Развитие метода асимптотической оптимизации динамических систем на основе скоростного градиента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Ананьевский Михаил Сергеевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА

Специальность 01 01 09 — Дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2007 г

003 150825

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель- доктор технических наук,

профессор Фрадков Александр Львович Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор Петров Николай Николаевич кандидат физико-математических наук, У тина Наталья Валерьевна Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет информационных технологий, механики и оптики (СПбГУИТМО)

Защита состоится «Ж« О/й.Ья^Д 2007 г в (Л часов на заседании диссертационного совета Д 212 232 29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Петродворец, Университетский пр , д 28, математико-механический факультет

Защита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении математического института им Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д 27, ауд 311

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб, 7/9

Автореферат разослан I ^р.-К2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 232 29 доктор физ -мат наук, профессор

В. М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные задачи теории управления динамическими системами характеризуются нелинейностью математической модели объекта управления, неопределенностью характеристик объекта управления и внешних воздействий, сложностью задания цели управления, наличием ограничений на фазовые переменные и управление Необходимость решения подобных задач определяется приложениями к управлению сложными физическими и техническими системами, в том числе молекулярными и квантовомеханиче-скими системами, в нанотехнологиях и тд Повышение требований к качеству синтезируемых систем управления диктует необходимость разработки методов управления, обеспечивающих системам оптимальность в том или ином смысле Методы решения задач управления нелинейными системами разработаны в трудах Н Н Красовского, А В Куржанского, Л С Понтрягина, А С Матвеева, Ю И Неймарка, Е С Пятницкого, А Л Фрадкова, Ф Л Черноусько, В А Якубовича, а также в трудах зарубежных ученых П Кокотовича, X Ха-лила, М Крстича, А Исидори, X Наймейера, Ван дер Скафта и др

Однако некоторые задачи управления системами на многообразиях и при наличии фазовых ограничений, встречающиеся при управлении механическими и квантовомеханическими системами, остаются нерешенными Их решение представлено в диссертационной работе

Целью работы является разработка и исследование методов управления нелинейными динамическими системами, связанными с асимптотической оптимизацией заданной целевой функции состояния систем

Методы исследований включают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в том числе метод функций Ляпунова В качестве основы для решения рассмотренных задач используется метод скоростного градиента, предложенный в 1979 г А Л Фрад-ковым

Научную новизну работы составляют следующие результаты 1 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации целевой

функции для нелинейных динамических систем на многообразиях

2 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации целевой функции нелинейной динамической системы с фазовыми ограничениями

3 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем

4 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем при наличии фазовых ограничений

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты распространяют метод скоростного градиента на системы, заданные на многообразиях и при наличии фазовых ограничений, разработанный ранее для задач нелинейного и адаптивного управления для систем в евклидовых пространствах без ограничений Получены новые условия достижения цели управления в замкнутых системах для всех рассмотренных классов задач Теоретические результаты диссертации применены к математическому исследованию практических задач селективного управления системой маятников, управления энергией двухатомных молекул (HF, J2), разделения изотопов в молекулах водорода (Яг), локализации волнового пакета молекулы HCl

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики, 1-й и 2-й международных конференциях 'Physics and control" (Санкт-Петербург, 2003, 2005), 10-й и 11-й международных олимпиадах студентов и аспирантов по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2004, 2006), У1П и К международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2005, 2007), 2-й международной конференции "Frontiers of nonlinear physics" (Нижний Новгород, 2004), 3 й Всероссийской конференции "Управление и информационные технологии" (Санкт-Петербург, 2005), 16-м Всемирном конгрессе по автоматическому управлению (Прага, 2005), 6-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005), 6-й Крымской осенней математической школе (Крым, 2005), 5-й меж-

дународной конференции "System identification and control problems" (Москва, 2006), 5-й Европейской молодежной школе по управлению и информационным технологиям (Таллинн, 2006), Европейской конференции по моделированию (Бонн, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), 5-й Российско-Шведской конференции по управлению (Лунд, 2006)

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [118] Работы [1-3] являются публикациями в изданиях из перечня ВАК

В работе [1], написанной в соавторстве с Фрадковым A JI, Фрадкову A JI принадлежит постановка задачи, а Ананьевскому М С принадлежат алгоритм управления, аналитические условия достижения цели управления, численное исследование динамики замкнутой системы

В работе [8], написанной в соавторстве с Ефимовым А А , Ефимову А А принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики классической системы, а Ананьевскому М С принадлежат алгоритм управления, аналитические условия достижения цели управления и численное исследование динамики квантовомеханической системы

В работах [7, 10, 13, 16], написанных в соавторстве с Фрадковым A JI и Ефимовым А А , Фрадкову A JI принадлежит постановка задачи, Ефимову А А принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики классической системы, а Ананьевскому М С принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики квантовомеханической системы

В работе [4], написанной в соавторстве с Фрадковым A JI, Кривцовым А М и Ефимовым А А , Фрадкову A JI принадлежит постановка задачи, Ефимову А А и Кривцову А М принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики классической системы, а Ананьевскому М С принадлежит численное исследование динамики квантовомеханической системы

В работе (11], написанной в соавторстве с Ветчинкиным А С , Саркисо-

вым О М , Уманским С Я , Фрадковым A JI, Зотовым Ю А , Ананьевско-му М С принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики квантовомеханической модели молекулы йода для случая, когда молекула не переходит в возбужденное состояние, Зотову Ю А принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики квантовомеханической модели молекулы йода для случая, когда молекула переходит в возбужденное состояние, остальным соавторам принадлежит постановка задачи

В работе [17], написанной в соавторстве с Ефимовым А А , Ворондо Ф , Бенито Р М , Фрадковым A JL, Якубовичем Д В , Ефимову А А принадлежат алгоритм управления и численное исследование динамики классической системы, Ананьевскому М С принадлежит численное исследование динамики квантовомеханической системы, остальным соавторам принадлежит постановка задачи

Структура и объем работы. Диссертация объемом 90 страниц состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (191 наименование)

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание работы по главам

В первой главе дается обзор методов управления нелинейными системами, а также дается анализ их приложений в задачах управления физическими системами Особое внимание уделяется задачам управления квантовомехани-ческими системами, в последнее время приобретающими значительную актуальность в связи с развитием лазерной техники и нанотехнологий

Во второй, главе изложены основные результаты работы Приводятся вспомогательные результаты, необходимые для изложения, и дается математическая постановка задачи диссертации

Рассматривается модель управляемого объекта в виде дифференциальных уравнений состояния

doc

— = F(x, и), xeSl, ие Е„, (1)

где х — вектор состояния, П — гладкое многообразие в евклидовом или унитарном пространстве, и — вектор управления (настраиваемых параметров), векторное пространство Е„ является евклидовым или унитарным

Считается заданной непрерывная функция <2(а;) Под задачей асимптотической оптимизации функции <5(ж) понимается задача нахождения закона управления в виде обратной связи

и = Щх), (2)

обеспечивающего в замкнутой системе (1), (2) неограниченную продолжимость решений и выполнение следующей цели управления

Ига д(*(«)) = т! Я{х) (3)

В работах Фрадкова А Л (Фрадков А Л Схема скоростного градиента и ее применения в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика, N9, 1979, с 90-101, Фрадков А Л Адаптивное управление в сложных системах М Наука, 1990) для решения задачи был разработан метод скоростного градиента было предложено выбирать закон управления (2) в виде

и= ТУиСРд(х) (4)

(конечная форма), или в виде

^ = -Т7ыСрЯ{Х) (5)

(дифференциальная форма), где Г = Г* > 0 — матрица коэффициентов усиления (параметр алгоритма), Ср(2(ж) = — производная функции <5(х) вдоль векторного поля .Р, У„ — градиент по и1

Разделы 2 1 и 2 2 носят вспомогательный характер В разделе 2 1 приводятся вспомогательные результаты теоремы существования, продолжимости и устойчивости по Лагранжу для замкнутых систем вида (1), (2) В разделе 2 2 приведены две теоремы Фрадкова А Л о методе скоростного градиента

1В частном случай, когда система (1) имеет вид 27 — и алгоритм (4) превращается в классический алгоритм градиентного спуска

В разделе 2 3 предложено обобщение метода скоростного градиента для задачи асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем, заданных на гладких многообразиях Для синтезированной системы получены достаточные условия корректности задачи Коши на полубесконечном интервале и устойчивости по Лагранжу

Рассматриваются целевые функции, удовлетворяющие условиям Q1 функция Q(x) имеет полную производную, а функция ~$:F(x, и) является

дифференцируемой по и, QS функция Q(x) неотрицательна; Q3 для любого у > 0 множество у}) компактно

Для алгоритма управления в дифференциальной форме (5) доказаны следующие утверждения

Теорема 1. Пусть выполнены предположения

1 П есть многообразие класса Ст м m > 2,

2 векторное поле F локально удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных (х, и),

3 векторное поле и) локально удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных (х,и),

4 функция V{x, и) = Q(x) + \uTT~ lu относительно рассматриваемой системы (1), (5) обладает свойством невозвратности -^V(x(t)) ^ О

Если хо е il, uo 6 Ец, to 6 Ж определяют начальное условие, то найдется открытый интервал прямой R (i0 — а, +оо), а > 0, в котором существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения, соответствующее этому условию, которое нельзя продолжить до точки t0 — a В интервале, содержащем to, не может существовать более одного решения, принимающего заданное значение в t0 Если F(x,u) и Vn^F(x,u) принадлежат классу Ср (р ^ т), то решение принадлежит классу Ср+1

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1, то все решения системы (1), (5) устойчивы по Лагранжу

Для алгоритма управления в конечной форме (4) сформулированы и до-

казаны аналогичные утверждения Достаточные условия выполнения цели управления сформулированы и доказаны в разделе 2 4 для более общей задачи В разделе 2 4 предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем, заданных на многообразиях, при наличии фазовых ограничений вида

В(х(г)) >0, í ^ *о, афо) е (6)

Здесь По — множество возможных начальных состояний, (ро,%о) — начальное условие, функция В(х), заданная на множестве С П, обладает следующими свойствами

В1 функция В(х) умеет полную производную, а функция и) является

дифференцируемой по и, В2. функция В(х) неотрицательна и строго больше нуля на множестве возможных начальных состояний процесса (В(х) > 0, х € íloJ По аналогии с методом штрафных функций (Поляк В Т Введение в оптимизацию М Наука, 1983 ) и методом внутренней точки (Фиакко А , Мак-Кормик Г Нелинейное программирование, методы последовательной безусловной минимизации М Мир, 1972 ) предлагается перейти от задачи условной минимизации целевой функции (¿(х) к задаче безусловной минимизации следующей вспомогательной функции

У(х) = Я(х) + *г~у (7)

где а > 0 — параметр, в дальнейшем называемый множителем Лагранжа (по аналогии с методом штрафных функций) Удобно ввести обозначение

Ц*,.) = ±У(х) = - *<«,«) (8)

Предлагается использовать следующий алгоритм для задачи управления (3) с фазовыми ограничениями (6) В дифференциальной форме алгоритм скоростного градиента имеет вид

^ = ГУиги(х,и), м0 6 Е„, (9)

где Г = Гт > 0 — симметричная положительно определенная матрица (коэффициент усиления), а«о - некоторое начальное (опорное) значение управления В конечной форме алгоритм скоростного градиента задает функцию управления как решение алгебраического уравнения

и(1) = -Гф(ха),и(1)), (10)

где 7 > 0 — коэффициент усиления, а функция ф( ) удовлетворяет условию псевдоградиентности ф(х, и)т^иш(х, и) > 0

Для алгоритма скоростного градиента в конечной форме (10) установлен следующий результат о выполнении ослабленной цели управления Теорема 2. Пусть выполнены предположения

1 Их есть многообразие класса Ст ига>2,

2 векторное поле Р локально удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных (х, и),

3 для любых 7 > 0, а; € й, существует решение и — к(х) уравнения и = —тф(х, и), причем функция к(х) локально удовлетворяет условию Липшица,

4 функЦия ■ш(х,и) выпукла по и, те ги(х, и') — ги(х, и) ^ (и' — и)гУ„го(ж,м) выполнено для всех и, и' 6 Е„, х €

5 существует непрерывная функция и,() Пх —► Е„ и строго возрастающая непрерывная функция р{х) такая, что р(0) — 0, и неравенство ии(х,и,(х)) < — р(х) выполнено для всехх £ Ях,

6 неравенство ф(х,и)ТУиии(х,и) ^ /3\\УиУ1(х, и)|| выполнено при некотором ¡3 > 0 для любых х е С1Х, и 6 Ец, £ > Ьо

Тогда, если Яо € ¿о € К определяют начальное условие, то найдется такое 7, что при 7 > 7, решение системы (1), (10), соответствующее этому условию, является устойчивым по Лагранжу, вдоль него фазовые ограничения (6) выполнены и оно асимптотически стремится к максимальному инварианту множества р~1(0)

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 2 и на множестве

/>_1(0) целевая функция <3(х) достигает своего минимального значения, то алгоритм управления (10) обеспечивает одновременное выполнение цели управления (3) и фазовых ограничений (6)

Для алгоритма управления в дифференциальной форме (9) сформулированы и доказаны аналогичные утверждения

В разделах 2 5, 2 6 приводятся результаты асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем, описываемых конечномерным уравнением Шредингера

Рассматривается несколько квантовомеханических систем, динамика которых описывается конечномерными уравнениями Шредингера с управлением

гНфп = Нпфп + иБпфп, фпеС, ||<М = 1, п = 1. (П)

где г = у/—1, К — постоянная Планка2, N — число рассматриваемых систем, и — вещественнозначная функция управления, управляющее воздействие одинаково для всех систем Для тг-й системы, п = 1, , N Нп — самосопряженный оператор полной энергии невозмущенной системы, 5Л — самосопряженный оператор, фп — фазовый вектор системы

Ставится следующая задача управления для известных начальных данных Найти функцию и(Ь), обеспечивающую выполнение условий.

Ьт ФЖ)гпфп(*) = 9п, (12)

Ь—»-г со

тп < ф*п{1)гпфп{1) < М„, /Л-Кп^лг (13)

Здесь для п = 1, , Ы'. '¿п — самосопряженный оператор (наблюдаемая), дп — желаемое среднее значение наблюдаемой Zn, гпп, Мп — допустимые границы динамики среднего значения Zn.

Синтез алгоритма управления осуществляется по методу скоростного градиента для задач с фазовыми ограничениями (10)

и(фи ,<Ы = - ^Фи^Фя) Е апРпА(дпу--1ф1^п, Зп]фп+

11=1

2П = 5309 см'1 фс, 1 фс - 10~15 с

7 {Фи ,<Ы ^ (_Рп_

+ А (14)

где Д(х) = ф*пгпфп — х, а = - обозначает коммутатор

операторов

Пусть , к = 1, ,г/, — соответственно собственные числа и собствен-

ные вектора оператора Нп, п = 1, , ЛГ, через к = 1, , обозначим собственные числа п = 1, , ЛГ

Установлен следующий результат о достаточных условиях для выполнения цели управления (12) и ограничений (13) алгоритмом (14) Теорема 3. Пусть выполнены следующие предположения

1 [¿/и, Яп] = 0, для всех п = 1, , N.

2 К - К Ф Кп ~ пРи ф (т,г,б), к,з,г,в е {1, ,и}, п,т е {1,

3 (4 - Ф 0. при п е {1, ,ц},к,те{ 1, ,г>},

4 ограничения (13) при £ — 0 выполнены,

5 множество У"_1([0,1^(^(0), , <£лг(0))]) ке содержит чистыз? состояний систем 1, ,/г.

Тогда алгоритм управления (14) обеспечивает достижение цели управления (12) и выполнение ограничений (13)

В разделе 2 3 сформулирован аналогичный результат для задачи управления конечномерной квантовомеханической системой без фазовых ограничений В третьей главе продемонстрировано применение полученных теоретических результатов к математическому исследованию задач управления физическими системами

3В соответствии с принятой в современной теории управления квантовомеханическими системами терминологией, состояние квантовой системы будем называть "чистым", если фазовый вектор, соответствующий этому состоянию, является собственным для оператора энергии (те состояния 4 € К, — "чистые" для п-ой системы) В классических трудах

по квантовой механике такие состояния называются стационарными

Рис 1 а) график функции управления u(t), б) график эволюции средних значений энергий изотопов 1Н1Н и 1Я2Я Средняя энергия молекулы 1Н1Н стремится к своему целевому значению, в то время как энергия молекулы 1Н2Н не пересекает установленную границ}'

В разделе 3 1 рассмотрена задача селективного управления системой физических маятников В разделе 3 2 приведены вспомогательные результаты о конечноуровневой аппроксимации квантовомеханической модели двухатомной молекулы В разделе 3.3 рассмотрена задача предиссоциации молекул фто-роводорода (HF), йода (J2) В разделе 3 4 рассмотрена задача селективной предиссоциации молекул водорода (Яг) с разными изотопами В разделе 3 5 рассмотрена задача локализации молекулы хлороводорода {HCl)

На рис 1 представлены результаты численных экспериментов по задаче селективной предиссоциации молекул водорода (Яг) с разными изотопами Рассчитанная функция управления имеет смысл временного профиля напряженности электрической составляющей управляющего электромагнитного импульса. Время моделирования составляло 100 фс Заключение.

1 Предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем заданных на многообразиях Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия корректно-

сти задачи Коши на полубесконечном интервале, устойчивости по Лагран-жу и выполнения цели управления

2 Предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем на многообразиях с фазовыми ограничениями Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия корректности задачи Коши на полубесконечном интервале, устойчивости по Лагранжу и выполнения цели управления

3 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем Для синтезированной замкнутой системы получены условия выполнения цели управления

4 Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем при наличии фазовых ограничений Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия выполнения цели управления

5 Проведены численные исследования предложенных алгоритмов в следующих задачах управления физическими системами селективное управление системой физических маятников, управление энергией двухатомных молекул (HF, J2), локализация волнового пакета двухатомной молекулы {HCl), разделение изотопов в молекулах водорода Яг Продемонстрирована применимость полученных теоретических результатов

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Работы опубликованные в изданиях из перечня ВАК

1 Ананьевский М С , Фрадков А Л Управление наблюдаемыми в конечно-уровневых квантовых системах // Автоматика и телемеханика, N5, 2005, С. 63-75

2 Ананьевский М С Селективное управление наблюдаемыми в ансамбле квантовомеханических молекулярных систем / / Автоматика и телемеханика, N8, 2007, С 32-43

3 Ананьевский M С Управление пространственной локализацией волнового пакета конечномерного уравнения Шредингера // Обозрение прикладной и промышленной математики, т 12, вып 1, 2005, С 106-107

Другие работы по теме диссертации

4 Ananjevsky M , Efimov А , Fradkov А , Krivtsov A Resonance and speedgradient design of control algorithms for dissociation of diatomic molecule ensembles // Proc, Intern conf 'Physics and Control", IEEE-IUTAM, St Petersburg, 2003, P 867-878

5 Ananyevskiy M Controlling quantum observables for diatomic molecule // Prepr 10th Intern (Baltic) Olympiad on Automatic Control, St Petersburg,

2004,P 175-179

6 Ананьевский M С Стабилизация энергии конечномерной квантовой системы / / VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", тезисы докладов, Москва, Ин-т проблем управления РАН, 2004, С 7-8

7 Fradkov А , Ananyevsky M , Efimov A Cybernetical physics and control of molecular systems // Proc , 2nd Intern Conf "Frontiers of nonlinear physics", Nizhny Novgorod, Inst Appl Physics RAS, 2004, P 290-298

8 Ананьевский M С , Ефимов А А Управление классическими и квантовыми ансамблями молекулярных систем // под ред А Л Фрадкова / Управление в физико-технических системах, СПб Наука, 2004, С 163176

9 Ананьевский M С Управление конечномерной квантовомеханической системой по вероятностным критериям синтез и аппроксимация / / Труды конф "Управление и Информационные технологии", Санкт-Петербург,

2005, С 44-50

10 Ananyevskiy M S , Efimov A A, Fradkov A L Control of quantum and classical molecular dynamics // Prepr 16th IFAC World Congress on Automatic Control Intern. Federation on Autom Control (IFAC), Prague, 2005, CD-ROM, 6 pages

11 Ananyevskiy M S , Vetchmkm A S , Sarkisov О M , Umanskn S Ya , Fradkov A L , Zotov Yu A Quantum control of dissociation of an iodine molecule by one and two femtosecond laser pulses excitation // Proc 2nd Intern Conf 'Physics and Control", IEEE St Petersburg, 2005, P 636-641

12 Ananyevskiy M S Feedback control of ensemble of HF quantum molecules // Proc 2nd Intern. Conf 'Physics and Control', IEEE, St Petersburg, 2005, P 656 661

13 Fradkov A L , Ananyevskiy M S , Efimov A A Horizons of cybernettcal physics control of molecular systems // Plenary addresses of the V Intern Conf "System Identification and Control Problems", Moscow, 2006, P 20-23

14 Ananyevskiy M S Controlling energy of multiple quantum systems // Preprints 11th Intern (Baltic) Olympiad on Automatic Control, St Petersburg, 2006, P 81-86

15 Ananyevskiy M S Selective quantum energy control of molecular systems // 5th Junior European meeting on control and information technolog, book of abstracts, Tallinn, 2006, P 5

16 Ананьевский M С , Ефимов A A , Фрадков A JI Управление изомеризацией в классических и квантовых ансамблях нежестких молекулярных систем Пример LiCN/LiNC //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, тезисы докладов, Нижний Новгород, 2006, С 14

17 Efimov А А , Ananyevskiy М S , Borondo F , Benito R М , Fradkov A L , Yakubovich D V Control of isomenzation m ensembles of norigid molecules based on classical and quantum-mechanical models, LiCN // Proc of European conf on modelling and simulating, Bonn, 2006, P 495-500

18 Ананьевский M С Селективное управление энергией в ансамбле кван-товомеханических молекулярных систем //IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", тезисы докладов, Москва, 2006, С. 15-16

Подписано к печати 20 09 07 Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать ризограф Гарнитура Тайме Уел печ л 1 Тираж 100 экз Зак 104 С 16

Отпечатано в типографии «СПб ГИПТ» 199004, Санкт-Петербург, В О, 5-я линия, д 28

Введение

1 Методы управления нелинейными системами

1.1 Методы управления нелинейными колебательными системами

1.2 Управление в физических системах.

1.3 Управление квантовомеханическими системами

2 Развитие метода скоростного градиента

2.1 Вспомогательные результаты: теоремы существования и продолжимости, устойчивость по Лагранжу

2.2 Некоторые известные результаты о методе скоростного градиента

2.3 Метод скоростного градиента для динамических систем, заданных на многообразиях.

2.4 Метод скоростного градиента для задач с фазовыми ограничениями

2.5 Метод скоростного градиента для квантовомеханических систем, описываемых конечномерным уравнением Шредингера

2.6 Метод скоростного градиента с учетом фазовых ограничений для квантовомеханических систем, описываемых конечномерным уравнением Шредингера

Методы исследования и управления движениями сложных нелинейных систем представляют значительный научный интерес. Они важны также в прикладном отношении для многих областей науки и техники. Актуальными для техники традиционно считаются задачи управления траекторными и вращательными движениями летательных и космических аппаратов, манипуляци-онными роботами, грузоподъемными машинами, вибрационными установками, задачи синхронизации генераторов колебаний, и многие другие. Примерами важных прикладных задач в научно-исследовательском процессе являются: воспроизведение динамики сложных систем на научно-учебных стендах с помощью систем управления, превращение хаотических колебаний в периодические и обратно путем введения малого управления по обратной связи, задачи приготовления молекулярных ансамблей, и многие другие. Общим для указанных систем является свойство колебательности протекающих процессов.

Ноберт Винер определял кибернетику как науку об управлении и связи в живом организме, машине и обществе [32]. Его тезис о расчленении системы управления на датчики, исполнительные устройства и алгоритмический блок, создаваемый математиком и в дальнейшем инженерно реализуемый с помощью широких возможностей электроники, сыграл важную роль в становлении кибернетики. В последние годы методы кибернетики стали играть все возрастающую роль в физике [101, 113, 114]. Историю этих направлений, пожалуй, можно отсчитывать от работ Петра Леонидовича Капицы, который в 1940-х годах провел эксперимент, демонстрирующий, что верхнее, неустойчивое положение равновесия маятника становится устойчивым, если точка подвеса вибрирует в вертикальном направлении с большой частотой [56].

Этот пример показывает, как физически не наблюдаемое (скрытое) состояние объекта исследования можно сделать наблюдаемым путем добавления системы управления, в данном случае, вибрационного воздействия. Работа П. J1. Капицы дала толчок к развитию нового раздела механики — вибрационной механики [20, 21].

Приведенный пример иллюстрирует важность концепции устойчивости в задачах исследования динамических систем. Понятие устойчивости движения в 1882 году ввел выдающийся русский ученый Николай Егорович Жуковский, один из основателей современной аэродинамики [48, 49]. Через 10 лет, в 1892 году Александр Михайлович Ляпунов опубликовал знаменитую работу [70, 71], в которой дал свое определение устойчивости. Позже были введены понятия устойчивости по Пуанкаре [97], по Лагранжу [85], по Бирк-гофу [132], по Пуассону [132], по Бакаеву [12], по Красовскому [58], практической устойчивости, и некоторые другие. Основы заложенные А. М. Ляпуновым получили развитие в трудах большого числа отечественных и иностранных ученых [13, 14, 16, 31, 37, 41, 42, 52, 53, 30, 55, 58, 61, 75, 78, 92, 99, 100, 118, 121]. Свойство устойчивости многогранно, на сегодняшний день существует множество его строгих математических формализации, кроме пе-речесленных, необходимо отметить устойчивость по отношению к части переменных [35, 98, 99], частичную устойчивость [80], устойчивость от входа к вектору состояния [184] и от входа к выходу [152, 185, 186]. Классическая теория устойчивости движения имеет много приложений в самых различных областях: при изучении странных аттракторов [62, 66], в термодинамике необратимых процессов [96] и др.

Колебательные процессы могут возникать вследствие взаимодействия различных объектов, или же быть принципиальной основой физической модели исследуемого явления. Примером последнего может служить кванто-вомеханическое описание взаимодействия света и вещества [104, 109]. В теории колебаний содружество физики, математики и техники проявляется особенно ярко [76]. При этом важно отметить, что подчас даже элементарные математические заключения могут нести глубокий физический смысл. Например, для гармонических колебаний многие интерференционные явления (сохранение частоты, эффект учетверения энергии и т.д.) являются физической интерпретацией частных случаев формул суммирования косинусов. На сегодняшний день имеется обширная научная литература по теории колебаний [10, И, 19, 25, 26, 39, 50, 72, 82, 89, 91, 101, 103, 105].

Современные задачи теории управления динамическими системами характеризуются нелинейностью математической модели объекта управления, неопределенностью его характеристик и внешних воздействий, сложностью задания цели управления, наличием ограничений на фазовые переменные и управление. Необходимость решения подобных задач определяется приложениями к управлению сложными физическими и техническими системами, в том числе молекулярными и квантовомеханическими системами, в нано-технологиях и т.д. Повышение требований к качеству синтезируемых систем управления диктует необходимость разработки методов управления, обеспечивающих системам оптимальность в том или ином смысле. Методы решения задач управления нелинейными системами разработаны в трудах Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского, JI. С. Понтрягина, А. С. Матвеева, Ю. И. Неймарка, Е. С. Пятницкого, A. JI. Фрадкова, Ф. JI. Черноусько, В. А. Якубовича, а также в трудах зарубежных ученых П. Кокотовича, X. Халила, М. Крстича, А. Исидори, X. Наймейера, Ван дер Скафта и др.

Однако некоторые задачи управления системами на многообразиях и при наличии фазовых ограничений, встречающиеся при управлении механическими и квантовомеханическими системами остаются нерешенными. Их решение представлено в диссертационной работе.

Целью работы является разработка и исследование методов управления нелинейными динамическими системами, связанными с асимптотической оптимизацией заданной целевой функции состояния систем.

В работе рассматривается модель управляемого объекта в виде дифференциальных уравнений состояния dx = F(x,u), хеп, иеЕи, (1) где х — вектор состояния, 0, — гладкое многообразие в евклидовом или унитарном пространстве, и — вектор управления (настраиваемых параметров), векторное пространство Еи является евклидовым или унитарным.

Считается заданной непрерывная функция Q(x). Под задачей асимптотической оптимизации функции Q(x) понимается задача нахождения закона управления в виде обратной связи и = U(x), (2) обеспечивающего в замкнутой системе (1), (2) неограниченную продолжимость решений и выполнение следующей цели управления lim Q(x(t)) = inf Q(x). (3) t—>+oo xesi

В работах Фрадкова A. JI. [Ill, 112] для решения задачи был разработан метод скоростного градиента: было предложено выбирать закон управления (2) в виде и = -TVuCfQ(x) (4) конечная форма), или в виде jt = -TVUCfQ(X) (5) дифференциальная форма), где Г = Г* > 0 — матрица коэффициентов усиления (параметр алгоритма), CfQ(x) = ^F(x,u) — производная функции Q(x) вдоль векторного поля F, Vu — градиент по и1.

В первой главе дается обзор методов управления нелинейными системами, а также дается анализ их приложений в задачах управления физическими системами. Особое внимание уделяется задачам управления квантовоме-ханическими системами, в последнее время приобретающими значительную актуальность в связи с развитием лазерной техники и нанотехнологий.

Диссертационная работа организована следующим образом. Во второй главе изложены основные результаты работы. Приводятся вспомогательные результаты, необходимые для изложения, и дается математическая постановка задачи диссертации. Разделы 2.1 и 2.2 носят вспомогательный характер. В разделе 2.1 приводятся вспомогательные результаты: теоремы существования, продолжимости и устойчивости по Лагранжу для синтезированных замкнутых систем. В разделе 2.2 приведены две теоремы Фрадкова А. Л. о методе скоростного градиента. В разделе 2.3 предложено обобщение метода скоростного градиента для задачи асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем, заданных на гладких многообразиях. Для замкнутой системы получены достаточные условия корректности задачи Коши на полубесконечном интервале, устойчивости по Лагранжу. В разделе 2.4 предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем, заданных на многообразиях при частном случае, когда система (2.14) имеет вид ^ = и алгоритм (2.18) превращается в классический алгоритм градиентного спуска. наличии фазовых ограничений. В разделах 2.5, 2.6 приводятся результаты асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем описываемых конечномерным уравнением Шредингера.

В третьей главе продемонстрировано применение полученных теоретических результатов к математическому исследованию задач управления физическими системами. В разделе 3.1 рассмотрена задача селективного управления системой физических маятников. В разделе 3.2 приведены вспомогательные результаты о конечноуровневой аппроксимации квантовомеханической модели двухатомной молекулы. В разделе 3.3 рассмотрена задача предис-социации молекул фтороводорода (HF), йода (J2). В разделе 3.4 рассмотрена задача селективной предиссоциации молекул водорода (Яг) с разными изотопами. В разделе 3.5 рассмотрена задача локализации волнового пакета молекулы хлороводорода (НС1).

Заключение

1. Предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем заданных на многообразиях. Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия корректности задачи Коши на полубесконечном интервале, устойчивости по Лагранжу и выполнения цели управления.

2. Предложен метод асимптотической оптимизации целевой функции для нелинейных динамических систем на многообразиях с фазовыми ограничениями. Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия корректности задачи Коши на полубесконечном интервале, устойчивости по Лагранжу и выполнения цели управления.

3. Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем. Для синтезированной замкнутой системы получены условия выполнения цели управления.

4- Предложен и исследован метод асимптотической оптимизации квадратичных форм от состояний квантовомеханических систем при наличии фазовых ограничений. Для синтезированной замкнутой системы получены достаточные условия выполнения цели управления.

5. Проведены численные исследования предложенных алгоритмов в следующих задачах управления физическими системами: селективное управление системой физических маятников, управление энергией двухатомных молекул (HF, J2), локализация волнового пакета двухатомной молекулы (НС1), разделение изотопов в молекулах водорода Н2. Продемонстрирована применимость полученных теоретических результатов.

1. Акилов У. А. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов. // Докл. АН Уз. ССР, N 9, 1968.

2. Акуленко JI. Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.

3. Ананьевский М. С., Фрадков A. JI. Управление наблюдаемыми в ко-нечноуровневых квантовых системах. // Автоматика и телемеханика, N 5, 2005, с. 63-75.

4. Ананьевский М. С. Селективное управление наблюдаемыми в ансамбле квантовомеханических молекулярных систем. // Автоматика и телемеханика, N 8, 2007, с. 32-43.

5. Ананьевский М. С. Управление пространственной локализацией волнового пакета конечномерного уравнения Шредингера. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 12, вып. 1, 2005, с. 106-107.

6. Ананьевский М. С., Ефимов А. А. Управление классическими и квантовыми ансамблями молекулярных систем. // под ред. A. JI. Фрад-кова / Управление в физико-технических системах, СПб.: Наука, 2004, с. 163-176.

7. Ананьевский М. С. Селективное управление энергией в ансамбле квантовомеханических молекулярных систем. //IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", тезисы докладов, Москва, 2006, с. 15-16.

8. Андриевский Б. Р., Фрадков A. JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке matlab. СПб.: Наука, 2000.

9. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний М.: Физ-матлит, 1959.

10. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

11. Бакаев Ю. Н. Синхронизирующие свойства фазовой автоматической автоподстройки частоты третьего порядка. // Радиотехника и электроника, Т. 10, N 6, 1965, с. 139-143.

12. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

13. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

14. Белавкин В. П. К теории управления квантовыми наблюдаемыми системами. // Автоматика и телемеханика, N 2, 1983, с. 50-63.

15. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

16. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

17. Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и ее механизм. / Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 год, М.: Медгиз, 1959, с. 145-147.

18. Бибиков Ю. Н, Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991.

19. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

20. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994.

21. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

22. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969.

23. Бондарко В. А., Фрадков А. Л. Необходимые и достаточные условия пассифицируемости линейных распределенных систем. // Автоматика и телемеханика, N 4, 2003, с. 3-17.

24. Булгаков В. Б. Колебания. М.-Л.: Гостехиздат, 1954.

25. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

26. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

27. Бутковский А. Г., Самойленко Ю. И. Управление квантовыми объектами I, II. // Автоматика и телемеханика, NN 4,5, 1979.

28. Бутковский А. Г., Самойленко Ю. И. Управление квантовомеханиче-скими процессами. М.: Наука. 1984.

29. Валеев К. Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова. Киев: Нау-кова думка, 1981.

30. Васильев С. Н. Метод редукции и качественный анализ динамических систем, I, II. //Изв. РАН. ТиСУ. 2006. NN 1,2.

31. Винер Н. Кибернетика. 2-е изд. М.: Сов. радио, 1968.

32. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

33. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

34. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части переменных: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

35. Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия // Изв. Санкт-Петербургского технологического института, 1877, с. 21-62.

36. Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

37. Геращенко Е. И., Геращенко С. М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975.

38. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Иж.: РХД, 2002.

39. Гузенко П. Ю., Кукушкин С. А., Осипов А. В., Фрадков A. JI. Автоколебательные режимы роста тонких пленок из многокомпонентного пара: динамика и управление // Журнал технической физики, Т. 67, N 9, 1997, с. 47-51.

40. Далецкий Ю. JL, Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

41. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

42. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

43. Евтушенко Ю. Г. Приближенный расчет задач оптимального управления. // ПММ, Т. 34, вып. 1, 1970.

44. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

45. Емельянов И. Я., Ефанов А. И., Константинов JL В. Научно-технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энерго-атомиздат, 1981.

46. Ефимов Д. В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб.: Наука, 2005.

47. Жуковский Н. Е. О прочности движения. // Ученые Записки Московского Университета, 1882. N 4.

48. Жуковский Н. Е. О прочности движения. Собрание сочинений. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1948. с. 67-160.

49. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

50. Завалишин Д. С., Ревенко В. В. Оптимизация кинетической энергии микрообъекта. // Изв. АН СССР, Сер. Техн. кибернетика, N 3, 1988, с. 143-147.

51. Зубов В. И. Методы В. А. Ляпунова и их применение. J1: Изд-во ЛГУ, 1957.

52. Зубов В. И. Устойчивость инвариантных множеств динамических систем. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1980.

53. Искендеров А. Г., Ягубов Г. Я. Оптимальное управление нелинейными квантовомеханическими системами. // Автоматика и телемеханика, N 1, 1988, с. 27-38.

54. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

55. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. // ЖЭТФ, 1951. Т. 21. N 5.

56. Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976.

57. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959.

58. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

59. Кукушкин С. А., Осипов А. В. Самоорганизация при зарождении многокомпонентных пленок. // Физика твердого тела, Т. 37, N 7, 1995, с. 2127-2132.

60. Ла-Салль Ж., Левшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

61. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. // Успехи механики, Т. 1, N 3, 2002, с. 3-42.

62. Леонов Г. А. Об одной модификации контрпримера Перрона. // Дифференциальные уравнения, Т. 39, N И, 2003, с. 1566-1567.

63. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теории устойчивости движения. // Успехи механики, N 3, 2003.

64. Леонов Г. А. Критерии неустойчивости по первому приближению для нестационарных линеаризаций. // ПММ, N 6, 2004.

65. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

66. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

67. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

68. Шварц JI. Анализ. М.: Мир, 1972.

69. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: 1892.

70. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.,Л.: ГИТТЛ, 1950.

71. Магнус К. Колебания. М.: Мир, 1982.

72. Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. Линеаризованные задачи. М.: Изд-во АН СССР, 1949.

73. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

74. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

75. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов. Т. 4. Изд-во АН СССР, 1955.

76. Матвеев А. С., Якубович В. А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1994.

77. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Наука, 2001.

78. Мирзоев Ф. X., Панченко В. Я., Шелепин Л. А. Лазерное управление процессами в твердом теле. // УФН, Т. 166, 1996, с. 3-32.

79. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков A. JL Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2003.

80. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.

81. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

82. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

83. Налимов В. В., Маркова Е. В. Химическая кибернетика. // Информационные материалы Научного совета по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР, N 11-12, 1970, с. 105-127.

84. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качесвенная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.86. фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

85. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003.

86. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. JL: Изд-во ЛГУ, 1980.

87. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991.

88. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964.

89. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: 1977.

90. Плотников В. А. Метод частичного усреднения в задачах терминального управления. // Дифф. ур., Т. 14, N 2, 1978.

91. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

92. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимального управления. М.: Наука, 1976.

93. Пригожин И. Р. Время, структура и флуктуации (нобелевская лекция). // УФН, Т. 131, вып. 2, 1980, с. 185-207.

94. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.,Л.: ГИТТЛ, 1947.

95. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. // Вестник МГУ, Т. 4, 1957, с. 951-974.

96. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

97. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

98. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987.

99. Самойленко Ю. И. Проблемы и методы физической кибернетики. Киев: 2006.

100. Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.

101. Степанов Б. И. Введение в современную оптику. Минск: Наука и техника, 1991.

102. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985.

103. Управление в физико-технических системах. /Под ред. A. J1. Фрадко-ва, СПб.: Наука, 2004.

104. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1990.

105. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование, методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972.

106. Флайгер У. Строение и динамика молекул. М.: Мир, 1982.

107. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. М.: Мир, 1974.

108. Фрадков A. J1. Схема скоростного градиента и ее применения в задачах адаптивного управления. // Автоматика и телемеханика, N 9,1979, с. 90-101.

109. Фрадков A. JL Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

110. ИЗ. Фрадков A. JI. Исследование физических систем при помощи обратных связей. // Автоматика и телемеханика, N 3, 1999, с. 213-230.

111. Фрадков A. JI. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.

112. Фрадков A. JI. О применении кибернетических методов в физике. // УФН, Т. 175, N 2, 2005, с. 113-138.

113. Фомин В. Н., Фрадков A. JL, Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

114. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Физматгиз, 1962.

115. Чезаре JI. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

116. Черноусько Ф. JL, Акуленко JI. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

117. Черноусько Ф. JL, Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.

118. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965

119. Ananjevsky М., Efirnov A., Fradkov A., Krivtsov A. Resonance and speed-gradient design of control algorithms for dissociation of diatomic molecule ensembles. // Proc., Intern, conf. "Physics and Control", IEEE-IUTAM, St.Petersburg, 2003, p. 867-878.

120. Ananyevskiy M. Controlling quantum observables for diatomic molecule. // Prepr. 10th Intern. (Baltic) Olympiad on Automatic Control, St.Petersburg,2004, p. 175-179.

121. Ananyevskiy M. S., Efimov A. A., Fradkov A. L. Control of quantum and classical molecular dynamics. // Prepr. 16th IFAC World Congress on Automatic Control. Intern. Federation on Autom. Control (IFAC), Prague,2005, CD-ROM, 6 pages.

122. Ananyevskiy M. S. Feedback control of ensemble of HF quantum molecules. // Proc. 2nd intern, conf. "Physics and Control", IEEE, St.Petersburg, 2005, p. 656-661.

123. Ananyevskiy M. S. Controlling energy of multiple quantum systems. // Preprints 11th Intern. (Baltic) Olympiad on Automatic Control, St. Petersburg, 2006, p. 81-86.

124. Ananyevskiy M. S. Selective quantum energy control of molecular systems. // 5th Junior European meeting on control and information technolog, book of abstracts, Tallinn, 2006, p. 5.

125. Andrievsky B. R., Fradkov A. L., Konoplev V. A., Konjukhov A. P. Modeling, Simulation and Experiment with Double Pendulum Chaotic Toy. // Proc. 5th European Contr. Conf. Karlsruhe, Aug. 31-Sep. 3, 1999.

126. Assion A., Baumert Т., Bergt M., et al. Control of chemical reactions by feedback-optimized phase-shaped femtosecond laser pulses. // Science, V. 282, 1998, p. 919.

127. Bardeen C. J., Yakovlev V. V., Wilson K. R., et al. Feedback quantum control of molecular electronic population transfer. // Chem. Phys. Lett., V. 280, 1997, p. 151.

128. Birkhoff G. D. Dynamical systems. New York: Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 1927.

129. Bloembergen N, Zewal A. H. // J. Chem. Phys., V. 88, 1984, p. 5459.

130. Brixner Т., Kiefer В., Gerber G. Problem complexity in femtosecond quantum control. // Chem. Phys., V. 267, 2001, p. 241-246.

131. Brockett R. W. New issues in the mathematics of control. // Mathematics Unlimited-2001 and Beyond / Eds. B. Engquist and W. Schmid, Springer-Verlag, 2000, p. 189-220.

132. Brown E., Rabitz H. Some mathematical and algorithmic challenges in the control of quantum dynamics phenomena. //J. Math. Chem., V. 31, N 1, 2002.

133. Chen G., Dong X. From chaos to order: perspectives, methodologies and applications. Singapore: World Scientific, 1998.

134. Dahleh M., Pierce. A., Rabitz H., Ramakrishna V. Control of molecular motion. // Proc. IEEE, V. 84, N 1, 1996, p. 7-15.

135. Fradkov A. L. Adaptive synchronization of hyper-minimum-phase systems with nonlinearities. // Proc. 3rd IEEE Mediterranean Symposium on New Directions in Control and Automation, Limassol, July 1995, V. 1, p. 272277.

136. Fradkov A. L. Passification of Nonsquare Linear Systems. Europ. Contr. Conf., Porto, 2001, pp.3338-3343.

137. Fradkov A. L., Andrievsky B. R., Boykov К. B. Numerical and Experimental Excitability Analysis of Multi-Pendulum Mechatronics System. //Proc. of 15th IFAC World Congress, Barcelona, 2002.

138. Fradkov A. L., Hill D. J. Exponential Feedback Passivity and Stabilizability of Nonlinear Systems. // Automatica, N 6, 1998, p. 697-703.

139. Fradkov A. L., Pogromsky A. Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific, 1998.

140. Fradkov A., Ananyevsky M., Efimov A. Cybernetical physics and control of molecular systems. // Proc., 2nd Intern. Conf. "Frontiers of nonlinear physics", Nizhny Novgorod, Inst. Appl. Physics RAS, 2004, p. 290-298.

141. Fradkov A. L., Ananyevskiy M. S., Efimov A. A. Horizons of cybernetical physics: control of molecular systems. // Plenary addresses of the V Intern. Conf. "System Identification and Control Problems", Moscow, 2006, p. 2023.

142. Gautschi W., Gander W. Adaptive Quadrature — Revisited. 11 BIT, V. 40, 2000, p. 84-101.

143. Goggin M. E., Milonni P. W. Driven Morse oscillator: Classical chaos, quantum theory and photodissociation. // Phys. Rev. A., V. 37, N 3, 1988, p. 796.

144. Goggin M. E., Milonni P. W. Driven Morse oscillator: Classical chaos and quantum theory for two-frequency dissociation. // Phys. Rev. A., V. 38, N 10, 1988, p. 5174.

145. Huang G. M., Tarn T. J., Clark J. W. // Math. Modelling, N 1,1980, p. 109.

146. Ingalls В., Wang Y. On input-to-output stability for systems not uniformly bounded. // In proc. NOLCOS'Ol, Saint Petersburg, Russia, 2001.

147. Isidori A. Nonlinear control systems. New York: Springer-Verlag, 1995.

148. Isidori A. Nonlinear control systems. Vol. II. New York: Springer—Verlag, 1999.

149. Jiang Z. P., Hill D. J., Fradkov A. L. Adaptive Passification of Interconnected Nonlinear Systems. // 35th IEEE Conf. Dec. Contr., Kobe, 11-13 Dec., 1996, p. 1945-1946.

150. Judson R. S., Rabitz. H. Teaching Lasers to Control Molecules. // Phys. Rev. Lett., V. 68, 1992, p. 1500.

151. Khalil H. К. Nonlinear systems. New York: MacMillan, 1992.

152. Kohler В., Krause J., Raksi F., Wilson K., Whitnell R., Yakovlev V., Yan Y. Controlling the future of matter. // Acc. Chem. Res., V. 28, 1995, p. 133— 140.

153. Kosloff R., Rice S. A., Gaspard P., at al. Wavepaeket dancing: Achieving chemical selectivity by shaping light-pulses. //Chem. Phys., V. 139, 1989, p. 201.

154. Kukushkin S. A., Osipov A. V. Kinetics of thin nucleation from multicomponent vapor. //J. Ph. Chem. Solids, V 56, N 6, 1995, p. 831— 838.

155. Liu W. K., Wu В., Yuan J. M. Nonlinear dynamics of chirped pulse excitation and dissociation of diatomic molecules. // Phys. Rev. Lett., V. 75, N 7, 1995, p. 1292.

156. Mabuchi H., Khaneja N. Principles and application of control in quantum systems. // Int. J. Robust Nonlinear Control., N 15, 2005, p. 646-667.

157. Maxwell J. On the governors. // Proc. of the Roy. Soc., V. 270, N 16, 1868.

158. Murray R. M., Astrom K. J., Boyd S. P., Brockett R. W., Stein G. Future directions in control in an information-rich world. // IEEE Contr. Syst. Mag., V. 23, 2003, p. 20-33.

159. Nijneijer H., van der Schaft A. J. Nonlinear dynamic control systems. New York: Springer-Verlag, 1990.

160. Ott E., Grebogi C., Yorke J. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett., V. 64, N 11, 1990, p. 1196-1199.

161. Paramonov G. K., Saalfrank P. A new pump and dump strategy to control chemical reactivity at surfaces: application to photoisomerization of adsorbates. // Chemical Physics Letters, V. 301, N 5-6, 1999, p. 509-516.

162. Pearson B. J., White J. L., Weinacht Т. C. et al. Coherent control using adaptive learning algorithms. // Phys. Rev. A, V. 63, N 6, 2001.

163. Perron O. Die stabilitatsfrage bei differentialgleichungen. // Mathematische Zeitschrift, bd. 32, H. 5, 1930, s. 702-728.

164. Peirce A., Dahleh M., Rabitz H. Optimal Control of Quantum Mechanical Systems: Existence, Numerical Approximations and Applications. // Phys. Rev. A, V 37, 1988, p. 4950.

165. Polushin I. G., Fradkov A. L. Energy Control of Hamiltonian Systems under Disturbances. // Proc. 7th Mediterranean Conference on Control and Automation, Haifa, June 1999, p. 1272-1283.

166. Proc. Intern. Conf. "Physics and Control", / Eds. A. L. Fradkov, A. N. Churilov, IEEE, St. Petersburg, Aug, 2003.

167. Proc. Intern. Conf. "Physics and Control", / Eds. A. L. Fradkov, A. N. Churilov, IEEE, St. Petersburg, Aug, 2005.

168. Proc. Intern. Conf. "Physics and Control", / Eds. A. L. Fradkov, IEEE, Potsdam, Sep, 2007.

169. Rabitz H. Algorithms for closed loop control of quantum dynamics. // Proc. 39th IEEE Conf. Decisions and Control, Sydney, 2000, p. 937-942.

170. Rice S., Zhao M. Optical control of quantum dynamics. New York: Wiley, 2000.

171. Shapiro M., Brumer P. Laser control of product quantum state populations in unimolecular reactions. //J. Chem. Phys., V. 84, 1986, p. 4103-4110.

172. Shapiro M., Brumer P. Weak field optimal control over product yields. The pump—dump scenario. // Chemical Physics Letters, V. 208, N 3-4, 1993, p. 193-196.

173. Shen Z., Engel V. Target wave-packet control and its detection using time-resolved photoelectron spectroscopy. // Chemical Physics Letters, V. 358, N 3-4, 2002, p. 344-349.

174. Shiriaev A. S., Ludvigsen H., Egeland O., Fradkov A. L. Swinging Up of Simplified Furuta Pendulum. // Proc. 5th European Contr. Conf. Karlsruhe, Aug. 31-Sep. 3, 1999.

175. Shiriaev A. S., Fradkov A. L. Stabilization of Invariant Sets for Nonlinear Non-Affine Systems. 11 Automatica, V. 36, N И, 2000, p. 1709-1715.

176. Somloi J., Kazakov V. A., Tannor D. J. Controlled dissociation of 12 via optical transitions between the X and В electronic states. // Chemical Physics, V. 172, N 1, 1993, p. 85-98.

177. Sonteg E. D. Smooth stabilization implies coprime factorization. // IEEE Trans. Aut. Contr., V. 34, 1989, p. 435-443.

178. Sonteg E. D., Wang Y. Notions of input to output stability. // Systems and Control Lett., V. 38, 1999, p. 235-248.

179. Sonteg E. D., Wang Y. Lyapunov characterizations of input to output stability. // SIAM Journal on Control and Optimization, V. 39,2001, p. 226249.

180. Tannor D. J., Rice S. A. Control of selectivity of chemical reaction via control of wave packet evolution. //J. Chem. Phys., V. 83, 1985, p. 5013.

181. Turinici G., Ramakhrishna V., Li В., Rabitz H. Optimal discrimination of multiple quantum systems: controllability analysis. //J. Phys. A., V. 37, 2004. p. 273-282.

182. Yan Y., Shen Z. W., Zhao Y. Optimal pump-dump control: phase-locked versus phase-unlocked schemes. If Chemical Physics, V. 233, N 2-3, 1998, p. 191-205.

183. Yu C., Gross P., Ramakrishna V., et al. Control of classical regime molecular objectives applications of tracking and variations of the theme. I/ Automatica, N 9, 1997, p. 1617-1633.

184. Zewail A. Femtochemistry: Atomic-Scale dynamics of the chemical bond (Adapted from the Nobel Lecture). // J. Phys. Chemistry. A, V. 104, 2000, p. 5660-5694.