Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Джасим Махмуд Дня

Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005016326 3 ¿6 Л

ВОРОНЕЖ - 2012

005016326

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Эфендиев Ахмад Рамазанович, Дагестанский государственный университет доцент кафедры теории функций и фунционалыюго анализа Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич,

Воронежский государственный университет

зав. кафедрой функционального анализа и операторных

уравнений

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич, Военный авиационный инженерный университет профессор кафедры теоретической гидрометеорологии

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 22 мая 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1,ауд.335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ЛР апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.038.22 Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хопфа и др.

К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климатото-логии, теории фазовых переходов в кристаллах, теории нелинейных волн и др. разделов современного естествознания.

В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических- колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Практически отсутствуют алгоритмы приближенного построения и качественного анализа оптимальных периодических колебаний, бифурцирующих из сложной точки покоя динамической системы (с многомодовым вырождением).

Представленные в диссертации численно-аналитические схемы иссле-

дования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, H.H. Красовского, A.A. Шестакова, H.A. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. В частности, результаты по бифуркациям и оптимизации циклов получены посредством «конечномерных усечений» динамических системы (методами функционального анализа) и сведения анализа амплитудно-фазовых показателей циклов к поиску и анализу ветвящихся решений системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.

Цель данной работы — описание поведения решений систем дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, разработка алгоритмической основы для изучения и вычисления многомодовых циклов, создание теоретической основы для амплитудной оптимизации ветвей бифурцирующих циклов.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической устойчивости точки покоя динамической системы.

2. Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.

3. Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, построение асимптотической формулы представления ветвей бифурцирующих циклов.

4. Описание условий оптимальности полигармонического колебатель-

ного импульса по коэффициенту несимметрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа особых точек и циклов динамических систем, развитые в трудах Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др. При иучении многомодовых бифуркаций циклов использованы методы функционального анализа и, в частности, модификации метода Ляпунова - Шмидта (в пределах теории фредгольмовых уравнений). В задаче об амплитудной оптимизации циклов использованы методы математического программирования.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в целом носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на 5-ой международной конференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2012 г.), на семинаре «Теория бифуркаций» проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из опубликованных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации — 104 страницы.

Содержание диссертации.

Введение содержит краткое описание основных результатов диссер-

тации и близкие результаты других авторов.

В первой главе изложены основы анализа асимптотического поведения траекторий динамических систем, описано поведение решений системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близкими к ним. Исследование проведено методами Шестакова A.A. и функции Ляпунова-Красовского. Приведены определения особых точек, интегральных прямых и критических направлений входа траекторий системы в особую точку, приведены известные утверждения о существовании критического направления. Доказана общая теорема об асимптотической устойчивости точки покоя с использованием редукции к системе Пуанкаре-Ляпунова

. п

7--Г = -У* + (1 - р) ]£ И Vj + * (М), 3 = м,

ат 3=1

из которой в качестве следствий выведены новые условия асимптотической устойчивости точки покоя.

Теорема 2. Если существуют числа bs >0, s = 1,п, такие, что собственные значения матрицы ||| (bsasj 4- bjajS) || отрицательный

п _

= 0, то тривиальное решение xs(t) = 0, s = 1,п, исходной

5 = 1

системы асимптотически устойчиво.

При доказательстве использована функция Ляпунова

1 " * s= i

Следствие 1. Если исходная система треугольная и (1 — р) Fss (oj) — 1 > 0, то тривиальное решение системы Пуанкаре-Ляпунова асимптпо-тически устойчиво.

Следствие 2. Если п = 3 и система имеет вид

^ = ~6У1 ~ П/2, = гу1 - у2 - г/12/3,

^т = ~ЬУЗ + 2/12/2,

т.е. является системой типа Лоренца, то тривиальное решение данной системы устойчиво, если 5 > О, Ь > О, г > О.

Для доказательства следствия 2 достаточно в взять = 62 = 63 = 1. При этом будем иметь

¿V Г 2 2.2

= -¿г/1 - г/г -

Например, если 5 — Ь = 1, то

У = \ {у\ + у1 + у1) , ^ = - (г/? + г/1 + 2/з2) < о.

В случае, когда первая строка вида ^ = —¿(2/1—2/2), Лоренц показал, что при <5 = 10, Ь = 8/3 и числе Рэлея г > 24.44 решения системы ведут себя «хаотически», т.е. все решения не устойчивы. Известно (Эфендиев А.Р., Балитинов М.А. Об асимптотической устойчивости в целом одной нелинейной системы. Диф. уравнения, т.44, 1968), что указанное поведение возникает уже при г > го~ 13.92.

В этой же главе описаны области влияния (по В.В. Немыцкому) особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида (шар Тп с центром в начале координат называется сферической областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра содержится целиком хотя бы одна подобная траектория). В диссертации введено также понятие условной области влияния особой точки: шар Тп_; с центром в начале координат, где 0 < I < п, принадлежащий подпространству Еп~1

пространства Еп, называется условной областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра в Еп~1 содержится целиком хотя бы одна подобная траектория, а траектории в шаре Тп произвольны.

Использовано достаточное условие H.H. Красовского о существовании знакоопределенной функции, посредством которой определяется окрестность начала координат, не содержащая (целиком) траекторию системы, отличную от нуля. Доказан ряд утверждений (Теоремы 3 - 8 и следствия) о существовании и поведении интегральных кривых.

Установлен критерий обобщенной однородности порядка р (в терминах соотношения, являющегося обобщением формулы Эйлера для однородных функций). Вещественная вектор-функция F(х), определенная и непрерывная в области D С Rn, называется обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(с, х), если она удовлетворяет соотношению

F{z) = c?l{z,x)F(x),

где г = А(с,х)х непрерывно дифференцируема по х 6 D и по параметру с € (а; £>), I(z, х) — матрица Якоби.

В доказательствах использовано известное топологическое утверждение о том, что каждое векторное поле непрерывное и отличное от нуля во всех точках сферы Sn~l четной размерности, имеет, по крайней мерс, один вектор, нормальный к этой сфере, и некоторые обобщения этого утверждения.

Рассмотрены также системы, близкие к обобщенно-однородным, для которых доказаны утверждения о существовании первых интегралов. В частности, найдены условия существование п независимых первых интегралов, причем (п — 1)-штук из них вычислены в явном виде. Найдены

условия существования явных независимых первых интегралов системы. Доказано предложение об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения (Теоремы 9 - 11 и следствия).

Во второй главе рассмотрена задача амплитудной оптимизации би-фурцирующих циклов при наличии кратных резонансов. Задачи такого типа появляются в радиофизике при исследовании автоколебаний в RC-генераторах, в реальных моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания.

Материал главы развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б.М. Даринского, Е.В. Ладыниной, А.П. Карповой, Д.В. Костина, Ю.И. Сапронова и В.А. Смольянова. Методологической основой представленных результатов является теория гладких 50(2)—эквива-риантных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах, центральным звеном которой является модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный элементами теории особенностей гладких отображений. ■

Изложен алгоритм вычисления бифуркаций циклов и их амплитудной оптимизации (по главным гармоникам).

Доказано (Теоремы 12, 13), что в случае произвольного сильного двойного резонанса главная часть ключевого уравнения, соответствующего исходному уравнению, заменами переменных и параметров приводится к системе уравнений следующего вида:

з

Ain + änrir2 + ä12r2r3 + ä13r?r3 + äur\r 3 + äibrxrzrz + r^ b^rj =

j=l

3 " 2

= A2r2 + ä2i?i + a22rir3 + ä23r2r3 4- a24rir2r3 + а25г1 + a2ßT1r3+ 3

+a27r|r3 + r2£ Ъцг* = A3r3 + ä3irir2 + ä32rl+ з=i

+О33Г1 + Й34Г1Г2 + +Й35^2гЗ + Й3бг| + ГзХ; hjTj = 0.

j=l

На основе этой теоремы можно приближенно вычислять асимптотики амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного двойного сильного резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

Простейшей моделью полигармонического колебательного импульса является тригонометрический полином

п

f(t, = Afccos(to), t £ [ 7г, 7г], Л = (Ai,-,An).

k=l

Коэффициентом несимметрии этого полинома называется число

> fmax

тгт

| J 77ИП |

fmax ■■= max /(£, A), fmin := mm /(i, A).

Достижение коэффициентом несимметрии максимального значения (при вариациях А) обеспечивается решением следующей задачи математического программирования:

п

inf f(t, А) —> sup, t <Е [0,7Г], V" Afc = с (= const > 0). 1 Л i

Решение этой задачи удобно провести, перейдя к алгебраическому полиному

п

V(x,p) = flkXk, я €[-1,1], ц = (цо,т, ... ,Цп),

Jfe=0

который получен заменой косинусов на соответствующие многочлены

Чебышева (первого рода). В случае п = 2т + 1 имеем

\

СОБ(г) = X, соэ(2Ь) = 2х2 — 1, соз(Зг) = 4г3 — За;,

соs(nt) = xn,qx2q+l,

0,..., т

где

С?

А.', г; к—г-т —ц

■ биномиальный коэффициент.

/-ñm+l s~tk o2jt Or ,

Формула для коэффициентов хпл легко выводится из широко известного разложения

сое(п£) = 11е (соэ(£) + I .

При п = 2т последняя строка в серии аналогичных формул имеет следующий вид

s(nt) =

М

9=0,... ,т

n n

Из условия — с следует V(l,/i) = W = с-

fc=l fc=0 Пусть п — 2т +1 и — 1 < < ai < 62 < <22 < .

критические (экстремальные) точки функции V(x,~p):

< bm < ап

dV{bk, м) _ dV(ak,p)

0, к = 1,2, ... ,т.

¿х с!.х

Очевидно, что при этом Ь2> •■• ,Ьт, 1 — точки локальных максимумов, а —1, аь аа, ... ,ат — точки локальных минимумов.

Если /х = ~р — решение рассмотренной экстремальной задачи, то для него с необходимостью выполняется условие Максвелла

У(-1,М) = У{аи-р) = К(а2,Д) = ... = V(aтn,7^).

11

Многочлен степени п = 2т 4-1, для которого выполнено указанное выше условие, называется Ш-многочленом. Общее значение в указанных значениях V обозначается ЯП и называется константой Максвелла. Множество всех 9Я-многочленов называется минимальным стратом Максвелла в пространстве многочленов степени п. Положим

п

N{x,V) = (х + l)(aj + <ц)2 ... (х + ат)2 = ^ Vkxk .

k=0

Теорема 14. Каждый оптимальный многочлен V(x,~p) является Ш-многочленом и для него имеет место следующее представление:

V{x,Ji) = С (Ai{x,V)-V).

Константы С, V при этом, определяются следующими двумя условиями

-г

В диссертации приведены вычислительные формулы, показывающие существование и единственность оптимального многочлена.

Наиболее подробно рассмотрен практически важный случай п = 7. Отыскание экстремумов для коэффицента несимметрии

k ,= Утах = 2(1 - Х2)2(1 - Х4)2(1 - XG f + V(x2, ХА, XG) \Vmin\ \V(X2,X4,X6)\

в этом случае сводится к отысканию экстремумов функции

V(X2,X4,XQ)

Рассмотрев многочлен

7

ЛГ (х, й) = (х+ 1)(х - Х2)2{х - хА)2(х - x6f + V = ^vkxk,

k=О

учитывая, что

(ж — Х2)2{х — х4)2(х — Хв)2 = ( — <73 -I- (Т2Х — (TlX2 + X3)2 = = al-2а2а3х + [р\ + 1ахаъ)х2 - 2(а3 + ага2)хг + (of+2а2)х4-2оххь + ж6, где

Cl = Х2 + xi + Хб, сг2 = X2Xi + x2xq + xixe, <Х3 = £2Я4Жб

(элементарные симметричные многочлены), получим для коэффициентов искомого многочлена выражения (через а = (ci, а2, оз)т)

= сг| 4- , Vi = -2а2а3 + of, Î72 = 2<Jicr3 — 2сг2сг3 + cr|, ^з = — 2o-ia2 4- 2<71стз — 2(т3, У4 = 2сг2 — 2с3 4- ст^ — 2ct1O-2, =-2а1 + 2а2 +af, V6 = 1 - 2сгь> z77 = 1. Несложные преобразования приводят к представлению W = ^^у , Р{а) = 1 - ai + <т2 - <тз, QH = 3/8crf + l/2of + <т§-—'3/4<Ti(j2 + СГ!СГ3 - <72сгз - 5/8cji + 3/4a2 - 3/4(73 + 5/16. Экстремальные значения коэффициентов многочлена Ai определяются уравнениями

^ = 0, Л = 1,2,3.

дак

На рисунке изображен график оптимального импульса в случае с = 1 и соответствующего этому случаю (единственного) экстремального набора значений коэффициентов Л4-многочлена

1 / 65432 1\Т 4 \ 7' Г Г Г Г 7/ ' Минимальное значение M импульсной функции при этом равно

(2(A2 + A4 + A6)-I)= + ! + -l) =

Коэффициент несимметрии равен 7.

Рис. 1

Публикации автора по теме диссертации

[1] Джасим М.Д. Амплитудная оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В. Костин, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. - 2012. - Вып. 1. - С. 99-105.

[2] Джасим М.Д. Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. - 2012. -Вып. 1. - С. 72-74.

[3] Джасим М.Д. Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. - 2010. - Вып. б. - С. 55-63.

[4] Джасим М.Д. О первых интегралах нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Материалы 5 Международной конференции «ФДУ и их приложения». Махачкала: ДГУ. - 2011. - С. 96-102.

[5] Джасим М.Д. Об одной задаче П.К. Суетнна в математической теории антенн/ М.Д. Джасим, Д.В. Костин// Материалы Международной конференции ВЗМШ им. С.Г. Крейна, 25января - 2 февраля 2012 г. -Воронеж: ВГУ. - 2012. - С. 112-115.

[6] Джасим М.Д. Оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В. Костин, А.Р. Эфендиев// Препринт № 43 НИИМ ВГУ. - Воронеж: ВГУ. - 2012. - 23 с.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 11.04.2012 г. Формат 60 х 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ №947

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30

61 12-1/877

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Джасим Махмуд Дия

Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих

циклов

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент Эфендиев А.Р.

МАХАЧКАЛА - 2012

Оглавление

Введение ..............................................................5

1 Особые точки систем дифференциальных уравнений 17

1.1 Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений ............................................................17

1.2 Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида..............22

1.2.1 Основные понятия......................................22

1.2.2 Обобщенно-однородные функции......................23

1.2.3 Системы, близкие к обобщенно-однородным .... 32

1.3 О первых интегралах нелинейной системы дифференциальных уравнений................................................33

2 Оптимизация бифурцирующих циклов при наличии кратных резонансов 39

2.1 Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией ... 40

2.1.1 Основные предположения и условия..................40

2.1.2 Структура ключевой функции в случае резонанса 1:2........................................................43

2.1.3 Анализ главной части ключевой функции. Редукция к краевой особенности ............................46

2.1.4 Вырождение вдоль края (внутреннее вырождение) 47

2.1.5 Вырождение вдоль нормали (внешнее вырождение) 48

2.1.6 Резонанс 1:3 ..........................................48

2.1.7 Резонанс р : <?, \р\ + |д| > 5 ..........................49

2.1.8 Пример: зарождение периодических волн в упругой балке на упругом основании............................50

2.2 Непотенциальные уравнения с кратными резонансами ... 52

2.3 Двухмодовые бифуркации периодических решений уравнения 4-го порядка................................................57

2.4 Алгоритм вычисления коэффициентов главной части ключевого уравнения для ОДУ 4-го порядка....................59

2.5 Трехмодовые вырождения в периодической задаче для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка . . 61

2.6 Построение главной части ключевого уравнения..............64

2.7 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции ........................66

2.8 Алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения

для ОДУ 6-го порядка..........................................67

2.9 Алгебраическая форма главной части ключевого уравнения в случае резонанса 1:2:3 ..................................70

2.10 Приведенное уравнение........................................77

2.11 Анализ ключевых уравнений с двойными резонансами . . 79

2.11.1 Одномодовые и двухмодовые решения................80

2.11.2 Трехмодовые решения..................................82

2.12 Другие случаи сильного двойного резонанса................84

2.13 О бифуркациях циклов из сложного фокуса................86

2.14 Оптимизация полигармонического колебательного импульса 90

2.14.1 Переход к экстремальной задаче для алгебраического полинома..............................................90

2.14.2 Теорема о структуре ШТ-многочлена..................92

2.14.3 Вычислительные формулы............................93

2.14.4 Случай: п = 7.....................

.... 98

Литература.........................

Введение

Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, A.A. Андронова и Э. Хопфа и др.

Несмотря на значительные достижения в общей теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифур-цирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации мно-гомодового вырождения.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б.И. Мосеенков, Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях динамических систем стандартного вида. Задача же приведения произвольной динамической системы к стандартному виду,

вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов решения. И даже для систем стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний.

Представленные в диссертации численно-аналитические схемы исследования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, H.H. Красовского, A.A. Шестакова, H.A. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. [12], [23], [24], [25], [27], [34], [35] - [37]. В частности, результаты бифуркационного анализа циклов получены на посредством построении (методами нелинейного функционального анализа) «конечномерных усечений» динамической системы и сведения поиска и анализа амплитудно-фазовых показателей периодических колебаний к поиску и анализу ветвящихся решений некоторой системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.

К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климато-тологии, теории фазовых переходов в кристаллах и теории нелинейных волн. Проблема многих мод возникает при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и др. разделах современного естествознания.

В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.

Цель данной работы — описание поведения решений систем диффе-

ренциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, создание алгоритмической основы для анализа, вычисления и оптимизаци ветвей бифурцирующих циклов.

Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической устойчивости точки покоя динамической системы.

2. Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.

3. Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, описание формулы асимтотического представления ветвей бифурцирующих циклов.

4. Описание условий оптимальности полигармонического многочлена по коэффициенту несиммстрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.

В работе использованы качественные методы (Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др.) анализа особых точек и циклов динамических систем. При изучении многомодовых ветвей бифурцирующих циклов использованы методы функционалного анализа и, в частности, модификацированный метод Ляпунова - Шмидта (в рамках теории фред-гольмовых уравнений), а также методы математического программирования.

Данная работа в целом носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Результаты диссертации были доложены на 5-той международной кон-

ференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2012 г.) и на семинаре «Теория бифуркаций» проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из представленных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [42], [44] соответствует списку ВАК РФ.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации — 104 страницы.

Введение содержит краткое описание основных результатов диссертации и близкие результаты других авторов.

В первой главе изложены основы асимптотического анализа траекторий динамических систем. Описано поведение решений системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близкими к ним. Исследование проведено методами Шестакова A.A. и функции Ляпунова-Красовского. Приведены определения особых точек, интегральных прямых и критических направлений входа траекторий системы в особую точку, приведены известные утверждения о существовании критического направления. Доказана общая теорема об асимптотической устойчивости точки покоя с использованием редукции к системе Пуанкаре-Ляпунова

dy п

= -уа + (1~P)Y1 Fsi yj + а (М)' s =

3=1

из которой в качестве следствий выведены новые условия асимптотической устойчивости точки покоя.

Теорема 2. Если существуют числа bs > 0, s = 1 ,п, такие, что собственные значения матрицы ||| (bsasj + отрицательны и

п _

bsois = 0, то тривиальное решение xs(t) =0, s = 1,п, исходной

S=1

системы асимптотически устойчиво.

При доказательстве использована функция Ляпунова

1 п

У{у1,...,уп) =

А 8=1

Следствие 1. Если исходная система треугольная и (1 — р) Г88 (со) — 1 > 0, то тривиальное решение системы Пуанкаре-Ляпунова асимптотически устойчиво.

Следствие 2. Если п = 3 и система имеет вид

% = -5У1 + 6У2,

^ = гу1-у2- 2/12/3, % - -Ьу3 + ШУ2,

т.е. является системой типа Лоренца [38], то тривиальное решение данной системы устойчиво, если <5 > О, Ь> О, г > 0.

Для доказательства второго следствия достаточно в взять Ъ\ = = ¿>з = 1. При этом будем иметь

^ х 2 2 и 2

Например, если 8 — Ъ = 1, то

В случае, когда первая строка вида ^ = — 8(у\ —уг), Лоренц показал, что при 8 = 10, Ь = 8/3 и числе Рэлея г > 24.44 решения системы ведут себя «хаотически», т.е. все решения не устойчивы. Известно (см. [37]), что указанное поведение возникает уже при г > го ~ 13.92.

В этой же главе описаны области влияния (по В.В. Немыцкому) особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида (шар Тп с центром в начале координат называется сферической областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая

особую точку, в то время как в шаре большего диаметра содержится целиком хотя бы одна подобная траектория). В диссертации введено также понятие условной области влияния особой точки: шар Tn—i с центром в начале координат, где 0 < I < п, принадлежащий подпространству Еп~1 пространства Еп, называется условной областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра в Еп~1 содержится целиком хотя бы одна подобная траектория, а траектории в шаре Тп произвольны.

Использовано достаточное условие H.H. Красовского о существовании знакоопределенной функции, посредством которой определяется окрестность начала координат, не содержащая (целиком) траекторию системы, отличную от нуля. Доказан ряд утверждений (теоремы 3 - 8 и следствия) о существовании и поведении интегральных кривых.

Установлен критерий обобщенной однородности порядка р (в терминах соотношения, являющегося обобщением формулы Эйлера для однородных функций). Вещественная вектор-функция F(x), определенная и непрерывная в области D С Rn, называется обобщенно-однородной порядка р класса матрицы А(с, х), если она удовлетворяет соотношению

F(z) = (fl{z,x)F{x),

где г = А(с, х)х непрерывно дифференцируема по х £ D и по параметру с £ (а; b), I(z,x) — матрица Якоби.

В доказательствах использовано известное топологическое утверждение о том, что каждое векторное поле непрерывное и отличное от нуля во всех точках сферы Sп~1 четной размерности, имеет, по крайней мере, один вектор, нормальный к этой сфере, и некоторые обобщения этого утверждения.

Рассмотрены также системы, близкие к обобщенно-однородным, для

которых доказаны утверждения о существовании первых интегралах. В частности, найдены условия существование п независимых первых интегралов, причем (п — 1)-штук из них вычислены в явном виде. Найдены условия существования явных независимых первых интегралов системы. Доказано предложение об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения (теоремы 9 - 11 и следствия).

Во второй главе рассмотрена задача амплитудной оптимизации би-фурцирующих циклов при наличии кратных резонансов. Задачи такого типа появляются в радиофизике при исследовании автоколебаний в КС-генераторах, в реальных моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания.

Материал главы развивает и дополняет более ранние результаты исследований В.М. Даринского, Е.В. Ладыкиной, А.П. Карповой, Д.В. Костина, Ю.И. Сапронова и В.А. Смольянова. Методологической основой представленных результатов является теория гладких 50(2)—эквива-ри-антных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах, центральным звеном которой является модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный элементами теории особенностей гладких отображений.

Изложен алгоритм вычисления бифуркаций циклов и их амплитудной оптимизации (по главным гармоникам).

Доказано (теоремы 12, 13), что в случае произвольного сильного двойного резонанса главная часть ключевого уравнения, соответствующего исходному уравнению, заменами переменных и параметров приводится к системе уравнений следующего вида:

з

А!П 4- а\\Г\Г2 + Й12Г2Г3 + ахзг^гз + аиг1г3 + а^г^г3 + п^ Ъ^г* =

¿=1

= А 2г2 + а21Г? + Й22ПГ3 + а2тп + а24пг2г3 + а25г\ + ¿26^3+

+027^2^3 + ЬЧГ) = A3f3 + 031Г1Г2 + а32Гз +

3 =1

3

+а33г? + а34Г1Г2 + +а35т|г3 + а36Г2 + = 0.

3=1

Ha основе этой теоремы можно приближенно вычислять асимптотик амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного двойного сильного резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

На основе представленной в диссертации теории приближенно вычислять асимптотики амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного (кратного) резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

Простейшей моделью полигармонического колебательного импульса является тригонометрический полином

п

f{t,X) Аа COS(fet), t е [—7Г, 7г] , Л = (ЛЬ -,Л„). (0.1)

k=1

Коэффициентом несимметрии этого полинома называется число

, fmax

ТГТ

I j тгп I

/шах := max f{t, А), fmin := min f(t, А).

t 1

Достижение коэффициентом несимметрии максимального значения (при вариациях Л) обеспечивается решением следующей задачи математического программирования:

inf f(t, Л) —> sup, t G [0,7г], V^ \к = с (= const > 0). А fc=l Решение этой задачи удобно провести, перейдя к алгебраическому полиному

п

V{x,n) = ^ /1кхк, X G [-1,1], = ... ,/лп),

к=0

который получен заменой косинусов на соответствующие многочлены Чебышева (первого рода). В случае п = 2т + 1 имеем

сов(^) = х, сов(2г) = 2х2 — 1, сов(3£) = 4ж3 — Зх,

со з(п£)

д=0,..., то

где

С?

х,

п,д

= (-1)т+9 Е

А;

г >

(0.2)

Ж

1!(Р-0

А;, г; к—г—т—д , биномиальный коэффициент.

Формула (2.57) для коэффициентов нпл легко выводится из широко известного разложения

сов(п^) = Ые (соз(£) + г зт£)п .

При п = 2т последняя строка в серии аналогичных формул имеет следующий вид

сое

(пЬ) = Е

■X

2«

д=0,... ,то

< ьт < а

т

~ \ к—г=т—д 2к ^г •

п п

Из условия X) Хк = с следует У(1,¡1) = ^ ць = с.

к=1 А;=0

Пусть п = 2т +1 и ~1 < Ъ\ < а\ < Ь2 < а2 < .

критические (экстремальные) точки функции У(х,~р):

= » = 1,2,...,т.

ах

Очевидно, что при этом Ьх, Ь2, ... ,Ьт, 1 — точки локальных максимумов, а —1, ах, а2, ... ,ат — точки локальных минимумов.

Если /I — ц — решение рассмотренной экстремальной задачи, то для него с необходимостью выполняется условие Максвелла

У(-1 = У(о1,Д) = У(а2,Д) = ... = У{ат,'р).

Многочлен степени п = 2т + 1, для которого выполнено условие (2.60), называется Ш-многочленом. Общее значение в выражениях (2.60) обозначается Ш и называется константой Максвелла. Множество всех Ш-многочленов называется минимальным стратом Максвелла в пространстве многочленов степени п. Положим

п

Щх,й) = {х + 1)(х + а1)2 ... (х + ат)2 = ^ йк хк .

к=0

Теорема 1