Рассеяние звука на малых компактных неоднородностях в морском волноводе: прямая и обратная задачи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Прямая задача межмодового рассеяния на малых компактных неоднородностях в морском звуковом волноводе

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вывод формулы для коэффициентов межмодового взаимодействия

1.3. Разложение функции неоднородности в ряды Фурье и Фурье-Бесселя.

1.4. Случай удаленного источника.

1.5. Формулы для рассеяния на неоднородностях плотности и скорости звука.

Выводы.

Глава 2. Примеры решения прямых задач

2.1. Неоднородности специального вида.

2.2. Случай малой неоднородности.

2.3. Амплитуды рассеяния для эллипсоидальной неоднородности

Выводы.

Оглавление

Глава 3. Обратная задача

3.1. Основы теории некорректных задач.

3.2. Формулировка и решение обратной задачи рассеяния

3.3. Численные примеры.

3.4. Измерения и оценка параметров.

3.4.1. Вычисление коэффициентов межмодового расо п

Г'ОСГТТТТСТ »

3.4.2. Оценка параметров слоистого волновода по акустическим измерениям.

3.4.3. Оценка возмущений плотности р\ и скорости звука Ci по данным акустических измерений

Выводы.

В последнее время продолжается интенсивное развитие методов акустического зондирования, стимулированное задачами освоения Мирового океана. Как известно, звуковые волны способны распространяться в морской воде на значительные расстояния и их свойства, вполне аналогичные свойствам света, позволяют использовать их для задач локации и дистанционного зондирования водных масс и толщи дна океана.

Дальнее распространение звука в океане является также следствием волноводного характера океанской среды, происходящего из стратификации скорости звука и плотности по глубине [7, 8]. Следует отметить, что водный слой вместе с морским дном образует волновод даже при отсутствии звуковых каналов в водном слое, поскольку скорость звука и плотность в дне больше, чем в воде. Такой характер распространения звука в океане с одной стороны обеспечивает возможность решения таких интересных задач, как акустический мониторинг больших акваторий [70], а с другой — требует нового подхода к постановке прямых и обратных задач излучения и распространения звуковых волн, решение которых, как известно, составляет теоретическую часть методов акустического зондирования. В частности, задачи рассеяния формулируются в терминах асимптотически свободных падающего и рассеянного полей [40, 38], то есть полей, асимптотики которых суть поля, распространяющиеся в однородном пространстве. Таким образом, задачи рассеяния в волноводе требуют особой формулировки, и такие классические понятия как амплитуда рассеяния и диаграмма направленности должны быть заново определены.

Хотя реальный океан следует считать существенно неоднородным в вертикальном направлении, для многих задач пригодна его модель в виде почти стратифицированной среды, свойства которой плавно (медленно) меняются в горизонтальных направлениях, или плоскослоистой среды с малыми компактными возмущениями основных параметров (плотности, скорости звука и границ). При рассмотрении звуковых полей в таких волноводах применима теория нормальных волн (мод) [7, 8], причем следует отметить, что разложение акустического поля в сумму нормальных мод представляет собой не только формально-математический прием: с помощью вертикальных или горизонтальных антенн можно осуществлять селекцию мод из экспериментальных данных.

Использование концепции нормальных мод привело к новым постановкам задач акустической томографии океана [67-69, 71, 73-76, 84], а также задач рассеяния на компактных неоднородностях в слоистом волноводе, которым посвящена настоящая работа. Развиваемый подход состоит в рассмотрении перераспределения энергии между модами падающей и рассеянной волны, что приводит к вычислению коэффициентов межмодового рассеяния Стп, показывающих количество энергии, рассеиваемой в п-ю моду из т-ой моды падающего поля. Эти коэффициенты не зависят от вертикальной координаты и, в случае компактной неоднородности, имеют на бесконечности асимптотики, из которых выделяются соответствующие амплитуды рас-Немаловажное значение имеет также то обстоятельство, что использование антенн позволяет осуществлять измерение этих коэффициентов, что приводит к увеличению количества данных для обратной задачи. Это особенно важно, когда обратная задача решается в борновском приближении, поскольку в этом случае она существенно некорректна из-за несоответствия борновских данных реальным.

Впервые фактическое вычисление коэффициентов межмодово-го рассеяния было проведено в работе [28], где были использованы ВКБ-приближения для собственных функций нормальных мод и для вычисления содержащих их интегралов применялся метод стационарной фазы. Элементы такого подхода прослеживаются в работах [58, 64], где рассматривается рассеяние на жестких сфероидах, причем в первой из этих работ характеристики волновода предполагаются кусочно-постоянными по вертикали. В [85], непосредственно предшествовавшей настоящей работе, были выведены удобные формулы для коэффициентов межмодового рассеяния на неоднородно-стях морского дна, которые были применены для постановки и решения задачи восстановления осесимметричной неоднородности дна по рассеянному полю в работе [59]. Разложение акустического поля по нормальным модам применялось для решения обратных задач рассеяния также в [42] и в недавних работах [61, 62], но идейно и по используемой технике эти работы отстоят дальше от настоящего исследования, чем [85, 59].

Показав принципиальную плодотворность подхода к решению обратных задач рассеяния в океанском волноводе с точки зрения перераспределения энергии между волноводными модами, результаты упомянутых выше работы, однако, далеко не так эффективны, как необходимо для их практического применения в задачах акустического зондирования. Поэтому поиск новых аналитических представлений для коэффициентов межмодового рассеяния и разработка основанных на этих представлениях методов решения обратных задач является весьма актуальной и практически значимой задачей.

В настоящей работе получены новые представления для коэффициентов межмодового рассеяния, пригодные для практического решения обратных задач рассеяния на малых компактных неоднородностях скорости звука, плотности и границ раздела типа морского дна. Проведена также алгоритмизация полученных формул и осуществлено численное решение прямых и обратных задач рассеяния на модельных примерах с целью выяснения эффективности предложенных алгоритмов и методов регуляризации обратных задач.

В главе 1 методами регулярной теории возмущений получены новые представления для коэффициентов межмодового рассеяния, использующие разложение представляющих неоднородности функций в ряды Фурье и Фурье-Бесселя по угловой и радиальной координате соответственно. Хорошие аппроксимативные свойства таких рядов показаны на одном численном примере. В выведенных формулах нет ограничений на близость источников звука к рассеивателю. С целью уменьшения громоздкости формул результаты изложены отдельно для неоднородностей границ раздела типа морского дна и для неод-нородностей скорости звука и плотности.

В главе 2, полученные в первой главе формулы, проиллюстрированы расчетами, выполненными для одного типа неоднородностей, допускающих аналитическое решение задачи рассеяния и неоднородностей морского дна вида половины поверхности эллипсоида. Представленные численные решения прямых задач выполнены для неоднородностей с различными отношениями их размеров к длине звуковой волны, а также с близким и далеким по отношению к рассеивателю расположением источников звука.

В главе 3 формулы, полученные в главе 1, применены для решения обратных задач. Эта глава начинается с краткого обзора теории некорректных задач, в котором вводится понятие квазирешения на компактах и показывается, что параметризация решения конечным множеством ограниченных параметров в принципе обеспечивает регуляризацию задачи [17, 45]. Использование хороших аппроксимативных свойств представляющих неоднородности рядов позволяет заменять их конечными суммами и трактовать рассматриваемые обратные задачи как параметрические, допускающие формулировку в виде конечномерных операторных уравнений первого рода. Дополнительная регуляризация этих уравнений производится методом сингулярного разложения с селекцией сингулярных чисел. Представлены

Введение 9 примеры численного решения обратных задач, причем на приведенном графическом материале подробно показывается влияние обоих параметров регуляризации (длины ряда и малости отбрасываемых сингулярных значений) на структуру решения задач.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, опубликованы в работах [22-25, 89]. По материалам работы были сделаны доклады па ссмипарс по нелинейной динамик Тихоокеанского океанологического института им. В. И. Ильичева ДВО РАН, на IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана", Владивосток, 1997, и на PORSEC 2000 (The Fifth Pacific Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), 5-8 December 2000).

Автор благодарит д.ф.-м.н. Б. М. Шевцова за внимание, проявленное к работе и ценные советы, которые помогли существенно улучшить структуру диссертации. Автор благодарит также своего коллегу С. Б. Козицкого за помощь в редакционно-издагельских вопросах и моральную поддержку.

Выводы

1. На основе выведенных в настоящей работе формул для коэффициентов межмодового рассеяния (1.27), (1.37) получена формулировка обратной задачи рассеяния в борновском приближении в виде задачи нахождения квазирешения на конечномерном компакте линейного операторного уравнения первого рода.

2. Произведено численное решение обратной задачи в ряде модельных ситуаций на основе синтезированных в борновском приближении и зашумленных прибавлением реализаций белого шума данных, показавшее хорошую работоспособность предложенного метода.

3. Произведено численное исследование зависимости решения обратной задачи от значений параметров регуляризации, входящих в ее формулировку.

Заключение

В настоящей работе использовано представление функций, описывающих неоднородности скорости звука, плотности и границ типа морского дна для получения новых эффективных методов решения прямых и обратных задач рассеяния звука в морском волноводе, что для задач акустики океана является, по-видимому, новым.

Проведенное численное моделирование показало, что разработанные методы могут быть применены для обработки результатов работ по акустическому зондированию мелководных районов океана с использованием протяженных антенн и планированию экспериментов по акустическому зондированию неоднородностей в мелком море. Основные результаты работы можно сформулировать в виде следующих выводов:

1. На основе разложения описывающих неоднородности функций в ряды Фурье и Фурье-Бесселя выведены новые формулы для коэффициентов межмодового рассеяния, решающие задачу рассеяния звука на малых компактных неоднородностях границ типа морского дна, скорости звука и плотности. В выведенных формулах нет ограничений на близость источников звука к рас-сеивателю. примерах задач рассеяния, имеющих явное аналитическое решение. Показано также, что формулы для коэффициентов межмодового рассеяния, полученные ранее другими авторами, являются следствием формул, выведенных в настоящей работе.

3. С использованием выведенных формул проведено численное моделирование задач рассеяния на неоднородностях внутренних границ типа морского дна при различных отношениях размеров рассеивателей к длине волны и при различных расстояниях источников от рассеивателя. Подробно проанализирован случай рассеяния на поверхности половины эллипсоида.

4. На основе выведенных в настоящей работе формул для коэффициентов межмодового рассеяния получена формулировка обратной задачи рассеяния в борновском приближении в виде задачи нахождения квазирешения на конечномерном компакте линейного операторного уравнения первого рода.

5. Произведено численное решение обратной задачи в ряде модельных ситуаций на основе синтезированных в борновском приближении и зашумленных прибавлением реализаций белого шума данных, показавшее хорошую работоспособность предложенного метода.

6. Произведено численное исследование зависимости решения обратной задачи от значений параметров регуляризации, входящих в ее формулировку.

1. Алексеев Г. В. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов. Владивосток* Издательство ДВГУ, 1991. Часть 1. 125 с. Часть II. 128 с.

2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание М: Наука, 1977. 224 с.

3. Алувэлья Д. С., Келлер Дж. Б. Точные и асимптотические представления звукового поля в стратифицированном океане // Распространение волн и подводная акустика: пер. с англ. — М.: Мир, 1980. С. 20-75.

4. Апелъцин В. Ф., Кюркнан А. Г. Аналитические свойства волновых полей. М: Издательство МГУ, 1990. 208 с.

5. Барридж Р., Вейнберг Г. Горизонтальные лучи и веритикаль-ные моды. // Распространение волн и подводная акустика: пер. с англ. М.: Мир, 1980. С. 76-125.

6. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 413 с.

7. Бреховских Л. М.; Лысанов Ю. П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1982. 264 с.

8. Буров В. А., Горюнов А. А., Сасковец А. В., Тихонова Т. А. Обратные задачи рассеяния в акустике (обзор). // Акуст. журн. 1986 Т. 32. № 4. С. 433-449.

9. Буров В. А., Румянцева О. Л. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов. // Акуст. журн. 1992 Т. 38. 3. С. 413420.

10. Буров В. А., Румянцева О. Л. Решение двумерной обратной задачи акустического рассеяния на основе функционально-аналитических методов. Область эффективного применения. // Акуст. журн. 1993 Т. 39. № 5. С. 793-803.

11. Буров В. АРумянцева О. Л. Линеаризованная обратная задача рассеяния в монохроматическом и импульсном режимах. // Акуст. журн. 1994 Т. 40. № 1. С. 41-49.

12. Буров В. А., Конюшкин А. Л., Румянцева О. Л. Двумерная и трехмерная акустическая томография многомерных рассеивате-лей при неполных данных. // Акуст. журн. 1997 Т. 43. К0- 4. С. 463469.

13. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 184 с.

14. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. 268 с.

15. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

16. Гончарский А. В., Черепащук А. М. Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985. 350 с.

17. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. Изд-во МГУ, 1989. 152 с.

18. Гриневич П. Г., Новиков Р. Г. Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера. // Функциональный анализ и его приложения. 1985. Т. 19. N2 4. С. 32-42.

19. Гриневич П. Г., Манаков С. В. Обратная задача теории рассеяния для двумерного оератора Шредингера, 5-метод и нелинейные уравнения. // Функциональный анализ и его приложения. 1986. Т. 20. № 2. С. 14-24.

20. Дэннис Дмс., Шнабелъ Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.стической конференции "Иследование и освоение Мирового океана ". Владивосток: Дальнаука. 1998. С. 69-71.

21. Захаренко А. Д. О рассеянии на компактных неоднородностях в морском звуковом волноводе. // Информатика и моделирование в океанологии. Владивосток: Дальнаука. 1999. С. 245-252.

22. Яагпррнкп А. Д. О рассеянии на малых компактных неоднородно стях в морском звуковом волноводе. // Акуст. журн. 2000. Т. 46. № 2. С. 200-203.

23. Захаренко А. Д. Рассеяние звука на малых компактных неоднородностях в морском волноводе: обратная задача. // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 200-204.

24. Клей К., Медвин Г. Акустическая океанография. М.: Мир, 1980. 584 с.

25. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 288 с.

26. Кравцов Ю. А., Кузькин В. М., Петников В. Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах. // Акуст. журн. 1984. Т. 30. № 3. С. 339-343.

27. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 424 с.мальным монохроматическим волнам. // Математические методы в сейсмологии и геодинамике. (Вычислительная сейсмология. Вып. 19) М.: Наука, 1986. С. 135-144.

28. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.

29. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М: Издательство МГУ, 1987. 216 с.

30. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

31. Новиков Р. Г. Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии. // Теоретическая и математическая физика. 1986. Т. 66. № 2. С. 234-240.

32. Новиков Р. Г. Обратная задача рассеяния для двумерного акустического уравнения. // Геодинамика и прогноз землетрясений. (Вычислительная сейсмология. Вып. 26) М.: Наука, 1994. С. 164167.

33. Новиков Р. Г. Приближенное решение обратной задачи квантовой теории рассеяния при фиксированной энергии в размерности 2. // Труды Математического института им. В.А.Стеклова. 1999. Т. 225. С. 301-318.

34. Новиков Р. Г., Хенкин Г. М. (^-уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния. // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. № 3. С. 93-152.

35. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969, 608 с.

36. Рамм А. Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир,1QQA AQа гхи» С J. • JL KJ

37. Рид М., Саймон В. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982, 445 с.

38. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.

39. Старков А. С. Прямая и обратная задачи рассеяния мод в волноводе с неровной границей. // Изв. вузов. Радиофизика. 1991 Т. 34. № 6. С. 694-706.

40. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 456 с.

41. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. 156 с.

42. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 288 с.

43. Толстое Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. 384 с.

44. Тэтюхин М. Ю., Федорюк М. В. Рассеяние плоской звуковой волны на протяженном теле произвольной формы. // Акуст. журн. 1986 Т. 32. № 6. С. 811-815.

45. Тэтюхин М. Ю., Федорюк М. В. Дифракция плоской звуковой волны на вытянутой жидкой оболочке вращения. // Акуст. журн. 1991 Т. 37. № 1. С. 189-192.

46. Федорюк М. В. Применение метода сращивания асимптотических разложений к рэлеевскому приближению в скалярной теории дифракции. // Акуст. журн. 1981 Т. 27. № 3. С. 441-448.

47. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука, 1971. 408 с.

48. Шадан К., Сабатъе П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980. 408 с.

49. Beylkin G., Burridge R. Linearized Inverse Scattering Problems in Acoustics and Elasticity. // Wave Motion. 1990. V. 12. No. 12. P. 1552.

50. Chouhan Н. М., Anand G. V. Normal mode wave-number estimation using a towed array. //J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 93, No. 4, P. 1807-1814.

51. Clay C. S. Waveguides, arrays, and filters. // Geophysics. 1966. V. 31, No. 3, P. 501-505.

52. En-С en Lg, Ji xun Zhou, Er-Chang Shang. Normal mode filtering in shallow water. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 74, No. 6, P. 18331836.

53. Hackman, R. H., Samrnelman, G. S. Acoustic scattering in an inhomogeneous waveguide: Theory. //J. Acoust. Soc. Am. 1986. V. 80. No. 5. P. 1447-1458.

54. Fawcett, J. A. Reconstruction of batymetry shape from remote acoustic observations. // Inverse Problems. 1990. V. 6. P. 185-191.

55. Fawcett, J. A. Coupled-mode modeling of acoustic scattering from three-dimensional, axisymmetric objects. //J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 102. No. 6. P. 3387-3393.

56. Gilbert, R. P., Scotti, T.,Wirgin, A., Xu, Y. S. Identification of a 3D object in a shallow sea from scattered sound. // C. R. Acad. Sci. Paris. 1997. T. 325. Serie II b. P. 383-389.

57. Godin, О. A. A note on differential equations of coupled-mode propagation in fluids. // J. Acoust. Soc. Am. 1998. V. 103. No. 1. P. 159-168.

58. Ingenito, F. Scattering from an object in stratified medium. // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82. No. 6. P. 2051-2059.

59. Ji-xun Zhou. Normal mode measurements and remote sensing of sea-bottom sound velocity and attenuation in shallow water. //J. Acoust. Soc. Am. 1985. V. 78. No. 3, P. 1003-1009.

60. Ji-xun Zhou, Xue-zhen Zhang, Rogers P. H., Jarzynski J. Geoacoustic parameters in a stratified sea bottom from in shallow water acoustic propagation. //J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82. No. 6, P. 2068-2074.

61. Jones R. M., Georges Т. M. Nonperturbative ocean acoustic tomography inversion. //J. Acoust. Soc. Am. 1994. V. 96. No. 1, P. 439-451.

62. Jones R. M., Georges Т. M. Nonperturbative modal tomography inversion. Part II. Numerical simulation. //J. Acoust. Soc. Am. 1995. V. 98. No. 1, P. 560-569.

63. Jones R. M., Shang E. C., Georges Т. M. Nonperturbative modal tomography inversion. Part I. Theory. //J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. No. 4, P. 2296-2302.

64. Munk, W., Wunsch, С. Ocean Acoustic Tomography: Rays and Modes. // Reviews of Geophysics and Space Physics. 1983. V. 21. No. 4, P. 777-793.

65. Rajan S. D., Lynch J. F., Frisk G. V. Perturbative inversion methods for obtaining bottom geoacoustic parameters in shallow water. //J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82. No. 3, P. 998-1017.

66. Shang E. C. Ocean acoustic tomograghy based on adiabatic mode theory. // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. No. 4, P. 1531-1537.

67. Shang E. C., Voronovich, A. G., Wang Y. Y., Naugolnykh, K., Ostrovsky, L. New schemes of ocean acoustic tomography. //J. Comput. Acoust. 2000. Y. 8. No. 3. P. 459-471.

68. Shang E. C., Wang H. P., Huang Z. Y. Waveguide characterization and source localization in shallow water waveguides using the Prony method. // J. Acoust. Soc. Am. 1988. V. 83. No. 1, P. 103-108.

69. Shang E. C., Wang Y. Y., Jones R. M., Georges Т. M. Nonperturbative modal tomography inversion. Part II. Numercal simulation. 11 J. Acoust. Soc. Am. 1995. V. 98. No. 1. P. 560-569.

70. Sylvester J. Inverse boundary value problems. An overview. // Алгебра и анализ. 1996. Т. 8. № 2. С. 195-203.

71. Michel Tran Van Nhieu. A singular pertubation problem: Scattering by a slender body. // J. Acoust. Soc. Am. 1988. V. 83. No. 1, P. 6873.

72. Michel Tran Van Nhieu. A slender-body approximation in scattering theory. //J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. No. 5, P. 1834-1839.

73. Michel Tran- Van-Nkieu. On the asymptotic of scattering from slender bodies by the two-variable technique. //J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. No. 1, P. 495-497.

74. Michel Tran-Van-Nhieu. Scattering from a finite cylindrical shell. // J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. No 2, P. 670-679.

75. Michel Tran Van Nhieu. An approximate solution to radiation from slender bodies. // J. Acoust. Soc. Am. 1994. V. 96. No. 2, P. 10701079.

76. Voronovich, A. G., Shang, E. C. A note on horizontal-refraction-modal tomography. //J. Acoust. Soc. Am. 1995. V. 98. No. 5. Pt. 1. P. 2708-2716.

77. Wetton, В. T. R., Fawcett, J. A. Scattering from small three-dimensional irregularities in the ocean floor // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. No. 4. P. 1482-1488.