Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на нравах рукописи

ШЕПИЛОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА

Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Воронеж - 2008

003455677

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Смагин Виктор Васильевич Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич доктор физико-математических паук, профессор Орлов Владимир Петрович Ведущая организация Белгородский государственный университет.

Защита состоится "10"декабря 2008 г. в 15.40 на заседании диссер-тационого совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан /О ноября 2008г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук,

профессор

Ю.Е Глпклих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проекционные и проекциопно-разпостные методы являются весьма эффективными методами решения различных задач математической физики. Особенно хорошо эти методы проявили себя при решении уравнений эллиптического и параболического типов. Полученные при этом оценки погрешности оказались точными по порядку аппроксимации соответствующих проекционных подпространств.

Для уравнений гиперболического типа, в частности для уравнения типа Шредингера, обоснование сходимости и получение оценок погрешности проекционных и проекционно-разностных методов, оказалось сложной задачей. В имеющейся литературе рассматриваются обычно частные случаи гиперболических уравнений второго порядка, одномерные или двумерные по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени. Ограничения делаются и на проекционные подпространства: завышенные условия на гладкость базисных элементов, предположения о достаточно равномерном разбиении области пространственных переменных (для подпространств типа конечных элементов).

В этой связи, для проекционных и проекционно-разностных методов приближенного решения уравнения типа Шредингера, весьма актуальна задача создания теории, позволяющей обосновывать сходимость и получать скорость сходимости погрешности в соответствующих приближенных методах.

В диссертации эти вопросы решаются и в качестве приближенных методов рассматриваются полудискретный метод Галеркина и нроек-ционно-разностные методы, в которых дискретизация по пространству проводится по методу Галеркина, а по времени используется неявная схема Эйлера или модифицированная схема Кранка-Николеон.

Целью работы является получение и теоретическое обоснование результатов о сходимости проекционного метода Галеркина и нроек-ционно-разпостных методов с неявной схемой Эйлера или модифицированной схемой Кранка-Николсоп по времени приближенного решения линейной задачи типа Шредингера. Соответствующие оценки погрешности приближенных решений должны быть ориентированы на применение весьма эффективных в приложениях проекционных подпространств типа "конечных элементов" н быть точными по порядку аппроксимации.

Методика исследований. При изучении проекционных и проек-циопно-разностных методов наиболее подходящим способом описания задачи является вариационная формулировка. При этом разрешимость задачи в различных классах решений устанавливается при помощи проекционного метода: доказываются различные априорные оценки приближенных решений, а затем дается обоснование соответствующего слабого предельного перехода. При рассмотрении проекционно-разностных методов, получение априорных оценок приближенных решений, также весьма важно для последующего получения оценок погрешности.

Важным обстоятельством в обосновании оценок погрешности является методика первоначального сравнения приближенного решения не с точным решением, а с его проекцией, в соответствующем гильбертовом пространстве, на проекционное подпространство. В результате получается некоторая базовая оценка погрешности, в условиях разрешимости исходной задачи.

Далее, из оценок погрешности для предельно плотной в соответствующем пространстве последовательности проекционных подпространств получается сходимость погрешности к нулю. А также, из этих оценок получаются, при некоторых дополнительных условиях на гладкость исходных данных задачи и аппроксимационных свойств проекционных подпространств, оценки с порядком скорости сходимости как по времени, так и по пространству.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Сформулирована вариационная постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Получены новые результаты о разрешимости и гладкости решения точной задачи. Исследованы приближенные задачи при применении проекционного метода Галеркина, а также проск-ционно-разностных методов со схемой Эйлера и модифицированной схемой Кранка-Николсон. Установлены оценки погрешностей приближенных решений в соответствующих нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешностей приближенных решений к нулю от исходных данных задачи.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретическую, так и практическую направленность. Они могут быть использованы при исследовании приближенных методов решения конкретных уравнений математической физики.

- .) —

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н обсуждались на Воронежских зимних математических школах, конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 2005), Крымской осенней математической школс-симпозиуме — 2008, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Из совместной работы [6] в диссертацию вошли теорема 3.1 и теорема 3.3 (из данной работы), принадлежащие Е.В. Шепило-вой, а также теорема 3.2, доказательство которой получено совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, разбитых на десять пунктов, и списка литературы, включающего 61 источник. Общий объём диссертации 104 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся исторические и библиографические сведения о предмете исследования, характеризуется тема работы, её цели и задачи. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления и методы исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже теорем, следствий и замечаний совпадает с их нумерацией в диссертации.

Пусть даны два сепарабельных гильбертовых пространства V и II, причем V С II и вложение плотно и непрерывно. Пусть V' и //' — пространства двойственные к V и II соответственно, тогда И' С V'. Далее по теореме Рисса проводится отождествление II и II'. Таким образом, приходим к включениям V С Н = Н' С V', где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны.

Для Ь € [0, Т], где Т < оо, на € V определено семейство симметричных полуторалипейных форм а(£,м, г>). Предположим, что для всех и,и 6 V функция Ь —> а(£,и,г>) абсолютно непрерывна на [0.Т] и для V £ V выполнены оценки:

\а{1, и,у)\ < МНиНИМк > а{г,и,и) > а\\и\\1, (1)

где а > 0. Кроме того, почти всюду на [0, Т]

\да(^и,1>)/Ы\<М2\\и\\УП\у. (2)

- fi -

Форма a(t,u,v), очевидно, порождает линейный ограниченный оператор A(t) : V V' такой, что a{t,u,v) = (A{t)u,v) и ||/t(i)||y^ < Мх.

Под выражением (z, v) понимается значение функционала z G V' па элементе v G V. Заметим, если г 6 Н, то выражение (z,v) совпадает со скалярным произведением в II, в силу отождествления II и 11'.

Для заданной со значениями в V' функции f(t) и элемента и0 рассмотрим вариационную задачу: найти функцию u(t) со значениями в V такую, что почти всюду на [О, Т] для всех v G V выполнено

(u'{l),v) + ia(t,u(t),v) = (f{t),v), м(0) = ы° G V. (3)

Задача (3) и есть начально-краевая задача для уравнения типа Шре-дипгера в вариационной постановке. Производные функций в (3) и далее понимаются в обобщенном смысле.

Очевидно, что задача (3) равносильна задаче Коши в пространстве V'\

u'(t) + iA(t)u(t) = /(£), u{0) = u°eV. (4)

В первом параграфе, состоящем из трех пунктов, рассматриваются вопросы разрешимости задач (3), (4).

В пункте 1.1 приводится теорема Лионса (теорема 0.1) о разрешимости нашей задачи, которая обеспечивает для решения задачи (4) гладкость и G L2(0,T-,V) ПС([0,Т],Я), и' G L2{Q,T)V'). Доказательство этой теоремы проводится путем аппроксимации методом Галеркпна с дальнейшим обоснованием слабого предельного перехода к точному решению. При этом пспользуется произвольная линейно независимая полная в пространстве V координатная система Решения задачи (4), существование которых обусловлено теоремой 0.1, будем называть слабыми.

В пункте 1.2 основные усилия направлены на получение более гладких, чем в теореме 0.1, решений. Для этого делаются дополнительные предположения об исходных данных задачи (4): пусть функция t —> da(t, и, v)/0t абсолютно непрерывна на [0, Т] и для d2a(t, и, v)/0t2 справедлива оценка

О2

\—2a(t,u,v)\ < M3\\u\\v\\u\\v ■ (5)

Теорема 1.1. Пусть форма a(t,u,v) удовлетворяет перечисленным выше требованиям (1), (2), (5). Пусть функция / такая, что /' G /,2(0,Т; II), /" € ¿2(0, T; V') и ДО) G V. Считаем, что элемент и0 € V и такой, что /1(0)и° G V. Относительно координатной системы, {if>j} считаем, что Рт — ортопроекторы II па Vm такие,

что Ц/щЦу-.у < с. Тогда слабое решение задачи (4) обладает допол-нитыьной гладкостью и' G L.x(0,T\V).

Отметим, что одним из достаточных условий существования полной в V системы {<Pj} Ji\ такой, что || Рт||v-.v < с для всех m G N, является компактность вложения V С II.

В пункте 1.3, для исходной задачи (4) предполагается, что при почти всех t G [О, Т] функция /(£) G V, то есть более гладкая по пространственным переменным, чем в предыдущих пунктах. В чтой связи получены другие условия разрешимости задачи (4).

Так в теореме 1.2 считается, что / 6 1^(0, Т\ V), а существование производной /' не предполагается. Относительно полной координатной системы {¡fij} в V считаем, что Р,а — ортопроекторы H па V,n такие, что < с. Тогда задача (4) имеет единственное реше-

ние u(t) такое, что и G L2(0,T; V) П С([0,Т], II), и' € L2(0,T; V')-

В теореме 1.3 устанавливаются условия более гладкой разрешимости задачи (4), чем в теореме 1.2, а именно, условия обеспечивающие для слабого решения u(t) дополнительную гладкость: и' G ^(О, Т\ V).

Во втором параграфе, состоящем из трех пунктов, изучается сходимость полудискретного метода Галеркина.

Содержание пункта 2.1 носит вспомогательный характер. В нем рассматриваются проекционные конечномерные подпространства V/, пространства V, где h — положительный параметр, и свойства ортогональных проекторов на эти подпространства (_Р/, : H —> V/, и

Qh : V -> Vh).

Определим гильбертовы пространства

V(t) = {и, v G V | (и, v)V{i) = a{t, и, и)} .

Ортогональный проектор пространства V(t) на У/> обозначается Qh{t).

В данном пункте приведен ряд результатов, используемых в последующем (лемма 2.2 — лемма 2.6), об аипроксимационных свойствах проекционных подпространств и связанных с ними проекторов. Например, в лемме 2.5 и лемме 2.6 обсуждается вопрос существования производной по t G [0,Т] операторов Q'h(t), Q'l(t) и их аипроксимационных свойств.

В пункте 2.2 исследуется получение оценок погрешности и скорость сходимости полудискретного метода Галеркина в случае произвольного выбора проекционных подпространств.

В конечномерном подпространстве Vh G V рассматривается задача

{u'h(t),vh) + ia(t,uh(l),vk) = (f{t),vh), uh(0)=ut G Vh, (6)

где г»/, € V/, произвольный элемент, элемент £ V/, считаем заданным.

В теореме 2.1 для слабого решения задачи (4) и(£), имеющего дополнительную гладкость и' £ ¿2(0, Т; V) и = Р/,ы° доказана оценка

тах ||и(£) <

< с^^-я^ш+ш-Ян^и'т],)^. (?)

Предположим теперь, что последовательность подпространств {Уд} является предельно плотной в пространстве V при /г —> 0, то есть ||(/ — С}н)1)\\у 0 при Л —► 0 для всех V е V. Тогда из (7) следует сходимость и(£) —> и/г(£) при к —► 0 в норме С([0, Г], Я) (следствие 2.2). Кроме того, оценка (7) позволяет получать и характеристики скорости сходимости погрешности к нулю. Конечно, при этом от подпространств 14 нужна информация об их аппроксимацнонных свойствах.

Определим множество

£>[/1(£)] = {V € V | Л(£)г> е Я}.

Пусть существует сепарабельное гильбертово пространство Е такое, что £>[Л(£)] С Е С V для £ £ [0, Т] и пространство V совпадает с интерполяционным пространством [Е, //] 1 /2 •

В приложениях в качестве оператора Л(£) можно брать, например, симметричный равномерно эллиптический оператор второго порядка в ограниченной области П С Ж" с гладкой границей, порожденный дифференциальным выражением второго порядка и первым краевым условием. Тогда Я = Ь2(П), V =\У \{П), V' = УКТ,1^),

9 о .

Е — И^^П Если же на границе области О задано третье

краевое условие, то Я = ¿з(Г2), V = Е = Можно рас-

сматривать и эллиптические операторы произвольного 2т порядка, где т > 1.

Потребуем от оператора Л(£) выполнение следующего естественного свойства: существует 7 > 0, что для £ 6 [0, Т]

1М|е < 7||Л(£)и||я, и 6 _0[Л(£)]. (8)

Обратим внимание, что условие (8) типично для эллиптических операторов.

Пусть семейство конечномерных подпространств V/, С V обладает следующим аиироксимаццонным свойством:

\\(1-(ЬМу<с11\\и\\Е,

(9)

для всех и € Е. Заметим, что условие (9) справедливо для подпространств V/! типа "конечных элементов".

Если теперь предположить, что слабое решение задачи (4) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и и € Ь>(0, Т; Е), то из (7), (9) следует оценка

тах ||«(0 - ЫОНи < сЛ2 ^ (||ц(0|||. + ||и'(0||£) <11.

Далее в пункте 2.2 доказана теорема 2.2 при более сильных условиях на гладкость решения и" 6 /л (О,Т\ V) и для = Тогда оценка погрешности получена в более сильной норме:

о<кг ~ ~ /\||(/ ~ ^МОНУ +

+1|(/ - (Ми'ть +1|[/ - С),,(1)№)\\1.)<и. (10)

Из (10) для предельно плотной в V последовательности подпространств {V/,} при к —* 0 следует сходимость «(¿) —► щ(1) в норме С([0,Т],У). Если же выполняется (9), то из (10) получается следствие 2.5, где при соответствующих предположениях на гладкость решения ы(£) установлена оценка

тах ||и(0 - ЩШ1 < с!12 £ (\Ш\\1 + ||и'(0||| + ||«"(г)11у) .

В пункте 2.3 показано, что можно освободиться от повышенного условия на гладкость решения точной задачи, но для этого наложим на проекционные подпространства 14 дополнительные требования, а именно, {14} — последовательность конечномерных подпространств из V такая, что Ц/^Цу^у равномерно ио /г ограничены, то есть

(И)

Для подпространств типа "конечных элементов" условие (11) равносильно равномерному разбиению области пространственных переменных.

В теореме 2.3 устанавливается базовая оценка погрешности в норме С([0,Т\,Н) при условии, что исходные данные задачи обеспечивают лишь слабую разрешимость и подпространства { V/,} удовлетворяют (11). Если же решение «(¿) обладает дополнительной гладкостью:

и € ¿2(0,Т; Е), то из этой оценки в следствии 2.7 при условии (9) получается оценка

ш^,И0-«Л(011?/<С1Л2||ИО|1У +

+ О2ЛЛ-(«°,/)ЦТ||«(01|2вЛ)

1/2

где

К\и°, /) = + ^Г(||/(0112я + 11А011?") М.

Далее в пункте 2.3 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме С([0, Т], V) при условии выполнения требования (11) на подпространства V/,. Такая оценка погрешности установлена в теореме 2.4, в которой, в отличие от теоремы 2.2 пункта 2.2, от слабого решения и(£) требуется лишь выполнения условий теоремы 1.1. В следствии 2.10 из оценки, полученной в теореме 2.4, при условии (9) получается для и 6 С([0,Т], Е) оценка с порядком скорости

тах ||и(£) -«/,(()\\у <с{}г2 тах ||и(0Н1 +

+

где

1гЧ1(и0,/) тах ||и(01|я + 1гМУ2(и°,Л тах ||и(0||^/2} ,

г2/„,0 е\ _ ||„,0ц2 , II <7п\1|2 , II /1/'(П„0||2

М (и , /) = \\и°\\1+\\т\\2у+\\Л(0)иГу +

+ [(\\т\\2н+\\т\\н + \\пть.) а.

Как уже упоминалось, проекционный метод (6) приближенного решения задачи (3) является полудискретпым методом. В этой связи естественно рассмотреть проекционно-разностные методы приближенного решения задачи (3), которые являются полностью дискретными методами.

В третьем параграфе диссертации, состоящем из двух пунктов, рассматривается проекционно-разностный метод приближенного решения задачи (3) с неявной схемой Эйлера по времени.

В пункте 3.1 приближенная задача для задачи (3) строится следующим образом. Пусть 0 = £о < ¿1 < ... < £дг = Т — разбиение отрезка

и -

[О, Т]. В подпространстве V/, С V рассматривается для к = 1, iV разностная задача

ностная задача

("* ~. г,,) + га^г^н) = (/(**),»*), (12)

где ?,'/, € 14 — произвольный элемент, элемент Нд £ V/, считаем заданным. /V — натуральное число, п = 1к — tk-\■ Отметим, что задача (12) однозначно разрешима для любых

В теореме 3.1 и замечании 3.1 устанавливаются оценки погрешности в норме тах1</;<д' — При этом для слабого решения задачи (4) предполагается дополнительная гладкость и!' 6 Ьр(О, Т; II) (1 < р < 2), и' £ /.ДО, Т; К) и и§ = Дм0.

Если же подпространства 14 удовлетворяют условию (9), то из оценки в замечании 3.1 выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и но к (следствие 3.2). А именно, если решение задачи (4) обладает дополнительной гладкостью и € /".¿(О,Т\Е), то справедлива следующая оценка:

2/р

U(h) - 4|Рн < с,г1-2/" Ц

В пункте 3.2 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость н порядок скорости сходимости в норме maxi<fc<,v \\u{tk) —и'^Ц'у, при этом основным требованием на задачу (4) является выполнение условий слабой разрешимости из теоремы 0.1.

В первой теореме данного пункта (теорема 3.2) предполагается выполнение требования на разбиение отрезка [О, Г] точками tk (к = 1, iV) такое, что т = тахтк < сттгь а также на решение задачи: и1 £ L2(0,T; V), существует и" £ Lp(0,T; V') (1 < р < 2) и = Qhu°. В данных условиях справедлива оценка погрешности

max ||U(tt) - uhk\\V < с, т-'-^ \W'(tWv, dtj +

+ ^max ||(/ - Qh)u(t)\\v + j [ Р - Qh(t)]u'(t)\$,dt. (13)

Далее, в следствиях 3.3 и 3.4, обсуждается эффективность оценки (13). При предположении (9) па подпространства Vh и предположении /г/г —> 0 при h —> 0 и т —> 0 из (13) следует сходимость

тах!<£<лг ||м(£/г) — ик\\у При соответствующих предположениях на Лиг из (13) можно получить и скорость сходимости (замечание 3.2).

Затем в теореме 3.3 показано, что дополнительные условия гладкости на решение: и" £ ¿1(0, Т; V) и = <5/,и°, позволяют как освободиться от согласования шагов по времени и по пространству, так и от требования на разбиение отрезка [0,Т]. При этом, если подпространства Уд удовлетворяют условию (9), то выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по г, так и по к (следствие 3.6). А именно, если решение задачи (4) обладает дополнительной гладкостью: и" £ ЬР{0,Т;У){1 < р < 2) и и' £ Ь2{0,Т;Е), то справедлива оценка

тах ||и(^) - 4\\Ь < С1г3~2'» \\и'Шу <й) + +сзл2{ытгЕ<н+£ ион!Л} .

Известно, что неявная разностная схема Эйлера дает лишь первый порядок аппроксимации. Более высокий порядок можно получить применяя схему Кранка-Николсон, которая является разностной схемой второго порядка аппроксимации.

Изучению проекционно-разностного метода приближенного решения задачи (3) с модифицированной схемой Кранка-Николсон по времени посвящен четвертый параграф диссертации, состоящий из двух пунктов. Заметим, что преимущества схемы Кранка-Николсон по сравнению, например, с неявной схемой Эйлера проявляются лишь для уравнений с достаточно гладкими данными.

В пункте 4.1 рассматривается задача типа Шредингера с оператором, не зависящим от времени, в виде

(и'{1),у)+га(и(1),у) = (/(1),у), м(0) = и0 е V. (14) Задаче (14) сопоставим разностную задачу в подпространстве V/,:

I п >щ)+ Ч—2—= 1—2—V' (1о)

где Тк = ¿к — tk-l, к = 1, N.. N — натуральное число, элемент £ Уд считаем заданным. Задача (15) однозначно разрешима для любых Тк-

Основной в пункте 4.1 является теорема 4.1, в которой доказаны две базовые оценки погрешности в норме тах1<л<лг ||и(£ь) — и\\\н-

- 1И -

Из этих оценок в следствии 4.2, в предположении выполнения свойства (9) на подпространства V),, получены оценки с порядком скорости сходимости но т и /г. Например, для слабого решения задачи (14) такого, что существует и"' € /.,,(0, Г; II) (1 < р < 2), и' е ¿2(0,Т; V) и «о = справедлива оценка погрешности

п^х \\и(Ьк) - «ги2н < \ктрн<ь) +

2/Р

4-Со1г

у* \\и(1)\\ьм+£ \\и'ть<пу

В пункте 4.2 диссертации для задачи (3) (оператор Л(£) зависит от времени) рассматривается модифицированная схема Кранка-Никол-сон в следующем виде:

'4-4-

- (Л")+гЛ"-'.^). («О

где элемент ио 6 V/, считаем заданным, Тк = £д; — ¿л—1, к = 1,1\. Задача (16) также однозначно разрешима для любых т*.

В данном пункте, в условиях существования слабого решения задачи (3), обсуждается получение оценок погрешности и порядок скорости сходимости в норме тах1<;-<лг ||и(£/,-) — При этом предполагается дополнительное требование (11) на проекционные подпространства V/,.

В условии дополнительной гладкости слабого решения в теореме 4.2 установлены две базовые оценки погрешности. Данные оценки позволяют получить не только сходимость к нулю (следствие 4.4), если последовательность подпространств {У/г} является предельно плотной в пространстве V при Л —► 0, но и оценки с порядком скорости сходимости по т и /г (следствие 4.5). Для этого, например, потребуем выполнения свойства (9) на подпространства V/, и существования и'" е Ьр(0,Т; V) (1 < р < 2), и' е ¿2(0, Т; Е), = Рки°. Тогда справедлива оценка погрешности

ПЫХ \\uitk) - 4\\2у < С!\\и'"тРуЛу/Р +

Таким образом, если известны аппроксимацнонные свойства проекционных подпространств, то оценки, полученные во втором, третьем и четвертом параграфах, позволяют получать как сходимость в различных нормах приближенных решений к точному, так и получать скорости сходимости. Заметим, что для достаточно гладких решений скорость сходимости является точной по порядку аппроксимации и по временной, и по пространственным переменным.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Виктору Васильевичу Смагину за постановку задачи, внимание, поддержку и полезные советы на протяжении всей работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шепилова Е.В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингера / Е.В. Шепилова // Труды математического факультета. - Воронеж : ВорГУ, 2005. - № 9. - С. 114-123.

2. Шепилова Е.В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингера с неоднородностью гладкой по пространству / Е.В. Шепилова // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования". — Воронеж : ВорГУ. 2005. - С. 244.

3. Шепилова Е.В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингера с неоднородностью гладкой по пространству / Е.В. Шепилова // Труды математического факультета. — Воронеж : ВорГУ, 2006. - № 10. - С. 165-173.

4. Шепилова Е.В. О сходимости полудискретного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е.В. Шепилова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика. - Воронеж : ВорГУ, 2006. - № 2. - С. 247-252.

5. Шепилова Е.В. Оценки погрешности полуднскретного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е.В. Шепилова // Материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : ВорГУ, 2007 - С. 243-244.

6. Смагин В.В., Шепилова Е.В. О решении уравнения типа Шредингера проекционно-разностным методом с неявной схемой Эйлера по времени / В.В. Смагин, Е.В. Шегшлова // Дифференц. уравнения. — 2008. - Т. 44, № 4. - С. 558-569.

7. Шепилова Е.В. О приближенном решении уравнения типа Шредингера проекционно-разностным методом с модифицированной схе-

мой Кранка-Николсон по времени /' Е.В. Шепилотза // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика. - Воронеж : ВорГУ, 2008. - № 1. - С. 179-183.

Работы (4|, (6| соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 12.11.08. Формат 60x84 V16. Усл. псч. л. 1. Тираж 80 экз. Заказ 2142.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВВЕДЕНИЕ

§1. О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЕДИНГЕРА.

1.1. Слабая разрешимость уравнения

1.2. Гладкая разрешимость уравнения

1.3. Разрешимость уравнения с неоднородностью, гладкой по пространству

§2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛУДИСКРЕТНЫМ

МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА

2.1. Проекционные подпространства и связанные с ними проекторы

2.2. Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода для произвольных проекционных подпространств.

2.3. Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода с дополнительным предположением на проекционные подпространства

§3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННО

РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ С НЕЯВНОЙ СХЕМОЙ

ЭЙЛЕРА ПО ВРЕМЕНИ

3.1. Сходимость проекционно-разностного метода в норме С([0,Т],#)

3.2. Сходимость проекционно-разностного метода в норме С( [0, Т~\, V)

§4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ СО СХЕМОЙ

КРАНКА-НИКОЛСОН ПО ВРЕМЕНИ

4.1. Сходимость проекционно-разностного метода для уравнения типа Шредингера с формой, не зависящей от времени, в норме С([0,Т], Н)

4.2. Сходимость проекционно-разностного метода для уравнения с оператором, зависящим от времени, в норме С([0,Т],У)

Данная диссертационная работа посвящена вопросам разрешимости линейной нестационарной начально-краевой задачи типа Шредингера, заданной в вариационной форме, теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционного и проекционно-разностных методов приближенного решения такого уравнения.

Известно, что вариационная трактовка начально-краевых задач является весьма эффективной. При изучении параболических уравнений такой подход представлен, например, в монографиях [1], [2], [3]; при изучении эллиптических уравнений — [4], [5], [6]. При этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости соответствующих задач. Обоснование разрешимости данных задач часто проводится с помощью полудискретного проекционного метода, априорных оценок приближенных решений и последующего обоснования слабого предельного перехода. В этой связи, кроме уже отмеченных монографий, обратим внимание на работы [7], [8].

Существенно меньше результатов для уравнений гиперболического типа. Обоснование разрешимости задач и получение оценок погрешности с помощью проекционных методов проводилось для частных случаев гиперболических уравнений второго порядка, одномерных или двумерных по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени (см., напр., [9], [10], [11] — [17]). При этом делаются ограничения на проекционные подпространства: завышенные условия на гладкость базисных элементов, предположения о достаточно равномерном разбиении области пространственных переменных (для подпространств типа "конечных элементов")(см., напр., [18] — [24]).

Исследований подобного рода для уравнения типа Шредингера фактически проведено не было. Здесь можно отметить работы [25] — [27], в которых, в основном, обсуждались вопросы разрешимости.

Полученные априорные оценки приближенных решений, найденных проекционным методом, могут быть с успехом, как показано и в данной х работе, использованы не только для обоснования разрешимости исходной точной задачи с помощью обоснования соответствующего слабого предельного перехода, но и для доказательства сходимости приближенных решений к точному в сильных нормах. Это позволяет рассматривать проекционный метод в качестве одного из методов приближенного решения задач (в том числе и задачи типа Шредингера).

Отметим, что проекционный метод сводит решение начально-краевой задачи для линейного уравнения типа Шредингера к решению задачи Коши для конечномерной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом смысле проекционный метод является полудискретным приближенным методом.

Теория проекционных методов достаточно хорошо развита в применении к эллиптическим и параболическим уравнениям. Приближенное решение при этом, в определенном смысле, является элементом наилучшей аппроксимации точного решения в соответствующем гильбертовом пространстве. Изложение этой теории можно найти, например, в работах [2], [3], [4], [10], [28], [29], [30] - [32]. Это позволяет при оценке погрешности в полной мере использовать аппроксимационные свойства проекционных подпространств.

Проекционно-разностные приближенные методы, в отличии от методов проекционных, являются методами полной дискретизации. При этом очевидна зависимость сходимости как от аппроксимационных свойств проекционных подпространств, так и от способа аппроксимации производной по времени. Рассмотрение таких вопросов можно найти, например, в работах [3], [7], [28], [33], [34] - [39].

При исследованиях полудискретного метода и проекционно-разно-стных методов возможен подход, при котором приближенная задача рассматривается в пространстве функций, зависящих от временной и пространственных переменных. При этом весьма распространен способ исследования, имеющий место и в настоящей работе, трактующий временную переменную как параметр. Отметим в этой связи работы [10], [31], [32].

Перейдем к основному содержанию данной работы.

Пусть даны два сепарабельных гильбертовых пространства V и Н, причем У С Я и вложение плотно и непрерывно, то есть для любого жбЯ существует последовательность {хп\ С У такая, что ||ж — жп||# —> 0; существует число с > 0 такое, что для любого и € V выполнено ||гх||# < с||и||у .

Пусть V' и Н' — пространства двойственные к V и Н соответственно, тогда Н' С V' и данное вложение плотно и непрерывно. Далее по теореме Рисса проводится отождествление Н и Н'. Таким образом, приходим к включениям V С Н = Н' С V', где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны [4].

Для £ е [0, Т], где Т < оо, на и, у Е V определено семейство симметричных полуторалинейных форм а(£, и, у). Предположим, что для всех и, v G V функция t —* a(t,u,v) абсолютно непрерывна на [0,Т] и для V выполнены оценки: a(i,ti,u)| <Mi|H|v|H|v, a(i,iz, и) > сиЦ^Цу , (0.1) где а > 0. Кроме того, почти всюду на [0, Т] da{t,u,v)/dt | < M2\\u\\v\\v\\v. (0.2)

Форма a(t, и, v), очевидно, порождает линейный ограниченный оператор A(t) : V —> V' такой, что a(t,u,v) = (A(t)v,v) и < Мь

Под выражением (z, v) понимается значение функционала z £ V' на элементе v G V. Заметим [4], если z £ Н, то выражение (2;, г;) совпадает со скалярным произведением в Н, в силу отождествления Н и Н'.

Для заданной со значениями в V' функции f(t) и элемента и0 рассмотрим вариационную задачу: найти функцию u,(t) со значениями в V такую, что почти всюду на [0, Т] для всех v G V выполнено u'(t),v)+ia(t,u(t),v) = (f(t),v), и(0) = и0 G V. (0.3)

Задача (0.3) и есть начально-краевая задача для уравнения типа Шре-дингера в вариационной постановке. Производные функций в (0.3) и далее понимаются в обобщенном смысле (см., напр., [1], [40], [41]).

Очевидно, что задача (0.3) равносильна задаче Коши в пространстве V': u'(t) + i A(t)u(t) = /(t), u(0) = u° EV. (0.4)

Приведем результат о разрешимости задачи (0.3), или эквивалентной ей задаче (0.4) из [1].

Теорема 0.1. Пусть для задачи (0.4) выполнены условия, перечисленные выше. Дополнительно предположим, что f G ¿2(0, Т; Н) и существует производная f G £2(0, Т\ V'). Тогда задача (0.4) имеет единственное решение u(t) тлкое, что и G £2(0, Т; V) П С([0,Т],Я); и' € £2(0, Т; V), уравнение удовлетворяется почти всюду на [0,Т] и выполняется начальное условие. Кроме того, справедлива оценка Т mag,+ / (|Mt)|ft + ||u'(t)|&) dt < — J О м ju^+£(\\fmir+wnrni) A} . (0.5)

Здесь и далее, под пространством 1^(0, Т;У) понимается пространство функций t —u(t) G V, измеримых на [0,Т] и таких, что \\u(t)\\2v суммируема на [0, Т] по Лебегу, с нормой

ЫШыо,т-У)= ^£\Ht)\\vdtj .

Под С([0, Т], Я) понимается пространство функций t —*■ u(t) G Я, непрерывных на [0,Т], с нормой

Ht)\\c([o:T],H) = ma* |М*)||я •

Для полноты восприятия приведем простейший пример сведения классической начально-краевой задачи типа Шредингера к виду (0.3) или (0.4).

Пусть задан прямоугольник Q = [0,Т] х [а, 6]. Пусть заданы функции p(t, х), ç(t, .т), принадлежащие пространству L^Q) и, кроме того, p(t,x) >ро> 0,q{t,x) > q0 > 0. Положим Я = L2(a,b), V = w\(a,b),

1 0 1 V' = W 2 (а, 6). Для u,v ew Ja, b) определим форму ди(х) dv{x) а(^,и,г>) = J р{Ь,х)—+ Я^,х)и(х)у(х) йх. (0.6)

Нетрудно проверить, что для и,и е V форма удовлетворяет условиям (0.1) и (0.2). Задача (0.3), или эквивалентная ей задача (0.4), приводят нас к классической начально-краевой задаче с первым краевым условием по пространству: du(t, х)/дЬ + i A{t)u(t, х) = f(t, х) (t, х) е Q; u(t, а) = u(t, 6) = 0 tG [О, Т] ; ii(0,a;) = ^(а;) a; G [а, 6].

О 1

В (0.7) для и &W2iai оператор имеет вид

0.7) а ди\ . .

0.8)

Полагая в (0.7) / G L2(0, Т; L2(a, 6)), f G L2(0, Г; W g (a, &)) и «о(я) G L2(a, 6), получим решение u(t,x) задачи (0.7) такое, что г/ G L2(0,T]W 1(а,Ь))ПС([0,Т\,Ь2(а,Ь)), и' G L2(0, Г; VT^CM))- Уравнение в (0.7) удовлетворяется почти всюду на [0,Т] в смысле равенства обобщенных из функций, начальное условие — в смысле пространства L2(a, b).

Если же рассмотреть Н— L2(a, b),V= W^a, 6) и для и, v G W^a, Ь), и констант a < 0, (3 > 0 определить форму

Гъ a(t, гл, г') = / p(t, + жМжМж) dx + /%>(£, Ь)и(Ь)у{Ь) - ар(г, а)и{а)у{а), (0.9) то форма (0.9) также удовлетворяет условиям (0.1) и (0.2) для и,у € V. При этом задача (0.3) приводит нас к классической начально-краевой задаче с третьим краевым условием по пространству: ди{г, X)/дъ + % A(t)г¿(í, х) = /(£, ж) (г, ж) е <Э ; а) + аи{Ь, а) = Ъ) + /?«(*, Ъ) = 0 £ Е [0, Т]; (0.10) и(0, ж) = щ(х) х Е [а, 6].

В (0.10) для и е УУ^^Ь) оператор А(Ь) также задается выражением (0.8). Тогда рассматривая / <Е Ь2(0,Т; ¿2(а,Ь)), /' € £2(0,Т; (И/^а, Ь))') и «о(я) € Ь2(а, &), получим решение и{р,х) задачи (0.10) такое, что гг € Ь2(0,Т; П С([0, Г], Ь2(а, Ь)), и' € Ь2(0, Г; (И'21(а,Ь))/).

Также в приложениях в качестве оператора А(Ь) можно брать, например, симметричный равномерно эллиптический оператор второго порядка в ограниченной области О, С Мп с гладкой границей, порожденный дифференциальным выражением второго порядка и первым крае° 1 —1 вым условием. Тогда Я = Ь2(П), V У — ^ 2 (П). Если же на границе области Г2 задано третье краевое условие, то Н = 1/2(П), V = Можно рассматривать и эллиптические операторы произвольного 2т порядка, где т> 1.

Перейдем к изложению и обсуждению основных результатов, полученных в данной работе.

В первом параграфе, состоящем из трех пунктов, рассматриваются вопросы разрешимости задач (0.3), (0.4).

Решения задачи (0.4), существование которых обусловлено теоремой 0.1, будем называть слабыми. В пункте 1.1 приводится доказательство этой теоремы 0.1, так как соответствующие рассуждения используются в дальнейшем.

В пункте 1.2 основные усилия направлены на получение более гладких, чем в теореме 0.1, решений. Для этого сделаем дополнительные предположения об исходных данных задачи (0.4): пусть функция Ь —> да{1), и, у)/дЬ абсолютно непрерывна на [0, Т} и для д2а{Ь, и, г>)/<9£2 справедлива оценка

Мъ\\и\\у\\у\\у ■ (0.11)

Доказана следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть форма и, и) удовлетворяет перечисленным выше требованиям (0.1), (0.2), (0.11). Пусть функция / такая, что /' е 1/2(0, Т; Н), /" е Х2(0,Т;У) и /(0) 6 V. Считаем, что элемент У и такой, что А(0)и° £ V. Относительно координатной системы {<£?} считаем, что Рт — ортопроекторы Н на Ут такие, чт.о ¡¡Р7П||у^ < с. Тогда слабое решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью и' £ Ьоо(0,Т; У).

В пункте 1.3, для исходной задачи (0.4) предполагается, что при почти всех t £ [0, Т] функция /(/:) 6 V, то есть более гладкая по пространственным переменным, чем в предыдущих пунктах. В этой связи получены новые условия разрешимости задачи (0.4).

Так в теореме 1.2 считается, что / 6 ¿2(0,Т;У), а существование производной fl не предполагается. Относительно полной координатной системы в У считаем, что Рт — ортопроекторы Н на Ут такие, что ||Рт||у>у < с. Тогда задача (0.4) имеет единственное решение и{1) такое, что и е Ь2(0,Т; V) П С([0,Т], Я), и' £ Ь2(0,Т; V').

Отметим, что достаточным условием существования полной в V системы такой, что ||Рт||у>у- < с Для вссх т € М, является компактность вложения V С Н (см. [42]).

В теореме 1.3 устанавливаются условия более гладкой разрешимости задачи (0.4), чем в теореме 1.2, а именно, условия обеспечивающие для слабого решения и{€) дополнительную гладкость: и' £ Ь^0,Т; У).

Во втором параграфе, состоящем из трех пунктов, изучается сходимость полудискретного метода Галеркина.

Содержание пункта 2.1 носит вспомогательный характер. В нем рассматриваются проекционные конечномерные подпространства 14 пространства V, где к — положительный параметр, и свойства ортогональных проекторов на эти подпространства (Р^ : Н Ун и : У —> У]г).

Кроме норм пространств V, H и V', на a h G Vf, рассматривается двойственная норма

I\uh\\v£= SUP

Эта норма в V^ хороша тем, что, как показано в [43], проектор Р^ допускает расширение по непрерывности до оператора Р}г : V —а также справедлива оценка

-P/,u||v^ < \\u\\v> для u G V'.

Определим множество

D{A(t)} = {г; 6 V \ A(t)v G #}. (0.12)

Пусть существует сепарабелыюе гильбертово пространство Е такое, что D[A{t)] GEaV для t G [0, Т] и пространство V совпадает с интерполяционным пространством [Е, H]i/2 (см., напр., [1]). Например, для оператора A(t) в задаче (0.7) с первым краевым условием возьмем Е = D[A(t)] =

О ° 1

W;(а, Ь)П W2(ai b), а в задаче (0.10) с третьим краевым условием следует взять Е = W\{a, Ъ) и D[A(t)] — {u G W\(a, b) \ u'{t, а) + au(t, а) = u'(t,b) + ßu(t,b) = 0}.

А также определим гильбертовы пространства

V{t) = {и, V G V I (и, v)v{t) = a(t, u,v)}.

Ортогональный проектор пространства V(t) на Vh обозначается Qh(t).

В данном пункте приведен ряд результатов, используемых в последующем (лемма 2.2 — лемма 2.6), об аппроксимационных свойствах проекционных подпространств и связанных с ними проекторов. Например, в лемме 2.5 и лемме 2.6 обсуждается вопрос существования производной по t G [0,Т] операторов Q'h(t), Q'^(t) и их аппроксимационных свойств.

В пункте 2.2 исследуется получение оценок погрешности и скорость сходимости полудискретного метода Галеркина в случае произвольного выбора проекционных подпространств.

В конечномерном подпространстве Vh С V рассматривается задача u'h(t),vh) + г a(t, uh(t), vh) = (f(t), vh), uh{0) = u°h G Vh , (0.13) где Vh G Vh произвольный элемент, элемент u\ G Vh считаем заданным.

В теореме 2.1 для слабого решения задачи (0.4) u(t), имеющего дополнительную гладкость и' G L2(0,T; V) и и\ = PhU° доказана оценка тах

0<i<T cj (il — Qh)u{t)\\у + || [/ - Qh{t)]u'(t) dt. (0.14)

Для получения из (0.14) сходимости погрешности к нулю дополнительно в следствии 2.2 предполагается, что последовательность подпространств {Vh} является предельно плотной в пространстве V при h —> 0, то есть ||(/ — Qh)v\\v 0 при h 0 для всех v G V. Кроме того, оценка (0.14) позволяет получать и характеристики скорости сходимости погрешности к нулю. Конечно, при этом от подпространств Vh нужна информация об их аппроксимационных свойствах.

Пусть, например, подпространства Vh такие, что

Ш - Qh)u\\v < ch\\u\\E , (0.15) для всех и G Е. Заметим, что условие (0.15) типично для подпространств Vh типа "конечных элементов" (см., напр., [5], [28], [33]).

Если теперь предположить, что слабое решение задачи (0.4) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и u G L2(0,T; Е), то из (0.14), (0.15) следует оценка

Гр ш» |Ki) - Uh(t)\\2H < Л2 ( (|Hi)||! + |Иё)||2к) dt. u{t)-uh(t)VH <

Далее в пункте 2.2 доказана теорема 2.2 при более сильных условиях на гладкость решения и" е Ь2(0, Т; V) и для г^ = ф^0- Тогда оценка погрешности получена в более сильной норме: т

70 \ и (/ - он)и'т2у+ц [/ - (о.1б)

В (0.16) для предельно плотной в V последовательности подпространств 04} при /г —> 0 правая часть оценки стремится к нулю. Если же выполняется (0.15), то из (0.16) получается следствие 2.5, где при соответствующих предположениях на гладкость решения и^) установлена оценка Т ш^ИиЮ-адЮП?- < сЛ'^ (|И*)111 + ||«'(<)||| + ||и"(4)||27)«.

В пункте 2.3 показано, что можно освободиться от повышенного условия на гладкость решения точной задачи, но для этого наложим на проекционные подпространства 14 дополнительные требования, а именно, {Т4} — последовательность конечномерных подпространств из V такая, что ЦР^Цу^у- равномерно по К ограничены, то есть

РЛ||^<с. (0.17)

В приложениях, для подпространств 14 типа "конечных элементов", условие (0.17) равносильно равномерному разбиению области пространственных переменных (см., напр., [29]).

В теореме 2.3 устанавливается базовая оценка погрешности в норме С([0,Т], Я") при условии, что исходные данные задачи обеспечивают лишь слабую разрешимость и подпространства {Т4} удовлетворяют (0.17). Если же решение и{€) обладает дополнительной гладкостью:

Ь2(0,Т] Е), то из этой оценки в следствии 2.7 при условии (0.15) получается оценка max ||i/(t) -uh(t)\\H < + c2hK(u°J) (£\\u(t)\\2Edt

1/2 где k\u°J) = \\А\Ь +1 (H/WIIIt + II/WIIf')л.

Далее в пункте 2.3 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме С([0, Т], V) при условии выполнения требования (0.17) на подпространства Vh- Такая оценка погрешности установлена в теореме 2.4, в которой, в отличие от теоремы 2.2 пункта 2.2, от слабого решения u(t) требуется лишь выполнения условий теоремы 1.1. В следствии 2.10 из оценки, полученной в теореме 2.4, при условии (0.15) получается для и £ С([0,Т], Е) оценка с порядком скорости max ||ii(t) - Uh(t)\\Ь <c\h2 max \\u(t)\\% +

0 <t<T I 0 <t<T h2M(uQJ) max \\u(t)\\E + h^\u°J) j , где

MV,/) = \\A\b +11/(0) IIH IH(0K||2f + rp J (\\№Гн+У'т2н+\\гт1)м.

Как уже упоминалось, проекционный метод (0.13) приближенного решения задачи (0.3) является полудискретным методом. В этой связи естественно рассмотреть проекционно-разностные методы приближенного решения задачи (0.3), которые являются полностью дискретными методами.

В третьем параграфе диссертации, состоящем из двух пунктов, рассматривается проекционно-разностный метод приближенного решения задачи (0.3) с неявной схемой Эйлера по времени.

В пункте 3.1 приближенная задача для задачи (0.3) строится следующим образом. Пусть 0 = ¿о < ¿1 < ■ ■ ■ < tN — Т — разбиение отрезка

0, Т]. В подпространстве Т4 С V рассматривается для к = 1, N разностная задача

-+ га(гьи1ун) = (/(4), О, (0.18) где Уь £ Ун — произвольный элемент, элемент 1/д £ Ун считаем заданным, N — натуральное число, Тк = — Отметим, что задача (0.18) однозначно разрешима для любых т^.

В теореме 3.1 и замечании 3.1 устанавливаются оценки погрешности в норме тах1<^<дг \\и^к) — и^,\\2н. При этом для слабого решения задачи (0.4) и(р) предполагается дополнительная гладкость и" € Ьр(0,Т] Н) (1 <Р< 2), и' е Ь2(0, Т] У) и = Рни°.

Если же подпространства 14 удовлетворяют условию (0.15), то из оценки в замечании 3.1 выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и по Н (следствие 3.2). А именно, если решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью и £

2(0, Т; Е), то справедлива следующая оценка: гт \ 2/р

1<Фа-)-4\\2н < с1Т^ Ц \\и'Шн<*) +

-т гт

2 / ||Л,ЛЛ||2 , / ц„.//+М|2 С2Н\ I \\и{г)\\гЕйь + J \\и'(г)\\2у(И}.

В пункте 3.2 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме тах1<д;<лг \\и(Ьк)—и^.\\у, при этом основным требованием на задачу (0.4) является выполнение условий слабой разрешимости из теоремы 0.1.

В первой теореме данного пункта (теорема 3.2) предполагается выполнение требования на разбиение отрезка [0,Т] точками (к = 1,^) такое, что г = тахг^ < с пин т^. а также на решение задачи: и' Е Ь2{0,Г;У), существует и" е Ьр(0,Т;У) (1 < р < 2) и = В данных условиях справедлива оценка погрешности тах |К4) - 4\\1 < С1 т22Л> ||и"{г)Гу,й^ " + т

0.19) и^С^-^ I /д

Далее, в следствиях 3.3 и 3.4, обсуждается эффективность оценки (0.19), то есть порядок скорости сходимости при дополнительном предположении (0.15) на подпространства У/г и сходимость погрешности к нулю при условии согласования шагов по времени и по пространству, а именно, /г2/т —> 0.

Затем в теореме 3.3 показано, что дополнительные условия гладкости на решение и{€) (и" е 1/1(0, Т; V) и = позволяют как освободиться от согласования шагов по времени и по пространству, так и от требования на разбиение отрезка [0, Т]. При этом, если подпространства Цг удовлетворяют условию (0.15), то выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и по к (следствие 3.6). А именно, если решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью: и" е 1/р(0,Т; У)(1 < р < 2) и и' е 1/2(0,Т; Е), то справедлива оценка гт \ 2/Р

-ч1\\1 <С1гз-2^ц кюи^*) +

Известно, что неявная разностная схема Эйлера дает лишь первый порядок аппроксимации. Более высокий порядок можно получить применяя схему Краика-Николсон, которая является разностной схемой второго порядка аппроксимации.

Изучению проекционно-разностного метода приближенного решения задачи (0.3) с модифицированной схемой Кранка-Николсон по времени посвящен четвертый параграф диссертации, состоящий из двух пунктов. Заметим, что преимущества схемы Кранка-Николсон по сравнению, например, с неявной схемой Эйлера проявляются лишь для уравнений с достаточно гладкими данными.

В пункте 4.1 рассматривается задача типа Шредингера с оператором не зависящим от времени в виде и'(Ь),у) + 1а(и(г)^) = (/(*), V), 1/(0) = и0 е V. (0.20)

Задаче (0.20) сопоставим разностную задачу в подпространстве Т^: ц^Ц,,.) - (ЛЦу^и), (0.21) где ть — ^ — к — N — натуральное число, элемент £ 14 считаем заданным. Задача (0.21) однозначно разрешима для любых т^.

Основной в пункте 4.1 является теорема 4.1, в которой доказаны две базовые оценки погрешности в норме тах1<£<дг — ик\\'н- ^з этих оценок в следствии 4.2, в предположении выполнения свойства (0.15) на подпространства получены оценки с порядком скорости сходимости по т и к. Например, для слабого решения задачи (0.20) такого, что существует и'" е Ьр(0,Т\Н) (1 < р < 2), и' е Ь2(0,Т; V) и = Рки°, справедлива оценка погрешности гТ \ 2/р шах 1М*0 - <4\\\ < с^-^Ц К'(*)1& + с гТР Т ^

В пункте 4.2 диссертации для задачи (0.3) (оператор А(£) зависит от времени) рассматривается модифицированная схема Кранка-Николсон в следующем виде: где элемент € Ук считаем заданным, т\ = — к = 1, N. Задача (0.22) также однозначно разрешима для любых

В данном пункте, в условиях существования слабого решения задачи (0.3), обсуждается получение оценок погрешности и порядок скорости сходимости в норме тахх<^<дг ||и^ь) — и^Цу. При этом предполагается дополнительное требование (0.17) на проекционные подпространства Цг.

В условии дополнительной гладкости слабого решения в теореме 4.2 установлены две базовые оценки погрешности. Данные оценки позволяют получить не только сходимость к нулю (следствие 4.4), если последовательность подпространств {14} является предельно плотной в пространстве V при И —> 0, но и оценки с порядком скорости сходимости по г и 1г (следствие 4.5). Для этого, например, потребуем выполнения свойства (0.15) на подпространства 14 и существования и'" 6 Ьр(0,Т; V) (1 < V < 2), и' € Ь2(0,Т; Е), и= Рь,и°. Тогда справедлива оценка погрешности

Таким образом, если известны аппроксимационные свойства проекционных подпространств, то оценки, полученные во втором, третьем и

0.22) четвертом параграфах, позволяют получать как сходимость в различных нормах приближенных решений к точному, так и получать скорости сходимости. Заметим, что для достаточно гладких решений скорость сходимости является точной по порядку аппроксимации и по временной, и по пространственным переменным. Последнее особенно важно при использовании подпространств типа "конечных элементов".

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Рассматривается постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Получены новые результаты о разрешимости и гладкости решения задачи. Сформулированы приближенные задачи при применении проекционного метода Галерки-на, а также проекционно-разностных методов со схемой Эйлера и модифицированной схемой Кранка-Николсоп. Установлены оценки погрешностей приближенных решений в соответствующих нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешностей приближенных решений к нулю от начальных данных задачи. Результаты диссертации имеют как теоретическую, так и практическую направленность. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании конкретных уравнений математической физики.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах, конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), Крымской осенней математической школе-симпозиуме — 2008, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] —[61].

1. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М. : Мир, 1971. — 372 с.

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — М. : Мир,1972. 415 с.

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М. : Мир, 1981. - 408 с.

4. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн. М. : Мир, 1977. - 352 с.

5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М. : Мир, 1980. - 512 с.

6. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева. — М. : Наука,1973. 576 с.

7. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. М. : Наука, 1967. - 736 с.

8. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972. - 588 с.

9. Злотник A.A. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка / A.A. Злотник // Вычислит, процессы и системы. — 1992. — Вып. 10. — С. 116— 167.

10. Wheeler M.F. Д^ estimates of optimal order for Galerkin methods for one-dimentional second order parabolic and hyperbolic equations / M.F. Wheeler // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V. 10, № 5. - P. 908-913.

11. Пулькина JI.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, № 7. - С. 887—892.

12. Асанова А.Т. Нелокальные краевые задачи для нелинейных гипер-боличских уравнений / А.Т. Асанова // Тезисы докладов международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". — Минск, 2003. — С. 27—28.

13. Салахитдинов М.С. О единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения разного рода /М.С. Салахитдинов / / Докл. Адыг. (Черкес.) междунар. акад. наук. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 92-94.

14. Сабитов К.Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К.Б. Сабитов, О.Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики". — Стерлитамак, 2004. — С. 80—86.

15. Амангалиева М.М. О разрешимости граничных задач для гиперболического уравнения с усреднением / М.М. Амангалиева // Мат. журнал. — 2004. — Т. 4, № 3. — С. 12—15.

16. Терлецкий В. А. Обобщенное решение одномерных полулинейных гиперболических систем со смешанными условиями / В.А. Терлецкий // Изв. вузов. 2004. - № 12. - С. 75-83.

17. Асанова А.Т. О краевой задаче с данными на характеристиках для системы гиперболических уравнений / А.Т. Асанова // Тезисы докладов "40 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии". — Москва, 2004. — С. 86—89.

18. Голубева Н.Д. Задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Н.Д. Голубева // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинскне чтения-XV". — Воронеж, 2004. С. 60-61.

19. Kozie L. Mixed problems for infinite systems of quasilinear hyperbolic functional differential equations / L. Kozie // Demonstr. math. — 2003. — V. 36, № 3. P. 659-674.

20. Железовский C.E. Оценка погрешности метода Галеркина для абстрактного эволюционного уравнения второго порядка с негладким свободным членом / С.Е. Железовский // Дифференц. уравнения. — 2004. Т. 40, № 7. - С. 944-952.

21. Guezane-Lakoud A. Abstract variable domain hyperbolic differential equations / A. Guezane-Lakoud // Demonstr. math. — 2004. — V. 37, № 4. P. 883-892.

22. Monk P. A discontinuous Galerkin method for linear symmetric hyperbolic systems in inhomogeneous media / P. Monk, Gerard R. Richter // Sci. Comput. 2005. - V. 22, № 1. - P. 443-477.

23. Алиев А.Б. Смешанная задача для квазилинейных псевдогиперболических уравнений высокого порядка / А.Б. Алиев // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XVI". Воронеж, 2005. - С. 15-16.

24. Kaikina E.I. Nonlinear nonlocal Schrodinger type equations on a segment / E.I. Kaikina, P.I. Naumkin, Isahi S'anchez-Su'arez // SUT J. Math. 2004. - V. 40, № 1. - P. 75-90.

25. Dai Dao-Qing Galerkin analysis for Schrodinger equation by wavelets / Dai Dao-Qing, Han Bin, Jia Rong-Qing // Math. Phys. — 2004. — V. 45, № 3. P. 855-869.

26. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М. : Мир, 1977. - 352 с.

27. Оганесян JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / J1.A. Оганесян, JI.A. Руховец. — Ереван, 1979. — 236 с.

28. Соболевский П.Е. О методе Бубиова-Галеркина для параболических уравнений в гильбертовом пространстве / П.Е. Соболевский // ДАН СССР. 1968. - Т. 178, № 3. - С. 486-489.

29. Wheeler M.F. A priori L2 error estimates for Galerkin approximations to parabolic patial differential equations / M.F. Wheeler // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V. 10, № 4. - P. 723-759.

30. Donglas J. A quasi-projection analysis of Galerkin methods for parabolic and hyperbolic equations / J. Douglas, T. Dupont, M.F. Wheeler // Math. Comput. — 1978. V. 32, № 142. - P. 345-362.

31. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Мар-чук, В.И. Агошков. — М. : Наука, 1981. — 416 с.

32. Бабушка И. Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. — М. : Мир, 1969. — 368 с.

33. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Р. Варга. — М. : Мир, 1974. — 128 с.

34. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчел, Р. Уэйт. — М. : Мир, 1981. — 216 с.

35. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. М. : Мир, 1988. - 352 с.

36. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. — М. : Наука, 1989. 608 с.

37. Morgan Ed. Finite-elment-metode: Eine Einfuhrung / Ed. Morgan, A. Michael. Berlin: Akad. Verl., 1993. - 252 p.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров. — M. : Наука, 1976. — 528 с.

39. Schwartz L. Théorie des distributions / L. Schwartz. — Paris, 1957. — 254 c.

40. Смагин B.B. О слабой разрешимости нелинейной вариационной задачи параболического типа / В.В. Смагин, М.В. Тужикова // ВестникВоронежского государственного университета. — 2004. — № 1. — С. 153-156.

41. Вайникко Г.М. О сходимости и быстроте сходимости метода Галер-кина для абстрактных эволюционных уравнений / Г.М. Вайникко, П.Э. Оя // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, № 7. - С. 12691277.

42. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. — М. : Наука, 1988. — 334 с.

43. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. — М. : Наука, 1985. — 224 с.

44. Бубнов И.Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского / И.Г. Бубнов // Сборник ин-та инж. путей сообщения. — 1913. — выпуск 3.'

45. Галеркин Б.Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин / Б.Г. Галеркин // Вестник инженеров. 1915. - № 19. - С. 897-908.

46. Смагин В.В. О сходимости полудискретных приближений по Галер-кину для квазилинейных параболических уравнений / В.В. Смагин // Известия вузов. Математика. — 1989. — № 2. — С. 62—67.

47. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галеркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана / В.В. Смагин // Известия вузов. Математика. — 1996. — Т. 406, № 3. С. 50-57.

48. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений / В.В. Смагин // Мат. сборник. — 1997. — Т. 188, № 3. С. 143-160.

49. Смагин В.В. Средне-квадратичные оценки погрешности нроек-ционно-разностного метода для параболических уравнений / В.В. Смагин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. — 2000. — Т. 40, № 6. С. 908-919.

50. Смагин В.В. О скорости сходимости проекционно-разностных методов для гладко разрешимых параболических уравнений / В.В. Смагин // Математ. заметки. 2005. - Т. 78, № 6. - С. 907-918.

51. Смагин В.В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений с модифицированной схемой Кранка-Николсон / В.В. Смагин // Мат. заметки. — 2003. Т. 74, № 6. - С. 913-923.

52. Шепилова Е.В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингсра / Е.В. Шепилова // Труды математического факультета. Воронеж : ВорГУ, 2005. - № 9. — С. 114-123.

53. Шепилова Е.В. О разрешимости вариационной задачи для уравнения типа Шредингера с неоднородностью гладкой по пространству / Е.В. Шепилова // Труды математического факультета. — Воронеж : ВорГУ, 2006. № 10. - С. 165-173.

54. Шепилова Е.В. О сходимости полудискретного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е.В. Шепилова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика. Воронеж : ВорГУ, 2006. - № 2. — С. 247-252.

55. Шепилова Е.В. Оценки погрешности полудискрстного метода Галеркина для уравнения типа Шредингера / Е.В. Шепилова // Материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : ВорГУ, 2007 С. 243-244.

56. Смагин В.В., Шепилова Е.В. О решении уравнения типа Шредингера проекционно-разностным методом с неявной схемой Эйлера по времени / В.В. Смагип, Е.В. Шепилова // Дифференц. уравнения. — 2008. Т. 44, № 4. - С. 558-569.