Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Тинюкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 6 СЕН 2013

005533272

Ижевск — 2013

005533272

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУВПО «Удмуртский государственный университет».

Научный руководитель

доктор физико-математических

наук, профессор Ю. П. Чубурин Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Ю. П. Вирченко кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Зайцев Ведущая организация — Башкирский государственный

Защита состоится 16 октября 2013 г. в 16.00 ч. на заседании диссертационного совета (Д 212.015.08) по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в НИУ «БелГУ», по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, д. 14, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НИУ «БелГУ».

Автореферат разослан ['О сентября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

университет

кандидат физ.-мат. наук

С. А.Гриценко

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, работы [1-4]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швингера, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см., например, [5]). Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Ъл, (1 ^ 1 (см., например, работы [6-11]). Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является разностное уравнение Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре. Предмет исследования — спектральные свойства и задача рассеяния для данного оператора Шредингера. Методы исследования. В работе используются методы разностных уравнений функционального анализа и спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных. Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1) доказаны теоремы существования и единственности квази-

уровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) найдены вероятности распространения квантовой частицы в возможных направлениях для данного оператора, получены условия полного отражения (прохождения);

3) доказаны теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Шредингера. отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) найдены вероятности прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого потенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в квантовой теории твердого тела.

Апробация диссертации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались:

- на Ижевском городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е. Л. Тонкова (2009 г.);

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XX" (2009 г.), "Понтрягинские чтения - XXI" (2010 г.); Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 119 страниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического

списка, состоящего из 44 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор основных результатов в исследовании разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре. Отмечены работы близкие по содержанию к теме диссертации. Обосновывается актуальность темы исследования, пояснена ее научная ценность. Дан краткий обзор содержания работы по главам.

Обозначим через Q объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

g=(Zx{0})U({0}xZ),

а через 12(Х), где X С 1? — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

(<Р,Ф)1*(Х)= ¡р(п,т)ф(п,т).

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискретный) оператор Шредингера Но, действующий в 12(б) следующим образом:

{ПоФ){0,0) = ^(1,0) +v(-i,o) +V(o,i) + V>(o,-i),

(W)(n,0) = V(n+l,0) + ^(n-l,0), пф О, (1)

(П0Ф)(0, т) = ф{0, т + 1) + 0(0, т - 1), т ф 0.

Оператор Tío является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих

на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

Перечислим основные результаты первой главы.

Найден вид 1Z0(\) (резольвенты оператора Tío)., исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 1. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2,2].

Введем в рассмотрение оператор HQl : l2(Z) —> /2(Z), действующий по правилу

(H0l<p)(n) = </?(п - 1) + ip(n + 1), neZ.

Ядро резольвенты ñ0i(A) = (Hqi — Л)-1 оператора Но\, вообще говоря, продолженное по параметру А на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Щг и обозначать

1 /А - \/А234\

G0i(A,n - m) = --

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала ( — 2,2).

Рассмотрим оператор Шредингера Не = Но + eV с малым параметром е > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n,т) ф 0 (потенциал), удовлетворяющую условиям

|V(n,0)K/3e-alnl, jV(0,m)K/?e-a|rnl, п,т е Z, а,0>О, (2)

V описывает влияние примесей. Оператор Нс является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок.

Уравнение Шредингера для оператора НЕ имеет вид

(Н0 + eV)4> = AtI). (3)

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим а(А) и cress(/l) соответственно.

Уравнение (3), рассматриваемое в классе l2(Q), для Л ^ cr(?i0) можно записать в виде

Ф = -П0(Х)Уф. (4)

Перейдем к новой неизвестной функции ip = \/\\Л,Ф и положим \/V = \/]V|sgnV (только для V). Тогда уравнение (4) можно переписать в виде

<р = ->/ЩПо{\)у/Уч> (5)

и, продолжая оператор -y/\V\lZ0(\)\/V на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Т10 (ядра резольвенты TZ0(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для Л G М.

Определение 1. (см. [12]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора TiE, если существует ненулевое решение ip б 12{Q) уравнения (5).

Определение 2. Квазиуровнем оператора Не будем называть его собственное значение или резонанс. В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (4) (соответствующие решению уравнения (5) iр е I2 {(/')), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

Найден критерий существования квазиуровня оператора TiF . Исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора НЕ-

Для произвольной функции ip(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

f(f) = fi\v) = (RoiWv) (1) + (Ят(А)?)(-1),

<Pi(n) = (р(п,0), cp2(m) = ip(0,m), n,meZ.

Теорема 2. Оператор 7ie для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

Доказаны существование и единственность решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' <Мп,А) = \Z\vT\eikn - £v№*oi(A)VVm(n, А) + vW *

х2cosb cf(^mRoi(mnh п е Zi

1 - Р{о)

ip2{m, А) = + VT^I х

х -2oosk + ef{VV^)-ef(VV^)mRoi{mm).

1 - Р{6)

(6)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 3. Предположим, что к = As, в случае знака «+» или к = Ае в случае знака «-», где к — -ж - к, А ^ 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых s существует единственное решение 6 l2(Q) модифицированного уравнения Липпмана - Швинге-ра (6), имеющее вид

= vTÎM^](±l)"+1(l + П - \n\)Aie + 0(е2), V>2 (т,е) = у/Щт)\(±1)т+1Аге + 0(£2).

Описана картина рассеяния для оператора ТСе, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через А) вероятности прохождения вдоль оси m вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси п вправо и влево соответственно.

С- = 2 Л2 - +з ~ |j|)V2(j) +

jez

+ - 2 + Il - j| + Il + Jl)(l + j - |j|)Vi(j),

jeZ

К- = 2Л2 - iЛг + j -\j\)V2(j)+

j 6Z

+ \Ai - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ \3\)Vi{j).

j'ez

Теорема 4. В условиях теоремы 3 для X достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+( А) = Р+( А) = Р2"(Л) = Л2£2 + 0(£3), р-(Л) = 1 + (Л2 - 2СГ)£2 + 0(е3);

и для X достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( А) = Р+(А) = Р"(А) = Л2£2 + 0(£3), р-(А) = 1 + (Л2 - 2К")£2 + 0(£3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 4, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5. Пусть X = 2cos к, к & (—7Г, 0) фиксировано. Тогда Р+{ X) = (1 + Е)2 + В2 + 0(£), Pf(A) = Е2 + В2 + 0(е), Р±( А) = D2 + В2 + О(е),

где

2 + 2 cos 2k + sin2 2к sin2fc(l + cos2Ar)

Е = -~-——-—s—-, В =

(1 + cos2к)2 + 4sin2 2к' (1 + cos2к)2 + 4sin2 2fc'

2 sin2 2к

D =

(1 + cos2A:)2 +4sin22fc'

Получены следующие результаты о квазиуровнях оператора H — Wo + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

ли л f vo(ôn,n + ôn-n), m — о,

V(n; m) = ^

l 0, n = 0

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет «резонансный» характер.

Теорема 6. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 достаточно близких к ±1 /N существует единственный квазиуровенъ Х± = 2 cos k± оператора И, причем

^0 + 1)+О(У0 + 1).

= —7Г —

2) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений Ро достаточно близких к ± —-- существует единственный

квазиуровенъ \± = 2 соз к± оператора И, причем

к+= {N~1)2i

{N -i)2 + ï О - ЛГЗl) + " лгзт) • (N-1P+I (^Л^М^ + жЬ)"

Кроме того, доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора И с «налетающей волной», распространяющейся вдоль Ъ х {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 7. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = О для всех достаточно малых существует единственное решение А уравнения Рх~ (А) = 0, причем

А = О(У03).

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шредингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., ЛГ} С 1?.

Введем в рассмотрение оператор Но — (Н01 ® 1) + (1 ® Н02), действующий в ?2(Г). Оператор Н01, действующий в /2(2), определен выше. Оператор Я02 действует в ¿2({1,..., Лг})= Сл' и определяется равенствами

(я02<£>) (тп) = 1р(тп - 1) + 1р(ттг +1), тп = 2,..., N - 1, (Но2<р)(1) = <Р(2),

(Яо2<л)(Л0 = ^ - !)•

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для тп = О, N.

Положим Не — Н0 + ¿V, где £ > 0, а V является оператором умножения на вещественную функцию У(п, тп) ф 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| К(п,т)К/Зе"«'™1, п е Ъ, тп е { (7)

причем а > 0.

Найден вид функции Грина £70(п, т, п', т', А) оператора Но.

7tj т . fij = Л - 2cos Jj—j = l,...,I\,

N+l

Лемма 1. Имеет, место формула N

G0(n, т, п\ т', А) = ¿ a2 sin (^у) sin Goi ("-«', Mi),

j=i

где

n

A ,

j'=i

[_2 + 2cos__,2 + 2cos —

Данное объединение совпадает с а(Н0). Изучены спектральные свойства оператора НЕ. Теорема 8. Справедливо равенство

aess(H€) = а {Н0). Теорема 9. Предположим, что для некоторого j € {1, ■ - ■, N}

vf = £ (i1)"'sin2 (jrTí)v{n''m,) ф (п',ш')ег2

Тогда в некоторой окрестности точек Aj0 = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых е > 0 существует, единственный квазиуро-венъ А* = А^(е) оператора Н£, аналитически зависящий от £, для которого справедлива формула

A±(e) = ±2 + 2coe^±(^)W).

втЛ,- = - а/1 - (м,-/2)2, = 1,...

В окрестности точки До рассмотрим уравнение Липпмана -Швингера

ф(п,т,\) = ■фо(п,т,\) - е (*о(п ~ п',тп,т',\)х

(п',т')ег

хУ(п',т')-ф{п',т',\), (8)

где «налетающая волна» (записанная для переменной к^) имеет вид

^о(п1т,А) = «8т(^)е^о (9)

и удовлетворяет уравнению Нофо = Ат/'о-Положим

7 (п',ш')€Г

(10)

Будем предполагать, что

В следующей теореме описано рассеяние вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов.

Теорема 10. Пусть выполнено (11)- Тогда для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р_ = 1 — Р+ в точке Ао справедливы формулы

Р+= £ |5,,0+Л+(А0)|2

j:\o-2cos ^6(-2,2)

4-(А0-2со3^т)2 , Л „ тгд, \2'

р- = Е И7(до)

j:\o~2cos —2,2) \

(\ о ^

— (Ло — 2соэ

О

2 С08

лг-ЫУ > (12)

I 2

где А) определяются равенством (10).

Лемма 2. Предположим, что для из (9) и всех достаточно малых е справедливо равенство к]0 = Ае в случае знака «+» или к^0 = Ае в случае знака «-», где к]0 = —к - А ф 0 - вещественная константа. Тогда для решения ■ф уравнения Липпмана-Швингера (8) имеет место равенство

где

(п,т)еГ

Это означает, что для малых потенциалов рассматриваются «скользящие» налетающие электроны, имеющие малые угла падения.

Теорема 11. В условиях леммы 2 справедливо равенство

Р = а4(^)2 а4(£^)2 +0(е)

В третьей главе изучается рассеяние для уравнения Шрединге-ра на трехмерной решетке с возмущенным периодическим потенциалом, отвечающим бесконечному кристаллу с внедренным плоским слоем. В частности, для малых потенциалов слоя и, одновременно, малых перпендикулярных по отношению к слою компонент скорости налетающей «блоховской» частицы, получены формулы прохождения (отражения), имеющие в своем составе скорость частицы и интеграл по ячейке от

произведения квадрата модуля блоховской волновой функции и потенциала слоя.

Рассмотрим оператор Шредингера вида

Н = Но + ¥(п) + гШ(п), п = (пьгг2:п3) е Ъг,

действующий в 12{1?). Здесь Но действует по формуле

(Ш0ф){п) = ф(пх + 1,п2,п3) + тр(п1 - 1,п2,п3) + ф(п1,п2 + 1,п3)+ + ^(пъп2 - 1,п3) + ф(п1уп2,п3 + 1) + ■ф(п1,п2,п3 - 1),

V(п) — вещественный периодический потенциал по всем переменным п], = 1,2,3 с периодом Т ^ 1, Щ(п) — вещественный периодический по переменным П1,П2 с периодом Т ненулевой потенциал, удовлетворяющий оценке

Се~а|пз1, а > 0, (13)

£ > 0 — (малый) параметр. Оператор И представляет собой гамильтониан электрона в конечно-разностном приближении в периодической слоистой структуре.

Через 12(А) ® Ь2(В), где А С Хп, В — измеримое множество в Шт, будем обозначать гильбертово пространство измеримых по х функций 1р(п,х), где (п,х) е А х В, таких, что

«бЛ^

с обычным скалярным произведением.

Для исследования оператора И потребуется унитарный оператор

и : 12{Ъ3) -> 12(П0) ю Ь2{П*0) [ 12{0,0)<1к,

<p 6 p¡z3) ^ (U<p)(n,k) = ф{п,к) =

i/gZ3

где fio = {0,1,..., T — l}3 и Щ = [0,2-я/Т)3 — ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим Ну = Но + V(n). Оператор UWyUзадается семейством операторов Ну (/с) = Ho(/c)+V, действующих в /2(Г20), где к = {к\,к2, k¿) £ Í2J — квазиимпульс, а оператор Н0(А;) имеет тот же вид, что и оператор Но, но с использованием свойства блоховости

ф{п + Тщ, к) = eiT{no'k)(p(n, к)

в случае n,±l ^ {0,..., Т— 1}, j — 1,2,3. При этом говорят, что оператор Ну разложен в прямом интеграле пространств f^l l2(Q0)dk.

Для исследования оператора Н потребуется также унитарный оператор

Щ : 12(1?) 12{П) ® L2(fl*) d~f [ 12(0.)с1кц, (14)

Jn'

V € ¿2(Z3) (U\\ip)(n, А;ц) = ф{п,к{]) =

¿i6Z2

где П = {0,1 l}2 x Z, Í2* = [0,2тг/Т)2, Ц = {kuk2). Свойство

блоховости здесь имеет вид

<¿(n + T(nO||,0),/c||) = eir("°»-fci^(ra-|¡).

Оба оператора Ну и Н могут быть разложены в прямом интеграле пространств Jj^, l2(Q)dk\\ в семейства операторов Ну(/сц) и Н(/сц).

Пусть А0 = Ато(/с0), где к0 = (к10,к20,к30) — невырожденное собственное значение оператора Hy(fco), отвечающее нормированному

собственному вектору фто(п,к0). В дальнейшем предполагается, что

дХто{к0)/дк3 = 0, д2Хто{к0)/дк2 ф 0.

Уравнение дХто(к)/дк3 = 0 задает в окрестности точки к0 поверхность, описываемую аналитической функцией к= к^(кц), где /сц принадлежит некоторой окрестности точки /с0ц =

Уравнение Amo(fc) = А, рассматриваемое относительно к3, имеет для fey из окрестности точки /с0Ц Ровно Ава решения к3] = k3j(k^,X), j = 1, 2, аналитически зависящие от А там, где /с31 ф к32 и сливающиеся, если к = к0. Положим Çj = k3j - kf\k\\). j = 1,2.

Рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера в l2(Z3), отвечающее оператору Н, имеющее вид

к)-£ ]Г Gv(n,n',\ + iO)V/{n')ip{n'), (15)

n'ez3

где Gv(n,n',A) — функция Грина оператора Ну в l2(Z3), А = Ато(к) принадлежит внутренности одной из зон (промежутков, образующих спектр оператора Н), причем выбираем к3 = к3\ (см. выше). Положим

«рег(*||) =f +

M 6Z2

Применим к (15) оператор t/ц, тогда получим уравнение Липпмана-Швингера в ячейке П:

27Г

- £ J] Gv(n, n', fcy, A + tO)W(n')^(n', Л||), (16) n'en

где Gv(ni n', ¿ц, A) — функция Грина оператора Ну(^ц). В дальнейшем будем предполагать, что

= Ае, А = const ф 0. (17)

Лемма 3. Предположим, что выполнено (17). Тогда для Ц из некоторой окрестности точки к0ц и достаточно малых £ существует единственное решение уравнения Липпмана-Швингера в ячейке П (16) вида

Т

iAd*\ma{kbkf)ldkl 0{ iAdi\mo{kbkf)ldkl- Wo

<W(&n - ¿у ),

где

= Т&гпо (п, (Л||, )), W(n)фто (п, (Ц, к^))),

а величина уЩп)0(£) аналитически зависит от как 12(П)~

значная функция и удовлетворяет оценке

(п)0(е)\\ < Се, С = const.

Найдена асимптотическая формула для решения исходного уравнения Липпмана-Швингера (15), результат отражен в следующей теореме.

Теорема 12. В условиях леммы 3 имеем равенства ф(п) = а+фто(п, (Л-ц, fc3i)) + V+{n) + О(е), п3 ^ О, Ф(п) = Фт0(п, (kt,k31)) + а-фто{п, (Ац,кз2)) + + 0(е), п3 < О,

где

а+ - ^Ад2Хто (k\\,k^)/dk3 = idXmo(khk3l)/dk3

iAd^X^k^k^/dk2 - Wo гдХто(кп,к31)/дк3 - eW0 + °{£>'

а_ __Wo___eWo_

iAcPXmo(kbk^)/dq -W0 ~ idXm0(khk31)/dk3~6W0+O{£]'

а функции г]±(п) = t]±(n, k) удовлетворяют неравенству (13) и аналитически зависят от к как 12{П±)-значные функции, где П+ - Пп{п3 > 0}, П_ =ОП{п3 < 0}.

Описана картина рассеяния вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса собственного значения оператора Шре-дингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер еШ. Получены следующие простые формулы для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р- :

Цитируемая литература

1. Miroshnichenko А. Е. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. E. Miroshnichenko, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E. -2005. -Vol. 72, №5. -056611 (7p).

2. Bellissard J. Scattering theory for lattice operators in dimension О 3 / J. Bellissard, H. Schulz-Baldes, // Rev. Math. Phys. -2012. -Vol.

24. -1250020 (51p).

3. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on ZN, N ^ 1, lattices / N. I. Karachalios // J. Phys. A: Math. Theor. -2008. -Vol. 41, №45. -455201.

4. Ziletti A. Coherent transport in multi-branch circuits / A. Ziletti, F. Borgonovi, G. L. Celardo, F. M. Izrailev, L. Karlan, V. G. Zelevinsky // Phys. Rev. B. -2012. -Vol. 85, №5. -052201 (5p).

5. Btittiker M. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings / M. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. -1985. -Vol. 31, №10. -P. 6207-6215.

6. Ptitsyna N. A lattice model for resonance in open periodic wavequides/ N. Ptitsyna, S. P. Sliipman // arXiv: 1101.0170vl |math-ph|. -2010.

P+ = KI2 =

(d\mo(k{bk3l)/dk3f

+ 0(e),

(dXmo(k[bk3l)/dk3)2 + £2Wl s2W2

{d\mo(k\\, k3i)/дкз)2 + £2Wq

+ 0(s).

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шредингера на графе / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2010. -Т. 165, № 1. - С. 119-133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовой бильярде в приближении сильной связи / А. А. Арсеньев // Теор. и матем. физика. -2004. -Т. 141, № 1. - С. 100-112.

9. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев. А. М. Халхужаев // Теор. и матем. физика. -2008. -Т. 155, X» 2. - С. 287-300.

10. Chung F. Discrete Green's Function / F. Chung, S.-T. Yau // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2000. -Vol.91, №1-2. - P. 191214.

11. Rivkind A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model / A. Rivkind, Y. Krivolapov, S. Fishman, A. Soffer // J. Phys. A.: Math. Theor. -2011. -Vol. 44, №30. -305206 (19p).

12. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крон, X. Хольден. -М.: Мир, 1991. -568 с.

Публикации автора по теме диссертации

1. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. -2009. -Вып. 3. -С. 104-113.

2. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 2. -С. 88-97.

3. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 1. -С. 99104.

4. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шредингера для пересекающихся квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 3. -С. 74-84.

5. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 4. -С. 80-93.

6. Тинюкова Т. С. Рассеяние электрона на кристаллической пленке / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2013. -Т. 176. 3. -С. 444-457.

7. Ашихмина Т. С. О свойствах одного конечно-разностного уравнения на графе / Т. С. Ашихмина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XX». -Воронеж, 2009. - С. 202.

8. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXI». -Воронеж, 2010. -С. 280.

9. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин, // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXIII». -Воронеж. -2012. -С. 212.

Авторская редакция

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 05.09.13. Формат 60x84 '/|6. Тираж 100 экз. Заказ № 1560.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2. Тел. 68-57-18

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Удмуртский государственный университет»

Тинюкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Чубурин

04201361633

На правах рукописи УДК 517.958:530.145.6

Ижевск - 2013

Оглавление

Введение................................................................3

Глава 1 Разностный оператор Шредингера для квантовых проволок............................................23

§ 1. Предварительные сведения......................................23

§ 2 . Спектр и резольвента невозмущенного оператора............26

§ 3 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора..................32

§ 4. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора..........................................................41

§ 5 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора..........................................................48

§ 6 . Квазиуровни и рассеяние для оператора Н ..................58

Глава 2 Разностный оператор Шредингера для квантового волновода..........................................65

§ 7. Спектральные свойства оператора..............................65

§ 8 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора..................75

§ 9 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора..........................................................83

Глава 3 Рассеяние электрона на кристаллическом слое . 95

§ 10 . Вспомогательные конструкции и утверждения................95

§ 11. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора..........................................................101

§ 12 . Рассеяние для слабо возмущенного оператора................108

Список литературы.........................114

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, с1 ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано суще-

ствование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера //(/с), полученных из двухчастичного оператора, где к - двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н(к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных

аналогов операторов Шредингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

Целью работы является исследование собственных значений и резо-нансов, а также изучение задачи рассеяния для разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств разностного уравнения Шредингера с потенциалами определенного вида;

2) исследование существования и поведения квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) для разностного оператора Шредингера в случае малого потенциала;

3) исследование рассеяния, нахождение в определенных случаях простых формул для вероятностей прохождения и отражения.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования и единственности квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) нахождение для данного оператора вероятностей распространения квантовой частицы в возможных направлениях, получение условий полно-

го отражения (прохождения);

3) теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Щредингера, отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) нахождение вероятностей прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого петенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Перейдем к подробному обзору содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав (двенадцати параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений, замечаний и следствий (например, теорема 2.4 — это четвертая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

Обозначим через Я объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

О — (Ж х {0}) и ({0} х Ж),

а через 12(Х), где X С Ъ2 — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

{<Р,Ф)р(х)= (р{п,т)ф(п,т).

(■п,т)еХ

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискрет-

ный) оператор Шредингера Но, действующий в 12{Q) следующим образом:

(П0ф)(0, 0) = ^(1, 0) + ф(-1, 0) + ф{0,1) + -0(0, -1),

('Н0ф){п, 0) = ф(п +1,0) + ф{п -1,0), п ф 0, (0.1)

{П0ф){0,т) = ф(0,т + 1) + ф{0,т- 1), т ± 0.

Оператор Но является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в физической литературе (см., например, [2]). Близкие модели исследованы в работах [7, 8]. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.

Резольвенту оператора Но обозначим через 7\L0(A) = (Но — \I)~l (в дальнейшем, следуя [17], для краткости опускаем единичный оператор)

Во втором параграфе найден вид 7£о(А), исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 2.4. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2, 2].

Введем в рассмотрение оператор Hqi : ¿2(Z) —¥ l2(Z), действующий по правилу

(H0iip)(n) = (р(п - 1) + tp(n +1), n e Z.

Резольвенту оператора Я01 обозначим Rqi(X) = (#01 — А)-1. Ядро резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Л на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Hq\

и обозначать

Х-у/Ж^А 2

\п—т\

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Hqi (см. [15]).

В §§3-5 работы рассматривается оператор Шредингера 1~Le = 1-Lq + eV с малым параметром г > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n, т) ф 0, удовлетворяющую условиям

|V(n,0)| ^ /Зе~а|п|, |V(0,m)| ^/Зе-а|т|, n,meZ, а,/3>0. (0.2)

В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор У.е является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, при этом V описывает влияние примесей.

Уравнение Шредингера для оператора %£ имеет вид

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим ст(А) и сгезз(А) соответственно.

Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе /2(£), для Л 0 сг{Т-Со) можно записать в виде

("Но + = А ф.

(0.3)

Перейдем к новой неизвестной функции = ^/ГЙ^ и положим

(только для V). Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде

(0.5)

и, продолжая оператор — \J\V\R-o(X)yfV на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Но (ядра резольвенты TZq(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для A G М.

Определение 0.1. (ср. [29]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора Не, если существует ненулевое решение ip G l2(Q) уравнения (0.5).

Определение 0.2. (ср. [30]) Квазиуровнем оператора Н£ будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (0.4) (соответствующие решению уравнения (0.5) (р G 12{G)), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

В третьем параграфе работы найден критерий существования квазиуровня оператора 7ie.

Кроме того, в этом параграфе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора Н£.

Для произвольной функции (¿>(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

/(</>) = ДА, <р) = (Я01(AV) (1) + №i(A)<p) (-1), (0.6)

(pi(n) = </?(n, 0), ip2(m) = (р(0,т),

Теорема 3.5. Оператор 1-L£ для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

В четвертом параграфе доказаны существование и единственность для решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' (fi(n, А) = ^/Ще^ - e^\R0l(\)VVm{n,\) +

+ Vlvil-1 _ p^-R0i{X)d{n),n <E Z,

ip2{m, A) = -£y/\V2\Roi{X)y/%(p2{rn, A)+ , /рТТ-Г-2 cos к + ef(VVm) - ef(VV2(p2)f(6)

+ Vlv2|-1 _ -/%(A)ô(m), m <E Z.

(0.7)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 4.6. Предположим, что к = Ае1 в случае знака «+» или к — Ае в случае знака «—», где к — —7Г — к, А 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых £ существует единственное решение tp Е l2(Ç) модифицированного уравнения Липпмана - Швингера (0.7), имеющее вид

<Pi(n, е) = \/|Vi(n)|(±l)n+1(l + п - \п\)Аге + 0(£2), е) = у/Щт)\(±1)т+1 Аге + 0(е2).

В пятом параграфе описана картина рассеяния для оператора 7ïe, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через вероятности прохождения вдоль оси От

вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси On вправо и влево соответственно.

Положим

С- = 2Л2 - \а% ]Г(-1У+1(1 + j - |j|)V2(j) +

2

jez

+1Аг Е^ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ bl)Vi(j),

4

je z

+ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + j - bDV^j).

JGZ

Теорема 5.8. В условиях теоремы 4.6 для Л достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+(А) = = Р2-(А) = + 0(,3), Р1-(Л) = 1 + (А2-2С-)е2 + 0(£3);

г/ для Л достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( Л) - Р+(А) = Р2-(Л) = AV + О (г3), р~(Л) = 1 + (Л2 - 2К-)г2 + 0(е3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.8, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5.9. Пусть А = 2cos£;, к G (—7г, 0) фиксировано. Тогда Р+(А) = (1 + Р)2 + В2 4- О(е), Л" W = Е2 + В2 + О(е), P2±(A) = D2 + B2 + 0(e),

где

Е =

2 + 2 соэ 2 к + вт2 2 к

В

Бт2к(1 + сое 2 к)

1+ cos2A;)2 + 4sin22A;, ~ (1 + соё2к)2 + 4зт2 2к'

2 ят2 2 к

В =

(1 + СОЙ 2^)2 + 4зт22/с'

В §6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора Л = Но + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

V Г Уо(6п^ + <5П)_лг), т = О,

1/(п, 771) — <

I 0, п = О

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет ярко выраженный «резонансный» характер.

Теорема 6.10. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений У0 достаточно близких к ±.\/Ы существует единственный квазиуровень А± = 2 сооператора К, причем

1Ч 1

N.

Б сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 с?дд значений Уо достаточно близких к ±—-- существует единственный квазиуровень А± = 2созк± оператора И, причем

(ЛГ — 1)2 ч- 1V и ЛГ-1У V и АГ-1

Кроме того, в этом параграфе доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора % с «налетающей волной», распространяющейся вдоль йх {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 6.11. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = 0 для всех достаточно малых Уо существует единственное решение А уравнения А) = 0, причем

А = О(У03)-.

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шре-дингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., Ы} С

Введем в рассмотрение оператор На = (Я01 ® 1) + (1 <8> #02), действующий в 12{Г). Оператор Яоь действующий в 12{Т1), определен выше. Оператор Я02 действует в 12({ 1,..., Д^})= С^ и определяется равенствами

(Н02(р) (т) = <р(т— 1) + (р(т +1), га = 2, 1,

(Я02р)(1) = р(2),

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для т = О, N.

Положим Не — Но + еУ, где е > 0, а У является оператором умножения на вещественную функцию У(п, т) / 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| У(п,т)\^Ре-а№, п<Е%, те{ 1,..., А^}, (0.8)

причем а > 0.

В седьмом параграфе найден вид функции Грина оператора Но. Положим

. Л пут ¡1, = Л - 2 соб ^ 1, з =

а =

N + 1

Лемма 7.8. Имеет место формула

N . . ,

^ / / / х \ ^г^ 2 • ( ^З771 \ • ('кЗт , ч

и0{п, 7п, п , т , А) = а вт ^ ] вт ^ ) С01 (п - п , ц3),

з=1

где

N

А^У [-2 + 2

7=1

^3

соэ м 1, 2 + 2 соэ 7TN

^ 3

— 2 + 2 соэ —-, 2 + 2 соэ

N + 1

+ 1

7Г

N+11

Теорема 7.13. Спектр оператора Но имеет вид

N

а(Но) = и[-2 + 2

7=1

соэ

зп

N + 1

,2 + 2 соб

N +1.

N71 л 7Г

- 2 + 2 сое —-. 2 + 2 сое

N+1'

N + 1

Восьмой параграф посвящен изучению спектральных свойств оператора Н£.

Теорема 8.14. Справедливо равенство

сг езз(Н£) = а(Н0).

Теорема 8.15. Предположим, что для некоторого j G {1,..., N}

(гг'.ш')еГ2

7Г J

Тогда в некоторой окрестности точек = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых £ > 0 существует единственный квазиуровень А^ = оператора НЕ, аналитически зависящий от е, для которого справедлива формула

А^) = ±2 + 2сов ^±(J±y + 0{e<).

В девятом параграфе описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов. Положим

В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана - Швингера ф(п, m, А) = фо(п, m, А) — £ Gq(ti — п', га, га/, А) х

(п'.т')еТ

хУ(п»(п>',А), (0.9)

где «налетающая волна» (записанная для переменной kJ(]) имеет вид

фо(п, т, А) = a sin

\N + 1

(0.10)

и удовлетворяет уравнению Яо^о = А^о-Положим

Af(\)

еа

2г sin кп

Е

sm

3 (п',ш')ег Будем предполагать, что

Л ф cos

N +

j e^V(n', m/j Д) (0.11)

eos

7TJ

JTJ'— I, ■ ■ ■ : N.

(0.12)

N + 1 Л^ + 1

Теорема 9.16. Пусть выполнено (0.12). Тогда для вероятнос�