 2000 г. Килпелайнен и Малы17 для максимально возможного q установили неравенство Соболева-Пуанкаре для областей с сг-условием Джона при s = 1.

Еще из результатов В.Г. Мазьи 60-х годов стало очевидным, что величина предельного показателя в теоремах вложения при фиксированных показателях pus существенно зависят от геометрических особенностей области. В 1997 г. Д.А. Лабутин18 установил вложение е максимальным показателем q, отличным от предельного показателя Соболева, при s S N для областей с условием непрерывно гибкого (т-конуса. В 1999 г. при s = 1 он распространил этот результат на

9Решетняк Ю.Г. Интегральные представления функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21, №6. С. 108-116.

10Голъдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

11 Buckley S., Koskela P. Sopolcv-Poincaré implies John // Math. Reserch Letters. 1995. V. 2. P. 577-594.

12Cima S.K. Weighted Sobolev inequalities on domains satisfying the chain condition // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 117. P. 449-457.

"Hurri R. The weighted Poincsré inequalities // Math. Scand. 1990. V. 67. P. 145-160.

14Hurri-Syrjarien R. An improved Poincaré inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 120. P. 213-232.

15Smüh. W., Stegenga D.A. Holder domains and Poincaré domains // Trans. Amor. Math. Soc. 1990. V. 319. P. 67-100.

u,Hajlash P., Koskdn. P. Isopcrimetric inequalities and imbedding theorems in irregular domains // J. London Math. Soc. (2). 1998. V. 58, №185. P. 425-450.

17Kilpe.läinen T., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Z. Anal. Anwendungen. 2000. V. 19, №2. С. 369-380.

18Лабутин Д.А. Интегральное подставление функций и вложение пространства Соболева на областях с нулевыми углами // Мат. заметки. 1997. Т. 61, №2. С. 201-219.

гельдеровы области19. В 2001 г. О.В. Бссов установил теорему вложения Соболева с максимальным показателем q при s € N для областей с условием гибкого сг-конуса.

В 2001 г. Лабутин21 показал, что в невесовом случае предельный показатель в этой теореме не может быть увеличен.

В 1945 г. В.И. Кондратов22 при р > 1, а в 1958 г. Гальярдо23 при р = 1 доказали, что вложения пространства Соболева в пространство Лебега компактно при допредельном показателе д, для ограниченной области с регулярной границей. Ранее, в 1930 г., Реллихом24 был рассмотрен случай р = q. В.Г. Мазья25 установил необходимые и достаточные условия компактности вложения при s = 1 для области G с нерегулярной границей, формулируемые в терминах емкостных и изопсриметрических неравенств. В случае s ^ 2, последовательным применением теоремы, установленной для s = 1, им получены достаточные условия компактности вложения. В 2001 г. О.В. Бесов26 доказал теорему о компактности вложения в случае ограниченной области с условием гибкого сг-конуса и почти степенными весами.

Цель работы

Цель работы состоит в том, чтобы

1. построить теорию непрерывности и компактности весового вложения пространства Соболева в пространство Лебега на новом классе областей, степенное вырождение которых может зависеть от направления;

2. исследовать вопрос о неулучшаемости полученных результатов.

Методика исследования

В диссертационной работе получены и использованы новые интегральные представления и оценки функций через старшие производные, оценки сильного и слабого типов для линейных интегральных операторов, интегральные неравенства, а также классические методы анализа.

19Лабутин Д. А. Вложение пространства Соболева на гельдеровых областях // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. С. 17(1-179.

20Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сборник. 2001. Т. 192, №3. С. 3-2G.

21 Лабутин Д. А. Неулучшаемость неравенства Соболева для класса нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 218-222.

22Кондратов В.И. О некоторых свойствах функций из пространства ££ // Докл. АН СССР. 1945. Т. 48, №8. С. 563-565.

2zGagliardo Е. Proprietà di al с une classi di funzioni in più variabili // Rie. Mat. 1958. V. 7. P. 102-137.

2iRellich F. Ein Satz über mittlere Konvergenz // Nachr. Akad. Wiss. Cöttingen. 1930. S. 30-35.

25Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

26Бесов О-В. О компактности вложений весовых пространств Соболева на области с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 72-93.

Основные результаты. Научная новизна

1. В работе введен новый класс областей — области с А-анизотронным условием гибкого сг-конуса — который, по сути, является детализацией класса областей с условием гибкого сг-конуса. Однако, эта детализация позволяет существенно усилить известные ранее результаты о непрерывности и компактности весового вложения пространства Соболева в пространство Лебега.

2. Для введенного класса областей построена теория весовых вложений пространств Соболева в пространства Лебега и в пространство непрерывных функций со степенными весами.

3. Установлены достаточные условия компактности изученных вложений в случае почти степенных весов.

4. В невесовом случае при 5=1 доказано, что вложение пространства Соболева в пространство Лебега невозможно ни при каких параметрах суммируемости, если область имеет "нулевые углы" более чем степенного порядка вырождения.

5. Для всех полученных результатов доказана их неулучшаемость на рассматриваемом классе областей.

Новизна результатов заключается в возможности отслеживать зависимость параметров суммируемости и гладкости, достаточных для вложения исследуемых пространств от анизотропных геометрических особенностей вырождения границы области. Для этого понадобилось разработать новую технику поточечной оценки функций через старшие производные, а также оценки сильного и слабого типов интегральных операторов для функций заданных на некотором классе анизотропно нерегулярных областей.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты работы имеют теоретические значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории вложения пространств функций многих переменных, могут иметь различные применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация результатов

В 2003 г. получена медаль Российской Академии Наук за лучшую студенческую работу по математике. Результаты работы были доложены на:

1. XLV научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" [7] (Долгопрудный, 2002 г., ноябрь)

2. Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной 100-летию академика С.М. Никольского [8] (Москва, 2005 г., май)

3. XLVIII научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" [9] (Долгопрудный, 2005 г., ноябрь)

4. семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института, под руководством проф. A.A. Шананина (Долгопрудный, 2006 г., декабрь)

5. семинаре отдела теории функций Математического института им. В. А. Стек-лова РАН, иод руководством академика С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д.Кудрявцева (Москва, 2007 г., май)

6. Международной конференции "Теория функций и вычислительные методы", посвященной 60-летию проф. Н. Темиргалиева [10] (Боровое, Казахстан, 2007 г., июнь)

7. семинаре института математики университета им. Ф. Шиллера, под руководством проф. X. Трибеля (Йена, Германия, 2007 г., июль)

8. Международной конференции "Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения", посвященной 60-летию проф. Р. Ойнарова (Астана, Казахстан, 2007 г., сентябрь)

9. семинаре факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института, под руководством проф. A.A. Шананина (Долгопрудный, 2008 г., март)

10. Международной конференции "Function Spaces and Applications" (Фрайбург-на-Упштруте, Германия, 2008 г., июль)

11. Международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения академика С.Л. Соболева [11] (Новосибирск, 2008 г., октябрь)

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из них 6 статей в научных журналах и 5 тезисов докладов на научных конференциях.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из пяти глав и списка литературы из 55 наименований. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

Содержание работы

Глава 1. Введение

В первой главе обсуждается краткая история исследуемого вопроса, а также даются следующие основные определения и обозначения.

п

А=(АьА2.....А„) £ (0, оо)", |А| = У>, A0=mmAi.

¿=1

При [А| = n, d > 0 А-кубом А-диаметра d будем называть открытый параллелепипед вида

Qx (х, d)=x+ (-dXl, dXi) х (~dx\ dX2) х ... х (~dK, dK), А-длиной вектора х 6 К" будем называть величину

|ж(л = max\xi\Ti = inf {d : х £ Qa(0, d)} .

i

При x € О положим

px(x) ~ min < 1, inf \x - y\x

L y€«"\G

Определим еще два специальных класса параллелепипедов Qx (х, d,k)=x + kQx (0, d) =

= х+ (~kdx,,kdxi) х ... х (-kdK, kdx"), к e (0, со), Q (x,r) = Q (x, {rf}?=J) = x + (-rbri) x ... x (~r„,r„). Обозначим

Gj = {ieG: dist (x,Wl\G) > 5} ф 0,

где dist (x,Mn\G) = inf{|a; — y\ : у G K"\G} — евклидово расстояние от точки х € G до границы области G, 6 > 0 достаточно мало.

Пусть хе, Хг Х>. ('>d)> ~ характеристические функции соответственно измеримого множества Е, интервала (0,1) и А-куба Qx (0, d).

Через и, v, w будем обозначать неотрицательные локально суммируемые весовые функции. Для измеримого множества Е и весовой функции w определим

\E\W — J w(x) dx.

EnG

= 1.

Через р' обозначают показатель, сопряженный показателю р, то есть

1 1 Р $

В работе изучается весовое пространство Соболева Иопределяемое, как совокупность функций с конечной нормой

||/1^,»;г,и(С)|| = £ \\ОаПЬ^(С)\\ + \и\Ьг^)\\

\|а|=, /

при некотором 6 > 0. При этом будем обозначать

\У" = И7" , ЦТ" =Х¥в1 1

Вводится новый класс областей с А-анизотропным условием гибкого ст-конуса, а также еще один, более общий класс областей, и доказаны некоторые связи между ними.

Определение 1. Пусть область С? С М",

сг > 1, 0<Г<1, яг>0, А = (0, оо)", |А| = о, Ао > а~х.

Пусть для каждой точки х £ О существует кусочно гладкий путь

7:[0,Г]-»С, 7(0)=х, дЛ(7(0>^а)сС,

Ы*)

dt

< x-1Pa(7(î))A'~Ao Для п. в. t (Е [0, t*].

Тогда будем говорить, что область G является областью с \-анизотропньш условием гибкого а-конуса.

Глава 2. Вспомогательные утверждения

Основными результатами второй главы являются интегральная оценка функции через старшие производные и некоторые оценки для ядер линейных интегральных операторов.

Лемма 1. Пусть область G с К",

£G(0,1), R > 0, С>1, А е (0,00)", |А| = п,

7 : [0, tx] -+ G — кусочно гладкий путь, г : [0, tx\ —> (0, оо) — непрерывная кусочно гладкая функция со свойствами

О < r(t) ^ epx(l(t)), (Г(*)Х°)' для п. в. t € [0, tx], r{tx)^e2,

7(0) = x, Px(l(tx)) tx < R, |Y(i)| < С для п. в. te [О, tx],

Тогда

|/ (х)| < С А: ( X] \Daf\ ) (х) + СА2 ( £ \Daf\ ] (х) + CA3f (х), \Ы—s / \М=« )

где

г(0)л°

Агд(х) = г(0Г(1"Л») J Í8"1-" J g(y)dydt,

0 y€Qx(z,r(0)MO)~Xo)

A2g(x) = j{t + r(0)x")s-1r(trn J g(y)dydt, о

Asf(x)= J \f(y)\dy,

yeQMt),r(t))

усЯхЫЪМи)) где С не зависит от /, х.

Рассмотрим оператор

КЦх) = ] Ь{х,у)Ну)йу, гей, а

где измеримое множество б С К", к : С х б —> К — измеримая неотрицательная функция.

Введем при I ^ р < д < оо, х е Е С в, у еЖп, d > 0

Ы?, У) = ХА (х - у, d) к(х, у), к(х, у, d) = ( 1 - ха (х - у, d)) к(х, у),

\р,у,ч,и>;х = Б11р к(х, ■^)у(-)~р\Ьр'{0)\\ |<5д {хЛ)\Ъ, <¡>0 11 11

Ip,v;q,w,E — sup |||k|||pit,;9iTO;x. хеЕ

Лемма 2. Для интегрального оператора К с ядром к существует постоянная С > 0 такая, что при любых d > 0, Е С G, / 6 LPtV(G)

sup^eE1: \Kf(x)\ > 7?}|i ^

r/>0

^c ((---) ' |||M|U+|||k||U|4sup|QA(,.d)kM Il/|^(G)|| •

\ \P <7/ x£E /

Глава 3. Вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций

В третьей главе устанавливаются весовые теоремы вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций для областей с А-анизотропным условием гибкого сг-конуса, а также некоторые их обобщения.

Теорема 1. Пустъ G — область с условием Х-апизотротюго гибкого а-ко-пуса, а^Ао — п, 6^0, и выполнены условия

1 < р < q < оо, 1 ^ г ^ g, s е N, s_n + n>Q s_a{n + a-X()) + 1 + n + b^o Р Я Р >о<7

Пусть, более того, одно из неравенств (1) строгое.

Тогда имеет место вложение W£v.r(G) С Lq w(G) и справедлива оценка

\\f\LqiW(G)\\ < С ( £ \\Da f\Lp,v(G)\\ + \\f\Lr(Gs)\\ ) , \H=« /

при w = p\, v = рд и некоторых С, 5 > 0, не зависящих от /.

Теорема 2. Пусть G — область с условием Х-аиизотропного гибкого сг-ко-иуса, а ^ Ац — п, Ь ^ 0, и выполнены условия

71

1 < р < оо, 1 < г < оо, s-->0, seN,

V

а(п + а - А0) + 1 s--

а(п + а - А0) + 1 Ъ

s---Ь — > Ü,

Р А0

Тогда имеет место неравенство

\\wf\C{G)\\ < С £ \\Daf\LPt,,(G)\\ + \\f\LT(Gs)\\ \l«l=s /

при w = /Од, г; = рд и некоторых С, 6 > 0, не зависящих от /.

Глава 4. Компактность вложения пространства Соболева в пространство Лебега

В четвертой главе обсуждается вопрос о компактности весового вложения пространства Соболева в пространство Лебега. Из результатов пятой главы следует, что нельзя гарантировать компактность вложения без усиления (по сравнению с условиями теоремы вложения) требований на весовые функции. В связи с этим доказаны два утверждения. Первое из которых говорит о том, что компактность вложения можно гарантировать при некоторой небольшой поправке на весовые функции. А второе гарантирует компактность вложение, в некотором ослабленном смысле, без каких-либо усиленных требований на вес. В качестве весовых функций будем рассматривать

где а ^ Хо — п, Ь ^ 0. Функции ¡р, ф положительные, непрерывные, неубывающие на (0,1],

¥>(0М0) = 0 (2)

и удовлетворяют при некоторых с'1', с'2' ^ 1 условиям

(3)

Теорема 3. Пусть С — ограниченная область с условием Х-анизотропного гибкого сг-копуса, а ^ До — п, Ъ ^ О,

ы(х)=рх(х)ьф(рх(х)),

и выполнены условия (2), (3),

I<P<<7<00, в е М,

р я р Ход

Тогда вложение \У£ЩГ(С) С Ьч;ш(0) компактно.

Теорема 4. Пусть (7 — ограниченная область с условием Х-анизотропного гибкого а-конуса, а ^ До — п, Ь ^ О,

1<P<<7<00, вбК,

п п ст(п + а-А0)+ 1п + 6

5---1- - > 0, в----—---Ь —-> О,

V Ч Р До?

12

v{x) = P\{x)a, w(x) = Px{x)b,

Wa{x) = ф(рх{х))"1ю{х), Q > 0,

где функция ф — положительная, непрерывная, неубывающая на (0,1],

т=о, т < сф

при некотором с ^ 1.

Тогда из любой ограниченной в W£v.r{G) последовательности {Д} можно выделить подпоследовательность сходящуюся во всех пространствах

Lq,Wn{G), а > О

к некоторой функции / £ Lq<w(G) такой, что

\\f\Lq,w{G)\\ < П^ ||MLiilB(G)||.

К—>0С

Глава 5. Неулучшаемость теорем вложения

В пятой главе устанавливаются некоторые необходимые условия вложения.

Определение 2. Пусть G С К" — открытое множество, х 6 8G. Пусть существует прямоугольная система координат с началом в точке х, координаты точек в которой будем обозначать £ = ... ,£п). Обозначим

il(t) = U е G : 6 = ¿}

сечение множества G (п—1)-мерной гиперплоскостью, перпендикулярной первой координатной оси. Пусть существует Т > 0 такое, что

S(t) = |fi(i)!(„_!) < оо при 0 < t < Т,

lim S{t) = 0, ¿-0+0 '

где — (п — 1)-мерная мера Лебега множества Е.

Тогда будем говорить, что х — точка вырождения множества G.

Определение 3. Пусть х — точка вырождения множества G. Для каждого £ € (0,1) при t 6 (0, Т) определим

Se{t) =

П

те[(1-е)М]

se(t) =

(п-1)

U

T6[(l-e)t,t]

(п-1)

где

проекция множества Г2(т) на координатную гиперплоскость = 0.

Будем говорить, что х — регулярная точка вырождения множества G, если найдется е Е (0,1) такое, что

г—>0+0 ¿>е (г)

Определение 4. Пусть х — точка вырождения множества G. Будем говорить, что х — точка монотонного вырождения множества G, если для всех t\ и ¿2, таких что 0 < t\ < < Т

С iü(t2).

Определение 5. Пусть х — точка вырождения множества G. Будем говорить, что х — точка а-вырождения множества G при некотором а > 0, если найдется е 6 (0,1) такое, что

т— 5е (0

lim . > 0. ¡^о+о f("- ч"

Теорема 5. Пусть G С К" — открытое множество и при некоторых

I ^ р < q ^ оо, s € N, <5 > 0

имеет место вложение WpT(G) с Lq(G) и при некотором С > 0 справедлива оценка

\\f\Lq(G)\\ ^ С ( £ \\Daf\Lp(G)\\ + \\f\Lr(Gs)\\ \H=s

Пусть на dG существует регулярная точка х вырождения множества G.

Тогда х является точкой а-вырождения множества G при

с а{п - 1) + 1 | а(п - 1) + 1 Q р q

Рассмотрим открытые множества, имеющие точку монотонного вырождения. При этом будем полагать, что существует гладкая функция ц> такая, что S(t) х <p(t) при малых t, т.е. существуют С\, Сг > 0 такие, что

СМ*) ^ S(t) ^ C2<p(t), и будем говорить, что множество (р-монотонно относительно этой точки.

Теорема 6. Пусть G С К" — открытое <р-монотонное множество относительно некоторой точки. Пусть функция >р выпукла вниз и при каждом £ € (0,1) и достаточно малых t > 0

<p'(t) < CMt)l~£

при некоторых Се > 0.

Тогда ни при каких 1 < р < д < оо, 1 < г < д вложение \У};Г(С) С ЬЧ(С) не может иметь места.

Также в пятой главе рассматривается применение всех доказанных теорем для области вида анизотропного пика. А также устанавливается теорема, доказывающая неулучшаемость основных теорем о непрерывности и компактности вложения.

Теорема 7. Пусть область (3 € К":

С = {.г: 0<хп<1, \х,\<хап\ \х2\ < хап\ .... |х„_,| < х^"1},

«1 ^ «2 > ■ • • ^ «п-1 > 1-

ТогЛг при

1<р<(7<оо, 1 < г < Й £ N

вложение \¥£Г(С) С ЬЧ{С) имеет место тогда и только тогда, когда

1 + ах + а2 + ... + оп-1 , 1 + ац + а2 + ■ ■ ■ + ап~ 1 . „

5---1--^ О

V Я

и компактно, когда

1 + сп + а2 + ... + ап-1 1+а>1 + а2 + ... + а„_1

5---1--> 0;

Р 1

при

1 < р < 00, 1 ^ Г < 00, йбМ вложение IV*г(<3) С С(С7) имеет место тогда и только тогда, когда

1 + с*1 + а2 + ... + а„_ 1 ^ п

5--> о.

Р

Теорема 8. Пусть

<т ^ 1, Л = (А1,А2, ...,А„), |А| = п, > А2 ^ ... > А„ > <х~\

а ^ — Ао, Ь е К, весовые функции V = рах, и> = р\, и — произвольная, и выполнены условия

1<р<9<оо, 1 < г < в € N.

Тогда существует ограниченная область С? С Мп с условием Х-анизотроп-ного гибкого а-конуса такая, что вложение (С?) С не имеет

место, если

а(п 4- а - Ага) + 1 п + Ь 5 -Ь . ^ и

Р Кч

и не является компактным, если

s —

а(тг + а — Хп) + 1 п + Ь

V

Публикации по теме диссертации

Статьи в научных журналах

1. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространство Орлича и в ВМО со степенными весами // Докл. РАН. 2003. Т. 391, №5. С. 602-604.

2. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича и ВМО со степенными весами // Тр. МИАН. 2003. Т. 243. С. 334-345.

3. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича для области с нерегулярной границей // Мат. заметки. 2006. Т. 79. №5. С. 767-778.

4. Трушин Б. В. О вложении пространства Соболева в пространство Лебега для класса анизотропных нерегулярных областей // Евраз. мат. журнал. 2007. Л'!2. С. 64-70.

5. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Докл. РАН. 2008. Т. 418, №3. С. 313-316.

6. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 297-319.

7. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространство Орлича для области с нерегулярной границей // Тр. XLV науч. конф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2002. Ч. VII. С. 15.

8. Трушин Б.В. Теорема вложения Соболева для некоторого класса областей // Международная конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", поев, столетию С.М. Никольского. 2005. С. 85.

9. Трушин Б.В. Теоремы вложения для некоторого класса областей // Тр. XLVIII науч. конф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2005. Ч. VII. С.

10. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Материалы Международной конф. "Теория функций и вычислительные методы", поев. 60-летию со дня рождения проф. Н. Темиргалиева. 2007. С.

11. Трушин Б.В. Весовые теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Международная конф. "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", поев. 100-летию со дня рождения академика С.Л. Соболева. 2008. С. 212.

Тезисы научных конференций

21-22.

211-213.

Трушин Борис Викторович

НЕПРЕРЫВНЫЕ И КОМПАКТНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ

ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА НА АНИЗОТРОПНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБЛАСТЯХ

Подписано в печать 05.11.08. Формат 60 х 841/1в- Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №26.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

1 Введение

1 История вопроса.

2 Основные определения и обозначения.

3 Классы $ и 0 анизотропных нерегулярных областей

4 Регуляризация А-расстояния.

5 О вложении класса 3 в класс Я.

2 Вспомогательные утверждения

1 Поточечные оценки через первые производные.

2 Поточечные оценки через старшие производные.

3 Исправление усеченного анизотропного гибкого конуса

4 Поточечные оценки интегральных операторов.

5 Теорема Безиковича.

6 Оценки сильного и слабого типов.

7 Вспомогательные оценки.

3 Вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций

1 Основные результаты.

2 Область (/-класса.

3 Степенные веса.

4 Область ^-класса.

5 Вложение в пространство Лебега на областях ¿/-класса

6 Вложение в пространство Лебега на областях ^/-класса

7 Теоремы вложения в пространство Лебега в случае s =

8 Оценки интегральных операторов.

9 Теоремы вложения в пространство непрерывных функций

4 Компактность вложения пространства Соболева в пространство Лебега

1 Область CJ-класса

2 Почти степенные веса.

3 Область ^/-класса.

4 Компактность вложения.

5 Ослабленная компактность.•.

5 Неулучшаемость теорем вложения

1 Точки вырождения

2 Необходимые условия вложения.

3 Достаточные условия отсутствия вложения.

4 Внешний пик.

5 О неулучшаемости предельного показателя.

Диссертация посвящена исследованию непрерывности и компактности вложения весовых пространств Соболева па новом классе нерегулярных областей. При этом характер вырождения рассматриваемых областей не является изотропным.

1 История вопроса

Теория вложения пространств дифференцируемых функций многих действительных переменных сложилась как новое направление математики в 30-е годы прошлого века благодаря работам С.Л. Соболева, оформленных им позднее в виде монографии [36]. Эта теория изучает связи дифференциальных свойств функций в различных метриках. Кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории функций, она имеет также различные применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Некоторые применения даны С.Л. Соболевым в той же монографии.

С.Л.Соболев ввел изотропные пространства IV*(С) функций, определенных на области О п-мерного евклидова пространства с нормой

11^/1^)11, здесь я е Р}, р > 1,

МО|| = ^ |/(-т)Г^ - норма Лебега, обобщенная по Соболеву производная, п

М = 1

В работах С.Л. Соболева [34, 35] были доказаны общие интегральные неравенства для дифференцируемых функций нескольких переменных и даны их приложения к ряду задач математической физики. Используя доказанные им теоремы об интегралах типа потенциала, интегральные представления функций и свойства усреднений, С.Л. Соболев установил, в частности, что для областей с условием конуса (каждая внутренняя точка является вершиной расположенного внутри области конуса постоянных высоты и раствора) при п п

5---1— ^ О, зеМ, 1<р<<7<со

Р ч пространство IV.¡¡(С) вложено в пространство ЬЦ(С), а при п в-->0, з € М, 1 < р < оо V вложено в пространство С (С) функций непрерывных на области С?. Это утверждение носит название теоремы вложения С.Л. Соболева. тт п п

При л--<0 величина Р пр

Ч =-, п — ре характеризующая "максимальное" пространство Лебега, в которое может быть вложено пространство Соболева И^ при фиксированных показателях р ид, называется соболевским предельным показателем.

Однако, еще до результатов С.Л. Соболева был известен тот факт, что отдельные ннтегральиые неравенства справедливы при весьма слабых предположениях относительно области. Например, неравенство К. Фрид-рихса [40]

2« ( [(\7/)Чх + [ /Чх ) ./с? \¿в эо У было доказано при единственном предположении, что С? - ограниченная область, для которой верна формула Остроградского-Гаусса. В 1933 г. О. Никодим [29] предложил пример области, для которой из квадратичной суммируемости градиента не следует квадратичная суммируемость функции. В монографии Р. Куранта и Д. Гильберта [18] изложены достаточные условия, при которых верны неравенство Пуанкаре и лемма Реллиха о компактности в Ь2((3) множества, ограниченного в метрике ((У/)2 + /2)^. ив

В связи со сказанным возникла задача описания классов областей, с теми или иными свойствам операторов вложения. В ряде статей В.Г. Ма-зьи были получены необходимые и достаточные, а также более простые достаточные условия справедливости некоторых теорем вложения пространств Соболева

В случае р = 1 эти условия представляют собой изопериметриче-ские оценки, связывающие объем произвольного подмножества области и площадь всей или части его границы. Доказательства были основаны на некотором новом приеме, базирующемся на представлениях интегралов от функций и их производных в виде интегралов по множествам уровней и их оценке при помощи изопериметрических неравенств. Одновременно и независимо о г В.Г. Мазьи тот же прием был иснользоваи

Федерером и Флемингом [38] для доказательства неравенства Гальярдо с точной константой.

При р > 1 таких геометрических терминов, как объем и площадь, уже недостаточно для адекватного описания свойств области. Здесь появляются емкостные оценки, связывающие объем с р-емкостью или р-проводимостью, для измеримых подмножеств области [22, 23, 24, 25].

B.Г. Мазья [26] установил также нужные изопериметрические и емкостные оценки для ряда модельных "плохих" областей, в частности, для одиночного внешнего пика. Однако, в общем случае проверить, удовлетворяют ли все измеримые подмножества области из данного класса требуемым оценкам, довольно трудно.

C.JI. Соболев установил своп теоремы вложения с помощью интегральных представлении функций через их производные. Этот метод получил затем развитие в работах В.П.Ильина и, в частности, был перенесен на случаи представления через разности. Позднее О.В. Бесовым построены интегральные представления по гибкому рогу. Метод интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой функции в точках ограниченного конуса (или рога) с вершиной в точке х. Тем самым создается возможность для изучения функциональных пространств функций, заданных на открытом множестве достаточно общего вида (области, звездной относительно тара, открытого множества с условием конуса, с условием А-рога, с сг-условием Джона и т.п.).

В 1980 г. Ю.Г. Решетняк перенес [32, 8] результат СЛ. Соболева о вложении И'* с L4(G) па области с условием Джона, а в 1983 г. О.В. Бесов — на области с условием гибкого конуса (см, например, [5]) с соболевским предельным показателем.

К") ^ С ||V/ |Lj(]R") || € СПМ"),

Определение А [11]. Пусть ограниченная область С С I", жо 6 С, >с > 0. Пусть каждой точке х £ С поставлены в соответствие кусочно гладкий путь, параметризованный длиной дуги

7 : [0, ¿х] -»(?, 7 (0) = х, 7 (гх) = х0 такой, что р(7(*)) = сИб! (7(<),Кп\С) $5 >Л при ¿6 [0ДС]. Тогда говорят, что область (3 удовлетворяет условию Джона.

Определение В. Пусть область О С К™, Г > 0, х > 0. Пусть каждой точке х 6 С? поставлены в соответствие кусочно гладкий путь, параметризованный длиной дуги

7: М-с;, 7(о) = * такой, что р(7(0) ^ при ¿е[0,Г]. Тогда говорят, что (3 — область с условием гибкого конуса.

Отметим, что для ограниченной области понятия области с условием Джона и области с условием гибкого конуса совпадают.

В определенном смысле класс областей с условием гибкого конуса — самый широкий класс областей, для которого верпа теорема вложения с соболевким предельным показателем. Бакли и Коскела показали [1]. что если С С Ж2 — ограниченная односвязная область и пространство \Ур(С) вложено в Ь 2Р (О) при некотором р 6 [1,2), то область С? удовлетворяет

2-р условию Джона.

Теорема вложения С.Л. Соболева обобщалась на весовые пространств Соболева в работах Чуа [44], Хурри-Сюрьянен [42, 43] и др. В 1990 г. Смит и Стегенга [33] при д = р, в 1998 г. Хайлаш и Коскела [41] при д сколь угодно близком к максимально возможному, в 2000 г. Килпелаи-неи и Малы для максимально возможного q установили [14] неравенство Соболева-Пуанкаре для областей с сг-условием Джона при s = 1.

Определение С. Пусть ограниченная область G С R™,

Хо Е G, a ^ 1, х > 0.

Пусть каждой точке х € G поставлены в соответствие кусочно гладкий путь

7 : [0, tx] G, 7 (0) = х, 7 (íx) = х0, |У| < 1 Для п. в. te [0, t*\ такой, что p(-y(t)) > хР при t £ [0, t*}. Тогда говорят, что область G удовлетворяет a-условию Джона.

Еще из резуль та тов В.Г. Мазьи 60-х годов стало очевидным, что величина предельного показателя в теоремах вложения при фиксированных показателях р и s существенно зависят от геометрических особенностей области. Следующая теорема наглядно иллюстрирует это утверждение.

Теорема А [14]. Пусть область G удовлетворяет а-условию Джона. а ^ 1 — 7i, b > — п, и выполнены условия п п а(п + а — 1) +1 п + Ь

1 < р ^ g < 00, 1--+ - ^ 0, 1--—----b-^ 0. р q Р q

Тогда справедлива оценка mí\\f~t\Lq,w(G)\\^C\\Vf\LPiV(G)\\, при w — р\, v = р1 и некотором С > 0, не зависящем от /.

Под весовым пространством Лебега Lpv{G) понимается множество функций, для которых конечна норма

LP,.(G)|| = И |f(xWv(x)d.v где V — неотрицательная локально суммируемая весовая функция.

В 1997 г. Д.А. Лабутин установил [19] вложение с максимальным показателем q при 5 € N для областей с условием непрерывно гибкого сг-конуса. В 1999 г. при 5 = 1 он распространил [20] этот результат на гельдеровы области.

В 2001 г. О.В. Бесов установил [3] теорему вложения Соболева с максимальным показателем д при я € N для областей с условием гибкого

Определение Ю [3]. Пусть область б С 1", т > 1, Г > 0, х > 0

Пусть каждой точке ж € С поставлены в соответствие кусочно гладкий путь

Тогда говорят, что С — область с условием гибкого а-конуса.

Отметим, что и здесь для ограниченной области понятия области с сг-условием Джона и области с условием гибкого а-конуса совпадают.

Теорема В [3]. Пусть С? — область с условием гибкого а-конуса, а ^ 1 — п, Ь ^ 0, и выполнены условия сг-конуса. у: [0,4*]-»<3, 7 (0) = х, 1 для п. в. te[0,t*] такой, что р(7(£)) > к? при ¿€[0,/*].

1 < р < д < оо, а(п + а — 1) + 1 п + Ь 0.

Р Я

Тогда имеет место вложение Р Ч и справедлива оценка

L,llB(G)|| < С ( Е \\Daf\LP,v(G)\\ + \\f\LP(G)\\ \M=» при w — рь, v = ра и некотором С > 0, не зависящем от /.

Лабутин показал [21], что в невесовом случае предельный показатель в этой теореме не может быть увеличен.

В.И. Кондратов [17] при р > 1, Гальярдо [7] при р — 1 доказали, что вложения пространства Соболева в пространство Лебега

W;(G) С Lq(G) компактно при s — — + — > 0, sgN, 1 < р < g < ОО р q для ограниченной области G с регулярной границей. Ранее Реллихом был рассмотрен [31] случай р = q. В.Г. Мазья установил (см. [26]) необходимые и достаточные условия компактности вложения при s = 1 для области G с нерегулярной границей, формулируемые в терминах емкостных и изопериметрических неравенств. В случае s ^ 2, последовательным применением теоремы, установленной для s = 1, им получены достаточные условия компактности вложения. О.В. Бесов доказал [4] теорему о компактности вложения в случае ограниченной области с условием гибкого <j-KOiiyca и почти степенными весами.

Отметим также следующую важную теорему о компактности вложения в невесовом случае.

Теорема С [41, 27, 28]. Пусть G — область конечной меры. Пусть при некоторых р ^ 1, q > 1 u s € N непрерывно вложение

W;(G) С Lq(G)

Тогда при любом г £ [1, д) вложение с ьг(о) компактно.

Нами введен новый класс областей — области с А-анизотропным условием гибкого ст-конуса — который, по сути, является детализацией класса областей с условием гибкого а-конуса. Однако, эта детализация позволяет существенно усилить известные ранее теоремы о непрерывности и компактности весового вложения пространства Соболева в пространство Лебега.

На введенном классе областей нами построена теория вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций со степенными весами, найдены достаточные условия компактности вложения в случае почти степенных весов, а также приведены примеры, показывающие, что полученные теоремы неулучшаемы. Более того, в невесовом случае при в — 1 доказано, что вложение пространства Соболева в пространство Лебега невозможно пи при каких параметрах суммируемости, если область имеет "нулевые углы" более чем степенного порядка вырождения.

1. Buckley S., Koskela P. Sopolev-Poincaxé implies John // Math. Resereh Letteis. 1995. V. 2. P. 577-594.

2. Бесов O.B. Вложение пространств дифференцируемых функций переменной гладкости // Тр. МИАН. 1997. Т. 214. С. 25-58.

3. Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сборник. 2001. Т. 192, №3. С. 3-26.

4. Бесов О.В. О компактности вложений весовых пространств Соболева па облатси с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 72-93.

5. Бесов О.В., Ильин В.П. Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

6. Габидзашвияи М.А. Весовые неравенства для анизотропных потенциалов // Тр. Тбилисского матем. института. 1986. Т. 82. С. 25-36.

7. Gagliardo Е. Propriété di alcune classi di funzioni in più variabili // Rie. Mat. 1958. V. 7. P. 102-137.

8. Гусман M. Дифференцирование интегралов в Mn. M.: Мир, 1978.

9. John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 391-413.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

11. Jessen В., Marcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of multiple integrals // Fundamenta Math. 1935. V. 25. P. 217-234.

12. Kilpelainen Т., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Z. Anal. Anwendungen. 2000. V. 19, №2. C. 369-380.

13. Кокияашвили B.M., Габидзашвили M.A. О весовых неравенствах для анизотропных потенциалов и целых функций // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282, Ш. С. 1304-1306.

14. Kufner A., John О., Fucik S. Function spaces. Prague: Academia. 1977.

15. Кондратов В.И. О некоторых свойствах функций из пространства и; 11 Докл. АН СССР. 1945. Т. 48, №8. С. 563-565.

16. Курант Р., Рилъберт Д. Методы математической физики. М.: Наука, 1951.

17. Лабутин Д-А. Интегральное представление функций и вложение пространства Соболева на областях с нулевыми углами // Мат. заметки. 1997. Т. 61, №2. С. 201-219.

18. Лабутин Д-А. Вложение пространства Соболева на гельдеровых областях // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. С. 170-179,

19. Лабутин Д.А. Неулучшаемость неравенства Соболева для класса нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 218-222.

20. Мазъя В.Г. Классы областей и теоремы вложения функциональных пространств // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133, №3. С. 527-530.

21. Мазъя В.Г. р-проводимость и теоремы вложения некоторых функциональных пространств в пространство С // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, №2. С. 299-302.

22. Мазъя В.Г. Об отрицательном спектре многомерного оператора Шре-дипгера // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, №4. С. 721-722.

23. Мазъя В. Г. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами // Сиб. мат. о-ва. 1968. Т. 2. С. 1322-1350.

24. Мазъя В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

25. Maz'ya V.G., Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains. Singapore a.o.: World Scientific, 1997.

26. Мазъя В.Г., Поборчий C.B. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшицевых областях. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.

27. Nikodym О. Sur une classe de fonctions considérées dans le problème de Diiichlet // Fundam. Mat. 1933. V. 21. P. 129-150.

28. Поборчий C.B. Некоторые контрпримеры к теоремам вложения для пространств Соболева // Вестник СПбГУ. 1998. вып. 4, №22. С. 49-58.

29. Rdlich F. Ein Satz über mittlere Konvergenz // Nachr. Akad. Wiss. Cöttingcn. 1930. S. 30-35.

30. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21, №6. С. 108-116.

31. Smith W., Stegenga D.A. Holder domains and Poincare domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 319. P. 67-100.

32. Соболев С.Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // Докл. АН СССР. 1936. Т. 1. С. 267-270.

33. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т. 4, №3. С. 471—497.

34. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Д.: Изд-во ЛГУ, 1950; 2-е изд. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962; 3-е изд. М.: Наука, 1988.

35. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

36. Federer Н., Fleming IV.Н. Normal and integral currents // Ant. Math. 1960. V. 72. P. 458-520.

37. Fefferman C. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 77. P. 587-588.

38. Friedrichs K. Spektraltheorie halbbcschrankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren // Math. Ann. 1934. B. 109. S. 465-487. 685-713.

39. Hajlash P., Koskela P. Isoperimetric inequalities and imbedding theorems in irregular domains // J. London Math. Soc. (2). 1998. V. 58, №185. P. 425-450.

40. Hurri R. The weighted Poincsré inequalities // Math. Scand. 1990. V. 67. P. 145-160.

41. Hurri-Syrjänen R. An improved Poincaré inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 120. P. 213-232.

42. Chua S.K. Weighted Sobolev inequalit ies on domains satisfying the chain condition // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 117. P. 449-457.Публикации автора

43. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространство Ор-лича для области с нерегулярной границей // Тр. XLV науч. копф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2002. Ч. VII. С. 15.

44. Трушин Б, В. Вложение пространства Соболева в пространство Ор-лича и в ВМО со степенными весами // Докл. РАН. 2003. Т. 391, №5. С. 602-604.

45. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Ор-лича и ВМО со степенными весами // Тр. МИАН. 2003. Т. 243. С. 334-345.

46. Трушин Б.В. Теорема вложения Соболева для некоторого класса областей // Международная конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", поев, столетию С.М. Никольского. 2005. С. 85.

47. Трушин Б.В. Теоремы вложения для некоторого класса областей // Тр. XLVIII науч. конф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2005. Ч. VII. С. 21-22.

48. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Ор-лича для области с нерегулярной границей // Мат. заметки. 2006. Т. 79. №5. С. 767-778.

49. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей / / Материалы Международной конф. "Теория функций и вычислительные методы", поев. 60-летию со дня рождения проф. Н. Темиргалиева. 2007. С. 211-213.

50. Трушин Б.В. О вложении пространства Соболева в пространство Лебега для класса анизотропных нерегулярных областей // Евраз. мат. журнал. 2007. №2. С. 64-70.

51. Трушин Б. В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Докл. РАН. 2008. Т. 418, №3. С. 313-316.

52. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 297-319.