Многомерная обратная задача рассеяния и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская Академия наук Международный Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики

На правах рукописи

УДК 517.9:530.1

НОВИКОВ Роман Геннадьевич

МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

РАССЕЯНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ (01.01.02 - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

»

Москва 1998

Содержание. Часть I.

1. Резюме..........................................................................4

2. Введение. Постановки задач. Основные результаты............................6

Часть II.

1. д - уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния......................22

2. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения

-Аф + (и(х) - Еи(х))ф = О....................................................78

3. Обратная задача рассеяния при фиксированной энергии для трехмерного уравнения Шредингера с экспоненциально убывающим потенциалом..............89

4. д- метод с ненулевым опорным потенциалом. Приложение к обратной задаче рассеяния для двумерного акустического уравнения ........................118

5. Обратная задача рассеяния на фиксированном уровне энергии для двумерного оператора Шредингера........................................................133

6. Прозрачные потенциалы при фиксированной энергии в размерности два. Дисперсионные соотношения при фиксированной энергии для быстро убывающих потенциалов...................................................................181

7. Точные решения уравнений типа Кортевега-де Фриза в размерности 2+1... .220 Список литературы...........................................................231

Часть I.

1. Резюме.

Цель обратной задачи рассеяния - восстановить структуру объекта по данным рассеяния или спектральным данным. Такие задачи естественно возникают в ядерной физике, геофизике, медицине и т.д.

С математической точки зрения обратная задача рассеяния состоит в исследовании свойств и обращении преобразований, которые коэффициентам дифференциальных уравнений в частных производных ставят в соответствие данные рассеяния. Кроме того, преобразования прямой задачи рассеяния и обратной задачи рассеяния позволяют исследовать серию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных таким же образом, как линейные дифференциальные уравнения в частных производных исследуются с помощью прямого II обратного преобразования Фурье.

В серш1 работ автора исследуются такие математические задачи для уравнения Шредпнгера

(1) —АФ + ь'{х)ф = Еф. х£Г в многомерном случае п > 2 и для более общих уравнений

л д

(2) — + А;(х))2ф+ ь(х)ф =ЕФ. хеГ, п>2

1' ОХу 3

(уравнение Шредпнгера в магнитном поле),

(3) —Аф + (и(аг) - Е и(х))ф = О, х в К", п > 2

(уравнение, возникающее в теории эластичности и электродинамике).

Для основного модельного уравнения (уравнение Шредпнгера (1) с измеримым, вещественным, ограниченным потенциалом у(х)) мы получили, в частности, следующие результаты.

В размерности тг > 3 при условии, что потенциал убывает экспоненциально, оператор рассеяния ¿(Е) на фиксированном уровне энергии Е однозначно определяет потенциал (Р.Г.Новиков. 1988,1993).

В размерности п — 2 такой же результат доказан при дополнительном условии, что норма потенциала мала по сравнению с фиксированной энергией (Р.Г. Новиков, 1986,1992).

В размерности п > 1 доказано, что в классе потенциалов, убывающих на бесконечности, как 0(|х|-п-£), е 6 ®ч-, только нулевой потенциал имеет тождественный оператор рассеяния на интервале энергии (П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков. 1994).

В размерности п — 2 построено семейство (параметризованное функцией одного переменного) радиально-симметричных потенциалов из класса Шварца, имеющих тождественный оператор рассеяния на фиксированном уровне энергии (П.Г.Гри-

невич. Р.Г.Новиков. 1994).

В размерности тг > 2 для потенциалов, убывающих на бесконечности, как 0(|:г|-Г1-г), е £ R+, оператор рассеяния на интервале энергии 0 < Efix — 8 < Е < Еfix + 8 определяет однозначно преобразование Фурье от потенциала в шаре радиуса 2y/EJ~ (Р.Г.Новиков. Г.М.Хенкин. 1987).

В размерности п > 2 решена проблема Фаддеева об особых точках: отталкиваясь от результатов Фаддеева и используя метод д- уравнения, дана характериза-ция амплитуды рассеяния на всем положительном интервале энергии (Р.Г.Новиков, Г.М.Хенкин, 1987).

В размерности п = 2 дана очень явная характеризаппя амплитуды рассеяния при фиксированной энергин (Р.Г.Новиков. 1986,1992).

В размерности п > 2 дано конструктивное решение обратной задачи граничных значений Гельфанда-Кальдерона и обратной спектральной задачи (Р.Г.Новиков. 1987,1988).

В качестве приложений результатов по обратной задаче рассеяния при фиксированной энергии в размерности п — 2 построены первые явные, убывающие при |х| — оо, решения типа солитонов для аналога уравнения Кортевега-де Фриза в размерности 2 + 1. введенного в работах С.В.Манакова. А.П.Веселова. С.П.Новикова (П.Г.Гриневич. Р.Г.Новиков. 1985).

Найдены гамильтоновы системы, описывающие динамику полюсов рациональных решений Гриневича-Захарова этого нелинейного уравнения (Р.Г.Новиков, Ж.П.Франсуаз, 1992).

Найдены нелокальные условия на данные Коши из класса Шварца необходимые для того, чтобы решение этого нелинейного уравнения убывало относительно х, как 0(|х|-л/_2-£), при |х| —оо при фиксированном t > 0 (П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков, 1994).

В наших работах мы используем, в основном, методы комплексного анализа, методы теории линейных интегральных уравнений и некоторые ассимптотические методы.

2. Введение. Постановки задач. Основные результаты.

Цель обратной задачи рассеяния - восстановить структуру объекта по данным рассеяния или спектральным данным. Такие задачи естественно возникают в ядерной физике, геофизике, медицине п т.д.

С математической точки зрения обратная задача рассеяния состоит в исследовании свойств и обращении преобразований, которые коэффициентам дифференциальных уравнении в частных производных ставят в соответствие данные рассеяния. Кроме того, преобразования прямой задачи рассеяния и обратнох! задачи рассеяния позволяют исследовать серию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных таким же образом, как линейные дифференциальные уравнения в частных производных исследуются с помощью прямого и обратного преобразования Фурье.

Ниже будут рассматриваться такие математические задачи для уравнения Шре-дннгера

—АФ + и(х) ф = Еф

и для более обших уравнений

(уравнение Шредингера в магнитном поле),

-Аф + 0(х) - Еи(х))ф = О (уравнение, возникающее в теории упругости и электродинамике). О. Введение.

Восстановление потенциала v(x) в уравнении Шредингера (0.1) -АФ + и(х)ф = Еф, хбГ

по данным рассеяния является классической задачей. Такие задачи естественно возникают для многих уравнений, имеющих физическое происхождение. Известные результаты теории прямой задачи рассеяния и обратной задачи рассеяния для уравнения (0.1) в размерности п — 1 представлены в статьях [-"¿ЗЫ/ЗЫЯ/] и в монографиях [И],^],^],Кроме результатов по прямой задаче рассеяния и обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера эта теория содержит также: а) Приложения преобразований прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шредингера к интегрированию уравнения Кортевега- де Фриза (А'дФ) (ключевая идея этого приложения была открыта в работе [30])-

Ь) Некоторые результаты по прямой задаче рассеяния и обратной задаче рассеяния для уравнения (0.1) в размерности п > 2 при предположении, что потенциал у(х) - сферически симметричен.

Для уравнения (0.1) в размерности п > 2, без предположений типа сферической симметрии для потенциала и(х), первые результаты по обратной задаче рассеяния были получены в работах [&],[№],[!>?).

Обобщение ряда результатов теории Гельфанда- Левитана-Марченко-Кэя-Мозеса-§ Фаддеева в размерности 1 на многомерный случай было дано в серии работ Фаддеева

до, т т

В работе ¡5_[ ] С.В.Манаков заметил возможность приложения преобразований прямой задачи рассеяния и обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера при фиксированной энергии в размерности 2 к исследованию некоторых нелинейных эволюционных уравнений в размерности 2+1.

Первые результаты по обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера (в магнитном поле) при фиксированной энергии в размерности 2 (без предположения о непрерывной симметрии коэффициентов) были получены Б.А.Дубровиным, И.М.Кричевером. С.П.Новиковым в работе [И] в случае периодических коэффициентов.

С начала 80-х годов до настоящего времени теория многомерной обратной задачи рассеяния для уравнения (0.1) и для более общих уравнений быстро развивается

(см. [5], [66], Ш [51], [&Ш7], т. [1], [2?], [35]. [68], [33]. [3], [39], [88], [34], [?1].

[эд, [38]. т, и. [я], [43], т [73]. вя, т [86], и, т, [гз], дал, [^],[1б].[1?],[18].[б],[^ ],...).

Статьи [37], [75"], \ffl\-, [?1], [29], [73], [38], [Ту] отражают вклад автора в это развитие. Эти работы посвящены обратной задаче рассеяния, обратной задаче граничных значений, обратной спектральной задаче для уравнения Шредингера (0.1) и для более общих уравнений

(0.3) ~Аф + (и(х) - Еи(х))ф = 0. хеК".

в многомерном случае п > 2. Кроме того, в работах [37],[2^],[38] рассматривается аналог уравнения А'дФ в размерности 2-1-1 (введенный в работах С.В.Манакова, А.П.Веселова, С.П.Новикова), связанный с обратной задачей рассеяния при фиксированной энергии для уравнения Шредингера в размерности 2 таким же образом, как уравнение А'дФ связано с обратной задачей рассеяния в размерности 1.

Статьи [37],[38] являются совместными работами с П.Г.Гриневичем, статья [?5] является совместной работой с Г.М.Хенкиным, статья [^У] является совместной работой с Ж.-П.Франсуазом.

Мы представляем ниже некоторые результаты работ [2>7],[75"],[?С|],[^1],[23],[/3],[38], [Т^], методы, которыми эти результаты были получены, даем необходимые исторические комментарии.

1. Многомерная обратная задача рассеяния .

Рассмотрим уравнение Шредингера (0.1). Пусть

(1.1) v{x) = ü(x) п Зе > 0 такое, что (1 + |a:|)n+ey(x) <Е L°°(Rn).

Тогда для любого i; £ Е", к2 = Е > 0. существует единственное непрерывное решение ф+(х<к) уравнения (0.1), имеющее асимптотику следующего вида

/ х \ /1

(1.2) к) = е*' + c(n, |fc|) ^^^ /(*, |fc| R) + «(^f^

для |х| со, где с(п, jfcj) = -7г*(-2я7)("~11/2 |fc|("~3)/2. Фунышя /(М), к 6 Г, I Е R", к2 = I2 = Е из асимптотического разложения (1.2) называется амплитудой рассеяния.

Прямая задача рассеяния для уравнения Шредингера (0.1) состоит в нахождении решения ф+(х,к) и амплитуды рассеяния f(k,l) по известному потенциалу v(x) .

Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера (0.1) состоит в восстановлении потенциала v(x) по амплитуде рассеяния f(k, I), к G К.". I Е Rn, к" = /2 (или по частичной информашш об этой функции).

Обратная задача рассеяния включает также характеризацню амплитуды рассеяния .

Прежде чем перейти к обратной задаче рассеяния отметим следующее. Функция ф+(х, к) удовлетворяет интегральному уравнению Липпмана-Швингера

(1.3) ф+(х, к) = eikx 4- [ G+(x - у, к)ь(у)ф+(у, к) dy,

ir

где

Для амплитуды рассеяния справедлива следующая формула

(1.5) = / е-'!*у(х)ф+(х,к)<1х,

2 л- JET

где k,le R", к2 = I2.

Уравнение (1.3) и формула (1.5) дают решение прямой задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния f(k,l), к 6 Rrt, I 6 Rn, 0 < к2 = Z2, может быть записана в виде:

(1.6) ЯМ) = /(!*!,а,/3), \k\eR+, a&Sn~\ ߣS"-\

где а = ß = //|/|. При условии (1.1) наиболее простые свойства амплитуды

рассеяния состоят в следующем:

(1.7) f(s, a,ß) е C(R+ х 5n_1 х 5Tl"1);

(1.8) f(s,a. fi) = f(s,—¡.3.—а) "взаимность"

(1.9) /(s,q, ó) - f(s,¡3,a) = -тгг sn 2 / /(5, a. 7) f(s,,tf, 7) ¿7 "унитарность";

Jsn~l

(1.10)

При фиксированном a /(5, a. a) допускает мероморфное продолжение с R+ в

С+ = {Л I Л € С, 1т/ > 0 }

(в С+ полюса этой функции являются простыми, эти полюса расположены на мнимой оси и связаны с дискретным спектром уравнения (0.1)). При этом

(1.11) Дт f(3,a,a) = v(0),

-€С+

где

= í e^vix)dx.

В работе [{.<3] Л.Д.Фаддеев показал, что при условии (1.1), п > 2. амплитуда рассеяния при высоких энергиях однозначно определяет потенциал v(x) по формуле

(1.12) v(p)= lira f(k,l).

k—l=p |fc|=l'H°o

В следующих Теоремах 1-6 Ецх это произвольная положительная фиксированная энергия.

Теорема 1 ([38] П.Г.Гриневич. Р.Г.Новиков. 1994). Предположим, что тг > 1, что условие (1.1) выполнено и что амплитуда рассеяния для уравнения (0.1) имеет следующее свойство f(k,k) = 0 для к £ R", Е— 6 < к2 < Е^х -f 6. Тогда, v(x) = 0.

Результат Теоремы 1 может быть выведен из свойств (1.7), (1.9),(1.10),(1.11) амплитуды рассеяния .

Теорема 2 ([Z5] Р.Г.Новиков, Г.М.Хенкин, 1987). В размерности п > 2 , при условии (1.1) амплитуда рассеяния f(k,l) для уравнения (0.1) на интервале энергии Eñx — $ < к2 = I'2 < Eñx + ó, к, I е R", однозначно определяет v(р) при р € R", |р| < 2 vEñx-

Определение 1. Потенциал v(x) называется экспоненциально убывающим, если

За > 0 такое, что ea^v{x) € Х°°(R"). _

Теорема 3 3] Р.Г.Новиков, 1988,1993). Предположим, что v(x) = v(x)

и существует a > 0 такое, что ea^v(x) G X°°(lRn).

Тогда для уравнения (0.1) в размерности п > 3, амплитуда рассеяния f(k,l) при фиксированной энергии (к. I G Rn, к2 — I2 = Ецх) однозначно определяет потенциал v(x).

В размерности тг > 3 при условии малости нормы потенциала результат Теоремы 3 был получен в [75"] (Р.Г.Новиков. Г.М.Хенкин, 1986).

Обратная задача рассеяния при фиксированной энергии в размерности п = 2. Пусть г - некоторое положительное число. В размерности тг — 2 будем говорить, что потенциал гч х). удовлетворяющий условию (1.1), имеет малую норму по сравнению с Е/1Х, если

где Q(EfiX,a) - некоторая специальная вещественная функция, обладающая, в частности. следующими свойствами:

Q(EfiX,s) > 0 при Efix > 0. Q{Efix,s) —► +оо при ¿J/,* —»■ +оо; такая функция берется таким образом, чтобы были справедливы Теоремы 4 и 12. _

Теорема 4А ([6g],[fl] Р.Г.Новиков. 1986,1992). Пусть п = 2, v(x) = v(x). Если существует а > 0 такое, что ea^v{x) G I°°(R2) и |(1 + |х|)2+си(ж)| < Q(£"fix,c), то для уравнения (0.1) амплитуда рассеяния f(k,l) при фиксированной энергии Е/{х, (т.е. при к J G R2, к2 = \г = .Efix) однозначно определяет v(х).

В работе [38] показано, что результат Теоремы 4А допускает следующее обобщение.

Теорема 4В ([38] П.Г.Гриневич. Р.Г.Новиков. 1994). Пусть в размерности п = 2 два потенциала обладают свойством (1.1), экспоненциально убывают и амплитуды рассеяния этих потенциалов для уравнения (0.1) при фиксированной энергии совпадают. Пусть, кроме того, один из потенциалов обладает свойством (1.13). Тогда эти потенциалы совпадают.

Следствие 1 ([38] П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков, 1994). Если в размерности п = 2 некоторый вещественный, экспоненциально убывающий потенциал имеет нулевую амплитуду рассеяния для уравнения (0.1) при фиксированной энергии Е/{х, то этот потенциал является нулевым.

Теорема 5 ([38] П.Г.Гриневич, Р.Г.Новиков, 1994). В размерности тг = 2 для уравнения (0.1) при фиксированной энергии Ецх существует семейство (параметризованное функцией одного переменного) вещественных, сферически-симметричных потенциалов из класса Шварца с нулевой амплитудой рассеяния при фиксированной энергии Efix.

Построение примеров, даваемых Теоремой о, сводится к решению линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Рассматривается функция 6(A), А Е С, со следующими свойствами: 6(A) G

(1.13)

|(l + |*i)2+Ma:)i < Q{Efix, с),

(оо)

(°с)

для всех целых неотрицательных тi и тг;

(1.14)

где

г(г, С) = ехр [-¿(А* + »/А + А; + г/Л)| т ' 1116(Л),

следует найти функцию А), 2 6 С. Л € С.

В (1.14) г является параметром. Из теории обобшенно аналитических функций (см. [до]) следует, что при фиксированном г при условии ЫХ) € С£Г^(С), уравнение (1.14) однозначно разрешимо в С (С) (С - сфера Римана ). Наконец, потенциал

2 г д Г -

'1.15) v(xi,x2) = —^- r(z,On(z,Ç)dÇRdÇi,

7Г ÔZ Je

где z — х\ + ¿х-т. обладает всеми свойствами, указанными в Теореме 5 для случая Eux — 1-

Теорема 6 ([£?],[7i] Р.Г.Новиков. 1986,1992). Предположим, что функция/(а,/3), где а, в 6 R2, |a| = \3\ = 1, обладает свойствами

(1.16) /(a, /i) G С°°(51 х S1),

(1.17) \\/(а.0)\\Ь1{31х31)< 1/Зтг

и свойствами (1.8),(1.9) с тг = 2 и 5 = 1. Тогда для Еах > 0 функция /(у/Еях, а, ¡3) = /(а, 3 ) является амплитудой рассеяния при фиксированной энергии Е^х для некоторого вещественного, ограниченного и убывающего потенциала.

Свойство (1.16) в Теореме 6 может быть значительно ослаблено. Свойство (1.17) в Теореме 6 также может быть ослаблено.

Построение потенциала в Теореме 6 сводится к решению линейных интегральных уравнений и состоит в следующем [6 ?],[?/]•

Функцию /(а,/?), где а. 8 6 К2, = \,д\ = 1, будем писать в виде /(Л,Л'), где Л. Л' еС, |А| = |А'| - 1, Х = а1+га2, Л' = + ¡02. Из интегральных уравнений

(1.18а) /г±(А, Л') — жг ( А±(А, Х")9[ ±- А')|«*А"| = /(А, А')

>/|А"|=1 г л л

(1.185) ег±(А, А') = * [ - у (у - у)]МА, А') у)]МА, А')

(1.18с) р(А,А') + « [ Р(Х,\")в[± -(^7- ~)]о-±(А",А,)ИА"| = -™г±(А,А')

У |Л"|=1 г л л

найдем функцию /?(А, А'), где А, А' 6 С, |А| = |А'| = 1, по следующей схеме / к± —► <т± р.

В (1.18а).(1.18с) Л является параметром. Из интегрального уравнения

<"8> = i1 + ¿L рщгт)

где

p(z,A,A',E) = ехр [^((У - \)z + - j))] р(Л, А').

найдем функцию K(z,\.E). z £ С. Л £ С. |А| = 1, 2? = £fix. В (1.19) 2 и Е являются параметрами.

При условиях (1.16),(1.17) интегральные уравнения (1.18а),(1.18с), (1.19) однозначно разрешимы в L2(Sl) для всех значений параметров. Наконец, потенциал

(1.20) у(х1,х2,Е)=-— [ i(;^-K{z,C,E)\dC\

обладает всеми свойствами, указанными в Теореме 6. где Е = £ftx. Используемые методы и связанные с ними результаты. Результаты Теорем 2-6 основаны на свойствах функций G(x, к), 0(х, &), h(k. Г), введенных в теорию рассеяния Л.Д.Фаддеевым в \X0\\i{ ]-[í3 ]• Рассмотрим функции Фаддеева G(x, к), ф(х,к), h(k, I)

(1.22) ф(х,к) =etkx+ I G(x-y,k)v(y)y(y,k)dy

(1.23) к(к,1) = (—)" [ е~11хф(х,к)у(х)ах,

27Г /¡¡£"

где п > 2, и(х) удовлетворяет условию (1.1), к, I 6 Сп, /2 = 1га. / = 1т & ф 0. Здесь (Д 4- Е) к) — 8{х), где к2 = Е, ф(х. к), к2 = Е, - решение уравнения (0.1) и /г(&, /) -