К теории проекционно-сеточных методов решения задач математической физики на классах негладких данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

российская академия наук сибирское отделение шчжжгельеый центр

На правах рукописи Ш 519.63

ЗЛОТНИХ Александр Анатольевич

к теории проекцйонно-сеточных методов решения задач матшатической физики на классах негладких данных

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физшюниатематяческих наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Какихов доктор физико-математических наук, профессор A.M. Мацокин доктор физико-математических наук, профессор Р.П. Федоренко

Ведущая организация : Вычислительный центр РАН ( г.Москва)

Защита состоится " /6 " 1992 т. в /J часов

на заседании специализированного совета Д 002.10.01 не присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Вычислительном центре СО РАН по адресу : 630090, г.Новосибирск - 90, просп.академика Лаврентьева, 6 .

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Вычислительного центра.

Автореферат разослан " " UOXiSpsi- 1992 г. Ученый секретарь

специализированного совета i J *

доктор физико-математических наук \Ю.И.Кузнецов

л: '.' ämcvtsj»!

: ОБЩАЯ ШАКТЕРЕСТШСГТАБОТЫ

Актуальность тевд.Дроекдионно - сеточные методы (метода конечных элементов) являются мощным инструментом решения разнообразных задач математической физики и механики. Эти методы весьма привлекательны как в практическом, так и в теоретическом плане. Теория весьма развита для эллиптических уравнений; она изложена в известных монографиях ЗК.-П.ОбэнаД.А.Оганесяна и Л.А.Руховца,Г.Стренга и Дж.Фикса, Ф.Сьярле. Одним из ярких результатов этой теории яеляются оптимальные оценки погрешности в Li ив энергетической норме на классах негладких правых частей.

Прсекционно-сеточше методы давно применяются к исследуются и для решения параболических и гиперболических уравнений 2-го порядка. Б области оценок погрешности этих и родственных методов работали многие математики: 10.F. Акопян.Г.П.Астрахан-цев.Ю.К.Демьянович.М.Н.Москальков.Л.А.Оганесян.С.И.Пискарев, В.Я.Ривкинд, П. Е.Соболевский, В. Л.Бурковская, И. Н.Джураев,ОХ Во,-&zt, LA.fkdki,С.йтлалск, J.H. BtomtfÜ, V.A/J)va$u&s, J. '¿аса^ач, T.tiiipc/it, T.Ga-^ci, ß,S,JoLXLnovtc, (vi HaiMuic/i, I. Laüesßa, N. Lus&itt, J.A.f/itscjleyR.RcuMLickti, J.R<xucfi,Lr.R.aju}ili, Р.ЪсиъпСП, /¡.HSdia-iz,

5.<>e.tSLn,V.TfumJi, L.ßAvafdtui M.liamcS и др. Вопрос

о точных оценках погрешности и оптимальности здесь оказался более трудным,и полного ответа на него получено не было.

Особенно трудным представлялся анализ погрешности экономичных методов, вопросы теории которых освещены в монографиях Е.Г.Дьяконова,Г.И.Марчука,A.A.Самарского,Н.Н.Яненко. Было неясно, какова их погрешность при негладких данных и уступают ли они (и насколько) обычным неявным методам. Некоторые результаты в этой области получили Н.С.Бахвалов,В.Л,Макаров, М.Н.Москальков,И.Д.Турегаев,И.В.Фрязинов, С.S.Ca£di^-eiC, 3. 'j)oct$£a.i, МЗч-yjii-, Т. Ъи-pcni, Cr. Fcuiüs-tiitfkx, LZ. Ггапсг-Сс, ß.S. JcL-ancLtc, L '.Hctyxs, E.E. Süti И ДР.

В последние 15 лет большое количество работ было выполнено в области так называемых суперсходимости методов конечных элементов и согласованных оценок погрешности методов конечных разностей для эллиптических уравнений (Л.А.Оганесян,

Л.А.Руховец,В.Г.Корнеев,А.А.С амарский,В.Л.Макаров, Р. Д. Ла за -ров, Б. И. Бера зш, Г. К. Берикелашвили, С. А. Всйцехозский, Р. 3. Д ау -тов,А.В.Лапин,В.А.Рукавишников, Т.^ирегЛ,

¿...2). и-алсггс, В. 9. Зоьтигсьгс, М.Кхьгск, Р.и$аМ, А;Лс1гп£, N.Какое, Р.Леи<шп&&, Е.Е. Ви£С, I/. \\jeimH, М. 2£атоХ. и ДР.). Тем не менее трудный случай неглад-

ких данных (особенно в трёхмерном варианте) оказался недостаточно изученным.

Существует значительный интерес к строгому анализу методов решения сложных квазилинейных задач,в частности, газодинамических. В последней области достигнуты большие успехи в решении прикладных задач,си.монографии О.В.Белоцерсного.Ю.В. Давыдова; С. К. Годунова, А.В.Забродина и др.;В.М.Ковеня,Н.Н. Яненко; А.А.Самарского, Ю.П.Попова и т.д.. Результаты же в области теории методов до сих пор остаются достаточно скромными (на фоне существующих в линейных задачах) ввиду больших, пробелов в теории соответствующих дифференциальных уравнений. В последние годы для одномерных задач в нелинейной постановке определенные успехи получены в работах В.Н.Абрашина, П.П. Матуса.Г.В.Меладзе, Д.В.Поцхижвили и др. ,а при наличии вязкости - в работах Ш.С.Смагулова,Б.Р.Рысбаева,И.Д.Туретаева и др..Однако в случае негладких данных требовался существенный дополнительный анализ.

Фундаментальные работы 0.А.Ладыженской по параболическим и гиперболическим уравнения и важные результаты А.В.Ка-жихова по свойствам "в целом" систем уравнении одномерной газовой динамики с вязкостью открыли возможность анализа численных методов для указанных уравнений при негладких данных.

Цель работы. Анализ погрешности проекционно - сеточных методов (включая методы с расщепляющимся оператором) для решения параболических и гиперболических задач на классах негладких данных,анализ сулерсходамости градиента методов для-эллиптических задач на классах негладких данных,построение и анализ погрешности (и других характеристик) "в целом" разностных методов для систем уравнений одномерного движения вязкого газа.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые подхода к анализу погрешности ряда важных методов решения задач математической физики.

С их помощью получены точные оценки погрешности решения в и в энергетической норме дом проекционно - сеточных методов решения многомерных параболических п гиперболических задач второго порядка на классах негладких данных. В параболическом случае изучены: чисто неявный двухслойный метод, специальный метод для одномерного уравнения с негладкими коэффициентами, методы с расщепляющимся оператором (РО) порядка аппроксимации 0(?+ в параллелепипеде,методы с РС, полуРО я без них (и их конечно - разностные варианты, включая классический метод переменных направлений) порядка 0(тг + 1Я!г) для дву- и трехмерного уравнения теплопровод -ности в параллелепипеде. Установлено, что метода без РО оптимальны по порядку, методы с РО порядка 0(т-+ по точности им не уступают,а оптимальность методов с РО порядка 0(гг+Шг) зависит от многих факторов (размерности области, конструкции метода, выбранного класса данных).

В гиперболическом случае изучены: трехслойный с весом и двухслойный метода, специальные метода для одномерного уравнения с негладкими коэффициентами, методы с РО (и их конечно - разностные варианты) в параллелепипеде, экономичный метод с кэази РО в двумерной области общего вида и трехмерной цилиндрической области; все метода имеют порядок 0(х*+)к\г). Для специальных методов установлена также суперсходимость и равномерные оценки погрешности, для методов с РО - суперсходимость. Метода с РО по точности не уступают методам без РО. Зависимость порядка малости погрешности от степени гладкости данных оказалась иной,чем в эллиптическом и параболическом случае. Кроме того, рассмотрены существенно более широкие, чем традиционно, классы правых частей, обладающих доминирующей смешанной гладкостью.

Для эллиптического случая исследована суперсходимость двух проекционно - сеточных методов в прямоугольнике и параллелепипеде. Установлены оценки погрешности нового, усиленного типа (в частности, для классов правых частей, обладающих

гладкостью лишь по части переменных или имеющих разрывы разных типов). Построен также конечно - разностный метод с оригинальной аппроксимацией коэффициентов в многомерном параллелепипеде, обладотций оптимальными оценками погрешности ъ и г и энергетической норме.

Построены нелинейные двухслойные разностные схемы, близкие к проекционно - сеточным, для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (как баротропного.так и теплопроводного) в магнитном поле. В нелинейной постановке,"в целом" по времени и по данным установлены априорные оценки, существование и устойчивость решений и (для баротропного газа) стабилизация решений с возрастанием времени. Выведены оценки погрешности в зависимости от гладкости данных (в том числе в равномерной норме), включая как оценки при минимальных в некото -ром смысле условиях на данные, так и оценки максимального для этих схем порядка 0(т„,^ тпли ^¿ихх).

Практическое значение. Исследованные в диссертации методы могут быть с успехом применены для решения достаточно сложных задач математической физики с негладкими данными.

Апробация работы. Диссертация долокена на научных семинарах мехмата МГУ, ВЦ РАЙ (г. Москва ),ШМатем РАН, ВЦ СО РАН (г.Новосибирск), С.-ПЭМИ РАН, МЭИ, МИГУ. Отдельные результаты ранее докладывались на всесоюзных конференциях (Новосибирск, 1980 г.;Москва,1983 г.),международных симпозиумах (Москва,1987г.,1991 г.),в Международном математическом центре им.С.Банаха (Варшава, 1987 г.),на математических школах (Воронеж,1983 г.; Харьков, 1990 г.) и на научных семинарах в МГУ.ИВМ РАН,ВЦ СО РАН (г.Красноярск), ВЦ РАН, ИМ СО РАН (г. Новосибирск).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы (174 наименования) и приложения. Общий объем диссертации 376 с. машинописного текста.

Публикации. Результаты опубликованы в 25 статьях. Материал глав 1-4 принадлежит автору (только §6 гл.1 получен совместно с И.Д.Туретаевым; соответствующие доказательства вынесены в приложение). В главах 5,6 теоремы об оценках погрешности (основные для диссертации) и о стабилизации

принадлежат автору, остальные теоремы получены совместно с А. А.Амосовым.

содержание работы

Во введении речь идет об актуальности проблематики,перечисляется имеющаяся литература по теме и кратко охарактеризо-вывается содержание диссертации.

Глава I (объемом 93 с.) посвящена случаю параболических уравнений. В § Г рассмотрена начально - краевая задача для общего линейного параболического уравнения второго порядка + + в = (0,Т), (1.1)

Чаа*(о,т)шО, и(±ш0-и.">\ (1.2)

Здесь О. - ограниченная область в (/2.^4 ); по повторяющимся индексам I,]. предполагается суммирование от Г до /г. Коэффициенты уравнения (1.1) зависят от х , Ь .

Изучен чисто неявный проекционно - сеточный метод,использующий то .г пространство конечных элементов = .удовлетворяющее условию аппроксимации

а такие условию ¡¡уЦн<» ^ С^Щ ЦТЦ^ла.) «Метод

шеет операторную запись вида

+ -и% иМ),В<,,1%,о-(р0и<&)\ (1.4)

где и и^щ - матрицы масс и жесткости на/^-м слое.

В лемме 1.1 получена устойчивость метода в энергетическом пространстве Уг(0) .Центральным в §1 является следующий результат. Пусть решение задачи (1.1),(1.2) удовлетворяет стандартной оценке

1)11 II А = ( £ и*), № Но - 5)

Теорема 1.1. Верна оценка погрешности

II"- VIIш ~ МУМ' ■ (1-6)

Важную роль в доказательстве играет введение р -весовых и(0) - проекций и и использование дробной гладкости по порядка 1/2 градиента Ьи - ( Dn.il).

В предложении 1.1 из теоремы 1.1 выведена оценка по -грешности

- ¿С^яах+тМо К-7)

(использован известный прием введения сопряженной к (1.1), (1.2) задачи с и-V в роли £ ). В предложении 1.2,наоборот, из результата типа (1.7),см.1), выведена оценка (1.6). Тем самым изучена связь между оценками погрешности в 14(<?) и 1г(0) •

На базе теоремы 1.1 и леммы 1.1 в теореме 1.2 установлена оценка погрешности дробного порядка (0^<¿^.1)

1м' идо * п^о

где ,в Н^'0 Е И<и> -интерполяционные

пространства. В этой оценке при функция и10> может

быть разрывной (и не обязана удовлетворять условию и.<о%л.-0); если не , /г — 4 ,то допустим случай .-р типа движуще-

гося точечного источника.

Та же техника, что и в теореме 1.1, позволяет получать оценки погрешности в Уа(0) более высокого порядка (при дополнительной гладкости по Ь коэффициентов уравнения (1.1))

Теорема 1.3. Верна оценка погрешности

*ег*«*-Ш)Ш!1ш+ ИШг,т+ М1н<»).

В теореме 1.4 выведены оценки снизу для погрешности в норме ]/з. (О) любого линейного метода решения задачи (1.1), (1.2) с приближениями из пространства вида Вк[Ц<п] ®

® £эм[ 1АО->Т) ] .где £АТА1 - это /V -мерное подпространство банахова пространства /\ . Эти оценки снизу свидетельствуют о точности по порядку оценок (1.6),(1.8) (при каждом О i ), (1.9) на соответствующих пространствах негладких правых частей и их оптимальности в указанном классе методов решения задачи (1.1),(1.2).

Следующий §2 связан с одномерной ( /2= 1 ) задачей (1.1),(1.2) с негладкими коэффициентами.Именно,кроме условий равномерной параболичности предполагается только,что

где Зс - &и .Дифференциальные свойства решения такой задачи описаны в предложении 2.1.

° А.А.Злотник//ЖВМ и Ш> .1978. Т. 18. .№6. С. 1454 - 1465.

Пуста на £l=[0,X] введена сетка 0-<X(f)•'..,< (с шагами 4^ = а>д). Через обозначим про-

странство непрерывных на СО,Х] функций Ц> таких,что на каждом интервале {Х(е-1),Ха)) существует Z^f-i^I\f>)=0

fj^O.В §2 использован специальный вариант проекци-онно-сеточного метода из §1, когда на Ш, -м слое вместо S^i берется (O^/ii^M ).Устойчивость в Vz(Q) такого мето-

да гарантируется леммой 1,1. Вывод же аналогов оценок (1.6)--(1.9) существенно осложняется зависимостью от Ш.

Пусть / = + ^(i) S'(x--ji) ,где d'Cx^jj.)- сосредоточенная при jx дельта-функция, причем jx принадлежит сетке на СО,У) .

Теорема 2.1. Верна оценка погрешности

Мш *c(z£c+mu<hw+ Hllv[0,Ti + IM»,

где = Ятл.г - .ZtfÜ'i •а VfO^Tl- пространство функции ограниченной вариации на [Ö,T] .

Теорема 2.2. Если L^afä), PifLM, то

ИмИме,) « HlviO.Tl + Мн«>).

В теореме 2.3, во-первых, указано, что оценка (1.8) сохраняет силу, во-вторых, при дополнительной гладкости по i коэффициентов уравнения и при ^.(О^ — О доказана оценка погрешности Ци-иЦу^ ^

условие ¿¿«"е Н<1> предполагается.

В остальной части главы I (2/3 ее объема) в задаче (I. I), (1.2) положено .12 —С0,Х0*-.. * ив

качестве Sty/i выбрано пространство кусочно - поли-

нейных функций (равных <9 на ); сетки пох,r,i,t взяты равномерными. Исследуются экономичные методы.Струк-тура их погрешности аппроксимации существенно сложнее,и до недавнего времени при Je. Lz(Q) был известен только лишь факт сходимости таких методов.В §3 изучены два проекци-онно - разностных метода с расщепляющимся оператором (РО) на верхнем слое

* % *цф, - , ILIO) 7

где ЫЬ+гггЖд.ЛВь+тъ.Ы, Ах-ъВ&Ли&ф* &А,

В&-Е- (&*./&) Ль, /Ц(•) = - О Хздгд I Е - единичный оператор, Операторы В-Вц. и Ьц -частные случаи соответствующих операторов в (1.4).

В лемме 3.1 цри условии о. (ос&^ ^ ^ИС-^т (на параметры <2; ) получена устойчивость методов (1.10),(Г.II) в Уг(6}) . В важной лемме 3.2 изучены свойства вспомогательного оператора : такого, что /§50,гг</' = использование позволи-

ло вывести следующие аналоги оценок (1.6), (1.7).

Теорема 3.1. Для каждого из методов (1.10),(1.11) справедлива оценка погрешности

шт0. (1.12)

Как следствие, справедлива оценка погрешности типа(1.8) (с у, г вместо г/, -Г/лох ) для

Предложение 3.1. Для метода (1.10) из оценки погрешности (1.12) следует оценка

Н^-уИигСа) С(£+1&1г)Цс11!с. (1.13)

В §4,5 продолжено исследование метода (1.10).Леша 4.1 посвящена свойствам оператора .Они нужны,в частности, при доказательстве следующего вакного в §4,5 результата о методе (1.10) - сеточного аналога оценки (1.5). Пусть Ц-Ц^, и Нкг - ~ сеточные аналоги норм в жЦШ),

а А к = В<о АI, А1= V • ..+ Ап - сеточные аналоги оператора (-Д) (где Л - оператор Лапласа). Теорема 4.1. Справедлива оценка

± С (1Ь*Аг + КВиУ%\к). (1-14)

В лемме 4.2 при помощи леммы 4.1 выведено неравенство типа острого угла между операторами I/; + СъЕ и /\£ (оно существенно ниже в главе 4). В теореме 4.2 дано новое доказательство оценки (1.13) - при помощи теоремы 4.1 и сеточного сопряженного к (1.10) метода. Это доказательство не

использует материал §3 (и в отличие от данного в §3 применимо также к методу (I.II)).

В §5 введен проекционно - разностный метод с РО

- v ,

Вф{ + иф - , Вфо = ч^ - | (1.15)

- вариант метода (X.10) с иными правыми частями уравнений (использующими усреднение J- с более гладким ядром).Функция (у.) считается кусочно - поликубической по ос и кусочно - линейной по i .В лемме 5.1 из теоремы 4.1 и оценки погрешности (I.13) выведены оценки

Введем и Ж^ - гильбертовы шкалы прост-

ранств, соединяющие (комплексные) гильбертовы пространства Xo'0 - L¿(Q) и Яг->\~ {ve Wf-'ÍQ)! ICÍ8аш.-v)~0},ъ так-яе L¿(C2) л Ж1 = 1^(12) ; пусть 31 f^ получает-

ся аналогично с использованием {uelv'/'tq) I ^v)-t=0 = O} вместо W¿l(Q) .

Теорема 5.1. Справедлива двухпараметрическая оценка по1фешности ( 0 ¿ р> ^ «í ¿ Í )

№-Ф1я*'Р 1и<%ы-1), (I.I7)

Доказательство опирается на оценки (I.I6), использование сопряженных к (1.1),(1.2) и к (I.ÍS) задач и на свойства гильбертовых шкал.

В качестве следствий из оценки (I.17) получена,во-пер-вых, оценка типа (I.I2) с (р в роли Lj ,а .во-вторых, оценки с о -образными $ и исс) .В частности,при Jix/b = = <],(t) (движущийся по измеримой траекторииJU-- (0,Т)*

О. точечный источник мощности c¡(t)) , и(о>^0 при ti = /,<?, 3 верна оценка погрешности

Оценка (I.I7) точна по порядку на классе праЕых частей Xй - {/} HWji^'V'*'* * и оптимальна в широком классе методов (в отличие от теоремы 1.4 даже не обязательно линейных). Это ясно из следующего результата.

Теорема 5.2. Дуста и 5*'м=

®5*Г«ЯЦ(0,Т)1 - Для любого оператора ф: Х**->5*'" верна оценка погрешности снизу

^с'СМ-'+к-^-е, (1.18)

где О не зависит от Ф, и К, М . Здесь

Л'о Со,Т) - гильбертова школа пространств, соединяющая и(0,Т)

и ^е \//£(0,Т)№к. о = ОЛ

В §6,7 для; случая уравнения (1.1) простейшего вида - йи.-^ в О при /2-2,3 исследованы двухслойные метода порядка аппроксимации 0(гг + Шг) . Первый из них - симметричный метод (иначе, метод Кранка - Николсон -Галеркина)

Въ + = (1.19)

с = (гг+ и)/2 . Второй - метод с РО (с параметром

)

В9Щ + Иму«"- « " (1.20

где + .Кроме

тою, и = 0 при /2=2 либо Л®=-МЛ+

+В2М3 + 81ЛаЛз и А^-МаА» при /?=3 ,а ,..(Вп->- .Указано, что к уравнению (1.20а) при приводится проекционный вариант классического метода переменных направлений,при /2=3 и 5=4 - метода дробных шагов Дугласа и метода предиктор - корректор Брайена, при /1—3 и 0=0 - метода приближенной факторизации.

В леммах 6.1-6.5 содергатся вспомогательные результаты об оценках усреднений, решений уравнений (1.19) и (1.20) и др. Введем норму данных Д<£й«* = НЫн®*"0 +

ч-Цц^Ин^*1 (0<4И), 1де^о = 0 при олибо = при .Здесь Н0,4 и , -интерполяционные

пространства функций, обладающих гладкостью порядка «¿по t в норме 1*г(0) и ^ в норме 1г(0.) соответственно.

Теорема 6.I. Для метода (I.19) верна оценка погрешности ( п = 2,3 )

Ни-иНьг® + НУ'Мв), о*.4*1. (1.21)

Теорема в.2. Для метода с РО (1.20) справедливы при

И=2,3 оценки погрешности, со ответственно:

Ш'И.), 0<л*±, (1.22)

Здесь 21<ы'& - ^с**«,« + >а ц<ын,о) _

поляционные пространства функций гладкости порядка <Зо£ то •Хй в норые •

Рассмотрены и конечно - разностные варианты методов (1.19),(1.20) :

% + Ла1Т<ГМ-Г^]т, (В + ЫАкь-^-ЪШ")*, (1.24)

Ь^ + Д^уГ-и4]*, (1.25)

которые формально можно получить заменой всех операторов усреднения д на £

Теорема 6.3. В оценках (1.21) - (1.23) мотшо заменить V на гГы. Ц на у*. .

Доказательства теорем 6.1 - 6.3 существенно используют подходы, предложенные автором в '

В оценках (1.21),(Г.22) при <£- */Л и (1.23) при охвачен широкий класс разрывных функций / .Кроме того,в (1.23) при «¿= з/у охвачен класс кусочно - гладких £ с разрывами только по х на гиперплоскостях, параллельных координатный.

В §7 показано, что если 0= £ ,то оценку (Г.23) при #<«¿<-6^ можно усилить,а при - существенно до-

полнить. Для этого в леимах 7.1,7.2 приведены некоторые результаты об интерполяционных пространствах. Теорема 7.1. Пусть /1=3.

I. Для метода с РО (1.20) верны оценки погрешности

(1.26)

^-Мм^^аМн**»*++мши, (1.28)

^А.А.Злотеик. Дисс.канд.физ.-матеи. наук.II. :М1У,1979.

где = ,а пространство несколько

уже, чем Н°,1/г •

2. Для метода (1.25) верны аналогичные оценки (с ^ вместо ^ ).

Введен также промежуточный меаду (1.19) и (1.20) метод с полуРО (иначе, с расщеплением по плоскостям) при л = 3 :

В^гг + А{2 [5кГ, Вь20 = ^<0)'* - % *, где = 1/1 ¿Лки-Ы^Ыг.

Для него в теореме 7.2 указана оценка погрешности вида (1.21) с 2 в роли V .

Приведенные вше оценки погрешности симметричных методов и методов с РО при /г - 3 существенно различны при

О ^ 6< 1, 0<4<= i и при 0 = 4, 1 : мето-

ды с РО предъявляют большие требования к гладкости $ . В теореме 7.3 для методов с РО при /г-3 выведены оценки погрешности снизу. Они подтверждают, что указанный интересный и вакный эффект неоптимальности методов с РО при П-Ъ и преимущество выбора над 0^9<1 поровдены имен-

но спецификой конструкции их операторов.

Наконец, из предложения 7.1 (аналогично теореме 5.2) следует, что оценки погрешности вида (1.21),(1.22),(1.26) и (1.28) точны по порядку на соответствующих классах функций / и неулучшаемы в широком классе методов.

Глава 2 (43 с.) посвящена случаю эллиптической краевой задачи Дирихле (в области Л « х (о,Хп), Лг- <? )

- РсСа-^и) -н / на ЭЛ. (2.1)

В §1,2 при /£=2,3 исследована суперсходимость градиента проекционно - разностного метода Ls.tr = с кусочно - полилинейны!« приближениями (для неравномерной прямоугольной сетки).Пусть - соответствующее восполнение и , а Х-ВИ-и . В теореме 1.1 выведены оценки поряд-

ка ) в предположении, что некоторые из вторых

производных и принадлежат Шд (12) ).При

1 даже достаточно, чтобы только DiDj.ll е ¿г Ш) при всех (что существенно используется ниже в § 2).

Дальнейшие результаты §1,2 относятся к случаю 0.^ = 0 при I -ф I . В- теореме 1.2 доказано, что при свойство Р*« £ (£1) выполнено тогда и только тог-

да, когда и (¿)Гл е ,гдеШг* -

продолжение следа нулем на 912 ,а Г>? = {.хеЭЩх^хД

В теореме 2.1 при помощи теорем 1.1,1.2 получена оценка ||г |ц<1> порядка в терминах данных,а именно, принадлеаности и (продолжения ^ с ¿Л на Л ) некоторым интерполяционны».) пространствам. Из этой общей оценки при помощи теоретико - функциональных предложений 2.1-2.5 выведены следствия 2.1-2.3, в которых требования к ^ и имеют наглядный характер. Остановимся на следствиях детальнее (предположив для краткости условие пхл При/2 = 3 ), Пусть ~ коэффициенты Фурье разложения функции по синусам, т = Введем нормы

тх* - (№-*-(£

где <т> = гЫл{гп^/пг} (при д 2 ) либо<т>=,{ЭД<гДЯк-+/Я/ (при П = 3 ),а -¿.а),Элементы об-

ладают доминирующей смешанной гладкостью. При д - О верна оценка

Йх1н«> * 0*4*4, (2.2)

где предполагается условие ¿¿-г о12 (при А = 2 ) либо

.= ^ (при п— 3 ). В частности, здесь § монет обладать гладкостью порядка о1 только по одной (при п.-^ ) или двум (при /2=3 ) из переменных л:*,..., Хц . Из (2.2) вытекает оценка „„-,, „ .„

пространство заведомо содернит кусочно - гладкие

функции с разрывами на прямых (при /г = И ) либо плоскостях (при /2=3 ), параллельных координатным (их положение относительно сетки безразлично, что достаточно неожиданно).

Приведем оценки погрешности в терминах пространств С.М.Никольского. Введем обозначение бВь^ В>я (приЛ'<?) шш бВв^&ЛВг-г-ВгПВз + ВЛ Вз (при /2=3 ) в случае банаховых пространств В<Вп .вложенных в общее пространст-

во В . Пологам у«™ « Ы&ил) I (Ы)1 £ } .где

- продолжение иг нулем с Л аа £Л ,а .

Справедаивы оценки ( - символ Кронвкера)

Ши«> 6 сШ'^Шку™ *

+ оп {^{¡^(а))], 2.3)

Указано, что у<в1Л> совпадает с при

(с точностью до эквивалентности норм), содержит $**(£)() при . Кроме того, <ЗМ^^ совпадает с <ЗВ& ,

Две последних оценки охватывают случай разрывных ^ при. весьма слабых требованиях к -мерный поверхностям раз-

рывов.

Верна еще одна интересная оценка погрешности Мн<0 * СШ21ШПШбВ«> + Ы»<(а)+«-2ф!1Рф(2.5)

С )Нвс* « .Здесь не

требуется условие согласования ыевду $ и } (в вершинах ¿2 при /г.=2 или на ребрах 12 при л-В ),которое необходимо во всех оденках, доказываемых при ¿¿е .В оценке (2.5) сумма норы ^ и заведомо мажорируется через

; показатель степени ШШ можно уменьшить до 1/2 засчет некоторого усиления норм / и

9л ' г

В теореме 2.2 в случае , »¿>0 -по-

стоянные, у — О и равномерной сетки для данного метода получены оценки погрешности снизу. Они свидетельствуют о точности по порядку оценок (2.2) - (2.4) с и,более

того, о невозможности из усиления при существенно» сужении пространств правых частей (например,в (2.3) и (2.4) - до пространств Гельдера С4(Л) и С'/г(й) ).

14

В §3 црп л = «2 исследована сулерсходимостъ градиента метода с кусочно - линейными приближениями (для равномерной прямоугольной сетки). В теореме 3.1 получены априорные оценки погрешности,а в теореме 3.2 и ее следствии - оценки в терминах J- л дя .весьма близкие (особенно при а1г = аг^-0 ) к установленным в §1,2 при . Рассмотрен случай как

интегральной, так и точечной аппроксимации а^ . Отметим, что техника доказательства теорем I.I и 3.1 различна.

В §4 на основе оператора Lc метода из §1 (в случае ... ~ ¿п. - О» , i ) построен более простой ко-

нечно - разностный оператор L d на неравномерной прямо -угольной сетке. Слагаемые - D«(ct(ftD*u) апцроксгмироваш в Lj по 3 узлам, слагаемые -Z)*fаы^и) с - го 9

узлам (те и другие a Li аппроксгструются по Зл узлам). Значения коэффициентов Q^ использованы в Ld во всы ячейках (если угодно, только в центрах ячеек), вершной которых является двигай узел.

В леммах 4.3,4.2 получена пожшгаельная определенность зспомогательннх билинейных форм, даны оценки юс разностей и выписан оператор Ld .В теореме 4.1 показано, что при упрощении La до Lj сохраняются оптимальные оценка погрепностл агеюда

lu-»tH«> ^cimifw, I«- vlup> <cltle до.

В лемме 4.4 доказано (для равномерной сетки) неравенство остро го угла меаду операторами Ld + сеЕ и Ad ,ср. с легмой 4.2 из гл.1.

Глава 3 (63 с.) посвящена гиперболическим уравнениям. Основной является введенная в §1 начально - краевая задача

+ з G,uU,(OfT>-0, (3.1)

с оператором Lu-- ^¿(а^Х^и) -t- аи. ; коэффициенты р, Cty , q зависят от ос .В предложениях I.I,I.I/ л 1.2 приведены сведения об обобщенных решениях задачи. В предложении 1.3 указана гладкость решения в зависимости от гладкости вектора данных d = Caw,itm,jO •

В §2 начато изучение трехслойного проекционво - сеточного метода (с весом 6" ), имеющего операторную запись

(В, + сгтЧа) ЭД1ГЧ + ц^ - (3.2)

(Вй + бГ^Э^-ь ^ + (3.3)

где Вус и Ьа - матрицы масс и жесткости (подобно гл.1,§1). Введем пространства Н° и Н< .отличающиеся от и

выбором эквивалентных норм МЦ» = ^^¿х,

= Наложим условие ь1)/(1 )

с б0е(ОЛ] и 1(1^8^1 , и введем нормы Ц^Ц^ =

+ , Мх = /М«? + 11У™Нн< ■ Доказана

важная теорема 2.1 о послойно! устойчивости метода (3.2), (3.3) в Нг и Ж (являющаяся аналогом предложений 1.1,1.2).Из лемиы 2.1 следует, что при

иг <3-4>

устойчивость в влечет устойчивость в Н1 .В теореме

2.2 получен дополнительный результат об устойчивости.

В §3 установлены априорные оценки погрешности второго порядка точности. Пусть ££ - проектор в Нг на , а

1Мнг = • Предположим, что Ы - s.íux|iHi

< Ци>Цн* Уые Нг при известных требованиях на , а и дЛ из (1.3) следует, что Ля^сЩ . Введем обозначения ст(й)= тгЦь/пИц , >Ми«)=

== ¿0 1!итС^)||вс£-£ , Цы ы(в) ¿8 ; пусть -ку-

сочно - линейное восполнение функции гьг , определенной в узлах сетки на [0,Т] .

Теорема 3.1. Верны априорные оценки погрешности

+ + ¡¿«у ^и^М^ (3.5)

Ши-юИсгСп + ¡^и-гШыя) * с{ Ньи'О-ъИи* +

(з.б)

Постоянные с в главах 3,4 не зависят от Т

Главным моментом в доказательстве является оценка вспомо-

гательной функции — ^ .опирающаяся на теорему 2.1.

Существенно, что в (3.5),(3.6) участвуют производные и. как по Ь ,так и по порядка не выше 2.

В лемме 3.1 изучены свойства функции такой,

что ("/?.<+ - ц(а)->£-.

В §4 получены главные результаты о методе (3.2),(3.3) -оценки погрешности на классах негладких данных.

Теорема 4.1. При 1/0= 1/'0) справедлива оценка (О^и^З)

ПмИсм*И^ч-в,/¿„цст , (3.7)

где т~/1и%м+

Числа таковы,что = и выполнено одно

из условий: а) <4=0,-1« <^-<3 ; б) 0<о(г 4 ± ;

в) =

Теорема 4.2. При и0~ и.(а) справедлива оценка

ВЗф-^смч + Кьи-^сю*) . (3.8)

Числа о1 таковы, что а11 + и выполнено

одно из условий: а) -1 &^¿1<Оу = 1; б) ¿1=0, з ;

В) 0<^^{¿i, Г) 4 <¿±^3, ; д) 0<о1^3,

При условии (3. 4) в (3.8) можно опустить оператор С-)^ Элементы обладают гладкостью порядка o¿ в норме

¿г(£1) (при ^ < С> это обобщенные функции),а элементы /г <41,«О обладают доминирующей смешанной гладкостью порядка о!1 но х и по -¿- в норме ¿^((3) .В частности, в (3.7),(3.8) достаточно,, чтобы обладала гладко -стьи порядка ь1~ £ либо по сс , либо по -к , в оценке (3.7) при Уг охвачен случай разрывных иго) ,а при -случай а<*>еН1 , /е¿.^ГО) . В оценках (3.7), (3.8) при <¿—3/2 охвачен случай разрывных и. £ (и непрерывных кусочно-гладких и(0) ).

При 1 оценка (3.8) следует из предложения 1.1 и теоремы 2.1,при ^ — 4 - из оценки (3.6) и предложения 1.3, а при ¿<<К Ц применена интерполяция оператора погрешности. Схема доказательства оценки (3.7) та «е.

В теореме 4.3 получен ряд дополнений к теоремам 4.1 и 4.2 (так, можно опустить оператор Si в оценке (3.7) при

ЕВ оценке (3.8) при ; рассмот-

рена возможность набора ir0 = s»иСоУ в теореме 4.1 и ire еУ* в теореме 4.2 ж др.).

В §5 подробнее изучен случай ri-i , si ~(0,Х) .Pec -смотрен как случай = S/,*,« , а?-= а41 е ¿..(Л) ,

0.eLt(Q.) (случай негладких коэффициентов, ср. с гл.1,§2), так ж случай - , а«£ .оса укладывают-

ся в общую схему §2 - 4 с рс - с^таз: •

Дополнительно,во-первых, установлена суперсходаносгь в . В теореме 5.1 показано, что теоремы 4.1 и 4.2 сохраняют саду при добавлеши в левуи часть оценок (3.7), (3.8) слагает ¡Utfr-WllctfH?), m~v)<ii} $сг(н?) я одновременно в их правые части слагаемых df^ J/(только ирг «fe» о ), с^Лгх H^IIfi^H (только при cfe>i ) соответственно.

Во-вторых, подучены достаточно тонкие равномерные оценки похрешости : сначала оценка порядка ( в теореме 5.2), затем оценка тша { 0.5< 3.5 )

* c^ttCC* ^zVr^ldk (3-9)

с црг определенных упамшях аа ( в

теореме 5.3).

§6 связан с переносом результатов $2-4 на сдучей гиперболического уравнения второго порядка обоего вида pHtu+La+UhU + LiU «)>£,

где ¿01£Г= 2>г (diVf) + Q0W, 4iJ>iU-*■ Soli - опера-

торы с коэффициентами, зависящими от зс . Построен проек -ционно - сеточной метод

MdtVg + и&п + {Li+Ltjn = (ЗЛО)

и,(ЗЛ1)

с b^b^^La-t-e^L^ ( - параметр).В теореме 6.1 (аналоге теоремы 2.1) доказана устойчивость этого метода. Затем получены априорные оценки погрешности.

18

Теорема 6.2 .Пусть • Теорема 3.1 верна а для ме-

тода (ЗЛО), (3.11),со следующими изменениями: а) правые части оценок (3.5) и (3.6) надо уинояигь на ехр(сгТ) ; б) к суше норм и в (3.5) надо добавить ¡¡¡¿¡¡¿¿(н*) .а в (3.6)-

ЦК* а. Йь-сн')+Ыи iu(H*) (с Mi^H*)-И MflVlfijCTL

В некоторых частных случаях изменения не нужны или могут быть ослаблены. Наконец, отмечены случаи, когда возможно обобщение теоре» 4.1,4.2 .

В §7 для задачи (3.1) изучен двухслойный проекцконно -сеточный метод

(3.12)

Его можно интерпретировать как метод Кранка - Ншеолсон - Га-леркина, ср. с (I.I9); искомая функция ££ служит приближением к U. ,а у.-v. PiU .Метода (3.12) и (3.2), (3.3) c<$=*fy тесно связаны. Ваяно, что все результаты о методе (3.12) относятся к произвольной неравномерной сетке по ~Ь .

В теореме 7.1 получена -абсолютная устойчивость метода (3.12).В теореме 7.2 выведены априорные оценки погрешности порядка О (pi + г*яах) .Они родственна оценкам (3.7), (3.8),но дополнительно включают члены U ¡¡¿¡(на> »

RbiUllLtOi*) №iUllu>(Hi)4' i^la-hdH^ соответственно. Доказаны также оценки погрешности на классах данных.

Теорема 7.3. Г. Пусть у.0 = s0uci), е/0- soue0) (где sa -проектор в Н° на Sita ). Справедлива оценка погрешности ( ОНU «3 )

H"-yllcz(HV 6 с ГТ^/ч + «ЛоТ^Шг^ь

где «ft - те яе, что в теореме 4.1, но ладх-(2^-4,0] < 4Z.

2. Пусть g0—s0ucor SjU^ .Справедлива

оценка ( I < о( < fy )

ICv(H°) + II si" -yllcm (pi-*- t^)fmu W),

где о- те же, что и в теореме 4.2 .только оi при dt>0 .

Как и в §4, указаны определенные дополнения к теореме. В §8 сделано замечание о том, что техника в §1-4, 7

такова, что полученные результаты автоматически переносятся на случай задачи Копш для абстрактного гиперболического уравнения в гильбертовом пространстве

Значит, они переносятся на важный класс сильно гиперболических систем и,в частности, на систему уравнений динамической теории упругости и уравнения поперечных колебаний пластин и стершей.

В главе 4 (38 с.) исследовано несколько методов с расщеплением для задачи (3.1) в случае р(х)тзI . В §1 установлена теорема 1.1 (обобщающая теорему 2.1 из гл.З) об устойчивости трехслойных методов ввда

Ну - , я V. * Кл = Й*** + $ & (4.1)

с операторами В>'— (в')* > О, ¿'-а')* > О .удовлетворяющими неравенствам В' - % Ц ^ + (тй^/з)2, с постоянными <$,>£? , &!>0 , е^'е Теорема 1.1 позволяет достаточно просто получить надлежащие оценки решений всех методов гл.4 и обосновать их абсолютную устойчивость.

В случае, когда Л = (0,1^) > ... * (О, Х-О, =5{1) (как и в гл.1,§3-5, но сетка на Л - прямоугольная неравномерная) , в §1 изучен проехционно - разностный метод с РО

Ш^и^^, (4.2)

и,например, Вуе = .Здесь

а операторы Вд и /А^ обобщают введенные в гл.1,§3 на случай неравномерной сетки. Пусть Т^На&лйл при А^З (и ^о ~при /2 ),а ^,...,<«/6. выбраны нужным об-

разом. В теореме 1.2 показано,что априорные оценки порядка

0(т*+ из теоремы 3.1,гл.З можно перенести на

метод (4.2). Оценки погрешности на классах негладких данных указаны в следующей теореме.

Теорема 1.3. 1.При %о = справедлива оценка по-

грешности ( О < 3 )

где иг удовлетворяют условиям из теоремы 4.1,гл.З ; при 0 о£ 5" в левой части (4.3) можно опустить оператор 2а) .

2. При у0 - 5ми<0> справедлива оценка погрешности ( 1 4, Л )

11ы<1-£)11сг(н°) +■ ¡¡^-{¿(1Сгт ^

4 с [Т£ (Г + /С V)] И 4II ^, (4.4)

где ^-¡.,=¿2 удовлетворяют условиям из теоремы 4.2,гл.З ; при 4 ^ Ы 4 2.5" в левой части (4.4) можно опустить оператор £Г:° .Здесь - частный случай оператора из гл.З.

§2 связан с перенесением метода (4.2) на случай двумерной области Л = Х2(2> общего вида и трехмерной цилиндрической области х-(<?,)($) . Использовано пространство непрерывных в функций, кусочно - линейных в сА -"полоске" вдоль дИсгУ и кусочно - билинейных в остальной части 12а) (а также равных 0 на дП^ ); по х3 функции кусочно - линейны. Построен проекпдонно - сеточный метод вида (4.1),где В>г - 3 - квазиРО (т.е. оператор, расщепляющийся во внутренних узлах прямоугольной части сетки в 12 ), а 1/~ . Такой метод допускает экономичную реализацию как при п-2 (для ),так и при п~ 3 . (В параболическом случае при л—2 подобные методы предложил и изучил ).Результаты §1 о методе (4.2) распространены на метод с квазиРО. Так.теорема 2.1 отличается от теоремы 1.3 только заменой § на В (в п.1) и возвратом от к 5 4

В §3-5 снова рассмотрен случай (ОДл)х... х (0,ХЛ)Ч а ■= . В §3 изучен метод с РО типа приближенной факторизации, который отличается от метода (4.2) заменой ¿.£ на ¿.¿4; оператор таков, что §= В +ггАх*т\.

Анализ погрешности этого метода наталкивается на дополнительные трудности.Решающую роль сыграло введение вместо 5С1) оператора й"? : И{ -+$>а) такого, что 5 Ы^(Ш)*-

Ь'яеН1 .

В лемме 3.1 указаны необходимые.свойства .Важное

значение при их выводе имеет операторное неравенство острого угла из леммы 4.2,гл.1. В теореме 3.1 даны априорные оценки погрешности порядка О (тг + Шг) ,а в теореме 3.2 приведены оценки погрешности в терминах данных. Последняя теорема отличается от теоремы 1.3 заменой Sw на S™ и взятием N0-i (условие <с б Но здесь не нужно, но сетка предпо-

лагается равномерной). Рассмотрена возможность явного задания s(i£fo)»fc) в теореме 1.3,п. 2 и аналогично в теореме 3.2.

В §4 при я = 2,3 рассмотрен случай простейшего выбора у о — sum и суперсходамость градиента дои методов с РО из §1,3. Существенно использованы результаты из гл.2,§1,2 ; дополнительно в лемме 4.1 и ее следствии получены оценки норм sw-s^br • В предложении 4.1 указано, как при выборе sa"* модифицируется теорема 1.3,п. 2 и аналогично теорема 3.1,п.2 . В предложении 4.2 в случае а^ •= О дата Vi-* j. доказано, что при некоторых , иг в оценках (4.3), (4.4) можно упростить оператор sc-° (для метода из §3 - s?3 ) до s , возможно, звсчет небольшого усиления нормы

В §5 изучены конечно - разностные метода с РО, являющиеся вариантами методов из §1,3 ( В-0,1 )

где Е .(Е+х3хлЛп) , оператор Ü^d таков,

что ä - Е + v*XiAi •*■ z*Rt,d ,а Ld построен в гл.2, §4. Оказалось, что операторы scl), здесь можно заме-

нить операторами S^ : И{ -*-S>t,i такими, что

СLd + 6'£T*Ru)std iAf = СШ *- V иг -Ска-

зано (теорема 5.1), что для конечно - разностных методов с РО верш теоремы I. 2,1.3 (при 6-0 ) либо теоремы 3.1, 3.2 (при i ) с естественными модификациями.

Точность подученных в гл. 3,4 оценок (кроме (3.9)) уже в простейшем случае волнового уравнения, ОЛ)*...*(0»Хл) и Si.x. = S05 при п*=-1 следует из ,а щи* п*2 -из 3).

А. Злотник.Матем. заметки. I992.T. 5I.öm. 3. С. 140-142.

Главы 5 и 6 посвящены случал квазилинейных систем уравнений одномерного движения вязкого газа. Выполнен анализ "в целом" по времени и по данным некоторых разностных схем (p.c.),близких к проекционно - сеточным. В главе 5 (69 с.) рассмотрен баротропный случай, В §1 выписана описываадая его (при наличии магнитного поля) система

D^-Dn, DtU^D^pM-p-i?=4/ri, (5.1) Dtf^)- DfofDtf.) (5.2)

в лагранжевых массовых координатах (х,-£) е Q =ii* (0,Т),12=(Q,X). Здесь ¡1 - удельный объем, и - скорость, у. - напряженность магнитного поля яр- плотность, уэ = р(/£) - давление. Система дополнена условиями

4е-о,х -0, Dy.j£l,Oyx~0, (5.3)

Предполагается, что р, р' е и выполнено из-

вестное условие ^p'f^") «£<£ на R"1" (с oisÖ ). В предложении I.I приведены известные свойства "в целом" обобщенного решения указанной задачи и изучена гладкость решения в зависимости от гладкости данных. Доказана важная обобщенная сеточная jfetrja Гронуолла (лемма I.I) .

В §2 начато исследование нелинейной двухслойной p.c.

5tV^foiPsV-P-iftf^+G, (5.4)

34(HY)~ (5.5)

^U^O, SYk^-o, Hlj.o-He. (5.6)

с P-p(H) . Функция U определена в узлах основной неравномерной прямоугольной сетки,а функции И> 0 л Y в узлах вспомогательной сетки (с "полуцелыми" по х узлами). Существенную роль играет выбор аппроксимаций плотности таких, что /?*<?*//« ад/J , RfrSH^S-biH -Условие l/°li=o,n = О предполагается. В лемме 2.1 получено энергетическое неравенство, лежащее в основе результатов §2.

Условимся нихе в обозначениях сеточных аналогов функциональных пространств использовать рукописные заглавные буквы.

Пусть Jj• J]^ = II • )|^ (Q) .Введем вектор - функции

= W+ = Y*) на / -ом слое ( j.^0 )и

нормы ||Z0H(£,= ЦН°Мя) + ИН/°1 IttÄQ)'0 -В тео-

реме 2.1 получены априорные оценки решения p.c. Именно,пусть с £(=«?,!) .Если ЛГ*4Н° И //?%) + + ll&il ¿¡i3((Q) ¿/V .ТО верны оценки

+ (5.7)

Если дополнительно l/Wjl%ca.)+||Gilif,(ö^, то верна также оценка

II^H)k(Q) + IlWh^Q) « (5.8)

При at — О оценки равномерны по времени (величины К ¿(А') , [■-О,{,2 не зависят от Т ).На указанные оценки опираются все последующие результаты §2-4. В следствии 2.1 показано, что при <2о£Тшис < V p.c. шеет решение.

Пологам = (<н°> ,0, <H°Y°>/<H°>) »где <Ф> - среднее значение функции Ф , и GT° = .Qxß+ . В теореме 2.2 установлена стабилизация решения р.е..Именно, пусть, например, р<=С*№+) и Р'($) < 0 на jQ"1" (так что <¿-=0 ) и ¿=0,4 . Если лг*±Нв и IIZ°U({) + IIGII^q-) <

^ /V с d^n^^-ti ( # - целое), то справедли-

ва оценка

izi-z-vewtö)"* с 12в-Щ(0 +

где - сеточный аналог exp (aij.) ,а величины К(М) и

a-J/faiд/j не зависят от J . Как следствие, -5"*°/)^) О при ,а при IIE/^G ü^iCQ-) <: Л/ (.с 4>0 )

имеет место сеточно экспоненциально быстрая стабилизация:

Доказательство основано на построении функций Ляпунова для рассматриваемой p.c.

§3 связан с устойчивостью p.c. Предварительно в лемме 3.1 рассмотрена устойчивость вспомогательной линейной p.c. для параболической задачи. Введем нормы |2|(0) = ||Ц|1г,«.+ IMJг,г,

\2\(i) ~ ||Н1Л„ •+• lidtHlUz+ HWII-y/Q) . Добавим в правые час-

ти уравнений (5.4а) и (5.5) слагаемые 8 и Л соответственно и обозначим через решение p.c., отвечающее правым час-

тям в(<!) , CGfft>,A(e?>) и начальным данным Z(kK0

( i, Z ).Введем обозначение = и пред-

положим, что faG.Ä/O-ЭггГй.н- + <5"ТС с =

= Ае^о^О. В теореме 3.1

доказано, что если и удовлетворяют, например,

оценкам (5.7) и (5.8) (в качестве 2 ),то при fmax.^t'iN) справедливы неравенства

I ыг + ттш ¡^ * т>)(м%т-+ uu°-Gaii^m)+

+ + (5.9)

|AZ/(1) 4 ШХШЪ,(В)+ИлB||2j,+ + Ккю + + ¡¡G^,,,, + Uä4^ + Шг,г), (5. Ю)

Мей, II 1,лВ1кн+

+ IMclU,^ при «fc-O.

Здесь Ir - сеточный аналог ,а ),

(?&)"* + Vtrt*sA (¿ = ^2), + качестве

простого следствия 3.1 имеет место единственность решения p.c. (5.4)-(5.6). В линейном параболическом случае оценка типа (5.9) дана в ,а типа (5.10) - б гл.1,лемма I.I.

§4 играет итоговую роль при анализе p.c. Введем вектор-функции ? = 2-=С<^, W) и U-(и,у,) ,цце 6/7

простейшее усреднение £ по х . В теореме 4.1 выведены оценки погрешности вида

\г - ?Г + - ШХ w+Сох), (5.12)

iz-zi^mc^+c*), (5.13)

12-2)!^,^ WA/XW + ^^x) (5.14)

с 4 = 4,2 и as^ri . Оценки (5.12), (5.13) с

U-X—1 справедливы при минимальной гладкости данных

в д. ).гарантирующей существование регулярного обобщенного решения. В качестве их следствия получены также равномерные оценки

В отношении ЬТ оценки (5.12) с и (5.13) с «¿«i,

_ <3?=/,<? аналогичны оценкам. (1.7) и (1.6),(1.9).В совокупности оценки (5Л2)-(5Л4) позволяют проследить за повышением порядка малости погрешности (до максимального для данной p.c.) и усилением нормы погрешности с ростом гладкости данных. При некоторых дополнительных условиях в (5.13),(5.14) мотао упростить г до н.

Схема вывода оценок погрешности следующая. В уравнения p.c. подставлены некоторые усреднения функций и,^. Сражения для возникших невязок выписаны при помощи специальным образом усредненных уравнений (5.1),(5.2). Невязки оценены в нормах, диктуемых теоремой 3.1.

В § 5,6 для задачи (5.1),(5.2) в отсутствие магнитного поляизучено семейство p.c.второго порядка точности

v

для широкого класса аппроксимаций давления Р = Р(Н,НJ. В теореме 5.1 показано, что если V£?£e:R+,ro

при оГТ/юх-^ решение p.c. единственно (в частности, при Т>$Р<0 решение всегда единственно).

В леммах 5Л,5.^-развиг иной,чем в §2, подход к выводу двусторонних оценок Н . Пусть при некоторых Cq£i имеем

о*с0(Ш+ Ci) 5?)

(например, пусть = с р^О , ]f>0 ).В теоре-

ме 5.2 при Тгглл к V°(fJ) для решения p.c. , во-первых, при N'1* Н° * /V, )|llGHSri*/l/ доказаны оценки /Го(//)-'< Н - Ко Ш) и ¡¡Uli %S(Q) <=/1/ .во-вторых,при дополнительном условии ЦИ ¿а WGÜ^N доказана оценка + ßtSWi!^ + ¡(VHw'frQ)<КШ Здесь,в

частности, l|Ulk'i;s(Q)~ !|0т|!г,„+ \[oUm]\s%z .Выделено несколько функций; Р , для которых указанные оценки верны при конкретном условии на tma.% (в частности, ЯмГН,Й)=

-rp(H)J, РЖЮ-р(^) при ЙН И Paflf, -¡[р(»Нр(Ю1 при ЙаН )•

Отдельно рассмотрена p.c. с Р(Н,Й) ~р((НН) ) . Она выделяется тем, что для нее удалось получить, во-первых, аналог теоремы 2.1 об оценках решения (включая равномерные по времени) при ъ°(Ы) (теорема 5.3), во-вторых ,

аналог теоремы 2.2 о стабилизации с. -£~ 1 при imax « r°(N) и Ki(N)tmax ^ Ämu (теорема 5.4).

В теореме 8.1 выведены аналоги оценок (5.9) и (5.10), обеспечивающие устойчивость p.c. второго порядка точности в нормах IZI1^ 4- тли™)||2,„ и )Н|<1> (здесь J2|f =

ЧНС + \\Um%> ' 1|МЯг,« + ЙНЦг.г + ll^llVz;s(Q) ).

В теореме 6.2 установлены оценки погрешности

0,^,3,(5.15)

12 - Н* ШХ W + Сах), Ч (5.16)

в зависимости от гладкости данных. Оценка (5.15) родственна оценке (I.2I) с <Л-(эг-±)/2 .

В главе 6 (33 с.) рассмотрен магнитный теплопроводный случай (заметно более трудный, чем изученный в гл.5).В задаче (5.1) - (5.3) положено р = 6$>в и она дополнена уравнением и условиями

Подобно гл.5, в предложении I.I описаны известные свойства решения такой задачи и изучена его гладкость. Построена новая p.c. на неравномерной сетке, включающая уравнения (5.4) - (5.6) с P = R= 1/W , уравнение

(6.1)

и условия oQ|i.=0>ft = 0,= . Здесь

Р = , а = + .Функция

0>O определена в узлах вспомогательной сетки (как и Н, * ), а F^O.

Указанная p.c. изучена в §2 - 4. Б лемме 2.1 содержатся сеточные законы сохранения массы и изменения энергии и закон неубывания энтропии. В следующих теоремах 2.1 и 2.2 выведены оценки решения p.c.

Теорема 2.1. Пусть /Г^Г , к

+ + JJGJ!2>14-|F|!^/V .Тогда при

?та.х~ъ (где г - конкретная величина) верш априорные оценки

+ +II© IL- + ЦНГ/гУ!г,0, < Ш),

В качестве следствия имеет место существование решения при Vrrxxx < V .

Теорема 2.2.. Пусть /Г'±9° и ЮЦ^

Тогда при Ттах^ъ верны оценки (6.2) и оценки HZ Цс(ф KWh ИННм>+ М&/■'(£» *

<= К (Л). Здесь и ниже W = {UJ, в\ Р) , J.&0.

Теорема 3.1 od устойчивости p.c. содержит оценки типа (5.9) - (5.II). Ее доказательство существенно использует как исходные оценки (5.9) - (5.II) (в случае р = О ), так и новые сообракения. В качестве следствия справедлива единст -венность решения p.c.

В теореме 4.1 выведены оценки погрешности вида (5.12)-(5.14) ; теперь (и,в, у) . Сказанное выше об этих

оценках и здесь сохраняет силу. Дополнительно отметим, что оценки (5.12), (5.13) с сi-i^ х-Z справедливы при особенно широких предположениях о сетке, когда уравнения (5.5) и (6.1) не обладают локальной аппроксимацией. Доказательство использует оценки слагаемых невязок из доказательства теоремы 4Л,гл. 5, а также существенно иные оценки новых слагаемых невязок.

В §5 рассмотрена p.c. второго порядка точности

+ F. SfobTsY«*)

с прежними краевыми и начальными условиями. Для нее в теореме 5.1 выведены оценки погрешности типа (5.15) (с W" в роли U ) и (5.16) ; доказательство заметно сложнее по сравнению с теоремой 6.2,гл.5 .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Злотник A.A. Проекцконно-разностная схема для уравнения колебаний сгруны//Докл.АН СССР. 1979. Т.245,№. С.292-295.

2. Злотник A.A. Оценка скорости сходимости в Уг(От) ПР°~ екционно-разностных схем для параболических уравнений// Вестн.МГУ. Сер.15. Вычисл.матем.и киберн. 1980.Н.С.27-35.

3. Злотник A.A. О скорости сходимости проекционно-разностной схемы с расщепляющимся оператором для параболических уравнений//!. вычисл.матем.и матем.физ.1980. Т. 20, й2. С. 422^132.

4. Злотник, A.A. О скорости сходимости в К//< вариационно-разностного метода для эллиптических уравнений//Докл. АН СССР. 1983. Т.271, М. С.784-788.

5. Злотник A.A., Гуретаев И.Д. Точные оценки погрешности методов переменных направлений для уравнения теплопровод-ностл//Вестн. МГУ. Сер.15. Вычисл.матем.и киберн.1983 . Й2. С.8-13.

6. Злотник А.А.,Туретаев И.Д. О точных оценках погрешности и оптимальности двухслойных экономичных методов решения уравнения тешгопроводности//Докл.АН СССР. 1983. Т.272 , ИВ. С.1306-1311.

7. Злотник A.A. О скорости сходимости проекционно-разност -ных схем для параболических уравнений//Вариационно-разно-стные метода в матем.физ. Сб.научн.трудов под ред.Н.С.Бах-валова,Ю.А.Кузнецова. М.: ОШ АН СССР, 1984. 4.1.С.72-80.

8. Злотник A.A., Туретаев И.Д. Точные оценки погрешности некоторых двухслойных методов решения трехмерного уравне -

29

ния теплопрозодности/Л!атем.сб. 1985. T.128 (170), Ш2. С.530-544.

9. Амосов A.A..Злотнек A.¿.Разностная схема доя уравнений движения: вязкого теплопроводного газа,ее свойства и оценки ШГР?вНцелом,,//Докл. АН СССР. 1985. Т.284, С.265-269. Ю.Злотншс A.A. Скорость сходимости в fo/Л вариационно-разностных методов для эллиптических уравнений//Йриклад-ная матем. Межвузовский сб.научн. трудов.М. : МШИ им. В.И.Ленина. 1986. С.3-21.

11.Амосов A.A., аяотнйк A.A. Разностная схема дал уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа, ее свойства и оценки погрешности "в далом"//Докл. АН СССР.1986. Т.288, Й2. С.270- 275.

12.Амосов A.A., Зпотник A.A. Разностная схема для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа//Вычцсл. процессы к системы/ под ред.Г.И.Иарчука. М. : Наука. 1986, Вып.4. С.192-218.

13.Амосов A.A., Злогник A.A. Исследование конечно-разностного метода для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа.Априорные оценки и устойчивость// Препринт ОВМ АН СССР. M.I986. Ж21. 31 с.

I3a. Arrjjsav A-A.,ZÉoirM A.A. A siudy. of a fiaLÜ- äiffvce/ice

miked W ik огл- (JjjnirsiDrjii viscous imi - axductut fLbj efU&iions. Pard I: A pnlc'v esiimaie.s and -liajiùiy ff

Sou. JiW hucd. ad Matt. MM. mi. V.2,A/*i.P. 159-i?8.

14.Амосов A.A., Злогник A.A. Исследование конечно-разностного метода для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Оценки погрешности и реализация// Прецринт ОШ АН СССР. И. 1986. & 127. 32 с.

I4a. Amxnw к.к.,ИоЫй A.A. A s lady, с/ a fuü.ü - cliff vak.cz

tnii&cé Jot Ш m-dùmsionaé vteoouz Aeai-cautucüire pas e%iudüns,Pan.ijJ: 8-vwt esicnevtes and ■иа&гайсп.Ц

Sor. J. //шт. Ana!, and MaU. Ma&£. ÍS87. V. Z,иЧ. P.239-253.

15.Амосов A.A., Злотник A.A. Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого га-за//1.вычпсл.матем. и матеи.физ. 1987. Т.27, Ш, C.I032 -1049.

16.Амосов A.A., Злотник A.A. Семейство разностных схем для уравнений одномерней магнитной'газовой динамики: свойства и оценки погрешности "в целом"//Докл. АК СССР.1988.Т.299, Г£ . C.I295-I299.

17.Амосов A.A., Злотник A.A. Семейство разностных схем для уравнений одномерной магнитной газовой динамики (случай вязкого баротропного газа)/Д1егоды матем.физ. Сб.научн. трудов под ред.Ю.А.Кузнецова. М.: ОВМ АН СССР. 1988 . С.4-32 .

I7a. A mos о V kA.,2£oinik А/1. A IcuMLüj, cf ¿iniie-ci¿ff<*aice sclemes Jvz ont - cUtrjmsiona£ тахръекс gas oUpiatrúcí eqmiions (viscvus ¿arwi-Ufic case) ЦSotf. 3.Af¿utwt. Ána¿. and Mdrtfl. Modd. J9¿8. V. 3, fl/-6. Р.Ш- 45d.

18.Злотник A.A., Амосов A.A. О свойствах одной разностной схемы для уравнений одномерной магнитной газовой динамп-ки//Динамика сплошн.среды (Новосибирск). 1988.Вып.88 . С.47-64 .

19.Aî,юсов A.A., Злотник A.A. Разностная схема на неравномерной сетке для уравнений одномерной магнитной газовой динамики/А. вычисл. матем. и матем.физ. 1989. Т.29, M .

С.521-534 .

20. Amoscir A.A., 2toin¿£ A.A. Tw-¿wt¿ finilt- dt/jvtzno: s<JuMt% Jet ord- cLîû'.ensù>na£ та.у/ийс dg/iUMics tfAcihoAS

(Visaus ieaí- zvr.diic.Üriy case)//Sov. й.А'игш. Anaf. andl Muí/}. M eckt1, ms. М.Ч, л/*3. P. 179' ÍS7.

21.Амосов A.A., Злотник A.A. О разностных .схемах для некоторых задач об одномерном движении вязкого газа// ßanad GmUjl PuJi. К/сiKsoAj-: PWKL 1990. Y. ¿4. С. 415- ЧЗЧ.

22.3лотник A.A. Оценки скорости сходимости проекционно -сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядкэ//Вычисл.процессы и системы/под ред.Г.И.Марчука. М.:Наука. 1991. Вып.8 . С.I16-167. 23.3лотник A.A. О свойствах разностной схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого баротрошого газа//Динамика сплошн.среды (Новосибирск).

1991. Вып.101. С. 58-68 .

24. Zioiruk A.A. Some § i rite- ektncni and fúd-íc- cliff t%zuc.c tnsMwds jbx sotuifiß- tncuiHinuxiicoM pñgbics picttznis ujííL fWfl- smotrli dccia in a- dimtlSLGHcuси£г. Pccct I// SenГ.

JМат.Ы. and Haiti.Modi?. Í93Í. Y.6.^5. P.4ZÍ-451. 25.3лотник A.A. О свойствах проЕкционно-сеточного метода с квазирасщешгаящмся оператором для гиперболических уравнений второго порядка//!.вычисл.матем.и ыатем.физ.

1992. Т.22, М. С.542-549.

¡/pueftu-it?