О сходимости и устойчивости разностных методов решения нелинейных уравнений Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



Ъ! ОН д 91

V» Ц«'

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР

На правах рукописи ИВАНАУСКАС Феликсас Феликсович

О СХОДИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1992

Рабом выполнена в Вильнюсском университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор A.B. Гулин; доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Абрашин; доктор ({иэиио-матаматических наук Я.М.И1илейкин

Ведущая организация: Киевский государственный университет.

Защита состоится "_" ^¿Аj^-M. 1992 года в

час.

на заседании специализированного Совета Д 003.91.01 при Всесоюзной центре математического моделирования АН СССР по адресу: Москва, 125047, Миусская пл. д. 4

>

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша АН'СССР.

Авторе4ерат разослан

Q3* О-Л 1992 г.

Ученый секретарь Совета, ^^

доктор физико-математических наук ¡fr^ Н.В.Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. При математическом моделировании процесса распространения световых волн исходными являются уравнения Максвелла. Получить аналитическое решение этих уравнений даже в линейной приближении, за исключением редких случаев, не представляется возмояным. Поэтому в теоретической нелинейной оптика широкое распространение получили упрощенные модели, учитывайте специфику, присущую оптическому диапазону частот, и позволяющие получать прием-лимуп для практики точность результатов.

Модели типа нелинейного уравнения Шредингера соответствуют квазиоптическому приближению, позволяющему учитывать одновременно нелинейные и дифракционные (дисперсионные) эффекты, что особенно важно при исследовании распространения в нелинейной среде пространственно-неоднородного излучения.

Модели нелинейного уравнения Шредингера, помимо нелинейной оптики, используются также в физике плазмы, квантовой механике, теории вихревого движения и сверхпроводимости, физике твердого тела.

Среди аналитических методов, позволяющих получить решение нелинейных дифференциальных уравнений, следует отметить метод обратной задачи рассеивания. Для нелинейных уравнений Шредингера он был впервые использован В.Е.Захаровым и А. ,Б.¡Набатом. Однако при всех достоинствах метода обратной задачи рассеивания сама процедура его применения к решению конкретных задач является сложной, и пригодна лишь для узкого класса нелинейных уравнений Шредингера. В

V.: ., I - -'4

отличие от аналитических, разностные метода решения нелинейных у^внений Шредингера сравнительно просты и универсальны. Все это вместе взятое обусловливает важность дальнейшего развития теории разностных методов решения нелинейных уравнений Шредингера,

Последовательное изложение теоретических основ построения и обоснования разностных схем для решения широкого класса задач «атематической физики содержится в монографиях и учебниках А.А .Самарского, А.В.Гулина, Ю.П.Попова, Е.С.Николаева, В.Б.Андреева, Г.И. Марчука, С.К.Годунова,

B.C.Рябенького, H.H. Яненко, Б.Л.Рождественского и др. Значительные результаты получены в теории разностных методов для нелинейных уравнений математической физики. Различные аспекты етой проблемы отражены в работах В.Н.Абра-шина, А.Д.Дяшко, М.М.Карчевского, Е.Г.Дьяконова, Н.В.Ар-деляна и других авторов. 1

Построение и обоснование численных методов решения нелинейных уравнений Шредингера осуществлено в работах

C.Н.Карамзина, Я.М.ЖилеЙкина, В.В.Дрица, А.Б.Борисова, Л.М.Дегтярева и др. К настоящему времени в основном решены вопросы построения и обоснования разностных методов в трехмерном пространстве. _

В значительно меньшей мэре изучены вопросы сходимости при числе переменных выше трех, вопросы сходимости в равномерной норме и в соболевских пространствах, вопросы устойчивости.

При обосновании сходимости разностных схем возникало ограничение на соотношение между шагами сетки по зволтци-

онной и пространственным переменным, которое вообще не яв-• ляется необходимым для неявны* раэ..остных схем. (Дало исследован вопрос о гладкости разностного решения; получены простейшие априорные оценки. Основное внимание уделялось обоснованию разностных катодов роптания краевых задач,хотя в теоретической, а такие практическом плане актуально исследование методов решения задачи Коти. Не была обоснована схема расщепления по физическим факторам. Актуальными являются вопросы разрешимости краевых задач для нелинейных уравнений Шредингера, решение практических задач, сравнение по быстродействию различных разностных методов. Следует отметить, что некоторые из перечисленных вопросов является актуальными и для нелинейных уравнений параболического типа.

Все перечисленные выше вопросы кашли отражение в предлагаемой для завцгш диссертации автора.

Цель работы заключается в построении нового метода доказательства сходимости и устойчивости разностных методов решения нелинейных эволюционных уравнений (шрединге-ровсксго и параболического типов) и применении его к обоснованию разностных методов решения нелинейных уравнений Иредингэра; исследовании разрешимости краевых задач для нелинейных уравнений Шредингера. Метод доказательства схо-дииости и устойчивости основан на новых мультипликативных оценках равномер эй нормы функции через соболевскиэ нормы и априорных оценках нового типа. Основным объектом исследования являются нелинейные уравнения Шредингера.

Методика работа. В диссертации широко используются

результаты и методы теории линейных разностных методов, в частност»., метод Фурье; теоремы вложения соболевских пространств и их сеточные аналоги, мультипликативные оценки и их сеточные аналоги, теоремы о продолжении функций с сохранением класса и их сеточные аналоги.

Научная новизна

1. Построен новый метод доказательства сходимости и устойчивости разностных методов для решения нелинейных вво-лсционных уравнений (шредингеровского и параболического типов) без каких-либо ограничений на соотношение между шагами сетки.

2. Получены новые мультипликативные оценки равномерной нормы функция через соболевские нормы как в непрерывном, так и в сеточном случае для всего пространства и для ограниченных областей.

3. Получены априорные ^оценки нового вида в соболевских нормах как для нелинейных уравнений Шредингера, так и для разностных схем.

4. Доказана сходимость разностных схем для нелинейных уравнений Шредингера, без каких-либо ограничений на соотношение между шагами сетки в равномерных и соболевских нормах для задачи Коти и краевой задачи. Доказана устойчивость схемы.

5. Обоснована схема расщепления по так называемым физическим факторам. Доказана сходимость метода без каких-либо ограничений на соотношение меязду шагами сетки в равномерной » соболевских нормах. Доказана устойчивость схемы.

6. Доказана разрешимость краевых задач для нелинейных

уравнений Щредингара » соболевских пространствах при числе производных на пеньте двух с использованием схемы расщепления.

7. Решена практическая задача нелинейной оптики и проведено сравнение численных методов решения нелинейных уравнений Шредингера.

Теоретическая и практическая ценности. Теоретическая значимость работы заключается в той, что в ней разработан новый метод обоснования разностных методов решения нелинейных уравнений; получены новые мультипликативные сценки равномерной нормы функции через соболввские н^ р,..ы; получены априорные оценки иоаого вида; обоснованы разностные методы решения нелииейккх уравнений Шредингера. Эти результата необходимы для теории разностных методов, а также для решения задач, описываемых нелинейными уравнениями шредингеровского и параболического типов.

Апробация работа. Результаты работы докладывались в Международном математическом центре им. С.Банаха (Варшава, 1987, 1991); на УШ Всесоюзной конференции по когерентной н нелинейной оптике (г.Тбилиси. 1976); на II Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа '(г.Тбилиси, 1Ш9); на Всесоюзных школах молодых ученых (г Минск, 1978; г. Друскининкай, 1979); на Всесоюзных школах "Современные проблемы численного анализа" (г.Дили-жан, 1988, г.Ханков, 1990); на ХХ-ИХ1 конференциях Литовского математического общества, на Межреспубликанском семинаре "Дифференциальные уравнения и их применение (г. Вильнюс, 1988), на IX Белорусско-литовском научном семина-

ре "Лазеры и оптическая нелинейность" (г. Могилев, 1989), на семинарах факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководитель А.А.Самарский, руководитель Ю.Н. Карамзин); на. семинаре Вычислительного центра МГУ (руководитель Я.М.Жилейкин); на семинаре Института математики АН БССР г. Минск (руководитель В.Н.Абрашин); на, семинаре Киевского госуниверситета (руководитель В.Л.Макаров); на семинарах Института математики и информатики Литвы; на семинаре Вычислительной лаборатории Оксфордского университета г.Оксфорд (Англия); на семинарах Грайфсвальдского университета, г.Грайфсвальд (Германия) и Хемнитского технического университета г. Хемнитц (Германия); на семинарах Математического факультета Вильнюсского университета;.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 статьях.

*

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Текст диссертации изложен на 210 страницах, содержит библиографии из 166 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введе"ии изложено состояние проблем, исследуемых в диссертации, дана краткая характеристика работ, относящихся к ее тематике, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

Глава I. Первая глава посвящена получение новых мультипликативных оценок нормы функции в С через соболевские нормы ^ ,

При исследовании сеточных мато,гпо решения нелинейных задач часто используют оценку нормы функции в С через Ь^ При этом в оценку входит шаг сетки в степени - п. / % < п -размерность пространства). При небольших п. эта оценка дает возможность обосновать сходимость методов. Однако при этом часто возникают ограничения на соотношение между вагами сетки по эволюционной и пространственным переменным для неявных разностных схем, которые, если исходить из линейного анализа, не являются необходимыми.

В первой главе получены новые мультипликативные оценки нормы функции в ь через соболевские нормы . Они получены как в непрерывном, так и в дискретном случаях,для ограниченных областей и пространства Полученные оценки играют важную роль в обосновании разностных методов решения нелинейных уравнений. Они дают возможность доказать сходимость схем в равномерных кормах, снять ограничения на соотношение между тагами по эволюционной и пространственным переменным, а также ослабить условия на аппроксимацию. Полученные оценки в непрерывном случае можно использовать, для обоснования сходимости метода прямых.

В первом параграфе определены обозначения и введены вспомогательные соотношения.

Результаты второго параграфа посвящены мультипликативным оценкам нормы С функций, определенных на пространств-И а и сеточном пространстве И ^ с равномерным шагом А-по переменным Доказаны следующие утверздения..

Теорема. Для любой функции хл. 6 ( справед-

лива мультипликативная оценка

где и = ¡- ), I * 0,4,..., п-4,

в постоянная С зависит от постоянных теорем вложений ^Ю-И^О • числа изме-

рений.

Теорема. Для любой функции (Я £ ( справедлива мультипликативная оценка

»"-«■сс^И'^'С'Ге^^Чге;),

где оI - ЧI (п+4 - I) , I -0,4,п-{ , а постоянная С зависит от постоянной С из предыдущей теоремы и постоянной из теоремы о продолжении функции и. 6 й,п' с сохранением нормы в И^ (, В третьем параграфе доказаны аналогичные мультипликативные оценки для ограниченных областей как в непрерывном, так и в сеточном случаях. Граница области есть липшицева, В сеточном случае на границу области накладываются дополнительные условия, которые гарантируют справедливость теорем продолжения функций с сохранением класса в ( & ^ ) .

Эти оценки также справедливы для прямоугольных областей. Доказательство оценок основано на использовании теорем вложения Соболева, теорем продолжения с сохранением класса и их разностных аналогов.

При п-1 эти оценки совпадают с известными оценками

-1/1 -аз-

|| 0,11 * С || и, II ЦЫЦ *

^ '-5 ^ ». .

При С - О имеем

4/Гл-м) л/<а-Н) ||и,||г * |}а|1 ЦиЛ1,л

^ ^ .

Для многих методов доказывается сходимость в норме Ь% • Если удается доказать гладкость решения в ¡У^ , то из сходимости в и мультипликативной оценки вытекает схо-

димость в норме С .

Пусть £ - погрешность метода. Тогда из мультипликативной оценки следует

йен, * с пен. (»ьМ^+КРи!!,^

Х У

где Р - проекционный оператор на сетку

Л,

. Таким образом, благодаря мультипликативной оценке получаем сходимость в норме С . Если доказана сходимость в № » и

м/

гладкость в Уу^ , то из мультипликативной оценки следует сходимость в норме С5 . Кроме сходимости в равномэр-: ной норме мы одновременно получаем достаточно точную оценку разностного решения в равномерной норме через норму решения исходной дифференциальной задачи. Для использования полученных мультипликативных оценок необходима гладкость решения, к исследованию которой переходим во второй главе.

Вторая глава посвящена получению априорных оценок нового типа в V/ £ как для нелинейных уравнений Шредингера, так и для разности' •: схем. В ней рассматривается система нелинейных уравнений Шредингера

где А а В) » С - диагональные матрицы с действительными коэффициентами. Линейной заменой переменных исключаем частные производные первого порядкады/ЭЭСу" и член Си. . Заметим, что ввиду диагональности матриц А¡1 исследование системы принципиально не отличается от исследования одного уравнения. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать одно уравнение. Отметим такта, что во многих практически важных задачах фугосция р (ос) имеет полиномиальный вид.

Для нелинейных дифференциальных уравнений Шредингера {описывающих реальные задачи) обычно имеют место априорные оценки в норме Ь ^ , для некоторых задач в И/ ^ и, как правило, не существуют априорные оценки в Ил^ при ¿22. Отметим, что уравнения Шредингера (дата в линейном случае) имеют более узкий класс априорных оценок, чем уравнения параболического типа; не выполняется принцип максимума ( Ису-чхсЬД А . . 1

3 данной главе получены новые априорные оценки, которые полнее и глубже используют свойства решений'исходной дифференциальной задачи. Основное отличие новых оценок от классических состоит в том, что их постоянная зависит от равномерной нормы самого решения. Эти оценки указывают на связь гладкости решения в равномерной и соболевских нормах. Для разностных методов эти оценки в итоге дают возможность оценить ре пение разностной задачи в норме через

входные данные исходной дифференциальной задачи. При этом одной из данных является равномерная норма решения дифференциальной задачи. Априорные оценки вместе с мультипликативными сценками играют важную роль в разработанном методе

•обоснования разностных методов.

Полученные оценки имеют также самостоятельное значение для теории дифференциальных и разностных уравнений. Они позволяет исследовать разрешимость дифференциальных задач.

В первом параграфе рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения Юредингера в трехмерном случае

и,(о,ос) - c)J

где и_. - комплексноэначная функция. Предполагазтся, что существуют непрерывна частные производные относительно 1Л. порядка ¿ они ограничены неубывающей непрерывной функцией [Iи1), оператор

2 Л: ^

п ЭХ/За: - эллиптический. а

Через И7^ обозначим класс функций, определенных на X к2- , таких, что

"^Чи2)^' * 1(СС«сс&)<е~-

Сначала докажем теорему об априорной оценке для дифференциальной задачи. Исследование начинаем с трехмерного случая, так как, с одной стороны, здесь легче излагать основные моменты доказательства, а, с другой, этот случай выделяется тем, что, кроме теорем вложения соболевских пространств, необходимо использование мультипликативной оценки нормы функции в Ьр через Ь ср и ¡У^ . Справедлива следующая

Теорема. Пусть решение задачи (I) U. f ^ . Тогда справедлива оценка

11 alt) II

где величина С зависит от нормы решения II Uy II нор-

мы начальных данных ||Ц,(0)Ц ( ß 1) , длины отрезка интегрирования Т, постоянных теорем вложения.

Доказательство теоремы проводится с использованием метода Фурье, теоремы вложения. Эта теорема вскрывает свойства решения задачи, то есть связь норм решения в С (О- ) и

в wir*1).

Переходим к разностным аналогам априорных оценок. Вводим равномерные сетки с шагами Т по ~t и А- по ЗС* 1 . Рассматриваем двухслойную неявную схему, аппроксимирующую задачу Коши (1);

• 4 (<у) ' „ «ч = я + %(г*г),

^ J а)

in) (О*i ^

Il(o,X)=U fr), р> = <yj>-1 0,$.'

Предполагается, чтогкак и в дифференциальном случае, $(Р-> Р^ удовлетворяет аналогичным условиям гладкости и аппроксимирует j'(U) ,

Через WL ^ обозначим класс сеточных функций, опре-

— ' _ г

деленных на R^, таких, что

> '^сгй,)'"-

Справедлива следующая

Теорема. Пусть решение задачи (2) р & •

. да существует такая постоянная тс > о » что при Т < Т <з справедлива оценка

''^Чкг^'Чю,

где ьеличина С зависит от нормы решения II рИ^у^ >

нормы начальных данных || Ь{0) || ^ 1-1 (ог \ > длины отрезка

ТХ V к К '

, постоянных разностных аналогов теорем

вложения.

В дальнейшем в главе 3 будет доказано, что норму решения задачи (2) ¡1 р 1| £ (д^ можно заменить через норму решения исходной дифференциальной задачи (I) 11^-11

В итоге из последней теоремы следует априорная оценка раз-

С / £ \

нобтного решения р в норме ( Й к ) через исходные данные дифференциальной задачи (I).

Во втором параграфе обобщены результаты §1 на -

мерный случай (IX - число пространственных переменных). Досказаны априорные оценки для дифференциальной и разностной задач Коим. Различи» состоит в том, что постоянная С зависит не от норм решения или при а от норм |1 и-II 5 || р || ^ ( , где ^ -=[(п.—1)/23 , [•« 3 - целая часть числа. Как видно, при большей размерности пространства величина С в априорных оценках зависит от нормы частных производных решения.

В третьем параграфе исследуется двумерный случай. Он имеет принципиальное отличие от случая («->2 ), если для уравнения Шредингера (I) имеют место априорные оценки в \У,1 [ £ М • В этом случае величина С в априорюй оценке

2/ » К- '

не зависят от нормы решения Ц 1М1 > есть, имеем почта классическую оценку. Аналогичный результат справедлив в разностном случае (2), если имеется априорная оценка в

к

Четвертый параграф посвящен исследованию краевой задачи. Получены априорные оценки в нормах И/^ . Следует отметить, что наличие граничных условий требует более тонкого подхода, чем в случае задачи Коти; также опускаем смешанные частные производные второго порядка.

Вначале рассматривается разностная схема в прямоугольной области с нулевыми граничными условиями в трехмерном случае

р(0;ос) - сЛос), ос б Ль., ' Й)

о, а,ос) с й>ткЭЛ. к>

Вводится пространство сеточных функций И/д (Л^^чА), которое несколько отличается от пространства И'/ (Л. Основное свойство нормы заключается в том,

что для линейной схемы (без нелинейной части ^ ) справедливы априорные оценки через начальные данные для любого при достаточной гладкости решения. Эти нормы позволяют доказать априорные оценки нового типа. Справедлива

Теорема. Пусть решение задачи (3) \> £ №„ Тогда существует такая постоянная , что при т. « 7: е

справедлива оценка

1 б ¿Ьт ,

где величина С зависит от нормы решения Ир II »

нормы начальных данных |1 И^Л^Л^ да11™ отрезка интегрирования Т и постоянных теорем вложения.

Доказательство теоремы основано на использовании метода разделения переменных Фурье,разностных аналогах теорем вложения.

Дано обобщение этой теоремы на п + л - мерный случай. В дальнейшем показано, что эти оцепил дают возможность получить оценки разностного решения в норме через входные данные исходной дифференциальной задачи.

Пятый параграф посвящен получению априорных оценок для схемы расщепления по физическим факторам. Выпишем схему в трехмерном случав для задачи Ковш. Если вычислено приближенное решение на j -ом слое ¡> , то для вычисления решения иа -ом слое последовательно решаются задачи г (с')

1

'М

р* » о, Г < . Решением задачи при {: = является по определен»®

При о полагаем

Х(0,0С) = р(0,ос) - Ю<е>(ос) . Справедлива

Теорема. Пусть решет*? схемы расщепления (4) р £ и промежуточное решение • Тогда существует такая

постоянная 7Г¿>0 , что при т ? П:0 справедлива оценка

t t cu,

где величина С зависит от нормы решения Ц р ¡1^ ^ j, нормы промежуточного решения » нормы начальных данных 1| pío) || . длины отрезка интегрирования Т и постоянных теорем вложения.

Последняя оценка обобщается на -мерный случай.

В следующих теоремах получены оценки решения схемы расщепления для решения краевой задачи в трехмерном К ii^ -мерном случаях. Как и в §4, используются нормы (•Лк.о^Л),

Результаты второй главы справедливы для нелинейного уравнения параболического типа

2 а;. «it)

Йч JL aocj 3xL *

и для систем с диагональными матрицами. Справедливость аналогичных априорных оценок вытекает из того факта, что для линейного уравнения параболического типа и его разностного аналога справедливы априорные оценки в . Методика до-

казательства практически совпадает.

Глава третья посвящена обоснованию сходимости и устойчивости разностных схем для нелинейных уравнений Шредингера. Для обоснования-сходимости и устойчивости применяется новый

метод, основанный на использовании мультипликативных и ап-приорных оценок, доказанных в главах 1,2. Отметим, что результаты главы справедливы и для нелинейного уравнения (систем) параболического типа.

Основные этапы доказательства сходимости следующие: доказывается существование и единственность решения схемы на следующем слое ;

выводится грубая оценка решения в нормах ^ ^ и, пользуясь теоремой вложения И/д С'. в С 3 •

получаем грубую оценку погрешности в норме IV х ; из мультипликативной оценки и сходимости в норме И/^

л 5

получаем точную оценку разностного решения в норме О на следующем слое;

пользуясь априорной оценкой нового типа, получаем точную оценку решения в норме IV на следующем слое; получаем точную оценку погрешности в нормах . В первой параграфе исследуется сходимость разностной схемы для задачи Коми в трехмерном случае (2). Предполагается достаточная гладкость решения задачи (I) и условие аппроксимации функции £ функцией .

Теорема. Существуют такие постоянныеТв>0 к^Очто при т < , Я < /г0 существует единственное решение задачи Кош (2), сходящееся к решению дифференциальной задачи (I), и справедливы оценки

•4/3

НиНЛ-ИМ С»(К« \ < г Л

п СУ-С. У^х I к ^) ; ,

- 20 -

Ь £ сот ^ 1=51-2, 5 ? о,

Ф(Ь)- погрешность аппроксимации.

При доказательстве сходимости не возникает никаких ограничений на соотношение мевду шагами сбтки по эволюционной и пространственным переменным. Отметим также, что погрешность аппроксимации ФИ ) должна удовлетворять условию НФ^Пу^ Пр" и ^ ~ число непрерыв-

ных частных производных функций | и ^ , ограниченных непрерывной, неубывающей функцией .

В конце параграфа приводится пример задачи Коши, иллюстрирующей результаты параграфа.

Второй параграф посвящен обобщению результатов первого на >г + 4 -мерный случай. Доказана теорема о сходимости решения разностной задачи Коши к достаточно гладкому решению при достаточно малых шагах сетки и получены оценки скорости сходимости

^ал^Н.) сот ^з. I«п.; >

«•"«-^»с-с„;)«'( Г? "«"»'(о)

£ 6 <£ - $ о . I - 5 + п , >

В третьем параграфе исследуется двумерный случай. Указываются упрощения, которые возникают в связи с наличием априорных оценок в И/^ . Доказана сходимость схемы.

Четвертый параграф посвящен исследованию краевых задач в прямоугольных областях. Доказываются теоремы сходимости

схем. Метод доказательства в основной совпадает с методом, использованным в 51-53, Однако наличие граничных условий требует использования норм II # апл} ' ко~

торые дают возможность получать априорные оценки нового вида и тем самым сходимость схем.

В пятой параграфе исследуется сходимость схемы расцепления как для задачи Коши, так и для краевой задачи. Идея доказательства практически совпадает с идеей, используемой в 51-53. Однако, здесь требуются дополнительные исследования для оценки аппроксимации. Наличие априорной оценки дает возможность оценить со и тем самым обосновать схему расщепления.

Для задачи Коши в С1-М -мерном случае доказана теорема о сходимости решения схемы расщепления (4) к достаточно гладкому решению при достаточно малых шагах сетки и получены оценки скорости сходимости

Как и ранее, не накладывается никаких ограничений на соотношение между шагами сетки.

В конце параграфа доказывается сходимость схемы расщепления в случае краевой задачи.

Шестой параграф посвящен исследованию устойчивости схем по начальным данным, введенных в главе 2. Доказана

устойчивость схем в норме как для задачи Коши, так и для краевой задачи. Оценка устойчивости имеет вид

t е ¿^-г .

Постоянная С зависит от равномерной нормы решений исходных дифференциальных задач. При доказательстве устойчивости используется факт сходимости разностных схем. Он позволяет получить вышеупомянутую зависимость постоянной от исходных данных.

Отмечено, что результаты главы-справедливы для нелинейных уравнений параболического типа.

Четвертая глава посвящена исследованию разрешимости краевых задач для нелинейных уравнений Шредингера при числе пространственных переменных шЪ . Вначале рассматривается более общая модель. То есть, предполагается, что коэффициенты при производных второго порядка могут зависеть от пространственных переменных. В конце рассматривается модель с постоянными коэффициентами.

В первом параграфе дана постановка задачи, вводятся обозначения.

Второй параграф посвящен получению априорных оценок приближенного решения. Для получения приближенного решения пользуемся методой прямых с использованием схемы расщепления. Существование, единственность приближенного решения получаем методами, близкими к методам при исследовании разрешимости разностной схемы расщепления. Априорные оценки в нормах эквивалентных И^ получаем, пользуясь идея-

ми § 2.5 и вторым основным неравенством для эллиптических опемторов.

В третьем параграфе доказываем существование и единственность решения в норме И/я (Л) .

Доказана теорема о локальном существовании решениг краевой задачи

иИ) е ^Ш,

где дЛ - ограниченная область с достаточно гладкой границей.

Следует заметить, что если для решения краевой задачи справедливо соотношение, дающее априорную оценку в целом в норме И/д^^А) , то решение, доставляемое этой теоремой можно продолжить для любого Т >0 . Для многих практ! ески важных задач (при числе переменных ) удается получить априорную оценку в 11/^ , а, следовательно, доказать существование решения в целом.

Отметим также, что в общем случае нельзя доказать существование решения краевой задачи в целом, так как в ряде работ приведены примеры конкретных нелинейных уравнений и показано, что норма решения (Л ) стремится к бесконечности на конечном отрезке по эволюционной переменной t .

Четвертый параграф посвящен разрешимости нелинейных уравнений Шредингера с постоянными коэффициентами. Приведен пример.

Рассматривается случай с числом пространственных переменных не более трех. Приближенное решение строится с использованием метода расщепления. Доказана теорема о ло-

кальном существовании единственного решения краевой задачи ± ь Го.Т] , к-- 0,4,..., ЦЛ1

I

в прямоугольной области Л/ .

Справедливо также замечание о продолжении решения при наличии априорной оценки. В конце параграфа приведен конкретный пример системы четырех уравнений. Доказано существование решения в целом в двумерном случае.

Отмечено, что результаты главы справедливы для параболических уравнений.

В приложении проведено исследование конкретных ¡задач нелинейной оптики, которые описываются системами нелинейных уравнений Шредингера. Решались краевые задачи методом расщепления по физическим факторам.

Исследовано параметрическое усиление световых импульсов в нелинейных кристаллах в условиях групповой расстройки и дисперсионного расплывания. Показано, что дисперсионное расплывание сильно влияет на усиление. По мере увеличения роли дисперсионного расплывания насыщение усиления, вызванное групповой расстройкой, постепенно исчезает и возникает стационарный режим усиления, в условиях которого форла огибающей, длительность, положение вершины сигнального импульса не зависит от длины кристалла, а интенсивность растет экспоненциально с расстоянием.

В настоящее время большинство исследователей, занимающихся численным моделированием распространения оптического

излучения, используют метод расцепления по физическим факторам. Это связано с простотой реализации и экономией машинной памяти. В связи с этим является актуальным не только обоснование метода, но и сравнение его с другими методами по быстродействию. В работе Taha з.л. и Ablovitz M.J. било проведено сравнение семи методов на примере одной модельной задачи для нелинейного уравнения Шредингера

. I |J± = iiii + Z IUI1U . э Xs-

Были сравнены следующие методы! классический явный, комбинированная схема ( hopscotch )t неявно-явный метод, неявная схема Кранка-Николсона, схема Абловица-Ледика, метод пошагового расщепления Фурье, пзевдоспекгральный метод. В приложении были проведены расчеты схемы расщепления и симметрической схемы. В результате исследований проведена классификация методов. Наиболее быстрые методы можно классифицировать (в порядке возрастания времени счета); метод пошагового расщепления Фурье, метод расщепления, псевдоспектральный метод, глобальная схема Абловица-Ледика, симметрическая схема.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах:

I. Ипанаускас Ф.Ф. О разностных схемах для системы нелинейных уравнений параболического типа// Литовский матем. сборник.- 1977.- Т. 17, № 4. - С. 105-109.

. 2. Иванаускас Ф.Ф. Смешанная задача для нелинейной системы уравнений типа Шредингера// Литовский матем.сборник. - 1986.- Т. 26, № 2. - С. 259-270.

3. Иванаускас Ф.Ф. Метод суммарной аппроксимации для решения системы нелинейных уравнений шредингеровского типа// Литовский ыатем.сборник. - 1987,- Т. 27, * I. - С. 56-67.

4. Иванаускас Ф.Ф. Мьтод суммарной аппроксимации для решения системы нестационарных нелинейных уравнений шредингеровского типа в многомерном случае// Литовский матеи. сборник. - 1988. - Т. 28, № 2. - С. 285-298.

5. Иванаускас Ф.Ф. Метод расщепления для решения системы нестационарных нелинейных уравнений шредингеровского типа// Ж.вычисл; матеи. и матем.физ. - 1989. - Т. 29, № 12. - С. 1830-1838.

6. Иванаускас Ф.5. Разностные схемы для нелинейных уравнений шредингеровского типа// ДАН СССР. - 1990. - Т. 314, № I. - С. 55-58.

7. Иванаускас Метод расщепления для решения систем нелинейных эволюционных уравнений// Литовский матем. сборник. - 1990. - Т. 30, » I. - С. 31-43.

8. Иванаускас Й.Ф Разностные схемы для нелинейных уравнений иредингеровского и параболического типов // Литовский матем.сборник. - 1990. - Т. 30, №2. - С. 243-260.

9. Иванаускас Ф.Ф 0 существовании решений систем нелинейных уравнений иредингеровского и параболического типов // Литовский матем.сборник. - 1990. - Т. 30, № 3,-С. 513-524.

10. Иванаускас Мультипликативная сценка нормы •функции в С через нормы в , ^ и сходимость разностных методов для нелинейных эволюционных уравнений // Литовский матем.сборник. - 199Г. - Т. 31, №2. - С. 311-322.

11. Иванаускас $ Ф. Сходимость и устойчивость разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа // Литовский иатеп.сборник. - 1991. - Т. 31, № 4. - С. 606-621.

12. Домаркас А.Л., Иванаускас О существовании решений нелинейных уравнений типа Шредингера // Литовский матем.сборник.- 1987. - Т. 27, № 3. -С. 466-480.

13. Домаркас А.Л., Иванаускас Ф.Ф. О существовании решений системы нелинейных уравнений Шредингера // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, Л» 7. - С. 11371147.

14. Василяускас В., Иванаускас Ф., Стабинис А. Метод суммарной аплрсксгуацгн с использованием быстрого преобразования Фурье для расчетов трехчастотного взаимодействия электромагнитных волн в нелинейной среде // Литовский матем.сборник. - 1986. - Т. 26, № 7. - С. 27-37.

15. Василяускас В.Л., Иванаускас Ф.Ф., Стабинис А. Стационарное параметрическое усиление расплывающихся световых импульсов в условиях групповой расстройки // Квантовая электроника - 1986. - Т 13, № 4. - С. 833-836..