Квазиуровни и рассеяние для дискретного уравнения Шредингера с убывающим потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Морозова Людмила Евгеньевна

КВАЗИУРОВНИ И РАССЕЯНИЕ ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

003494517

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород — 2009

2 5 щр ?ою

003494517

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет".

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Чубурин Юрий Павлович доктор физико-математических наук, профессор Вирченко Юрий Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент Айзикович Александр Аркадьевич Саратовский государственный университет им. Чернышевского

Защита диссертации состоится " 6." СиьМл. <л.Ь 2010 г. в 15 ч. 30 мин. на

Й.015

заседании диссертационного совета Д 2r2.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан " 3 " и1й£л~С1- 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядиев В.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дискретное уравнение Шредингера изучалось в большом количестве математических работ. Отметим работы Ф. де Виега, JI. Иоратти и М. О'Кэррола1 С.Н. Лакаева и A. M. Хал-хужаева2, Арсенъева3, Е. Коротяева и А. Кутценко4, А.И. Аптекаре-ва и Е.М. Никишина5 , Ж.И. Абдулаева и С.Н. Лакаева6, Н.И. Ка-рачалиоса7 , Д. Е Пелиновского и А. Стефанова8 . В них, в частности, исследовался вопрос существования собственных значений1,2; исследовалось поведение амплитуды рассеяния вблизи резонанса3; изучались обратные задачи рассеяния4'5; исследовалось число собственных функций и находился существенный спектр для многочастичного оператора6; оценивалось число отрицательных собственных значений7; оценивалась норма решений нестационарного уравнения Шредингера8. Вместе с тем, оставался неисследованным важный вопрос о спектральных свойствах оператора Шредингера с малым потенциалом, в том числе в двухчастичном случае. Недостаточно изученной была задача рассеяния, в частности, не было результатов для потенциала, не являющегося оператором умножения на последовательность.

1Faria da Viega A. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians / A. Faria da Viega, L. Ioritti, M. O'Carroll // Physical Review E. - 2002. - V. 66. - 016130-1-016130-9.

2 Лакаев С.Н. О спектре двухчастичного оператора шредингера на решетке / С.Н. Лакаев, A.M. Халхужаев // ТМФ. - 2008. - Т. 155. - № 2. С. 287-300.

3Арсеньев A.A. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи / A.A. Арсеньев // ТМФ. - 2004. - Т. 141. -К» 1. - С. 100-112.

4Коротяев Е. Обратная задача для дискретного периодического оператора Шредингера / Е. Коротяев, А. Куценко // Исследования по линейным операторам и теории функций. 32, Зап. науч. сем ПОМИ, 315, ПОМИ. - СПб. - 2004. - С. 96-101.

5Аптекарей А. И. Задача рассеяния для дискретного оператора Штур.ма-Лиувилля/ А. И. Аптекарев, Е.М. Никишин // Матем. сборник. - 1983. - Т. 123. -№ 3. - С. 327-326.

®Абдулаев Ж. И. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера / Ж.И. Абдулаева, С.Н. Лакаев // ТМФ. 2003. - Т. 136. -№ 1. - С. 231-245.

7Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrödinger operator on lattices / N. I. Karachalios // J. Phys. A: Math.'Theor. -r 41 (2008) 455201 (14

PP)-

8Pelinovsky D.E. On the spectral theory and dispersive estimates for a discrete Schrödinger equation in one dimension /D. E. Pelinovsky, A. Stefanov //arXiv:0804.1963vl [math-phj 11 Apr 2008.

Заметим также, что при изучении магнитных явлений в ферромагнетиках большую роль играет уравнение Гейзенберга для d - магнонных состояний. Обычный метод его решения с помощью анзаца Бете приводит к уравнению Шредингера на решетке Zd (см.9). К подобным же, только одномерным, дискретным моделям сводится уравнение Шредингера для квантовых проволок и подобных наноразмерных физических объектов в приближении сильной связи (см. например10 ).

Из вышесказанного следует актуальность темы диссертации.

Целью работы является исследование собственных значений и ре-зонансов одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера, а также изучение задачи рассеяния для одночастичного оператора.

Для этого решались следующие задачи:

1) изучение общих спектральных свойств одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера; 2) исследование собственных значений, резонансов и рассеяния для одночастичного дискретного оператора Шредингера в случае малой константы связи; 3) исследование обратной задачи рассеяния для одномерного одночастичного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся оператором ранга один; 4) исследование собственных значений и резонансов для двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом при фиксированном квазиимпульсе; 5) изучение асимптотики решений дискретного уравнения Шредингера.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, в частности, спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных.

На защиту выносятся:

- теоремы существования собственных значений и резонансов дискретного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности малым потенциалом для различных d-,

- теорема существования и единственности решения дискретного уравнения Липпмана-Швингера, нахождение коэффициентов прохождения и отражения;

- теорема единственности решения обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся опе-

9Изюмов Ю. А. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем / Ю. А. Изюмов, Ю.Н. Скрябин. - М.: Наука, 1987. - 264 с.

l0Orellana Р. A., Domínguez-Adame F., Diez Е. Dicke effect ¡n a quantum wire with side-coupled quantum dots. // arXiv:cond-mat\0607-94vl [cond-mat.mes-hall] 4 Jul 2006.

ратором ранга один;

- доказательство существования и исследование асимптотики, в зависимости от малой константы связи, собственных значений и резонан-сов двухчастичного двумерного дискретного оператора Шредингера с возмущенным периодическим потенциалом при фиксированном квазиимпульсе.

Научная новизна. В работе рассматривается дискретный одно- и двухчастичный оператор Шредингера с убывающим и возмущенным периодическим потенциалом. Исследованы свойства функций Грина и общие спектральные свойства этих операторов. Получены условия существования квазиуровней (собственных значений и резонансов), найдены асимптотические формулы для квазиуровней. Доказана теорема существования и единственности для одномерного уравнения Липпмана-Швингера, найдены формулы для коэффициентов отражения и прохождения. Получена теорема единственности решения обратной задачи для одномерного одночастичного оператора с потенциалом, являющимся самосопряженным оператором ранга один. Данные результаты получены впервые.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть в дальнейшем применены в теории разностных уравнений и в квантовой теории твердого тела.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е.Л. Тонкова (г. Ижевск, 2006 г., 2007 г.); на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII" (2006 г.), "Понтрягинские чтения - XVIII" (2007 г.); на семинаре в Бел-ГУ по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солдатова А. П. (г. Белгород, 2009 г.), на семинаре в СГУ им. Чернышевского по математической физике и вычислительной математике под руководством профессора Юрко В. А. (г. Саратов, 2009

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]- [9]. Из них [9] опубликована в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [6], [8], [9] Ю.П. Чубурину принад-

лежит постановка задачи и идея доказательства основных утверждений, автору диссертации - сами доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, девяти параграфов и списка литературы. Применяется двойная нумерация формул и утверждений. Объем диссертации 123 страниц. Библиографический список содержит 52 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи работы, вводятся основные определения и приводятся основные результаты диссертации.

В диссертации исследуется одночастичное уравнение Шредингера

(Н0 + У)ф = \ф. (1)

d

Здесь оператор Но действует в l2(Zd) по формуле: (ffo^)« = X) Фп+е, +

з=1

фп—ej> где п € Zd, ej = (0,... ,0,^1^,0,... ,0). Оператор V (потенциал),

з

отождествляемый с последовательностью {V„} € l°°(Zd), действует в l2(Zd) по формуле {V4')„ = \пфп, п € Предполагается, что Vn -ненулевая, вещественная последовательность, удовлетворяющая оценке

|VnKCe-oW,a>0,n€Zd. (2)

В дальнейшем последовательности, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экпоненциально убывающими.

В случае d — 1 рассматривается также «нелокальный» потенциал вида

(3)

представляющий собой самосопряженный оператор ранга один (в физической литературе встречаемый под названием «сепарабельный потенциал (separable potential)»11). Здесь е - вещественный параметр (константа связи) , — заданная экпоненциально убывающая последовательность из пространства l2(Z), являющаяся четной или нечетной.

11 Демков Ю. Н. Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В.Н. Островский. Издательство ЛГУ, 1975. -240 с.

Далее положим Я = Но + V, Не — Но + еV, Нэ = Но + V,.

Введем обозначение для резольвенты оператора Но, полагая До (А) — (Но —А/)-1. Ядро резольвенты, продолженное, вообще говоря, по параметру Л на соответствующую риманову поверхность Л4, будем называть функцией Грина оператора Но и обозначать через ¿?°т(Л). Через а(А) (<гезз(у1)) обозначается спектр (существенный спектр) оператора Л.

Уравнение (1), рассматриваемое в классе 12(1*а), для X фа (Но) можно записать в виде

ф - (4)

Перейдем к новой неизвестной функции <р = у/\У\-ф и положим

(только для У). Тогда уравнение (4) можно записать в виде

^ = (А)\/У^ (5)

и, продолжая оператор — \ДУ\11о(Х)^/У на риманову поверхность М с помощью его функции Грина, рассматривать его как оператор в для А € М.

Предположим, что (1 = 1, тогда М - двулистная риманова поверхность, полученная склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2), при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Доопределение 1. Число А, принадлежащее второму листу римано-вой поверхности функции Грина <3°то(А), будем называть резонансом оператора Н, если существует ненулевое решение <р 6 ¿2(й) уравнения

(5).

Определение 2. Квазиуровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда А принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ¡р уравнения (5), вообще говоря, экспоненциально возрастают вместе с функцией Грина С°т(А). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) состояниям.

Рассеяние на потенциале при й = 1 как и в «непрерывном» случае12 описывается уравнениями Липпмана-Швингера

^(А)-^(А)-^<го(А±^0)У^(Л), (6)

т€2

12Березин Ф.А Уравнение Шредингера /Ф.А Березин, М. Шубин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 392 с.

где А € (—2,2), ф„ (Л) — некоторая последовательность, удовлетворяющая уравнению Нофо = А^о- Функция ± ¿0) здесь продолжена по параметру Л сверху и снизу в точки существенного спектра (—2,2).

В диссертации также исследуется двухчастичное уравнение Шре-дингера

(Но + УГ + У)ф = Хф. (7)

Оператор Но действует13 в пространстве 12(1?л) аналогично одноча-стичному случаю. Операторы Ш и V действуют в соответствен-

но, по формулам (Игф)тт = 2Фп1,п2, {Уф)П1 Функция (последовательность) ~\УП1<П2 предполагается вещественной периодической с целым периодом Г > 0 по каждому аргументу. Если периоды по разным переменным разные, то общий период - их произведение. Последовательность УП1-П2 вещественная и удовлетворяет оценке: < Се-»!"1", а > 0.

Уравнение (7) рассматривается в в пространстве 12(1?л) при МУ = 0 и в пространстве /2(22).

Далее пользуемся следующими обозначениями для двухчастичных операторов: Ну = Но + V, Н = Но + № + V.

Первая глава диссертационной работы посвящена изучению спектра и квазиуровней одночастичного оператора НЕ. Исследуются прямая задача рассеяния для операторов Н£, Н3 и обратная задача для оператора На-

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.

В втором параграфе работы найден удобный для дальнейших исследований вид функции Грина <?° ОТ (Л) в случае ¿ —

Обозначим через д(х) — г — у/г2 — I обратную функцию к функции Жуковского.

Теорема 2.1. Функция Грина оператора Но умеет следующий вид

(\ \п—т|

где А € С \ [—2,2], и для А > 2 выбирается арифметический корень.

13Цикон X. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии / X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. - М.: Мир, 1990. -408 с.

Также исследовано поведение функции Грина для физически наиболее важного случая d = 3 вблизи точек существенного спектра оператора Н0. Получена, в частности, следующая теорема.

Теорема 2.2. Функция Грина оператора Но в пространстве l2(Z3) имеет предел lim G®(\ ± ге) = <5°(Л ± ¿0), А € (—6,6) и этот предел

е—>0

равномерно ограничен для всех достаточно малых Е une 1?.

Далее, в третьем параграфе работы изучается существенный спектр оператора Я. Показано, что сгезз[Н] = ст[#о] = [~2d,2d\. Исследуются квазиуровни оператора Не для различных d. Результаты отражены в следующих теоремах.

Теорема 3.2. Пусть d = 1 и v ~ Уп Ф 0- Тогда в некоторых

nez

окрестностях точек А = ±2 для всех достаточно малых е оператор НЕ имеет ровно по одному квазиуровню, для которых справедлива формула, соответственно,

А = ±(2 + jv2) + о(е2).

При этом если v > О, то квазиуровень вблизи точки А = 2 (соответственно А = —2) является собственным значением (соотвестпвенно, резонансом), а если v < 0, то резонансом (соответственно, собственным значением).

Теорема 3.3. Пусть d — 2 и пусть последовательность {Vm} сохраняет знак (т.е выполнено Vm ^ 0 для всех тп или Vm ^ О для всех m). Тогда для любого i9 > 0 и для всех достаточно малых е в множестве (—4 — 1?, —4) U (4,4 + существует хотя бы одно собственное значение оператора Н£. При этом, собственное значение находится в промежутке (—4 — 1?, —4) в случае Vm > 0, в промежутке (4,4 + в случае Vm < 0.

Теорема 3.4. Оператор НЕ для всех достаточно малых е при d > 2 собственных значений вне промежутка cress(H) = [—2d,2d] не имеет.

В четвертом параграфе исследуется для d = 1 прямая задача рассеяния для оператора Н. Положим в = arg[(A — \/А2 — 4)/2]. Считаем, что в £ (0,2п), в ф 7г. "Уравнение Липпмана-Швингера (6) записывается в переменных в и доказывается, что для всех в € (0,2-лг) за исключением, возможно, дискретного множества точек 0, существует единственное решение этого уравнения в классе 1°°(2). Также находится асимптотика такого решения при п > 0 и п < 0.

Теорема 4.2. Решение уравнения (6) в классе 1°°{Ъ) имеет следующий вид:

фп(в)=А+(в)е{9п+П+(в), п> О,

Фп(0) = е*8п + А-(в)е~*вп + т£(0), п < 0.

Здесь А+{0) = 1 + £ е-*вт<р°т, А^(д) = £ ¿втЧ>т ~ коэффициенты

прохождения и отражения. Функции (в) и т]~ (в) экспоненциально убывают при п —► ±оо соответственно. Здесь <рРт = у/Щф*т =

Коэффициенты А+, А- имеют следующий физический смысл: \А+|2, |А_|2 - это соответственно, вероятности прохождения и отражения квазичастицы.

Теорема 4.3. Коэффициенты прохождения и отражения в теореме 4-2■ связаны следующим соотношением: \А-{в)|2 + \А+(в)|2 = 1.

Пятый параграф посвящен изучению прямой и обратной задач рассеяния для оператора Н3.

Положим = X) е49'п-т'¥'т» гДе " последовательность из (3). тех

Для прямой задачи рассеяния получена следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть 1--г—Л) ^ Тогда уравнение (6)

61П с/

(с К вместо V) имеет единственное решение фп(0) в пространстве 1°°(Ъ). При этом справедлива формула

фп{в)=А+{в)е'вп+п+{в), п> 0,

Фп(в) — е*вп + А-{в)е~*вп + г]~(в), п< 0.

Здесь

А+{в) = 1+ Со £ А-(9) = С0 £ е^,

тбЖ тб2

о функции г)* (6), т]~(0) экспоненциально убывают при п —► ±оо соответственно.

Введем унитарный оператор II : /2(2) —> Ь2{0,2ж) (преобразование Фурье), определенный формулой: иср° = ф3, где <р°(з) =

у2тт „€2

Далее, после возвращения к прежней переменной А с помощью замены А = 2 eos 0, показано, что коэффициент прохождения Л+(А) полностью определяется функцией |^°(А)|. Поэтому, обратная задача рассеяния исследуется в следующей формулировке: нахождение функции |уз°(А)| по заданному коэффициенту прохождения -А+(А) (или коэффициенту отражения А-(Х)). Доказано, что данная функция на контуре Г = [-2,2] U 7, где j - верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом равным двум, удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению вида:

2*ric[/+(A) - 1]~ J - 2гтг/'(А) - 1 - Л'+(А), (8) " •

г

где / (А) = — , \ а через Л'+(А) обозначена продолженная на у

константой, равной единице, функция А+(А).

Под индексом <г = 'máf(z) на контуре Г комплекснозначной функции f(z) будем понимать число полных оборотов вектора f(z), когда г пробегает контур Г в положительном направлении.

Следующие утверждения дают нам условия единственности решения обратной задачи рассения для уравнения Липпмана-Швингера (6).

Лемма 5.1. Пусть выполнены условия ^4+(А) ф О, Л+(А) ф 2, где А € (—2,2). Если ? = ind / (А) = 0, то уравнение (8) имеет единственное решение в классе L2([-2,2]). Если ? = ['2*2]^ ^ ^ т°

уравнение (8) имеет не более одного решения в классе L2([—2,2]).

Будем рассматриваем класс К. четных или нечетных последовательностей ср® таких, что выполнены следующие условия:

1) KI ^ Се-К тг € Z; 2) 1 - (0),® ^ 0;

ып (7

3) уо(0)=Й)(7г) = 0.

Теорема 5.4. В условиях леммы 5.1 для заданного коэффициента прохождения А+(А), А € (-2,2) функция |v?o(A)|, такая что ¡ро £ 1С, . определяется единственным образом.

Во второй главе собраны результаты, относящиеся к исследованию двухчастичных операторов Ну = Но + V я Н — Н0 + W + V.

Обозначим через Td = [—7г, n)d d-мерный тор. Рёссмотрим унитар-

ный оператор и : 12{1?й) —> ® /2 (!"*), определяемый формулой тик) = (2тг)-^2 е~*<к'и>,

где параметр /с € называется квазиимпульсом. Через < • > обозначено обычное скалярное произведение вЕ1'.

В шестом параграфе с помощью отображения и оператор Ну раскладывается в так называемом прямом интеграле пространств (см.14)

Г Р{ЪЛ)вк = 12{1Л) ® Ь2(Т*) ит*

т. е. оператор Ну унитарно эквивалентен оператору, действующему в данном тензорном произведении. Это означает, что исследование оператора Ну можно заменить изучением семейства операторов

{Ну(к)}к&1* = {Н0(к) + У}кеГ<,

действующих при фиксированном к в пространстве Также ис-

следуется существенный спектр оператора Ну (к).

Введем в рассмотрение элементарную ячейку прямой решетки, то есть множество вида По = {О, Т,..., Т — I}2, а также элементарную ячейку двойственной решетки - множество £1$ = (—7г/Г, 7г/Т]. Рассмотрим унитарный оператор

лф

Jíг*

Си0<рик) = 7Г У) ехр[-г(А;,т)Г]^„+тт-

т€22

Оператор Н\у = Но + V/ разлагается в указанном прямом интеграле пространств в семейство операторов Но(к) + IV, действующих при фиксированном к € Пд в пространстве ¿2(По)-

Перейдем к новой ячейке П = Ъ х По и рассмотрим унитарный оператор

и': 12{%2) -> 12(0.) ® Ь2{й*) £ Г 12(П0)(1к, (9)

./П5

14Рид М. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. / М. Рид, В. Саймон. М.: Мир, 1982. - 428 с.

Здесь i2* = [—7Г/Г, 7г/Г), к € fl*- квазиимпульс.

Седьмой параграф разбит на два пункта. В первом пункте получена удобная для исследований формула для ядра резольвенты оператора Но(к) в случай d = 1 и устанавливаются' некоторые ее свойства. Во втором пункте с помощью отображения U' оператор Н разлагается в указанном прямом интеграле пространств (9) и, таким образом, вместо него исследуется соответствующее семейство операторов {#(к)}«ео» = {Но(к) + W + V}/ten». Введем следующие обозначения

№(«) W = U'HwU{Я'(«)}К€П. = U'HU"1.

Теорема 7.1 Справедливы следующие равенства:

**„[&(*)] = *Ш*)]= U '№w(k)].

kl + k2 — K

Положим НЕу{к) — Ho(k)+eV. В восьмом параграфе исследуются квазиуровни оператора Неу{к) при различных d. Результаты аналогичны одночастичному случаю.

Теорема 8.1 Предположим, что d = I uV — X) V„ ^ 0. Тогда в

net

некоторых окрестностях точек ±4 cos(&/2) для всех достаточно малых е существует ровно по одному квазиуровню А = Ае кратности единица оператора Hev(k), для которых справедлива формула

При этом, квазиуровень, расположенный вблизи точки 4cos(&/2) (соответственно —4cos(&/2)), является при V > 0 собственным значением (соответственно, резонансом), а при У < 0 - резонансом (соответственно, собственным значением).

Теорема 8.2 Предположим, что d = 2 и последовательность Vn не меняет знак. Тогда оператор Hev(k) для всех достаточно малых е> 0 имеет хотя бы одно собственное значение ХЕ, причем АЕ < —4[cos(&i/2) + cos(A;2/2)] в случае Vn < 0 и Ас > 4[cos(&i/2) + cos(&2/2)] в случае Vn ^ 0.

Теорема 8.3 Оператор Неу{к) в случае в, > 3 для всех достаточно малых е > 0 не имеет собственных значений вне промежутка

2 2 СезЛНеУ(к)) = [-4 С0в(^/2), 45^008(^/2)] •

¿=1 3= 1

В девятом параграфе исследуются квазиуровни оператора Н'(е,к) = Н0(к) + Ш + еУ, действующего в пространстве

Предположим, что Ао = Х^(кю, к — А;ю) является невырожденным собственным значением оператора Нуу^к^к — кю) отвечающим нормированной собственной функции ■фК(кю,к — кю). Далее предполагаем, что

дХ*1 (кю, к - кю) Л д"2Х1^{кю,к-кю) ^ л дк, . ~и> дк\ *

Кроме того, пусть число точек кг ф кю таких, что Хм(к\,п — к{) = Ао

ы дхм(кик-к1)

для некоторого М конечно и в этих точках-^-0.

ак\

Имеет место следующая теорема.

Теорема9.1 Предположим,чтоVм = ^ &ю)|2 ф

п€П

0. Тогда для всех достаточно малых е > 0 существует ровно один квазиуровень X = Xм(кю, к — кю) кратности единица, оператора Н'(е, к)

при этом, X = Ао - + <№). Если

д2Хм(кю,к~кю) м

го, --у < 0, то квазиуровень является собственным

значением. 1

Заметим, что соответствующие решения уравнения Шредингера в случае собственного значения экспоненциально убывают, а в случае резонанса, вообще говоря, экпоненциапьно возрастают.

В заключении автор выражает благодарность научному руководителю Ю. П. Чубурину за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Морозова Л. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом/ Л. Е. Морозова, Ю. П.

Чубурин // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. -№ 1(29). - С. 85-94.

[2] Морозова Л. Е. О собственных значениях многомерного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом/ Л. Е. Морозова // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. 2005. 1. С. 115-122.

[3] Морозова Л. Е. Задача рассеяния для одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом/ Л. Е. Морозова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2006. - № 1(35). -С. 83-88.

[4] Баранова Л. Е. Обратная задача рассеяния для оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом/ Л. Е. Баранова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ <Понтря-гинские чтения — XVII». - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 20-21.

[5] Баранова Л. Е. Обратная задача рассеяния для дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом/ Л. Е. Баранова // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. - 2007. - № 1. - С. 9-16.

[6] Баранова Л.Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л.Е. Баранова, Ю.П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XVIII>. - Воронеж: ВГУ, 2007. - С. 32-33.

[7] Баранова Л.Е. О рассеянии спиновых волн/ Л.Е. Баранова //Вестн. Ижев. гос. техн. ун-та. - 2007. - № 2. - С. 16-20.

[8] Баранова Л. Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. - 2008. 1. -С. 35-46.

[9] Baranova L.E. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential/ L. E. Baranova, Yu. P. Chuburin // J.Phys.A: Math.Theor, 2008. - V 41. - P. 435205 (llpp).

Подписано в печать 16. 02.10. Усл. печ. л 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ 45 Отпечатано в типографии Издательства ИжГТУ 426069, г. Ижевск, Студенческая, 7

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Одночастичный оператор.

§ 1. Предварительные сведения.

§ 2. Функции Грина.

§ 3. Спектр и квазиуровни.

§ 4. Задача рассеяния для оператора Но + V.

§ 5. Задача рассеяния для оператора Но + щ)фо.

Глава 2. Двухчастичный оператор.

§ 6. Разложение в прямом интеграле двухчастичного оператора

§.7. Функции Грина для возмущенного периодического оператора

§ 8. Квазиуровни в случае IV = 0.

§ 9. Квазиуровни в случае возмущенного периодического потенциала.

Дискретное уравнение Шредингера изучалось в большом количестве математических работ. Отметим работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В статье Ф. де Виега (F. da Veiga), JI. Иоратти (Ioriatti) и М. О'Кэррола (O'Carroll) [1] исследуется двухчастичный дискретный оператор Шредингера указанного выше вида с потенциалом взаимодействия V = fJLÖni по) ^ni,n2 символ Кронекера. Установлено, что этот оператор при фиксированном квазиимпульсе (см. определение ниже) либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия ¡л > 0 и квазиимпульса.

Оператор, подобный одномерному дискретному оператору Шредингера, рассматривается в статье A.A. Арсеньева [2],' посвященной задаче рассеяния на квантовом бильярде в приближении сильной связи. В ней исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса и объясняется влияние симметрии системы на картину расеяния. Показано, что при выполнении некоторых условий существует полюс матрицы' рассеяния; кроме того, получено соотношение для коэффициентов отражения.

Обратные задачи рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля исследуются в монографиях В. А. Юрко [3], [4]. Случай дискретного оператора Штурма-Лиувилля рассматривался в работе А. И. Аптекарева и Е. И. Никишина [5], а дискретного периодического оператора Шредингера - в работе Е. Коротяева и А. Кутценко [6].

В статье С. Н. Лакаева [7] исследовались свойства собственных значений и резонансов N - частичного дискретного оператора Шредингера в терминах некоторого «резольвентного» определителя Фредгольма. В работе С. Н. Лакаева и М. Э. Муминова [8] показана конечность числа связанных состояний при малых значениях полного квазиимпульса для системы трех квантовых частиц на трехмерной решетке.

Природа появления связных состояний двухчастичных кластерных операторов при малых значениях параметра исследовалась в работе Ш. С. Ма-матова и Р. А. Минлоса [9]. Показано, что для размерности V ^ 3 у оператора имеется лишь непрерывный двухчастичный спектр, а для размерности V = 1,2 у него в некоторых областях значений полного квазиимпульса могут появиться ветви связанных состояний.

В работе Ж. И. Абдулаева, С.Н. Лакаева [10] рассмотрен трехчастич-ный дискретный оператор Н^(К) (// > 0 - энергия взаимодействия двух частиц, К - полный квазиимпульс системы), описывающий систему трех одинаковых частиц, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения. Получена асимптотика для числа собственных значений оператора Н^0(К), лежащих ниже г ^ 0 при К Ои z —0, где г - спектральный параметр. Установлено отсутствие собственных значений оператора Я/ДО) при ¡л <С 1 и существование единственного собственного значения ниже существенного спектра при ¡л 1.

В работе Ж. И. Абдулаева [11] исследуется двухчастичный оператор Н(к), где к - квазиимпульс, с потенциалом взаимодействия специального вида. Доказывается, что при фиксированном квазиимпульсе данный оператор имеет бесконечное число собственных значений, которые накапливаются у левого края непрерывного спектра.

В работе С. Н. Лакаева, А. М. Халхужаева [12] рассматривается семейство двухчастичных дискретных операторов Шредингера Н(к), отвечающих гамильтониану системы двух фермионов на и - мерной решетке W, и ^ 1, где к 6 (—тг, тг]^ - двухчастичный квазиимпульс. Доказано, что для любого и данный оператор имеет собственное значение, лежащее левее существенного спектра, если оператор Н{0) имеет виртуальный уровень (и = 1,2) или собственное значение {и ^ 3) на левой граничной точке существенного спектра.

В статье Н. И. Карачалиоса [13] оценивается число отрицательных собственных значений дискретного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом. В статье Д. Е. Пелиновского и А. Стефанова [14] изучается нестационарное дискретное одномерное уравнение Шредингера. Спектральные свойства многомерных дискретных операторов на некоторых разновидностях бесконечных графов рассматриваются в работе D.E. Dutcay, Р. П. Jorgensen [15].

Одной из важных задач квантовой механики является задача о цепочке N взаимодействующих частиц (например, атомов) со спином 1/2 [16]. Физическая проблема состоит в исследовании собственных значений и собственных векторов матрицы гамильтониана (оператора энергии)'.

Назовем d-магнонным состоянием Ф цепочки из атомов ситуацию, когда m спинов (точнее, их проекций на ось Охз) направлены, для определенности, вверх, а остальные вниз (см. [17]). Состояние Ф является собственным вектором гамильтониана Гейзенберга [17]. Взаимодействия между этими состояниями изучаются, например, в физических работах [18] - [21].

Методом анзаца Бете можно показать (см. [16], [17]), что амплитуды ф = {фп}, п = (пг,., п^), определяющие - состояния Ф, т. е. значения последовательности (функции) ф аргумента п, удовлетворяет дискретному уравнению Шредингера вида

Н0ф = Лф, А е М, где Но действует по формуле а

Н0ф)п = ^ (фп+е:1 + Фп-ву) , (0.1) 1 здесь - положительное целое число, п <£ Ж?; е$ — (0,., 0,., 0). з

Большой физический интерес представляет задача о взаимодействии между одномагнонными состояниями в ферромагнетике. В случае ферромагнетика с периодически расположенными примесями уравнение Шредингера имеет вид

Н0 + И= \ф: где - периодический потенциал. В физической литературе обычно рассматриваются конечные цепочки атомов с некоторыми граничными условиями [16], которые моделируют взаимодействие между магнонами. В подходе, который используется в диссертации, цепочки бесконечны, как например, в работах [1], [7]; это означает, что аргумент п — (щ,., п<г) функции ф, пробегает Ъ6". При этом в гамильтониане вместо граничных условий вводится потенциал V = {Т^-^} взаимодействия между одномагнонными состояниями. В случае d - магнонного гамильтониана взаимодействие между магнонами моделируется убывающим при \п\ —» оо потенциалом вида V = {^4}, что допустимо для ограниченной области.

Близкие модели, в которых появляются дискретные операторы, возникают при описании так называемых «квантовых нитей» (quantum wires) с внедренными вблизи них «квантовыми точками» в приближении сильной связи (см. [22] - [25]). Подобные задачи актуальны в наноразмерных технологиях.

Таким образом, исследуемые в диссертации дискретные операторы и близкие к ним в последние годы активно изучаются как в математической, так и физической литературе. Вместе с тем, остается неисследованным важный вопрос о спектральных свойствах оператора Шредингера с малым потенциалом, в том числе в двухчастичном случае. Недостаточно изученна задача рассеяния, в частности, не было результатов для потенциала, не являющегося оператором умножения на последовательность. Таким образом исследование данных вопросов указывает на актуальность темы диссертации.

В диссертации рассматривается одночастичное уравнение Шредингера = (0.2) где оператор Hq действует в l2(Zd) по формуле (0.1), оператор V (потенциал), отождествляемый с последовательностью {Vn} £ l°°(Zd), действует в /2(Zd) по формуле {уф)п = УпФи, п £ Zd. Предполагается, что Уп - ненулевая, вещественная последовательность, удовлетворяющая оценке

К| ^ Се"а|п|, а > 0, п £ Zd. (0.3)

В дальнейшем последовательности, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экпоненциалъно убывающими.

В случае d — 1 рассматривается также «нелокальный» потенциал вида

V8 = £(.i<p°)<p°1- (0.4) представляющий собой самосопряженный оператор ранга один (в физической литературе встречаемый под названием «сепарабельный потенциал (separable potential)» [26]). Здесь е вещественный параметр (константа связи), (fn — заданная экпоненциально убывающая последовательность из пространства ¿2(Z), являющаяся четной или нечетной. Далее положим

Я = + Не = Но + eV, Hs = Ho + Va. (0.5)

Введем обозначение для резольвенты оператора #о, полагая Ro(X) = (Щ — А/)-1. Ядро резольвенты, продолженное, вообще говоря, по параметру А на соответствующую риманову поверхность Л^, будем называть функцией Грина оператора Но и обозначать через G®m(\).

Уравнение (0.2), рассматриваемое в классе /2(Zd), для А ^ <т(Дз) можно записать в виде ф = -Ro(\)V1>. (0.6)

Перейдем к новой неизвестной функции ip = У\ф и положим y/V = у^У^пУ (только для V). Тогда уравнение (0.6) можно записать в виде

Ф^-у/ЩПо^у/Уф (0.7) и, продолжая оператор — л/|У|До(Л)л/У на риманову поверхность Л4 с помощью его функции Грина, рассматривать его как оператор в для А € М.

Предположим, что с1 — 1, тогда Л4 - двулистная риманова поверхность, полученная склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Щ (см. §3).

Определе.ние 0.1. Число А, принадлежащее второму листу рима-новой поверхности функции Грина С®т(А), будем называть резонансом оператора Н, если существует ненулевое решение (р 6 12{Ъ) уравнения (0.7).

Определение 0.2. Квазиуровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда А принадлежит второму («нефизическому») листу ри-мановой поверхности ./И, ненулевые решения ¡р уравнения (0.7), вообще говоря, экспоненциально возрастают вместе с функцией Грина 6?®т(А) (см. доказательство теоремы 2.1). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) состояниям. По физическим соображениям величину |1тА| можно считать достаточно малой, так.как время жизни квазистационарного состояния, отвечающего резонансу, обратно пропорционально данной величине - см. [27], а слишком короткоживущие состояния не играют роли в физических процессах. Поскольку 1рп при \п\ —► оо ведет себя как и (2®т(А), то для исследования резонансов допустимо предположение у/У<ф € 12{Ъ).

Рассеяние на потенциале при б/ = 1 как и в «непрерывном» случае [28] описывается уравнениями Липпмана-Швингера

Й(А) = ф°п(\) - £ С°т(А ± гО)^(А), (0.8) где А € (—2,2), А) — некоторая последовательность, удовлетворяющая уравнению Яо^о = -^о- Функция С°>т(А ± ¿0) здесь продолжена по параметру А сверху и снизу в точки существенного спектра А € су (Но).

В диссертации также исследуется двухчастичное дискретное уравнение Шредингера \<ф. (0.9)

Оператор Но действует (см. [29]) в пространстве аналогично одночастичному случаю. Операторы IV и V действуют в соответственно, по формулам

Функция И/ПьП2 предполагается вещественной периодической с целым периодом Т > 0 по каждому аргументу. Если периоды по разным переменным разные, то общий период - их произведение. Последовательность УП1-П2 вещественная и удовлетворяет оценке:

Се~а1Ч С,а>0. (0.10)

Уравнение (0.9) рассматривается в двух случаях:

1) в пространстве при \¥ = 0;

2) в пространстве

Далее пользуемся следующими обозначениями для двухчастичных операторов

Ну = Я0 + V, Н = Но + Ж + У.

Целью работы является исследование собственных значений и резонансов одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера, а также изучение задачи рассеяния для одночастичного оператора. Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств одно- и двухчастичного дискретного оператора Шредингера;

2) исследование собственных значений, резонансов и рассеяния для одночастичного дискретного оператора Шредингера в случае малой константы связи;

3) исследование обратной задачи рассеяния для одномерного одночастичного оператора Шредингера с потенциалом ранга один;

4) исследование собственных значений и резонансов для двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом при фиксированном квазиимпульсе;

5) изучение асимптотики решений дискретного уравнения Шредингера.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования собственных значений и резонансов дискретного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности малым потенциалом для различных

2) теорема существования и единственности решения дискретного уравнения Липпмана-Швингера, нахождение коэффициентов прохождения и отражения;

3) теорема единственности решения обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся оператором ранга один;

4) доказательство существования и исследование асимптотики, в зависимости от малой константы связи, собственных значений и резонансов двухчастичного двумерного дискретного оператора Шредингера с возмущенным периодическим потенциалом при фиксированном квазиимпульсе.

Диссертация состоит из введения, двух глав (9 параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений и замечаний (например, теорема 2.1. - это первая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

1. Faria da Viega A. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrodinger Hamiltonians / A. Faria da Viega, L 1.ritti, M. O'Carroll // Physical Review E. - 2002. - V. 66, 016130-1-016130-9.

2. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи / А. А Арсеньев // ТМФ. -2004. Т. 141. - № 1. - С. 100-112.

3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения / В. А. Юрко. Саратов: Издательство Саратовского педагогического института, 2001. - 499 с.

4. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач/ В. А. Юрко. М: Физматлит, 2007. 384 с.

5. Аптекарев А. И. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля / А. И. Аптекарев, Е. М. Никишин // Математический сборник. 1983. - Т. 123." - № 3. - С. 327-358.

6. Коротяев Е. Обратная задача для дискретного периодического оператора Шредингера / Е. Коротяев, А. Куценко // Исследования по линейным операторам и теории функций. 32, Зап. науч. сем ПОМИ, 315, ПОМИ, СПб. 2004, С. 96-101.

7. Лакаев С. Н. Связанные состояния и резонансы N частичного дискретного оператора Шредингера / С. Н. Лакаев // ТМФ. - 1992. -Т. 91. 1. - С. 51-65.

8. Лакаев С. Н. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке / С.Н. Лакаев, М.Э Муминов // ТМФ. 2003. - Т. 135. - № 3. - С. 478-503.

9. Маматов Ш. С. Связанные состояния двухчастчного кластерного оператора / Ш. С. Маматов, Р. А. Минлос // ТМФ. 1989. - Т. 79.-№2.-С. 163-179.

10. Абдулаев Ж. И. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера / Ж.И. Абдулаев, С.Н. Лакаев // ТМФ. 2003. - Т. 136. - № 1. - С. 231-245.

11. Абдулаев Ж. И. Собственные значения двухчатичного оператора Шредингера на двумерной решетке / Ж. И. Абдулаев // Uzbek. Math. J. -2005. № 1. -С. 3-11.

12. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора шредингера на решетке / С.Н. Лакаев, A.M. Халхужаев // ТМФ. 2008. - Т. 155. -№ 2. - С. 287-300.

13. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on ZN, N ^ 1, lattices / N.I. Karachalios // J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455201 (14 pp).

14. Pelinovsky D. Б. On the spectral theory and dispersive estimates for a discrete Schrodinger equation in one dimension / D.E. Pelinovsky, A. Stefanov // arXiv:0804.1963vl math-ph] 11 Apr 2008.

15. Dutcay D. E. Spectral theory for discrete lapacians / D.E. Dutcay, P. Jorgensen //arXiv:0802.2347v5 math-ph] 2 Jim 2008.

16. Изюмов Ю.А. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем / Ю.А. Изюмов, Ю.Н. Скрябин. М.: Наука, 1987. 264 с.

17. Маттис Д. Теория магнетизма / Д. Маттис. М.: Мир, 1967. 408 с.

18. Wolfram Т. Spin-wave impurity states in ferromagnets / Т. Wolfram, J. Callaway //Physical Review. 1963. V. 130. - № 6. -P. 2207-2217.

19. Dyson F. General theory of the spin-wave interaction / F. Dyson // Physical Review. 1956. -V. 102. № 5. - P. 1217-1230.

20. Wortis M. Bound states of two spin waves in the Heisenberg ferromagnets / M. Wortis // Physical Review. 1963. -V. 132. № 1. -P. 85-97.

21. Mattis D. C. The few-body problem on the lattice / D. C. Mattis // Reviews of Modern Physics. 1986. V. 58. - № 2. - P. 361-379

22. Chakrabati A. Fano resonances in discrete lattice models: controlling lineshapes with impurities / A. Chakrabati // arXiv:cond-mat\0611211-vl cond-mat .mes-hall] 8 Nov 2006.

23. Miroshnichenko A. E. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. Miroshnichenko, Y. Kivshar // Physical Review E. 2005. V. 72, 0566111-056611-7.

24. Orellana P. A. Dicke effect in a quantum wire with side-coupled quantum dots / P. A. Orellana, F. Dominguez-Adame, E. Diez // arXiv:cond-mat\0607-94vl cond-mat.mes-hall] 4 Jul 2006.

25. Torio M.E., Hallberg K., Ceccatto A. H., Proetto C. R. Kondo resonances and Fano antiresonances in transport through quantum dots / M. E. Torio, K. Hallberg, A. H. Ceccatto, C. R. Proetto // Physical Review B. 2002. -V. 65, 085302-1-085302-5.

26. Демков Ю. H. Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1975. 240 с.

27. Базь А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов. М.: Наука, 1966. 340 с.

28. Березин Ф.А. Уравнение Шредингера / Ф.А. Березин, М.А. Шубин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

29. Цикон X. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии / X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. М.: Мир, 1990. -408 с.

30. Бирман М.Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980. 264 с.

31. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. 428 с.

32. Морозова Л. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шре-дингера с убывающим потенциалом / Л.Е. Морозова, Ю.П. Чубурин // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. № 1(29). -С. 85-94.

33. Морозова Л.Е. О собственных- значениях многомерного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом / Л. Е. Морозова // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2005. - № 1. -С. 115-122.

34. Морозова Л. Е. Задача рассеяния для одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / Л. Е. Морозова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2006. № 1(35). - С. 83-88.

35. Баранова Л. Е. Обратная задача рассеяния для оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом/ Л. Е. Баранова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XVII». - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 20-21.

36. Баранова JI. Е. Обратная задача рассеяния для дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом/ Л.Е. Баранова // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2007. - № 1. - С. 9-16.

37. Баранова Л.Е. О рассеянии спиновых волн/ Л.Е. Баранова //Вестник Ижевского государственного технического университета. 2007. -№ 2. - С. 16-20.

38. Баранова Л. Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Пон-трягинские чтения — XVIII». Воронеж: ВГУ, 2007. - С. 32-33.

39. Баранова Л. Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л.Е. Баранова, Ю.П. Чубурин // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2008. -№ 1. - С. 35-46.

40. Baranova L.E. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential / L. E. Baranova, Yu.P. Chuburin // J.Phys.A: Math.Theor, 2008. V 41. - P. 435205 (llpp).

41. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. М.-: Физмат-литб 2002. 488 с.

42. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. / Б. В. Шабат. М. Наука, 1982. 400 с.

43. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1977. 360 с.

44. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-ллипс. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 830 с.

45. Лаврентьев М. А Методы теории функций комплексного переменного / М. А Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. 736 с.

46. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1971. 512 с.

47. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 624 с.

48. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. 446 с.

49. Эдварде Р. Функциональный анализ/Р. Эдварде. М.: Мир 1969.1071 с.

50. Гохберг И. Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов / И. Ц. Гохберг, Р. Я. Крупник. Кишинев: изд-во Шти-инца, 1973. 428 с.

51. Бирман М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.Ш. Бирман, М.З. Соломняк. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980.'- 264 с.

52. Чубурин Ю. П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1997. Т. 110. - №3. - С. 443-453.