Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 534.2.517.9

МОРОЗОВ Сергей Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРОГИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ АКУСТИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ

)

Специальность 01.04 06 - акустика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матема,й[чЬсб^Тн^Ш)7

003158755

Москва-2007 ч_______

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского , государственного университета им МВ Ломоносова !

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Валентин Андреевич БУРОВ

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Петр Георгиевич ГРИНЕВИЧ, Институт Теоретической физики им Л Д Ландау

кандидат физико-математических наук, доцент Виталий Борисович ВОЛОШИНОВ, физический факультет МГУ им. М В Ломоносова

Институт проблем управления Российской Академии наук, г Москва

Защита диссертации состоится " 1 " ноября 2007 г. в 16-00 часов на1 заседании Специализированного Совета Д.501 001 67 в МГУ j им MB Ломоносова по адресу 119992, г Москва, ГСП-2, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, Центральная физическая аудитория им Р В Хохлова

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического! факультета МГУ им M В Ломоносова

Автореферат разослан " 28 " сентября 2007 г

Ученый секретарь

Специализированного Совета Д 501 001 (Л/ кандидат физико-математических наук

?ОЛЕВ;

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление в современной математической физике и ее прикладных областях. Значительный интерес к акустическим обратным задачам рассеяния главным образом обусловлен необходимостью решения актуальных проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем ренгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы Кроме медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, актуальными являются обширные прикладные проблемы дефектоскопии, геоакустики и акустики океана

В акустике под обратными задачами понимается восстановление источников звука или характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, на основе измерения первичного или рассеянного акустического поля Исторически первые методы решения основывались на приближении однократного рассеяния (приближение Борна) и плавного изменения характеристик рассеяния (приближение Рытова). Однако предположения, используемые в этих приближениях, накладывают серьезные ограничения на область их применимости. Дальнейшие исследования, связаные с учетом эффектов многократного рассеяния, показали, что обратная задача рассеяния является некорректной и нелинейной относительно неизвестных функций Один вариант решения обратных задач, учитывающий многократные рассеяния, - итерационный Положительная черта итерационного подхода состоит в том, что в нем можно использовать самые разные данные (фрагментарные, неполные и т п) Однако имеется существенное ограничение если сходимость итераций для сильных рассеивателей и может быть обеспечена, то с очень большими трудностями и ценой очень большого увеличения объема вычислений Кроме того, в случае использования неполных данных, впоследствии возникает необходимость решения множества вспомогательных задач для каждого из положений источника или каждой из частот Таким образом, размерность и сложность вычислений вспомогательных задач резко возрастает

Другой вариант решения - это функциональные методы, берущие начало в квантовой теории и до сих пор не применявшиеся при решении акустических обратных задач Между тем, функционально-аналитические методы решения обратных задач рассеяния в их квантовой постановке начали развиваться рядом авторов в 50-е годы Основоположниками функциональных методов являются И М Гельфанд, Б М Левитан, М Г Крейн, В А Марченко, Л Д Фаддеев, Р Ньютон, Ю М Березанский, а также Г Мозес, Р Проссер В настоящее время функционально-аналитические методы еще находятся в стадии развития Вопрос о возможности их применения в прикладных обратных задачах разных направлений пока всерьез не исследовался Поэтому актуальность темы

представляемой работы заключается в детальном анализе функционально-аналитических методов с точки зрения возможности и границ их применения в прикладных обратных задачах рассеяния в приложении к медицине, дефектоскопии, океанологии Так, модовое описание процессов в океане делает задачу либо строго двумерной, либо приводит к набору двумерных задач, которые в адиабатическом приближении не взаимосвязаны между собой Технологические и дефектоскопические задачи также в ряде случаев могут быть сведены к двумерным Для таких задач рассматриваемый в диссертационной работе двумерный алгоритм Новикова-Гриневича, строящийся на основе функционально-аналитических методов, является перспективным, хорошо реализуемым на современных вычислительных машинах

В диссертационной работе ставятся следующие цели

1 Определение условий единственности, степени устойчивости и границ применимости функциональных методов на базе алгоритмов Марченко-Ньютона-Роуза и Новикова-Гриневича

2 Исследование возможностей алгоритмов в приложении к задачам восстановления тонкой структуры сложного рассеивателя на фоне крупных неоднородностей, включая неоднородности с одновременным присутствием рефракции и поглощения

3 Оценка требований на систему съема данных, а также оптимизация численных схем для быстрого получения качественных акустических томограмм в медицинских целях

Задачи диссертационной работы

1 Сравнительный анализ функциональных методов решения обратных задач рассеяния, первоначально нацеленных на решение квантомеханических задач, применительно к решению задач акустической томографии

2 Исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза (МНР) и его модификации для произвольного спектра облучающего поля применительно к обратным задачам акустического рассеяния

3 Разработка численных схем алгоритма МНР во временной и частотной областях с использованием дополнительных уравнений связи

4 Анализ результатов численного моделирования алгоритма МНР

5 Модификация алгоритма МНР на основе обобщенных полей, введенных ЛД Фаддеевым, и использование аналитичности функций Анализ взаимосвязи алгоритма МНР и алгоритма Новикова-Гриневича

6 Анализ алгоритма Новикова-Гриневича и обсуждение его применимости к обратным задачам акустического рассеяния

7 Проведение численного моделирования модифицированного алгоритма МНР и оценка его помехоустойчивости

8 Сравнительное численное моделирование процесса восстановления рассеивателей различных типов с использованием алгоритма Новикова-Гриневича, анализ результатов, оценка вычислительных затрат.

Научная новизна работы

1 Впервые проведено детальное и систематическое исследование возможностей функциональных алгоритмов на примерах модельных задач, решаемых в акустических томографах различного назначения

2 Проведен анализ и дана физическая интерпретация акустических данных рассеяния на неоднородностях исчезающе малых размеров (квазиточечных рассеивателей)

3 Получены положительные результаты по перспективности использования метода Новикова-Гриневича в задачах, где одновременно присутствуют крупные и мелкие рассеивающие неоднородности

4 Получена оценка области применимости алгоритмов в практических задачах, которая оказалась на порядок больше, чем это следует из мажорантной оценки авторов алгоритма

5 Разработан модифицированный алгоритм МНР, устранивший неединственность его первоначального варианта

6 Впервые показана и продемонстрирована на примерах решения обратной задачи рассеяния однозначная связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного классическим квазиточечным рассеивателем

Достоверность представленных результатов диссертации подтверждается численным моделированием, а также соответствием полученных результатов теоретическим расчетам и данным решения прямой задачи, имитирующим экспериментально измеряемые величины

Научная и практическая значимость работы:

1 Показана практическая возможность^ также практическая реализуемость и высокие прикладные качества функционально-аналитических методов, делающих их пригодными для применения в реальных акустических системах, в первую очередь, медицинского назначения

2 Найденная в работе однозначная связь между амплитудой и фазой точечного рассеивателя позволяет по-новому поставить общий вопрос об аппаратной функции, как характеристике томографической системы, и контроле, с ее помощью, адекватности алгоритмических систем различного назначения

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Адаптация и анализ возможности применения квантовомеханических алгоритмов решения обратных задач рассеяния к прикладным задачам акустического томографирования различного типа

2 Основной результат проведенного рассмотрения - практическая перспективность и целесообразность использования этих алгоритмов, дающих строгое решение обратной задачи с учетом процессов перерассеяния

3 Анализ адекватности решения обратных задач рассеяния в типовых и максимально сложных ситуациях восстановления мелких деталей рассеивателя на фоне крупных искажающих неоднородностей

4 Наличие однозначной связи между амплитудой и фазой поля, рассеянного квазиточечной неоднородностью, как метод контроля качества решения и адекватности возможных алгоритмов томографирования, которые могут быть предложены в дальнейшем

Апробация работы

Результаты работы докладывались на X сессии Российского Акустического Общества (Москва, 2000), на 24-м (Santa Barbara, USA, 1998), 25-м (Bristol, UK, 2000) и 26-м (Windsor, Canada, 2002) Международных Симпозиумах «Acoustical Imaging», на I Евразийском конгрессе по медицинской физике и инженерии "Медицинская физика - 2001" (Москва, 2001), на семинаре «Динамические обратные задачи» в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН имСтеклова (2001), на научных семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 10 работах (из них 3 - в рецензируемых журналах), список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающей 94 наименования Общий объем работы составляет 198 страниц, включая 160 страниц текста и 40 рисунков

Личный вклад автора заключается в участии в разработке программы исследования решения обратной задачи рассеяния на основе функционально-аналитических методов Все работы по математическому моделированию и по анализу полученных теоретических и прикладных результатов проведены им лично

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе (введении) дана общая характеристика работы, включая актуальность темы, изложение основных целей, задач, результатов диссертации, выносимых на защиту

Вторая глава состоит из четырех разделов и посвящена теоретическому и численному анализу возможности практической реализации метода решения обратной задачи рассеяния путем восстановления поля внутри рассеивающей неоднородности

В разделе 2.1 проведено детальное исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза (МНР), первоначально предназначавшегося его авторами для решения обратной задачи квантово-механического рассеяния и обобщенного в диссертации применительно к обратным задачам акустического рассеяния В основе метода лежит интегральное уравнение, связывающее значения внутреннего поля с экспериментальными данными рассеяния Предполагалась возможность восстановления волнового поля внутри искомого рассеивателя из линейной системы уравнений без параллельного оценивания неизвестной функции рассеивателя

Имеется ограниченная область Я с неоднородной фазовой скоростью звука с(г) = {с(г), геЛ; с0, ЩЯ}

Приемники (или источники) геП2

Источники (или приемники) уеП

21>|У1

Область рассеяния

Геометрия задачи

Запаздывающая и опережающая функции Грина неоднородной среды (С+ и <3-) подчиняются уравнениям Гельмгольца с 5-образной правой частью.

ДгС+(ш,г,у)+-^0+(ю,г;у) = 5(г-у), уеПу (1)

с (г)

ю2

Д,/Г(со,г,х)н—;—С (со, г, х) = 5(г - х), хеД (2)

с (г)

Следствием соотношений (1) и (2) является уравнение МНР для полного поля в частотном представлении [1]

G-(W)-G>,x,y)= çf^.j^M) G~((a,z,x)-G+(m,z,y) ^g^}

Тогда во временном представлении для рассеянных полей g± =G± - Gq (Gq -падающее поле) при 8(/) -образном внешнем воздействии, формирующем зондирующий сигнал, это уравнение имеет вид

g+{t,y,x)-g±(t,x,y)~ 7, г, \dG±(x,z,y) . . dg*(t-x,z х)1

-l Q- l J

= Jdt jdc A "aT^ G0+(r-T,z,x) -£*(!,z,y) -¿j

Дополнительно используется причинная связь

g+(t,r',r")~0 при Vt<T+ в ¡Г ~Г1 g-(/,r',r") = 0 при Vt>x~ = 1Г ~ГД

maxc(r) maxc(r)

г г

В диссертации разработана модификация алгоритма МНР, допускающая любой спектр облучающего поля.

Раздел 2.2 посвящен обсуждению полученных впервые результатов численного моделирования алгоритма МНР, важное преимущество которого -линейность относительно неизвестных полей внутри рассеивателя Проиллюстрировано, что даже во временном представлении решение обладает неединственностью полученные оценки полей, отличные от заданных, также являются решениями (рис 1)

В разделе 2.3 исследуются причины неединственности решения и предпринимается попытка ее устранения путем использования дополнительных уравнений связи типа Липпмана-Швингера (которые нелокальны и неоднородны) при сохранении линейности решаемой задачи

В разделе 2.4 подводятся итоги главы 2 В связи с неединственностью решения, алгоритм МНР не является самостоятельным методом восстановления акустических характеристик рассеивающих объектов Он может служить в качестве составной части для повышения помехоустойчивости в других алгоритмах, обеспечивающих однозначное восстановление акустических характеристик Для обеспечения единственности решения, в алгоритм МНР нужно добавить дополнительное ограничивающее условие, не вытекающее из анализа физических волновых процессов.

-4

-3 -2-10 1 мс

05 04 03 0 2 0.1 О

-4 -3 -2 -1

ш.

2 3 4

мс

в г

Рис.1. Абсолютные значения истинного рассеянного поля (сплошная линия) и восстановленного поля (линия с точками) для цилиндрического рассеивателя радиуса 0 75Х0 с относительной скоростью с(/с0 =11 Точка восстановления х, = (0 5Х0,0) находится внутри цилиндра, угловое положение излучателя составляет ср^ = 0 (а), л/2 (б), л (в) Абсолютные

значения истинного поля (сплошная тонкая линия) и восстановленного поля (сплошная толстая линия) в зависимости от углового положения точки излучения (г)

Третья глава состоит из девяти разделов Она посвящена анализу и модельной реализации строгих двумерных функционально-аналитических алгоритмов решения обратной задачи рассеяния модифицированному алгоритму МНР и алгоритму Новикова-Гриневича [2-6]

В разделе 3.1 излагается формализм комплексных волновых векторов в применении к решению обратных задач рассеяния в монохроматическом режиме

Скалярная обратная задача рассеяния предполагает восстановление скалярной функции рассеивателя v(r) = (¿02 -¿2(г))-/2ша(г,ю)/с(г), где к0 = ю/с0 и с0 - волновое число и фазовая скорость в однородной непоглощающей фоновой среде, к(г) = ю/с(г) и с(г) - в присутствие рассеивателя, а(г,ю) - амплитудный коэффициент поглощения Временная зависимость далее полагается ~ехр(-гсо/) Экспериментальными данными рассеяния является амплитуда рассеяния /(к,1) = /(<р,ф') плоских волн для всех направлений падения к = {&0,<р} и рассеяния 1 = {¿0,ср'}

Ключевой момент функционально-аналитических методов - это формальное распространение волновых векторов в область комплексных значений путем введения мнимых частей к7 и 1; волновых векторов, удовлетворяющих условиям-

к =кд +гк/5 1 = 1л+г1;, кл±к,. к2=&о, кд.к/еК."

С физической точки зрения этот прием означает переход от плоских однородных волн к волнам неоднородным В двумерной задаче существуют лишь две ортогональные ориентации ненулевой мнимой части волнового вектора относительно его действительной части (рис 2)

Рис 2. Левосторонняя и правосторонняя ортогональные ориентации вектора мнимой части относительно вектора действительной части (в двумерном случае)

Переход к комплексным волновым векторам предполагает обобщение функций, зависящих от волновых векторов, на случай комплексных аргументов Так, обобщенное волновое поле 1|/ = ч/(г,к) подчиняется уравнению

ДуОМО + к2ц/(г,к) = У(г)у(г,к), кеС, к2 =

При этом используется прием снятия несущей волны с падающего поля, что аналогично снятию несущей частоты при временной обработке ц(г,к) = ехр(-гкг) у (г, к) Поле ц(г,к) подчиняется уравнению типа

Липпмана-Швингера ц(г,к) = 1 + |0Дг-г',к) ц(г',к)-у(г')<Л-'.

где бц(г,к) - функция Грина, введенная ЛДФадцеевым, п - размерность пространства Классические значения (г,к = к„) функций Грина получаются как предельные значения при |к,|-»0, если кд и к; либо сонаправлены (к; кя), либо направлены противоположно (к7 14 кд)

В разделе 3.2 уравнения типа МНР рассматриваются в терминах обобщенных вторичных источников и данных рассеяния, а также исследуется роль соотношения Сохоцкого для обеспечения единственности решения модифицированного алгоритма МНР

Процедура восстановления характеристик двумерного рассеивателя имеет несколько этапов

Этап 1 расчет обобщенной амплитуды рассеяния /г±(к,1) = А±(<р,ф') (при к/ = к/ —> 0) из экспериментальных данных

2ж

А±(Ф,ф0-Я1 /й±(ф,ф")'е[±8т(ф"-ф)] ЛФ",Ф')<ЛР"=/(<Р,Ф') (3)

о

Уравнение (3), линейное относительно неизвестной функции А4, учитывает перерассеяния волн на неоднородности среды, что придает нелинейный характер уравнению относительно экспериментальных данных Дф,ф')

Этап 2 из /»*(ф,ф') вычисляется функция р(к,1) = р(ф,ф') - ядро в интегральном уравнении связи предельных значений |.|Г(г,ф) волновой функции \у(г,к), те в р-соотношении (это модифицированное уравнение МНР) ~

2я

(г ф) - V)/- (г, ф) = |р(ф, ф') у" (г, ф') гЛр' (4)

о

Здесь

2л

р(ф,ф') + Я1 |р(ф,ф")/1(ф",ф')Фш(ф'-ф")]й?ф" = -яг/1(ф,ф')) (5)

о

где /х (ф,ф') =в[- вшСф' - ф)]/г+(ф,ф') - е[зш(ф' - ф)]/Г(ф,ф')

В классическом случае роль у1 играют запаздывающая и опережающая волновые функции м* и+(г,к) - м"(г,к) = -2пг |/+(к,1) 8(к2 - 12)и-(г,1)е/1

Соотношение Сохоцкого (к = {кхЪ ку} еС2) характеризует связь между полем |!(г,к) = ц(г,ф) и его предельными значениями ц*

2п° ехр(гф»)-^

К

Тогда линейная система, состоящая из модифицированных уравнений МНР (4) и одного из уравнений Сохоцкого (6), рассматриваемого для ц н> ¡дг (при к/ =к* ->0), обеспечивает единственность восстановления внутренних полей Преимущества данного модифицированного алгоритма МНР таковы а) сохраняется свойство линейности относительно неизвестных полей или их угловых гармоник, б) эта система не требует знания "нефизических" данных рассеяния; в) система однозначно разрешима, что обеспечивается неоднородностью уравнений Сохоцкого и тем обстоятельством, что уравнения Сохоцкого из всех возможных решений, удовлетворяющих уравнениям МНР, выделяют только те решения, которые обладают требуемым свойством аналитичности

На заключительном этапе модифицированный алгоритм МНР предполагает восстановление функции рассеивателя из уравнения Липпмана-Швингера или уравнения Гельмгольца

V 0%ф)

Более изящный путь - алгоритмическое объединение всех ракурсов поля при нахождении рассеивателя - реализуется в алгоритме Новикова-Гриневича, описанию и обсуждению характерных особенностей которого посвящен раздел 3.3. Этапы 1 и 2 этого алгоритма не изменяются

Этап 3 Оцененные р(к,1) позволяют найти значения разностного поля

К (г, ф) = н* (г, ф) - (Г (г, ф)

271

А"(г,ф) = |р(ф,ф') ехр(г^0{х(со8ф'-со8ф) + 1у(8тф'-8тф)})х

I 1 <7>

п 1? К(г,(?") ехр(/ф>ф" 2к < ехр(/ф") - (1 + О)ехр(гф')

Выражение (1+0) в (7) означает присутствие бесконечно малой положительной добавки к единице

Этап 4 Поле /Г(г,<р) связано линейно с искомой функцией рассеивателя

kfd д~\2п

= •Иг'(р) ехР0ф)<*Р > г = {х>у}, к = {А0,ср}. (8)

Показывается, что "линеаризация" задачи достигается благодаря свойствам

симметрии предельных значений обобщенных функций Грина-Фаддеева

± 2 G^ (г, к) относительно направления вектора k е IR , и интегрированию по всем

углам падения плоской волны ф Кроме того, пространственный спектр

Г(4,к) = jF+(r,k) ехр(-г^к)с/г классических вторичных источников

/n+(r,k)s v(r) и+(г,к) должен быть локализован внутри круга радиуса 2к0

(рис 3)

к) = 0 при - к| > 2к0 (9)

Рис.3, т -кратное расширение спектра Т по сравнению со спектром V дает к) ® 0 при - к| > тБ, так как 7(4) ~ 0 при ^ 8 Рассеяние назад не появляется, если тБ < 2к0

Характерные особенности алгоритма Новикова-Гриневича

1 Учитываются эффекты многократного рассеяния волн, однако алгоритм остается линейным относительно искомой функции рассеивателя

2 Ограничение в виде отсутствия рассеяния назад - это требование на устойчивость решения двумерной монохроматической задачи рассеяния

3. Для медицинских приложений диапазон приемлемых, с этой точки зрения, частот лежит в пределах от десятков кГц до нескольких МГц,

4 Функция рассеивателя может быть найдена в любой фиксированной точке пространства независимо от ее значений в остальных точках, что удобно для применения в практических приложениях Это уникальное свойство алгоритма

5 Существенная экономия вычислительных затрат по сравнению с традиционными итерационными методами Для восстановления функции рассеивателя во всей области рассеяния требуется порядка операций, где N - количество направлений приема рассеянного поля для каждого из N направлений зондирования

Возможно обобщение алгоритма на случай неоднородной фоновой среды

Недостатки метода

1 Не допускает простого обобщения на трехмерное пространство

2 Прямое обобщение алгоритма на импульсный режим зондирования приводит к существенному возрастанию количества вычислительных операций

В разделе 3.4 исследуется связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного на точечной неоднородности Это исследование связано с тем, что вопрос о виде аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича более сложен в связи с нелинейностью процедуры обработки относительно экспериментальных данных С другой стороны, анализ уравнений МНР привел к обнаружению однозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателя и фазой рассеянного на нем поля Эта связь является строгим и чисто классическим аналогом результата, полученного ЛДФаддеевым для 5-образных рассеивающих потенциалов в квантовой механике [7] Ее существование подтверждено при численном анализе аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича

Пусть имеется рассеиватель с исчезающе малыми размерами у5(г)~8(г-х0) Тогда оказывается, что процессы перерассеяния на нем могут

быть описаны в виде у5(г) и(г,к) = р 5(г-х0)и0(г,к), где м0=мд -

классическое падающее поле, м = и1 - полное поле Найдена связь между амплитудой | Р | и фазой ф коэффициента рассеяния Р = | Р | ехр(гф), имеющая в двумерном случае вид

|р| = -481пф, или |р|2+41т(р) = 0

Справедливость этой связи подтверждена результатами численного моделирования (рис 4а) Проиллюстрировано также, что точечный рассеиватель обязательно создает эффекты перерассеяния собственного ближнего поля, и никогда не становится слабым рассеивателем (рис 46) Одновременно выяснено, что потеря устойчивости решения в алгоритме Новикова-Гриневича наступает,

если обратная обусловленность системы (7), решаемой относительно внутреннего поля, ухудшается до = 10"5 (рис 5)

32*Д0 32х/Х0

а б

Рис.4 Сильный точечный рассеиватель (|Р| = 3 9, ф = —77 16°) результат восстановления с учетом многократных рассеяний (а) и в приближении Борна (б)

а б

Рис 5. Сильный точечный рассеиватель (|р| = 3 999999, ф = -89 96°), иллюстрирующий границы работоспособности алгоритма Новикова-Гриневича результат восстановления с учетом многократных рассеяний (а) и в приближении Борна (б)

В разделе 3.5 приводятся результаты численного восстановления рассеивателей и волновых полей алгоритмом Новикова-Гриневича и модифицированным алгоритмом МНР Иллюстрируется эквивалентность конечной оценки рассеивателя, получаемой каждым из подходов при использовании всех ракурсов зондирования, и, одновременно, удобство последнего этапа алгоритма Новикова-Гриневича

Моделирование процесса восстановления рассеивателей различных типов, обусловленных неоднородностями как фазовой скорости, так и поглощения, с помощью алгоритма Новикова-Гриневича осуществлено впервые (п.3.5.1) Численно подтверждены высокие точностные характеристики алгоритма А именно, при отсутствии шумовых помех восстановленная функция рассеивателя практически совпадает с эталонной (рис 6), если объем дискретизованных данных рассеяния превышает минимально необходимый объем, а пространственный спектр вторичных источников практически не выходит за круг радиуса 2к0, те выполняется условие (9) Показано, что

¡2я 2л |

01раничение на норму данных рассеяния ¡/(ф, ф')| = л |г/ф'|/(ф,ф')| < —,

V о о

оговариваемое авторами алгоритма, носит сильно мажорантный характер Реальные возможности алгоритма гораздо выше, а критическое значение |/|| по крайней мере на порядок больше

При восстановлении модифицированным алгоритмом МНР (п.3.5.2) проиллюстрировано, что линейная система, состоящая из модифицированных уравнений МНР и уравнений Сохоцкого, обеспечивает единственность восстановления внутренних полей (рис 7)

В разделе 3.6 на основе моделирования данных рассеяния для сильных рассеивателей из соотношения унитарности для Г-матрицы проиллюстрировано, что постепенное увеличение силы рассеивателя проявляется в монотонном ухудшении обусловленности систем уравнений, приводящих к решению задачи, т е в повышении чувствительности решения к различного рода помехам Помехи имеют двоякую природу Во-первых, это шумы эксперимента, влияние которых может быть, в принципе, уменьшено как техническими средствами, так и избыточностью (типа многочастотности) данных рассеяния Во-вторых, как показано в разделе 3.7, это составляющие рассеянных полей (данных рассеяния), порожденные высокочастотными компонентами в пространственных спектрах рассеивателя и его вторичных источников В случае присутствия этих компонент, уменьшение их влияния на качество восстановления в рамках монохроматической задачи невозможно (рис 8) В итоге ошибки восстановления определяются общим уровнем помех обоих типов

Re V(r)

Im V(r)

8x/Xn

8x/A.n

ReV(.x,y=0)

o.i

L-ReV llC

>

■60 -40 -ÎO 0 20 40 so

fafte

B

lmV(j;>-0) o

-o.œ

-o.o.

-o.a

-oœ

40-40-20 o 20 40

Sx/Xr,

8x/ka

Рис.6. Несимметричный рефракционно-поглощающий расе сива тел ь

(относительный контраст скорости Ас/с„ изменяется в диапазоне от

-0.073 до 0.15; максимальный дополнительный набег фазы Л= 0.3511;

максимальное амплитудное поглощение в ра с с ей вате л е — в 3.7 раза; норма

данных рассеяния /||«11,/(Зя) ):

- общий вид действительной (а) и мнимой (б) частей истинного рассейвателя;

- центральные сечения действительной (в) и мнимой (г) частей истинного рассенвателя V {тонкая линия) и рассеиватсля V, восстановленного с учетом многократных рассеяний при отсутствии шумовых помех (толстая пунктирная линия).;

- центральное сечение у = 0 (д) рассеивателя, восстановленного в приближении Борна без шумовых помех:

- общий вид действительной {е) и мнимой (ж) частей рассеивателя, восстановленного по зашум ленным данным со стандартным амплитудным шумовым отклонением ип5=0.0) /тал.

Относительная среднеквадратичная погрешность оценки в присутствии шума с

стпй - 0.01 /тах составляет 5цр ( ]Нг)-у(г)|2 ¿г / i|у(г)|: ¿г «0.11.

и / V*

б

а

0.4

02

0

-0 05

0.1

0

V 7 -01

ReV / \ ReVHel -02

Ч . /А //К Jr

-0.3

-128 -84

64 128

32 х/Х„

-128

64 128

Пх/\0

Рис.7. Восстановление рефракционного рассеивателя гауссовой формы (контраст скорости Дс/с0=0 6, набег фазы Дц/«1 23тс) модифицированным алгоритмом МНР

- абсолютные значения полей | 1|Г(г,ф) I (а) и |у+(г, ф)| (б) для точки (х = 0,у = Хв) внутри рассеивателя (сплошная линия) и точки (х = 0, у = 2 5Х0) вне рассеивателя (пунктирная линия) в зависимости от угла ф падения зондирующей волны,

- центральные сечения (в) истинного рассеивателя (v— толстая сплошная линия)

и рассеивателя, восстановленного из уравнения Гельмгольца на основе цГ(г,ф) для направления ф = 0 (RevHel - тонкая сплошная линия) и при усреднении по всем ракурсам ф (Rev - пунктирная линия) в случае зашумленных данных (стандартное отклонение ons = 0 03/гаах),

- центральное сечение рассеивателя, восстановленного в приближении Борна (г)

Ие V

Не V

1т 1

60 -40 -20 0 20 40 60

В 1 бх/Х-о

Г 16Х/Ха

Кис. 8. Рефракционно-поглотаюший рассеиватель с высокочастотными пространственно-спектральными компонентами (дополнительный набег фазы Ац/ & 0.27л; амплитудное поглощение в рассейвателе - в 3,8 раз; норма данных |/|« 9/3 Я):

- общий вид действительной (а) и мнимой (б) части истинного рассейвателя;

- центральные сечения действительной (в) и мнимой (г) частей рассеивателя: истинный рассеиватель (у - тонкая сплошная линия) и его форма после ограничения полосы частот пространственного спектра рассеивателя

кругом радиуса 2к0 (- тонкая пунктирная линия); рассеиватель.

восстановленный при отсутствии шумовых помех с учетом многократных рассеяний (V - толстая линия).

Целью раздела 3.8 ставилось исследование возможностей применения алгоритма Новикова-Гривевича для целей медицинской диагностики. В данной прикладной области четко прослеживается наличие двух масштабов: крупная неоднородность (это различные органы или крупные области органов -жировая, железистая, мышечная ткань) и, одновременно, мелкая ("тонкая") структура, являющаяся предметом обычного диагностического интереса. Проиллюстрировано, что алгоритм позволяет воспроизводить тонкую структуру рассей в ателя (детали с линейным размером около одной трети длины волны) в присутствии неизвестных контрастных крупномасштабных неоднородности, создающих сильное искажение внутреннего поля. Алгоритм обеспечивает качество разрешения тонкой структуры, не уступающее качеству восстановления этой же тонкой структуры в борновском приближении в однородной нсискажающей фоновой среде (рис.9). Эта способность алгоритма весьма полезна и перспективна при решении проблемы медицинской ультразвуковой томографии высокого качества.

Полученные модельные результаты, перечисленные в разделе 3.9Т говорят о перспективности практического применения алгоритма в системах акустического медицинского томо граф ир о вания.

В заключении сформулированы основные положения и выводы диссертационной работы.

1шУ(г)

а

б

У(х,у=0) 0.03

002

0.01

•0.01

/\f\-5yi6

7 Ь—ЯеУ

■120 -80 -40 0 40 80 120

16хЛ0

КеУ(ху>=0)

0.03,

-120 -80 -40 0 40 80 120

16х/Х0

Рис.9. Крупномасштабный рефракционно-поглощающий рассеиватель средней силы (контраст скорости Дс,/со=0.1, дополнительный набег фазы Дц/«0 62 я, полуширина по уровню 1/е с/, = 2Х0, амплитудное поглощение в рассеивателе -вЗ раза, норма данных |/|«18/Зи) с тонкой структурой в виде центральной «впадины» (контраст скорости Дсг/с0 =-0 02, полуишрина с?2 =Я0/4) и внешней кольцевой «стенки» (контраст скорости Дс3 /с0 = 0 03, полуширина <з?3 =Х0/2)

- общий вид действительной (а) и мнимой (б) частей истинного рассеивателя,

- центральное сечение этих частей (в),

- центральные сечения действительной (г) и мнимой (д) частей рассеивателя форма истинного рассеивателя после ограничения полосы частот его пространственного спектра кругом радиуса 2 к0 (У2к0 ~ тонкая линия), рассеиватель, восстановленный

при отсутствии шумовых помех с учетом многократных рассеяний (V - толстая пунктирная линия)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Проведенное детальное исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза применительно к обратным задачам акустического рассеяния показало, что внутреннее волновое поле восстанавливается этим алгоритмом неединственным образом Тем не менее, данный алгоритм может служить, в качестве составной части, для повышения помехоустойчивости в алгоритмах реконструкции, обеспечивающих однозначное восстановление акустических характеристик

2 Показано, что линейная система, состоящая из модифицированных уравнений Марченко-Ньютона-Роуза и уравнений Сохоцкого, обеспечивает единственность восстановления внутренних полей для не слишком сильных рассеивателей Проиллюстрирована возможность восстановления рефракционно-поглощающих характеристик рассеивателей этим обобщенным алгоритмом.

3 Рассмотрен эквивалентный по результатам восстановления, но существенно более эффективный по своей структуре, алгоритм Новикова-Гриневича в применении к решению двумерных монохроматических задач акустического рассеяния, основанный на использовании обобщенных данных рассеяния и хорошо приспособленный к практической реализации на вычислительных системах Впервые осуществлено численное моделирование процесса восстановления с помощью этого алгоритма рассеивателей различных типов, обусловленных неоднородностями как фазовой скорости, так и поглощения Численно подтверждены высокие точностные характеристики алгоритма и его применимость для рассеивателей достаточно высокой силы

4 Анализ уравнений Марченко-Ньютона-Роуза привел к обнаружению однозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателя и фазой рассеянного на нем поля Эта связь является строгим и чисто классическим аналогом результата, полученного Л Д Фаддеевым для 8 -образных рассеивающих потенциалов в квантовой механике Ее существование подтверждено при численном анализе аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича

5 Установлена взаимосвязь между силой рассеивателя, с одной стороны, и единственностью и устойчивостью решения обратной задачи, с другой стороны На численных примерах проиллюстрировано, что постепенное увеличение силы рассеивателя проявляется в повышении чувствительности решения к различного рода помехам, к которым относятся как шумы и ошибки эксперимента, так и составляющие рассеянных полей (данных рассеяния), порожденные высокочастотными компонентами в пространственных спектрах рассеивателя и его вторичных источников

6 Проиллюстрировано, что алгоритм Новикова-Гриневича позволяет воспроизводить тонкую структуру рассеивателя (детали с линейным размером около одной трети длины волны) в присутствии неизвестных контрастных крупномасштабных неоднородностей, создающих сильное

искажение внутреннего поля При этом качество разрешения тонкой структуры не уступает качеству восстановления этой же тонкой структуры в борновском приближении в однородной неискажающей фоновой среде 7 Теоретические результаты позволяют утверждать, что исследованный алгоритм перспективен для практического его применения в системах акустического медицинского томографирования.

Список цитируемой литературы

1 BudreckD, Rose J Н Three-dimensional inverse scattering m anisotropic elastic media // Inverse Problems, 1990, V 6, p 331-348

2 Фаддеев J1Д Обратная задача квантовой теории рассеяния II // Сб Соврем проблемы математики М ВИНИТИ, 1974, ТЗ, с 93-180

3 Новиков Р Г Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии //Теор и мат физика, 1986, т 66, № 2, с 234-240.

4 Гриневич П Г, Манаков С В Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, д -метод и нелинейные уравнения // Функцион анализ и его прил, 1986, т 20, № 2, с 14-24

5 Новиков Р Г, Хенкин Г М д -уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // УМН, 1987, Т 42, № 3(255), с 93-152

6 Nachman АI, Ablovitz М J Multidimensional inverse-scattering for firstorder systems // Studies in Applied Mathematics, 1984, V 71, p 251-262

7 БерезинФА, Фаддеев Л Д Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом//ДАН 1961 Т 137 N5 С 1011-1014

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Burov V А, Morozov S А, Rumiantseva О D, Sukhov Б G , Vecherm S N, Zhucovets A Yu Exact solution of two-dimensional monochromatic inverse scattering problem and secondary sources space spectrum // Acoustical Imaging, Ed H Lee New York Kluwer Academic/Plenum Publisher 2000 V24 P.73-78

2 Burov V A, Morozov S A, Rumiantseva О D. Reconstruction of inner field by Marchenko-Newton-Rose method and solution of multi-dimensional inverse scattering problem // Acoustical Imaging, Ed H Lee New York Kluwer Academic/Plenum Publisher 2000 V24 P 101-106

3 Bogatyrev A V, Burov V A, Morozov S A., Rumyantseva О D , Sukhov EG Numerical realization of algorithm for exact solution of two-dimensional monochromatic inverse problem of acoustical scattering // Acoustical Imaging, Ed P Wells and M Halliwell New York Kluwer Academic/Plenum Publisher 2000 V25 P 65-70

4 Богатырев А В, Вечерин С H, Морозов С А Восстановление двумерных рассеивателей средней силы в монохроматическом режиме с

помощью алгоритма Гриневича-Новикова // Сб. трудов X сессии Российского акустического общества Т1 -М ГЕОС 2000 С 141-144

5 Буров В А, Морозов С А Связь мевду амплитудой и фазой сигнала, рассеянного "точечной" акустической неоднородностью // Акустич журн 2001, т 47, №6, с 751-756

6 Буров В А, Морозов С А, Румянцева О Д., Сергеев С H Акустическая томография мягких тканей // Медицинская физика 2001, N11,4 9 С 15-16

7 Буров В А, Морозов С.А, Румянцева О Д, Сергеев С Н. Активная и пассивная медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника 2002, №3, с 5-13

8 Буров В А, Морозов С А, Румянцева О Д, Сергеев С H Медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Медицинская физика Сборник научных трудов Под ред Трухина В И, Пирогова Ю А, Кашкарова П К, Сысоева H H M физич ф-т МГУ 2002 240с (С 35-48)

9 Burov V А, Morozov S А, Rumyantseva O.D Reconstruction of fine-scale structure of acoustical scatterer on large-scale contrast background // Acoustical Imagmg. Ed R Maev N.Y Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2002 V 26 P 231-238

10 БуровВА, ГришинаИМ, Лапшенкина О И, Морозове А, Румянцева О Д, Сухов Е Г Восстановление тонкой структуры акустического рассеивателя на фоне искажающего влияния его крупномасштабных составляющих // Акустич журн 2003, т 49, №6, с 738750

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡2£ экз Заказ № 3О

1. Введение.

1.1. Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы.

1.2. Общее состояние проблемы (по материалам научных публикаций).

2. Метод Марченко-Ньютона-Роуза (МНР) для восстановления поля внутри рассеивателя.

2.1. Основные уравнения алгоритма МНР.

2.2. Численное моделирование алгоритма МНР.

2.2.1. Схема алгоритма.

2.2.2. Решение прямой задачи.

2.2.3. Результаты численного моделирования алгоритма МНР.

2.3. Неединственность решения на основе алгоритма МНР и попытка ее устранения.

2.3.1. Причины неединственности.

2.3.2. Использование дополнительных уравнений связи типа Липпмана-Швингера.

2.3.3. Алгебраизация уравнений в терминах вторичных источников.

2.3.4. Анализ результатов численного моделирования.

2.4. Выводы.

3. Точное решение обратной двумерной монохроматической задачи акустического рассеяния. Численное моделирование.

3.1. Применение формализма комплексных волновых векторов к обратным задачам.

3.2. Уравнения типа МНР в терминах обобщенных вторичных источников и данных рассеяния. Роль соотношения Сохоцкого для обеспечения единственности решения модифицированного алгоритма МНР.

3.3. Алгоритм Новикова-Гриневича и его связь с соотношениями МНР. Описание и характерные особенности.

3.4. Связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного на точечной неоднородности.

3.5. Восстановление рефракционных и поглощающих рассеивателей различного контраста. Помехоустойчивость решения.

3.5.1. Восстановление алгоритмом Новикова-Гриневича.

3.5.2. Восстановление модифицированным алгоритмом МНР.

3.6. Моделирование данных рассеяния для сильных рассеивателей из соотношения унитарности.

3.7. Высокочастотные составляющие пространственных спектров рассеивателя и его вторичных источников как дополнительные помехи.

-33.8. Восстановление тонкой структуры акустического рассеивателя на крупномасштабном контрастном фоне.

3.9. Выводы.

Работа посвящена модельной реализации строгих функционально-аналитических алгоритмов решения обратной задачи рассеяния, развивавшихся рядом авторов для решения задач кваптово-механического рассеяния. Эти методы гораздо более перспективны, чем итерационные. Однако в настоящее время они находятся в стадии развития. Вопрос о возможности их применения в прикладных обратных задачах разных направлений пока еще всерьез не исследовался. В представляемой диссертационной работе исследуются алгоритмы на базе уравнений Марченко-Ныотона-Роуза, а также двумерный алгоритм Новикова-Гриневича.

1.1. Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы.

Актуальность темы

Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление в современной математической физике и ее прикладных областях. Значительный интерес к акустическим обратным задачам рассеяния главным образом обусловлен необходимостью решения актуальных проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем ренгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы. Кроме медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, актуальными являются обширные прикладные проблемы дефектоскопии, геоакустики и акустики океана.

В акустике под обратными задачами понимается восстановление источников звука или характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, на основе измерения первичного или рассеянного акустического поля. Исторически первые методы решения основывались на приближении однократного рассеяния (приближение Борна [87, 88, 89]) и плавного изменения характеристик рассеяния (приближение Рытова) [89]. Однако предположения, используемые в этих приближениях, накладывают серьезные ограничения на область их применимости. Необходимо подчеркнуть, что учет эффектов многократного рассеяния означает, что обратная задача рассеяния является не только некорректной, по и нелинейной относительно неизвестных функций. Один вариант решения обратных задач, учитывающий многократные рассеяния, - итерационный [28, 15, 29]. Положительная черта итерационного подхода состоит в том, что в нем можно использовать самые разные данные (фрагментарные, неполные и т.п.). Однако имеется существенное ограничение: если сходимость итераций для очень сильных рассеивателей и может быть обеспечена, то с очень большими трудностями и ценой очень большого увеличения объема вычислений. Кроме того, в случае использования неполных данных, впоследствии возникает необходимость решения множества вспомогательных задач. Таким образом, размерность и сложность вычислений вспомогательных задач резко возрастает.

Другой вариант решения - это функциональные методы, берущие начало в квантовой теории и до сих пор не применявшиеся при решении акустических обратных задач. Между тем, функционально-аналитические методы решения обратных задач рассеяния в их квантовой постановке начали развиваться рядом авторов в 50-е годы. Основоположниками функциональных методов являются И.М.Гельфанд, Б.МЛевитан, М.Г.Крейн, В.А.Марченко, Л.Д.Фадцеев, Р.Ньютон, Ю.М.Березанский, а также Г.Мозес, Р.Проссер [64,66,65,10, 59,43-49].

В настоящее время функционально-аналитические методы еще находятся в стадии развития. Вопрос о возможности их применения в прикладных обратных задачах разных направлений пока всерьез не исследовался. Поэтому актуальность темы представляемой работы заключается в детальном анализе функционально-аналитических методов с точки зрения возможности и границ их применения в прикладных обратных задачах рассеяния в приложении к медицине, дефектоскопии, океанологии. Так, модовое описание процессов в океане делает задачу либо строго двумерной, либо приводит к набору двумерных задач, которые в адиабатическом приближении не взаимосвязаны между собой. Технологические и дефектоскопические задачи также в ряде случаев могут быть сведены к двумерным. Для таких задач рассматриваемый в диссертационной работе двумерный алгоритм Новикова-Гриневича, строящийся на основе функционально-аналитических методов, является перспективным, хорошо реализуемым на современных вычислительных машинах.

Таким образом, в диссертационной работе ставятся следующие цели:

• Определение условий единственности, степени устойчивости и границ применимости функциональных методов на базе алгоритмов Марчепко-Ньютона-Роуза и Новикова-Гриневича.

• Исследование возможностей алгоритмов в приложении к задачам восстановления тонкой структуры сложного рассеивателя на фоне крупных неоднородностей, включая неоднородности с одновременным присутствием рефракции и поглощения.

• Оценка требований на систему съема данных, а также оптимизация численных схем для быстрого получения качественных акустических томограмм в медицинских целях.

Задачн диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Сравнительный анализ функциональных методов решения обратных задач рассеяния, первоначально нацеленных на решение квантомеханических задач, применительно к решению задач акустической томографии.

2. Исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза (МНР) и его модификации для произвольного спектра облучающего поля применительно к обратным задачам акустического рассеяния.

3. Разработка численных схем алгоритма МНР во временной и частотной областях с использованием дополнительных уравнений связи.

4. Анализ результатов численного моделирования алгоритма МНР.

5. Модификация алгоритма МНР на основе обобщенных полей, введенных Л.Д. Фаддеевым, и использование аналитичности функций. Анализ взаимосвязи алгоритма МНР и алгоритма Новикова-Гриневича.

6. Анализ алгоритма Новикова-Гриневича и обсуждение его применимости к обратным задачам акустического рассеяния.

7. Проведение численного моделирования модифицированного алгоритма МНР и оценка его помехоустойчивости.

8. Сравнительное численное моделирование процесса восстановления рассеивателей различных типов с использованием алгоритма Новикова-Гриневича, анализ результатов, оценка вычислительных затрат.

Научная новизна работы:

1. Впервые проведено детальное и систематическое исследование возможностей функциональных алгоритмов на примерах модельных . задач, решаемых в акустических томографах различного назначения.

2. Проведен анализ и дана физическая интерпретация акустических данных рассеяния на неоднородностях исчезающе малых размеров (квазиточечных рассеивателей).

3. Получены положительные результаты по перспективности использования метода Новикова-Гриневича в задачах, где одновременно присутствуют крупные и мелкие рассеивающие неоднородности.

4. Получена оценка области применимости алгоритмов в практических задачах, которая оказалась па порядок больше, чем это следует из мажорантной оценки авторов алгоритма.

5. Разработан модифицированный алгоритм МНР, устранивший неединственность его первоначального варианта.

6. Впервые показана и продемонстрирована на примерах решения обратной задачи рассеяния однозначная связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного классическим квазиточечным рассеивателем.

Обоспованис н достоверность полученных результатов:

Достоверность представленных результатов диссертации подтверждается численным моделированием, а также соответствием полученных результатов теоретическим расчетам и данным решения прямой задачи, имитирующим экспериментально измеряемые величины.

Научная и практическая ценность результатов работы

1. Показана практическая возможность, а также практическая реализуемость и высокие прикладные качества функционально-аналитических методов, делающих их пригодными для применения в реальных акустических системах, в первую очередь, медицинского назначения.

2. Найденная в работе однозначная связь между амплитудой и фазой точечного рассеивателя позволяет по-новому поставить общий вопрос об аппаратной функции, как характеристике томографической системы, и контроле, с ее помощью, адекватности алгоритмических систем различного назначения.

Личный вклад автора заключается в участии в разработке программы исследования решения обратной задачи рассеяния на основе функционально-аналитических методов. Все работы по математическому моделированию и по анализу полученных теоретических и прикладных результатов проведены им лично.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Адаптация и анализ возможности применения квантовомеханических алгоритмов решения обратных задач рассеяния к прикладным задачам акустического томографирования различного типа.

2. Основной результат проведенного рассмотрения - практическая перспективность и целесообразность использования этих алгоритмов, дающих строгое решение обратной задачи с учетом процессов перерассеяния.

3. Анализ адекватности решения обратных задач рассеяния в типовых и максимально сложных ситуациях восстановления мелких деталей рассеивателя на фоне крупных искажающих пеоднородностей.

4. Наличие однозначной связи между амплитудой и фазой поля, рассеянного квазиточечной неоднородностью, как метод контроля качества решения и адекватности возможных алгоритмов томографирования, которые могут быть предложены в дальнейшем.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на X сессии Российского Акустического Общества (Москва, 2000); на 24-м (Santa Barbara, USA, 1998), 25-м (Bristol, UK, 2000) и 26-м (Windsor, Canada, 2002) Международных Симпозиумах «Acoustical Imaging»; на I

Евразийском конгрессе по медицинской физике и инженерии "Медицинская физика -2001" (Москва, 2001); на семинаре «Динамические обратные задачи» в С.-П. отделении Математического института РАН им.Стеклова (2001); на научных семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.

Публикации: материалы диссертации отражены в одиннадцати работах [7, 8, 9, 30, 31, 32, 33, 67, 68, 70,93] (четыре из них - в рецензируемых журналах), приведенных в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из четырех глав объемом 198 страниц, включающих 160 страниц текста и 40 рисунков, а также списка цитируемой литературы.

В первой главе (введение) дана общая характеристика работы, включая актуальность темы, изложение основных целей, задач, результатов диссертации, выносимых на защиту.

Вторая глава состоит из четырех разделов и посвящена теоретическому и численному анализу возможности практической реализации метода решения обратной задачи рассеяния путем восстановления поля внутри рассеивающей неоднородности. В разделе 2.1 проведено детальное исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза (МНР), первоначально предназначавшегося его авторами для решения обратной задачи квантово-механического рассеяния и обобщенного в диссертации применительно к обратным задачам акустического рассеяния. В основе метода лежит интегральное уравнение, связывающее значения внутреннего поля с экспериментальными данными рассеяния. Предполагалась возможность восстановления волнового поля внутри искомого рассеивателя из линейной системы уравнений без параллельного оценивания неизвестной функции рассеивателя. В диссертации разработана модификация алгоритма МНР, допускающая любой спектр облучающего поля.

Раздел 2.2 посвящен обсуждению полученных впервые результатов численного моделирования алгоритма МНР, важное преимущество которого - линейность относительно неизвестных полей внутри рассеивателя. Проиллюстрировано, что даже во временном представлении решение обладает неединственностью: полученные оценки полей, отличные от заданных, также являются решениями.

В разделе 2.3 исследуются причины неединственности решения и предпринимается попытка ее устранения путем использования дополнительных уравнений связи типа Липпмана-Швингера (которые нелокальны и неоднородны) при сохранении линейности решаемой задачи.

В разделе 2.4 подводятся итоги главы 2. В связи с неединственностью решения, алгоритм МНР не является самостоятельным методом восстановления акустических характеристик рассеивающих объектов. Он может служить в качестве составной части для повышения помехоустойчивости в других алгоритмах, обеспечивающих однозначное восстановление акустических характеристик. Для обеспечения единственности решения, в алгоритм МНР нужно добавить дополнительное ограничивающее условие, не вытекающее из анализа физических волновых процессов.

Третья глава состоит из девяти разделов. Она посвящена анализу и модельной реализации строгих двумерных функционально-аналитических алгоритмов решения обратной задачи рассеяния: модифицированному алгоритму МНР и алгоритму Новикова-Гриневича.

В разделе 3.1 излагается формализм комплексных волновых векторов в применении к решению обратных задач рассеяния в монохроматическом режиме. В разделе 3.2 уравнения типа МНР рассматриваются в терминах обобщенных вторичных источников и данных рассеяния, а также исследуется роль соотношения Сохоцкого для обеспечения единственности решения модифицированного алгоритма МНР. На заключительном этапе модифицированный алгоритм МНР предполагает восстановление функции рассеивателя из уравнения Липпмана-Швингера или уравнения Гельмгольца. Более изящный путь - алгоритмическое объединение всех ракурсов поля при нахождении рассеивателя - реализуется в алгоритме Новикова-Гриневича, описанию и обсуждению характерных особенностей которого посвящен раздел 3.3.

В разделе 3.4 исследуется связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного на точечной неоднородности. Это исследование связано с тем, что вопрос о виде аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича более сложен в связи с нелинейностью процедуры обработки относительно экспериментальных данных. С другой стороны, анализ уравнений МНР привел к обнаружению однозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателя и фазой рассеянного на нем поля. Эта связь является строгим и чисто классическим аналогом результата, полученного Л.Д.Фаддеевым для 8-образных рассеивающих потенциалов в квантовой механике. Ее существование подтверждено при численном анализе аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича.

В разделе 3.5 приводятся результаты численного восстановления расееивателей и волновых полей алгоритмом Новикова-Гриневича и модифицированным алгоритмом МНР. Иллюстрируется эквивалентность конечной оценки рассеивателя, получаемой каждым из подходов при использовании всех ракурсов зондирования, и, одновременно, удобство последнего этапа алгоритма Новикова-Гриневича.

В разделе 3.6 на основе моделирования данных рассеяния для сильных рассеивателей из соотношения унитарности для Г-матрицы проиллюстрировано, что постепенное увеличение силы рассеивателя проявляется в монотонном ухудшении обусловленности систем уравнений, приводящих к решению задачи, т.е. в повышении чувствительности решения к различного рода помехам. Помехи имеют двоякую природу. Во-первых, это шумы эксперимента, влияние которых может быть, в принципе, уменьшено как техническими средствами, так и избыточностью (типа многочастотности) данных рассеяния. Во-вторых, как показано в разделе 3.7, это составляющие рассеянных полей (данных рассеяния), порожденные высокочастотными компонентами в пространственных спектрах рассеивателя и его вторичных источников. В случае присутствия этих компонент, уменьшение их влияния на качество восстановления в рамках монохроматической задачи невозможно. В итоге ошибки восстановления определяются общим уровнем помех обоих типов.

Целью раздела 3.8 ставилось исследование возможностей применения алгоритма Новикова-Гриневича для целей медицинской диагностики. В данной прикладной области четко прослеживается наличие двух масштабов: крупная неоднородность (это различные органы или крупные области органов - жировая, железистая, мышечная ткань) и, одновременно, мелкая ("тонкая") структура, являющаяся предметом обычного диагностического интереса. Проиллюстрировано, что алгоритм позволяет воспроизводить тонкую структуру рассеивателя (детали с линейным размером около одной трети длины волны) в присутствии неизвестных контрастных крупномасштабных неоднородностей, создающих сильное искажение внутреннего поля. Алгоритм обеспечивает качество разрешения тонкой структуры, не уступающее качеству восстановления этой же тонкой структуры в борцовском приближении в однородной неискажающей фоновой среде. Эта способность алгоритма весьма полезна и перспективна при решении проблемы медицинской ультразвуковой томографии высокого качества.

Полученные модельные результаты, перечисленные в разделе 3.9, говорят о перспективности практического применения алгоритма в системах акустического медицинского томографирования.

В заключении сформулированы основные положения и выводы диссертационной работы.

В диссертации принята трехзначная нумерация формул. Обращение к формулам осуществляется в виде, например, (1.2.3), что означает третью формулу второго параграфа первой главы. Нумерация формул во всех пунктах параграфа сплошная. Нумерация рисунков - сплошная по всему тексту.

4. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведенное детальное исследование алгоритма Марченко-Ньютона-Роуза применительно к обратным задачам акустического рассеяния показало, что внутреннее волновое поле восстанавливается этим алгоритмом неединственным образом. Тем не менее, данный алгоритм может служить, в качестве составной части, для повышения помехоустойчивости в алгоритмах реконструкции, обеспечивающих однозначное восстановление акустических характеристик.

2. Показано, что линейная система, состоящая из модифицированных уравнений Марченко-Ньютона-Роуза и уравнений Сохоцкого, обеспечивает единственность восстановления внутренних полей для не слишком сильных рассеивателей. Проиллюстрирована возможность восстановления рефракционно-поглощающих характеристик рассеивателей этим обобщенным алгоритмом.

3. Рассмотрен эквивалентный по результатам восстановления, но существенно более эффективный по своей структуре, алгоритм Новикова-Гриневича в применении к решению двумерных монохроматических задач акустического рассеяния, основанный на использовании обобщенных данных рассеяния и хорошо приспособленный к практической реализации на вычислительных системах. Впервые осуществлено численное моделирование процесса восстановления с помощью этого алгоритма рассеивателей различных типов, обусловленных неоднородностями как фазовой скорости, так и поглощения. Численно подтверждены высокие точностные характеристики алгоритма и его применимость для рассеивателей достаточно высокой силы.

4. Анализ уравнений Марченко-Ньютона-Роуза привел к обнаружению однозначной взаимосвязи между силой точечного рассеивателя и фазой рассеянного на нем поля. Эта связь является строгим и чисто классическим аналогом результата, полученного Л.Д.Фаддеевым для 5 -образных рассеивающих потенциалов в квантовой механике. Ее существование подтверждено при численном анализе аппаратной функции алгоритма Новикова-Гриневича.

5. Установлена взаимосвязь между силой рассеивателя, с одной стороны, и единственностью и устойчивостью решения обратной задачи, с другой стороны. На численных примерах проиллюстрировано, что постепенное увеличение силы рассеивателя проявляется в повышении чувствительности решения к различного рода помехам, к которым относятся как шумы и ошибки эксперимента, так и составляющие рассеянных полей (данных рассеяния), порожденные высокочастотными компонентами в пространственных спектрах рассеивателя и его вторичных источников.

-1866. Проиллюстрировано, что алгоритм Новикова-Гриневича позволяет воспроизводить тонкую структуру рассеивателя (детали с линейным размером около одной трети длины волны) в присутствии неизвестных контрастных крупномасштабных неоднородностей, создающих сильное искажение внутреннего поля. При этом качество разрешения тонкой структуры не уступает качеству восстановления этой же тонкой структуры в борцовском приближении в однородной неискажающей фоновой среде.

7. Теоретические результаты позволяют утверждать, что исследованный алгоритм перспективен для практического его применения в системах акустического медицинского томографирования.

В заключение выражаю глубокую признательность моему научному руководителю и учителю Валентину Андреевичу Бурову за огонь любви к научному познанию, который он зажег в моем сердце, за ценные знания и умения, пригождающиеся в моей повседневной работе, за многие годы труда надо мной.

Выражаю огромную благодарность Ольге Дмитриевне Румянцевой за деятельное участие в процессе работы над диссертацией, за многочисленные идеи, обсуждения и правки, за яркий пример усердия и работоспособности и стремления к предельной научной строгости.

Благодарю преподавателей и сотрудников кафедры акустики за приобретенные знания и за особый климат дружественной атмосферы, благоприятный для научного становления студентов и аспирантов.

1. Гриневич П.Г., МанаковС.В. Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, д -метод и нелинейные уравнения. // Функцион. анализ и его прил., 1986, т.20, № 2, с. 14-24.

2. Новиков Р.Г. Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии. //Теор. и мат. физика, 1986, т.66, №2, с.234-240.

3. Grinevich P.G., Novikov R.G. Transparent potentials at fixed energy in dimension two. Fixed-energy dispersion relations for fast decaying potentials // (Preprint Université de Nantes, 1994) Commun. Math. Phys., 1995, v. 174, p.409-446.

4. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Римана. // ДАН СССР. Математика, 1986, т.286, № 1, с. 19-22.

5. Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов. // Акустический журнал, 1992, т.38, № 3, с.413-420.

6. Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов. II. Область эффективного применения. // Акустический журнал, 1993, т.39, № 5, с.793-803.

7. Богатырев A.B., Вечерин C.H., Морозов C.A. Восстановление двумерных рассеивателей средней силы в монохроматическом режиме с помощью алгоритма Гриневича-Новикова // Сб. трудов X сессии Российского акустического общества, Т.1.-М.: ГЕОС, 2000, с.141-144.

8. ФаддеевJI.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II //Сб.: Соврем, проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1974, Т.З, с.93-180.

9. Faddeev L.D. Inverse problem of quantum scattering theory II // Itogi Nauki I Tekhniki, Sov.Prob.Mat. 1974. V.3, p.93-180 (Translated by J.of Soviet Math. 1976. V.5, p.334-396).

10. Румянцева О.Д. Решение акустической обратной задачи рассеяния методами функционального анализа// Дисс. к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1992,179 с.

11. Burov V.A., Rumiantseva O.D. The functional-analytical methods for the scalar inverse scattering problems //Proc. SPIE. Anal. Meth. Opt. Tomogr., 1992, V.1843, p.194-205.

12. Burov V.A., Rumiantseva O.D. The solution stability and restrictions on the space scatterer spectrum in the two-dimensional monochromatic inverse scattering problem // Ill-Posed Problems inNatural Sciences. M: TVP, 1992, p.463-471.

13. НовиковР.Г. Многомерная обратная задача рассеяния и приложения //Дисс. д.ф.-м.н. С.-П.: РАН С.-П. отделение матем. института им. В.А.Стеклова, 1998, 236 с.

14. Горюнов А.А., СасковецА.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989,152 с.

15. Буров В.А., Сасковец А.В., Фаткуллина И.О. Локальная сходимость итерационных решений обратных задач рассеяния при постепенном учете перерассеяния // Акустический журнал, 1991, Т.37, № 1, с.30-35.

16. Новиков Р.Г. Обратная задача рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии и нелинейные уравнения //Дисс. к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1989,87 с.

17. ЖуковецА.Ю. Учет многократных рассеяний при решении прямой задачи для акустических неоднородностей средней силы //Дипломная работа. М.: МГУ, 1998, 27 с.

18. Burov V.A., Rumiantseva O.D. Influence of the scattering data redundancy on uniqueness and stability in reconstruction of strong and complicated scatterers //Acoustical Imaging, 1996, V.22, ed. P.Tortolli and L.Massotti, N.Y.: Plenum Press, p.107-112.

19. Буров B.A., Касаткина E.E., Румянцева О.Д. Статистические оценки в обратных задачах рассеяния // Акустический журнал, 1997, Т.43, № 3, с.315-322.

20. Вечерин С.Н. Однозначность восстановления характеристик рассеивателя. Моделирование восстановления методом Новикова //Дипломная работа. М.: физический ф-т МГУ, 1998, 35 с.

21. NachmanA.I. Reconstruction from boundary measurements. //Annals of Math. 1988, V. 128, №3,p.531-576.

22. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. д -уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // УМН, 1987, Т.42, № 3(255), с.93-152.

23. Novikov R.G., Henkin G.M. д -equation in multi-dimensional inverse scattering problem // Russian Mathem.Survey. 1987. V.42, p.109-180.

24. André M.P., Janée H.S., Otto G.P., Martin P.J., Jones J.P. Reduction of phase aberration in a difraction tomography system for breast imaging // Acoustical Imaging, 1996, V.22, ed. P.Tortolli and L.Massotti, N.Y.: Plenum Press, p.151-157.

25. André M.P., Janée H.S., Martin P.J., Otto G.P., Spivey B.A., Palmer D.A. High-speed data acquisition in a difraction tomography system employing large-scale toroidal arrays // Intl. J. Imaging Systems Technol. 1997, V.8, № 1, p. 137-147.

26. JonsonS.A., ZhouY., Tracy M.L., Berggren M.J., StangerF., Inverse scattering solutions by a sine basis, multiple source, moment method. Part III: Fast algorithms // Ultrason.Imaging, 1984, V.6,№ 4, p. 103-106.

27. Буров B.A., Рычагов M.H., Сасковец A.B. Учет многократных рассеяний в задачах дифракционной томографии: Г-матричный подход //Вести. Моск. ун-та. Сер.З. Физика, Астрономия, 1989, Т.30, № 1, с.44-48.

28. Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сергеев С.Н. Акустическая томография мягких тканей // Медицинская физика, 2001, № 11, чЛХ, с.15-16.

29. Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сергеев С.Н. Активная и пассивная медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2002, № 3, с.5-13.

30. Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д., Сергеев С.Н. Медицинская акустическая томография сильно неоднородных сред // Сб.: Медицинская физика, под ред. Трухина В.И. и др., М.: физич. ф-т МГУ, 2002, с.35-48.

31. Burov V.A., Morozov S.A., Rumyantseva O.D. Reconstruction of fine-scale structure of acoustical scatterer on large-scale contrast background // Acoustical Imaging, 2002, V.26, N.Y.: Kluwer Academic / Plenum Publishers, p.231-238.

32. Cheney M., Beylkin G., Somersalo E., Burridge R. Three-dimensional inverse scattering for the wave equation with variable speed: near field formulae using point sources // Inverse Problems, 1989, v.5, p.l.

33. BurovV.A., KasatkinaE.E., and RumiantsevaO.D., Statistical estimations in inverse scattering problems //Acoustical Imaging, P.Tortoli and L.Masotti, ed., Plenum Press, New York, 1996, v.72, p.l 13-118.

34. Burov V.A., Rychagov M.N., Saskovets A.V. Account of multiple scattering in acoustic inverse problems of tomographic type //Acoustical Imaging, H.Ermert and H.-P.Harjes, ed., Plenum Press, New York, 1992, v. 19, p.35-39.

35. Rose J.H., Cheney M. Self-consistent equations for variable-velocity three-dimensional inverse scattering // Phys. Rev. Lett., 1987, V.59, № 9, p.954-957.

36. БелишевМ.И., КурылевЯ.В. Обратная задача акустического рассеяния в пространстве с локальной неоднородностью // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, Л., 1986, Т. 156, с.24-34.

37. Белишев М.И. Обратная спектральная индефинитная задача для уравнения у" + А, • р{х)у = 0 на промежутке //Функцион. анализ и его прил., 1987, Т.21, вып.2, с.68-69.

38. Белишев М.И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения// ДАН СССР, 1987, Т.297, № 3, с.524-527.

39. БелишевМ.И. Уравнение типа Гельфанда-Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, Л., 1987, Т. 180, вып. 17, с. 15-20.

40. Белишев М.И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах // Математ. сборник, 1989, Т. 180, № 5, с.584-602.

41. Newton R.G. Inverse scattering II. Three dimensions //J. Math. Phys., 1980, V.21, № 7, p.1698-1715.

42. Newton R.G. Inverse scattering III. Three dimensions, continued // J. Math. Phys., 1981, V.22, № 10, p.2191-2200.

43. Newton R.G. Inverse scattering IV. Three dimensions: generalized Marchenko construction with bound states, and generalized Gel'fand-Levitan equations //J. Math. Phys., 1982, V.23, № 4, p.594-604.

44. Newton R.G. The Marchenko and Gel'fand methods in the inverse scattering problem in one and three dimensions // Conf. on Inverse Scatering: Theory and Applications, ed. Bednar J.B. et al., SIAM, Philadelphia, 1983, p. 1-74.

45. NewtonR.G. An inverse spectral problem in three dimensions //Inverse Problems, SIAM-AMS Proceedings, 1984, V.14, p.81-90.

46. Newton R.G. A Faddeev-Marchenko method for inverse scattering in three dimensions // Inverse Problems, 1985, V.l, p. 127-132.

47. Newton R.G. Variational principes for inverse scattering // Inverse Problems, 1985, V.l, p.371-380.

48. Cheney M. A rigorous derivation of the "miracle" identity of three-dimensional inverse scattering // J. Math. Phys., 1984, V.25, № 10, p.2988-2990.

49. Rose J.H., Cheney M., DeFacio B. The connection between time- and frequency-domain three-dimensional inverse scattering methods //J. Math. Phys., 1984, V.25, №10, p.2995-3000.

50. Rose J.H., Cheney M., DeFacio B. Three-dimensional inverse scattering: plasma and variable velocity wave equations // J. Math. Phys., 1985, V.26, № 11, p.2803-2813.

51. Rose J.H., Cheney M., DeFacio B. Determination of the wave field from scattering data // Phys. Rev. Lett., 1986, V.57, № 7, p.783-786.

52. Cheney M., Rose J.H. Generalization of the Furier transform: implications for inverse scattering theory // Phys. Rev. Lett., 1988, V.60, № 13, p.1221-1224.

53. Cheney M., Beylkin G., Somersalo E., Burridge R. Three-dimensional inverse scattering for the wave equation with variable speed: near-field formulae using point sources // Inverse Problems, 1989, V.5, p. 1-6.

54. Budreck D., Rose J.H. Three-dimensional inverse scattering in anisotropic elastic media // Inverse Problems, 1990, V.6, p.331-348.

55. Новиков Р.Г. Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функц. анализ и его прил., 1986, Т.20, № 3, с.90-91.

56. Новиков Р.Г. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения Avj/ + (v(x) - £m(x))v|/ = 0 // Функц. анализ и его прил., 1988, Т.22, № 4, с.11-22.

57. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния //УМН, 1959, Т. 14, №4(88), с.57-119.

58. Nachman A.I., Ablovitz M.J. A multidimensional inverse-scattering method // Studies in Applied Mathematics, 1984, V.71, p.243-250.

59. Nachman A.I., Ablovitz M.J. Multidimensional inverse-scattering for first-order systems // Studies in Applied Mathematics, 1984, V.71, p.251-262.

60. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. д -уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // Препринт ин-та Физики им. Л.В.Киренского, Красноярск, 1986, № 27М, 35 с.

61. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. Решение многомерной обратной задачи рассеяния па основе обобщенных дисперсионных соотношений // ДАН СССР, 1987, Т.292, № 4, с.814-818.

62. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Сб.: Известия АН СССР, Сер. Математическая, 1951, Т. 15, с.309-360.

63. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Сб.: Труды Моск. матем. общества. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958, Т.7, с.3-62.

64. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984,240 с.

65. Буров B.A., Морозов C.A. Связь между амплитудой и фазой сигнала, рассеянного «точечной» акустической неоднородностью //Акустический журнал, 2001, Т.47, № 6, с.751-756.

66. Руденко О.В., Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л., Хедберг К.М. Нелинейный отклик слоя на импульсное воздействие в задачах диагностики малых неоднородностей // Доклады Российской Академии Наук. 2000. Т. 374. № 2. С. 194-197.

67. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров //М.: Наука, 1970,720 с.

68. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике // М.: изд-во МГУ, 1993, с.351.

69. Линейные уравнения математической физики // Справочная математическая библиотека, под ред. Михлина С.Г., М., 1964, 368 с.

70. Novikov R.G. The inverse scattering problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrodinger operator //Journal of Functional Analysis. 1992. V.103, p.409-463.

71. Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // Physica D. 1981. V.3(l,2), p.420-427.

72. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения // ДАН. 1984, Т.279, с.20-24.

73. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Выделение потенциальных операторов. Вещественная теория // ДАН. 1984, Т.279, с.784-788.

74. Novikov R.G. The д -approach to approximate inverse scattering at fixed energy in three dimensions // International Mathematics Research Papers. 2005, №6, p.287-349.

75. Алексеенко H.B., Буров B.A., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акустич. журн. 2005, Т.51, №4. с.437-446.

76. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи рассеяния по модифицированному алгоритму Новикова // Сборник трудов XIX сессии Российского Акустического Общества. М: ГЕОС, 2007, Т.1, с.211-215.

77. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН. 1961. Т.137. N5. С.1011-1014.

78. Бадалян Н.П. Восстановление граничных рассеивателей алгоритмом Гриневича-Новикова. Дипломная работа // М.: физический ф-т МГУ, 2003.

79. Tolstoy I. Compact sound scatterers with constraints //J.Acoust.Sos.Am. 1983. V.74, №3, p.1068-1070.

80. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения // 2-е изд. переработанное. М.: Гос.издат.физ.-мат.лит., 1962,599с.

81. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния////Акустич. журн. 2003, Т.49, №5. с.590-603.

82. DevaneyA.J. A flittered propagation algorithm for diffraction tomography // Ultrason.Imag., 1982, V4., P.336-350.

83. Devaney A .J. A computer simulation of diffraction tomography // IEEE Trans. Biomed. Eng., 1983 V.BME-30, P.336-350.

84. Kavey M., Soumekh M, Mueller R.K. A comparison of Born and Rytov approximationsthin acoustic tomography // Acoust.Imag., 1992, VI1, Proc. 11 Int. Symp. Monterey, Calif. 4-7 May 1981. New York-London, 1982, P.325-335.

85. Шадан К, Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния // М.:Мир, 1980,408 с.

86. Бакушинский А.Л., Левитан С.Ю Некоторые модели и численные методы нелинейной вычислительной диагностики // Сб.трудов научно-исслед. ин-та Системных Исследований, 1992.

87. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния II. Модифицированный алгоритм Новикова // Акустич. журн. 2007. Т.53. №3.

88. Бадалян Н.П., Буров В.А., Морозов С.А., Румянцева О.Д. Восстановление акустических граничных и точечных рассеивателей алгоритмом Новикова-Гриневича// Акустич. журн. Представлено в редакцию.

89. Кузьмина Ю.В. Обобщение функционального метода решения обратной монохроматической задачи рассеяния на случай многочастотного облучения. Дипломная работа // М.: физический ф-т МГУ, 2005.