Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Тинюкова, Татьяна Сергеевна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Ижевск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2013 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей»
 
Автореферат диссертации на тему "Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей"

На правах рукописи

Тинюкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 6 СЕН 2013

005533272

Ижевск — 2013

005533272

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУВПО «Удмуртский государственный университет».

Научный руководитель

доктор физико-математических

наук, профессор Ю. П. Чубурин Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Ю. П. Вирченко кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Зайцев Ведущая организация — Башкирский государственный

Защита состоится 16 октября 2013 г. в 16.00 ч. на заседании диссертационного совета (Д 212.015.08) по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в НИУ «БелГУ», по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, д. 14, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НИУ «БелГУ».

Автореферат разослан ['О сентября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

университет

кандидат физ.-мат. наук

С. А.Гриценко

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, работы [1-4]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швингера, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см., например, [5]). Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Ъл, (1 ^ 1 (см., например, работы [6-11]). Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является разностное уравнение Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре. Предмет исследования — спектральные свойства и задача рассеяния для данного оператора Шредингера. Методы исследования. В работе используются методы разностных уравнений функционального анализа и спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных. Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1) доказаны теоремы существования и единственности квази-

уровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) найдены вероятности распространения квантовой частицы в возможных направлениях для данного оператора, получены условия полного отражения (прохождения);

3) доказаны теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Шредингера. отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) найдены вероятности прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого потенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в квантовой теории твердого тела.

Апробация диссертации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались:

- на Ижевском городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е. Л. Тонкова (2009 г.);

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XX" (2009 г.), "Понтрягинские чтения - XXI" (2010 г.); Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 119 страниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического

списка, состоящего из 44 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор основных результатов в исследовании разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре. Отмечены работы близкие по содержанию к теме диссертации. Обосновывается актуальность темы исследования, пояснена ее научная ценность. Дан краткий обзор содержания работы по главам.

Обозначим через Q объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

g=(Zx{0})U({0}xZ),

а через 12(Х), где X С 1? — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

(<Р,Ф)1*(Х)= ¡р(п,т)ф(п,т).

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискретный) оператор Шредингера Но, действующий в 12(б) следующим образом:

{ПоФ){0,0) = ^(1,0) +v(-i,o) +V(o,i) + V>(o,-i),

(W)(n,0) = V(n+l,0) + ^(n-l,0), пф О, (1)

(П0Ф)(0, т) = ф{0, т + 1) + 0(0, т - 1), т ф 0.

Оператор Tío является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих

на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

Перечислим основные результаты первой главы.

Найден вид 1Z0(\) (резольвенты оператора Tío)., исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 1. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2,2].

Введем в рассмотрение оператор HQl : l2(Z) —> /2(Z), действующий по правилу

(H0l<p)(n) = </?(п - 1) + ip(n + 1), neZ.

Ядро резольвенты ñ0i(A) = (Hqi — Л)-1 оператора Но\, вообще говоря, продолженное по параметру А на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Щг и обозначать

1 /А - \/А234\

G0i(A,n - m) = --

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала ( — 2,2).

Рассмотрим оператор Шредингера Не = Но + eV с малым параметром е > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n,т) ф 0 (потенциал), удовлетворяющую условиям

|V(n,0)K/3e-alnl, jV(0,m)K/?e-a|rnl, п,т е Z, а,0>О, (2)

V описывает влияние примесей. Оператор Нс является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок.

Уравнение Шредингера для оператора НЕ имеет вид

(Н0 + eV)4> = AtI). (3)

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим а(А) и cress(/l) соответственно.

Уравнение (3), рассматриваемое в классе l2(Q), для Л ^ cr(?i0) можно записать в виде

Ф = -П0(Х)Уф. (4)

Перейдем к новой неизвестной функции ip = \/\\Л,Ф и положим \/V = \/]V|sgnV (только для V). Тогда уравнение (4) можно переписать в виде

<р = ->/ЩПо{\)у/Уч> (5)

и, продолжая оператор -y/\V\lZ0(\)\/V на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Т10 (ядра резольвенты TZ0(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для Л G М.

Определение 1. (см. [12]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора TiE, если существует ненулевое решение ip б 12{Q) уравнения (5).

Определение 2. Квазиуровнем оператора Не будем называть его собственное значение или резонанс. В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (4) (соответствующие решению уравнения (5) iр е I2 {(/')), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

Найден критерий существования квазиуровня оператора TiF . Исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора НЕ-

Для произвольной функции ip(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

f(f) = fi\v) = (RoiWv) (1) + (Ят(А)?)(-1),

<Pi(n) = (р(п,0), cp2(m) = ip(0,m), n,meZ.

Теорема 2. Оператор 7ie для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

Доказаны существование и единственность решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' <Мп,А) = \Z\vT\eikn - £v№*oi(A)VVm(n, А) + vW *

х2cosb cf(^mRoi(mnh п е Zi

1 - Р{о)

ip2{m, А) = + VT^I х

х -2oosk + ef{VV^)-ef(VV^)mRoi{mm).

1 - Р{6)

(6)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 3. Предположим, что к = As, в случае знака «+» или к = Ае в случае знака «-», где к — -ж - к, А ^ 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых s существует единственное решение 6 l2(Q) модифицированного уравнения Липпмана - Швинге-ра (6), имеющее вид

= vTÎM^](±l)"+1(l + П - \n\)Aie + 0(е2), V>2 (т,е) = у/Щт)\(±1)т+1Аге + 0(£2).

Описана картина рассеяния для оператора ТСе, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через А) вероятности прохождения вдоль оси m вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси п вправо и влево соответственно.

С- = 2 Л2 - +з ~ |j|)V2(j) +

jez

+ - 2 + Il - j| + Il + Jl)(l + j - |j|)Vi(j),

jeZ

К- = 2Л2 - iЛг + j -\j\)V2(j)+

j 6Z

+ \Ai - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ \3\)Vi{j).

j'ez

Теорема 4. В условиях теоремы 3 для X достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+( А) = Р+( А) = Р2"(Л) = Л2£2 + 0(£3), р-(Л) = 1 + (Л2 - 2СГ)£2 + 0(е3);

и для X достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( А) = Р+(А) = Р"(А) = Л2£2 + 0(£3), р-(А) = 1 + (Л2 - 2К")£2 + 0(£3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 4, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5. Пусть X = 2cos к, к & (—7Г, 0) фиксировано. Тогда Р+{ X) = (1 + Е)2 + В2 + 0(£), Pf(A) = Е2 + В2 + 0(е), Р±( А) = D2 + В2 + О(е),

где

2 + 2 cos 2k + sin2 2к sin2fc(l + cos2Ar)

Е = -~-——-—s—-, В =

(1 + cos2к)2 + 4sin2 2к' (1 + cos2к)2 + 4sin2 2fc'

2 sin2 2к

D =

(1 + cos2A:)2 +4sin22fc'

Получены следующие результаты о квазиуровнях оператора H — Wo + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

ли л f vo(ôn,n + ôn-n), m — о,

V(n; m) = ^

l 0, n = 0

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет «резонансный» характер.

Теорема 6. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений V0 достаточно близких к ±1 /N существует единственный квазиуровенъ Х± = 2 cos k± оператора И, причем

^0 + 1)+О(У0 + 1).

= —7Г —

2) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений Ро достаточно близких к ± —-- существует единственный

квазиуровенъ \± = 2 соз к± оператора И, причем

к+= {N~1)2i

{N -i)2 + ï О - ЛГЗl) + " лгзт) • (N-1P+I (^Л^М^ + жЬ)"

Кроме того, доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора И с «налетающей волной», распространяющейся вдоль Ъ х {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 7. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = О для всех достаточно малых существует единственное решение А уравнения Рх~ (А) = 0, причем

А = О(У03).

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шредингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., ЛГ} С 1?.

Введем в рассмотрение оператор Но — (Н01 ® 1) + (1 ® Н02), действующий в ?2(Г). Оператор Н01, действующий в /2(2), определен выше. Оператор Я02 действует в ¿2({1,..., Лг})= Сл' и определяется равенствами

(я02<£>) (тп) = 1р(тп - 1) + 1р(ттг +1), тп = 2,..., N - 1, (Но2<р)(1) = <Р(2),

(Яо2<л)(Л0 = ^ - !)•

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для тп = О, N.

Положим Не — Н0 + ¿V, где £ > 0, а V является оператором умножения на вещественную функцию У(п, тп) ф 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| К(п,т)К/Зе"«'™1, п е Ъ, тп е { (7)

причем а > 0.

Найден вид функции Грина £70(п, т, п', т', А) оператора Но.

7tj т . fij = Л - 2cos Jj—j = l,...,I\,

N+l

Лемма 1. Имеет, место формула N

G0(n, т, п\ т', А) = ¿ a2 sin (^у) sin Goi ("-«', Mi),

j=i

где

n

A ,

j'=i

[_2 + 2cos__,2 + 2cos —

Данное объединение совпадает с а(Н0). Изучены спектральные свойства оператора НЕ. Теорема 8. Справедливо равенство

aess(H€) = а {Н0). Теорема 9. Предположим, что для некоторого j € {1, ■ - ■, N}

vf = £ (i1)"'sin2 (jrTí)v{n''m,) ф (п',ш')ег2

Тогда в некоторой окрестности точек Aj0 = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых е > 0 существует, единственный квазиуро-венъ А* = А^(е) оператора Н£, аналитически зависящий от £, для которого справедлива формула

A±(e) = ±2 + 2coe^±(^)W).

втЛ,- = - а/1 - (м,-/2)2, = 1,...

В окрестности точки До рассмотрим уравнение Липпмана -Швингера

ф(п,т,\) = ■фо(п,т,\) - е (*о(п ~ п',тп,т',\)х

(п',т')ег

хУ(п',т')-ф{п',т',\), (8)

где «налетающая волна» (записанная для переменной к^) имеет вид

^о(п1т,А) = «8т(^)е^о (9)

и удовлетворяет уравнению Нофо = Ат/'о-Положим

7 (п',ш')€Г

(10)

Будем предполагать, что

В следующей теореме описано рассеяние вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов.

Теорема 10. Пусть выполнено (11)- Тогда для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р_ = 1 — Р+ в точке Ао справедливы формулы

Р+= £ |5,,0+Л+(А0)|2

j:\o-2cos ^6(-2,2)

4-(А0-2со3^т)2 , Л „ тгд, \2'

р- = Е И7(до)

j:\o~2cos —2,2) \

(\ о ^

— (Ло — 2соэ

О

2 С08

лг-ЫУ > (12)

I 2

где А) определяются равенством (10).

Лемма 2. Предположим, что для из (9) и всех достаточно малых е справедливо равенство к]0 = Ае в случае знака «+» или к^0 = Ае в случае знака «-», где к]0 = —к - А ф 0 - вещественная константа. Тогда для решения ■ф уравнения Липпмана-Швингера (8) имеет место равенство

где

(п,т)еГ

Это означает, что для малых потенциалов рассматриваются «скользящие» налетающие электроны, имеющие малые угла падения.

Теорема 11. В условиях леммы 2 справедливо равенство

Р = а4(^)2 а4(£^)2 +0(е)

В третьей главе изучается рассеяние для уравнения Шрединге-ра на трехмерной решетке с возмущенным периодическим потенциалом, отвечающим бесконечному кристаллу с внедренным плоским слоем. В частности, для малых потенциалов слоя и, одновременно, малых перпендикулярных по отношению к слою компонент скорости налетающей «блоховской» частицы, получены формулы прохождения (отражения), имеющие в своем составе скорость частицы и интеграл по ячейке от

произведения квадрата модуля блоховской волновой функции и потенциала слоя.

Рассмотрим оператор Шредингера вида

Н = Но + ¥(п) + гШ(п), п = (пьгг2:п3) е Ъг,

действующий в 12{1?). Здесь Но действует по формуле

(Ш0ф){п) = ф(пх + 1,п2,п3) + тр(п1 - 1,п2,п3) + ф(п1,п2 + 1,п3)+ + ^(пъп2 - 1,п3) + ф(п1уп2,п3 + 1) + ■ф(п1,п2,п3 - 1),

V(п) — вещественный периодический потенциал по всем переменным п], = 1,2,3 с периодом Т ^ 1, Щ(п) — вещественный периодический по переменным П1,П2 с периодом Т ненулевой потенциал, удовлетворяющий оценке

Се~а|пз1, а > 0, (13)

£ > 0 — (малый) параметр. Оператор И представляет собой гамильтониан электрона в конечно-разностном приближении в периодической слоистой структуре.

Через 12(А) ® Ь2(В), где А С Хп, В — измеримое множество в Шт, будем обозначать гильбертово пространство измеримых по х функций 1р(п,х), где (п,х) е А х В, таких, что

«бЛ^

с обычным скалярным произведением.

Для исследования оператора И потребуется унитарный оператор

и : 12{Ъ3) -> 12(П0) ю Ь2{П*0) [ 12{0,0)<1к,

<p 6 p¡z3) ^ (U<p)(n,k) = ф{п,к) =

i/gZ3

где fio = {0,1,..., T — l}3 и Щ = [0,2-я/Т)3 — ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим Ну = Но + V(n). Оператор UWyUзадается семейством операторов Ну (/с) = Ho(/c)+V, действующих в /2(Г20), где к = {к\,к2, k¿) £ Í2J — квазиимпульс, а оператор Н0(А;) имеет тот же вид, что и оператор Но, но с использованием свойства блоховости

ф{п + Тщ, к) = eiT{no'k)(p(n, к)

в случае n,±l ^ {0,..., Т— 1}, j — 1,2,3. При этом говорят, что оператор Ну разложен в прямом интеграле пространств f^l l2(Q0)dk.

Для исследования оператора Н потребуется также унитарный оператор

Щ : 12(1?) 12{П) ® L2(fl*) d~f [ 12(0.)с1кц, (14)

Jn'

V € ¿2(Z3) (U\\ip)(n, А;ц) = ф{п,к{]) =

¿i6Z2

где П = {0,1 l}2 x Z, Í2* = [0,2тг/Т)2, Ц = {kuk2). Свойство

блоховости здесь имеет вид

<¿(n + T(nO||,0),/c||) = eir("°»-fci^(ra-|¡).

Оба оператора Ну и Н могут быть разложены в прямом интеграле пространств Jj^, l2(Q)dk\\ в семейства операторов Ну(/сц) и Н(/сц).

Пусть А0 = Ато(/с0), где к0 = (к10,к20,к30) — невырожденное собственное значение оператора Hy(fco), отвечающее нормированному

собственному вектору фто(п,к0). В дальнейшем предполагается, что

дХто{к0)/дк3 = 0, д2Хто{к0)/дк2 ф 0.

Уравнение дХто(к)/дк3 = 0 задает в окрестности точки к0 поверхность, описываемую аналитической функцией к= к^(кц), где /сц принадлежит некоторой окрестности точки /с0ц =

Уравнение Amo(fc) = А, рассматриваемое относительно к3, имеет для fey из окрестности точки /с0Ц Ровно Ава решения к3] = k3j(k^,X), j = 1, 2, аналитически зависящие от А там, где /с31 ф к32 и сливающиеся, если к = к0. Положим Çj = k3j - kf\k\\). j = 1,2.

Рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера в l2(Z3), отвечающее оператору Н, имеющее вид

к)-£ ]Г Gv(n,n',\ + iO)V/{n')ip{n'), (15)

n'ez3

где Gv(n,n',A) — функция Грина оператора Ну в l2(Z3), А = Ато(к) принадлежит внутренности одной из зон (промежутков, образующих спектр оператора Н), причем выбираем к3 = к3\ (см. выше). Положим

«рег(*||) =f +

M 6Z2

Применим к (15) оператор t/ц, тогда получим уравнение Липпмана-Швингера в ячейке П:

27Г

- £ J] Gv(n, n', fcy, A + tO)W(n')^(n', Л||), (16) n'en

где Gv(ni n', ¿ц, A) — функция Грина оператора Ну(^ц). В дальнейшем будем предполагать, что

= Ае, А = const ф 0. (17)

Лемма 3. Предположим, что выполнено (17). Тогда для Ц из некоторой окрестности точки к0ц и достаточно малых £ существует единственное решение уравнения Липпмана-Швингера в ячейке П (16) вида

Т

iAd*\ma{kbkf)ldkl 0{ iAdi\mo{kbkf)ldkl- Wo

<W(&n - ¿у ),

где

= Т&гпо (п, (Л||, )), W(n)фто (п, (Ц, к^))),

а величина уЩп)0(£) аналитически зависит от как 12(П)~

значная функция и удовлетворяет оценке

(п)0(е)\\ < Се, С = const.

Найдена асимптотическая формула для решения исходного уравнения Липпмана-Швингера (15), результат отражен в следующей теореме.

Теорема 12. В условиях леммы 3 имеем равенства ф(п) = а+фто(п, (Л-ц, fc3i)) + V+{n) + О(е), п3 ^ О, Ф(п) = Фт0(п, (kt,k31)) + а-фто{п, (Ац,кз2)) + + 0(е), п3 < О,

где

а+ - ^Ад2Хто (k\\,k^)/dk3 = idXmo(khk3l)/dk3

iAd^X^k^k^/dk2 - Wo гдХто(кп,к31)/дк3 - eW0 + °{£>'

а_ __Wo___eWo_

iAcPXmo(kbk^)/dq -W0 ~ idXm0(khk31)/dk3~6W0+O{£]'

а функции г]±(п) = t]±(n, k) удовлетворяют неравенству (13) и аналитически зависят от к как 12{П±)-значные функции, где П+ - Пп{п3 > 0}, П_ =ОП{п3 < 0}.

Описана картина рассеяния вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса собственного значения оператора Шре-дингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер еШ. Получены следующие простые формулы для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р- :

Цитируемая литература

1. Miroshnichenko А. Е. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. E. Miroshnichenko, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E. -2005. -Vol. 72, №5. -056611 (7p).

2. Bellissard J. Scattering theory for lattice operators in dimension О 3 / J. Bellissard, H. Schulz-Baldes, // Rev. Math. Phys. -2012. -Vol.

24. -1250020 (51p).

3. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on ZN, N ^ 1, lattices / N. I. Karachalios // J. Phys. A: Math. Theor. -2008. -Vol. 41, №45. -455201.

4. Ziletti A. Coherent transport in multi-branch circuits / A. Ziletti, F. Borgonovi, G. L. Celardo, F. M. Izrailev, L. Karlan, V. G. Zelevinsky // Phys. Rev. B. -2012. -Vol. 85, №5. -052201 (5p).

5. Btittiker M. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings / M. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. -1985. -Vol. 31, №10. -P. 6207-6215.

6. Ptitsyna N. A lattice model for resonance in open periodic wavequides/ N. Ptitsyna, S. P. Sliipman // arXiv: 1101.0170vl |math-ph|. -2010.

P+ = KI2 =

(d\mo(k{bk3l)/dk3f

+ 0(e),

(dXmo(k[bk3l)/dk3)2 + £2Wl s2W2

{d\mo(k\\, k3i)/дкз)2 + £2Wq

+ 0(s).

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шредингера на графе / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2010. -Т. 165, № 1. - С. 119-133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовой бильярде в приближении сильной связи / А. А. Арсеньев // Теор. и матем. физика. -2004. -Т. 141, № 1. - С. 100-112.

9. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев. А. М. Халхужаев // Теор. и матем. физика. -2008. -Т. 155, X» 2. - С. 287-300.

10. Chung F. Discrete Green's Function / F. Chung, S.-T. Yau // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2000. -Vol.91, №1-2. - P. 191214.

11. Rivkind A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model / A. Rivkind, Y. Krivolapov, S. Fishman, A. Soffer // J. Phys. A.: Math. Theor. -2011. -Vol. 44, №30. -305206 (19p).

12. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крон, X. Хольден. -М.: Мир, 1991. -568 с.

Публикации автора по теме диссертации

1. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. -2009. -Вып. 3. -С. 104-113.

2. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 2. -С. 88-97.

3. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 1. -С. 99104.

4. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шредингера для пересекающихся квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 3. -С. 74-84.

5. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 4. -С. 80-93.

6. Тинюкова Т. С. Рассеяние электрона на кристаллической пленке / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2013. -Т. 176. 3. -С. 444-457.

7. Ашихмина Т. С. О свойствах одного конечно-разностного уравнения на графе / Т. С. Ашихмина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XX». -Воронеж, 2009. - С. 202.

8. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXI». -Воронеж, 2010. -С. 280.

9. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин, // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXIII». -Воронеж. -2012. -С. 212.

Авторская редакция

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 05.09.13. Формат 60x84 '/|6. Тираж 100 экз. Заказ № 1560.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2. Тел. 68-57-18

 
Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Тинюкова, Татьяна Сергеевна, Ижевск

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Удмуртский государственный университет»

Тинюкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Чубурин

04201361633

На правах рукописи УДК 517.958:530.145.6

Ижевск - 2013

Оглавление

Введение................................................................3

Глава 1 Разностный оператор Шредингера для квантовых проволок............................................23

§ 1. Предварительные сведения......................................23

§ 2 . Спектр и резольвента невозмущенного оператора............26

§ 3 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора..................32

§ 4. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора..........................................................41

§ 5 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора..........................................................48

§ 6 . Квазиуровни и рассеяние для оператора Н ..................58

Глава 2 Разностный оператор Шредингера для квантового волновода..........................................65

§ 7. Спектральные свойства оператора..............................65

§ 8 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора..................75

§ 9 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора..........................................................83

Глава 3 Рассеяние электрона на кристаллическом слое . 95

§ 10 . Вспомогательные конструкции и утверждения................95

§ 11. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора..........................................................101

§ 12 . Рассеяние для слабо возмущенного оператора................108

Список литературы.........................114

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, с1 ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано суще-

ствование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера //(/с), полученных из двухчастичного оператора, где к - двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н(к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных

аналогов операторов Шредингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

Целью работы является исследование собственных значений и резо-нансов, а также изучение задачи рассеяния для разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств разностного уравнения Шредингера с потенциалами определенного вида;

2) исследование существования и поведения квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) для разностного оператора Шредингера в случае малого потенциала;

3) исследование рассеяния, нахождение в определенных случаях простых формул для вероятностей прохождения и отражения.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования и единственности квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) нахождение для данного оператора вероятностей распространения квантовой частицы в возможных направлениях, получение условий полно-

го отражения (прохождения);

3) теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Щредингера, отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) нахождение вероятностей прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого петенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Перейдем к подробному обзору содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав (двенадцати параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений, замечаний и следствий (например, теорема 2.4 — это четвертая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

Обозначим через Я объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

О — (Ж х {0}) и ({0} х Ж),

а через 12(Х), где X С Ъ2 — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

{<Р,Ф)р(х)= (р{п,т)ф(п,т).

(■п,т)еХ

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискрет-

ный) оператор Шредингера Но, действующий в 12{Q) следующим образом:

(П0ф)(0, 0) = ^(1, 0) + ф(-1, 0) + ф{0,1) + -0(0, -1),

('Н0ф){п, 0) = ф(п +1,0) + ф{п -1,0), п ф 0, (0.1)

{П0ф){0,т) = ф(0,т + 1) + ф{0,т- 1), т ± 0.

Оператор Но является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в физической литературе (см., например, [2]). Близкие модели исследованы в работах [7, 8]. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.

Резольвенту оператора Но обозначим через 7\L0(A) = (Но — \I)~l (в дальнейшем, следуя [17], для краткости опускаем единичный оператор)

Во втором параграфе найден вид 7£о(А), исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 2.4. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2, 2].

Введем в рассмотрение оператор Hqi : ¿2(Z) —¥ l2(Z), действующий по правилу

(H0iip)(n) = (р(п - 1) + tp(n +1), n e Z.

Резольвенту оператора Я01 обозначим Rqi(X) = (#01 — А)-1. Ядро резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Л на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Hq\

и обозначать

Х-у/Ж^А 2

\п—т\

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Hqi (см. [15]).

В §§3-5 работы рассматривается оператор Шредингера 1~Le = 1-Lq + eV с малым параметром г > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n, т) ф 0, удовлетворяющую условиям

|V(n,0)| ^ /Зе~а|п|, |V(0,m)| ^/Зе-а|т|, n,meZ, а,/3>0. (0.2)

В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор У.е является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, при этом V описывает влияние примесей.

Уравнение Шредингера для оператора %£ имеет вид

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим ст(А) и сгезз(А) соответственно.

Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе /2(£), для Л 0 сг{Т-Со) можно записать в виде

("Но + = А ф.

(0.3)

Перейдем к новой неизвестной функции = ^/ГЙ^ и положим

(только для V). Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде

(0.5)

и, продолжая оператор — \J\V\R-o(X)yfV на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Но (ядра резольвенты TZq(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для A G М.

Определение 0.1. (ср. [29]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора Не, если существует ненулевое решение ip G l2(Q) уравнения (0.5).

Определение 0.2. (ср. [30]) Квазиуровнем оператора Н£ будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (0.4) (соответствующие решению уравнения (0.5) (р G 12{G)), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

В третьем параграфе работы найден критерий существования квазиуровня оператора 7ie.

Кроме того, в этом параграфе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора Н£.

Для произвольной функции (¿>(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

/(</>) = ДА, <р) = (Я01(AV) (1) + №i(A)<p) (-1), (0.6)

(pi(n) = </?(n, 0), ip2(m) = (р(0,т),

Теорема 3.5. Оператор 1-L£ для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

В четвертом параграфе доказаны существование и единственность для решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' (fi(n, А) = ^/Ще^ - e^\R0l(\)VVm{n,\) +

+ Vlvil-1 _ p^-R0i{X)d{n),n <E Z,

ip2{m, A) = -£y/\V2\Roi{X)y/%(p2{rn, A)+ , /рТТ-Г-2 cos к + ef(VVm) - ef(VV2(p2)f(6)

+ Vlv2|-1 _ -/%(A)ô(m), m <E Z.

(0.7)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 4.6. Предположим, что к = Ае1 в случае знака «+» или к — Ае в случае знака «—», где к — —7Г — к, А 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых £ существует единственное решение tp Е l2(Ç) модифицированного уравнения Липпмана - Швингера (0.7), имеющее вид

<Pi(n, е) = \/|Vi(n)|(±l)n+1(l + п - \п\)Аге + 0(£2), е) = у/Щт)\(±1)т+1 Аге + 0(е2).

В пятом параграфе описана картина рассеяния для оператора 7ïe, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через вероятности прохождения вдоль оси От

вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси On вправо и влево соответственно.

Положим

С- = 2Л2 - \а% ]Г(-1У+1(1 + j - |j|)V2(j) +

2

jez

+1Аг Е^ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ bl)Vi(j),

4

je z

+ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + j - bDV^j).

JGZ

Теорема 5.8. В условиях теоремы 4.6 для Л достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+(А) = = Р2-(А) = + 0(,3), Р1-(Л) = 1 + (А2-2С-)е2 + 0(£3);

г/ для Л достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( Л) - Р+(А) = Р2-(Л) = AV + О (г3), р~(Л) = 1 + (Л2 - 2К-)г2 + 0(е3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.8, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5.9. Пусть А = 2cos£;, к G (—7г, 0) фиксировано. Тогда Р+(А) = (1 + Р)2 + В2 4- О(е), Л" W = Е2 + В2 + О(е), P2±(A) = D2 + B2 + 0(e),

где

Е =

2 + 2 соэ 2 к + вт2 2 к

В

Бт2к(1 + сое 2 к)

1+ cos2A;)2 + 4sin22A;, ~ (1 + соё2к)2 + 4зт2 2к'

2 ят2 2 к

В =

(1 + СОЙ 2^)2 + 4зт22/с'

В §6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора Л = Но + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

V Г Уо(6п^ + <5П)_лг), т = О,

1/(п, 771) — <

I 0, п = О

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет ярко выраженный «резонансный» характер.

Теорема 6.10. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений У0 достаточно близких к ±.\/Ы существует единственный квазиуровень А± = 2 сооператора К, причем

1Ч 1

N.

Б сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 с?дд значений Уо достаточно близких к ±—-- существует единственный квазиуровень А± = 2созк± оператора И, причем

(ЛГ — 1)2 ч- 1V и ЛГ-1У V и АГ-1

Кроме того, в этом параграфе доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора % с «налетающей волной», распространяющейся вдоль йх {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 6.11. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = 0 для всех достаточно малых Уо существует единственное решение А уравнения А) = 0, причем

А = О(У03)-.

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шре-дингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., Ы} С

Введем в рассмотрение оператор На = (Я01 ® 1) + (1 <8> #02), действующий в 12{Г). Оператор Яоь действующий в 12{Т1), определен выше. Оператор Я02 действует в 12({ 1,..., Д^})= С^ и определяется равенствами

(Н02(р) (т) = <р(т— 1) + (р(т +1), га = 2, 1,

(Я02р)(1) = р(2),

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для т = О, N.

Положим Не — Но + еУ, где е > 0, а У является оператором умножения на вещественную функцию У(п, т) / 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| У(п,т)\^Ре-а№, п<Е%, те{ 1,..., А^}, (0.8)

причем а > 0.

В седьмом параграфе найден вид функции Грина оператора Но. Положим

. Л пут ¡1, = Л - 2 соб ^ 1, з =

а =

N + 1

Лемма 7.8. Имеет место формула

N . . ,

^ / / / х \ ^г^ 2 • ( ^З771 \ • ('кЗт , ч

и0{п, 7п, п , т , А) = а вт ^ ] вт ^ ) С01 (п - п , ц3),

з=1

где

N

А^У [-2 + 2

7=1

^3

соэ м 1, 2 + 2 соэ 7TN

^ 3

— 2 + 2 соэ —-, 2 + 2 соэ

N + 1

+ 1

N+11

Теорема 7.13. Спектр оператора Но имеет вид

N

а(Но) = и[-2 + 2

7=1

соэ

зп

N + 1

,2 + 2 соб

N +1.

N71 л 7Г

- 2 + 2 сое —-. 2 + 2 сое

N+1'

N + 1

Восьмой параграф посвящен изучению спектральных свойств оператора Н£.

Теорема 8.14. Справедливо равенство

сг езз(Н£) = а(Н0).

Теорема 8.15. Предположим, что для некоторого j G {1,..., N}

(гг'.ш')еГ2

7Г J

Тогда в некоторой окрестности точек = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых £ > 0 существует единственный квазиуровень А^ = оператора НЕ, аналитически зависящий от е, для которого справедлива формула

А^) = ±2 + 2сов ^±(J±y + 0{e<).

В девятом параграфе описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов. Положим

В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана - Швингера ф(п, m, А) = фо(п, m, А) — £ Gq(ti — п', га, га/, А) х

(п'.т')еТ

хУ(п»(п>',А), (0.9)

где «налетающая волна» (записанная для переменной kJ(]) имеет вид

фо(п, т, А) = a sin

\N + 1

(0.10)

и удовлетворяет уравнению Яо^о = А^о-Положим

Af(\)

еа

2г sin кп

Е

sm

3 (п',ш')ег Будем предполагать, что

Л ф cos

N +

j e^V(n', m/j Д) (0.11)

eos

7TJ

JTJ'— I, ■ ■ ■ : N.

(0.12)

N + 1 Л^ + 1

Теорема 9.16. Пусть выполнено (0.12). Тогда для вероятнос�