Численные решения задач оптимального управления квантовомеханическими системами типа Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

СИЛЛЛ НЛБИ

УДК-Я ). в?

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМЛ.) ЬИОГО УПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВОМЕХАНИЧГ 'ИМИ СИСТЕМАМИ ТИПА ШРЕДИН' \

Специальность 01.01.07 — Вычислитель математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\

Баку — 1991

Диссертация выполнена на кафедре оптимизации и управления Бакинского государственного университета им. М. А. Расулзадс.

член-корр. АН Азербайджана, доктор физико-математических наук, профессор Я. Дж. МАМЕДОВ,

доктор физико-математических наук К. Р. АЙДА-ЗАДЕ.

Ведущее учреждение — Азербайджанский индустриальный университет им. М. Азизбекова.

Защита состоится .» . . . . . 1991 г. в 19 . час.

на заседании специализированного совета К004.21.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте кибернетики АН Азербайджана по адресу: 370141, г. Баку, ул. Ф. Агаева, квартал 553, дом 9.

Отзывы на автореферат просим высылать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики АН Азербайджана.

Научные руководители:

доктор физико-математических паук, профессор А. Д. ИСКЕНДЕРОВ,

кандидат физико-математических наук Г. Я. ЯГУБОВ.

Официальные оппоненты:

Автореферат разослан

1991 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, кандидат физико-математических старший научный сотрудник

БАГИРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в теории оптимального управления с распределенными параметрами особое место занимают задачи оптимального управлений для ктантовомеханичоских систем, описываемых уравнениями квантовой механики, например, уравнением Шредингера, когда управление входит в коэффициенты этих уравнений. 'Гакио задачи часто возникают в ядерной физике и в других областях современной физики. Ряд задач такого типа изучены в работах А.Г.Бутковсгсого, Ю.И.СамоДлеяко, А.Д.Искен-дерова, Г.Я.Ягуйова, Динь Ньо Хао и др.

Современное развитие наука во всех направлениях тесно связано с использованием ЭШ и позволило от простейших расчетов и оценок различиях процессов перейти к детальному математическому моделировании, в основе' которого лежат численные методы. Поэтому одним из важных вопросов теории оптимального управления является исследование вопроса численного решения рассматриваемых задач. Вопросы численного решения задач оптимального управления для линейного и нелинейного уравнения Шредингера исследованы в работах Потапова M.U., Разгуляна A.B., ШамеевоЙ ТХ. а вр.. В работах Ягуйова Г.Я. изучены вопросы численного решения задач оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера, когда управление входит в коэффициент этого уравнения. В целом ¡опросы численного решения задач оптимального управления для квап-говомехапических систем типа Шредингера весьма мало изучены.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию вопро-;ов численного решения за^ач оптимального управления кваитовоме-иническими системами, описываемыми уравнение.. Шредингера, когда 'правление входит в коэффициент этого уравнения. Рассмотренные |десь задачи отличаются от ранее изученных. Всюду в работе

критерий качества ыишется финальным или ка интегралом по границе области. О дальняя глава работы посвящена исследованию корректности постановки задачи оптимального управления дат уравнения Шредингера с интегральным критерием качества по границе области.

Цель работн. Исследование вопросов корректности и численного решения задачи оптимального управления дая лина&шго уравнения Шредингера с управлением в коэффициенте уравнения. Критерий глчества является финальным или интегралом ао границе области.

Методы исследования. В работе применяются методы вычислительной математики, теории оптимального управления и функционального. анализа, математической физики.

На-учная новизна.

- Установлено существование решения задачи оптимального управления дая линейного уравнения Шредингера с интегральным критэрием качества по границе области, когда управление входит в коэффициент.данного уравнения и оно зависит от пространственной переменной и времени.

- Доказано необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства.

- Получены оценки рвиеняя второй краевой задачи для уравнения Шредингера.

- Установлены оценки скорости оходимосга разностных аппроксимаций, доказана сходимость разностных аппроксимаций по функционалу.

-Разработаны алгоритм и программа решения задача оптимального управления для уравнения Шредингера с интегральный критерием качества но границе области.

Теоретическая и практическая ценное^. Полученные в рабо-

та результаты могут быть применены для идентификации квантовых и других процэосов, встречащихся я разных о (Зла с тяг современной физики, а такгэ для численного исследования этих процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклаыз-вались на счгашарах кафедр оптимизации и управления (под руководством профессора Искепдерова А.Д.), вычислительной математики (под руководством профессора Мамедова Я.Д.), института Кибернетики АН Азерб.ССР и га XI к ХП республиканских конфвреяци-ях аспирантов ВУЗов Аз.эрсайдаана (г.Баку) 1988 и 1989 гг.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трах глав, приложения, библиографии из 80 наименований. Объем работы 169 страниц. Первая глава состоит из трех, вторая и третья из двух параграфов.

Публикации:- Основное содержание диссертации опубликовано в работах /1-37.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЯ

В списке обозначений приводятся основные обозначения и определяются основные функциональные пространства, которыа часто используются в работе.

Во введении дазтся краткий обзор работ, пришкзщкх к теме диссертации, обосновывается актуальность тсчн и излагается краткое содержание диссертации.

Первая глаЕа работы посвящена вопросам корректности постановки задачи оптимального управления Ирединхера с интегральным критерием качеотва по границе области.

Пусть 2, Т>0 - заданные числа, 7*) ,

множество V35 {Ь : Ь- « , Ь6 ,

« НхЛ) < 8,, . • Символ V будет озна-

чать "при почти всех".

В § I первой главы рассматривается задача о минимизации функционала

г г

о о

на множества I/ при условиях

<а>

dz

dV

Х=0 Зх

а,г), (з)

где

а0. сер. л, . ctg+Xf Фо » 4, ■ Bf '4 -

заданные числа. $0 , ffGWj(0,74 f? <f>(x)

Еодаяшэ функции.

Задачу otf опраделэняв ф-jurmti lj>- 1}>(x,i} Ъ-) из условий (2), (3) при заданном 2-е 1/ будем називать радувдротнной а дачей.

Определение. Под обобщэ-шым решением редуцированно^ задачи понимается функция \p(x,t) из пространства Vj^i-Q) , удовлетворяющая интегральному товдеетву

ß е

= Jf(*>i)fckcH +i 1щщ(х,0)с1х (4)

S2 О

ДЛЯ Л000Й функции ^i^d) ИЗ Wi " =0 .

где £ есть комплексное сопряжение £ .

• ск. O.A. Ладахепскал Краевые задачи матетатичьской физики, -Ы Наука, i\}73.

Редуцированная задача в рассматриваемой.постановке не изучена.Поэтому при изучении корректности этой задачи доказаны:

Теорема I. Пусть <= к '6 .

Тогда существует единственное решение редуцированной задачи (2), (3) ",э пространства У^ (¿2) . Прг этом для этого решетя верна оценка:

где > 0 - постоянная, не зависящая от и

ЬСШША. Пусть <р & \ы1(ол), -

Тогда решение редуцированной задачи из пространства

\/'-0Ш) принадлежат пространству ' '(Я.) к тя него верна опенка:

при любом . где С2>0 - постоянная, не завися-

щая ОТ (р и / .

В § 2 первой главк доказано сущеотвованио решения задачи опглшгьного управления. Кромэ юг-о. исследована дифуеранцируе-мость по Гаю критерия качества и получено необходимое условие олтимальлосхи для решения задачи ог.тш.шького управления а виде ьаг иагдмит-о пералзг.отва.

3 § 3 первой глаьн по.хуп'эьн ош нки решения второй адовой

1,ся 7{«янояия Иредннгора • ;.:•! • К>5ов гхдааа даяпшс. 1'ссс(цл ело*?. узости п:и ч 1!ич«1 1<о);олсаи кояочио-рззвоотаоЯ

аппроксимации задача оптимального управления для уравнения Шредингера о интегральным критерием качества по границе области.

В § I этой главы рассматривается следующая задача оптимального управления:

Требуется минимизировать функционал и) на множестве

< . при условиях

¡Ор

дЬ

д*ф

(7)

1р(х,в) = у(х)} ле (о, О,

дФ_ дх

дЧ>

х=о дя

■ОМа>Т)> (8)

где М I— 2) - заданная функция. удовлетворяющая ус-

ловиям Л!£А ~

1Яге

Для изучения конечно-разностной аппроксимации рассматриваемых задач введеиы следующие последовательности сеток:

{ Ц; 4)Л > «= иг,...,^ оГМа , * « ^ где

и следующие обозначение:

'¿7 V с к

«ж (ч ,

-£-= О*. > -Т.-~

-----_ Ав.

При каждом натуральном 1 Уу I рассматривается задача о МИ1ШМИЗОЦИИ функции.

N

4«.)-V 21 <•>

1 К~Т

на множестве ]/п = *Мш,) ,

на решениях

[ ^ 3 /2 — ((^'/<)сг (у'кС^й)) следующей разностной схемы:

+ «А*¿-Ш.к^йН (10)

^=^ у=мь 4 ^=4 /ж (ш

да: У'^2 _

Ъ-Ш- . ■ (12)

и

Л*=I 5 -4/, /г - т

11А'-Г

В этом параграфе сперва устанавливается оценка устойчиьос-и для решения разностной схемы (10), (II). При этом доказана: Теорема 3. Для решения разностной схемы (10), (II) верна

1!9нга: М «-Г

4=0 с а

М М~ {

<съ(А23Ы* +

¿»о е у-2 о / (13)

где С3 >0 - постоянная, нэ зависящая от к и Т .

Далее в этом параграфе устанавливается оценка погрешност разностных аппроксимаций• С этой целью введены уоредншшя реи ния редуцированной задачи (7), (8) в виде:

МАЦ*)*** Ф/к={-1 ЩкЪУЬ+иП. "

> ь^] (И

о ¿-к

Определяя оператор 0.ц в виде: • ,

рассмотрена следувдая система:

+ ^ - « , у« ЩП, (15

4 -А о7, (10

гдо ' ■

<У

^ Яу^Л/г

—г— I I Ъ(х)[р(хА)с/хсИ,1*ЦГ1, к = (17)

Тео2.ема4.. Пусть . Ш» С., С>0

и V . Г

некоторые посгоян'-гае, не зависание от Л л "С . "огда для решения система (15), (16) верна оценка:

М М-Г

, (18)

где С^ >0 - постоянная, нэ зависящая от А л V .

Теорема 4 используется для доказательства сходамостг разностных аппроксимаций пс функционалу. С этой целы) доказана следующая теорема:

Теорема 5. Пусть 8-6 V, ГЗ-Здё и выполнены условия теорош 4. Тогда верна оценка:

Уг цо)

где С^>0 ~ постоянная, не зависящая от ¡1 и % . Далее доказаны сла^уящяе дне вспомогателлгю лоют:

где .

/г хГк'г

л ^ь'^аяьекп ус'оггл тгерстл.? 5.

тогда справедливо соотношение:

Ш-1п(ап(Щ<с$(1/^ (20)

где О - постоянная, не зависящая чт к иг*.

Деглма 2. Пусть й £ некоторое дискретное управление н ^устъ оператор Рй на Мц определяется следующим образом:

и выполнены условия теоремы о. Тогда шкет место оценка

(21)

тдо СуУО - постоянная, не зависящая от .к и Г

Используя теорему 5 и эти дае леммы доказана теорема. ука-знваюй^я оценку скорости лхздамости разностнш. аппроксимаций по функционалу:

Те орет 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и леммы I, 2. Кроме того, пусть V есть решение задачи оптимального

упраглепик (I). (7' , (8) и «7*. есть шшта грань функцдстала ^{Ь) на I/ . а £ есть рзвкние дискретной задачи огпфмрльного управтения (9)-<П) и есть шшшя грань '¡-У!1К"тп /^([Йд) на . Тогда имеет место следующая ог.вкка:

+УГ), я =

',22)

где С £ >0 - постоянная, не зависящая от А и С

Во втором параграфа этой главы изучены вопросы конечно-разностной аппроксимации задачи оптимального управления для уравнения Вредингера, когда управление залисит только от вро-мешг ь . В этом случае получены аналоги результатов первого параграфа.

Третья глава работы посвящена вопросам конечно-разностной остроясимации задачи оптимального управления дм уравнения 1Лредлпгера с Финальным критерием. качества.

В § X зтоЗ главы рассматривается задача: Требуется иштшзировать Функционал

,2

е

'"(:-) ГI Щх,Г) - №) ] с/х (23)

о

пп могмсгва

<б) 5 У;Г€ (О, ¿) ] 1три условиях (7). (8) , ■'Л* 1,7. е., . 8} . О, УЗ - заданные числа, ¿/е IV'(<?,£)

,}гпЧлЛ ...............г____________________39

- эеданхдо <!уяоттк,

— 0.

¡5=,? ЗД

Пра ¡'ая-лоа II > I расалггршл задачу о мигикииашт ■ 'ушсгспг:

у-? *

на пасзоогае : Ып .....

к8{, 1, М-! ла рогаегшях [ Ф}:, == (ф^ )

разностной суега (10), (II),

- и -

1ДВ Я/ +к/г

' А ^

В этом параграфе доказана следующая теорема, устанавливающая оценку устоДчивооуи для решения разностной схемы (10), (II): Теорема 7. Для решения разностной схемы (10), II) при верна оценка: М-1 М-1 __

кЦ&Щ/^в (25)

где Зд'УО - постоянная, не зависящая от А и Г

Далее установлена оценка погрешности аппроксимации. С этой целью введены усреднения решения в виде С^Зд. »* {р^'к) • тае

Определяя оператор ь и-аком го виде, как и в

§ I второй главы, рассмотрена система (15), (16), где

/ $АУЧгг.дФ ^ Л) 7

к

Теорема 8. Пусть выполнена условия - Си , где

О у) . С^ уо - некоторые постоянные, не зависящие от Н и Г . Тогда для ранения системы (15). (16) верна оценка:

М-1

112< ^(ад-м,!!2*. дД*» - щ«=а..,(2б)

где С(¿>О - постоянная, пе зависящая от А и С , а

Теорема 8 используется для доказательства теоремы о сходимости разностных аппроксимаций по функционалу. С этс'1 целью доказана:

Теорема 9. Пусть выполнены .условия тэореш 8. Тогда даш ¿■в V и ГМЙ€ Уп имеет место оценка:

2,

где У О - постоянная, но зависящая от А и X .

Далее используя теорему 9 н ряд вспомогательных лемм, устанавливается оценка сходимости разносгних аппроксимаций по функционалу в лиде:

где С/4 У О - постоянная, на зависящая от к л "С .

>7*. и /д* есть нгпнге грани функтпоняга на V и

функции (Ш д) на соответственно.

Во втором параграфе этой глага-' изучали вопросы конечно-разностной аппроксимации задачи оптимального управления уравнения Шредшггсра прт более гладких данных, когда управление записи? только от времени. В этом случав предвдуютв результата

усилены.

Пусть требуется минимизировать функционал (23) на множестве

Уз(г., «й.а-е №2'йт), о<$^иЬ<е1,

при условиях:

1Л йе» Я.

(29)

дц> Их

дф

Х.г=0 ИХ \х-е

=о,Н(о,т), (30)

где <р{х) е (¿i - заданная функцая, удовлетворяющая условиям:

• № ОФ

дЧ> дх

Х=0

дх

Xstf

Для изучения конечно-разностной аппроксимации задачи (23). (29). (30) при каждом натуральном У1 > 1 , рассмотрена зада-га о минимизации функции (24) на ынокеотве

Ув{[*]й.Мд Ъ*)*0<6,<Ьк<^>

I к-ьй]

яа решешшх [Ф]л (^(ГМд)) следующей разностной

схемы:

«

Ф/к h J'Wb (31)

В этом параграфе, как и в предыдущем сперва устанавливается оценка устойчивости для реиения разностной схемы (31). (32) в ввде ""25).

Далее в этом параграфе устанавливается оценка погрешности равное гной аппроксимации. Дня этчго введены усреднения решения задачи (29). (30) в вида; = • ^ опре-

деляются формулами вида (14) при Ь- !г(ё) .

Определяя оператор в вццэ

где

/ ** —

— I

(33)

рассмотрена еяедувдая система: вде = <Р/К - ^ К

(34)

(35)

7<

{ -¿К Ъ+Ь/г

- ] ] Ш) ШЬсЬсМ, ЦГи к

■¿КЧ

Теорема 10. Пусть «Су^ .где С^.С'^уо ~

юноториь постоянные, не зависшее от ¡1 иг". Тогда дчя ре-шиия системы (31), (35) справедлива оценка:

M-t

ttl—TOW, n—ljZ,.... где >0 -постоянная, не зависящая от k и T .

Далее с помощью теоремы 10 и ряд вспомогательных лемм доказывается оценка скорости сходимости по функционалу в виде

1* = (37)

где С/2 >0 - постоянная, не зависящая от k и Г

В приложении приводятся алгоритм и программа численного решения задачи оптимального управления (1)-(3).

Автор выражает тлубокуа благодарность своим научным руководителям проф. Искевдерову А.Д. за постановку задач и постоянную заботу л кандидату физико-математических наук Ягубову Г .Я. за помощь и внимание.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: I. Наби Сияла. Численное решение одной задачи оптимального управления для уравнения Шредиягера // {Материалы XI республиканской научной конферендии аспирантов вузов Азербайджана. -Баку. 1988. - 0.58. 2..Наби Стала. О задаче оптимального управления для линейного

уравнения Шредингера И В сб.: Иатеы. ыодел. и авт. системы. . - Баку, изд. Бакинск. ун-та. - 1990. - С.36-42. 3. Наби Силла. Скорость сходимости разноотных аппроксимаций задача оптимального управления для линейного уравнения Шредин-■ гера /> Деп. в АзШИНТИ. - й 1624. - 1991. - 17 с.

Зак. 3-i 6 Тир.

/¿¡О

Печ. лип

¿¿Чип ДзИУ им. М. Азн:<беьои<1, Баку—ГСП, просискт Ленина, 20.