Управление инвариантами в сетевых динамических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

б

Работы [1, 2, 5-11] написаны в соавторстве. В работах [1, 7, 10, 11] диссертанту принадлежит формулировка и доказательство теорем про управление инвариантом и достижение синхронизации в многомашинной энергосистеме, численное моделирование, А.Л. Фрадкову - общая постановка задач и идея доказательства теорем. В работах [2, 5, 8] диссертанту принадлежит формулировка и доказательство теорем про управление инвариантом в многомерных вольтерровских моделях, численное моделирование, А.Л. Фрадкову - общая постановка задач. В [6] диссертанту принадлежит разработка алгоритма управления двухзвеппым плоским маятником, соавторам - общая постановка задачи и разработка алгоритмов управления маятниковыми системами. В [9] диссертанту принадлежит разработка алгоритма управления синхронизацией энергосистемы на основе метода скоростного градиента, соавторам -общая постановка задачи, детализация алгоритмов управления.

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, получены лично соискателем.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 105 страниц. Список литературы включает 74 наименования. Работа содержит 36 рисунков и шесть таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, ставятся задачи исследования и приводится краткое содержание работы по главам. В диссертационной работе рассматриваются сетевые системы, понимаемые как совокупность подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями, и описываемые уравнениями

N

¿1 = Р (хищ) + ачвч (хгI хз). г = 1,..., ЛГ, (1)

3=1

где з^ 6 Яп - векторы состояния подсистем (узлов), иг е Я,т - векторы управлений, постоянные а^ определяют граф связей в сети, функции Fi (■) определяют локальную динамику г-го узла сети, функции д^ (•) определяют взаимодействия между г-ой и j-oll подсистемами сети.

Пусть у системы (1) есть функция-инвариант = Ц (а^^),..., ггдт(й)), сохраняющая свои значения вдоль траекторий свободной системы (1) (и; (¿) = 0, г = 1,..., ЛГ). Задача управления ставится следующим образом: найти такие законы управления щ (4), г = 1,..., ЛГ, при которых в системе достигается желаемое значение инварианта У^:

У0(г) Уа при £ оо.

(2)

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

04201454871 Пчелкина Ирина Владимировна

УПРАВЛЕНИЕ ИНВАРИАНТАМИ В СЕТЕВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Фрадков Александр Львович

Санкт-Петербург - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Предварительные сведения 9

1.1 Метод скоростного градиента................. 9

1.2 Квази-полиномиальные системы............... 21

2 Управление раскачкой робота-акробота 24

2.1 Постановка задачи..............................................27

2.2 Синтез алгоритма управления ................................31

2.3 Исследование замкнутой системы ............................34

3 Управление синхронизацией многомашинной энергосистемы 39

3.1 Постановка задачи....................... 41

3.2 Синтез алгоритма управления ................ 43

3.3 Исследование динамики замкнутой системы ........ 46

4 Управление инвариантами квази-полиномиальных систем 68

4.1 Квази-полиномиальные управляемые системы....... 69

4.2 Управление инвариантами многомерных вольтерровских моделей ............................... 70

4.3 Управление инвариантами при наличии возмущений .... 73

4.4 Пример 1: управление процессом ферментации....... 78

4.5 Пример 2: управление многовидовой экологической системой 83

Литература

96

Введение

На современном этапе развития систем автоматического управления все более остро встает проблема управления в реальном времени сложными объектами, взаимодействующими между собой в процессе достижения общей цели. Важным классом таких систем являются сетевые динамические системы, понимаемые как совокупность однотипных динамических подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями. Примерами таких систем являются многопроцессорные системы обработки и передачи информации, различные производственные сети, системы управления движением подвижных роботов, транспортные сети, электроэнергетические сети с распределенными системами управления.

Задачам управления сетевыми динамическими системами посвящены многочисленные работы (например, работы A.A. Воронова, И.А. Каляева, Б.М. Миркина, P.M. Мюррея, Е.А. Паршевой, A.JI. Фрадкова, A.M. Цыкунова, Г. Чена, Д.Д. Шильяка и других), однако проблема построения систем управления сетевыми системами остается востребованной, поскольку решение предложено только для ограниченного класса таких задач.

Как правило, сетевые динамические системы характеризуются пространственной распределенностью узлов (объектов сетей) и ограниченностью связей между узлами, поэтому решение задач управления сетевыми системами требует построения мощных вычислительных средств для реализации централизованного управления, или разработки специальных

распределенных алгоритмов управления. Хотя в настоящее время в основном уже определены принципы, на которых могут быть построены такие системы управления, и есть действующие прототипы, в целом проблема разработки эффективных, и в то же время простых в исполнении, управляющих алгоритмов остается актуальной.

Задачи управления сетевыми системами могут быть значительно упрощены, если в системе имеется функция инвариант, являющаяся аналогом энергии механической системы. Задачи управления инвариантами динамических систем ранее рассматривались (например, в работах A.JI. Фрадкова, A.C. Ширяева, A.A. Колесникова и др. [10], [11], [12]), однако задачи управления инвариантами сетевых динамических систем систематически рассмотрены не были.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка алгоритмов управления инвариантами в сетевых технических системах (на примере модели электроэнергетической сети и квази-полиномиальных систем), обеспечивающих сходимость процессов к желаемым режимам.

Задачи диссертационной работы:

1. Развить метод скоростного градиента применительно к задачам управления инвариантами в сетевых динамических системах.

2. Разработать алгоритм управления раскачкой робота-акробота. Установить условия достижения цели управления.

3. Разработать алгоритм управления синхронизацией многомашинной энергосистемы. Установить условия достижения цели управления.

4. Разработать алгоритмы управления инвариантами квази-полиномиальных технических систем Установить условия достижения цели управления.

Методы исследований: Для решения перечисленных задач в работе использованы методы теории автоматического управления (метод ско-

ростного градиента), метод функций Ляпунова, компьютерное моделирование.

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

• Предложена постановка задачи синхронизации электроэнергетической сети как задачи стабилизации вспомогательного инвариантного функционала.

• Разработан алгоритм управления синхронизацией электроэнергетической сети на основе управления вспомогательным инвариантным функционалом. Установлены условия достижения цели управления.

• Разработаны новые алгоритмы управления инвариантами квазиполиномиальных систем на основе метода скоростного градиента. Установлены условия достижения цели управления при наличии возмущений.

• Разработан новый алгоритм управления раскачкой робота-акробота. Установлены условия достижения цели управления.

• Установлена возможность применения предложенного метода для стабилизации обобщенных моделей Лотки-Вольтерра ири помощи сколь угодно малого управления при отсутствии возмущений.

• Компьютерным моделированием получены количественные характеристики процессов управления. В частности, установлена достаточно быстрая сходимость процессов к синхронному режиму в замкнутых системах и их робастность по отношению к начальным условиям и параметрам объекта управления.

Достоверность результатов работы подтверждается корректным применением математических методов и репрезентативным компьютерным моделированием.

Теоретическая и практическая ценность. Для сетевых технических систем на примере энергетических и квази-полиномиальных сетей с помощью метода скоростного градиента разработаны алгоритмы управления квази-энергетическими функциями. Для различных случаев получены условия достижения цели управления в замкнутых системах, отличающиеся от известных. Полученные результаты могут быть использованы на практике: для анализа и построения систем управления энергетическими и биологическими системами.

Результаты работы использованы в НИР «Создание адаптивных муль-тиагентных систем управления сетями динамических объектов при коммуникационных ограничениях», выполненой в ИПМаш РАН по Государственному контракту №16.740.11.0042 от 01.09.2010 (№Госрсгистрации 01201062033), и также в НИР «Геометрические методы планирования и управления движениями механических систем в условиях неопределенности и дефицита управляющих воздействий», выполненной в ИПМаш РАН по Государственному контракту №02.740.11.5056 от 20.06.2009 (Жо-срегистрации 01200964833).

Автор имеет свидетельства о регистрации программ для ЭВМ «Синхронизация сети электрических генераторов (Synchronization of multimachine power system)» и «Управление двухзвенным маятником (Control of Acrobot)» в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологий ИМС Федерального института промышленной собственности РОСПАТЕНТа

[13], [14].

Алгоритм управления раскачкой робота-акробота был реализован па роботе, собранном на кафедре теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета и используемом в учебных целях.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, а также на российских и международных конференциях: XII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2010 г. (лучший доклад аспиранта на секции «Элек-

тронные и электромеханические устройства систем навигации и управления»), Балтийской олимпиаде по автоматическому управлению, Санкт-Петербург, 2010 г., Workshop Periodic Control Systems - PSYCO, Antalya, 2010 г., 4-й Мультиконференция по проблемам управления, Дивномор-ское, 2011 г., X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011г., 5th Intern. Conf. «Physics and Control», Leon, Spain, 2011 г., HYCON2 Workshop on Energy, Bruxelles, 2012 г., 5-й Мультиконференция по проблемам управления, Санкт-Петербург, 2012 г, Workshop on Periodic Control Systems -PSYCO 2013, Caen, 2013 r.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 105 страниц. Список литературы включает 74 наименования. Работа содержит 36 рисунков и шесть таблиц.

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, ставятся задачи исследования и кратко излагаются ее основные результаты.

В первой главе содержится вспомогательный материал, необходимый для чтения диссертации. Приводятся сведения о сетевых и квазиполиномиальных системах, а также краткое изложеиие метода скоростного градиента, предложенного в работах Фрадкова A.JT. [18], [21].

Во второй главе рассматривается типичная задача управления инвариантом: задача управления раскачкой робота-акробота до заданной амплитуды колебаний. Основная идея подхода, предлагаемого в данной работе, заключается в том, что задача управления акроботом сводится к задаче управления маятником переменной длины.

В третьей главе рассматривается задача управления синхронизацией многомашинной электроэнергетической сети. В качестве примера рассматривается модель энергетической системы, состоящей из пяти синхронных генераторов. Приведены соответствующие результаты имитационного моделирования.

В четвертой главе изложены основные теоретические результаты ра-

боты по квази-полиномиальным системам. Рассматриваются практические примеры приложений описанных теоретических результатов и приведены соответствующие результаты имитационного моделирования.

В заключении диссертации приводятся итоги диссертационных исследований и формулируются основные результаты работы.

В диссертационной работе рассматриваются сетевые динамические системы, понимаемые как совокупность подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями [9], и описываемые уравнениями

N

Хг = Г (Хг, Щ) + ^^ (ж*> хз)> г = 1, ■ - • , -/V, (1)

¿=1

где Х{ - векторы состояния узлов, щ - управления, постоянные а^ задают граф связей в сети, функции ^ (-) характеризуют локальную динамику г-го узла сети, функции ф (•) показывают взаимодействия между г-ой и _;-ой подсистемами сети.

Пусть у системы (1) есть функция-инвариант Уо(х(£)) = У0 (х^),... , ждг(£)), сохраняющая свои значения вдоль траекторий свободной системы (1) (щ (¿) = 0, г = 1,..., И). Задача управления ставится следующим образом: найти такие законы управления щ (¿), г = 1,..., N, при которых в системе достигается желаемое значение инварианта Ул

Уъ(х{1)) -> Уа, при* оо. (2)

Таким образом могут быть сформулированы многие задачи управления колебательными режимами технических систем. В качестве инварианта может выступать, например, энергия механической системы.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Метод скоростного градиента

В этом разделе описывается синтез нелинейных систем управления на основе метода скоростного градиента, разработанный А.Л. Фрадковым для решения задач адаптивного управления [17], [18]. Для построения метода вводится конечная или интегральная целевая функция (функционал) и цель управления ставится как уменьшение значений целевой функции (функционала) до заданной величины. Метод базируется на использовании функций Ляпунова. Здесь приводятся различные типы алгоритмов скоростного градиента, в дифференциальной и конечной формах, построенные с использованием локальной, интегральной или комбинированной целевой функции (функционала). Устанавливаются сходимость и робастность алгоритмов, а также условия достижения цели.

Также рассматривается случай, когда целевая функция (функционал) не является положительно определенной; этот случай относится к задачам неполной или частичной стабилизации, которые встречаются в задачах управления колебаниями в механических, экономических, экологических системах.

1.1.1 Метод скоростного градиента

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением

х — Р(х, и, ¿)

(1.1)

где I > 0, х € Я,п - вектор состояния объекта, и £ Ят - вектор управлений или вектор настраиваемых параметров. Считаем, что вектор-функция

определена для всех I > 0, х £ В!\ и £ К112, непрерывно дифференцируема по х и и и кусочно-непрерывна по I.

Для построения алгоритма скоростного градиента вводится целевая функция (функционал) С^^ зависящий от вектора состояния объекта управления (1-1). Цель управления ставится как уменьшение значений целевой функции (функционала) до заданной величины:

где постоянные ^ > 0 задаются (или не задаются) в зависимости от задачи. Здесь рассматриваются два основных вида целевой функции (функционала):

1. Локальная функция (функционал), являющаяся скалярной функцией п+ 1 переменных (п-мерный вектор состояния объекта управления и время):

2. Интегральная функция (функционал), зависящая от заданной скалярной функции Я(х, и, £) и включающая п + т + 1 переменных (га-мерный вектор состояния объекта управления, ш-мерный вектор управлений и время):

<3(г) < I > Г,

(1.2)

о

Будем искать управления как функции

и(г) = и [ж(т), и(т)]; 0 < г < г

(1.3)

Задача управления ставится как поиск таких функций (1.3), чтобы в системе (1.1), (1.3) достигалась цель управления (1.2), при этом траектории замкнутой системы оставались ограниченными.

Цель управления (1.2) может выражать и исходную цель управления, и какие-либо требования к системе (т.е. выражать вспомогательную цель). Кроме того, объект управления (1.1) может описывать различные системы или в одной и той же системе описывать разные части системы (переменные х, и могут, например, иметь различный физический смысл). Поэтому сформулированная задача имеет общий характер и может использоваться для постановки разных задач синтеза управления и адаптации.

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением (т.е. п =

где х - состояние объекта, Ь параметр, <Е Я1 - управление, которое требуется найти.

Задание объекта управление в виде (1.4) соответствует передаточной функции \¥(р) = Ь/(тр + 1). Уравнение (1.4) можно записать как (1.1), если взять

Рассмотрим пропорциональный регулятора = 9(х —ж*(£)), гдеж+(£) £ Я1 определяет желаемый режим. Поставим следующую задачу - определить коэффициент усиления в = #(£). В этом случае уравнение объекта управления (1.1) будет иметь другой вид; для его вывода подставим

т = 1):

тх + х =

(1.4)

и = у, Р(х, и, £) =---1- Ъ—.

V = в(х-х^)) и (1.4):

х = — +

х 9Ь[х — ж*(£)]

(1.5)

т

т

)

В (1.5) входным воздействием будет коэффициент усиления 9. Уравнение (1.5) можно привести к виду (1.1), если обозначить в как новое управление и; но полученное уравнение будет описывать билинейную систему, в которой задача поиска управления соответствует задаче адаптации объекта управления (1.4).

Уравнения (1.4), (1.5) описывают объекты управления, линейные по входам, которые в общем виде записываются как

x = A(x,t) + B{x,t)u, (1.6)

где А(х, t) - n-мерный вектор, В(х, t) - пх ш-матрица. Последнее уравнение (1.6) можно записать в виде

т

х = A(x,t) + (1.7)

i=1

где щ - элементы вектора и = (щ,..., ит)Т € Rm, столбцы В{(х, t) Е Rn составляют матрицу B(x,t).

1.1.2 Метод скоростного градиента при использовании локального целевого функционала

Выпишем алгоритм скоростного градиента для случая, когда цель управления записывается с помощью локального целевого функционала Qt = Q(x(t),t). Для этого сначала вычислим скорость изменения целевого функционала Qt(-) вдоль решений системы (1.1), обозначив эту функцию как Qt = cu(x,u,t), и рассчитаем градиент функции w(x/u,t) по управлениям:

и(хг и, £) = + [VxQ{x, t)]T F(x, и, £),

Vuu(x, и, t) =

доо j. dF~

ди _du

VxQ(x,t).

Алгоритм скоростного градиента изменяет управляющие воздействия в направлении, противоположном градиенту скорости изменения целевого функционала, и в дифференциальной форме задается следующим уравнением:

^ = -TVuu(x,u,t), (1.8)

где Г = Гт > 0 - симметрическая положительно определенная матрица (можно выбрать, например, диагональную матрицу Г с положительными диагональными элементами 7¿ > 0, или скалярную матрицу (Г = 7I) с положительным числом 7).

Рассмотрим синтез алгоритма управления на основе описанного метода для объекта управления (1.6). Будем использовать целевую функцию

Q(x, t) = \[у - уМтЩу - уШ (1-9)

где y*{t) <Е Rl - желаемая траектория выхода у = G(x. t) R1, вектор-функция G(x, t) гладкая и Н является матрицей размера I х I.

Вычислим скорость изменения целевой функции (1.9) вдоль траекторий объекта управления (1.6):

co(x,u,t) = [у ~ y,{L)}TH[CA{x,t) + CB{x,t)u-y,{t)}, (1.10) где С = C(x,t) = dG(x,t)/dx. Выпишем градиент функции (1.10):

Vucu(x,v,t) = В(х, t)TCTH[y - y*(t)]. (1.11)

Алгоритм скоростного градиента имеет вид (при B(x,t) = const, C(x,t) = const интегральный регулятор):

^ = B(x,t)TCTH[y-y