Трехмерная акустическая томография при неполных данных тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имен» М.В.ЛОМОНОСОВА

РГБ ОД

ФИЗИЧЕСКИ» ФАКУЛЬТЕТ

2 Я МН

На правах рукописи УДК 53-1.2

КОНЮШКИН Алексеи Леонидович ТРЕХМЕРНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ ПРИ НЕПОЛНЫХ ДАННЫХ

Специальность 01.04.06 - акустика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Буров

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник О.Д. Румянцева

доктор физико-математических наук, профессор В.Е. Кушшын

кандидат физико-математических нау:;, В.Г. Бадалян

Институт проблем управления Российской Академии наук, г. Москва

Защита диссертации состоится /и ( Г '?' — 2000 г.

в/г; час в аудитории ¿Г— / В на заседании Специализированного Совета К 053.05.92 отделения радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, физический факультет МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " /¿'¿¿У,//^

2000 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета К 053.05.92 отделения радиофизики физического факультета МГУ кандидат физико-математических наук

И.В. Лебедева

ВЗЛГ. ^сЗ^ О2*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ Актуальность темы

В современных теоретических и прикладных исследованиях в области акустики одно из ведущих мест занимает проблема решения обратных волновых задач. Она возникает в связи с необходимостью определения внутренней структуры различного рода объектов и представляет собой многогранную задачу как математической, так и экспериментальной физики. Активно исследующиеся в настоящее время проблемы разработки медицинских акустических томографов, служащих задачам ранней диагностики рака и других заболеваний, делают актуальным решение обратных задач излучения, обратных задач рассеяния и граничных обратных задач в самых различных постановках. С физической точки зрения, обратные задачи рассеяния подразумевают восстановление характеристик рассеивателя (чаще всего, это фазовая скорость, плотность, коэффициент поглощения) на основе измерения рассеянного исследуемым . объектом поля в некотором множестве экспериментов. С математической точки зрения, решение таких задач связано с восстановлением некоторых функциональных коэффициентов дифференциального оператора, характеризующего волновой процесс.

Использование ультразвука в области обратных задач предпочтительнее других видов зондирующего излучения благодаря его большой проникающей способности, относительной дешевизне оборудования и пренебрежимо малому вредному побочному воздействию на здоровье. Первые акустические томографы разрабатывались на основе лучевых представлений. В дальнейшем стали использоваться приближения Борна и Рытова. Теоретические представления, лежащие в основе построения этих систем, на сегодняшний день изучены достаточно полно. Однако ограничения, присутствующие в этих приближениях, существенно сужают область применимости таких приближенных теоретических подходов и основанных на них прикладных систем. В связи с этим, дальнейшее развитие теории обратных задач рассеяния и ик практической реализации в конкретных прикладных разработках связано со строгим учетом процессов многократного рассеяния. Тогда задача становится уже не только

некорректной, но и нелинейной относительно неизвестных функций. К настоящему времени наибольшее развитие в акустических приложениях получили итерационные методы решения обратных задач рассеяния. Однако, в последнее время уделяется достаточно большое внимание разработке функциональных подходов, применяемых для решения импульсных или монохроматических обратных задач. Эта работы характеризует высокая математическая строгость и принципиальное использование методов современного функционального анализа и теории функций" комплексных переменных. Тем не менее, до сих пор в них практически не ставился вопрос об устойчивости получаемого решения. Этот вопрос особенно важен из-за некорректности обратных задач, приводящей к заметному влиянию ошибок в данных рассеяния. Поэтому решение нуждается в вычислительной регуляризации, которая, в силу учета процессов многократного рассеяния, становится более сложной, чем это имеет место в линейных обратных задачах.

Актуальной задачей на настоящем этапе является нахождение границ применимости различных схем вычисления, определяемых физическими характеристиками рассеивателя и заданной точностью решения, а также обеспечение устойчивости решения к неизбежным ошибкам измерения. При этом требуют внимания все стороны процесса решения: разработка различных схем съема данных, привлечение необходимого математического аппарата, оценка величин возможных ошибок, оценка практической реализуемости алгоритмов средствами современной вычислительной техники и удобство их сопряжения с техническими возможностями конкретных томографических систем.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании возможности физической реализации рассматриваемых схем решения двумерной и трех мерной обратных задач рассеяния в борновском приближении и в анализе возникающих при этом принципиальных и технических сложностей, а также в рассмотрении возможности повышения разрешающей способности существующих в настоящее время двумерных томографических систем по третьей координате. Основные задачи работы заключались в следующем:

1. Выбор наиболее перспективных для решения прикладных задач алгоритмов восстановления акустических рассеивателей в монохроматическом и импульсном режимах, учитывающих ограничения на объем доступных данных рассеяния, накладываемые спецификой конкретных задач медицинской диагностики.

2. Проведение рассмотрения и сравнительного анализа различных двумерных и трехмерных томографических алгоритмов, с точки зрения возможности повышения их разрешающей способности.

3. Определение возможности применения многочастотных алгоритмов для многокомпонентной характеризации тканей и исследование ограничений на характеристики рассеивателей, а также определение точности этих методов.

4. Проверка полученных теоретических результатов путем восстановления простейших иеоднородностей при помощи компьютерного моделирования и определение степени устойчивости алгоритмов по отношению к ошибкам измерения.

5. Проведение анализа возможных путей дальнейшего развития медицинских томографических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Показано, что при характерном для медицинских томографических систем размещении приемно-излучающих преобразователей во "внешнем" (по отношению к пациенту) полупространстве, восстановление трехмерных распределений ' характеристик слабо поглощающих сред возможно при двухчастотном режиме, а для дополнительного восстановления характеристик поглощения необходима трехчастотная методика, требующая при этом знания частотной зависимости коэффициента поглощения.

- Разработан новый, технически простой путь развития систем двумерной (послойной) акустической томографии путем введения различных схем наклона приемно-излучающих преобразователей относительно ' плоскости томографирования, позволяющий в несколько раз увеличить разрешающую способность в направлении, перпендикулярном основной плоскости томографирования.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

Путем численного моделирования и обработки данных модельного физического эксперимента проведен анализ томографических методов восстановления трехмерного распределения акустических характеристик неоднородных сред (плотности, скорости ультразвука, коэффициента поглощения и характера его частотной зависимости) с учетом ограничений, накладываемых на объем получаемых данных в медицинской акустической диагностике.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на конференции "Acoustical Imaging - 23" (Boston, 1997), VI сессии Российского Акустического Общества (Москва, октябрь, 1997), конференции "Acoustical Imaging - 25" (Bristol, 2000) и семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 4 работах в рецензируемых журналах и сборниках. Список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 112 наименований.. Объем работы: 122 страниц текста и 41 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе обсуждается актуальность темы, приводится краткое содержание диссертации по главам, а также приведен обзор литературы по теме.

Вторая глава посвящена рассмотрению двумерных прямых и обратных модельных задач рассеяния в борновском приближении.

В п.2.1 дается постановка задачи. Исходным для обратной монохроматической задачи рассеяния скалярных волн является уравнение:

V2\}/ + kgVj/ = V(r,0))l|/ (

где к0=ш/со - волновое число зондирующей волны в фоновой непоглощающей однородной среде с плотностью ро, поглощением ао и фазовой скоростью звука Cq. Искомая функция рассеивателя имеет вид:

а в качестве ее оценки выступает функция, являющаяся пространственно-

В п.2.2 приведено решение прямой задачи рассеяния для одноком-понентного рассеивателя, состоящего из "поглотительной" «¿-неоднородности (п.2.2.1) и для сложного составного рассеивателя, состоящего из скоростной с- и "поглотительной" а-неоднородностей (п.2.2.2).

В п.2.3 полученные модельные данные рассеяния используются для решения обратной задачи. Для разных типов рассеивателей (п.2.3.1-2.3.3) проводится оценка устойчивости алгоритма к случайным ошибкам в данных рассеяния. Рассмотренный монохроматический двумерный борновский алгоритм решения обратной задачи рассеяния позволяет, в общем случае, качественно восстановить рассеиватель при относительных ошибках в данных до 3% от максимума амплитуды рассеяния.

Третья глава посвящена анализу преимуществ и недостатков предложенной "полусферической" модели трехмерного акустического томографа применительно к маммографии. В данном случае дляразмещения антенной решетки доступно лишь "внешнее" (по отношению к грудной клетке) полупространство (рис.1). Такое ограничене приводит к тому, что экспериментальные данные рассеяния не могут быть получены в полном объеме, за счет чего аппаратная функция трехмерного томографировакия - т.е. реакция алгоритма восстановления на "точечный" рассеиватель - имеет не только действительную, но может приобрести и нежелательную мнимую составляющую. Это, в свою очередь, осложняет задачу разделения с-, р- и а- компонент восстанавливаемой функции рассеивателя, как ее действительной и мнимой составляющих. В этом случае для уменьшения влияния недостающих данных рассеяния на качество восстановления упомянутых диагностических характеристик приходится использовать различия в характере частотной зависимости рассеивающей

профильтрованной версией исходной характеристики

способности каждой из трех компонент. Предлагаемая методика может лежать в основе итерационного решения обратной задачи со скорректированным1 по результатам предшествующих итераций значеннем внутреннего поля.

к г п./и. элементы

—1

8

Ф»9 ^/

X \

Рис.1. Трехмерная томографическая схема съема данных, моделируемая в компьютерном эксперименте.

В п.3.1 строятся аппаратные функции томографа, учитывающие неполноту данных рассеяния. Выясняется структура - аппаратных функций. При расчёте аппаратной функции используется соотношение, позволяющее получить

оценку ^(г,©) слабого трёхмерного рассеивателя у(г,со) в монохроматическом режиме:

1 3 2ч ял

у(г,со)=-р- |а<р Л<ШВ' г(к,]) Б!П6 8Ш0'х

» о О 0 0

х^-Бтб'зтбсо^ф-ф^-созЭ'созЭ ехр[1к0[х(5т9'со5ф'-

-5т9созф) + у(8т0'5тф'-8т0зтф)+7(соБб'-соз9)]]; г = {х,у,7.} ,

где к={ко, ф, 0} и 1={ко, <[>', 0'} - векторы излучаемой и принимаемой волн

соответственно.

В п.З Л. 1-3.11 анализируются аппаратные функции различных схем расположения приемно-излучающих элементов. Рассматриваются следующие две наиболее перспективные схемы:

1. Облучение рассеивателя происходит только в горизонтальном направлении: Ф=[0, 2я], 0=7т/2; приемники размещены в части "верхнего" полупространства: фЧО.агО.Э'е[ti/4, Tt/2]).

2. Полярные углы волновых векторов падающей и рассеянной волн лежат в областях В е [л/2, Зя/4] и 8' е [it/4, тс/2] соответственно, а ср,<р;=[0, 2я].

Следует отметить, что относительная надежность восстановления крупномасштабных (низкочастотных) пространственных структур уступает надежности восстановления мелкоразмерных (высокочастотных).

В п.3.2 отмечается, что на практике часто бывает более удобно зондировать рассеиватель короткими импульсами, чем последовательностью плоских монохроматических волн. При импульсном режиме технически проще исключить отражения от элементов антенной решетки, находящихся вне исследуемого объема, используя чисто временное стробирование принятых сигналов. Проведено рассмотрение возможности раздельного восстановления трех основных медицинских томографических характеристик ткани (фазовой скорости, плотности и коэффициента поглощения) при использовании многочастотного или импульсного режима зондирования. Функции gc, gp, ga соответствуют физическим характеристикам среды:

gt(r) = (l - с] / Сг(г)); gp( г) = c^vyw(r) ;ga(r) = -2P(r) cj/c(r).

При этом для трех различных частот получена система из 6 уравнений, в результате решения которой могут быть однозначно восстановлены все 3 основные характеристики ткани. Также показано, что система имеет приемлемую для практических целей устойчивость.

В п.3.3. на примере первой схемы проводится численное моделирование алгоритма разделения рассеивающих компонент плотности, скорости и коэффициента поглощения в трехчастотном режиме. Анализируются трудности, возникающие в процессе практической реализации данного алгоритма для восстановления трехмерных неоднородностей различного типа. Модельные данные рассеяния формируются для частот 400 кГц, 600 кГц, 800 кГц.

В п.3.3.1 модецируется восстановление неоднородностей, точечных по всем трем координатам (х,у,г). Безразмерным функциям g /со^, и

(©2 - средняя из трех частот) сопоставляются пробные функции, характеризующие неоднородности скорости, плотности и поглощения. Надо отметить, что представление рассеивателя в виде 8-образных пробных неоднородностей является идеализацией, далекой от физической реальности, и необходимо лишь для изучения свойств и взаимосоотношений между аппаратными функциями алгоритма восстановления реальных физических объектов. Процесс разделения с-, р-, а - составляющих в данном случае сводится к раздельному формированию оцен& действительных частей К-е^, И-е^, Ке§5 соответствующих эталонных аппаратных функций.

В п.3.3.2 моделируется восстановление неоднородностей, точечных в плоскости (х, у) и протяженных по оси Ог. Такая модель рассматривается с целью исследования качества восстановления структуры протяженных рассеивающих компонент в г-направдении при исключении влияния структуры рассеивателя в плоскости (х,у). Компоненты разделяются при восстановлении с хорошей точностью. Ширина функций в г-направлении после реконструкции увеличивается по сравнению с их исходной шириной на величину, сравнимую с шириной аппаратной функции: на рис.2(а, б, в) г-структура исходных моделируемых функций Дс8(г), а6(г), Р8(г) изображена с амплитудой, полученной после реконструкции. Нестандартная размерность этих функций связана с "точечным" характером неоднородностей в плоскости (х,у). При проверке устойчивости решения к относительным случайным ошибкам в данных рассеяния выяснилось, что даже при 50% ошибках возможно адекватное разделение всех трех компонент. Допустимость столь большой погрешности в данных объясняется "точечным" характером рассеивателя в плоскости (х,у) и не распространяется на случай произвольного трехмерного рассеивателя, имеющего по всем трем координатам размеры, превосходящие или сравнимые с длиной волны.

2е»4 . , , . 1.6ем ч , !

■ Лс5, (сек м) I а8, Неп/м

Рис.2а Рис.26

Рис.2. Восстановленные "скоростная" (а), "поглотительная" (б) и "тотностная" - на средней частоте со; - компоненты рассеиватепя, "точечного " в плоскости (х,у) и гауссовского типа вдоль оси 0-_, без ошибок в данных рассеяния {толстая пиния} и при случайной относительной ошибке 5-50% {тонкая пиния}. Пунктиром изображены моделируемые неоднородности с пиковым значением, совпадающим с максимальным значением их оценки, восстановленной без ошибок в данных.

В п.3.3.3 моделируется восстановление трехмерных протяженных неоднородпостей гауссовской формы. Для обеспечения хорошей точности восстановления и разделения рассеивающих компонент необходимо выполнить коррекцию пространственных спектров. С целью сокращения времени счета при

восстановлении была использована упрощенная коррекция, что несколько исказило результаты восстановления. Тем не менее, уровень максимально допустимых случайных ошибок в данных для рассматриваемой модели рассеивателя составляет около 3%, что достижимо в условиях реального эксперимента.

В п.3.3.4 рассматривается выделение собственно значений плотности рассеивателя р(г) из "плотностной" характеристики рассеивателя, которая восстанавливается в виде функции.

Проведенные оценки показали, что в реальных томографических измерениях вклад в данные рассеяния за счет неоднородностей плотности сопоставим с различимыми при томографическом восстановлении вкладами от неоднородностей скорости и поглощения, если относительный контраст плотности Др«10"2 достигается на расстояниях порядка одного миллиметра. Такая ситуация развития патологических изменений тканей вполне возможна. Поэтому эффективная медицинская диагностика на основе томографических оценок требует, в общем случае, чтобы восстановление объекта проводилось с учетом возможных неоднородностей не только по скорости и поглощению, но и по плотности.

В п.3.3.5 отдельно анализируется влияние неточного знания степени частотной зависимости в коэффициенте поглощения на точность разделения рассеивающих компонент неоднородности. Ранее везде в работе предполагалось, что вид частотной зависимости коэффициента поглощения известен априори и подчиняется, для определенности, квадратичному закону. На практике же частотная зависимость различается не только для биотканей различных органов, но даже для различных типов биоткани одного и того же органа, а также для одинаковых участков органа у разных пациентов. В связи с этим, полученные ранее соотношения для оценок с-, р~, а-компонент обобщаются на случай

произвольного показателя степени V в частотной зависимости коэффициента поглощения. При этом устойчивость системы к случайным ошибкам в данных

(

\

остается той же, что и в случае квадратичного закона для а^). Особо отмечается случай, когда коэффициент поглощения зависит от частоты линейно, т.е. Такая ситуация возможна для некоторых биологических тканей, например, печени. В этом случае результаты разделения не зависят от предполагаемого при восстановлении значения степени vo: р-компонента воспроизводится без искажений, оценка с-компоненты подвержена влиянию а-компоненты, а сама а-компонента не восстанавливается вовсе. Поэтому при линейной частотной зависимости коэффициента поглощения применение трехчастотной схемы разделения становится неэффективным. Возможности частотного разделения исчерпываются уже при двухчастотномрежиме зондирования.

В п.З.З.б производится оценка погрешностей разделения с-, р-, а- компонент при отклонении истинной частотной зависимости от предполагаемой. Для этого устанавливается связь между оценками, получаемыми в предположении степени VI} вместо истинной степени vtи истинными оценками.

Рис.3. Весовые множители при погрешностях, вносимых в оценки с-(а), р-(б) компонент при отклонении истинной степени и частотной зависимости коэффициента поглощения от степени у0, предполагаемой при разделении этих компонент: уа=].25(тонкая линия), у0=1.5 (толстая линия), .75(пунктирная линия).

Найдены весовые коэффициенты ^сра(у>уо)> являющиеся мерой относительной погрешности восстановления соответствующих рассеивающих компонент. Они равны нулю при ^^уо и принимают независящие от у0 значения при Зависимость этих коэффициентов от истинного показателя v,

меняющегося в интервале уе[1;2], приведена на рис.3(а,б) для фиксированных значений Уо=1.25;1.5; 1.75; значения частот, на которых моделируются данные рассеяния, для определенности полагались, как и ранее, 400, 600 и 800 кГц. Зависимость близка к линейной для и и к квадратичной

для Кр (v, у0 ), причем справедливо приблизительное соотношение

Сравнение абсолютных значений коэффициентов говорит о значительно меньшей относительной погрешности в оценке р-компоненты, чем в с- и а-

компонентах: при V:/ у0 значение |Кр|более, чем на порядок меньше значений

К1иК1-

Рис.4а Рис.46

Рис.4. Показатель степени при частотной зависимости коэффициента поглощения в г-сечении. Восстановление итерационным методом из схемы для с-компоненты (а) и для а-компоненгпы (б): без шумов (толстая пинт); шум 3% в данных рассеяния (тонкая линия). Истинное значение у=1. 75.

В п.3,4 исследуется возможность выделения истинных оценок скорости и коэффициента поглощения и одновременного определения неизвестной частотной зависимости. Разработан оригинальный четырехчастотный итерационный алгоритм, позволяющий находить показатель частоты V в каждой фиксированной точке г среды двумя способами: из схемы по скорости и из схемы по поглощению. Результаты численных экспериментов представлены на рис.4(а, б). Итоговое решение практически не зависит от выбираемого в пределах интервала [1.25;2] начального значения м0. Для получения решения требовалось около 7^-10 итераций как для схемы по скорости, так и по поглощению. В случае присутствия шумовых помех погрешность восстановления резко возрастает в области со слабо выраженным поглощением.

В п.3.4.1 рассматривается оптимальный итерационный МНК-метод совместного оценивания истинных оценок скорости, коэффициента поглощения и показателя степени частотной зависимости. Поскольку в соотношениях для с-компоненты и для а-компоненты фигурирует одна и та же степень частотной зависимости v(r), то оптимальным методом ее оценивания является одновременное рассмотрение этих соотношений. Предлагаемый МНК-метод, во-первых, обеспечивает более высокую, по сравнению с другими методами, помехоустойчивость решения. Во-вторых, он позволяет определить у(г) во всех точках г, в которых происходит поглощение, и тем самым обеспечивает отсутствие "мертвой зоны" у алгоритмической схемы.

Четвертая глава посвящена рассмотрению возможности простого усовершенствования существующей модели двумерного акустического томографа и повышения его разрешающей способности по третьей координате за счет наклонов на малые углы в радиальном направлении прмемно-излучающих элементов. Доступный наклон излучающих и приемных апертур ориентирован преимущественно во "внутреннее" полупространство и не может быть очень большим. В противном случае в озвучиваемой ткани не удается создать зону, занимающую все сечение (слой) исследуемого объема и лежащую в области чувствительности всех приемио-нзлучающих элементов.

В л.4.1 рассматривается исходная модель двумерного томографа.

В п.4.1.1 описана двумерная кольцевая схема томографирования с 26 неравномерно расположенными гидрофонами. Актуальной является общая

компоновка разреженной решетки, обеспечивающей не полное, но достаточное количество данных для восстановления подробной картины объемного распределения акустических параметров в исследуемом объеме. При этом группы приемных и излучающих элементов могут быть раздельными, а в процессе съема данных допускается перемещение (вращение) всей антенны. При совершении полного обо|эота вохруг своей оси такая схема эквивалентна кольцу диаметром 27 см с 256 равномерно расположенными на нем гидрофонами. Каждый из 256 гидрофонов по очереди является излучателем, а остальные в этот момент - приемниками.

В п.4,1.2 излагается двухшаговый алгоритм восстановления картины распределения рассеивающих неоднородностей, используемый в исходной модели томографа для повышения его разрешающей способности. На первом шаге производится реконструкция распределения по объекту крупномасштабных неоднородностей - областей со значительными отклонениями по скорости звука или амплитудному коэффициенту поглощения от средних значений, предварительно зарегистрированных в фоновой среде без объекта. На втором шаге реконструируется "тонкая структура" рассеивающего объекта на фоне крупномасштабного распределения. Поскольку фон уже известен из первого шага, то для восстановления мелкомасштабных деталей рассеивателя (тонкой структуры) достаточно использовать приближение Борна. Ожидаемая разрешающая способность в горизонтальной плоскости томографирования, достигаемая на этом этапе - не хуже 0.5 мм.

Рис.5. Радиальные наклоны осей излучающего (Б) и принимающего (К) гидрофонов относительно начала координат.

В п.4.2 для повышения разрешающей способности двумерного томографа в вертикальном направлении предлагается переход к "квазитрехмерной" модели томографа. Для этого ось каждого из 26-ти гидрофонов наклоняется в радиальном (относительно начала координат) направлении (рис.5) на некоторый

угол ССр I -1,26, по'отношению к вертикали. Для расчетов принимается, что с^ >0, если та половина оси гидрофона, которая соответствует координатам 2 > 0, наклонена "внутрь'', т.е. в сторону центра - начала координат О, и а, < 0, если наклонена "вовне", т.е. от центра.

В п.4.2.1 рассматривается сформирование данных рассеяния и синтез изображения. Отличие двумерного алгоритма построения изображения и его квазитрехмерного аналога связано с тем, что за счет наклонов гидрофонов приобретается дополнительная фазовая поправка для сигналов от рассеивателя в зависимости от его вертикальной координаты г.

В п.4.2.2 с целью оценки разрешающей способности томографа в ¿-направлении исследуются аппаратные функции квазитрехмерного алгоритма для различных комбинаций углов наклона гидрофонов. Наклоны осей гидрофонов могут быть выбраны различным образом:

!) присутствуют только односторонние наклоны, когда все углы с^ имеют одинаковый знак (например, на рис.5: ее?; > 0, ак > 0); 2) присутствуют двусторонние наклоны, т.е. знак углов а! различен. При переходе от одного гидрофона к соседнему угол наклона последовательно изменяется па заданный угловой шаг.

В п.4.2.3 рассматриваются схемы с разделенными на две независимые группы приемными и излучающими преобразователями. При этом разделении углы наклона в 1руппе излучателей задаются независимо от углов в группе приемников. В соответствии с описанной схемой промоделированы и проанализированы следующие варианты задания радиальных углов наклона: а) Излучатели не наклонены, приемники имеют двусторонние наклоны. Достоинства схемы - практически действительная аппаратная функция и общность прожекторной зоны всех излучателей. Недостаток - невозможность, в ряде случаев, использовать на практике двусторонние наклоны приемников.

б) Излучатели не наклонены, приемники наклонены "внутрь".

Достоинства схемы - отсутствие проблемы перекрытия прожекторных зон и возможность обеспечить нужную высокую разрешающую способность в вертикальном направлении, поскольку углы внутренних наклонов могут быть большими. Недостаток - комплексность аппаратной функции, что, в случае необходимости раздельного воспроизведения картин различных рассеивающих компонент, требует привлечения дополнительных методов обработки экспериментальных данных на различных частотах.

в) Излучатели наклонены на одинаковый средний угол "вовне", приемники наклонены "внутрь". Данная схема имеет практически действительную аппаратную функцию. Ее преимущество над всеми рассмотренными выше схемами заключается в возможности обеспечить принадлежность прожекторных зон всех излучателей к прожекторным зонам всех приемников, т.е. возможность принять рассеянный сигнал от всей толщины озвучиваемого слоя. Это достигается за счет ориентации наклонов приемников только "внутрь", что всегда позволяет увеличить их высоту по сравнению с высотой излучателей. Плата за это - необходимость наклона излучателей, т.е. их прожекторные зоны перестают быть полностью совпадающими. Несмотря на это, высокая разрешающая способность делает данную схему перспективной для реализации.

В п.4.2.4 рассматривается зависимость вида аппаратной функции в г-сечении от положения восстанавливаемой точки в горизонтальной плоскости. На расстояниях Гд < 6 см действительная и мнимая частя аппаратной функции практически не изменяются ни по форме, ни по своим абсолютным значениям. При дальнейшем увеличении (6 см < г0 < 13.5 см) действительная и мнимая части изменяются по форме, но их максимальные абсолютные значения остаются неизменными. Это изменение аппаратной функции нужно принимать во внимание, по крайней мере при изменении го с шагом около 1см. Такие изменения связаны с тем, что по мере удаления восстанавливаемой точки изображения от центра г0 = 0, различия в фазовых набегах рассеянных волн, приходящих от этой точки на различные приемные гидрофоны, становятся все более существенными.

В п.4.3 проводится анализ возможностей создания полностью трехмерных томографических систем с высокой разрешающей способностью на основе

квазитрехмерных томографических схем с учетом ориентации прибора на

раннюю медицинскую диагностику рака и других заболеваний.

В заключении сформулированы основные результаты работы,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Проведен анализ томографических методов восстановления трехмерного распределения акустических характеристик неоднородных сред (плотности, скорости и коэффициента поглощения) с учетом ограничений, накладываемых на доступный объем данных, получаемых в медицинской акустической диагностике.

2. Показано, что при характерном для медицинских систем размещении приемно-нзлучающих преобразователей во "внешнем" (относительно пациента) полупространстве, восстановление трехмерных распределений характеристик слабо поглощающих сред осуществляется при двухчастотном режиме, а дополнительное восстановление характеристик поглощения требует трехчастотной методики в сочетании с априорной информацией о частотной зависимости коэффициента поглощения.

3. Исследовано влияние неточности знания показателя степени в частотной зависимости коэффициента поглощения на точность восстановления основных характеристик рассеивающей ткани. Показано, что при отклонении показателя степени в пределах от 1.25 до 2 точность восстановления остается не хуже 20%. Предложен четырехчастотный итерационный метод полного восстановления характеристик ткани, включая характер частотной зависимости коэффициента поглощения.

4. Предложено и исследовано технически простое развитие систем двумерной (послойной) акустической томографии путем введения различных схем наклона приемно-излучающих преобразователей относительно плоскости томографирования. Показано, что в этом случае удается в несколько (4-6) раз увеличить разрешающую способность в направлении, перпендикулярном основной плоскости томографирования.

5. Исследована помехоустойчивость рассмотренных в пп.1-4 методов и показано, что максимальные относительные ошибки восстановления характеристик сложных картин распределения в рассмотренных системах достигают 20% при стандартном отклонении ошибок измерения 3%. При восстановлении элементарных сосредоточенных неоднородностей и простых сосредоточенных структур помехоустойчивость резко возрастает, вплоть до возможности качественного восстановления при 50% ошибке в данных, т.к. используется высокий коэффициент пространственного накопления, реализуемый алгоритмом восстановления в этом случае.

Основные результаты диссертации представлены в следующих работах:

1. Буров В. А., Конюшкин А. Л., Румянцева О. Д Двумерная и трехмерная акустическая томография при неполных данных// Акуст. журя. 1997. Т.43. N4. С. 1—7.

2. Burov V. A., Konjushkin A. L., Rumiantseva О D. Multi-dimensional acoustical tomography by incomplete data// Acoustical Imaging. 1997. V.23. P.589-594.

3. Конюшкин A.JI. Восстановление распределения фазовой скорости, плотности и коэффициента поглощения в трехмерных акустических томографах по данным рассеяния в полупространстве // VI Сессия Российского Акустического Общества. 1997. С.233-236.

4. Burov V. A., Konjushkin A. L, Rumyantseva О. D. Increasing resolution capability of two-dimensional tomograph over third coordinate. Separating reconstruction of c(r)~, p(r)-, a(r,C£>)-scatterer characteristics // Acoustical Imaging. 2000. V.25. Editors: Wells, Halliwell.

1. Введение.

1.1. Актуальность темы и цели диссертационной работы.

1.2. Современное состояние проблемы.

2. Двумерная прямая и обратная задачи рассеяния томографического типа.

2.1. Линеаризованная обратная задача рассеяния в монохроматическом режиме.

2.2. Решение модельной прямой задачи рассеяния.

2.2.1. Прямая задача рассеяния для неоднородности по коэффициенту поглощения.

2.2.2. Прямая задача рассеяния для комбинированной неоднородности по скорости и коэффициенту поглощения.

2.3. Решение обратной задачи рассеяния на основе модельных данных рассеяния.

2.3.1. Восстановление крупноразмерных модельных рассеивателей и оценка устойчивости схемы по отношению к случайным ошибкам в данных рассеяния.

2.3.2. Восстановление малоразмерных рассеивателей и проверка устойчивости схемы к случайным ошибкам в данных рассеяния.

2.3.3. Восстановление трехкомпонентного модельного рассеивателя по скорости, плотности и коэффициенту поглощения и оценка устойчивости схемы к случайным ошибкам в данных рассеяния.

2.4. Основные результаты главы 2.

3. Восстановление акустических параметров рассеяния в процессе трехмерного акустического томографирования.

3.1. Аппаратные функции восстановления трехмерного борновского рассеивателя при неполных данных.

3.1.1. Размещение излучателей в горизонтальной плоскости, прием рассеянных волн - в верхнем полупространстве.

3.1.2. Размещение приемно-излучающих элементов в верхнем полупространстве.

3.2. Разделение рассеивающих компонент в многочастотном или импульсном режимах.

3.3. Численное моделирование алгоритма разделения рассеивающих компонент в многочастотном режиме.

3.3.1. Аппаратные функции томографического восстановления.

3.3.2. Восстановление неоднородностей, точечных в плоскости (х, у) и протяженных по оси 02.

3.3.3. Трехмерные протяженные неоднородности гауссовской формы.

3.3.4. Выделение "плотностной" компоненты рассеивателя.

3.3.5. Влияние отклонения частотной зависимости коэффициента поглощения от квадратичного закона.

3.3.6. Оценка погрешностей разделения с- р- а- компонент при отклонении истинной частотной зависимости от предполагаемой.

3.4. Выделение истинных оценок скорости и коэффициента поглощения и определение неизвестной частотной зависимости.

3.4.1. Оптимальный итерационный МНК-метод совместного оценивания истинных оценок скорости, коэффициента поглощения и показателя степени частотной зависимости.

3.5. Основные результаты главы 3.

4. Схема трехмерного томографирования с наклонными приемно излучающими элементами.

4.1. Двумерный акустический томограф.

4.1.1. Исходная схема двумерного акустического томографа.

4.1.2. Двухшаговый алгоритм восстановления.

4.2. Повышение разрешающей способности двумерного томографа в вертикальном направлении.

4.2.1. Формирование данных рассеяния и синтез изображения.

4.2.2. Различные схемы наклона приемно-излучающих элементов.

4.2.3. Схемы с разделенными группами приемных и излучающих преобразователей.

4.2.4. Вид аппаратной функции в z-сечении в зависимости от положения в горизонтальной плоскости.

4.3. Возможности создания полностью трехмерных томографов на основе рассмотренных в работе моделей.

4.4. Основные результаты главы 4.

1.1. Актуальность темы и цели диссертационной работы.

В современных теоретических и прикладных исследованиях в области акустики одно из ведущих мест занимает проблема решения обратных волновых задач. Она возникает в связи с необходимостью определения внутренней структуры различного рода объектов и представляет из себя многогранную задачу как математической, так и экспериментальной физики. Активно исследующиеся в настоящее время проблемы разработки медицинских акустических томографов, служащих задачам ранней диагностики рака и других заболеваний, задачи современной дефектоскопии делают актуальным решение обратных задач излучения [ 1 -3], обратных задач рассеяния [4-6] и граничных обратных задач [7-10] в самых различных постановках. С физической точки зрения, обратные задачи рассеяния подразумевают восстановление характеристик рассеивателя (чаще всего, это фазовая скорость, плотность, коэффициент поглощения) на основе измерения рассеянного исследуемым объектом поля в некотором множестве экспериментов. С математической точки зрения, решение таких задач связано с восстановлением некоторых функциональных коэффициентов дифференциального оператора, характеризующего волновой процесс.

Использование ультразвука в области обратных задач предпочтительнее других видов зондирующего излучения благодаря его большой проникающей способности, относительной дешевизне оборудования и достаточно малому побочному вредному воздействию на здоровье.

Первые акустические томографы разрабатывались на основе лучевых представлений. В дальнейшем стали использоваться приближения Борна [3, 11-15, 108-109] и Рытова [15-17]. Теоретические представления, лежащие в основе построения этих систем, на сегодняшний день изучены достаточно полно. Однако ограничения, присутствующие в этих приближениях, существенно сужают область применимости таких приближенных теоретических подходов и основанных на них прикладных систем. В связи с этим, дальнейшее развитие теории обратных задач рассеяния и их практической реализации в конкретных прикладных разработках связано со строгим учетом процессов многократного рассеяния. Тогда задача становится уже как некорректной [18], так и нелинейной относительно неизвестных функций. К настоящему времени наибольшее развитие в акустических приложениях получили итерационные методы решения обратных задач рассеяния [19-23]. Однако, в последнее время уделяется достаточно большое внимание разработке функциональных подходов, применяемых для решения импульсных или монохроматических обратных задач [24-30]. Эти работы характеризует высокая математическая строгость и принципиальное использование методов современного функционального анализа и теории функций комплексных переменных. Тем не менее, до сих пор в них практически не ставился вопрос об устойчивости получаемого решения. Этот вопрос особенно важен из-за некорректности обратных задач, приводящей к заметному влиянию ошибок в данных рассеяния. Поэтому решение нуждается в вычислительной регуляризации [31,32], которая, в силу учета процессов многократного рассеяния, становится более сложной, чем это имеет место в линейных обратных задачах [31-34]. Практическое применение систем томографического типа сталкивается, как правило, с невозможностью реализации системы, дающей полный объем данных рассеяния. Такие ограничения характерны как для медицинских задач (недоступность всех ракурсов облучения, экранировка легкими и т.д.), так и задач дефектоскопии. Отсутствие полного набора данных дополнительно усложняет задачу восстановления всех характеристик рассеивателя, увеличивая также чувствительность решения к ошибкам.

Таким образом, актуальной задачей на настоящем этапе является нахождение границ применимости различных схем реализации томографической системы, определяемых физическими характеристиками рассеивателя, заданной точностью решения и ограничениями на объем получаемых данных, а также обеспечение устойчивости решения к неизбежным ошибкам измерения. При этом требуют внимания все стороны процесса решения: разработка различных схем съема данных, привлечение необходимого математического аппарата, оценка величин возможных ошибок, оценка практической реализуемости алгоритмов средствами современной вычислительной техники и удобство их сопряжения с техническими возможностями конкретных томографических систем. В связи с этим, цель кандидатской диссертации состоит в исследовании возможности физической реализации рассматриваемых схем решения двумерной и трехмерной обратных задач рассеяния в борновском приближении и в анализе возникающих при этом принципиальных и технических сложностей, а также в рассмотрении возможности повышения разрешающей способности существующих в настоящее время двумерных томографических систем по третьей координате. При этом предложенный круг задач необходимо рассмотреть с учетом ограничений на доступный объем данных рассеяния.

Основные задачи работы заключались в следующем:

1. Сравнительный анализ и выбор наиболее перспективных для решения прикладных задач схем получения данных, а также двумерных и трехмерных алгоритмов восстановления акустических рассеивателей в монохроматическом и импульсном режимах.

2. Определение возможности применения многочастотных алгоритмов для многокомпонентной характеризации тканей и исследование ограничений на характеристики рассеивателей, а также определение точности этих методов.

3. Проверка полученных теоретических результатов путем восстановления характеристик простейших неоднородностей при помощи компьютерного моделирования и определение степени устойчивости алгоритмов по отношению к ошибкам измерения.

4. Проведение анализа возможных путей дальнейшего развития медицинских томографических систем.

Материалы диссертации докладывались на конференции "Acoustical Imaging - 23" (Boston, 1997), VI сессии Российского Акустического Общества (Москва, октябрь, 1997), конференции "Acoustical Imaging - 25" (Великобритания, г. Бристоль, март 2000), и семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.

Основные результаты диссертации изложены в работах [97, 98, 110,

112].

Диссертация состоит из четырех глав и заключения, в конце диссертации приводится список цитируемой литературы.

В первой - вводной - главе обсуждается актуальность темы диссертационной работы, формулируется общая постановка задачи. Одновременно дана краткая характеристика научных работ, касающихся основных направлений развития медицинской акустической томографии.

Вторая глава диссертации посвящена решению двумерных прямых и обратных модельных задач рассеяния в борновском приближении (п.2.1). Приведено решение прямой задачи рассеяния для сложного составного рассеивателя, состоящего из скоростной и "поглотительной" неоднород-ностей (с- и ос-компоненты) (п.2.2). Полученные модельные данные рассеяния используются для решения обратной задачи. Проводится оценка устойчивости алгоритма к случайным ошибкам в данных рассеяния (п.2.3). В конце главы приводятся результаты восстановления многокомпонентных рассеивателей.

В третьей главе анализируются преимущества и недостатки предложенной "полусферической" модели трехмерного акустического томографа применительно к маммографии. Вначале строятся аппаратные функции томографа, учитывающие неполноту данных рассеяния, которая возникает из-за специфики постановки задачи (п.3.1). Выясняется структура аппаратных функций. Анализируются характеристики нескольких возможных схем расположения приемно-излучающих элементов и делаются выводы о степени их практической пригодности (п.3.1.1-3.1.2). Затем, на основе наиболее перспективной схемы, проведено рассмотрение возможности раздельного восстановления трех основных медицинских томографических характеристик ткани (фазовой скорости, плотности и коэффициента поглощения) при использовании многочастотного или импульсного режима зондирования (п.3.2). Проводится численное моделирование алгоритма разделения рассеивающих компонент в многочастотном режиме. Анализируются трудности, возникающие в процессе практической реализации данного алгоритма для восстановления трехмерных неоднородностей различного типа. Результаты компьютерного моделирования представлены графиками (п.3.3). Рассматривается влияние ошибок в данных рассеяния на точность восстановления. Отдельно анализируется влияние неточного знания степенного показателя частотной зависимости коэффициента поглощения на точность разделения рассеивающих компонент и предлагаются методы, позволяющие уменьшить возникающие из-за этого ошибки (п.3.3.5).

В четвертой главе рассматриваются возможности простого усовершенствования существующей модели двумерного акустического томографа и повышения его разрешающей способности по третьей координате за счет наклонов на малые углы в радиальном направлении приемно-излуча-ющих элементов. Вначале рассматривается исходная модель двумерного томографа и используемый в ней двухшаговый алгоритм восстановления неоднородности (п.4.1). Затем осуществляется переход к рассмотрению квазитрехмерной модели томографа, и анализируются различные варианты наклонов приемных и излучающих элементов. На основании результатов компьютерного моделирования выявляются наиболее перспективные для тех или иных целей томографические схемы (п.4.2). В заключение проводится анализ возможностей создания полностью трехмерных томографических систем с высокой разрешающей способностью на основе квазитрехмерных томографических схем с учетом ориентации прибора на раннюю медицинскую диагностику рака и других заболеваний (п.4.3).

5.1. Основные результаты и выводы.

1. Проведен анализ томографических методов восстановления трехмерного распределения акустических характеристик неоднородных сред (плотности, скорости и коэффициента поглощения) с учетом ограничений, накладываемых на объем получаемых данных в медицинской акустической диагностике.

2. Показано, что при характерном для медицинских систем размещении приемно-излучающих преобразователей во внешнем (относительно пациента) полупространстве, восстановление трехмерных распределений характеристик слабо поглощающих сред осуществляется при двухчастотном режиме, а восстановление характеристик поглощения требует трехчастотной методики в сочетании с априорной информацией о частотной зависимости коэффициента поглощения.

3. Исследовано влияние неточности знания частотной зависимости коэффициента поглощения на точность восстановления основных характеристик рассеивающей ткани. Показано, что при отклонении показателя степени в пределах от 1.25 до 2 точность восстановления остается не хуже 20%.

4. Предложено и исследовано технически простое развитие систем двумерной (слоевой) акустической томографии путем введения различных схем наклона приемно-излучающих преобразователей относительно плоскости томографирования. Показано, что в этом случае удается в несколько (4-6) раз увеличить разрешающую

174 способность в направлении, перпендикулярном основной плоскости томографирования. 5. Исследована помехоустойчивость рассмотренных в пп.1-4 методов и показано, что максимальные относительные ошибки восстановления характеристик сложных картин распределения в рассмотренных системах достигают 20% при стандартном отклонении ошибок измерения 3%. При восстановлении элементарных сосредоточенных неоднородностей и простых сосредоточенных структур помехоустойчивость резко возрастает, вплоть до возможности качественного восстановления при 50% ошибке в данных, т.к. используется высокий коэффициент пространственного накопления, реализуемый алгоритмом восстановления в этом случае.

Я от всей души благодарю моего научного руководителя -Валентина Андреевича Бурова, - под неутомимым и чутким руководством которого увидела свет настоящая работа. Особо хочу поблагодарить Ольгу Дмитриевну Румянцеву, которая оказала мне неоценимую практическую помощь в проведении научных изысканий и оформлении работы. Также хочу поблагодарить всю научную группу, которая активно помогала мне в проведении научных исследований.

5. Заключение.

1. R. P. Porter, A. J. Devaney Holography and the inverse source problem // J. Opt. Sos. Am., 1982, V.72, №3, p.327-330.

2. R. P. Porter, A. J. Devaney Generalization holography and computational solutions to inverse source problem // J. Opt. Sos. Am., 1982, V.72, №12, P.1707-1713.

3. A. J. Devaney Inverse source and scattering problems in ultrasonics // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics, 1983, V.SU-30, №6, P.355-364.

4. В. А. Буров, А. А. Горюнов, А. В. Сасковец, Т. А. Тихонова Обратные задачи рассеяния в акустике // Акустич. Журн., 1986, Т.32, Вып.4, С.433-449.

5. А. А. Горюнов, А. В. Сасковец Обратные задачи рассеяния в акустике // М.: Изд-во МГУ, 1989, С.152.

6. S. A. Johnson, Г, Stenger, С. Wilcox, J. Ball, М. Berggren Wave equation and inverse solution for soft tissue // Acoust. Imaging, 1982, V.l 1, P.409-423.7. 77. M. Jleeuc Обратная задача дифракции // Зарубежная электроника, 1970, №2, С. 100-112.

7. N. N. Bojarsky A survey of the physical optics inverse scattering identity // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1982, V.AP-30, №5, P.980-989.

8. V. G. Kogan, E. F. Lopes On Born approximation for weak uniform scatterers // Inverse Problems, 1985, V.l, P.331-338.

9. R. E. Kliman, R. Kress On the condition number of integral equations in acoustics using modified fundamental solutions // IMA J. Appl. Math., 1983, V.31, P.79-90.

10. A. J. Devaney A filtered propagation algorithm for diffraction tomography // Ultrason. Imag., 1982, V.BME-30, P.337-386.

11. A. J. Devaney A computer simulation of diffraction tomography // IEEE Transactions Biomed. Eng., 1983, V.BME-30, P.337-386.

12. A. J. Devaney Variable density acoustic tomography // J. Acoust. Sos. Am., 1985, V.78, №1, P.120-130.

13. R. G. Key, A. B. Weglein Generalized linear inversion and the first Born theory for acoustic media // J. Math. Phys., 1983, V.24, №6, P. 1444-1449.

14. M. Kaveh, M. Soumekh, R. К Mueller A comparison of Born and Rytov approximation in acoustic tomography // Acoust. Imag., 1982, V.l 1, P.325-335.

15. M. Kaveh, M. Soumekh, R. K. Mueller Further results on diffraction tomography using Rytov's approximations // Acoust. Imag., 1982, V.l2, P.273-280.

16. M. Kaveh, М. Soumekh, R. К. Mueller Algorithm and experimental results in acoustic tomography using Rytov's approximations // ICASSP 83 Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Speech and Signal Process., Boston, 1983, V.l, P.135-138.

17. Я DeFacio Rigorous results on inverse source and inverse scattering theory // Defense Adv. Res. Proj. Agency Symp. Boulder, Colo, 1982, V.l, P.219-225.

18. R. Jost, W. Kohn Construction of a potential from a phase shift // Physical Review, 1952, V.87, №6, P.219- 225.

19. R. T. Prosser Formal solutions of inverse scattering problems // J. Math. Phys, 1969, V.10, №10, P.1819-1822.21.7?. T. Prosser Formal solutions of inverse scattering problems II // J. Math. Phys., 1976, V.l7, №10, P.1775-1779.

20. R. T. Prosser Formal solutions of inverse scattering problems III // J. Math. Phys., 1980, V.21, '№11, P.2648-2653.

21. Lu Zhen-Qiu JKM perturbation theory, relaxation perturbation theory, and their applications to inverse scattering: theory and reconstruction algorithms // IEEE Transactions Ultrason., Ferroelect. and Freq. Contr., 1987, V.UFFC-33, №6, P.722-730.

22. П. Г. Гриневич, P. Г. Новиков Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера // Функц. анализ и его прил., 1985, Т. 19, Вып.4, С.32-42.

23. П. Г. Гриневич, Р. Г. Новиков Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Римана // ДАН СССР, 1986, Т.286, Вып.1, С. 19-22.

24. П. Г. Гриневич, С. В. Манаков Обратная задача рассеяния для двумерного оператора Шредингера, 3-метод и нелинейные уравнения // Функц. анализ и его прил., 1986, Т.20, Вып.2, С. 14-24.

25. Р. Г. Новиков Построение двумерного с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии // Теор. и мат. Физика, 1986, Т.66, Вып.2, С.234-240.

26. Р. Г. Новиков Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функц. анализ и его прил., 1986, Т.20, Вып.З, С.90-91.

27. Р. Г. Новиков Обратная задача рассеяния для двумерного уравнения Шредингера при фиксированной энергии и нелинейные уравнения // Дисс. .канд. физ.-мат. наук, М.: МГУ, 1989, С.87.

28. Р. Г. Новиков Многомерная обратная спектральная задача для уравнения А\\> + (v(x) - Eu(x))\4; = 0 // Функц. анализ и его прил., 1988, Т.22, Вып.4, С. 11-22.

29. А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация // М.: Наука, 1983, С.200.

30. В. П. Танана Методы решения операторных уравнений // М.: Наука, 1981, С.156.

31. В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана Теория линейных некорректных задач и ее приложения // М.: Наука, 1978, С.206.

32. А. Н. Федотов Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных // Новосибирск: Наука, 1982, С. 190.

33. P. J. Martin, М. P. Andre, R. A. Spivey, D. A. Palmer, G. Otto Sonic computed tomography for breast imaging // Breast Ultrasound Update. 1994. P.348-352.

34. M. P. Andre, P. J. Martin, G. P. Otto, L. K. Olson, Т. K. Barren, B. A. Spivey A new consideration of diffraction computed tomography for breast imaging: Studies in phantoms and patients // Acoust. Imaging, 1994, V.21, P.379-390.

35. M. P. Andre, H. S. Janee, G. P. Otto, P. J. Martin Reduction of phase aberration in a diffraction tomography system for breast imaging // Acoust. Imaging, 1996, V.22, P.151-157.

36. B. Barraclough, J. Jellins Breast ultrasound, the Australian perspective // Ultrasonic Examination of the Breast, Wiley, Chichester, 1983.

37. D. Kopans, J. Meyer, K. Lindfors Whole breast US imaging: Four-year follow-up//Radiology, 1985, V. 157, P.505-507.

38. S. Hilton, G. Leopold, L. Olson, S. Wilson Real-time breast sonography: Application in 300 consecutive patients // AJR, 1986, V.147, P.479-486.

39. E. Sickles, R. Filly, P. Callen Breast cancer detection with sonography and mammography // AJR, 1983, V.140, P.843-845.

40. H. Collette, N. Day, J. Rombach Evaluation of screening for breast cancer in a nonrandom study (the DOM project) by means of a case-control study // Lancet, 1083, V.l, P.1224-1226.

41. S. A. Feig The role of ultrasound in a breast imaging center // Semin. US. CT MR, 1989, V.10, P.90-105.

42. V. P. Jackson. The role of ultrasound in breast imaging // Radiology, 1990, V.177, P.305-311. '

43. J. C. Van Oord, A. M. Van der Vliet, C. J. P. Thyn, B. Mak, G. J. Hoogeboom The value of ultrasound mammography in palpable breast masses // Fortschr. Roentgenstr., 1991, V.l55, P.63-66.

44. P. B. Gordon, S. L. Goldenberg Malignant breast masses detected only by ultrasound // American College of Radiology 26th National Conference on Breast Cancer, Palm Desert. CA., 1994, P.57.

45. J. Meyer, M. Sonnenfeldt, R. Greenes Preoperative localization of clinically occult breast lesions: Experience at a referral hospital // Radiology, V.l69, P.627-628.

46. A. T. Stavros, S. H. Parker, M. A. Dennis, K. K. Johnson, D. I. Thickman, S. F. Smazal US of 'probably malignant' and 'atypical' solid breast nodules // Radiology, 1993, V.189, P.179.

47. G. McDaniel Ultrasonic attenuation measurements on excised breast carcinoma at frequencies from 6 to 10 MHz // Ultrasonic Symp. Proc., IEEE. 77CH1264-1SU, P.234-236.

48. S. Goss, R. Johnston, F. Dunn Compilation of empirical ultrasonic properties of mammalian tissue: I // J. Acoust. Soc. Am., 1978, V.64, P.423-457.

49. J. Bamber, C. Hill Ultrasonic attenuation and propagation speed in mammalian tissues as a function of temperature // Ultrasound Mod. Biol., 1979, V.5, P.149-157.

50. J. Bamber Ultrasound propagation properties of the breast // Ultrasonic Examination of the Breast. Wiley, Chichester, 1983.

51. L. Landini, R. Sarnelli, F. Squantini Frequency-dependent attenuation in breast tissue characterization // Ultrasound Med. Biol., 1985, V.l 1, P.599-603.

52. T. Koybashi Correlation of ultrasonic attenuation with connective tissue content in breast cancers // Ultrasonic Tissue Characterization II., Washington, DC: US Government Printing Office, NBS Special Publication, 1979, V.525, P.93-99.

53. K. J. Parker, S. R. Huang, R. A. Musulin, R. M. Lemer Tissue response to mechanical vibrations for sonoelastic imaging // Ultrasound Med. Biol., 1990, V.16, P.241-246.

54. J. Ophir, I. Cespedes, H. Ponnekanti, Y. Yazadi, X. Li Elastography: A method for imaging the elasticity in biological tissues // Ultrason. Imaging, 1991, V.13, P.lll-134.

55. J. F. Greenleaf, S. A. Johnson, W. F. Samayoa, F. A. Duck Algebraic reconstruction of spatial distributions of acoustic velocities in tissue from their time-of-flight profiles // Acoustic Holography Plenum, New York, 1975, P.123-129.

56. G. H. Glover, J. C. Sharp Reconstruction of ultrasound propagation speed distributions in soft tissue: Time-of-flight tomography // IEEE. Trans. Sonics Ultrason., 1977, SLJ-24, 229-234.

57. P. L. Carson, T. V. Oughton, W. R. Hendee, A. S. Ahuja Imaging soft tissue through bone with ultrasound transmission tomography by reconstruction // Med. Phys.,1977, V.4, P.302-309.

58. M. Clement, P. Alais, J. C. Roucayrol, J. Pen-in Computerized ultrasonic tomography by electronic scanning and steering of a ring array // Acoust. Imaging, 1980, V.10, P.243-254.

59. M Kaveh, R. K. Mueller, R. Rylander, T. R. Coulter, M. Soumekh Experimental results in ultrasonic diffraction tomography // Acoust. Imaging, 1980, V.9, P.433-450.

60. M. Kay eh, M. Soumekh, J. F. Greenleaf Signal processing for diffraction tomography // IEEE Tran. Sonics Ultrason., 1982, SLJ-31, P.230-239.

61. T. L. Chenevert, D. I. Bylski, P. L. Carson, C. R. Meyer, P. H. Bland, D. D. Adier, R. M. Schmitt Ultrasonic computed tomography of the breast // Radiology, 1984, V. 152, P. 152-159.

62. J. K. Hu. D.A. Hutchins, J. Ungar, Q. L. Zhang, D. K. Mak Noncontact ultrasonic reflection tomography // Muter. Eval., 1989, V.47, P.736-740.

63. J. Ylitalo, J. Koivukangas, J. Oksman Ultrasonic reflection mode computed tomography through skullbone // IEEE Trans. Biomed. Eng., 1990, V.37, P.1059-1066.

64. A. H. Andersen A ray tracing approach to restoration and resolution enhancement in experimental ultrasound tomography // Ultrason. Imaging, 1990, V.12, P.268-291.

65. J. R. Jago, T. A. Whittingham Experimental studies in transmission ultrasound computed tomography // Phys. Med. Biol., 1991, V.26, P. 1515-1527.

66. N. Sponheim, I. Johansen Experimental results in ultrasonic tomography using a filtered backpropagation algorithm // Ultrason. Imaging, 1991, V.13, P.560-570.

67. N. Sponheim, L. J. Gelius, 1. Johansen, J. J. Stamnes Quantitative results in ultrasonic tomography of large objects using line sources and curved detector arrays // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Control, 1991, V.38, P.370-379.

68. D. P. Jansen, D. A. Hutchins, R. P. Young Ultrasonic tomography using scanned contact transducers // J. Acoust. Soc. Am., 1993, V.93, P.3242-3249.

69. K. T. Ladas A. J. Devancy Application of an ART algorithm in an experimental study of ultrasonic diffraction tomography // Ultrason. Imaging, 1993, V.15,P.48-58.

70. A. Yamada, K. Kurahashi Experimental image quality estimation of ultrasonic diffraction tomography // Jpn. J. Appl. Phys., 1993, V.32, P.2507-2509.

71. P. L. Carson, C. R. Meyer, A. L. Scherzinger, T. V. Oughton Breast imaging in coronal planes with simultaneous pulse-echo and transmission ultrasound // Science, 1981, V.214, P.l 141-1143.

72. D. Hitler, H. Ermert Ultrasound computerized tomography using transmission and reflection mode: Application to medical diagnosis // Acoust. Imaging, 1982, V.12, P.553-564.

73. G. Wade, S. Elliot, I. Khogeer Acoustic echo computer tomography // Acoust. Imaging, 1978, V.8, P.565-576.

74. P. L. Carson, A. L. Scherzinger, P. H. В land Ultrasonic computed tomography instrumentation and human studies // Ultrasonic Examination of the Breast, Wiley. Chichester, 1983.

75. R. Mueller, M. Kaveh, G. Wade Reconstructive tomography and applications to ultrasonics // Proc. IEEE.,1979, .V.67, P.567-586.

76. M. Kaveh, M. Soumekh, R. Mueller A comparison of Bom and Rytov approximations in acoustic tomography // Acoust. Imaging , 1981, V.l 1, P.325-335.

77. J. Greenleaf, J. Grisvold, R. Bahn A clinical prototype ultrasonic transmission tomographic scanner // Acoust. Imaging, 1982, V.12, P.579-587.

78. A. Devaney Inversion formula for inverse scattering within the Born approximation // Opi. Lett., 1982, V.7, P. 111-112.

79. A. Devaney Inverse scattering theory within the Rytov approximation // Opt. Lett., 1981, V.6,P.374-376.

80. J S. A. Johnson, M. L. Tracy Inverse scattering solutions by a sine basis, multiple source, moment method part I: Theory // Ultrason. Imaging, 1983, V.5, P.361-375.

81. S. Johnson. F. Stenger, C. Wilcox Wave equations and inverse scattering solutions for soft tissue // Acoustical Imaging, 1981, V.ll, P.356-367.

82. W. C. Chew, Y. M. Wang A fast algorithm for solution of a scattering problem using a recursive aggregate t matrix method // Micro. Opt. Technol. Lett., 1990, V.3,P.164-169.

83. E. Wolf Three-dimensional structure determination of semi-transparent objects from holographic data//Opt. Comm., 1969, V.l, P. 153-156.

84. M P. André, M. Z. Ysrael, L. K. Olson, U.S. Janie Three-dimensional breast ultrasound: Holographic display of ultrasound CT // Radiology, 1995, V.l97, P.443.

85. E. И. Обозненко, В. Генис Акустическое обнаружение и характеризация патологий в биоорганах на начальной стадии развития.// Акустика на пороге XXI века, М., 1997., С.458-461.

86. T. Hasegava, H. Noda, Y. Hino, A. Annou, M. Kato, N. Inouï Acoustic scattering by a rigid sphere in the field of waves emanating from a circular concave radiator//J. Acoust. Sec. Am. 91, 1992, P.3116-3120.

87. Г. Tomoki, M. Koichi, N. Keinosuke 3-Dimensional Image Reconstruction of Diffraction Tomography from data, collected with Compound Scanned Pair of Transducers//Jpn. .1 Appl. Phys., 1995, V.34, P.2822-2825.

88. Johnson S.A., Zhou Y., Tracy M.K., Berggren M.J., Stenger F. Inverse scattering solutions by a sine basis, multiple source, moment method Part 3: Fast algorithms //Ultrasonic Imaging. 1984. V.6. №.1. P. 103-116.

89. Буров В.А., Румянцева ОД. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов.// Акустический журнал, 1992. Т.38. Вып.З. с.413-420.

90. Beylkin G. The Fundamental Identity for Iterated Spherical Means and the Inversion Formula for Diffraction Tomography and Inverse Scattering // J. Math. Phys. 1983. V.24. №6. P.1399-1400.

91. Буров В.А., Румянцева О.Д. Линеаризованная обратная задача рассеяния в монохроматическом и импульсном режимах.// Акуст. журн. 1994. T.40.N1. с.41-49.

92. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера.// Сб.: Труды ММО, 1958. Т.7. с.3-62.

93. Andre М. P., Janee Н. S., Martin P. J., Otto G. P., Spivey В. A., Palmer D. A. High-Speed Data Acquisition in a Diffraction Tomography System Employing Large-Scale Toroidal Arrays// Intl. J. Imaging System Technol. 1997. V.8. №1. P.137-147.

94. Буров В. А., Конюшкин A. JI., Румянцева О. Д. Двумерная и трехмерная акустическая томография при неполных данных// Акуст. журн. 1997. Т.43. N4. С. 1-7.

95. Burov V. A., Konjushkin A. L., Rumiantseva О. D. Multi-dimensional acoustical tomography by incomplete data// Acoustical Imaging. 1997. V.23. P.589-594.

96. Буров В. А., Румянцева О. Д., Сасковец А. В. Акустическая томография и дефектоскопия как обратные задачи рассеяния// Вестник Моск. Универ. Сер.З, Физика, Астрономия. 1994. Т.35. №6. С.61-71.

97. Devaney A. J., Oristaglio M.L. Inversion Prosedure for Inverse Scattering with the Distorted-Wave Born Approximation // Phys. Rev. Lett. 1983. V.51. №1.P.23 7-240.

98. Буров В.А., Горюнов A.A., Сасковец А.В. Обратные задачи акустического рассеяния на неоднородностях плотности и показателя преломления сред//Препринт № 12/1983. М.: МГУ, 1983. 5с.

99. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов//М.: Мир. 1978. С.848.

100. Devaney A.J. Variable Density Acoustic Tomography // J. Acoust. Soc. Am. V.78. № 1. 1985. P.120-130.

101. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике// М.: МГУ, 1989. с.152.182

102. Липовко П.О. Отражение звука от межтканевых границ// Биофизика. 1988. т.ЗЗ. вып.4. с.686-691.

103. Физические величины // Справочник. М.: Энергоатомиздат. 1991.

104. Goss S.A., Johnson R.L., Dunn F. Comprehensive compilation of empirical ultrasonic properties of mammalian tissues // J. Acoust. Soc. Am. V.64. № 2. 1978. P. 423-457. . '

105. Goss S.A., Johnson R.L., Dunn F. Comprehensive compilation of empirical ultrasonic properties of mammalian tissues. II// J. Acoust. Soc. Am. V.68. № 1. 1980. P. 93-108.

106. Применение ультразвука в медицине. Физические основы. Под ред. К. Хилла. Перевод с англ. под ред. д.т.н. JI.P. Гаврилова и д.ф.м.н. А.П. Сарвазяна // М.: Мир. 1989. 568 с.

107. Конюьикин А.Л. Восстановление распределения фазовой скорости, плотности и коэффициента поглощения в трехмерных акустических томографах по данным рассеяния в полупространстве // VI Сессия Российского Акустического Общества. 1997. С.233-236.

108. Рубашов И. Б., Тимонов А. А., Пестряков А.В. О вычислительной томографии. //Доклады АН СССР.-1981.-Т. 258 , № 4-с.846-850.