Оптимальные проекционно-сеточные методы для краевых эллиптических задач с особенностями на границе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ТИМЕРБАЕВ Марат Равилевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ОСОБЕННОСТЯМИ НА ГРАНИЦЕ

Специальность 01 01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань — 2007

003158809

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им В И Ульянова-Ленина"

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор Гулин Алексей Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Корнеев Вадим Глебович,

доктор физико-математических

наук, профессор

Лапин Александр Васильевич

Ведущая организация Институт математического

моделирования РАН, г Москва

Защита состоится 25 октября 2007 г в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212 081 21 в Казанском государственном университете по адресу. 420008, г Казань, ул Кремлевская 18, корп 2, ауд 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан »21« сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, к ф м н , доцент

О А Задворнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проекционно-сеточные методы и метод конечных элементов (МКЭ) в их числе, являются одними из самых распространенных и эффективных методов решения краевых задач, возникающих в различных областях научной и практической деятельности Теория аппроксимации функций в пространствах Соболева и теоремы гладкости обосновывают эффективность использования в МКЭ базиса с кусочно-полиномиальными финитными функциями для аппроксимации решений регулярных задач, т е краевых задач с гладкими входными данными Теория таких задач хорошо разработана, известны оценки их решений в нормах пространств Соболева, что позволяет на основе априорной информации оптимальным образом строить аппроксимирующее подпространство кусочно-полиномиальных функций для достижения заданной точности приближения В то же время, использование стандартных аппроксимаций, не учитывающих особенности решений задач с негладкими данными, приводит к существенному понижению точности конечноэлементных приближенных решений и снижает эффективность всего метода в целом, что подтверждается теоретическим анализом и практическими расчетами Поэтому актуальным является построение проекционно-сеточных схем для нерегулярных задач, которые имели бы повышенную точность по сравнению со стандартными кусочно-полиномиальными аппроксимациями

Важным классом задач с особенностями являются краевые задачи для дифференциальных уравнений с вырождающимися коэффициентами, систематическое изучение которых было начато работами М В Келдыша, М И Вишика, С Г Михлина, Л А Люстерника и продолжено В В Грушиным, В П Гяушко, О А Ояейник, С М Никольским и его учениками, в статьях зарубежных математиков Н Симакуры, П Воллей и Ж Камю, X Трибеля, М С Бауэнди и К Гулауика, С Бенашура

Одной из первых работ, посвященных сеточным методам решения вырождающихся уравнений, была работа Ю А Гусмана и Л А Оганесяна (1965 г), в которой исследовалась конечно-разностная схема первого порядка точности для уравнения с оператором типа Трикоми в прямоугольнике Метод конечных элементов для аналогичного вырождающегося уравнения рассматривался в работах В В Катрахова и А А Катраховой, П Моинга, М Хатри Большое количество работ было посвящено численному решению одномерного вырождающегося уравнения 2-го порядка Так, П Сьярле, Ф Наттерер и Р Варга использовали ¿-сплайны в методе Ритца-Галеркина, обобщенные ¿-сплайны в проекционно-сеточном методе применялись в работах М Крузей и Ж Тома, Д Дейли и Д Пирса, Р Шрейбер представил приближение Галеркина в виде произведения кусочно-полиномиальной функции на специальный вес Д Марини и П Пиетра исследовали смешанный метод конечных эле-

ментов для задана с сингулярными коэффициентами в прямоугольнике В Франчи и М К Тези рассмотрели задачу Дирихле для дифференциального уравнения типа Грушина, вырождающегося внутри прямоугольника и построили схему МКЭ с кусочно-линейным базисом на сгущающейся в окрестности точек вырождения сетке Одной из основных целей теории приближенных методов является поиск наилучшего в том или ином смысле численного метода на множестве допустимых методов Для обсуждения оптимальности метода в некоторой норме нужно ломимо верхней оценки скорости сходимости метода установить нижнюю неулучшаемую оценку скорости сходимости в этой норме для класса допустимых методов и входных данных Получение верхних и нижних оценок приближения векторов некоторого компакта данного банахова пространства элементами конечномерных подпространств является ключевой проблемой теории аппроксимации и связана с оценками некоторых геометрических характеристик компактных операторов и компактов в банаховых пространствах таких, как поперечники по Колмогорову, поперечники по Гельфанду, аппроксимационные числа Если для некоторого метода нижняя оценка достигается (с точностью до постоянного множителя), то этот приближенный метод для рассматриваемого класса задач является оптимальным

Целью работы является построение оптимальных проекционно-сеточных методов для краевых задач с негладкими входными данными, включающих в себя как подкласс и регулярные задачи Рассматриваются эллиптические краевые задачи Дирихле и Неймана с особенностями следующих типов вырождение коэффициентов дифференциального оператора на границе или ее части, в частности в угловых точках, сингулярность правой части дифференциального уравнения, наличие угловых точек у границы области, смена аипа граничных условий Исследуется также краевая задача на собственные значения вырождающегося дифференциального оператора

Методы исследования решений краевых задач с особенностями опираются на аппарат функционального анализа, спектральную теорию самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, теорию дифференциальных уравнений в частных производных, теоремы вложения весовых пространств Соболева При получении оценок погрешности аппроксимаций конечными элементами в весовых нормах Соболева используется теория метода конечных элементов

Научная новизна работы Найдены специальные весовые нормировки, не эквивалентные, вообще говоря, весовым нормам Соболева, адекватно описывающие структуру решений задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения на классе правых частей из весового пространства Лебега На основании оценок решений в этих нормах и известных оценок поперечников Колмогорова в весовых пространствах Соболева, для методов типа Галеркина приближенного решения ука-

занных задач получены нижние оценки скорости сходимости в энергетической норме Предложены проекционно-сеточные методы решения рассматриваемых классов задач, основанные на мультипликативном выделении особенности, для которых нижняя оценка скорости сходимости достигается, тем самым доказана их оптимальность

Основные результаты диссертации:

1 Для двухточечных граничных задач Дирихле и Неймана с вырождающимися операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве получены оценки решений в весовых пространствах Соболева вектор-функций.

2 Для эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана с вырождающимися на границе, или ее части, коэффициентами доказаны теоремы существования и установлены оценки решений в весовых нормах Доказано, что решение задачи Дирихле вырождающегося уравнения можно представить в виде произведения фиксированной весовой функции, снимающей особенность у решения, и некоторой гладкой функции

3 В весовом пространстве Соболева построен оператор проектирования в пространство конечных элементов, не использующий значения проектируемой функции в узлах конечных элементов С применением этого оператора в пространствах Соболева с весом доказаны неулучшаемые оценки погрешности конечноэлементной аппроксимации

4 Для абстрактного метода Галеркина решения эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана с вырождающимися коэффициентами получены неулучшаемые нижние оценки скорости сходимости Предложены проекционно-сеточные методы аппроксимации решений этих задач, основанные на мультипликативном выделении особенности Доказала их оптимальная сходимость

5 Для краевой эллиптической задачи с вырождающимися в угловой точке коэффициентами построены методы двух типов основанные на сгущении сетки в окрестности особой точки и на мультипликативном выделении особенности и доказана оптимальность этих методов

6 Для краевых задач на собственные значения вырождающегося эллиптического оператора исследован метод конечных элементов с мультипликативным выделением особенности Получены оценки погрешности аппроксимации собственных значений и собственных функций Доказана оптимальная сходимость предложенного метода

Практическая значимость Полученные в диссертации результаты и предложенные приближенные методы могут быть использованы для конструирования эффективных алгоритмов численного решения конкретных прикладных задач с сингулярными входными данными

Достоверность научных результатов. Все результаты, полученные в диссертации, строго математически доказаны и подтверждены результатами численных

экспериментов для модельных задач с особенностями

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Казань, 26-30 июня 1991 г), на первом - третьем Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач "(Казань, 24-28 июня 1996 г, 18-21 сентября 1998 г, 18-21 сентября 2000 г), четвертом - шестом Всероссийских семинар ах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 13-16 сентября 2002 г, 17-21 сентября 2004 г, 1-4 октября 2005 г), четвертой Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды"(Абрау-Дюрсо, 26-31 мая 1992 г), восьмой и девятой Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 5-17 сентября 1999 г, 8-13 сентября 2001 г), Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н Г Чеботарева (Казань, 5-11 июня 1994 г), Международной конференции и чебышевских чтениях, посвященных 175-летию П Л Чебы-шева (Москва, 13-16 мая, 1996), на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 27 мая-2 июня 1996 г), Международной школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В М Гагаева "Алгебра и анализ"(Казань, 16-22 июня 1997 г), Международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике"(Ижевск, 5-7 февраля 1998г), Всероссийской школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 17-20 июня 1999 г), Международных конференциях "Optimization of Finite Element Approximations"(С -Петербург, 25-29 июня 1995 г, 2529 июня 2001 г), научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики"(Казань, 30 января-6 февраля 2002 г), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения акад А Ф Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г), первой Международной конференции "Computational Methods m Applied Mathematics"(Минск, 20-24 июля 2003 г), третьей Международной научной конференции "Математические идеи П JI Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2006 г), седьмой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложе-ния"(Саранск, 17-21 мая 2006 г), научной конференции "Теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 3-8 июля 2006 г), на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 29-31 мая 2007 г), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18-20 июня 2007 г), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1993-2006 гг, научном семинаре кафедры вычислительной математики Казанского государствен-

ного университета под руководством А Д Ляшко, И В Бадриева и М М Карчевского Публикации По теме диссертации опубликовано 55 работ Основные результаты опубликованы в работах [1]—[36], из которых 14 — в журналах, входящих в перечень ВАК Российской Федерации

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 231 наименование Общий об-ьем составляет 247 страниц, включая 7 рисунков и 3 таблицы

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 98-01-00260, 0101-000616, 06-01-00633, 07-01-00674)

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность тематики исследований, сформулирована цель работы, дан обзор работ, близких к тематике диссертации, изложено краткое содержание диссертации

Первая глава носит вспомогательный характер В разделе 1 вводятся банаховы пространства с нормой графика Многие функциональные пространства, встречающиеся в теории и приложениях, например, пространства Соболева (с весом или без веса), можно трактовать как пространства с нормой графика некоторого замкнутого оператора Для пространств с нормой графика получены абстрактные аналоги теоремы Дени-Лионса и теоремы Соболева о перенормировках, неоднократно используемые в работе

В разделе 2 даны определения весовых пространств Лебега и Соболева вектор-функций переменной Ь 6 Т = (0,т) со значениями в гильбертовом пространстве X со скалярным произведением х у и нормой \х\х = у/х х Для вещественного 7 через Ь2г1(Т, X) обозначается пространство измеримых по Вохнеру (или сильно измеримых) функций / Т-+Х таких, что скалярная функция £ € Т —> является элементом пространства Лебега Ь2(Т), при этом полагаем

№2,7(вд||2нг7/МЗД||2=/ \t-ymidt

т

(Здесь и далее V обозначает, в зависимости от контекста, не только степень 7 числа Ь, но и символ степенной функции 4 —> Р) Как обычно, если 7 = 0 или пространство X совпадает с полем скаляров, то эти символы в обозначении пространства опускаются

Через О обозначается оператор обобщенного дифференцирования в пространстве .Х-значных распределений ТУ(Т, X), так что Пи = и' - обобщенная производная распределения и (для производной используются оба обозначения и' и Ли) Для натурального т. и а £ (—оо, +оо) вводится весовое пространство Соболева Х-значных

функций Н£{Т,Х) = {« € ¿1|1ос(Т, X) • Дтм € Ь2,а(Т,Х)} с нормой

|И Я?М||а = \\Оти\Ь2,а(Т, Х)\\2 + \\и\Ь2(А,Х)\\2,

где Д произвольный фиксированный компакт из Т ненулевой меры, отделенный от нуля, например, Д = [т/3,2т/3] или Д = [г/3,т] (различный выбор Д приводит лишь к эквивалентным нормировкам) В тех случаях, когда интервал Т и пространство X подразумеваются из контекста, используются сокращенные обозна-

о

чения £2>7 и Я™ Через X) и Н™(Т,Х) обозначаются подпространства про-

странства Н™(Т, X), являющиеся замыканиями (в норме последнего) бесконечно дифференцируемых функций и равных нулю в окрестности дТ = {0,1} и Ь = г соответственно

Далее вводится класс интегральных операторов типа Харди на пространствах вектор-функций и дается критерий непрерывности таких операторов в гильбертовом пространстве £2,-1{Т,Х)

Раздел 3 посвящен теоремам вложения пространств вектор-функций Аналогичные вопросы, но для пространств с другими весами, рассматривались в работах П И Лизоркина и В В Шахмурова В частности, с помощью спектрального представления неограниченного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве доказываются так называемые теоремы о промежуточных производных Устанавливается также теорема о компактном вложении

Теорема 1. Пространство Н™(Т,Х) П Ь2^(Т,Х1) компактно вложено в Ь2,У(Т,Х), если Х-1 компактно вложено в X и 7 < пцп(а + т, 1/2), а и — любое

Глава 2 посвящена весовым оценкам решений вырождающихся двухточечных граничных задач в гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения рассматривались в работах А А Дезина (уравнение 2-го порядка), Л П Тепояна (уравнение 4-го порядка) и Н М Ятаева (уравнение 3-го порядка), в которых главное внимание уделено корректным постановкам граничных условий Установленные в этой главе результаты используются в дальнейшем, во-первых, для получения оценок решений в весовых пространствах вырождающихся на границе уравнений в частных производных, во-вторых, для доказательства оценок скорости сходимости рассматриваемых в данной работе проекционно-сеточных аппроксимаций для задач с вырождением, в-третьих, для обоснования оптимальной сходимости этих аппроксимаций

В главе исследуется дифференциально-операторное уравнение

Аи = -А(*"а(г)А«(*)) + = /(*) в Т = (0, г), и{т) = 0, (1)

где a(t), b(t) - самосопряженные положительно определенные операторы в гильбертовом пространстве X при каждом t 6 [0, r], a(t) € В(Х), b(t) 6 В(Хi X), где гильбертово пространство Хх непрерывно и плотно вложено в X Параметры а, /3 могут быть произвольными, удовлетворяющие условию а < /3+2 В граничной точке t — 0 рассматриваются два типа краевых условий условие Неймана и условие Дирихле Анализ проводится в три этапа по следующей схеме (i) a(t) — 1, b(t) = А > О — скалярные функции —» (ц) a(t) = îdx (тождественный оператор в X), b(t) = b € В(Х 1 —> X) — постоянный оператор —> (ш) а(£), b(t) — операторнозначные коэффициенты, удовлетворяющие естественным условиям гладкости по переменной t € [0, г] — предполагается, что а [0, г] —» В(Х), b [0, г] —> В(Хг —»■ X) являются непрерывными функциями в соответствующих операторных нормах и, кроме этого, для функции о выполнены следующие условия

1) для любого t € Т существует предел a'(t) = lim(a(i + h) — a{t))/h в норме

h—»0

В{Х),

2) ||a'(t)||B{x) < const на [0,т]

Ключевым моментом является переход (г) —* (гг), где существенно используется спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора b в гильбертовом пространстве X

В разделе 1 исследуется уравнение (1) с граничным условием Неймана при t = 0 taDu{t) j(==0 = 0 Показано, что при /3 < — 1 решения не существует даже в скалярном случае (X = М) на классе правых частей Cg°(T), таким образом, условие /3 > — 1 необходимо для разрешимости задачи с краевым условием Неймана в особой точке t = 0

Вводится пространство W = W7 = X, Х{) = Щ_а(Т, Х)Г)Щ_а+1{Т, Х)П

L2,-y-p{T,Xi) с нормой пересечения и подпространство W = {v € W v(t) = 0} Используя детальный анализ интегральных операторов типа Харди, проведенный в первой главе, доказывается

Теорема 2 Пусть —1/2 < ■у < /3 + 1/2 и выполнено хотя бы одно из двух условий 1) 7 > а/2 — 1 или &) пространство Xi компактно вложено в X Тогда оператор А изоморфно отображает пространство W на Ь2П(Т,Х) Следовательно, в условиях теоремы для решения (1) с граничным условием taDu(t) |i=0 = 0 имеет место двусторонняя оценка

\\D2u\L2^a(T,X)\\ + || Du\L2^a+1(T,X)\\+

+ \\и\Ь2^{Т,Хг)\\ ~ \\f\L2„(T,X)\\

Замечание. Оценка в теореме 2 не будет иметь места, если 7 < —1/2 или 7 > /3 + 1/2

В разделе 2 рассматривается уравнение (1) с граничным условием Дирихле в точке вырождения

Аи = / в Г, щ(0) = и(т) = 0 (2)

Следует отметить, что граничное условие и(0) = 0 корректно только при а < 1, таким образом предполагается, что а < шш(1,0 + 2) Поведение решения этой задачи в окрестности особой точки I = 0 существенно отличается от поведения решения задачи с граничным условием Неймана, поскольку у решения задачи Дирихле производная Ои в окрестности нуля неограничена при сколь угодно гладкой правой части Центральной идеей этого раздела и всей главы является представление решения задачи Дирихле в факторизованном виде «(£) = 1г~ай{1) и получение оценок й{£) в весовых нормах Соболева

Пространство = Н%,а,р(Т,Х,Хопределяется как пространство функций

с конечным квадратом нормы

ЫЩ,а,Л2 = \т°Вч)\Ь%1{Т,Х)Г + И Ь2^(Т,Хг)Г

и удовлетворяющих условию и(т) = 0, пространством решений однородной задачи Дирихле является подпространство Ща/3 = {« € = и(т) = Усло-

вия разрешимости и оценки решения задачи (2) на классе правых частей £21Т(Т, X) даются в следующей теореме

Теорема 3 Пусть а—3/2 < 7 < 1/2 и выполнено хотя бы одно из двух условий 1) 7 > а/2 — 1 или 2) пространство Хг компактно вложено в X Тогда оператор А изоморфно отображает пространство Н^ар(Т,Х,Х1) на Ьчп(Т,Х) Следовательно, в условиях теоремы для решения задачи (2) имеет место двусторонняя оценка \\и\Щ а(,\\ ~ ||/|£2,7|1

Пусть а обозначает оператор умножения на функцию <т(£) = £1-а В разделе доказано, что при условии а — 3/2<7<1/2 оператор сг изоморфно отображает пространство Щ = Щ_г(Т,Х) П Щ(Т,Х) П на Д^Т, X, ХО

Отсюда следует, что в условиях теоремы 3 дифференциальный оператор А а а является изоморфизмом пространства Щ на Ь2г,(Т) X) и справедлива двусторонняя оценка Ц^Я^^Г,+ Хх)|| ~ \\/\Ь2,^{Т,Х)\\, где решение задачи

(2) и е Ща^{Т,Х,Х{) ийеК, связаны соотношением и = ай

Раздел 3 второй главы посвящен разрешимости уравнения (1) с неоднородными условиями Дирихле и Неймана в точке t = 0 Для описания пространства следов решений и(0) в граничной точке 4 = 0 или следов "потока" ¿а£>«|(=0, привлекаются так называемые промежуточные между X я. Х\ (или интерполяционные) пространства Хе^[Х,Х1}е, бе (0,1)

В п 3 2 рассматривается неоднородная 2-точечная граничная задача Дирихле

Аи = -Б^аОи) + = / в Т, и{0) = д, и{т) = 0 (3)

и доказывается

Теорема 4 Пусть а <1, а —3/2 <у < шш(1Д ¡3 +1/2) и, кроме, того, выполнено одно из условий 1) 7 > а/2 — 1 или 2) Х\ компактно вложено в X Положим в = Тогда для любой правой части / € Ь^^Т, X) и произвольного гранично-

го значения д € Хе существует единственное решение и € X, Х{) задачи

(3), более того, имеет место двусторонняя оценка ~ 11/1-^2,+ \д\х„

В н 3 3 исследуется разрешимость в классе X, Х{) задачи с неоднород-

ным граничным условием Неймана в t = 0 Доказывается

Теорема 5. Пусть —1/2 < 7 < гшп(1/2,/3+ 1/2) и, кроме того, выполнено одно из условий 1) 7 > а/2 — 1 или 2) пространство Х1 компактно вложено в X Положим в = Тогда для любой правой части / £ ¿2,7(^1 -Ю м произвольного

граничного значения д € Х$ существует единственное решение и € Н% а /3(Т, X, Хг) задачи

-0{Га0и) + 1?Ъи = / в Т, (<"£>и)(0) = д, и(т) = О, кроме того, справедлива двусторонняя оценка ~ \\f\L2 -у|| + |<?|хв

Глава 3 посвящена анализу вырождающихся на границе или ее части дифференциальных уравнений в частных производных Рассматриваются два типа регулярных ограниченных областей П С К"1 цилиндрические и общего вида с гладкой границей класса С2 В случае цилиндрических областей, т е областей вида (I = П' х (0,1), где область П' С К"1-1 регулярная (выпуклая или класса С2), при получении теорем разрешимости в весовых классах функций граничных задач с вырождающимся дифференциальным оператором, непосредственно используются результаты главы 2 В случае областей общего вида рассмотрения сводятся к цилиндрическим областям применением метода локальных карт

Вопросам повышения гладкости решений вырождающихся на границе уравнений посвящены многочисленные работы С М Никольского, П И Лизоркина, их коллег и учеников Подход, развиваемый в диссертационной работе, принципиально отличается выбором нормировок для пространств решений, что позволяет расширить диапазоны изменения параметров задачи, таких как степень вырождения и степень веса правой части

В разделе 1 устанавливаются весовые оценки решений задач Дирихле и Неймана для вырождающегося на части границы эллиптического уравнения в частных производных в цилиндрической т-мерной области

Пусть ограниченная область О' С К"1-1 выпукла или класса С2 В области П = П'х(0,1) С Мт рассматривается дифференциальное уравнение в частных производных эллиптического типа, вырождающееся на части границы Г = д€1 П{хт = 0}

Аи = -дт(х^Оштдти) дг{а13д}и) + ааи = / (4)

'¿,Л<7Т1

(дг — обобщенное дифференцирование по переменной хг) Всюду в данном разделе предполагается, что а < /3 + 2 и

и = 0 на дС1 \ Г (5)

Условия разрешимости рассматриваемой задачи, как следует из предыдущей главы, зависят от типа граничного условия на части границы Г — Дирихле или Неймана Предполагается, что коэффициенты отгп(я) и ау(ж) < т) — функции класса Сп((2), причем матрица коэффициентов (агу(х)) равномерно положительно определена на П, те для некоторой положительной постоянной Со имеет место оценка Отт(х)£т + 2 > А)^)2 Для всех х € О и £ € Мт Предполагается также,

г,з<т

что коэффициент а0(х) неотрицателен в П: условия на рост а0{х) при хт —> 0 будут зависеть от параметров а, ¡3, от класса правых частей, а также от типа граничных условий на Г

Уравнение в частных производных (4) вместе с граничным условием (5) в цилиндрической области О! х (0,1) можно записать как обыкновенное дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве X = Ь2(Ц') на интервале Т = (0,1)

Аи{Ь) = -0(Га(г)Пиф) + + ао{Ь)и{Ь) = /(£), и(1) = 0, (6)

если ДЛЯ x = (жх, , хт) 6 П ПОЛОЖИТЬ ь — хт 6 Т = (0, 1), ж' = (Жц, , Жт-х) € П' и ввести пространства

X = Ь2(а'), Хг = И^(П')

Тогда промежуточное пространство Хг/2 = [X, -Х^/г совпадет с простран-

о

ством Щ 2(Й') Из классических теорем вложения пространств Соболева следует компактность вложения гильбертова пространства Хг в X Для каждого í е [0,1] операторы а(4) е В(Х), 6(4) е В(Х[ —> X), а0(£) € В(Х) определяются формулами

(в(ф)(х') = втт(х', ¿Мж'), (Ь(ф){х') = - X)

(а0(ф)(ж') = ао(х',ф(х')

Из условий на коэффициенты уравнения следует, что при каждом £ € Т а{{) является ограниченным самосопряженным положительно определенным оператором в

X, а Ъ{Ь) — неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором в X, причем Ъ{€) непрерывно и взаимно однозначно отображает Х1 иа X, последнее следует из классического результата для регулярных дифференциальных эллиптических операторов второго порядка по переменным х' — (хг, ,хт-1) £ П'. В этом контексте пространство Х,Хг) обозначается как Я^а /3(П) — это

множество функций с конечным квадратом нормы

Н^(п)Ц9 = / |^гц<«и)1а + £ |х^9чи|2сгх

а 1,}<т

и удовлетворяющих условию и — 0 на дО, \ Г При а < 1 корректно определено подпространство Щ а /3(0.) ={»£ и = 0 на Ш}

В п 1 1 для задачи с однородными краевыми условиями Дирихле (при обязательном условии а. < 1) доказана

Теорема 6 Пусть выполнены условия 1) а—3/2 < 7 < тт(1/2,3/2+/?—а) и 8) х^а0 € Ьоо(^) для некоторого 8 < тт(2 — а, 3/2 — а — 7) Тогда дифференциальный оператор А является изоморфизмом пространства на 1,2,7(£2) Таким

образом, для решения задачи Аи = / в П, и = 0 на дС1 имеет место двусторонняя оценка ~ ||/|Х2,7(П)[|

Отдельного внимания заслуживает случай изотропного вырождения а = ¡3 (далее используются обозначения Ща = и = Щ,а%а) Доказывается, что при а — 3/2 < 7 < 1/2 оператор умножения на функцию сг(х) = является изоморфизмом весового пространства Соболева Щ_х{0) = {« е у = 0 на дй \ Г} на пространство Ща{И) Отсюда и из теоремы б вытекает

Теорема 7. Пусть выполнены условия 1) а — 3/2 < 7 < 1/2 и 2) х6тао € Ьао(0.) для некоторого & < тт(2 — а, 3/2 — а — 7) Тогда дифференциальный оператор А о а является изоморфизмом пространства на £2,7^) Таким образом, если

и(х) — решение задачи Аи = / в О,, и = О на д£1, то для й(х) = х%~ги(х) имеет место двусторонняя оценка |[й]Я7_1(П)|| ~ ||/|£г,7(^)11

В п 1 2 вместе с (4), (5) рассматривается неоднородное граничное условие

и = д на Г, (7)

где д(х') — заданная функция на О! из промежуточного пространства Х$ = [ХиХ]в = [Ж?($У)П 2(П')]в =]%/1в(й') для некоторого в € (0,1) Простран-

ство IV есть пространство Соболева,-Слободецкого с дробным (при 9 ^ 1/2)

порядком дифференцирования Граничную задачу (4), (5), (7) можно записать в операторном виде

£в=(Л«,1ти) = (/,г), (8)

где через (;г обозначен оператор следа на Г С использованием результатов предыдущей главы, в частности теоремы 4, доказывается теорема о разрешимости краевой задачи с неоднородным условием Дирихле в точках вырождения Г

Теорема 8 Пусть а < 1, а — 3/2 < 7 < тт(1/2,/? + 1/2) и х6тао е Ьоо(^) для •некоторого <5 < 1/2 — 7 Тогда оператор С является изоморфизмом пространства на £2,7(П)х Ш1\0!), где в =

В п 1 3 для уравнения (4), (5) рассматривается граничное условие Неймана

хатдти = 0 на Г (9)

Решение ищется в пространстве функций с конечным квадратом нормы

= / |*5Г+ Кг7"1^!2 + £ (ю)

а 1'3<т

удовлетворяющих условию (9) Пространство является замкнутым подпро-

странством пространства Д^ДП), поэтому нормы этих пространств эквивалентны на Переформулируя абстрактную теорему разрешимости 2 для рассмат-

риваемой задачи, получим следующее утверждение

Теорема 9 Если —1/2 < 7 < ¡3 + 1/2 и х^ад € ¿оо(^) для какого-нибудь 5 < тш(2-а 1/2—7), то оператор А является изоморфизмом пространства на пространство Ьъ^О.)

В случае неоднородного граничного условия х°пдти = д на Г, где д для некоторого в € (0,1), задачу можно записать в операторном виде

Сми = (Аи, ^ х^Эти) = (/, д) (11)

Используя теорему б, доказывается

Теорема 10. Пусть -1/2 < 7 < тт(/3 + 1/2,3/2 + 0 - а) и х6тао € Ьх(й) для некоторого 6 < тш(1/2—7,3/2—а—7) Тогда оператор является изоморфизмом пространства на пространство Ь21-,{С1)х Т^^(П'), где в —

Раздел 2 главы 3 посвящен исследованию разрешимости уравнения 2-го порядка в частных производных

Аи = — с1пг рааЧи + аои = / (12)

в ограниченной области П С Мт класса С2 Здесь р(х) — положительная в П функция класса С1, совпадающая в окрестности границы дО, с расстоянием до нее от точки х € С1, матрица коэффициентов а(х') = (а,3(я:)) симметрична и равномерно положительно определена в П, ач 6 С1 (О) я ао>0

В п 2 1 вводятся классы функций с весом вида р''(х) Для произвольного вещественного 7 через Ь2П(£1) обозначается множество измеримых на О функций с конечным квадратом нормы

ци|£2,т(П)112 = \\р->и\ЫЩ\2 = 11р(хГи^)\2 йх

а

Для натурального к > 1 через Я*(П) обозначается пространство Соболева с весом — это множество тех функций из ¿2,1ос 1 Для которых конечен квадрат полунормы

цуки|ь2,7(п)||2 = Ц^У4«!^^)!!2 = (\р{хг&ч{х)\2

И=*п

где ТУ1 - обобщенная производная, соответствующая мультииндексу г = (гг Норму можно определить, например, формулой

1Мя*(я)|[2 = у^ВДИ2 + ||и|ь2(п')1121

где Я'ссЯ(те С1' с П) — непустая подобласть области ^ Через обознача-

ется замыкание множества по норме пространства Н*(0.) Можно показать,

что Я*(£2) = Я}(а), если 7 < -1/2, и Я*(П) = {и € Щ(П) и = 0 на дЩ при 7 > —1/2 Я2а(П) — пространство функций из 1/2дос(П) с конечной полунормой, определяемой формулой

771

К,« = Е / ш^ьш'йА*)?**,

за норму можно взять, например, Ц«|| = (М21а.-{-|МЬ2(П')1|2)1/2 Отметим, что пространство Я2 а(Г2), в общем случае, не совпадает с весовым пространством Соболева Я2_а(П), однако имеют место следующие соотношения между этими пространствами (все равенства и включения понимаются не только в теоретико-множественном, но и в топологическом смысле) 1) Я2а П = Я^_а П Н1+1_а; 2) Ща с

если 7 < —1/2, 3) Я2_а С Я2а, если 7 < ос —1/2, таким образом Я2а = если

7 < шш(-1/2, а — 1/2) Доказывается, что при а < шш(1,7 + 3/2) для функций из Я2о.(Г2) корректно определен след на дП, в этом случае определяется подпространство Ща(п) = {и е и = о на за}

В п 2 2 приводятся формулы замены переменных в дифференциальных выражениях и доказываются некоторые вспомогательные утверждения

В п 2 3 рассматривается вырождающееся со степенью а < 1 на дй дифференциальное уравнение (12) с граничными условиями Дирихле и = 0 на dil Используя метод локальных карт и так называемое разбиение единицы, доказывается

Теорема 11 Пусть а — 3/2 < 7 < 1/2 и ргао е Дх>(^) для некоторого 5 < mm(2 — а, 3/2 — а — 7). Тогда дифференциальный оператор А в (12) является изоморфизмом пространства на следовательно, для решения рассматриваемой задачи имеет место двусторонняя оценка ||«||7лП ~ 11/1^2,

Замечание 1. Классический результат для регулярной задачи есть частный случай доказанный теоремы при а = 7 = 0, при этом допускается рост коэффициента о0 вблизи границы 90, ограниченный условием р3/2~еа0 € Ьто(П), где £ > 0 произвольно

Замечание 2. Поскольку а < 1 и 7 < 1/2, то mm(2 — а, 3/2 — а — 7) > О Поэтому условие 0 < ао(х) < const (те 8 = 0) является достаточным для того, чтобы дифференциальный оператор А был изоморфизмом из на ¿2,7(0)

Обозначим через а оператор умножения на функцию <т(х) = р1~а(х) Доказывается, что при условии а — 3/2 < 7 < 1/2 оператор а является изоморфизмом весового пространства Соболева на пространство H2a(Si) Таким образом,

имеет место

Теорема 12 Решение задачи (12) с однородными условиями Дирихле можно представить в виде и(х) = а(х)й(х) и в условиях теоремы 11 для й(х) будет выполняться двусторонняя оценка ||«|i?^_1(ii)|| ~ ||/|Ь2,7(^)||

Глава 4 посвящена построению специального оператора конечноэлементной аппроксимации, определенного на пространстве Лебега Lj, а также получению (неулучшаемых) оценок погрешности этой аппроксимации для функций весовых пространств Соболева Процедура аппроксимации строится с использованием средних значений в общих узлах соседних элементов локальных проекций, т е проекций на конечных элементах, и позволяет сочетать различные методы локального проектирования на разных элементах, удовлетворяющие основной весовой оценке погрешности на конечном элементе (теорема 14) В частности, при использовании оператора ортогонального проектирования в Ь2 на элементе, этот подход близок к известной процедуре Клемана

В разделе 1 вводятся основные понятия и определения теории метода конечных элементов и доказываются вспомогательные утверждения

Определение 1. Пусть к - натуральное число Лагранжевым конечным элементом типа (к) в Rm, или лагранжевым т -симплексом типа (к) называется

пара (е,и>е), где е есть невырожденный т-симплекс в Кт с вершинами аг, г = 1, т + 1, а

( т+1 т+1

ше = < А гаг £ А» = 1, \ = j/k, О <j<k, 1 <г <т + 1 I i=i i=i

— множество узлов конечного элемента

Через Pfc(e) обозначается множество всех полиномов на е степени к по совокупности переменных xi,x2, ,хт Если е - конечный элемент типа (к), то всякий полином ¡р е Р;;(е) однозначно определяется своими значениями в узлах и>е В частности, соотношениями

<pz(x) = 5Z¡X Vz, х &ые (5S¿ - символ Кронекера абстрактных индексов s,t) определяется базис Лагранжа

{<Pz 6 Рк(е) z е we}

Далее через О обозначается полигональная область в Km Пусть 7Á - триангуляция области Í2 на лагранжевые конечные элементы типа (к), те разбиение области на элементы типа (к), при котором всякая грань конечного элемента является либо частью границы 8Q, либо гранью другого элемента Множество узлов триангуляции обозначается через u>h, uih = [J l¿¡¡ Xh — пространство конечных элементов, ассо-

ееТн

циированное с триангуляцией 7J, и определяемое как подмножество непрерывных в Q функций таких, что сужение каждой из них на любой элемент е € T¡, принадлежит пространству полиномов Р&(е)

Для е € Тн положим he = díame — диаметр элемента е и de — диаметр вписанного в е шара, так что de < he Рассматривая семейство триангуляций (Th) с

параметром h = max he О, предполагается выполненным условие регулярности

ееТн

К < С de (13)

с постоянной С > 1, не зависящей от шага конечноэлементной сетки h В двумерном случае это условие равносильно условию М Зламала о невырождении углов треугольников, образующих триангуляцию области

В разделе 2 вводится оператор проектирования на конечном элементе Для каждого z е и>е существует единственная функция ipZt¡, € Pfc(e), удовлетворяющая тождеству

{Фч,Ч>\ = Ч>(*) Vpeflb(e), (14)

где (u,v)e = f u(x)v(x)dx - скалярное произведение в L2(e) Следовательно,

е

fcpz,e, V£,e)e = ¿zí Vz, ^ e ше Определим оператор проектирования /е в пространство Рк(е) формулой

1еи(х) - (Фг,е,и)еЧ>г{х) (15)

Функцию r¡ = Ieu e Pfc(e) можно определить как решение вариационной задачи (и — r?, ¡p)e = 0 V<p € Рь(е) По определению, 1е<р = <р У<р G Pk{e) В отличие от стандартного оператора лагранжевой интерполяции, определенного на непрерывных функциях и использующий значения функции в узлах ше, проектор 1е корректно определен на более широком классе £i(e)

Для компакта Г С dû определяются весовые пространства Соболева Wg a(ü), состоящие из функций с конечной полунормой

= Í \p-aDM4f'q, M=*n

где р(х) есть расстояние от точки х до компакта Г

Пусть I < р < q < сю, у = к + 1 — т/р — а + т/д > 0 (что обеспечивает компактное вложение ÎV£+1(Q) в ÍV^(U)), a < /3 + у и I € Lqlx(Û) Выполнимость данных условий влечет компактность вложения W^^iÜ) в W*a(Q) Наконец, для корректного определения оператора 1е на классе будем предполагать, что

имеет место вложение с Li(Q) Тогда справедлива

Теорема 13 Существует, постоянная с> О, не зависящая от е € Th, что для всех и € справедлива оценка

)p-aV°(u - Ieu)< chlpt*\р'^к+1и\р<е, где ре = шах{р(ж) х € е}

Определение 2. Пусть г > 1 некоторое число Будем говорить, что семейство триангуляций {Th)h сгущается вблизи Г со степенью сгущения г, если he ~ hp¡TX^T, где h = max{fte е € 7J,}

Эта оценка в определении означает, что вблизи множества особых точек Г линейные размеры конечных элементов должны быть существенно меньше шага сетки h Именно, для тех элементов, для которых he ~ ре будет выполняться оценка he ~ hr Случаю г = 1 соответствует квазиравномерное семейство триангуляций

При выполнении тех же условий вложения, что и в теореме 13, имеет место

Теорема 14. Если семейство триангуляций сгущается вблизи Г со степенью сгущения г > 1, то существует постоянная о 0, не зависящая от е €T¡¡, что для всех и е ^¿^(П) справедлива оценка

- /e«)|w < ch.»\p-eVMu\^

где в = mm(7, r{7 + /3 — a))

В разделе 3 четвертой главы вводится оператор проектирования в пространство конечных элементов Хи, определенный на функциях из ¿х(П) и дается оценка погрешности аппроксимации в весовых нормах

Для узла конечноэлементной сетки гби4 обозначим = {е € г 6 е}, пл(г) = саг(17;г(г) и линейный функционал на

Таким образом, значение функции ¡р — 1ни в каждом узле сетки г Ешн есть среднее арифметическое значений 1еи(г) локальных проекций на элементах е, содержащих узел г Если ¡р € Хк, то, по свойству локальных операторов проектирования, 1е<р = <р на е, поэтому для е € Тн{г) = ¡р(г) Следовательно, 1Н1р = (р, и оператор

является проектором на пространство Хк

Основной результат главы содержится в следующей оценке

Теорема 15. Пусть а < к + ¡3, в € {0,1}, 16 Ьр,а{0,) и выполнено включение И^^П) С £1(0) Тогда для сгущающегося к Г со степенью г > 1 семейства триангуляций (7^) справедлива оценка погрешности аппроксимации

где в = т1п(к + 1 — 8, г(к 4-1 — в + (3 — а))

Эта оценка обобщает хорошо известную оценку аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями в невесовых пространствах Соболева при а = /3 = 0, г = 1

В разделе 4 главы 4 устанавливаются условия оптимальности аппроксимаций конечными элементами функций из весовых пространств Соболева на основе специальных геометрических характеристик, количественно описывающих качественные свойства компактных операторов и компактов в банаховых пространствах Обзор этих характеристик и их взаимосвязь имеется в работах В С Митягина, В М Тихомирова, А Пелчинского, А Пича, X Трибеля Такими характеристиками являются, в частности, поперечники по Колмогорову и аппроксимационные числа, описывающие аппроксимации компактных операторов конечномерными Вопрос оптимальности конечноэлементных аппроксимаций в невесовом пространстве Соболева с использованием п-поперечников обсуждался И Бабушкой и А Азизом (1972)

Определим оператор проектирования /д из £х(П) в Хь формулой

4 и(х) = (и)<Рг(х)

гешл

1р,{2>

В главе 5 рассмотрен ряд эллиптических краевых задач с вырождением коэффициентов в граничных точках, получены нижние оценки скорости сходимости методов Галеркина для этих задач, построены проекционно-сеточные схемы их численного решения, установлены их оценки погрешности, которые доказывают их оптимальность в энергетической норме

Рассматриваемые краевые задачи формулируются в эквивалентной вариационной форме вводятся билинейная форма а(и. у), порождаемая дифференциальным оператором в левой части уравнения, энергетическое пространстве V, состоящее из

функций с конечной нормой !|г>[|у = т/а(и, у) и удовлетворяющих краевым условиям задачи, линейный функционал ¡(и), определяемый правой частью уравнения, и ставится задача о нахождении функции и € V такой, что

а(и,«) = Кг>) У?;€У (16)

Эта задача решается приближенно методом Галеркина, т е выбирается аппроксимирующее подпространство Уп С V и ищется приближенное решение ип = и/1П 6 Уп, удовлетворяющее тождеству

а(м„,г;) = Кг;) \/у€Уп (17)

В разделе 1 в интервале С1 = (0,1) рассматривается двухточечная задача Дирихле 4-го порядка

(хааи")" + х*Ъи = /, и(0) = «'(0) = «(1) = и'{1) = 0 (18)

Всюду предполагается, что выполнены условия а < 1, а < /3 + 4, / е ¿оо(П)

Исследовались различные подходы для аппроксимации решения двухточечной краевой задачи 2-го порядка с вырождением коэффициентов в одном или обоих концах интервала, в том числе сгущение сетки и использование ¿-сплайнов Здесь можно указать работы П Джамета, П Сьярле, Ф Наттерера, Р Варга, а также М Крузей, Д М Тома, Д Дейли, Д Пирса, К Эрикссона, В Томе, Р Шрейбера и других Метод аппроксимации, используемый в диссертационной работе основан на мультипликативном выделении особенности, а именно на представлении решения исходной задачи в виде и(х) — х1~ай(х) для уравнения 2-го порядка и и(х) — х2~ай{х) для уравнения 4-го порядка

Введем в рассмотрение билинейную форму а и линейный функционал f

а(и, V) - ! хааи"ь" + хрЬиь в,х, ^а) = J /г; Ах п о

Пусть V обозначает гильбертово пространство функций г>(ж) с конечной нормой = Vа(гЛ и удовлетворяющих краевым условиям задачи Тогда граничная задача (18) эквивалентна вариационной задаче (16)

Для сетки узлов шп = г = 0,1,2, , п} обозначим через 53,1(о;п) пространство кубических сплайнов класса С1, те множество всех непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, сужение каждой из которых на любой отрезок есть полином третьей степени (кубический конечный элемент класса С1)

В качестве аппроксимирующего подпространства У„ берется множество всех функций вида х2~а1р(х), где "ф € 53,1(шп), 1р(1) = ^>'(1) = 0 Доказывается

Теорема 16. Имеет место оценка скорости сходимости приближенного метода (17) для задачи (16) [|и — и„||у < сп~~2[\/\\ь^

Замечание. При использовании стандартного метода конечных элементов для задачи (16), те когда в качестве аппроксимирующего пространства У„ берется множество функций из 53,1(с^п), удовлетворяющих граничным условиям задачи, имеет место лишь оценка ||и — ~ сге^Ц/Ц^

В разделе 2 в области О. = (0,1) х (0,1) С Л2 рассматривается краевая задача Дирихле

—д1(х1а1(х)д1и(х)) — д2(х1а2{х)д2и(х)) = /(х), и\ея = 0 (19)

с вырождением коэффициентов уравнения по переменной х^ на части границы Г = {0} х [0,1] Предполагается, что а < 1, коэффициенты аг(х) достаточно гладкие, аг(х) > со > 0 для г = 1,2, правая часть / е ¿2|7(П) и выполнено условие 1 +7 — а/2 > 0 Билинейная форма задачи определяется формулой

а(и,и) = Jх*а\(х)д\и(х)д\у(х) + х^аъ(х)д2и{х)д2ъ(х) йх, а

линейный функционал = / ¡{х)ь{х)(1х Доказывается, что при сделанных предположениях существует единственное решение задачи (16)

Пусть Уп с V — произвольная последовательность подпространств размерности п = 1,2, Обозначим через щ решение задачи (16) для правой части / е Ь2,~, (П) и через иу € Уп приближение по Галеркину в подпространстве Уп, т е решение задачи (17) Введем функцию ошибки, положив

Еп = Е(уп) = 8ир{||«/ - и]1\у \\хГПЫЛ) < 1} Для А > 0 и натурального п определим также функцию

га"1/2 , если А > 1/2 йд(п) = < п-1/2 1п1/2п , если А = 1/2 к\(п) = п_л , если А < 1/2 Используя оценку решения в теореме 6 главы 3 и оценки поперечников по Колмогорову в весовых пространствах Соболева, доказывается нижняя оценка скорости сходимости произвольного метода Галеркина

Теорема 17. Пусть А = 1+7—а/2 > 0 Существует такая постоянная со > О, что для погрешности аппроксимаций (17) имеет место оценка Еп > с$Н\(п)

Далее строится проекционно-сеточная схема на основе мультипликативного выделения особенности, для которой нижняя оценка достигается, тес оптимальной скоростью сходимости Пусть (%) — семейство триангуляций области О, card Тп о±п, Х„ — пространство линейных конечных элементов Введем пространство V„ С V, состоящее из функций вида х\~аф(х), где ф 6 Хп и ф(х) — 0 на части границы dQ \ Г Заметим, что dim 14 — я

Теорема 18 В зависимости от А = шт(1,1 + 7 — а/2) выберем степень сгущения триангуляций (%,) г = 1/А, если А > 1/2 иг € (2,1/А], если А < 1/2 Тогда для решений и^ 6 14 задач (17) имеет место сходимость E(Vn) < ch\(n) В частности, для f 6 справедлива оценка E(Vn) < сп~гI2 на квазиравномерной

сетке

Доказанная теорема доказывает оптимальность построенного проекционно-сеточного метода на основе мультипликативного выделения особенности В то же время стандартный метод конечных элементов, с использованием кусочно-линейных аппроксимаций, при вырождении а е (0,1) дает лишь сходимость Еп > с^п1^' на равномерной сетке и Еп > соп^г1 » h\(n) на сгущающейся сетке

В этом же разделе строятся оптимальные проекционно-сеточные схемы для задачи с краевым условием Неймана в точках вырождения коэффициентов, а также для задачи Дирихле в области с криволинейной границей С использованием приема Обэна-Нитше получен спектр оценок точности построенных проекционно-сеточных методов в нормах пространств ¿2 с весом

Раздел 3 главы 5 посвящен построению оптимальных проекционно-сеточных схем для задач с вырождением в угловой точке Для задач в областях с угловыми точками без вырождения коэффициентов в работах Е А Волкова, И Бабушки, Г Стренга и Дж Фикса, А Шатса и Л Уолбина, В В Шайдурова анализировались способы локального сгущения сетки Р 3 Даутовым предложена схема МКЭ с мультипликативным выделением особенности в окрестности угловой точки В диссертационной работе этот метод обобщается на случай вырождения коэффициентов в угловой точке

Пусть (2 С Ж2 — угловой сектор раствора в е (0,2тг] с вершиной в начале координат О, который описывается в полярных координатах условиями 0 < г < 1, 0 < <р < 6 В области Q рассматривается модельная задача

- div ff Vu = f в П, и = 0 на дП (20)

Здесь р(х) = \х\ = (ж2 4-ж2)1/2, / € те р-7/ € Ь2(С1) Задача имеет три раз-

личных типа особенностей в угловой точке, характеризуемых тремя вещественными параметрами в, или А = ж/в, а и 7

Билинейная форма и линейный функционал определяются формулами

а(и, у) = j р°"Яи УЫх, (^и) = j /(х)ь(х)йх п о

на энергетическом пространстве V = {г; € £г,1ос 1М1у = < оо, г; = 0 на

дП} Краевая задача (20) эквивалентна вариационной задаче (16) с введенными а и | на пространстве V Доказывается, что при условии 1 + 7 — а/2 > 0 задача (16) имеет единственное решение

Пусть Уп С V — произвольная последовательность подпространств размерности п е N Также как и в предыдущем разделе через и/ обозначается решение задачи (16) для правой части / € и через и" е Т4 — приближение по Галеркину

в подпространстве те решение задачи (17) Ошибка аппроксимации на классе правых частей £2,7(П) вычисляется по формуле

Е„ = Е(уп) = вщКЦи, - ип}\\у \\р~У\\12{п) < 1}

Справедлива

Теорема 19. Если 1 + 7 — а/2 > О, то имеет место нижняя оценка скорости сходимости Еп > Соп"1^2

Обозначим через 5 часть границы ЗП, состоящую из отрезков 1р = 0 и ¡р = в Введем функцию

<т(г,<р) = r^smXip, где А = -к/в, /3 =

УЧА2

+ а2

2

Пусть (TJi) — семейство триангуляций области П, card Trl ~ га, Хп — пространство линейных конечных элементов Положим f2n = U{e е е Тп}, Sn = 8Qn\S и определим аппроксимирующие подпространства двумя методами — кусочно-линейными функциями на сгущающейся сетке и кусочно-линейными функциями, умноженными на весовую функцию сг, определенную выше Vn = € « = 0 на dfln}, Vn = {¿то v е Х„, v = 0 на 5„}

Рассматриваются три возможных случая значения 1-1-7—а/2, которое определяет степень сгущения сетки в окрестности угловой точки для достижения оптимальной

скорости сходимости _

\/4А2 Н- а2

1 0<1+7 — а/2 <- Для Vn и Vn выбирается одна и та же степень

сгущения сетки rx = max (1, --rr ]

\ 1+1-а/2 J

„ \/4Л2 + о? ^ , %/16Л2 + а2 _ „

2 ---— < 1 + 7 — а/ 2 < --- Степень сгущения сетки для К» —

2 -т*2 = тах(1, — =) Степень сгущения для как и в первом случае — т\

\/4Х2 + а2 Заметим, что < т2

„ \/16Л2 + а2

2

< 1 + 7 — а/2 Для 14 степень сгущения, как и в предыдущем

случае, равна г2 Для У„ выбираем г3 = шах ( 1, —=Е= ) Очевидно, что и в

v 16Л2 + а2у

этом случае степень сгущения Гз для построения К, меньше, чем г2

Доказывается, что во всех случаях получается оптимальная скорость сходимости Е(У„) — г/Г1/2 и Е{Уп) ~ гС1!2 на классе правых частей Ь2а В частности, верна

Теорема 20 Если 7 > а/2, то для аппроксимаций вида ип = айп на равномерной сетке с шагом А ~ га-1/2, где йп € 14, имеет место оптимальная скорость сходимости в энергетической норме

11«-«nilV < с-

IIP VIU(n)

V-K ,/n

В разделе 4 в области fi = (0,1) х (0,1) рассматривается задача на собственные значения с вырождающимися на Г = {0} х [0,1] коэффициентами

—di(xfa1diu) — х^дг(а2д2и) = Хх^Ьи в fi, и — 0 на <ЭП (21)

Здесь а < mm(l, ^(5 + 1,0 + 2) На пространстве V =Hï_0i2{iï) определяются билинейные формы

а(и, v) = J x"akdkudkvdx, b(u, v) = j x^buvdx a k=1 n

Исходную задачу (21) можно записать в вариационном виде, как задачу об отыскании собственных пар (A,«)eKxV, удовлетворяющих уравнению

a(u,v) = \b(u,v) toeV (22)

Доказывается, что существует счетное семейство собственных значений 0 < Ах < А2 < , А., —» оо и соответствующих им собственных функций иг

Пусть (7~п) — семейство квазиравномерных триангуляций прямоугольника fi, card Тп~ n, Хп — пространство линейных конечных элементов Введем пространство Vn С V, состоящее из функций вида х\~аф(х), где -ф € Хп и ф{х) = 0 на части границы 8Q, \ Г и будем использовать его для аппроксимации задачи (22) Приближенными решениями называются пары (А, и) € R х Vn, и ^ 0. удовлетворяющие уравнению

a(u,v) = А6(и,г;) Vue К (23)

Теорема 21 Справедливы следующие утверждения

(г) для каждой собственной функции ицп задачи (23) существует собственная функция иг задачи (22), соответствующая собственному значению что ||иг||у = 1 и справедлива оценка в энергетической норме ||щ, — «»,„11,, < Сгп~1/2, где с.г не зависит от п,

(ы) для соответствующих собственных значений задач (22) и (23) имеет место оценка 0 < — \ < с,п-1

Список основных публикаций

[1] Тимербаев М Р Теоремы вложения весовых пространств Соболева / М РТимербаев // Изв вузов Математика -1991 -№9 - С 56-60

[2] Тимербаев М Р Оценки погрешности п-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах / М Р Тимербаев // Известия вузов Математика -1992 - № 10 - С 5460

[3] Ляшко А Д Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллптических уравнений второго порядка /АД Ляшко, М Р Тимербаев // Дифф уравнения - 1993 - Т 29, № 7 - С 1210-1215

[4] Тимербаев М Р Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных вырождающихся уравнений 2-го порядка / М Р Тимербаев, А Д Ляшко // Дифф уравнения - 1994 - Т 30, № 7 - С 1239-1243

[5] Тимербаев М Р Конечноэлементная аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей / М РТимербаев // Изв вузов Математика - 1994 - № 9 - С 78-86

[6] Ljashko A D Convergence of the finite element method for nonlinear elliptic equation with degeneration /AD Ljashko, M R Timerbaev // Abstracts of International Conference "Optimization of Finite Element Approximation", June 25-29, 1995, St-Petesburg, 1995 - P 70-71

[7] Ляшко А Д Метод конечных элементов для эллиптического уравнения с вырождением коэффициентов внутри области / АД Ляшко, MP Тимербаев // Материалы международной конференции и чебышевских чтений, посвященных

175-летию П JI Чебышева, Москва, 13-16 мая Т 2 - М . Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1996 - С 234-236

[8] Карчевский М М Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка /ММ Карчевский, А Д Ляшко, М Р Тимербаев // Материалы Второго Всерос семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" - Казань Изд-во Казанского мат об-ва, 1998 - С 46-47

[9] Ляшко А Д Метод конечных элементов для линейного эллиптического уравнения, вырождающегося внутри области /АД Ляшко, М Р Тимербаев // Материалы Второго Всерос семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" - Казань Изд-во Казанского мат об-ва, 1998 - С 51-52

[10] Тимербаев М Р Оценки погрешности аппроксимации конечными элементами класса С1 в весовых пространствах / М Р Тимербаев // Материалы Второго Всерос семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" -Казань Изд-во Казанского мат об-ва, 1998 - С 69-70

[11] Карчевский М М Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений 4-го порядка /ММ Карчевский, А Д Ляшко, М Р Тимербаев // Дифф уравнения - 1999 - Т 35, № 2 - С 232-237

[12] Ляшко АД Вопросы разрешимости и метод конечных элементов для вырождающихся эллиптических уравнений / А Д Ляшко, М Р Тимербаев // Известия вузов Математика - 1999 - № 5 - С 57-64

[13] Карчевский М М Смешанный метод конечных элементов для вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка /ММ Карчевский, А Д Ляшко, М Р Тимербаев // Труды VIII Всеросс шк -сем "Совр проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону Изд-во РГУ - 1999 - С 102-106

[14] Карчевский М М Смешанный Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка / М М Карчевский, А Д Ляшко, М Р Тимербаев // Дифф уравнения - 2000 -Т 52, № 7 - С 1050-1057

[15] Тимербаев М Р Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений / М Р Тимербаев // Дифф уравнения - 2000 - Т 52, № 7 - С 1086-1093

[16] Тимербаев М Р Конечноэлементная аппроксимация в весовых пространствах Соболева / М Р Тимербаев // Изв вузов Математика - 2000 - № 11 - С 7684

[17] Тимербаев М Р О схемах МКЭ с весом для эллиптических вырождающихся уравнений 2-го порядка / М Р Тимербаев // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Материалы Третьего Всероссийского семинара - Казань Изд-во Казанского математического общества, 2000 - С 116-117

[18] Тимербаев М Р Метод конечных элементов для эллиптических задач 2-го порядка с анизотропным вырождением / М Р Тимербаев // Abstracts of International Conference "Optimization of Finite Element Approximation & Splmes and Wavelets", June 25-29, 2001, St-Petersburg - P 74-75

[19] Тимербаев M P О весовых оценках аппроксимации эрмитовыми элементами / М Р Тимербаев // Сб трудов IX всероссийской школы-семинара "Совр проблемы математического моделирования", Изд-во РГУ, 2001 - С 345-350

[20] Тимербаев М Р О регуляризованной двухсеточной аппроксимации задачи на собственные значенния с вырождающимся оператором / М Р Тимербаев / / Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Материалы Четвертого Всероссийского семинара - Казань Изд-во Казанского математического общества, 2002 - С 100-103

[21] Тимербаев М Р Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы / М Р Тимербаев // Изв вузов Математика -2003 - № 1 - С 60-73

[22] Тимербаев М Р Двухсеточная аппроксимация задачи на собственные значения с вырождающимся оператором / М Р Тимербаев / / Актуальные проблемы прикладной математики и механики Тезисы докладов Всеросс конф , посвященной 70-летию со дня рожд акад А Ф Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г) - Екатеринбург Изд-во ИММ УРО РАН, 2003 - С 74-75

[23] Тимербаев М Р Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева I / М РТимербаев // Изв вузов Математика -2003 -№3 -С 55-65

[24] Timerbaev М Optimal convergence of the special finite element method for the boundary-value problem with anisotropic degeneration / M Timerbaev // Abstracts of International Conference "Computational Methods m Applied Mathematics", July 20-24, 2003, Minsk - P 57

[25] Тимербаев М Р Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева II / М Р Тимербаев// Изв вузов Математика -2003 - № 9 - С 46-53

[26] Тимербаев М Р Оптимальная сходимость метода конечных элементов для задачи Дирихле с вырождением на границе / М Р Тимербаев / / Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Пятого Всероссийского семинара - Казань Казанский государственный университет, 2004 - С 220-223

[27] Тимербаев М Р Оценки погрешности конечно-элементной задачи на собственные значения с вырождющимся оператором / М Р Тимербаев // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Пятого Всероссийского семинара - Казань Казанский государственный университет, 2004 - С 223-225

[28] Тимербаев М Р О схемах МКЭ для 2-точечной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением / М Р Тимербаев // Исследования по прикладной математике и информатике - Казань Казанский государственный университет, 2004 -Вып 25 - С 127-132

[29] Тимербаев М Р Весовые оценки решения анизотропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения / М Р Тимербаев // Изв вузов Математика - 2005 - № 7 - С 63-76

[30] Тимербаев М Р Оптимальные схемы МКЭ для задачи с вырождением в угловой точке / М Р Тимербаев // Сеточные методы для краевых задач и приложения Материалы Шестого Всероссийского семинара - Казань Казанский государственный университет, 2005 - С 212-214

[31] Тимербаев М Р Аппроксимация конечными элементами краевой задачи на собственные значения вырождающегояс дифференциального оператора / МР Тимербаев // Ученые записки КазГУ Серия физ-мат науки - 2005 -Т 147, Кн 3 - С 157-165

[32] Тимербаев М Р Оптимальные конечноэлементные аппроксимации задачи с вырождением в угловых точках / М Р Тимербаев // Математические идеи П Л Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания Тезисы докладов 3-й международной научной конференции (Обнинск, 14-18 мая 2006 г) - Обнинск Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2006 - С 112-113

[33] Тимербаев М Р О дискретизации краевой задачи на собственные значения вырождающегося дифференциального оператора / М Р Тимербаев // Труды Сред-неволжского мат об-ва - 2006 - Т 8, № 1. - С 306-309

[34] Тимербаев М Р Оптимальные схемы МКЭ для задачи об изгибе балки с острым краем / М Р Тимербаев / / Вестник Удм ун-та Математика - 2007 - № 1 -С 127-134

[35] Таюпов ЩИ О методе декомпозиции области для эллиптической задачи с вырождающимися внутри области коэффициентами / Ш И Таюпов, МР Тимербаев // В сб трудов 4-ой Всероссийской конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2007 г - С 180-183

[36] Тимербаев М Р Оптимальные аппроксимации конечными элементами краевых задач с вырождением / М Р Тимербаев // Тез докл Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, Новосибирск, 18-20 июня 2007 г -С 83

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина Тираж 100 экз Заказ 19/9

420008, ул Профессора Нужина, 1/37 тел 231-53-59,292-65-60

Обозначения.

Введение.

1 Предварительные результаты: пространства с нормой графика, пространства вектор-функций, теоремы вложения

1 Пространства с нормой графика.

2 Интегральный оператор Харди.

3 Теоремы вложения весовых пространств Соболева вектор-функций

2 Вырождающееся дифференциальное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве

1 Весовые оценки решения уравнения (2.1) с условием Неймана в нуле.

1.1 Необходимые условия существования решения задачи Неймана.

1.2 Весовые оценки решения уравнения со скалярными коэффициентами.

1.3 Весовые оценки решения задачи (2.4) с операторными коэффициентами.

1.4 Компактно возмущенная задача.

2 Весовые оценки решения задачи Дирихле.

2.1 Пространство решений задачи Дирихле.

2.2 Случай постоянных операторных коэффициентов

2.3 Локальные априорные оценки.

2.4 Глобальные априорные оценки и теоремы о разрешимости задачи (2.19).

2.5 Компактно возмущенная задача Дирихле.

3 Граничные свойства решения абстрактного вырождающегося уравнения. Неоднородные граничные условия.

3.1 Однородная задача Дирихле.

3.2 Граничная задача с неоднородными условиями Дирихле

3.3 Задача с неоднородным граничным условием Неймана в точке вырождения.

3.4 Теорема о промежуточных производных для функций из иъаат>х'х1).

Весовые оценки решений эллиптических уравнений в частных производных, вырождающихся на границе

1 Весовые оценки решений задач Дирихле и Неймана в цилиндрической области.

1.1 Однородное условие Дирихле на Г.

1.2 Неоднородное условие Дирихле на Г.

1.3 Условие Неймана на Г.

2 Оценки решений вырождающихся эллиптических задач в ограниченной области с гладкой границей.

2.1 Весовые классы функций.

2.2 Замена переменных в дифференциальном выражении

2.3 Оценки решения задачи Дирихле в ограниченной области класса С

4 Аппроксимация конечными элементами в весовых пространствах Соболева

1 Основные понятия и обозначения.

1.1 Теоремы вложения пространств Соболева с весом

1.2 Основные понятия и определения теории метода конечных элементов

2 Оператор проектирования на элементе.

3 Оператор проектирования на пространство конечных элементов

4 Оптимальность аппроксимации конечными элементами

5 Оптимальные аппроксимации краевых задач с особенностями на границе

1 Двухточечная краевая задача Дирихле для вырождающегося уравнения 4-го порядка.

2 Аппроксимация краевых задач Дирихле и Неймана для вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка

2.1 Задача Неймана в прямоугольной области

2.2 Задача Дирихле в прямоугольной области.

2.3 Задача Дирихле в области с криволинейной границей

2.4 Оценки погрешности в весовых Хг-нормах.

2.5 Результаты численных экспериментов.

3 Аппроксимация краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения 2-го порядка, вырождающегося в угловой точке

3.1 Оптимальные схемы МКЭ, основанные на сгущении конечноэлементной сетки.

3.2 Оптимальные схемы МКЭ, основанные на мультипликативном выделении особенности.

4 Аппроксимация краевой задачи на собственные значения для вырождающегося дифференциального оператора.

4.1 Метод Галеркина решения обобщенной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве

4.2 Формулировка краевой задачи на собственные значения и оценки собственных функций в нормах весовых пространств Соболева

4.3 Аппроксимация задачи на собственные значения . . . 218 Литература.

Обозначения

Через X будет обозначаться, если не оговорено специально, сепарабель-ное гильбертово вещественное пространство со скалярным произведением х • у и нормой \х\х = у/х • х. В частности, в качестве X будет рассматриваться евклидово пространство Rm векторов-столбцов х = (Х\,Х2, • • •, хт)1 (значок t здесь — операция транспонирования векторов или матриц) со стандартным скалярным произведением га i=

Для х е X и S > 0 положим 0&{х) = {у Е X : \у — х\х < «5} и Os[x] = {у Е X : \у - х\х < S}.

Если X и Y — два гильбертовых пространства, то В(Х —> Y) - пространство линейных непрерывных операторовшз^ишИ, наделенное операторной нормой. Если X = Y, то полагаем для краткости В(Х) = В(Х —> X). Тождественный оператор в X (единица в В{Х)) обозначается через idx = id. Ядро (т.е. множество решений уравнения Ах = 0) оператора А Е В(Х —> Y) обозначается через ker А.

Если множество Q С Мт открыто, то И называется областью. Мы пишем К С С Л, если замыкание К также содержится в О и говорим при этом, что К существенно содержится в ft.

Все функции считаются далее без оговорок по меньшей мере измеримыми по Лебегу в своей области определения.

Если ft — область в Мта, то для частных производных (классических или обобщенных) функции и(х), заданной в ft, используются стандартные обозначения du (х) я = uXi(x) = diu(x)

Di = - = дЧ переменная x £ f} часто будет опускаться). Если г = («i, • ■ ■, ш) мультииндекс, то

UJj^ ■ . . J^rn есть частная производная, или оператор частного дифференцирования, порядка |i| = ii + . + im.

Пространство Ck(fl) — пространство к раз непрерывно дифференцируемых в Q функций. Для конечного или бесконечного к через Cq(^) обозначается множество тех функции из Ck(Q), носитель которых компактен в Q. В частности C^(Q) — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным в П носителем. Это множество функций обозначают также через D (О).

Пространство Ck(Q) — пространство к раз равномерно непрерывно дифференцируемых в Q функций. Следовательно, любая функция этого класса имеет единственное продолжение на точки границы дО, области О вместе со всеми своими производными до порядка к включительно. Если область О ограничена, то пространство Ck(fl) является банаховым пространством относительно нормы

С*(П)|| = У тах|£>ги(ж)| или эквивалентной ей нормы u\Ck(Sl)\\2 = шах \и(х)\ + ^ max |D*u(x , x£tt \г\=к

Для р Е [1, оо) пространство Lp(Tl) — это пространство функций с конечной нормой u(x)\pdx u\Pjn = \\u\LPm=iJ

В случае р = оо норма пространства определяется формулой

Moo,n = = esssup|it(ar)|.

Пространства LP(Q,) банаховы относительно указанных норм, при 1 < р < сю они сепарабельны, рефлексивны при 1 < р < сю, а 1/2(П) — сепара-бельное гильбертово пространство.

Через Lpдос (О) обозначается множество таких функций и(х), сужение которых на любую подобласть ГУ С С П является элементом пространства Lp(Q!). Выбрав какую нибудь последовательность подобластей Qn С С Q, такую что |J Qn = это множество функций становится пространством

Фреше (т.е. полное метризуемое локально выпуклое пространство) относительно счетного семейства полунорм ||г1|1^(Г}п)|| (n = 1, 2,.). Топология этого пространства не зависит от выбора подобластей Пп.

Для р € [1, оо] и целого неотрицательного к через (ft) обозначается пространство Соболева, т.е. это пространство функций с конечной нормой

V \г\<к u\w*m\ = \\и\ьРтр+£ или эквивалентной ей нормой

Производные в этих нормах понимаются в обобщенных смысле. Используются сокращенные обозначения полунорм:

Также как и пространства LP(Q), пространства Wp(ti) банаховы, сепарабельны при 1 < р < оо, рефлексивны при 1 < р < оо. Пространство Wrfity гильбертово; его мы будем обозначать также через Нк(£1).

Пространства Фреше WKoc(Q) определяются аналогичным образом,

Если А(ж) > 0 и непрерывна всюду в Г2, то можно определить пространство А) как подмножество тех функций из Для которых конечна норма где подобласть ГУ С С П фиксирована и другой выбор ГУ приведет к эквивалентной норме и не изменит самого множества Wp(Q,X). В частности, если подмножество Г С <9П замкнуто и р(х) обозначает расстояние от х до Г, то в качестве \{х) можно взять р~а(х)> где степень aGK фиксирована. В этом случае для Л) используется обозначение (П), а при р = 2 — Эти пространства называются весовыми пространствами Соболева, и их теорию можно, например, найти в монографиях [65], [141].

Если s = к -f Л, где к = [s] > 0 — целая часть, Л = {<$}, 0 < Л < 1, то для р G (1,оо) определяется весовое пространство Соболева с дробным порядком дифференцирования, или весовое пространство Соболева-Слободецкого Wp(Q., А) как множество функций с конечной нормой, определяемой формулой как и LP}loc (ft).

AQ)Dlu{x) - А(у)Р{и(у) \x - y\m+PA dxdy.

До появления ЭВМ на протяжении многих лет задачи математической физики решались вариационными или проекционными методами, такими, как метод Ритца или Бубнова-Галеркина. Задачи эти были сравнительно просты и число базисных функций, участвовавших в аппроксимации точного решения задачи не могло быть большим, поскольку эти методы приводили к решению систем линейных алгебраических уравнений, решить которые при большом количестве неизвестных без применения вычислительной техники не представлялось возможным.

С появлением ЭВМ в начале 50-х годов прошлого столетия, первым приближенным методом решения краевых задач, получившим широкое распространение, стал метод конечных разностей. Его важным свойством является то, что он приводит к решению систем с сильно разреженными матрицами. Крупный вклад в развитие этого метода внесли отечественные математики. Ставшими классическими результаты теории разностных методов, изложены в монографиях А.А.Самарского [76], А.А.Самарского и А.В.Гулина [78], В.Б.Андреева и А.А.Самарского [1], А.А.Самарского и Е.С.Николаева [79], А.А.Самарского и П.Н.Вабищевича [77], Н.Н. Янен-ко [155], Е.Г.Дьяконова [28], Л.А.Оганесяна, В.Я.Ривкинда и Л.А.Руховца [70], [71], Г.И.Марчука и В.В.Шайдурова [58] и других.

В середине 50-х годов эффективная вычислительная процедура, основанная на вариационных принципах и получившая впоследствии название "метод конечных элементов"(МКЭ) [179, R.W.Clough,1960], использовалась инженерами для исследования сложных механических конструкций. Этот метод довольно продолжительное время оставался вне поля зрения математиков и лишь приблизительно с конца 60-х годов стали появляться первые работы, посвященные этому методу. К настоящему времени число опубликованных статей и монографий по этой тематике огромно. Отметим лишь только некоторые из них, оказавших влияние на развитие теории метода конечных элементов и его применение в промышленных расчетах, в технике и научных исследованиях: это монографии Ж.Обэна [69], Г.Стренга и Дж.Фикса [83], Ф.Сьярле [84], В.Г.Корнеева [39], Л.Сегерлинда [80], Г.И. Марчука и В.И.Агошкова [57], Э.Митчела и Р.Уэйта [59], Д.Норри и Ж. де Фриза [68], О.Зенкевича [30], О.Зенкевича и К.Моргана [31] и других.

С середины 70-х годов стали появляться различные модификации МКЭ. Во-первых, это методы конечных элементов, основанные на смешанных формулировках, с целью аппроксимации как решения задачи, так и его производных, или с целью упростить используемые для аппроксимации задач 4-го порядка и выше пространства конечных элементов. Другим ответвлением являются методы декомпозиции области, в которых решение находится с помощью итерационного процесса, допускающего, в частности, в соответствии с разбиением области распараллеливание, что позволяет эффективно использовать многопроцессорные или многокомпьютерные вычислительные системы. Большое количество работ посвящено многосеточным методам, которые позволяют находить решение ВОЗНИКаЮ

ТТТРй TS ЛУГ "К г-} Г* Т/Г Р ПНР А/Г WT Г М TTPTT4RPPrrHT,TlUTT ^Я 0( ЛП ятягЬл/ГРФТ/ГИРГ'К'Т/ПГ ПТТРПЯ М is^frJlB&zIg? . , ций. Эти успехи также нашли отражение в многочисленных монографиях, например, В.Хакбуша [191], К.Джонсона [201], В.В.Шайдурова [153], Ф.Бреззи и М.Фортина [174], К. Bathe [167], В.Бангерта и Р.Раннахера [164], Д.В.Хаттона [194] и многих других. В этом небольшом обзоре мы не коснулись весьма значимых вопросов, связанных с методами решения генерируемой в МКЭ системы линейных алгебраических уравнений.

Метод конечных элементов (проекционно-сеточный метод) можно рассматривать как вариант метода Галеркина с базисными функциями, имеющими малый носитель, что приводит, как и в методе конечных разностей, к разреженной матрице результирующей системы линейных алгебраических уравнений. Более того, теория аппроксимации функций в пространствах Соболева и теоремы гладкости обосновывают эффективность использования в МКЭ базиса с кусочно-полиномиальными финитными функциями для аппроксимации решений регулярных задач, т.е. краевых задач с гладкими входными данными. Теория таких задач достаточно хорошо разработана, хорошо известны априорные оценки их решений, что позволяет на основе априорной информации оптимальным образом выбирать аппроксимирующее подпространство кусочно-полиномиальных функций для достижения заданной точности приближения.

Иначе обстоит дело с нерегулярными задачами, или задачами с особенностями во входных данных. К ним относятся: сингулярно-возмущенная задача (задача с малым параметром); краевая задача в области с негладкой границей, например, с угловыми точками, с разрезами или с мелкозернистой структурой; задача с негладкой правой частью; краевая задача с сингулярным дифференциальным оператором, например, вырождающимся оператором; и т.д. Сингулярность во входных данных краевой задачи приводит к появлению особенности у решения, адекватное описание которой, в том числе выбор нормы в априорных оценках, уже является непростым вопросом. Особенности могут быть совершенно разного типа и даже накладываться друг на друга (например, в случае вырождения коэффициентов дифференциального оператора задачи в угловой точке) и охватить нерегулярные задачи единой теорией, в том числе и теорией аппроксимации, невозможно в принципе, в отличие от регулярного случая; в каждом конкретном случае требуется специальный анализ. Использование для аппроксимации решений этих задач кусочно-полиномиальных функций на равномерной сетке без учета особенности приводит к существенному понижению точности конечноэлементных приближенных решений и снижает эффективность всего метода в целом. Поэтому актуальным является noil строение проекционно-сеточных схем для этих задач, которые имели бы повышенную точность по сравнению со стандартными аппроксимациями.

Особенно труден вопрос о построении оптимальных в том или ином смысле проекционно-сеточных схем. Когда говорят об оценках точности приближенного метода в некоторой норме, то имеют в виду оценки сверху типа ||it — ип\\ < сп~р, где {ип} — последовательность приближенных решений, р > 0 — порядок скорости сходимости. Для того, чтобы обсуждать оптимальность метода в некоторой норме, нужно знать нижнюю неулуч-шаемую оценку скорости сходимости в этой норме для класса допустимых методов. Получение верхних и нижних оценок приближения векторов данного банахова пространства элементами конечномерных подпространств является ключевой проблемой теории аппроксимации и связана с оценками некоторых геометрических характеристик компактных операторов и компактов в банаховых пространствах [141, с. 122], таких, как поперечники по Колмогорову, поперечники по Гелъфанду, аппроксимациопные числа. Если для некоторого метода нижняя оценка достигается (с точностью до постоянного множителя), то этот метод оптимален.

Естественно стремление найти наилучший метод, который позволял бы получить искомое решение с заданной точностью за минимальное машинное время. Поиск таких численных методов на некотором множестве допустимых методов и есть основная цель теории. Для поиска наилучшего (оптимального) метода (выбор которого зависит от класса решаемых задач) применяется постепенное сужение множества допустимых методов путем последовательного включения требований аппроксимации, устойчивости, экономичности и др. Важную роль играет общее требование: разностная схема (дискретная модель) должна как можно лучше моделировать (приближать) свойства исходного дифференциального уравнения. "(А.А.Самарский [76, с. 17]).

Данная диссертационная работа главным образом посвящена поетроению оптимального проекционно-сеточного метода для краевой задачи с дифференциальным оператором, коэффициенты которого могут вырождаться на границе или ее части, например, в угловых точках. Определение. Дифференциальный оператор 2-го порядка с симметричной почти всюду положительно определенной матрицей коэффициентов ( а(х) = а{х)ъ > 0 п.в. в П С Rm), вырождается в точке Е П, если минимальное собственное значение матрицы а(х°) равно нулю.

Классическим примером вырождающегося эллиптического дифференциального оператора является оператор Трикоми —д2/дх2 — хд2/ду2, представляющий интерес для газовой динамики. Оператор Трикоми эллиптичен в области {(ж, у) : х > 0} и вырождается на прямой х = 0. Другой пример — дифференциальный оператор в уравнении Чаплыгина [151, с. 13], описывающего установившееся движение частиц газа:

Здесь (3 > 0 — физическая постоянная, т > 0. Значениям г < 1/(2/?+ 1) соответствуют скорости частиц газа, меньшие скорости звука; при т = 1/(2/3+ 1) скорость соответствующей частицы равна скорости звука. Таким образом, уравнение Чаплыгина — эллиптического типа в области дозвуковых скоростей, вырождающееся на прямой г = 1/(2/3 + 1).

Систематическое изучение вырождающихся уравнений было начато в статьях М.В.Келдыша [36], М.И.Вишика [9]-[12], С.Г.Михлина [62), [63] и продолжено работами М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [14], М.И.Вишика и В.В.Грушина [13], В.П.Глушко [19], О.А.Олейник [72], С.М.Никольским и его учениками [67], [66], [47]-[51], [5]. С.Н.Антонцевым [2] рассматривались вырождающиеся уравнения механики сплошной среды, описывающие околозвуковые течения газа. И.Л.Вулисом и М.З.Соломяком [17],[18] div а(х)Vu(x) + clq(x)u(x) см. также [143]) установлена спектральная асимптотика вырождающихся дифференциальных операторов 2-го порядка. В работах Н.Симакуры [222]-[224[, П.Боллей и Ж.Камю [170]-[172] исследовались обобщенные дифференциальные операторы Лежандра одной переменной, вырождающиеся в концах интервала. Дифференциальные вырождающиеся операторы Трикоми 1-го и 2-го типа по классификации Х.Трибеля [141, с.545-546] в многомерной области с регулярными коэффициентами изучались Х.Трибелем [225], [228], Бауэнди и Гулауиком [165], [166], С.Бенашуром [168]. А.В.Фурсиков [146]-[148] рассматривал вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения, которые вблизи границы ведут себя как уравнение Эйлера. Х.Трибелем [229] введен и исследован класс сильно вырождающихся (по терминологии Х.Трибеля) дифференциальных операторов. Обобщением и уточнением этих рассмотрений и распространением их на случай неограниченных областей занимались Е.Мюллер-Пфайффер [211], [212], Б.Лангеманн [205], [206], Д.Книперт [202] и Х.Трибель [226], [229]. Изучению сходных дифференциальных операторов посвящены работы Л.А.Багирова [3], Л.А.Багирова и В.И.Фейгина [4].

Ряд результатов о повышении порядка дифференцирования решений вырождающихся уравнений был получен в работах [48], [5], [44], [45]. Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения, т.е. обыкновенные дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами, рассматривались в работах А.А.Дезина [27] (уравнение 2-го порядка), Л.П.Тепояна [85] (уравнение 4-го порядка) и Н.М.Ятаева [156] (уравнение 3-го порядка). Обширная библиография по вырождающимся уравнениям имеется в монографиях М.М.Смирнова [81] и Х.Трибеля [141].

Одной из первых работ, посвященных сеточным методам решения вырождающихся уравнений, была работа Ю.А.Гусмана и Л.А.Оганесяна [21], в которой исследовалась конечно-разностная схема первого порядка точности для уравнения с оператором типа Трикоми в прямоугольнике П =

О, а) х (О, Ъ):

Lu = -дх(р(х,у)дхи) ~ dy(yaq(x, у)дуи) = f(x, у), и = 0 на dft \ Г, (1) где a G (0,1) — степень вырождения коэффициентов по нормали к Г = [0, а] х {0} — линии вырождения. На Г рассматривались краевые условия двух типов: однородные условия Дирихле и = 0 (задача А) и однородные условия Неймана уадуи = 0 (задача В). Заметим, что поведение решения вблизи точек вырождения существенно зависит от типа граничных условий в этих точках. Так, в задаче с условиями Дирихле на Г и{х) имеет неограниченный градиент в окрестности точек вырождения, а в задаче с однородными краевыми условиями Неймана решение в окрестности Г на один порядок более гладкое и можно использовать стандартные разностные схемы или схемы МКЭ с линейными конечными элементами. Вариационно-разностную схему, предложенную в работе [21] для задачи А, можно трактовать как стандартную разностную схему в переменных х и ( = у1~а. Эта схема имеет оптимальную скорость сходимости на классе правых частей /^(П), однако ее недостатком является то, что она существенно использует прямоугольность области и диагональ-ность матрицы коэффициентов, т.е. специальный вид дифференциального оператора и области, и не обобщается на случай области с криволинейной границей и недиагональной матрицей коэффициентов дифференциального оператора.

Такое же вырождающееся уравнение рассматривалось в работе В.В.Кат-рахова и А.А.Катраховой [35], где на линии вырождения Г ставилось условие Дирихле и = 0 при а < 0 и условие Неймана уадуи = 0 при 0 < а < 2. Для аппроксимации этой краевой задачи строилась сгущающаяся по нормали к Г прямоугольная сетка со степенью сгущения р — 2/(2 — а) при а > 0 и на каждом прямоугольнике решение приближалось функциями вида Со + С\Х + С2уг~а + с%ху1~а. Если ввести новую переменную £ = уг~а, то в координатах (ж, £) получается схема МКЭ с билинейными элементами.

P.Moing [210] (см. также [169]) для уравнения

-уд2хи - ду(удуи) +и = f(x,y) в О = (0,1) х (0,1) с граничным условием Неймана удуи = 0 на Г получил оценки скорости сходимости схем МКЭ с треугольными конечными элементами в энергетической и /^-нормах.

М.Хатри [192] для уравнения в единичном квадрате tt = (0,1) х (0,1)

-дх(р(х,у)дхи) - -dy{yq(x, у)дуи) = f(x,y), и = 0 на dfi \ Г, и с граничным условием удуи = 0 на Г = [0,1] х {0}, исследовал схемы МКЭ с прямоугольными и треугольными конечными элементами и доказал оценку погрешности 0(h) в энергетической норме.

Исследовались различные подходы для аппроксимации решения двухточечной краевой задачи с вырождением:

-D(xaa(x)Du(x)) + <ю(х)и(х) = f(x) в (0,1), u(0) = и( 1) = 1. (2)

Коэффициенты ао(х) > 0, а(х) > 0 на [0,1] — гладкие функции, q £ (0,1)). P.Jamet [196] показал, что конечно-разностный метод для этой задачи на равномерной сетке имеет погрешность 0(hl~a) в норме Lqo- Используя L-сплайны в методе Ритца-Галеркина, П.Сьярле, Ф.Наттерер и Р.Варга [177] получили сходимость 0(h2~a) в норме Ь^. Обобщенные L-сплайны в проекционно-сеточном методе применялись в работах М.Крузей и Ж.Тома [180], Д.Дейли и Д.Пирса [181]. Сплайны на сгущающихся (одномерных) сетках рассматривались И.Фридом и С.Янгом [189]. В статьях Г.Реддина [216], Г.Реддина и Л.Шумакера [217] анализировались методы коллокации. Методы, основанные на разложении решения в окрестности нуля по степеням хп~а исследовались Б.Густаффсоном [190]. В работе

Р.Шрейбера [221] приближенное решение в методе Галеркина представлено в виде x~as(x), где s(x) — кусочно-полиномиальная функция на сгущающейся сетке. Упомянутые выше методы и сходные с ними анализировались для одномерных вырождающихся задач в работах [214], [218], [173], [200], [193], [176], [186], [195], [182]. В [213] рассматривался приближенный метод вычисления первых собственных значений вырождающегося в концах интервала обыкновенного дифференциального оператора 2-го порядка.

Метод конечных элементов с одномерными кубическими конечными элементами класса С1 применялся в работе [144] для вырождающегося уравнения 4-го порядка

D2(xaa(x)D2u(x)) + а0(х)и(х) = f(x), х е (0,1).

В случае a G (0,1) и граничных условий Дирихле и(0) = г/(0) = и( 1) = и'{ 1) = 0 погрешность этой стандартной схемы МКЭ на равномерной сетке имеет неулучшаемую оценку в энергетической норме ||и — Uh\\ = 0(hr^), которая формально не переходит в оптимальную 0(h2) при отсутствии вырождения, т.е. при а = 0. Это означает, что для получения большей точности нужно использовать другие методы численного решения поставленной задачи. В нашей работе показано, что если для аппроксимации решения использовать функции вида Uh(x) = x2~aUh(x), где йн{х) — кусочно-кубическая функция класса С1, то на равномерной сетке получится схема с оптимальной скоростью сходимости \\и — Uh\\ = 0(h2) независимо от степени вырождения а.

В работе [75] в плоской выпуклой области Q с криволинейной гладкой границей рассматривалась задача Дирихле для дифференциального уравнения 2-го порядка div a(x)Vu(x) + ао(х)и(х) = f(x) в Q, и = 0 на (3) с вырождающимися по степенному закону всюду на границе коэффициентами: с1/э(жЛ£|2 < а(х)( ■ ( < С2р{х)а\$\2 V£ € Е2 Уж е П.

Здесь р(х) — расстояние от точки х £ fi до границы dd, a £ (0,1). Для аппроксимации этой задачи строилась сгущающаяся к границе треугольная сетка и применялся метод конечных элементов с кусочно-линейными функциями. За счет сгущения сетки вблизи границы погрешность метода в энергетической норме оценивалась величиной ||u — Uh\\ = 0(h), где h — максимальный диаметр треугольников, образующих триангуляцию области. Однако, при сгущении сетки существенно возрастает число узлов конечноэлементной сетки и если записать оценку погрешности предложенного метода в терминах размерности результирующей системы, или, что равносильно, числа узлов Nh, то получится оценка, весьма далекая от оптимальной при степени вырождения а, близкой к критичеа-1 скому значению а = 1: \\и — щ\\ = 0(Nh2 ). В нашей работе показано, что если для аппроксимации решения (3) использовать не стандартные кусочно-линейные функции, а функции вида щ(х) = р(х)1~айи{х), где Uh — кусочно-линейный сплайн, то на равномерной сетке получится проекционно-сеточная схема с оптимальной скоростью сходимости \\и — 1

Uh\\ = 0{Nh 2), такой же, как и в регулярном случае.

В плоской области О = {х 6 К2 : 0 < Х\ < g(x2), х2 € (а, 6)} Д.Марини и П.Пиетра [208] исследовали смешанный метод конечных элементов для задачи с сингулярными коэффициентами

1 / — div —Vu = — в Q, it = 0 на <9Г2, х\ х\ и получили почти оптимальные оценки точности метода.

B.Franchi и M.C.Tesi [188] рассмотрели задачу Дирихле для дифференциального уравнения типа Грушина, вырождающегося внутри области П = [-1,1] х [-1,1] на отрезке Г = {0} х [-1,1]:

-d$u(x) - 2уд$и(х) = f(x) вП, и = 0 на дС1.

Для этой задачи в работе построена схема МКЭ с кусочно-линейным базисом на сгущающейся к Г сетке и доказана оценка погрешности в энергетической норме относительно числа узлов N: \\и — идг|| < В нашей работе показано, что эта схема МКЭ не является оптимальной. Используя мультипликативное выделение особенности можно добиться наилучшей сходимости на классе правых частей \\и — < CN-^\\f\\bm при7>1и \\u-uN\\ <CN^\\f\\Lm при 0 <7 <1.

Хорошо известно (см.напр. работу В.А.Кондратьева [37] и обзорную статью В.А.Кондратьева и О.А.Олейник [38]), что наличие углов у границы области, в которой решается краевая задача, также приводит к ухудшению дифференциальных свойств решения и, как следствие, к ухудшению сходимости стандартных кусочно-полиномиальных аппроксимаций. Для повышения точности аппроксимаций решения задачи в таких областях исследовались различные подходы. В работах Е.А.Волкова [15], [16], И.Бабушки [158], Г.Стренга и Дж.Фикса [83], А.Шатса и Л.Уолбина [219], [220], В.В.Шайдурова [152] анализировались способы локального сгущения сетки. В статье Дж.Фикса [187] (см.также [71]) предлагалось вводить в базис пространства конечных элементов функции, учитывающие особенности решения. Г.И.Марчук и В.В.Шайдуров [58], Е.П.Жидков и Б.Н.Хоромский [29] исследовали метод экстраполяции Ричардсона на последовательности сеток. Для первой краевой задачи И.Бабушка и М.Розенцвейг [163] предложили схему на основе метода Петрова-Галеркина, в которой в качестве пробных функций берутся произведения кусочно-линейных функций на функции вида гх, где г — расстояние до угловой точки в ее окрестности, а степень Л зависит от величины угла. Наиболее близкой нам в идейном плане является работа Р.З.Даутова [24], в которой исследуется схема МКЭ, основанная на мультипликативном выделении особенности, т.е. приближенное решение задачи в окрестности каждой угловой точки представляется в факторизованном виде ин(х) = сг(х)щ(х), где функция а(х) описывает особенность решения и имеет конкретный вид, зависящий от раствора угла, а йн{х) — кусочно-линейная функция. Мы обобщаем этот подход для случая вырождения коэффициентов в угловой точке. Схемы МКЭ для задач с вырождением в угловых точках рассматривались также в [73], [74].

В диссертационной работе принято такое изложение материала, что 1) задачи с особенностями, рассматриваемые в работе, включают в себя как частный случай регулярные задачи; 2) формулировки теорем в случае регулярных входных данных эквивалентны известным утверждениям для регулярных задач и/или уточняют их; 3) проекционно-сеточные схемы, конструируемые в общем для задач с особенностями, в регулярном случае являются либо известными схемами, либо новыми, но с оптимальной скоростью сходимости.

В работе рассматриваются задачи с особенностями, перечисленными ниже и характеризуемыми соответствующими вещественными параметрами 7 и др.):

1) Вырождение коэффициентов дифференциального оператора на границе или ее части (например, в угловых точках) или внутри области; вырождение по нормали к особым точкам Г задается вещественным параметром а, по касательным направлениям — параметром /3; а = (3 в случае изотропного вырождения, а = (3 — 0 в случае регулярных коэффициентов.

2) Краевая задача рассматривается на классе правых частей из весового пространства Z/2i7(H) = р-7), где р{рс) — расстояние от точки х Е до множества особых точек Г.

3) Особенность в угловой точке, кроме степени вырождения а, характеризуется величиной |, где в — раствор угла (в радианах); с увеличением степени вырождения а и угла раствора в ухудшается гладкость решения в окрестности данной угловой точки.

Проекционно-сеточные методы решения перечисленных задач в диссертационной работе основываются на мультипликативном выделении особенности, т.е. на представлении решения исходной задачи в факторизо-ванном виде и(х) = (т{х)й(х), где функция а(х) отражает особенность решения и строится по входным данным задачи (степени вырождения, раствора угла и т.п.), а функция й{х) является решением новой граничной задачи и обладает лучшими, чем и(х), свойствами для аппроксимации кусочно-полиномиальным базисом. Приближенное решение имеет вид: Uh(%) = u(x)uh{x), где щ(х) — кусочно-полиномиальная функция на квазиравномерной или, если необходимо для ускорения сходимости, сгущающейся к Г конечноэлементной сетке.

Обоснование предложенных методов — наиболее трудная и технически сложная часть работы — состоит в получении априорных оценок в весовых нормах Соболева функции й{х) и на их основании получению верхних и нижних оценок погрешности аппроксимации решения й{х) кусочно-полиномиальными функциями.

Приведем более подробное изложение содержания диссертации, состоящей из пяти глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1 вводятся банаховы пространства с нормой графика. Многие функциональные пространства, встречающиеся в теории и приложениях, например, пространства Соболева, в том числе весовые пространства Соболева, можно трактовать как пространства с нормой графика некоторого замкнутого оператора (см. пример 1.1 на с. 39). Для пространств с нормой графика получены абстрактные аналоги теоремы Дени-Лионса (теорема 1.1) и теоремы Соболева о перенормировках (теорема 1.3 и следствие 1.1), неоднократно используемые в работе.

В разделе 2 вводятся пространства Lpn{T\ X) вектор-функций переменной t Е Т = (0, г) со значениями в гильбертовом пространстве X и весовые пространства Соболева Х-значных функций Н™(Т;Х). Далее вводится важный класс интегральных операторов Харди на пространствах вектор-функций и в теореме 1.5 устанавливается критерий непрерывности этого оператора в гильбертовом пространстве I/2)7(T; X), а также формулы дифференцирования (теорема 1.6).

Раздел 3 посвящен теоремам вложения пространств вектор-функций. В частности, с помощью спектрального представления неограниченного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве доказываются так называемые теоремы о промежуточных производных. Классический результат утверждает, что если гильбертово пространство Х\ непрерывно вложено в X, то имеет место вложение [55, с.29]: Нт(Т;Х) Г) L^iT'^Xi) С W(T;Xi^jfm) для j = 0,m. Этот результат обобщается на весовые пространства Соболева вектор-функций (нам понадобится только случай га = 2).

Теорема 1.10 (Теорема о промежуточной производной). Пусть (3 < а + 2 и О G [0,1/2] — любое. Тогда имеет место непрерывное вложение

Н2а{Т- X) n Hla+l{T- X) П L2>j8(T; Хг) С Н]{Т; Хв), где 7 = 7(6>) = (1 - 9){а + 1) + в{р - 1).

В теореме 1.11 устанавливается теорема о компактном вложении пространства Н™(Т\ X)C\L2iV(T\ Х\) в Ь2Л{Т; X), если Х\ компактно вложено в X и 7 < min(a + m, 1/2), a v — любое.

Глава 2 посвящена теоремам гладкости решений вырождающихся двухточечных граничных задач в гильбертовом пространстве. Установленные здесь результаты будут использованы в дальнейшем, во-первых, для получения весовых оценок решений вырождающихся уравнений в частных производных; во-вторых, для получения оценок скорости сходимости рассматриваемых в данной работе проекционно-сеточных аппроксимаций для задач с вырождением, и, в-третьих, для обоснования оптимальной сходимости этих аппроксимаций.

В главе исследуется дифференциально-операторное уравнение

Аи = -Dt(taa(t)Dtu(t)) + t%(t)u{t) = f(t) в Т = (0,т), и(т) = 0, (4) где a(t), b(t) - самосопряженные положительно определенные операторы в заданном гильбертовом пространстве X при каждом t G [0, т]. Параметры а, (3 могут быть произвольными; единственное ограничение, которое мы накладываем в этой главе — это условие а < (3 + 2. В граничной точке t = 0 рассматриваются два типа краевых условий: условие Неймана и условие Дирихле. Анализ проводится в три этапа по следующей схеме: 1) a(t) = 1, b(t) = Л > 0 —» 2) a(t) = idx (тождественный оператор в X), b(t) = b е В(Х\ X) — постоянный оператор —> 3) a(t), b(t) — опе-раторнозначные коэффициенты, удовлетворяющие естественным условиям гладкости по переменной t G [0, г] (с.76). Ключевым моментом является переход 1) —» 2), где существенно используется спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора b в гильбертовом пространстве X.

В разделе 2.1 исследуется уравнение (4) с граничным условием Неймана при t = 0: taDu(t)\t=0 = 0. При некоторых естественных условиях гладкости по переменной t операторных коэффициентов a(t) G В(Х), b(t) G В(Х\ —» X), где Х\ — гильбертово пространство, непрерывно вложенное в X, устанавливается основной результат раздела 2.1 (теоремы 2.8, 2.9) о разрешимости задачи с краевым условием Неймана в t = 0 в пространстве W = {и € Ща(Т;Х)Г)Ща+1(Т]Х)Г)Ь2^р(Т;Х1) : и(т) = 0} с нормой пересечения:

Теорема. Пусть 1/2<7</3+1/2 и выполнено хотя бы одно из двух условий: 1) 7 > а/2 — 1 или 2) пространство Х\ компактно вложено в X. Тогда оператор А изоморфно отображает пространство W на Ь2а(Т\Х).

Исследуется также разрешимость граничной задачи с компактно возмущенным дифференциальным оператором в левой части и при ограничении на рост операторного коэффициента компактного возмущения доказываются априорные оценки решения в весовых пространствах Соболева вектор-функций.

В разделе 2.2 рассматривается уравнение (4) с граничным условием Дирихле и(0) = 0. Поведение решения этой задачи в окрестности особой точки t = 0 существенно отличается от поведения решения задачи с граничным условием Неймана, поскольку у решения задачи Дирихле производная Du в окрестности нуля неограничена при сколь угодно гладких входных данных задачи. Различия в асимптотике решений в нуле наглядно показывают графики этих решений на с. 219. Центральной идеей этого раздела и всей главы является представление решения задачи Дирихле в факто-ризованном виде u(t) = tl~au(i) и получение оценок в весовых нормах Соболева для u(t). Целесообразность этого подхода подробно обсуждается в начале раздела и демонстрируется на примере скалярного уравнения. Для й получается новая краевая задача с граничным условием Неймана в точке t = 0:

-D(t2-aaDu) + t2+f3~2abu - (1 - a)tl~aa!u = t^f, t2~aDu\t=Q = 0, что позволяет воспользоваться результатами предыдущего раздела для оценок й. Исследуется также компактно возмущенная задача Аи+аои = /.

Раздел 2.3 посвящен исследованию уравнения (4) с неоднородными условиями Дирихле и Неймана в точке t = 0. Для описания пространства следов решений it(0) в граничной точке t = 0 или следов потока taDu\t=0, вводятся в рассмотрение так называемые промежуточные (или интерполяционные) пространства (см. [55, с.21], [141, гл.1]) Xq = [Xo,Xi]e. Дается весовая оценка решения неоднородной задачи Дирихле с условием и(0) = д через правую часть / е 1/2;7(Т;Х) и граничное условие д £ Xо, где

З/2-HY—а в = 2+р-а. • устанавливается также оценка решения в весовом пространстве Соболева неоднородной задачи с условием Неймана taDu(0) = д через правую часть / е L2j7(T; X) и граничное условие д Е Хд) где в = •

Глава 3 посвящена анализу вырождающихся на границе или ее части дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются два типа регулярных ограниченных областей Q С : цилиндрические и общего вида с гладкой границей класса С2. В случае цилиндрических областей, т.е. областей вида О = ГУ х (0,1), где область ГУ С Шт~1 регулярная (выпуклая или класса С2), при получении теорем разрешимости в весовых классах функций граничных задач с вырождающимся дифференциальным оператором, непосредственно используются результаты главы 2. В случае областей общего вида рассмотрения сводятся к цилиндрическим областям применением метода локальных карт.

Вопросам повышения гладкости решений вырождающихся на границе уравнений посвящены многочисленные работы С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, их коллег и учеников. Подход, развиваемый в диссертационной работе, принципиально отличается выбором нормировок для пространств решений, что позволяет расширить диапазоны изменения параметров задачи, таких как степень вырождения и степень веса правой части.

Раздел 2 главы 3 посвящен исследованию разрешимости уравнения 2-го порядка в частных производных

Аи = — div paaVu -f аои =/вП, щ = 0 на сЮ, (5) где П С Rm — ограниченная область класса С2. Здесь а < 1, р(х) — положительная в П функция класса С1, совпадающая в окрестности границы dQ с расстоянием до нее от точки х Е Г2, матрица коэффициентов а(х) = (dij(x)) симметрична и равномерно положительно определена в О, aij Е С1 (О,) и ао > 0. Оказывается, что для класса правых частей 2у2)7(0) естественным пространством разрешимости является пространство Я^й(Г2) — пространство функций из L2дос(^) с конечной полунормой, определяемой формулой то 2

7 ,а J \p{x)-7di{p{x)adju{x)\2dx. г'л=1 а

Доказывается, что решение задачи (5) можно представить в виде и(х) =

Глава 4 посвящена построению специального оператора конечноэле-ментной аппроксимации, определенного на пространстве Лебега L\, а также получению (неулучшаемых) оценок погрешности этой аппроксимации для функций весовых пространств Соболева. Процедура аппроксимации строится с использованием средних значений в общих узлах соседних элементов локальных проекций, т.е. проекций на конечных элементах, и позволяет сочетать различные методы локального проектирования на разных элементах, удовлетворяющие основной весовой оценке погрешности на конечном элементе (теорема 4.12). В частности, при использовании оператора ортогонального проектирования в на элементе, этот подход близок к известной процедуре Клемана.

В разделе 4 устанавливаются условия оптимальности аппроксимаций конечными элементами функций из весовых пространств Соболева; в частности, указываются необходимые для оптимальности значения степени сгущения сетки в окрестности особых точек. Вопрос оптимальности конечно-элементных аппроксимаций в невесовом пространстве Соболева с использованием п-поперечников обсуждался И.Бабушкой и А.Азизом [160].

В теории аппроксимации используются специальные геометрические характеристики, количественно описывающие качественные свойства компактных операторов и компактов в банаховых пространствах. Обзор таких характеристик и их взаимосвязь имеется в работах Б.С.Митягина [60], Б.С.Митягина и В.М.Тихомирова [61], Б.С.Митягина и А.Пелчинского

209]. Аксиоматическое изложение дано А.Пичем [215]. Такими важными характеристиками являются, в частности, поперечники по Колмогорову, введенные впервые в статье А.Н.Колмогорова [203] для вложений пространств 0,1) в L2(0,1), и аппроксимационные числа, описывающие аппроксимацию компактных операторов конечномерными. Для областей с условием конуса оценки поперечников Колмогорова были получены Эль Колли [183], [185]. М.Ш.Бирман и М.З.Соломяк [7], [8] разработали технику кусочно-полиномиальных аппроксимаций для доказательства оценок поперечников в классических пространствах Соболева.

В случае весовых пространств Соболева ситуация существенно сложнее уже хотя бы в силу большого многообразия типов вырождения и весовых функций. Оценки поперечников в весовых нормах Соболева в случае веса, вырождающегося на всей границе области, получены в работах Эль Колли [184], [185]; см. также Х.Трибель [141, с.363].

В главе 5 рассмотрен ряд эллиптических краевых задач с вырождением коэффициентов в граничных точках, получены нижние оценки скорости сходимости методов Галеркина для этих задач, построены проекционно-сеточные схемы их численного решения на основе мультипликативного выделения особенности и установлены оценки погрешности, которые доказывают их оптимальность в энергетической норме.

Рассматриваемые краевые задачи формулируются в эквивалентной вариационной форме: вводятся билинейная форма v), порождаемая дифференциальным оператором в левой части уравнения, энергетическое пространство V, состоящее из функций с конечной нормой = д/a(v,v) и удовлетворяющих краевым условиям задачи, линейный непрерывный на V функционал /, определяемый правой частью уравнения, и ставится задача о нахождении функции Uf £ V такой, что a(uf,v) = f(v) VveV.: (6)

Эта задача решается приближенно методом Галеркина, т.е. выбирается предельно плотная в V последовательность аппроксимирующих подпространств (уп) и для каждого п ищется приближенное решение ип — £ Vn, удовлетворяющее тождеству a{unJ,v) = f(v) Vug К,. (7)

Пусть F компактно вложено в сопряженное V*. Ошибка аппроксимации решения элементами подпространства Vn на классе правых частей F есть величина

EF(Vn)= sup {\\uj-uf>n\\v}. II/IIf<I

Скорость сходимости метода Галеркина для правых частей из F определяется скоростью сходимости к нулю величин Ер(уп). Эти величины ограничены снизу поперечниками по Колмогорову dn(F —> V*) (см. определение на с.179) оператора вложения F в V*. Мы говорим, что последовательность (Vn) оптимальна, если Ер(Уп) < Cdn(F —> V*).

В разделе 1 в интервале Г2 = (0,1) рассматривается двухточечная задача Дирихле 4-го порядка хааи'У + хРЬи = /, «(0) = и'{0) = и{ 1) = и'(1) = 0. (8)

Всюду предполагается, что выполнены условия а<1, а</? + 4, / е 1/2,7(П!). Введем в рассмотрение билинейную форму а и линейный функционал f: = /ЛЛ'' + Л»4, f(„) = //„&. п п

Пусть V обозначает гильбертово пространство функций v(x) с конечной нормой ||f||y = \/a(v,v) и удовлетворяющих краевым условиям задачи. Тогда граничная задача (8) эквивалентна вариационной задаче (6).

Для сетки узлов ип = {(^)г : % — 0, те}, где г > 1 — степень сгущения сетки, обозначим через 53,1(u;n) пространство кубических сплайнов класса С1, т.е. множество всех непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, сужение каждой из которых на любой отрезок есть полином третьей степени (кубический конечный элемент класса С1). В качестве аппроксимирующего подпространства Vn берется множество всех функций вида x2~aip(x), где ф G 53,1(о;п), гр( 1) = у/( 1) = 0. Доказывается, что имеет место оценка скорости сходимости приближенного метода (7) для задачи (6): \\и — un\\v < cn~2\\f\\L^ при соответствующем выборе г; в частности, если 7 > а/2, то достаточно взять равномерную сетку. При использовании стандартного метода конечных элементов для задачи (6), т.е. когда в качестве аппроксимирующего пространства Vn берется множество функций из S3'l(un), удовлетворяющих граничным условиям задачи, имеет место лишь оценка ||и — un\\v ^ сп^||/||х .

В разделе 2 в области О = (0,1) х (0,1) С R2 рассматривается краевая задача Дирихле

-di(x"ai(x)diu{x)) - д2(х*а<2,(х)д<1и(х)) = /(я), и\дп = 0 (9) с вырождением коэффициентов уравнения по переменной х\ на части границы Г = {0} х [0,1]. Предполагается, что а < 1, коэффициенты сц(х) достаточно гладкие, а,{(х) > со > 0 для г = 1,2, правая часть / Е L2;7(0) и выполнено условие I+7—а/2 > 0. Билинейная форма задачи определяется формулой a[u,v) = J xiai(x)diu(x)d\v(x) + xia2(x)d2u(x)d2v(x) dx, линейный функционал f(n) = J f(x)v(x)dx. Доказывается, что при сдеп ланных предположениях существует единственное решение задачи (6). Используя оценки поперечников по Колмогорову, устанавливается нижняя оценка скорости сходимости галеркинских приближений.

Далее строится проекционно-сеточная схема на основе мультипликативного выделения особенности, для которой нижняя оценка достигается, т.е. с оптимальной скоростью сходимости.

В этом же разделе строятся оптимальные проекционно-сеточные схемы для задачи с краевым условием Неймана в точках вырождения коэффициентов, а также для задачи Дирихле в области с криволинейной границей. С использованием приема Обэна-Нитше получен спектр оценок точности построенных проекционно-сеточных методов в нормах пространств Ь2 с весом. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие теоретически установленные оценки скорости сходимости и оптимальность предложенных приближенных методов.

Раздел 3 главы 5 посвящен построению оптимальных проекционно-сеточных схем для задач с вырождением в угловой точке. Рассматриваются два класса таких схем: основанные на сгущении сетки в окрестности угловой точки и на мультипликативном выделении особенности. Для задач в областях с угловыми точками без вырождения коэффициентов первый подход анализировался в работах Е.А.Волкова, И.Бабушки, Г.Стренга и Дж.Фикса, А.Шатса и Л.Уолбина, В.В.Шайдурова. Р.З.Даутовым предложена схема МКЭ с мультипликативным выделением особенности в окрестности угловой точки. В диссертационной работе этот метод обобщается на случай вырождения коэффициентов в угловой точке.

Пусть О cl2 - угловой сектор раствора в G (0, 27т] с вершиной в начале координат О, который описывается в полярных координатах условиями О < г < 1, 0 < <р < в. В области О, рассматривается модельная задача

-di vpaVu = f в П, и = 0 на дП. (10)

Здесь р{х) = = (х2 4- х2)1^2, / G L2^(Vt), т.е. />~7/ G £2(Г2). Задача имеет три различных типа особенностей в угловой точке, характеризуемых тремя вещественными параметрами: в, или А = 7Г/9, а и 7.

Билинейная форма и линейный функционал определяются формулами а(и, v) — j paVu -Vvdx, f(i>) = J f(x)v(x)dx o. n на энергетическом пространстве V = {v € i^2,ioc : IMly = \Za(v>v) < oo, v = 0 на д£1}. Краевая задача (5.20) эквивалентна вариационной задаче (б) с введенными а и f на пространстве V. Доказывается, что при условии 1 + 7 — а/2 >0 задача (6) имеет единственное решение.

Пусть Vn С V — произвольная последовательность подпространств размерности n Е N. Также как и в предыдущем разделе через Uf обозначается решение задачи (6) для правой части / е L2n(£l) и через и™ Е Vn — приближение по Галеркину в подпространстве Vn, т.е. решение задачи (7). Ошибка аппроксимации на классе правых частей /^(Л) вычисляется по формуле

Еп = E{Vn) = sup{||w/ - unf\\y : \\р~У\\ьт < 1}.

Доказывается, что при I+7—а/2 > 0 имеет место нижняя оценка скорости сходимости Еп > СоП~1//2.

Обозначим через S часть границы dfl, состоящую из отрезков ср — 0 и (р = 9. Введем функцию

Г л (3 ■ \ х /а о \/4Л2 Л- а2 — а сг{Г,(р) — rHsmA(p, где Л = 7г/0, р =---.

Пусть (Тп) — семейство триангуляций области П, card Тп ~ п, Хп — пространство линейных конечных элементов. Положим = U{e : е 6 %}, Sn = dfln\S и определим аппроксимирующие подпространства двумя методами — кусочно-линейными функциями на сгущающейся сетке и кусочно-линейными функциями, умноженными на весовую функцию а, определенную выше: Vn = {v G Хп : v = 0 на <9f2n}, Vn = {av : v G Xn, v — 0 на Sn}.

Рассматриваются три возможных случая значения 1 + 7 — а/2, которое определяет степень сгущения сетки в окрестности угловой точки для достижения оптимальной скорости сходимости.

4Л2 V а2

1. О < 1 + 7 — а/2 <---. Для Vn и Vn выбирается одна и та же л 1 4 степень сгущения сетки r\ = max 1,

1 + 7 — си/2 )'

V4A2 + а2 , /Л л/16Л2 + а2 ^

2. -< 1 + 7 — а/2 <-. Степень сгущения сетки для

2 2 2

К — г2 — max(l, =). Степень сгущения для Vn как и в первом

V4A2 4- л2 случае — г\. Заметим, что Г\ <Г2 16Л2 + а2 , „

3. -< 1 + 7 — а/2. Для Vn степень сгущения, как и в преды2

9 Л дущем случае, равна гг. Для К, выбираем гз = max I 1, л/16Л2 + а21

Очевидно, что и в этом случае степень сгущения гз для построения Vn меньше, чем 7*2.

Доказывается, что во всех случаях получается оптимальная скорость сходимости E(Vn) ~ п~1/2 и Е(уп) ~ п1//2 на классе правых частей 1<2,т-В частности, верна

Теорема. Если 7 > а/2, то для аппроксимаций вида ип = айп на равномерной сетке с шагом h ~ , где йп G Vn, имеет место оптимальная скорость сходимости в энергетической норме II ^ 1^"7/Ида(П) Г^ un\\v — ^ /— vn

В разделе 4 в области О = (0,1) х (0,1) рассматривается задача на собственные значения с вырождающимися на Г = {0} х [0,1] коэффициентами: d\{xia\d\u) — Xi&2{a2d2u) — Axfbu в О, и = 0 на <90. (11) о

Здесь а < min(l, §/? + 1, (3 + 2). На пространстве V =Нга/2(^) определяются билинейные формы a(u,v) = J xfakdkudkvdx, b(u,v) = j x{buvdx. si k==1 n

Исходную задачу (11) можно записать в вариационном виде, как задачу об отыскании собственных пар (Л, u) Glx V, удовлетворяющих уравнению a(u,v) = \b(u,v) VveV. (12)

Доказывается, что существует счетное семейство собственных значений О < Ai < Л2 < ., Х{ —> оо и соответствующих им собственных функций щ.

Пусть (Тп) — семейство квазиравномерных триангуляций прямоугольника Q, card Тп ~ п, Хп — пространство линейных конечных элементов. Введем пространство Vn С V, состоящее из функций вида х\~аф(х), где ф € Хп и ф{х) = 0 на части границы dQ, \ Г и будем использовать его для аппроксимации задачи (12). Приближенными решениями называются пары (A, it) etx Vn, и ф О, удовлетворяющие уравнению a(u,v) = Xb(u:v) VveVn. (13)

Теорема. Справедливы следующие утверждения: (г) для каждой собственной функции задачи (13) существует собственная функция щ задачи (12), соответствующая собственному значению Ai, что = 1 и справедлива оценка в энергетической норме \\щ — Щ,п\\у < СгП"1/2, где ci не зависит от п; и) для соответствующих собственных значений задач (12) и (13) имеет место оценка 0 < Аг-)П — Аг- < СгП~г.

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Для двухточечных граничных задач Дирихле и Неймана с вырождающимися операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве получены оценки решений в весовых пространствах Соболева вектор-функций.

2. Для эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана с вырождающимися на границе или ее части коэффициентами доказаны теоремы существования и установлены оценки решений в весовых нормах. Доказано, что решение задачи Дирихле вырождающегося уравнения можно представить в виде произведения фиксированной весовой функции, снимающей особенность у решения, на некоторую гладкую функцию.

3. В весовом пространстве Соболева построен оператор проектирования в пространство конечных элементов, не использую значения проектируемой функции в узлах конечных элементов. С применением этого оператора доказаны неулучшаемые оценки погрешности конечноэлементной аппроксимации в пространствах Соболева с весом.

4. Для произвольного метода Галеркина решения эллиптических краевых задач Дирихле и Неймана с вырождающимися коэффициентам получены неулучшаемые нижние оценки скорости сходимости. Предложены проекционно-сеточные методы аппроксимации решений э задач, основанные на мультипликативном выделении особенности. Доказана их оптимальная сходимость.

5. Для краевой эллиптической задачи с вырождающимися в угловой точке коэффициентами построены оптимальные методы двух типов: основанные на сгущении сетки в окрестности особой точки и на мультипликативном выделении особенности.

6. Для краевых задач на собственные значения вырождающегося эллиптического оператора исследован метод конечных элементов с мультипликативным выделением особенности. Получены оценки погрешности аппроксимации собственных значений и собственных функций. Доказана оптимальная сходимость предложенного метода.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент"(Казань, 26-30 июня 1991 г.), на первом - третьем Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач"(Казань, 24-28 июня 1996 г., 18-21 сентября 1998 г., 18-21 сентября 2000 г.), четвертом - шестом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения "(Казань, 13-16 сентября 2002 г., 17-21 сентября 2004 г., 1-4 октября 2005 г.), четвертой Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды "(Абрау-Дюрсо, 2631 мая 1992 г.), восьмой и девятой Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 5-17 сентября 1999 г., 8-13 сентября 2001 г.), Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 5-11 июня 1994 г.), Международной конференции и чебышевских чтениях, посвященных 175-летию П.Л. Чебышева (Москва, 13-16 мая, 1996), на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред"(Новосибирск, 27 мая-2 июня 1996 г.), Международной школ е-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева "Алгебра и анализ"(Казань, 16-22 июня 1997 г.), Международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике"(Ижевск, 5-7 февраля 1998г.), Всероссийской школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 17-20 июня 1999 г.), Международных конференциях "Optimization of Finite Element Approximations "(С.Петербург, 25-29 июня 1995 г., 25-29 июня 2001 г.), научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (Казань, 30 января-6 февраля 2002 г.), Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения акад. А.Ф.Сидорова (Екатеринбург,

3-7 февраля 2003 г.), первой Международной конференции "Computational Methods in Applied Mathematics "(Минск, 20-24 июля 2003 г.), третьей Международной научной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2006 г.), седьмой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 17-21 мая 2006 г.), научной конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 29-31 мая 2007 г.), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18-20 июня 2007 г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1993-2006 г.г., научном семинаре кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством А.Д.Ляшко, И.Б.Вадриева и М.М.Карчевского.

В совместных работах результаты принадлежат авторам в равной степени.

Автор выражает искреннюю благодарность всем участникам научного семинара кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета за полезные обсуждения результатов работы и ценные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 98-0100260, 01-01-000616, 06-01-00633, 07-01-00674).

1. Андреев В.Б, Самарский А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука. - 1977. - 352 с.

2. Антонцев С.Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: изд-во НГУ. - 1976. - 87 с.

3. Багиров JI.A. Эллиптические уравнения в неограниченных областях // Матем.сб. 1971. - Т.86. - С.120-139.

4. Багиров Л.А., Фейгин В.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с неограниченной границей // ДАН СССР.-1973.-Т.211.-С.23-26.

5. Байдельдинов Б.Л. Об ананлоге первой краевой задачи для эллиптических уравенний с вырождением. Метод билинейных форм // Тр.МИАН. 1984. - Т.170. - С.3-11.

6. Бесов О.В., Кадлец Я., Куфнер А. О некоторых свойствах весовых классов // Докл. АН СССР. 1966. - Т.171, №3. - С.514-517.

7. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. О приближении функций класов кусочно-полиномиальными функциями // ДАН СССР. 1966. -Т.171. - С.1015-1018.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов // Матем.сб. 1967. - Т.73. - С.331-335.

9. Вишик М.И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. -Т.93, №1. - С.9-12.

10. Вишик М.И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. - Т.93, Ш. - С.225-228.

11. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающиеся на границе области // Успехи мат.наук. 1954. - Т.9, №1. -С. 138-143.

12. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. - Т.35., №5. -С.187-246.

13. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе // Матем.сб. 1969. - Т.80. - С.455-491.

14. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. - Т. 12, т. - С.3-122.

15. Волков Е.А. Метод сеток для конечных и бесконечных областей с кусочно-глакдкой границей // ДАН СССР. 1966. - Т.168, №3.

16. Волков Е.А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // М.: Тр. матем. ин-те АН СССР. -1976. Т. 140. - С.68-102.

17. Вулис И.Л., Соломяк М.З. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов // ДАН СССР. 1972. - Т.207. -С.262-265.

18. Вулис И.JI., Соломяк М.З. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических операторов второго порядка // Изв. АН СССР., матем.-1974.-Т.38.-сс. 1362-1392.

19. Глушко В.ГГ. Первая краевая задача для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на многообразиях // ДАН СССР. 1962. -Т. 143, №3. - С.492-495.

20. Гохберг И.Д., Крейн М.Г. Введение в теореию линейных несамоспря-женных операторов. М.: Наука. - 1965. - 448 с.

21. Гусман Ю.А., Оганесян JI.A. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем физ.-1965.-Т.5, №2.-С. 351- 357.

22. Данфорд Н., Шварц ДЖ.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ.-1962.-892 с.

23. Данфорд Н., Шварц ДЖ.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: ИЛ.-1966.-1063 с.

24. Даутов Р.З. Схема метода конечных элементов на основе мультипликативного выделения особенностей для краевых задач в областях с углами // Изв.вузов. Матем. 1995. - №4. - С.29-39.

25. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. Учебное пособие. Казань: Казанский гос. ун-т. - 2004. -239 с.

26. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.:Наука.-1980.

27. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Тр.МИАН им .В. А. Стеклова. -2000.-Т.229.-175 с.

28. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. М.: Из-во МГУ. - 1971. - 242 с.

29. Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. Численные алгоритмы на последовательности сеток и их приложения в задачах магнитостатики и теоретической физики // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 1988. Т. 19, вып.З - С.622-668.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 1975.- 256 с.

31. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

32. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир.-1967.-624 с.

33. Калиниченко Д.Ф. О плотности функций из С°°(!7) в весовом пространстве W™o(0) // Тр.МИАН им.В.А.Стеклова. 1967. - 4.2. -С.119-129.

34. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука, изд. второе.-1977.-742 с.

35. Катрахов В. В., Катрахова А. А. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических краевых задач // ДАН СССР.- 1984.-Т.279, №4.-С.799 802.

36. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР.-1951- Т.77, J№2.-с.181-183.

37. Кондратьев В.А. Краевые задачи в областях с коническими и угловыми точками // М.: Тр. матем. ин-та АН СССР. 1967. - Т.16. -С.209-292.

38. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи с частными производными в негладких областях // УМН. 1983. - Т.38, вып.2(230). -С.3-76.

39. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого поярдка точности. JL: изд-во Ленингр. ун-та. - 1977. - 206 с.

40. Корнеев В.Г. Точная аппроксимация граинцы при численном решении эллиптических уравнений высоких порядков. СПб: изд-во Санкт-Петербургского гос. ун-та. - 1991. - 83 с.

41. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука,-1971.

42. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука. 1978. - 400 с.

43. Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр.МИАН им.В.А.Стеклова, М.: Наука. 1984. - Т.170. - С.161-190.

44. Кыдыралиев С.К. О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифф.уравнения.-1989.-т.25.-№3.-с.529-531.

45. Кыдыралиев С.К., Аширбаева А. Гладкость решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уранвениям, Бишкек.-1991.-вып.23-с.137-142.

46. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. - 1964. - 538 с.

47. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // ДАН СССР.-1981.-Т.257, №1.-с.42-45.

48. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН CCCP.-1981.-T.257.-N 2.-с.278-282.

49. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. -1981. Т.157. - С.90-118.

50. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // ДАН СССР.-1981.-Т.259, №1.-с.28-30.

51. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1983. - Т.161. - С.157-183.

52. Лизоркин П.И., Отелбаев М. Теоремы вложения и компактности для пространств соболевского типа с весами. I. // Мат. сб. 1979. -Т.108(150), №3. - С.358-377.

53. Лизоркин П.И., Шахмуров В.Б. О теоремах вложения для векторно-значных функций. I. // Изв.вузов. 1989. - №1. - С.70-79.

54. Лизор кин П.И., Шахмуров В.Б. О теоремах вложения для векторно-значных функций. II. // Изв.вузов. 1989. - №2. - С.47-54.

55. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир.-1971.-371 с.

56. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. -1989. - 608 с.

57. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. - 1981. - 416с.

58. Марчук Г.И., Шайдуров. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука. - 1979. - 319 с.

59. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. - 1981. - 315 с.

60. Митягин B.C. Аппроксимативная размерность и базщисы в ядреных пространствах // УМН. 1961. - т. 16, №4. - С.63-132.

61. Митягин B.C., Тихомиров В.М. Асимптотические характретистики компактов в линейных пространствах // В сб.: Труды 4-го Всесоюзного матем. съезда. М.: Наука. 1964. - Т.2. - С.299-308.

62. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям // Докл. АН СССР. -1953. Т.91, Ш. - С.723-726.

63. Михлин С.Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1954. - Т.94, Ш - С.183-186.

64. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР, сер.матем. 1943. - т.7, №3 - с.147-163.

65. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-ое изд., перераб. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

66. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр.Мат. ин-та им.B.А.Стеклова. 1979. - Т.150. - С.212-238.

67. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // ДАН СССР. 1964. - Т.159, №3. - С.512-515.

68. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. - 1981. - 237 с.

69. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир. 1977. - 383 с.

70. Оганесян JI.A., Ривкинд В.Я., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (часть 1) В сб.: "Дифференциальные уравнений и их применение", вып.8. Вильнюс. - 1974.

71. Оганесян JI.A., Ривкинд В.Я., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (часть 2) В сб.: "Дифференциальные уравнений и их применение", вып.8. Вильнюс. - 1974. - 322 с.

72. Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и папарболических уравнений // ДАН СССР. 1965. - Т.163, №3.C.557-580.

73. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Rv-обобщенного решения задачи Дирихле // ДАН СССР. 1989. -Т.309, №6. - С.1328-1320.

74. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Докл. РАН. 1994. - Т.338, №6. - С.731-733.

75. Рукавишникова Е.И. О порядке сходимости метода конечных элементов для эллиптической краевой задачи с вырождением// Численные методы в задачах математической физики и кибернетики, Владивосток: ДВО АН СССР. 1987. - С.26 - 52.

76. Самарский А.А. Теория разнотных схем. М.: Наука. - 1977. - 656 с.

77. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука. - 2001. - 319 с.

78. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. - 1973. - 315 с.

79. Самарский А.А., Ниоклаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. - 1978. - 590 с.

80. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. -1979. - 267 с.

81. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

82. Соболев C.J1. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука.-1989. - 254 с.

83. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. - 1977. - 349 с.

84. Сьярле Ф. Метод конечных элементов ядл эллиптических задач. М.: Мир. - 1980. - 512 с.

85. Тепоян Л.П. Вырождающиеся диффренциально-операторные уравнения четвертого порядка // Дифф.уравнения.-1987.-Т.23, JYs8.-cc.1366-1367.

86. Тимербаев М.Р. Непрерывность интегральных операторов в F-пространствах измеримых В-значных функций // В сб. "Вопросы функционального анализа. Мера и интеграл". Куйбышев, 1984. с.98-103.

87. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности n-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах // Мат. моделирование и выч.эксперимент: тез.докл.конф. (Казань, 26-30 июня 1991 г.) М.: 1991. - С.44.

88. Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева // Мат. моделирование и выч.эксперимент: тез.докл.конф. (Казань, 26-30 июня 1991 г.) М.: 1991. - С.44.

89. Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева // Изв.вузов. Математика. 1991. - №9. - С.56-60.

90. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности п-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах // Численные методы механики сплошной среды: тез.докл. IV Всероссийской школы молодых ученых (п.Абрау-Дюрсо, 26-31 мая 1992 г.) Красноярск: 1992. - С.39-40.

91. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности n-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах// Известия вузов. Математика. 1992. - JV510. - С. 54 - 60.

92. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллптических уравнений второго порядка // Дифф.уравнения. 1993. - M^7. - с. 1210-1215.

93. Ляшко М.Р., Тимербаев М.Р. О сходимости схем МКЭ для линейного вырождающегося уравнения второго порядка //В тез.докл. международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 5-11 июня 1994 г.). с.79-80.

94. Тимербаев М.Р., Ляшко А.Д. Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных вырождающихся уравнений 2-го порядка // Дифф.уравнения. 1994,- Т.ЗО, №7. - с.1239-1243.

95. Тимербаев М.Р. Конечноэлементная аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей // Изв.вузов. Математика 1994. - №9. - с. 78-86.

96. Ljashko A.D., Timerbaev M.R. Convergence of the finite element method for nonlinear elliptic equation with degeneration / / Abstracts of International Conference "Optimization of Finite Element Approximation", June 25-29, 1995, St-Petesburg.- p.70-71.

97. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка с вырождением коэффициентов внутри области // В тезисах докл. конф. "Математическое моделирование в науке и технике". Ижевск, 26.01.96-3.02.96

98. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для эллиптического уравнения с вырождением коэффициентов внутри области // Материалы межд.конференции и чебышевских чтений, посвященных 175-летию П.Л. Чебышева, Москва, 13-16 май, 1996. с.324-236.

99. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. МКЭ для эллиптического уравнения с вырождением // Мат. модели и численные методы механики сплошных сред. Тез.докл. под редакцией ак. Ю.И.Шокина, 27.05-2.06.96. -с. 72-74.

100. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для линейного эллиптического уравнения с внутренним вырождением, j j В материалах семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, 24-28 июня 1996. с.80-82.

101. Тимербаев М.Р. Об усиленных пространствах Соболева // Препринт N98-1, Казань, изд-во Казанск. мат. общ-ва. 1998. - 32 с.

102. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности аппроксимации конечными элементами класса С1 в весовых пространствах // Материалы Всерос. семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, изд-во Казанского мат. об-ва. 1998. - с.69-70.

103. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений 4-го порядка // Дифф. уравнения. 1999. - Т.35, №2. - с. 232-237.

104. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Вопросы разрешимости и метод конечных элементов для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика. 1999. - №5. - С. 57 - 64.

105. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Смешанный Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка // Дифф. уравнения. 2000. -Т.52, №7 - С. 1050-1057.

106. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифф. уравнения. 2000. - т.52, №7. - с. 1086-1093.

107. Тимербаев М.Р. Конечноэлементная аппроксимация в весовых пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. 2000. - №11. -с.76-84.

108. Тимербаев М.Р. Об аппроксимации конечными элементами функций весовых пространств Соболева //В материалах семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, 18-21 сентября 2000. с.113-115.

109. Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ с весом для эллиптических вырождающихся уравнений 2-го порядка //В материалах семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, 18-21 сентября 2000. с.116-117.

110. Тимербаев М.Р. О весовых оценках аппроксимации эрмитовыми элементами // Сб.трудов IX всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", изд-во Рост.гос.унта, 2001. с.345-350.

111. Тимербаев М.Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-функций // В сб. "Исследования по прикладной математике и информатике", вып.23, изд-во Казанск.матем.общ-ва, 2001. с. 118-121.

112. Тимербаев М.Р. О спектре и резольвенте интегрального оператора Харди в пространствах вектор-функций //В материалах науч. конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики", Казань, 30.01.-6.02.2002. с.92-93.

113. Тимербаев М.Р. О гладкости решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением //В материалах семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, 14-16 сентября 2002.

114. Тимербаев М.Р. О регуляризованной двухсеточной аппроксимации задачи на собственные значенния с вырождающимся оператором // В материалах семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, 14-16 сентября 2002.

115. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы // Изв. вузов. Математика. 2003. -т.- С. 60-73.

116. Тимербаев М.Р. Двухсеточная аппроксимация задачи на собственные значения с вырождающимся оператором //В тез. докл. Всероссийской конф. "Актуальные проблемы математики и механики", Екатеринбург, 3.02.-7.02.2003. с.74-75.

117. Тимербаев М.Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. I. // Изв. вузов. Математика. 2003. - №3. -С.55-65.

118. Timerbaev М. Optimal convergence of the special finite element method for the boundary-value problem with anisotropic degeneration // Abstracts of International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics", July 20-24, 2003, Minsk. p.57.

119. Тимербаев М.Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. II. // Изв. вузов. Математика. 2003. - N 9. -с.46-53.

120. Тимербаев М.Р. Оптимальная сходимость метода конечных элементов для задачи Дирихле с вырождением на границе //В материалах Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 17-21 сентября 2004. с.220-223.

121. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности конечно-элементной задачи на собственные значения с вырождющимся оператором //В материалах Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 17-21 сентября 2004. с.223-225.

122. Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ для 2-точечной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // В сб. "Исследования по прикладной математике и информатике", Каз.ГУ. 2004. - вып.25. - с. 127-132.

123. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения анизотропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения // Изв.вузов. Математика. 2005.- № 7. - С. 63-76.

124. Тимербаев М.Р. Оптимальные схемы МКЭ для задачи с вырождением в угловой точке //В материалах Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 30 сентября-3 октября 2005. с.212-214.

125. Тимербаев М.Р., Таюпов Ш.И. Метод декомпозиции области для задачи с внутренним вырождением коэффициентов //В материалах Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 30 сентября-3 октября 2005. с.214-216.

126. Тимербаев М.Р. Аппроксимация конечными элементами краевой задачи на собственные значения вырождающегояс дифференциального оператора // Уч. записки КазГУ. 2005. - т.147, кн.З. - С. 157-165.

127. Тимербаев М.Р. О дискретизации краевой задачи на собственные значения вырождающегося дифференциального оператора // Труды Средневолжского мат. об-ва, Саранск. 2006. - т.8. - №1. - С.306-309.

128. Тимербаев М.Р. Оптимальные схемы МКЭ для задачи об изгибе балки с острым краем // Вестник Удм.ун-та. Математика. Ижевск. -2007. т. - С.127-134.

129. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. О методе декомпозиции области для эллиптической задачи с вырождающимися внутри области коэффициентами // В сб. трудов 4-ой Всероссийской конференции с международным участием, Самара, 29-31 мая 2007 г. С.180-183.

130. Тимербаев М.Р. Оптимальные аппроксимации конечными элементами краевых задач с вырождением //В тез.докл. Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ -2007, Новосибирск, 18-20 июня 2007 г. С.83.

131. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир.-1980.-664 с.

132. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.:ИЛ.-1962.-351 с.

133. Туловский В.Н. Об асимптотическом распределении собственных чисел вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем.сб. 1972. - 89. - С. 191-206.

134. Узунов С.Г. Оценки скорости сходимости метода конечных элементов для вырождающегося дифференциального уравнения // В сб. "Краевые задачи для нелинейных уравнений". СО АН СССР, Новосибирск. 1982. - с. 68-74.

135. Фохт А.С. Весовые теормы вложения и оценка решений уравнений эллиптического типа. I. // Дифф. уравнения. 1982. Т.18, 8. 1440-1449.

136. Фурсиков А.В. Об одном классе вырождающихся эллиптических операторов // Матем.сб.-1969.-79.-С.381-404.

137. Фурсиков А.В. О вырождающихся эллиптических операторах Эйлера в ограиченной области // Вестн.МГУ. 1971. - №1. - С.36-43.

138. Фурсиков А.В. Краевые задачи для некоторых классов вырождающихся эллиптических операторов // ДАН СССР.-1971.-Т.197.-С.535-538.

139. Харди Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ.-1948.-456 с.

140. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными М.: Мир. - 1965. - 379 с.

141. Чаплыгин С.А. Избранные труды по механике и математике. М.: Гостехиздат. - 1954. - 567 с.

142. Шайдуров В.В. Численное решение задачи Дирихле в области с углами //В кн. Вычислительные методы в прикладной математике, Новосибирск: Наука. 1982. - С. 173-188.

143. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. - 1989. - 289 с.

144. Шахмуров В.Б. Теоремы вложения в абстрактных анизотропных пространствах и их применения // ДАН СССР.-1985.-Т.281, №5.-С.Ю62-1072.

145. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. - 1967.

146. Ятаев Н.М. О вырождающихся дифференциально-операторных уравнениях третьего порядка // Дифф.уравенния.-1989.-Т.25, №3.-с.477-481.

147. Avantaggiatti A. Spaci di Sobolev con peso alcune applicazione // Boll. Unione Mat. Ital. 1976. - 13A. - P. 1-52.

148. Babuska I. Finite element method for elliptic equations with corners // Computing. 1970. - V.6, №3.

149. Babuska I. A finite element scheme for domains with corners // Numer.Math. 1972. - Y.20. - P.l-21.

150. Babuska I., Aziz A.K. Survey lectures on the mathmatical foundations of the fifnite element method. New York: Academic Press. - 1972. - 359 P

151. Babuska I., Osborn J.E. Finite element-Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of selfadjoint problems // Math. Сотр. -1989. 52. - p.275-297.

152. Babuska L, Osborn J.E. Eigenvalue problems, Handbook of Numerical Analysis, Vol. II, Finite Element Methods (Part 1) Elsevier, 1991. -641-792.

153. Babuska I., Rozenzweig M.B. A Finite element scheme for domains with corners // Numer.Math. 1971. - V.20, №1. - P. 1-21.

154. Bangerth W., Rannacher R. Adaptive Finite Elements Methods for Differential Equations. Birkhauser. - 2003. - 125 p.

155. Baouendi M.S., Goulaouic C. Etude de la regularite et du spectre d'une classe d'operateurs elliptiques degeneres // C.R.Acad.Sci.Paris. 1968. -266. - A336-A338.

156. Baouendi M.S., Goulaouic C. Regularite et theorie spectrale pour une classe d'operateurs elliptiques degeneres // Arch.Rat.Mech.Anal. 1969.- 34. pp.361-379.

157. Bathe K. Finite Element Procedures. Prentice Hall. - 1996. - 1050 p.

158. Benachour S. Regularite des solutions d'un operateur elliptiques degeneres // C.R.Acad.Sci.Paris. 1973. - 276. - A839-A841.

159. Bendali A. Approximation of a degenerated elliptic boundary value problem by a finite element method//RAIRO, Anal, numer.- 1981.-V.15, m.-P. 87 99.

160. Bolley P., Camus J. Sur une certaine classe d'operateurs differentiels ordinaires, elliptiques et degeneres // C.R.Acad.Sci.Paris. 1970. - v.271.- A593 A595.

161. Bolley P., Camus J. Une classification de problemes elliptiques et degeneres a une ou plusiers variables. Sem.Goulaouic-Schwartz 1970/71.

162. Bolley P., Camus J. Sur une certaine classe d'operateurs elliptiques et degeneres a une variable // J. Math. Pures Appl. 1972. - v.51. - P.429-463.

163. Brabston D.C., Keller H.B. A numerical method for singular two-point boundary value problem // SIAM J.Numer.Anal. 1977. - V.14. - P.779-791.

164. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Element Methods. Springer. -1991. - 362 pp.

165. Chatelin F. Spectral Approximations of Linear Operators New York, Academic Press. - 1983. - 267 pp.

166. Chawla M.M., Katti C.P. Finite difference methods and their convergence for a class of singular two-point boundary value problems // Numer.Math.- 1982. V.39. - P.341-350.

167. Ciarlet P.G., Natterer F., Varga R.S. Numerical methods of higher-order accuracy for singular nonlinear boundary value problem // Numer.Math.- 1970. v.15. - P.87-99.

168. Clement P. Approximation by finite element functions using local regularization // RAIRO, Ser. Rouge Anal. Numer. 1975. - R-2. - P. 77-84.

169. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis // Proceedings of Second ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburg, Pennsylvania. 1960. - Vol. 8. - pp. 345-378.

170. Croziex M., Thomas J. M. Elements finis et problems elliptiques degeneres //Rev. Francuase Automat. Recherche Operationelle, ser Rouge Anal. Numer R. 3. 1973. - №7. - P.77- 104.

171. Dailey J.W., Pierce J.G. Error bounds for the Galerkin method applied to singular and nonsingular boundary value problems // Numer.Math. -1972. v.19. - P.266-282.

172. El-Gebeily M.A., Abu Zaid I.T. On a finite difference method for singular two-point boundary value problems // IMA J.Numer.Anal. 1998. - V.18, №2. - P.179-190.

173. El Kolli А. пгете epaisseur dans les espaces de Sobolev // C.R.Acad.Sci. Paris. 1971. - v.272. - A573-A539.

174. El Kolli А. пгете epaisseur dans les espaces de Sobolev avec poids // C.R.Acad.Sci. Paris. 1971. - v.273. - A450-A453.

175. El Kolli A. rfems epaisseur dans les espaces de Sobolev j j J.Approsimation Theory. 1974. - №10. - 268-294.

176. Eriksson K., Thomee V. Galerkin methods for singular bondary value problems in one space dimension // Math.Сотр. 1984. - v.42. - P.345-367.

177. Fix G. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations // J.Math.Meth. -1969. V.18. - P.645-658.

178. Franchi В., Tesi M.K. A finite element approximation for a class of degenerate elliptic equations // Math, of Сотр. 1999. - V.69, №229. -P. 41-63

179. Fried I., Yang S.K. Best finite elements distribution around a singularity // AIAA Journal. 1972. - 10. - P.1244-1246.

180. Gustafsson B. A numerical method for solving singular bundary value problem // Numer.Math. 1973. - v.21. - P.328-349.

181. Hackbusch W. Multi-grid Methods and Applications. Springer. - 1985.

182. Hatri M. Estimation d'error optimale par la methode des elements finis pour un probleme aux limites degenere // Comptus rendus de l'Acad. bulgare des Sc. 1984. - v.37, №5. - P. 573 - 576.

183. Hoog F.R., Weiss R. On the boundary value problem for systems of ordinary differential equations with a singularly of second kind // SIAM J.Math.Anal. 1980. - V.ll. - P.41-60.

184. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Method Analysis. McGraw-Hill. -2004. - 505 p.

185. Iyengar S.R.K., Pragya Jain. Spline finite difference methods for singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1987. - V.50. -P.363-376.

186. Jamet P. On the convergence of finite-difference approximation to one-diminsional singular boundary value problem // Numer.Math. 1970. -v.14. - P.355-378.

187. Jerome J.W. Asymptotic estimates of L2 n-width // J. Math. Anal. Appl. 1968. - V.22. - P.449-464.

188. Jerome J.W. On n-width in Sobolev-spaces and applications to elliptic boundary value problems // J. Math. Anal. Appl. 1970. - V.29. - P.201-215.

189. Jerome J.W. Asymptotic estimates of the n-width in Hilbert space // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. - V.33. - P.367-372.

190. Jespersen D. Ritz-Galerkin method for singular boundary value problem // SIAM J.Numer.Anal. 1978. - V.15. - P.813-834.

191. Johnson C. Numerical solutions for partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press. - 1987. - 282 p.

192. Kniepert D. Generalization of a theorem due to H.Triebel concerning decay properties of eigenfunctions of singular elliptic differential operators // Arch.Rat.Mech.Anal. 1970. - v.37. - p.61-72.

193. Kolmogorov A.N. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklass // Ann.Math. 1936. - v.37. - P.107-111.

194. Kufner A. Einige Eigenschaften der Sobolewschen Raume mit Belengsfunctionen // Czechosl.Math.J. 1965. - P.597-620.

195. Langemann B. Uber Greensche Funktionen singularer elliptischer Differntialoperatoren // Studia Math. 1973. - v.45. - 241 - 255.

196. Lions J.L., Peetre J. Sur une classe d'espaces d'interpolation // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1964. - 19. - p.5-68.

197. Marini D., Pietra P. Mixed finite element approximation of a degenerate elliptic problem // Numer. Math. -1995. V.71 - P.225-236.

198. Mitiagin B.S., Pelczyriski A. Nuclear operators and approximative dimension M.: Мир. - 1968. - С.366-372.

199. Moing P. Resolution par une methode d'elements finis du probleme de Dirichlet pour un operateur elliptique degenere // C.R.Acad. Sci. Paris, ser.I. 1981. - v.292, №3. - p.217 - 220.

200. Miiller-Pfeifer E. Zur Theorie elliptischer und hypoelliptischer Differntialoperatoren. Habilitationsschrift, Jena-1967.

201. Mtiller-Pfeifer E. Differentzierbarkeitseigenschaften verallgemeinerter Losungen der Schrodingergleichung // Wiss.Z. PH Erfurt-Muhlhausen.- 1969. №5. - 19-20.

202. Natalini P. Numerical Approximation of First Eigenvalues for a Heat Conduction Problem // Journal of Computational Analysis and Applications. 2002. - Vol. 4, №. 1. - P.37-46.

203. Natterer F. A generalized spline method for singular boudary value problems of ordinary differential equations // Liniear Algebra and Appl.- 1973. №7. - P.189-216.

204. Pietsch A. s-numbers of operators in Banach spaces // Studia Math. -1974. v. 51. - P.201-223.

205. Reddien G.W. Projection methods and singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1973. - v.21. - P.193-205.

206. Reddien G.W., Schumaker L.L. On a collocation method for singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1976. - v.25. - P.427-432.

207. Russel R.D., Shampine L.F. Numerical methods for singular boundary value problems // SIAM J.Numer.Anal. 1975. - v.12 - P.13-36.

208. Schatz A., Walbin L. Maximum norm estimates in the finite element method on plane poligonal domains. Parts 1. // Math.Сотр. 1978.- V.32. P.73-109.

209. Schatz A., Walbin L. Maximum norm estimates in the finite element method on plane poligonal domains. Parts 2. // Math.Comp. 1978.- V.33. P.465-492.

210. Schreiber R. Finite element methods of higher-order accuracy for singular two-point boundary value problem with nonsmooth solutions // SIAM J.Numer.Anal. 1980. - v. 17, N°-4. - P.547-566.

211. Shimakura N. Sur une certaine classe d'operateurs differentiels ordinaires, elliptiques et degeneres // Proc.Japan Acad. 1968. - 44. - 944-948.

212. Shimakura N. Problemes aux limites generaux du type elliptique degeneres // J.Math.Kyoto Univ. 1969. - 9. - 275-335.

213. Shimakura N. Une remarque sur la regularite des solutions des problemes aux limites generaux du type elliptique degeneres // Proc. Japan Acad. -1971. 47. - 291-295.

214. Triebel H. Erzeugung des nuklearen localconvexen Raumes C°°(Q) durch einen elliptischen Differentialoperator zweiter Ordnung // Math.Ann. -1968. v.177. - 247-264.

215. Triebel H. Singulare elliptische Differentialgleichungen und Integraloperatoren fiir Sobolev-Slobodeckij-Raume mit Gewichtsfunktionen // Arch.Rat.Mech.Anal. 1969. - v.32. - p.113-134.

216. Triebel H. Interpolationseigneschaften von Entropie- und Durchmesseridealen kompakter Operatoren // Studia Math. 1970. - v.34. - p.89-107.

217. Triebel H. Nukleare Funktionenraume und singulare elleptische Differentialoperatoren // Studia Math. 1970. - v.38. - 285-311.

218. Triebel H. Lp-theory for a class of singular elliptic differential operators // Czechoslovak Math.J. 1973. - v.28. - p.525-541.

219. Xu J., Zhou A. A two-grid discretization scheme for eigenvalue problem // Math, of Сотр. 1999. - У.70. - №233. - P. 17-25.

220. Zlamal M. On the finite element method // Numer.Math. 1968. - №12. - P.394-402.