Проекционно-сеточные методы для стационарного и нестационарного уравнения 4-го порядка с негладкими данными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ГЛАВА 1. Применение пространства 62[х] к решению краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка.

§1.1. Существование и единственность решения. Регулярность.

§1.2. Пространство 62 И. Оценки погрешности интерполяции.

§1.3. Основной метод, использующий сплайны из jS^M, построенные по старшему коэффициенту.

§1.4. Модификации основного метода.

§1.5. Пример финитного базиса пространства S2 М и система сеточных уравнений.

ГЛАВА 2. Применение пространства Si[x] к решению краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка.

§2.1. Пространство S\[h]. Оценки погрешности интерполяции.

§2.2. Основной метод, использующий сплайны из Si[x], построенные по старшему коэффициенту.

§2.3. Модификации основного метода. :

§2.4. Пример финитного базиса пространства S\\>с\ и система сеточных уравнений.

§2.5. Пространство обобщенных сплайнов 2т-той степени.

ГЛАВА 3. Проекционно-сеточные методы для нестационарного уравнения 4-го порядка.

§3.1. Существование и единственность решения начально-краевой задачи. Регулярность.

§3.2. Проекционно-сеточный метод с весами.

§3.3. Оценки погрешности дробного порядка на классах негладких данных.

§3.4. Оценки погрешности в послойной норме.

§3.5. Оценки погрешности в равномерной норме.

Построение и исследование методов решения дифференциальных уравнений с негладкими (разрывными, сосредоточенными, быстроосциллирующи-ми) данными — коэффициентами, правыми частями, начальными функциями и т.д. — является важной теоретической и практической задачей.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-непрерывными коэффициентами А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским была развита теория однородных разностных схем (см. о ней в [29]). Для аналогичных задач Г.И.Марчук предложил метод решения, основанный на использовании специальных интегральных тождеств (см. [24]). Несколько позднее стал развиваться проекционно-сеточный метод (см. [26], [32], [33], [24]) со специальными базисными функциями, зависящими от старшего коэффициента уравнения (см. [10], [39], [9], [36], [2], [3], [38] и др.).

Статические и динамические колебания балок и стержней описываются стационарными и нестационарными уравнениями с обыкновенным дифференциальным оператором не второго, а четвертого порядка (см. [27], [8]). Перечисленные выше подходы нашли применение и для их решения при негладких данных в стационарном случае в работах А.А.Самарского, Хао Шоу [31], А.А.Самарского, В.Б.Андреева [30], Г.И.Марчука, В.И.Агошкова, А.И.Степанова [24], [1], В.Г.Корнеева [22], И.Д.Туретаева [35], В.Б.Андреева, Г.Д.Андреасяна [4], А.А.Клунника, В.Г.Приказчикова [21] и др. Предлагались и другие подходы, в частности, Р.З.Даутовым, В.Н.Паймушиным [11]. Однако в целом случай уравнений четвертого порядка оказался существенно более трудным и недостаточно полно изученным. Что касается соответствующих нестационарных уравнений, то некоторые результаты были получены А.А.Злотником [14] и А.З.Ишмухаметовым [18], [19], однако этот случай оказался изученным мало. Таким образом, построение и исследование эффективных методов решения задач с операторами четвертого порядка с негладкими данными остается актуальной проблемой.

Цель работы состоит в построении и исследовании специальных проекционно- сеточных методов для решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка и соответствующей начально-краевой задачи (второго порядка по времени) с негладкими данными.

В работе широко используется теория проекционно-сеточных методов, теория обобщенных решений дифференциальных уравнений и пространств Соболева, теория интерполяции операторов в банаховых пространствах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Сформулируем основные результаты диссертации.

В главе 1 изучены проекционно-сеточные методы решения краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка, использующие обобщенные кусочно-"кубические" сплайны дефекта 2.

В §1.1 сформулирована краевая задача для обыкновенного самосопряженного дифференциального уравнения 4-го порядка

Lu = D2(a2D2u) - D{a\Du) + а0и = / в П — (О,X); (1) «1вп = 0, = (2) где D = d/dx, дО, = {0,Х}, а / = /<°> + DfM + Z>2/(2)- Предположим, что ||a2||ioo(n) < N и N-1 < (22(я) на П, где iV > 1 — параметр. Условимся, что ниже Dw • </? = (Dw)(p. В качестве обобщенного решения задачи (1), (2) о рассматривается функция и 6 удовлетворяющая тождеству и, у?) = (a2D2u, D2ip) + (ai, Du ■ Dip) + (a0,u(f) = (/, = = (/(0),У) - + (/(2),£>V) Vc/? 6 (fl).

В работе, как обычно, = {w 6 = 0, 0 < /с < £}, где

Wp(^) — пространства С.Л.Соболева c^> 1, 1 < p < oo, и 1/р + 1 /р' — = 1. Кроме того, (w,ip) = fnw(x)tfj(x)dx или, общее, значение функционала w на элементе ф. Предполагается, что билинейная форма £(■,■) обла

2 ° дает свойством iV-1 ||Hlw|(ft) - ^O^V3) e ^l(^)- Введем кусочные обобщенные производные. Пусть UJq — фиксированное множество точек

О = ж0,0 < ao,i < ••• < хо,п0 = X (по > 1). Пусть I > 1, и функция w £ Li(Ct) имеет Diw E Li(xqj-i, xoj) для каждого 1 < j < no; тогда положим |'D^w^ (x) = (D£w)(x) на (xoj-i, xqj) (для 1 < j < щ). Ниже индекс шо опускаем. Ниже в неравенствах встречаются 3 типа положительных постоянных (г = 0,1, 2,.): К и Ki — зависящие только от X и N; с и с* — зависящие только от Х\ с^ — не зависящие ни от каких величин (абсолютные постоянные). Все они не зависят от cJq- Доказана следующая теорема о существовании и единственности решения задачи (1), (2) и его свойствах в зависимости от гладкости данных.

Теорема 1.1.1. Пусть 1 < р < оо.

1. EcAuf = D2fW u\\ai\

W-ЧП) р IMIwz2(Q) <N с р = maх{р,р'} , то р

Ml wk п) Кх

J(2)

Lp{Sl)

3) т.е., подробнее говоря, при / = D2 f(2) с /^ Е Lp(fl) существует единственное решение и £ W2{Vl) и оно удовлетворяет оценке (3). 2. Если f = DfW и ||ai||Lp(n) + ||ао||ж-1(й) < N, то

D{a2D2u)\ lp(q) к2

1)

LP(Q)

3. Если f = /(°) и ||ai||Loo(n) + ||0ai|L(n) + \Ы\ьр(П) ^ N> т0 DD(a2D2u)

Ьр(п)

К3

0) lp(q)

Теорему 1.1.1 дополняют замечания и предложение, существенные для случая данных типа ^-функций, а также неоднородных краевых условий.

В §1.2 введен ряд обозначений: сетка tuh на с узлами 0 = xq < х\ < х2 < < . < хп = X (предполагается, что cJq С 0Jh) и шагами hi = Х{— а^-i, ^ = i = 1, п) и |/г| = max/ij, hmin : minhi. Пусть ус Е Ьос(Г2) и 0 < г г я < к{х) < х. Детально исследовано = {<р Е D2{>cD2(p) = 0 на fli, г = 1, п} — пространство кусочно-" кубических" сплайнов дефекта 2. Получены следующие оценки погрешности интерполяции, где s^u -—

- б интерполянт из 62И Для функции и Е С1^) по значениям u{xi) и Du(xi), г = 0, п.

Теорема 1.2.1. Пусть 1 < р < q < 00, к = 0,1 и I — 0,1,2. При и Е Wp(Ct) верна оценка

Dk(u-s{*]u)

Lq{Cl) с

L 00 (П) h\

2-k-(l/p-l/q)

D и

Lp(n) •

Если дополнительно D (hD2u) Е Ьр(£1), а при I = 0 еще и 2 < р, то верна оценка

Lq(Sl)

Dk(u - 4X)U) < х-1 щЮ-ь-Шр-Уч) d£(hD2u) lp(q)

Ряд замечаний распространяет отдельные оценки теоремы 1.2.1 на случай к = 2 и случай интерполирования функций с y&t-qDu < 00, \&TqD2u < 00. Кроме того, получены оценки погрешности интерполяции в более сильных нормах (теорема 1.2.2), в частности, при 1 < р < q < 00, £ = 1,2, для и Е Wp(Q), Dl(xD2u) Е LP(Q) справедлива оценка

D^u-s^u)

Lg(Q) С^Х-2 llx

Ьоо(П) г| г-(1/р-1/я)

D (яD2и) ьр(П)

В §1.3 исследован проекционно-сеточный метод решения задачи (1), (2), использующий сплайны из ^[х]. В качестве приближенного решения расо сматривается функция v Е = {<£> Е Иэп ~ -^Vldft ~ такая> что - (/(0)^) - + (f{2\D2cp) \fip е .

Для метода с н = ct2 — старшим коэффициентом уравнения (1) — получаются наиболее сильные оценки погрешности.

Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < 2, a / = £>(2-0/(2-0 ^ = 0,1,2/

1. .Если I = 0,1 и ||ai||Lr(fl) + IkollvKrT^n) - с некоторым г Е [1,У] (при ^ = либо г Е (при t — 1), то s 2 u — v

W*(S2) ^ [Л|

1-(1/р-1/г')

2-0

L„(f!)

4)

2. Если ||oi||Loo(n) + ||^«i||Lr(n) + l|ao||Mn) < N с некоторым г 6 [1,2] (при £ = 0,1) либо г 6 [р, 2] (при £ = 2), то

2) и — v w22(q)

K2\h\e+2-Wp-1/r,y> fQ-V lp(q)

5)

При ai = О допустимы значения г G [l,p'j (гари t = 0,1J либо г Е [р,р;] (при £ = 2).

В замечаниях к теореме 1.3.1 и дополнительных предложениях рассмотрены случаи, когда удается повысить порядок оценок (4), (5) за счет повышения требований к гладкости данных и (или) снижения требований к параметрам р и q или, наоборот, расширить диапазон значений р и q при понижении порядка оценок и (или) за счет снижения требований к гладкости данных. Отмечен случай неоднородных краевых условий.

В §1.4 рассмотрены методы с более простыми аппроксимациями данных. Если коэффициент кусочно-постоянный и его точки разрыва принадлежат то £2[0-2] = $2[1] j и поэтому метод с х = 02 совпадает со стандартным проекционно-сеточным методом с к = 1. Для метода с х = 1 и s

1) r=i доказана

Теорема 1.4.1. Пусть х = 1 и 1 < р < 2, a f = D2~£ f (£ = 0,1, 2) 1. Если £ = 0,1 и | Da,2 г G [ 1,2] (Vipw ^ = Oj либо г G [р, 2] (при £ = 1), то ,(1) s2 и — V

Если

I Lp(ft)

2 и Da2 fi) + llaillLr(n) + llaollw-1(Q) < ^ с ^которым о, 2] fпри £ = 1), то +

Хоо(П)

2 2} 6Z2 llaoll г < JV, то

1) s\ и — V c\h\ lp(q) 3-(1/р-1/2) 1Мь00(П) +

LP(Q)

0)

LP(Q)

Исследован также другой упрощенный метод, при анализе которого какая-либо гладкость а2 уже не требуется. Пусть приближенное решение у Е о удовлетворяет тождеству a2D2y,D2v) + {a^Ds^y ■ De^tp) + • s^tp) = (/W - (f^Mptp) + (/^V) Vy) G £2[a2] .

В этом случае справедлива

Теорема 1.4.2. Пусть 1 < г < р < 2. Если выполнено одно из условий: а) INIx^) + ^ N; б) llailUooCfl) + Pai|LР(П) + 1ММп) < N> то при f = D2fW верна оценка

М «2 и~У ьг(п)

K\h\ k + l-(lfp-l/r)

2>

ЬР(П) где к = 0 в случае а) либо к = 1 в случае б).

При / = {I = 1,2) верна аналогичная оценка с min{/c + 1,^} в роли к + 1 и с в роли о

В §1.5 рассматривается пример финитного базиса пространства 52 Получены формулы для базисных функций и описана система сеточных уравнений с симметричной блочно-трехдиагональной матрицей (элементы которой — блоки 2x2) для нахождения приближенного решения.

В главе 2 изучены проезсционно-сеточные методы решения краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка, использующие S\[x] = = W е | xD2ip G W^(ft), D2{xD2<p) = О на VLi (г = — пространство обобщенных кусочно-" кубических" сплайнов дефекта 1.

В §2.1 S\[k] детально исследовано. Доказана единственность интерпо-лянта s^u из 6*2\>с[ для и G W2(Cl) по значениям и(х{), i = 1,п и Du(0), Du(X). Получены следующие оценки погрешности интерполяции.

Теорема 2.1.1. 1. Пусть 2 < q < оо, к = 0,1. При и G И'/22(^) верна оценка

Dk(u-s^u) <H~lf2\h\2~k~{ll2~l,q)

Lq(Q) С

1/2 D2 U ь2т

2. Пусть 1<р<2<?<оо, A = 0,lum = 0,1. При и G ^22(П) и D D(hD2u) е LP(Q) верна оценка

Dk(u и) im+3-A-(l/p-l/y)

DmD(xD2u)

LP(Q)

6)

3. В случае, когда q = 2, результаты п. 1 и п.2 справедливы и при к = 2. Оценку (6) (при указанных в п.2,3 значениях параметров q, к и т) можно усилить, при р = 1 заменив

МП) на var-^Dm{HD2u).

D D(kD2u)

Для квазиравномерной сетки (|Л| < Nhmin) задается снять ограничение Р < 2 < q.

Теорема 2.1.2. Пусть 1 <р < q < оо, и Е W2(H) и |/i| < Nh mm •

1. Пусть к = 0,1, 2, причем q = р при к = 2. Тогда верна оценка

Dk(u

Lq(Q) к

-1 /р' l-2/Pl

14

2-k-(l/p-l/q) k1^'D2U

LP(Q)

2. Пусть k = 0,1,2, m = 0,1 и D D{hD2u) E £p(0). Тогда верна оценка

Dk(u — s\*'u) К

-1

Tk(p,q) щ m+3-k-(l/p-l/q)

DmD(xD2u)

Lp(Cl) где crk(p,q) =0, 2/q — 1, 1 — 2 jp для, соответственно} l<p<2<g<oo, l<P<?<2;2<p<g<oo fnpu к = 0,lj, a cr2(p,g) = I1 ~ V^l

В §2.2 исследован проекционно-сеточный метод решения задачи (1), (2), аналогичный методу из §1.3, но использующий сплайны из S\[h], с х = ач-Теорема 2.2.1. Пусть к = а2 ul<p<2, a f = D2~e (£ = 0,1,2). Пусть сетка ojh — квазиравномерная.

1. Если I = 0,1 и + IIa01|и/-1 (п) < N с некоторым г Е [1 ,р'\ при t = 0) либо г Е [р,р'] (при 1=1), то

2) Sj U — U Ki{N) |/1|^+1-(Vp-1A') /(2-£) ip(fi)

2. Если ЦсцЦ^ 11ао|1ьг(^) — N c некоторым r E [1,2] при i = 0,1) либо r E [p, 2] (при 1 = 2), mo s\ 'u — v K2{N) \h\

2-{l/p-l/r') f( 2-£) bp(fi)

При ai = 0 допустимы значения г Е [1 (при £ = 0,1) либо г Е (при = 2).

3. 5 случае, когда дополнительно р — 2 при Е = 0, а также г < 2, результаты п. 1 и п.2 верны при произвольной сетке oJh. Следствие. Верны также следующие оценки для и — v:

- <u)||L (П) < K(N) Dk(s(i2)u - v)

Kl{N)\h\W-k~{1/p-llq) ||/(2-4||мп), где k = 1 в условиях n.l либо k = 0 в условиях и.2;

Lq(Q) q E [г', oo]. в условиях п. 2 при г = р, £ = 2;

Lp(Q) g Е [р, оо]

-(1/р-1/2)

2"

МФ в условиях п.1 при г = р, 1 = 1ив условиях п.2 при г = р, £ = 2.

Если р = 2 при ^ = 0, а также г < 2 и q Е [2, оо], то указанные оценки верны при произвольной сетке Zoh.

Теорема легко переносится на случай неоднородных краевых условий.

В §2.3 рассмотрен случай, когда коэффициент а2 непрерывен во всех точках П, кроме внутренних узлов cJh, где он может иметь разрывы 1-го рода. Пусть а2 — кусочно-линейный интерполянт для а2 по узлам oJh (разрывный при разрывном 02 )■ Выбор я = а2 позволяет существенно упростить вид коэффициентов системы сеточных уравнений.

Теорема 2.3.1. Пусть я = а2и1<р<2, af = j)2-if{2-i) ^ = = 0,1,2/ Пусть сетка Zvh — квазиравномерная.

1. Если £ = 0,1 и ||ai||Lp(J1) + Н^оHw^r1 (П) — N с некоторым г Е [1,2] при £ = 0) либо г Е [р, 2] (при £=1), а также L s^ 'и — v

Wi(C2) N, то

ЬР(П) о

Если вместо I\Da2 I г < N имеем D а2 < N и llDaollr /п\ < N п мЬоо^г; Loo {О.) ~ 11 последнее — при 1 = 1), то допустимы значения г Е [1 ,р'} (при £ = 0) либо г Е \р,р'] (при 1 = 1).

2. Если ||oi||Loo(n) + \\Dai\\Lr{n) + IMLff2) <N с некоторым г Е [1,2]

Lr (Г2) при I = 0,1) либо г Е [р, 2] (при £ = 2), а также d\2

I Da2\

ЬЕр(П) N (последнее — при £ = 1,2,), то N и s{ 'и — v

W*(Sl) K2{N) \h\

2— (1/р— 1/г') f( 2-/) p(fi)

3. В случае, когда дополнительно р = 2 при £ = 0, а также г < 2, результаты п. 1 и п.2 верны при произвольной сетке UJh.

В замечаниях отмечено, что теорема 2.3.1 сохраняет силу, если вместо >с — а2 взять и = (аз ; что е1Де более упрощает вид коэффициентов системы сеточных уравнений; кроме того, теорема 2.3.1 верна также для метода, использующего пространство S2[x] (вместо S\[h]) с к = а2, (а^1) , причем квазиравномерность toh здесь не нужна. о

В §2.4 рассматривается пример финитного базиса пространства Si[h]. Получены формулы для этих базисных функций и описана система сеточных уравнений с симметричной семидиагональной матрицей для нахождения приближенного решения.

В §2.5 изучены пространства (т > 2) обобщенных кусочно-полиномиальных сплайнов степени 2т дефекта £ = 1, т

HDmcp Е Ст~ (£1), при £ = 1, 771 — 1}.

Для и Е W[n(fl) в лемме 2.5.1 доказана единственность интерполяционного сплайна из М- Получены следующие оценки погрешности интерполяции (обобщение теоремы 2.1.1, относящейся к случаю т = 2). Теорема 2.5.1. Справедливы следующие утверждения.

1. Пусть 2 < q < оо, к = 0,m — 1. При и Е W™(n) верна оценка S^U) < CH~lf2 \h\m-k-(l/2-l/q) xi,2Dm

Lq{Q) U

2. Пусть I<p<2<<7<00, k = 0, ra-1, 7 = 1, m. При и E W™^) и TP ^D^{HDmu) E верна оценка (где f3 — min{7,m — £})

-1 im+T-^-Ci/p-1/?)

D7 0Dfi(xDmu)

Lp((2)

3. В случае, когда q = 2, результаты n.l и п.2 справедливы и при к = т.

В главе 3 изучены проекционно-сеточные методы решения начально-краевой задачи для нестационарного уравнения 4-го порядка. Этот анализ существенно опирается на результаты работы А.А.Злотника [14], а также глав 1 и 2. При этом §3.1-3.3 содержат вспомогательный материал, а §3.4, 3.5 — основные результаты.

В §3.1 введены используемые в главе функциональные пространства: — пространство £2^) с весом р Е L0о (О), Лг~1 < р < N, ||w[|#(o) — llv^HIь2(пу Ж^И^С^), IHItfd) = Ж-1) —двойственное к

Ж1), М1ж-1) = sup (w,<p)/ |М|Я(1); H(2+*) = {w E H^lp-'Lw E Я<*>},

HI#(2+fc) = p~lLw \н(к) при к = 0,1, 2. Пусть H — гильбертово пространство. Введем пространства С{Н) и Lr(H) (1 < г < оо) функций на [0,Т] со значениями в Н соответственно непрерывных и сильно измеримых с нормами М1с(я) = 0^ах |М*)||Я, |Иьг(н) = II 1М*)11я llzr(0>rv Wi(H), r«e Н =

Ж1), Ж"1), \\w\\~i4H) = |Ма(я) + \\Dtw\\Li(H), где Dt = d/dt. Пусть Q = rj-l rp

Q х (О,Т) и (w,y)otq = f0 (pw(t),(p(t))ndt, Cq(w, cp) = fQ £n(w(t),cp(t))dt. Рассмотрена начально-краевая задача pD\u + Lu = pf в Q, (7) и\дПх(о,т) = °> Du\dnx(o,T) = (8) и t0 = w^(cc), = w^^(ar) при sGfi.

9)

Здесь и = u(x,t), f ~ f(x,t), оператор L введен в (1), причем N 1 < a,2(x при ж Е tt, а также ||a2||Loo(n) + Ц^Ц^^ 1Ы1ь2(^) + IMIl2(Q) < N- СФ°Р" мулированы результаты относительно гладкости (регулярности) решения задачи (7)-(9) в терминах исходных данных, полученные в [14].

В §3.2 рассмотрен трехслойный с весом проекционно-сеточный метод решения задачи (7)-(9). Пусть s 1 — проектор на Sd[>c] в Н^ такой, что C(w — siw,cp) = 0, <fh — вектор коэффициентов разложения функции (р £ о о

Sd[>t} по некоторому базису в S^fx] и Нh — пространство векторов ерь со

1 /2 стандартной евклидовой нормой Ц-Ц^ = (•,•)// • Введены действующие в Hh самосопряженные, положительно определенные операторы В^ и Lh такие, что (Bh(ph,iph)h = {р<р,ф), {Lh(ph,tph)h = с{(р,ф) \/<р,ф е Sd[x}. Для ги 6 #(-1) через обозначен вектор из Hh такой, что (wh,(fh)h = (w, о

VV £ • Здесь и ниже d = 1, 2.

На [О, Т] введена сетка сйт с узлами tm = mr, т = О, М, г = Т/М. Пусть

5V — пространство функций, непрерывных на [О, Т] и линейных на каждом отрезке [tm~i,tm], m = 1,М. Функции ет £ ST, m = 0, М, такие, что ега(^) = 1 при £ = т либо ет(^) = 0 при I ^ ш, образуют базис в 5Vу qp

Пусть wm = w(tm), wJn = fQ wemdtf fQ emdt, m = О, M. Введены сеточные операторы = (ium-wm-i)/r, dtwm = {wm+i-wm)/r, w= (wm! + iym)/2. Введем норму fm = max ||wra||rr.

Q<m<M n

В качестве приближенного решения начально-краевой задачи (7)-(9) расо ^ сматривается функция v Е S = S'dfx] (^^SV такая, что

В^Си,»7) = -{Dtv,Dtr])0,Q - (a - 1/6)£q(t2L^, ЗД + = (w(1),T7o)o,n + (/5v)o,Q V?7 € 5, 7?|t=T = 0 vlt=o = либо v\tQ = siu(°\ причем v^ E Sd[n] , 0,n + = (u(°\<p)0,0 ty € , где и и — параметры (которые могут зависеть от coh иг).

Операторная форма этого трехслойного проекционно-сеточного метода имеет вид

Bh + <TT2Lh)dtdtvhjm + Lhvh,m = т = 1,М-1, (10)

Bh + or2Lh)dtvhtQ + (T/2)Lhvht0 = + (r/2)/£'r, (11)

Bh + a(°)r2Lfe)40) = и(0>'Л, либо = (12) о где Vh,m — вектор разложения vm = t>|tmT £ (m = 0,M) по выбранo ному базису в Пусть ниже сг > <т0 = (1/4) — (1 — £о)/{т2а1), где o G (0,1], a ah = max о (|М1я<*) / 1М1я<°> )> и а(0) > а ~ V4

Приведены оценки приближенного решения v в различных нормах в терминах исходных данных, полученные в [14], свидетельствующие об устойчивости метода.

В §3.3 сформулирована теорема об интерполяции линейных операторов и введены пространства Н^ для нецелых а > —1 ([а] — целая часть числа а): НW = [а];00, при помощи Kq „-метода вещественной интерполяции (см. [6]) сО<0<1, д = оо; ||к;||Я(2+*о = при к > —1. Пусть Н — гильбертово пространство и WHi(H) (0 < А < 1) — пространство, состоящее из функций w Е WH®{H) = L\{H) с конечной нормой \\w\\WHxiH) = Т~Л ||u;||Li(H) +oSup^7-L IK* + 7) - ыШьг^т-ъну Введены также пространства к > -1, А > -1) с нормой л)/

-X-m-1) £ I! Am/lt=ollff('+;

0<Ш<[Л]

Сформулирован ряд теорем, содержащих оценки погрешности дробного порядка на классах негладких данных, являющихся следствиями общих результатов ( см. [14]) для случая оператора L, введенного в (1). В §3.4 получены оценки погрешности в послойной норме Н^. Лемма 3.4.1. Пусть d = 1,2. Оператор s^ обладает свойством

Чл - — 0> Vu> (Е tfW, ip е Sd[x].

Получено несколько других существенных вспомогательных результатов. Лемма 3.4.2. При d = 1,2 справедлива оценка а^ < (определение a.h см. выше).

Лемма 3.4.3. Пусть d = 1,2, А = 1,2 и при А = 2. Справедливы оценки

Da 1 l(n) + IkolL^n) < N w w — sd W О) situ — к;

Ж*) с |/г|

2(A-fc)

М1ям' fe = 0,1,

Ж1) c|/i|

2А ги

Жл) у

Лемма 3.4.4. Д/г.я £ $2И справедливо неравенство и формула ci |М1яь < 1М1яа) <с2|М1я„> n мк = Е12 k=i hu (d.rfc)2, где dxipk = 1, y?* = p(zk), ^ = y'fa*), IMI#ft = ^(^V)

Пусть d = f) — вектор данных задачи (7)-(9), ||d|LaN = и

0)

Ж") к i)

Я(а-1) + ||/||p,(ai,c«2)• Получены следующие оценки погрешности в послойной норме

Теорема 3.4.1. Пусть vq = v°. Верна оценка погрешности

Г(4- «) < сЗ?" (Ti

-/о П-(Н(Х>\ 4

4 + Т2 а/3

1(а)

О < а < 3.

СГ(Я«)

Числа од, о;2 таковы, что а\ а2 = о; — 1 w выполнено одно из условий: a) ai = 0, -1 < а2 < 2; б) 0 < ад < 1, 0 < а2 < 1; в) -1 < ад < 2, а2 = 0. Кроме того, Т\ = max{T, 1}, 71 = max{a2 ~ (се/3), 0}.

Теорема 3.4.2. Пусть vq = Верна оценка погрешности а —1)/3 sd'u-v

1/2) сТ72 (т! (|Л|

4 , 2 + Т а)

1 < а < 4.

СТ(Я(1))

Числа ад, сиг таковы, что ai + а2 = ol — 1 и выполнено одно из условий: а) -1 < «1 < 0, а2 = 1; «1 = 0, 0 < < 3; в) 0 < ад < 1, 0 < а2 < 2; г) 1 < ад < 2, 0 < а2 < 1; д) 0 < сд < 3, а2 = 0. Кроме того, 72 = = max{o;2 — 1 — (а — 1)/3, 0}.

В §3.5 введены интерполяционные пространства для целых к > 0, £ > 0 = (#(*), д и ir(fe+6,0;i = F(M+0);i = тЧМ)^(М+1))0д ПрИ помощи ^-метода вещественной интерполяции с

0 < 0 < 1, g = 1. Пусть ||d а);1 ti

0) ж«) U

1) Ж а-1>;1 + H/II р(аг ,а2);1 ;

Л0 = 1/4, Ai = 3/4 и ||w||Cfc = maxju;^)!, \\w\\ci = И|Сл + Ц-CHIcv Лемма 3.5.1. Справедливы неравенства (вложения)

1М1с(Ц) ^ К Ml , IHIc1^) - К М1я(0-75);1 •

Получены следующие оценки погрешности в равномерной норме. Пусть к = 0 для с£ = 1иА; = 0,1 для d = 2.

Теорема 3.5.1. Пусть = Справедлива оценка погрешности где ai а2 = сх ~ 1 = 2 + А&, а\ > 0, а2 > 0 и одно из ai, а2 целое .

Теорема 3.5.2. Пусть = (и тогда <т(°) > 0, \h\ < Nhm[n) при < а < 1 или fo = з^г^0) при 1 < су < 3 + Afc. Справедлива оценка погрешности для А& < о; < 3 + А& а-А г<?е а\ + а2 = а — 1 п выполнено одно из условий: а) 1 — А& < ai < 2 + А&, «2 = 0; б) ai = 0, 1 - Afc < а2 < 2 + Afc; ej 0 < аг < \к, 0 < а2 < 2; г) Хк < ai < 1 + Afc, 0 < а2 < 1; ^ <*i = 1, 1 < а2 < 1 + Ае,) а^ = 2, О < «2 < Afc. Кроме того, 7 = 7(аь а2)

Основные результаты диссертации Изучены пространства обобщенных кусочно-"кубических" сплайнов дефекта 2 и 1, а также пространства обобщенных кусочно-полиномиальных сплайнов степени 2т любого дефекта £ = 1, тп. Получены разнообразные оценки погрешности интерполяции порядка 0(Л4/3), 0 < /3 < 1 в нормах пространств Лебега и Соболева (с любым порядком суммируемости 1 < q < оо).

Для обыкновенного уравнения 4-го порядка с негладкими коэффициентами изучен ряд проекционно-сеточных методов, использующих обобщенные кусочно-"кубические" сплайны, построенные по старшему коэффициенту. Получены оценки погрешности в нормах пространств Лебега и Соболева с любым q, свидетельствующие о суперсходимости методов для различных классов негладких правых частей.

Для нестационарного уравнения 4-го порядка (второго порядка по времени) с негладкими коэффициентами исследован трехслойный с весом про-екционно-сеточный метод с обобщенными кусочно-"кубическими" сплайнами. Детально исследованы оценки порядка 0(\h\4 + г2)^, 0 < (3 < 1 погрешности метода в различных нормах для разнообразных классов правых частей и начальных функций, вообще говоря, дробной гладкости.

- 17

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда поддержки фундаментальных исследований, проект 00-01-00207.

По теме диссертации были опубликованы следующие работы:

1. Злотник А.А., Киреева О.И. О погрешности некоторых проекцион-но-сеточных методов для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. - 1995. -iV4. - С. 49-61.

2. Злотник А.А., Киреева О.И. О погрешности методов с обобщенными кубическими сплайнами для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Вестн. МЭИ. - 1995. - N6. - С. 59-71.

3. Злотник А.А., Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки. - 1996. - Т. 60. - N1. - С. 138-141.

4. Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для решения задач 2т-го порядка с негладкими данными // Тезисы докладов. - 1996. - Ч. I - С. 57.

5. Zlotnik A.A., Kireeva O.I. On some properties of generalized cubic splines // Russ. J. Numeri. Anal. Math. Modelling. - 2000. - V. 15. - No. 6. - C. 539-551.

1. Агошков В.И., Степанов А.И. Проекционная форма интегральных тождеств для уравнения четвертого порядка // Препринт. - Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1980.

2. Амосов А.А., Амосова О.А. Оценка погрешности вариационно-разностной схемы для общего одномерного стационарного уравнения теплопроводности с негладкими коэффициентами с слабым вырождением // Препринт. М.: АН СССР. Отдел вычисл. матем., 1983.

3. Амосов А.А., Амосова О.А. Оценки погрешности вариационно-разностных схем для вырожденного уравнения диффузии с разрывными коэффициентами // Препринт. М.: АН СССР. Отдел вычисл. матем., 1983.

4. Андреев В.В., Андреасян Г.Д. Суперсходимость производных и их осреднений в методе конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2т-го порядка // Вычислительные процессы и системы.- М., 1988. Вып.6. - С.31-39.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

6. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. Мир, 1980. 264 с.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

8. Биргер И.А. Стержни. Пластинки. Оболочки. М.: Физматлит, 1992.

9. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 126 с.

10. Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ.- 1965. Т.5. - N2. - С.351-357.

11. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвертого порядкаИзв. вузов. Математика. 1996. - Т.40. - JV10. - С.13-25.

12. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

13. Злотник А.А. Коэффициентная устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1984. - Т.20. -N2. - С.220-229.

14. Злотник А.А. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Вычислительные процессы и системы. 1991. - Вып.8. - С. 116-167.

15. Злотник А.А., Киреева О.И. О погрешности некоторых проек-ционно-сеточных методов для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1995. -7V4. - С.49-61.

16. Злотник А.А., Киреева О.И. О погрешности методов с обобщенными кубическими сплайнами для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Вестн. МЭИ. 1995. -N6. - С.59-71.

17. Злотник А.А., Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки. 1996. - Т. 60. - N1. - С. 138-141.

18. Ишмухаметов А.З. Об аппроксимации гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка // ЖВМ и МФ. 1987. - Т.1. - №. - С.1154-1165.

19. Ишмухаметов А.З. Условия устойчивости, аппроксимация и численное решение задач оптимального управления // Дисс. доктора физ.-матем. наук. М.: ИВВС, 1996.

20. Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для решения задач 2га-го порядка с негладкими данными // Международный семинар "Дифф. уравнения и их прилож." Тезисы докладов. Самара, 1996. - Ч. I. - С. 57.

21. К лунник А. А., Приказчиков В. Г. Проекционный метод повышенной точности для дифференциального уравнения 4-го порядка / / Вычисл. и прикл. матем. Киев, 1990. - Вып.71. - С.27-33.

22. Корнеев В.Г. О точных сеточных схемах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. - Т.22. - 7V3. - С.646-654.

23. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

24. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

25. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

26. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических уравнений. М.: Мир, 1977.

27. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

28. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с.

29. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

30. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1975. 352 с.

31. Самарский А.А., Хао Шоу. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнения четвертого порядка // Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. - Вып.6. - С.3-16.

32. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 352 с.

33. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

34. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

35. Туретаев И.Д. Вариационно-разностная схема для уравнения четвертого порядка при негладких данных // МГУ. Москва, 1981. - 10 с.Деп. в ВИНИТИ 21.05.81. N1025-81.

36. Федорова О.А. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии // Матем. заметки. 1975. - Т. 17. - N6. - С. 893-898.

37. Шадрин А.Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравномерных сетках // Мат. сб. 1990. - Т. 181. - N9. - С.1236-1255.

38. Amosov A.A., Amosova О.A. Error estimates for FEM schemes constructed for degenerate diffusion equation with discontinuous coefficients // Sov. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 1986. - Vol.1. - N3. - P.163-187.

39. Ciarlet P.G. An 0(h2) method for non-smooth boundary value problem // Aequationes Math. 1968. - N2. - P.39-49.

40. Douglas J., jr., Dupont Т., Wahlbin L. Optimal L^ error estimates for Galerkin approximations to solutions of two-point boundary value problems // Math. Сотр. 1975. - Vol.29. - JV130. - P.475-483.

41. Douglas J., jr., Dupont Т., Wahlbin L. The stability in Lq of the L2-proection into finite element function spaces // Numer. Math. 1975. -Vol.23. - P.193-197.

42. Lucas T.R. A generalization of L-splines // Numer. Math. 1970. -Vol.15. - P.359-370.

43. Schultz M.H. Elliptic spline functions and the Rayleigh-Ritz-Galerkin method // Math. Сотр. 1970. - Vol.24. - JV109. - P.65-80.

44. Zlotnik A.A., Kireeva O.I. On some properties of generalized cubic splines // Russ. J. Numeri. Anal. Math. Modelling. 2000. - Vol.15. - N6. -P.539-551.