Методы разделения областии их приложения к задачамдинамики океана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Iъ

российская академия наук институт вычислительной математики

На правах рукописи

БУЛЕЕВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

Методы разделения области и их приложения к задачам динамики океана

01.01.07 — Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1992

Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, доцент

АГОШКОВ В. И., член-корреспондент РАН, профессор САРКИСЯН А. С.

Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты: ИВАНОВ Ю. А.,

кандидат физико-математических наук НЕПОМНЯЩИХ С. В.

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН

Защита состоится « ■ /"СЛ, „ . 1992 г. в . /5:. часов на

заседании специализированного совета К003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334, г. Москва, Ленинский проспект, 32-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан «^=-5!»--—1992 г.

Ученый секретарь /

специализированного совета, пЛу^Ь^М--

кандидат физико-математических наук/

ФИНОГЕНОВ С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке и применение итерационных алгоритмов разделения области для расчета океанических течений на основе модели гидродинамической адаптации. Новый подход для численного решения задач расчета динамики океана на основе итерационных алгоритмов разделения области позволяет решить ряд проблем, присущих таким задачам:

- представить сложную геометрическую область океанического бассейна как совокупность существенно более простых подобластей, на которых и будут решаться индуцированные краевые задачи;

- при наличии ограниченных ресурсов ЭВМ, в частности малой оперативной памяти, представляется возможным увеличить размерность конечномерной аппроксимации задачи по пространственным переменным, т. к. всо оперативную память моино использовать для решения каждой индуцированной подзадачи с сохранением остальной информации во внешней памяти ЭВМ;

- при наличии многопроцессорной вычислительной системы ряд алгоритмов разделения области предоставляет возможность параллельного решения индуцированных задач в подобластях, что является существенным увеличением эффективности алгоритмов разделения области;

- при существовании особенностей решения исходной задачи, например, связанных с эффектом пограничного слоя на копь-фовой зоне океана или с наличием участков гнеаиичесхих течений с большими градиентами скорсст<?й, ио*ио гкделпь такие районы в отдельные подобласти и пр»<>'<>н'1ть сп«тмль-

иые методы решения для подзадач, в частности использовать

сгущение сетки в этих подобластях. .

Основная «ель диссертации - разработка математических методов численного решения задач диагностического расчета океанических течений на основе итерационных алгоритмов разделения области, их исследование и обоснование; создание специализированного математического программного обеспечения, реализующего методы разделения области, экспериментальное исследование эффективности-алгоритмов разделения области, а также выполнение численных расчетов практические задач динамики океана по предложенным численным моделям.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты по исследованию итерационных алгоритмов разделения области с модифицированными базисными функциями представляют теоретический интерес.

Практическую ценность имеют алгоритмы для решения класса задач динамики океана на основе итерационных процессов разделения области. Эффективным инструментом для решения практических задач эллиптического типа в сложных двумерных областях методом разделения области является программный комплекс 'НВ022'.

Методика исследования. При решении указанных задач в диссертационной работе использовались вариационные методы решения обобщенных задач математической физики, теория граничных операторов Пуанкаре - Стеклова, конечно--разностные,и проекционные методы аппроксимаций краевых задач, а также итерационные методы решения сеточных уравнений.

Публикации и апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на IV Сибирской школе "Вычислительная математика. Теория и практика" (г. Новосибирск, ноль 1989 г.), на IV Международной конференции по методам разделения области (СССР, г. Моек-ва, май 1990 г.), а также на семинарах в Отделе вычислительной математики АН СССР, Вычислительном центре ФЭИ (г. Обнинск) и опубликованы в четырех работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 192 страницах машинописного текста, содержит 45 рисунков, 8 таблиц, 99 наименований библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе (§§1-3) рассматриваются постановки некоторых задач математической физики, для решения которых предполагается использовать итерационный метод разделения области. Параграф 1 посвящен задаче о диагностических расчетах океанических течений. Описывается итерационный процесс ее решения, на каждом шаге которого необходимо решать две подзадачи. Для каждой подзадачи формулируется соответствующие обобщенные постановки задач. С помощьо метода Фурье трехмерная подзадача сводится к серии соответствующих двумерных задач на поверхности океана. Для двумерных задач рассматриваются их конечномерные аппроксимации на основе проекционно-сеточных методов. . Тем самим решение исходной задачи сводится к решения

определенного класса двумерных задач, для которых будут применяться алгоритмы разделения области.

В параграфе 2 рассматривается модель океанических течений в квазигеострофическом приближении. Постановка таких задач основывается на заданных полях плотности воды, касательного . напряжения ветра и соответствующих граничных условий. В данном ' параграфе представлена математическая постановка задачи в приближении квазигеострофической модели для функции уровня океана, рассматривается обобщенная постановка этой проблемы. Для данной задачи "выполнены наиболее полные численные расчеты, представленные в главе 4.

В параграфе 3 рассматриваются модельные задачи эллиптического типа в двумерных областях. Рассмотрение таких задач .обусловлено, с одной стороны, тем, что к ним сводятся основные

Л

этапы решения задач гидродинамической адаптации и, с другой стороны, для таких задач в дальнейшем осуществляется модификация алгоритмов разделения области и проводятся численные эксперименты. Основными задачами являются:

- абстрактная вариационная задача в гильбертовом пространстве;

- однородная задача Дирихле;

- третья краевая задача.

Основные результаты, связанные с использованием модифицированных базисных функций в алгоритмах разделения области,, представлены в главе 2.

В параграфе 4 рассматриваются модельные задачи, на примере которых будет изучаться методика их решения с использованием специальных базисных функций.

В параграфе 5 рассматриваются способы построения конечномерных пространств с модифицированными базисными функциями для случая одной и двух пространственных переменных, рассматриваются аппроксимация абстрактной краевой задачи эллиптического типа и вид получаемой системы линейных уравнений, описывается процедура получения уравнения на "1" - основы Для построения алгоритмов разделения области.

Свойства матриц, возникающих в алгоритмах разделения области, изучаются в параграфе 6 для случая одной и двух пространственных переменных. Показано, что важным результатам использования модифицированных базисных функций является возможность применения предложенных матричных переобусловливатеяей для построения эффективных итерационных процессов разделения области.

В параграфе 7 представлены алгоритмы разделения области, основанные на различных итерационных процессах. Основное внимание уделяется методам, не требующим симметричности матричных операторов, что обусловлено необходимостью численного решения задач гидродинамической адаптации. Изучение алгоритмов разделения области производится для следующих трех итерационных процессов:

- метод минимальных невязок;

-, локально оптимальных трехслойный метод;

- метод сопряженных невязок.

Для модельных задач, рассмотренных в параграфе 4, применение модифицированных базисных функций и соответствующих переобусловливате-лей позволило построить итерационный процесс разделения области, имеющий скорость сходимости не зависящую от параметров сетки.

В параграфе '8 для полйоты изучения приводится изложение ме-

годов разделения области на основе теории операторов Пуанкаре -Стеклова. Материал параграфа основывается на работах В. И. Агошкова. В дальнейшем для таких методов рассматривается конечно-разностная аппроксимация этапов реализации алгоритмов разделения области и проводится численное исследование таких методов.

Глава 3 посвящена проблемам численной реализации алгоритмов разделения области. Численная реализация алгоритмов разделения области, основанных на формулировке в "непрерывной форме", представлена в параграфе 9. В этом случае используется конечно-разностная аппроксимация всех этапов итерационного процесса. Методика численной реализации алгоритмов разделения области в конечномерных пространствах на базе проекционно-сеточных аппроксимаций изложена в параграфе 10. Описание структуры и функционирования программного комплекса 'НН022', в основу которого" положены рассматриваемые принципы алгоритмов разделения области, приводится в параграфе 11.

Экспериментальное исследование эффективности алгоритмов разделения области и численного решения задачи диагностического расчета океанических течений изложено в главе 4.

Параграф 12 посвящен численным расчетам эллиптической краевой задачи для одного уравнения на простых областях, составленных из прямоугольников. В этом параграфе используется конечно-разностная аппроксимация для формирования алгоритмов разделения области.

В параграфе 13 приводится ряд численных.экспериментов по решение краевых задач для системы эллиптических уравнений. Конечномерная аппроксимация' для алгоритмов разделения области

проводилась проекционно-сеточньм методом.

Наиболее полные и существенные результаты по чиилешшм расчетам алгоритмами разделения области представлены в параграфе 14. В этом параграфе рассматривается задача расчета океанических течений в водном бассейне Северной Атлантики, основанная на диагностической модели течений в квазигеострофичес-ком приближении. Приводится полное описание процесса решения задач океанологии такого типа от постановки задачи и формулировки обобщенного решения, до графического представления полей полученных данных. Обсуждаются также некоторые проблемы, возникающие при реализации таких задач методом разделения области, даптся некоторые рекомендации по их применению.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построены модификации итерационных алгоритмов разделения области: предложены алгоритмы разделения области, использующие специальные базисные функции с "широким" носителем на границах подобластей, исследован вопрос о скорости сходимости таких алгоритмов; для несамосопряженных эллиптических задач разработан алгоритм разделения области, основанный на локально-оптимальном.итерационном процессе.

2. Разработано специализированное математическое программное обеспечение (библиотека прикладных программ 'МН022') для решения систем эллиптических уравнений в двумерных областях сложной конфигурации на основе методов разделения области. Выполнены численные исследования алгоритмов разделения области.

3. Осуществлена численная реализация диагностической »на-

зигеострофической модели океанических течений в водном бассейне Северной Атлантики на основе итерационных алгоритмов разделения области. Исследованы специфические особенности алгоритмов разделения области при решении практических задач расчета океанических течений, предложены рекомендации по их использованию.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Булеев С. Н. Об одной модификации метода разделения области. - J3 сб.: Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. - М. ОВМ АН ССОР, 1988.

2. Агошков В. И., Буяеев С. Н. Исследование некоторых алгоритмов разделения области. - В сб.: Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений. - IL: ОВМ АН СССР, 1989.

3. Булеев С. й. Программная реализация алгоритмов разделения области. -«.: ОВМ АН СССР, 1990. (Препринт № 244).

4. Булеев С.К. Диагностический расчет океанических течений в квазигеострофическом приближений методом разделения области. - Й.: ОВМ АН СССР, 1S30. (Препринт & 275).

Подписано к печати 6.У.1992 г. Формат 60x90 I/I6 Объем 0,5 уся.п.я. Тираж 80 окз. Бумага писчая № I

Отпечатано на ротапринте ФЭИ, г.Обнинск