Дифракция волн в волноводных структурах с деформируемыми экранами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ггз сд

2 А НОЯ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВ ВАЛЕРИЙ ДМИТРИЕВИЧ

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН В ВОЛНОВОДНЫХ СТРУКТУРАХ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЭКРАНАМИ

Специальность 01.02.04 — Механика сформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора фиэню-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре математики ПОЕННОГО ИНЖЕНЕРНО - ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Научный консультант - доктор физико-математические

наук, профессор Даниил Петрович Коузов

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Василии Михаилович Бабич;

- доктор технических наук, профессор Евгении Львович Шевдеров;

- доктор физико-математических наук, Дмитрии Анатольевич Индейцев.

Ведущая организация - НАУЧНО - ИССЛЕДОВАТГЛЬСКИЙ ЦЕНТР 26 ЦЕНТРАЛЬНОГО НАУЧНО - ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ИНСТИТУТА МИНИСТЕРСТВА ОбОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Защита состоится '■ Э " Ъе^сгё/.7Я 1997"г.

в " —"'часовня заседании диссертационного совета Д 200.17.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С дрссергадией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМапх РАН.

Автореферат разослан " б " " МРяЗ^ов " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат химических наук В.П. Г линии

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ТЕМАТИКА РАБОТЫ. Диссертация посвящена теоретическому изучению дифракции стационарны! акустических и вибрационных волновых полей, гармонически зависящих от времени, в волноводных структурах с неподвижными и деформируемыми »кранами. Получены и исследованы точные аналитические и приближенные решения линейных уравнении математической физики, к которым сводятся задачи рассеяния и возбуждения волн механическими конструкциями с учетом их контакта с внешней средой. Под волноводной структурой в работе понимается классический волновод, представляющий собой канал постоянного сечения, заполненный сжимаемой акустической средой, сочлененные волновода и периодические дифракционные структуры (дифракционные решетки), теоретическое исследование которых также сводится к решению волноводной задачи. Рассмотрение одновременно волновохгаых задач и задач с периодической структурой объясняется тем, что решение их требуют единых математических методов, и тем, что анализ атих решений ,для объяснения физических явлений совпадает. Отметим также, что при нормальном падении плоской волны, возбуждающей колебания в периодической структуре, постановка задачи совпадает с постановкой задачи о распространении волн в волноводе.

Работа была выполнена на кафедре математики Военного Инженерно-Технического Университета. Частично работа была посдержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грант 95-02-04346 "Теоретическое исследование структурных и акустических полей упругих конструкций".

Работа является продолжением диссертации автора на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук "Влияние сосредоточенных нарушений упругих свойств на колебания изолированной пластины и пластины, помешенной в акустическую среду", руководитель которой доктор физико-математических наук, профессор Коузов Д.П. является научным консультантом диссертации.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Дифракция волн на периодиче-

ских решетках и экранах в волноводах — традиционный объект исследования в математической теории дифракции. В настоящее время глубоко изучена теоретически и экспериментально дифракция электромагнитных волн в волвоводных структурах с экранами (дифракция волн в волноводах СВЧ. дифракция света на оптических дифракционных решетках) [1-4]. Отметим, что экраны, на которых происходит дифракция, не изменяют своей формы и положения.

Решение многих важных прикладных проблем механики, акустики. сейсмологии связано с рассмотрением процессов распространения и дифракции волн в волноводных структурах, содержащих деформируемые экраны — подвижные клапаны или упругие пластины. Колебания этих конструкций изучаются с учетом контакта с внешней акустической средой (сжимаемой жидкостью, газом). Необходимость рассмотрения совместных колебаний экранов и окружающей их среды вызвана тем. что плотность сжимаемой акустической среды (например. води) сравнима с плотностью материала экрана, в салу чего приобретает особую важность учет влияния среды на колебания экранов. Наличие среды приводит также к взаимодействию волновых полей, рассеянных экранами.

Задачи такого типа возникают при расчетах звукоизолирующих конструкции, расчетах вибрационных и акустических полей в корабельной акустике, расчетах излучателей в гидроакустических приборах. Актуальность этих проблем с прикладной точки зрения связана с необходимостью подавления вредных вибраций в механических конструкциях и повышением надежности механических и измерительных приборов.

л >-

С математической точки зрения актуальность тематики связана с необходимостью разработки методов получения точных аналитических решений краевых задач для уравнения Гельмгольца с кусочно-заданными граничными условиями, когда на соседних участках границы заданы различные условия. В качестве граничных условий ставятся классические условия — Дирихле. Неймана или смешанное (импедансное). н также неклассические, когда в граничном усло-

вии присутствуют дифференциальные операторы высоких порядков. Классические условия (Дирихле, Неймана или смешанное) описывают поведение недеформируемых экранов, а поведение деформируемых экранов описывается дифференциальными или интегральными уравнениями. Необходимость изучения рассеяния на недеформируемых экранах объясняется тем, что полученные здесь решения являются составной частью решения задач с деформируемыми экранами.

При рассмотрении совместных колебаний конструкции и сре,пы возникают так называемые гранично-контактные задачи математической физики. Граничные условия в этих задачах представляют собой дифференциальные или интегральные уравнения, описывающие механическое поведение деформируемых экранов. Характерной особенностью гранично-контактной задачи является высокий порядок дифференциального оператора в граничном условии, превосходящий даже порядок оператора Гельмхолъца в области, и наличие дополнительных. так называемых, гранично-контактных условий.

В зависимости от сложности, гранично-контактная задача допускает аналитическое точное или приближенное решение, либо численное решение. Особый интерес представляет точное аналитическое решение задачи, которое позволяет провести физический анализ полученного решения и выдать практические рекомендации к изучению поведения сложных механических конструкций. Несмотря на то, что получение точного решения возможно лишь для модельных задач, вто решение целесообразно использовать в качестве исходного пункта при построении приближенного или асимптотического решения более сложной задачи, для которой модельная задача соответствует предельным значениям параметров. Отметим также, что методы, развитые при получении точных аналитических решений модельных задач, в более сложных ситуациях позволяют построить приближенные аналитические решения.

Важное значение для теории имеет развитие методов решения уравнений математической физики с кусочно-заданными граничными условиями. Одним из способов решения подобных задач является

метод Винера-Хопфа-Фока. Согласно этому методу решение уравнения математической физики сводится к классической задаче Римана для нескольких пар кусочно-аналитических функции. В общем виде конструктивное решение задачи Римана в настоящее время не известно. Но даже выделение частных случаев, в которых такое решение получается, дает возможность найти точное решение новых задач математической физики.

Высказанные положения определяют актуальность рассмотренных в данной диссертации научных вопросов по получению и физическому анализу точных и приближенных решений задач дифракции волн на недеформируемых и деформируемых экранах в волноводных системах.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертаяии является:

1. Разработка математических методов сведения уравнений математической физики, возникающих в контактных задачах акустики с подвижными механическими конструкциями, или к задаче Рпмана для аналитических функций, допускающей конструктивное решение, или к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, допускающих решение методом редукции.

2. Получение точных и приближенных решений контактных задач акустики для системы с подвижной механической конструкцией, находящейся в контакте с акустической средой.

3. Проведение на основе полученных решении аналитического и численного исследования характеристик дифракционного акустического поля п вибрационного поля в механической конструкции.

Физический анализ полученных точных и приближенных решений. Получение количественных зависимостей, позволяющих выявлять качественные закономерности в исследовании дифракции волн на деформируемых экранах в волноводных структурах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в том, что:

1. Разработан систематический метод сведения задач дифракции волн в волноводных структурах с поперечными препятствиями к кра-

своп задаче Римана (скалярной или матричной).

2. Выделен класс матриц Л'-го порядка, допускающих коммутативную факторизацию при решении однородной задачи Римана. Предложена процедура получения решения однородной задачи Римана. Решены задачи дифракции волн на экранах в воляоводных структурах, сводящиеся к матричной задаче Римана. матрица в которой допускает коммутативную факторизацию.

3. Решены контактные задачи дифракции волн (задачи излучения и задачи рассеяния) на подвижных клапанах в жестких экранах, которые либо полностью либо частично перегораживают сечение волновода. Показано, что наличие конечного механического импеданса клапана существенно влияет на частотные зависимости как коэффициентов отражения нормальных волн от препятствия в волноводной структуре, так и коэффициентов возбуждения нормальных волн в волноводной структуре.

4. Решены задачи рассения акустических волн на одной и дпух упругих пластинах, перегораживающих волновод и разделяющих различные акустические среды. Проведено исследование и показав резонансный характер частотных зависимостей коэффициентов отражения нормальных волн от гибких перегородок в волноводе.

5. Показано, что задачи рассеяния волн на упругих перегородках, разделяющих волноводные структуры с различающимися наборами нормальных волн, приводят к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором. которые допускают решение методом редукции.

Все названные результаты являются новыми и получены автором диссертации впервые.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Работа имеет теоретический характер. Развит метод позволяющий систематическим образом сводить задачи дифракции волн на недеформи-руемых и деформируемых экранах в волноводных структурах либо к задаче Риманадля аналитических функций, либо к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Выделены задачи, до-

пускающие решения в замкнутом виде. В частности, р задаче Рима-на для Л'-пар аналитических функций указан случай коммутативной факторизации однородной задачи, обобщающий известный результат для матриц второго порядка (Чеботарев Г.Н.. 1954 г. [5]. Храпков A.A.. 1971 г. [б]). Впервые реализована идея (Лейбензон JI.C.. 1951 г. [7]) решения гранично-контактных задач вволноводных структурах с препятствиями типа деформируемой пластинки.

Получены точные и приближенные аналитические решения задач дифракции акустических волн на подвижных и деформируемых экранах в полноводных структурах. Приведены результаты численных исследований характеристик рассеяния на препятствиях в этих структурах. На основании аналитических решений и численных результатов проведен физический анализ резонансного рассеяния волн на препятствиях в волноводных структурах с деформируемыми экранами. что имеет важное прикладное значение. Показано, что известные ранее "ловушечные моды" в волноводе с упругой перегородкой (Ма-люжинец Г.Д.. 1971 г. [8]) при нарушении условия их существования, порождают аффект резонансного рассеяния на препятствии.

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ обеспечивается изучением общепринятых в настоящее время математических моделей технических конструкции, использованием строгих математических методов решения задач, корректностью математических выкладок. применением математически обоснованных численных методов при исследовании полученных решений, совпадением полученных формул и зависимостей в некоторых частных случаях с известными ранее результатами. Проверка правильности результатов аналитических решении и численных расчетов при исследовании данных рассеяния контролировались выполнением принципа взаимности и закона сохранения энергии.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ:

1. Метод сведения задач дифракции волн на неподвижных и подвижных экранах в волноводных структурах к задаче Римава для

одной или нескольких пар аналитических функций.

2. Условия коммутативной факторизации матрицы функции в задаче Римма для V пар кусочно-аналитических функций.

3. Процедура получения точных аналитических решений в задачах дифракции волн на подвижных жестких клапанах в волновод-ных структурах методом сведения к задаче Римана для кусочно-аналитических функций.

4. Точные аналитические решения задач дифракции волн на тонких упругих пластинах, перегораживающих канал волновода.

5. Метод получения приближенного решения задач дифракции волн на тонких упругих пластинах, перегораживающих канал волноводной структуры.

6. Аналитический и численный анализ дифракционных характеристик в задачах дифракции волн на неподвижных и деформируемых экранах в волноводных структурах на основе полученных точных и приближенных решений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты, изложенные в диссертации. докладывались на VIII Всесоюзной Акустической конференции (Москва. 1971 г.), нэ VI и VIII Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Ереван, 1973 г.: Львов, 1981 г.), на Всесоюзной конференции "Звукоизоляция-88" (Ленинград 1988 г.).на Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией. Noise-93 (Санкт-Петербург. 1993 г.). на ХХП. ХХШ и XXTV школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1995-97 гг.). на Международных семинарах, проводимых совместно Санкт-Петербургским университетом и Математическим Институтом им. В.А. Стеклова. "Day on Diffraction" (Санкт-Петербург. 1995 и 1997 гг.).

Результаты работы излагались на семинарах по дифракции и распространению волн при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством профессора Бабича В.М.. на семинарах физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета, на научном семинаре в Институте Проблем Мащрноведения РАН, на семинаре по

акустике при Восточно-Европейской ассоциации акусгиков в Санкт-Петербургском Морском Техническом Университете под руководством профессора Коуэова Д.П.. на научных конференциях в Ленинградском Высшем Военном Инженерном Строительном Училище, ныне Военном Инженерно- Техническом Университете.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты, полученные в диссертации. опубликованы в работах [1-28].

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Она содержит 362. страниц машинописного текста и 91 рисунка. В библиографии имеется ИТ-наименовании.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении в §1 сформулирована тема исследования, обосновывается ее актуальность, дается общая характеристика работы. В §2 имеется обзор литературы, из которого сделаны выводы о современном состоянии проблемы дифракции волн на неподвижных и деформируемых экранах в волноводных структурах (волноводах и дифракционных решетках). В §3 сформулированы цели исследования и изложено краткое содержание работы. В §4 приведены положения выносимые на защиту. В даны сведения о публикациях по теме диссертации и об апробации работы.

В главе 1 исследована дифракция волн на волноводных структурах с неподвижными экранами. Рассматриваемые здесь волноводные структуры не содержат деформируемых границ и не приводят к гранично-контактным задачам, однако продвижение в теоретическом исследовании этих задач позволяет получить решения новых задач с деформируемыми экранами и границами.

В §1 приведены общие для всей работы сведения о постановке задач распространения волн давления в акустической среде в случае гармонической зависимости от времени. Акустическое давление в среде /'(г, 1/. г . П = К'. ( Г{ з . у. :; )). где комплексная величина

Ри .у г ). которую будем называть для краткости акустическим давлением. удовлетворяет уравнению Гельмгольпа с волновым числом

Для выделения единственного решения дифракционной задачи ставятся краевые условия, условия Мейвснера "на ребре" и условия на бесконечности условия предельного поглощения.

Рассмотрение периодических и волноводных структур одновременно. связано со следующим. В силу специфики возбуждающего поля в виде плоской волны задача для периодических структур, например. в плоском случае сводится к задаче в полосе с дополнительными граничными условиями квазипериодичности на сторонах полосы, т. е. к волноводной задаче. Особенно наглядно однотипность двух задач видна при нормальном падении плоской волны на периодическую структуру, здесь на сторонах полосы ставится условие Неймана, как и в задаче об акустическом волноводе с жесткими стенками.

В !(2 решена задача о дифракции нормальной волны волновода с импедаясными стенками на абсолютно жестком экране высотой, равной половине ширины волновод. Волновод занимает область -гс < х < +ос.| у |< Л. экран расположен на отрезке г = О, -Л < у < 0. На стенках волновода выполнены условия Р(т,±Ь) ± ^¡£<£¿¡¡1 = 0. Z -импеданс стенки.

Задача решается методом Винера-Хопфа сведением к скалярной задаче Рпмана.

ф-ШгГА)= 4>-(А) + (»в>Г,/7(А + А„).

где функции Ф^(А) и Ф*(А) - аналитические в верхней (1шА > 0) и нижней ¡1шА < С) полуплоскости комплексной переменной А(1тА < 0). Факторизация функции у(А) = — /„(А)/(-г(А)',(А)) = А) прово-

дится с использованием техники бесконечных произведений

« д N

«ГШ = ц-(-\) = У^Ш1 + —)П + — )"',

П=1 " ^"

где >,„ и и„ - корни трансцендентных дисперсионных уравнений соответственно

7-' Д»$Ь -.\\)Н + сЬ •>( А)Л = 0. А 1сЬ А)Л + -»{А)Л = 0.

Приводится представление поля давления в волноводе в виде разложения по рассеянным от экрана нормальным волнам, отраженным от экрана 'I

J = l.J=n ) = ]

гдо г:,;; - коэффициент отражения падающей n-й симметричной нормальной волны (т, з/) = и;-(г у), г^'. г'"' - коэффициенты возбуждения соответственно симметричных i M'^i2". У) ) и антисимметричных ( Г;:(г. г/ !) по переменной у нормальных волн с номером j: С: =05(1 - l/(2A„(ff-(A,))?).

V = -(!„.?,.)",'г/(Г(А,)Г(А.)(А,+ АЛ, г"! = 2/(дЧ А,)(А, + AJ).

Проведено численное исследование зависимости коэффициентов отражения, прохождения и возбуждения нормальных волн от частоты падающей на экран первой симметричной нормальной волны волновода.

В §3 строятся точные решения задач о стационарном рассеянии нормальной волны в плоском волноводе на абсолютно жестком и мят-ком экране. Акустическое давление в волноводе Р = Р\х,у) удовлетворяет однородному уравнению Гельмтольда внутри волновода -cc<T<+?>z.4<y<H. кроме отрезка г = 0, 0 < у < Н/2. где расположен экран.

На абсолютно мягкой верхней поверхности волновода (-о: < т < + сс. у = Н) выполняется однородное граничное условие Дирихле Р(т.И) - 0. На жестком дне волновода и на экране выполнено однородное условие Неймана. Задачи решаются сведением к матричной задаче Римана F'{А) = G(A)F"(A) + ir(A) для двух пар функций А) lj = 1.2) аналитических в верхней ( + ) и нижней ( —) полуплоскости переменной А соответственно, где

tri А) = /iA) - G(Ali?/(-A). Gl А) = -—-I + ItlH-CH).

fl\,= . ----- . f-i\\ = (?/-(-А

-!2r. - 1) , rp,-т

4n - -ZJj-• Л„ = V - К

Каноническая факторизация матрицы-функции второго порядка

G{\) - Л", (А)(Л"_( А))-1

/1 О W1 „\ имеет вид Л'.!Л) = 6.Л А) |( |.где

V .-Л 1/\0 \)

G.i А '■ = схр (П±(А)Г( Л)) = cos ( ->fl±{\)) / + sin ( тП^А)) С( А)/-,, причем

ехр(,Ч!А)П-(А)) = =

г = ] + 2"-1 1 + -1 ' Л" + П"

где -.„ = - ( \„1.

Акустическое поле, отраженное от экрана, представлено в виде разложения по нормальным волнам волновода Фп(±х,!/) и имеет вид при х > О

со

Р{т.у) = Ф„(-г.у) +

1=]

где 4<„(±т у)= гп„ = +

.4 ,„ = ( (-1 Г1 ?/ГГ (А,) + (-1 Г1,„ А„)). C„=cos(l + ^).

4 I

Проведен численный анализ зависимости этих коэффициентов от частоты возбуждающего поля. Показано, что монотонность частотной зависимости меняется при переходе через каждую частоту зарождения нормальной волны.

В §4 дан метод основанный на использования матрицы рассеяния на одиночных препятствиях в волноводе в случае системы препятствий. для чего решена задача о рассеянии акустических волн в кусочно-однородном волноводе. Каждая неоднородность в волно-ведущей системе характеризуется обобщенной матрицей рассеяния, которая предполагается известно^ на основании теоретического рассмотрения или экспериментальных данных. Исследовано рассеяние

И

нормальных волн на двух экранах в волноводе. Экраны занимают половину ширины волновода и расположены на некотором расстоянии друг от друга. Матрица рассеяния на одном таком экране теоретически изучена в §3. Исследовано резонансное рассеяние нормальных волп на экранах. Получено решение и проведен численный анализ задачи об отражении нормальных волн в полубесконечном волноводе, на конце которого находится камера, образованная стенками волновод» и экраном, расположенным па некотором расстоянии от торца волновода.

Другой пример применения обобщенной матрицы рассеяния к нахождению собственных частот акустического резонатора с кусочно-однородными идеальными стенками приведен в приложении.

В §5 исследуется вопрос о решении однородной задачи Рима-на для матриц Л'-го порядка A'~(t) = G(t)X~(t).t 6 L, при дополнительном условии коммутативности квадратных матриц Л'+(() и Л'"(<)• Эти матрицы являются предельными значениями искомой кусочно-аналитической матрицы Л'(() при с — (из областей и и И" соответственно. на которые контур L делит плоскость комплексной переменной А. Матрица Л" (í) — кусочно-аналитическая функция вместе со своей обратной в областях С1~ и Í2".

Неособенная матрица G(1), определенная на контуре L. задается рекуррентным соотношением G(f) = Gm(l) 6 Pm(A\í), где / € L, т = 1.2. s.

rm(S.i) = + Pm.,(N.1)Ut). т > 1,

Р\( S.1) = (G[l,{1) : G\l\l) = Vi(<)'o(í)+ V'i(iHi(0)

v't(í) и Vtf^ - произвольные функции, удовлетворяющие условию Гельдера. /„,!') - фиксированный набор попарно коммутирующих матриц порядка .V. элементы которых — многочлены. Причем матрицы /„,!') такие, что /¿íf i = ^m|'UoC). /оi') ~ единичная матрица порядка Л". #'„,('! = Pin,'.'!/':..,(' i.;'in,('! - многочлен кратность корней которого нечетна. а !>:„,{ I) - многочлен, кратность корней которого четна. и i.i!M - произвольные функции, удовлетворяющие условию Гельдера.

Искомое решение задачи Римана дается рекуррентными соотношениями

-V;(/1 = Л'^ехр I//;1'2(Пг!^ ,(/)/„.(/)) ■

где € Рп. I1 У '! ~ решение однородной задачи Римана для ма-

трицы (•'„] 1,■ Г' е -1 (Л' о

= ЮЛ';-,(<)■

а С - аддитивное разложение матрицы £

(7"!,^) = {<<?"!,(0)г- /'п,(0! )' г.

ехр <;!,!!.,(/1 = ((<]',(') г - Ж)г)_,'2х

и (<?".,(<) Р + ^Чтс^и))1 Г3

Решение задачи Римана для матриц из дается формулами

Л'Г( <) = Д-(< )ехр ( Ч< )) •

где 5 = 1<1 и Лг(<1 известные решения скалярных задач Римана

ехр • пГ) 1 = -- = ехр( (г (/) - с (<))Рц СМ

"('КМ')

Л' (0 = = ( ^¡(<) - ||1(()1;!1))Г!

Если ¿¡„.¡О = 0. то /■,((| ость нулевая матрица порядка А', и решение задачи Римана дается формулами

Х^ч - = А'„; .,(П/Р-+ }'„;. ,(/)/„,{/?.

где Л'Д '1 6 /'„,. ]1 \ I> - решение задачи Римана для <7^! ,П)

л',;.,(м = ;„,!<!.

а ) „; . ■ I 6 /'.,, Л. м определяется из соотношения

■ ; • - V.;, ,.?<> ');; ^м-^л,;, '5;; и'1

13

матрицы G ¡^ [ j i i I и G ¡ ~ [, l i) возникают при преобразовании Gmt I) к виду G„,m = c'^muo + <G,¿'_,(t)r,Gt¿t¡it)Ui))

Решение задачи Римана для матриц из /',{Л", () в случае, если i¡,(t) = 0. проводится согласно формулам

A'f(í)= aT (/)/„+ 3±(t)l,(t).

■-fi(t) = C'l(t)l^k[t) = 0*(l)/a*(t)-3-{t)/a-(t)

В §G найдено точное решение задачи о дифракции плоской волны на дифракционной решетке, построенной из периодически расположенных вдоль прямой абсолютно жестких экранов, на которых выполнено однородное условие Неймана. Длины экранов и расстояния между ними совпадают и равны Л. Угол падения плоской волны на решетку произволен и равен Задача сводится к неоднородной матричной задаче Римана

<?Ф~(А) = С(А)Ф+(-А) + С(А)Л-А) - Qf( А), где матрица С(А) = G\u(Á)Ia + б'"'(А)/2(Л). а матрицы

GÍ"(A)= А )/„ + ,/•,( А)/,(А),

/ 0 1 0 0\ / o 0 0 \

_ 2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 7;(A) = i!2 t 0 0 0

\ 0 0 o) \ 0 0 0 /

10 - единичная матрица четвертого порядка. Q — диагональная матри-да с элементами = = -1. qi:< = = Ь Vi(A) = sh(rf)/^(A).

i.-,( А) = sh(2*./))/(iA(A)). i-;(A) = 2 вЬ(Л/2) rh( - h )u /ДЦ).

Ví(A) = -?ih((//;;.sli(-,/,)/{->A(A)). Л(А) = clifÜ-Д) - гЫ<Л.

= -iiA) = У A- - Í-. (f = 2i/ijtsm(») o T /(A) = ---; 1 -(bmU-). exp((//2).-í/sHií.-)fXp('i/-1.) •

A - I: cosí ! '

Т означает транспонирование мат рилы.

Учтем, что ¡¡(X) = -г/0, /|(Л) = /0, откуда следует, что ц(Х) = /<](Л) = рп(А) = -г2, а = 1. Факторизация матрицы четвертого порядка С(А) проводиться с использования метода, предложенного в §5. Получено представление акустического поля в виде разложения по нормальным волнам, рассеянным на дифракционной решетке.

В главе 2 изучена дифракция акустических воля в воляоводаых структурах на подвижных экранах. Под подвижным экраном понимается поршень (клапан), колеблющийся вокруг положения равновесия и не меняющий своей плоской формы.

Решены и исследованы как задачи излучения акустических волн поршневыми излучателями, так и задачи рассеяния волн на подвижных экранах. Излучатели и экраны размещаются в волноводах или образуют дифракционную решетку.

В §1 рассмотрено стационарное возбуждение поршневым излучателем акустических волн в полу бесконечном волноводе г > 0,0 < у < И. Стенки волновода абсолютно жесткие. Излучатель, имеющий массу М, размещен в жесткой торцевой стенке волновода на отрезке г = О, а < у < Ь и упруго связан с вей пружиной с жесткостью д. Уравнение движения поршня с учетом контакта с акустической средой имеет вид ( А' - М) V = - ¡'Р(0,у)(1у+Г, где и - смещение излучателя от положения равновесия, Г - амплитуда силы, действующей на поршневой излучатель. Имеет место равенство смещений излучателя и акустической среды вблизи него р*/217 = при а < у < Ь, где р -

плотность акустической среды.

Рассмотрен случай плоского волновода и волновода с цилиндрической симметрией. В плоской задаче излучатель произвольным образом размещен на торце волновода. В цилиндрическом волноводе круглый излучатель размещен по центру торцевой стенки волновода.

В плоской задаче акустическое давление в волноводе имеет вид = ЕГ-о где о„ = = А<^^*„{у)ехг(Ппг).

„-(у) = дп = -п/я. -.„ = у//.--' - = 2. = 1. при п > 0.

,1 = г/(? - ач Цо = а///. »!„ = мп(?„п)). г = г. + 2

- импеданс излучателя. Z. — -u^jj2 ). u,0- собственная часто-

та излучателя в вакууме. = \/Л'/Л/. рц- поверхностная плотность клапана. п0 = МЦ.Ь - a).Z„ импеданс взаимодействия между формой колебания излучателя в жестком экране и n-й составляющей давления на поршень a„U„(ü у ). Z, — ( Ц» )"• Проведено аналитическое и

численное исследование коэффициентов возбуждения а, нормальных волн и акустических полей, возбуждаемых излучателем в волноводе. Показано, что зависимость величины а0 от частоты возбуждающей силы носит резонансный характер. В волноводе на достаточно высоких частотах обнаружены точки, вокруг которых циркулируют потоки колебательной энергии.

В (¡2 решена задача об излучении периодической системой излучателей. размещенных в жестком экране, волн в полупространство, заполненное сжимаемой акустической средой. Каждый излучатель системы представляет собой поршень с упругой пружиной. Поршень натружен на акустический резонатор. Акустическое давление Р(т,у) в полупространстве представлено в вице разложения по нормальным волнам периодической структуры lV¡,(r,y)

-tos

Р(г.у)= £ о„ И'„(г. у),

— ОС

где И"„(х.1/) = Ло-л(г)ехр(п„у). <£„(*) = exp[i>„r), j>„ = (ó + 2*п)/(2Я). ir, = \/ij - p*. o - величина разности фаз комплексных амплитуд сил. действующих на соседние излучатели, амплитуды от = r'',k/"- V™ -■^jj s\R(pmh) при рт 5¿ 0. iim = h/H при рт = 0.

Исследована зависимость модуля амплитуды излучаемой плоской волны а0 и ее фазы от угла сканирования 6 и частоты возбуждающей силы. Показано, что при соответствующей коррекции величин сил. приложенных к излучателям, можно обеспечить равномерное сканирование полупространства излучаемой плоской волной.

В §3 рассмотрена дифракция плоской акустической волны на жестком экране с периодическим (плоская задача) и двоякопериодическим набором (пространственная задача) поршневых излучателей. Экран разделяет два полупространства : > 0 и : < 0. которые заполнены сре-

дами с плотностями р2 и скоростями звука с2 соответственно.

Акустическое давление в плоской задаче представлено в виде

-■ос

Р,(г,г) = Уо(т)с~,Л!" + £ при С > О,

п = — ос

+ 00

Р:(т1с)= при ^ < О,

« = —ос

где ^„(г) = у/р,/\.Мх), ¿-„(г) = ^Рг/иМх), }*{*) = е'^'. р„ = (ф + ?-п)/(?а), Д„ = - Р^. ^п = — Гп' г» и коэффициенты отражения и прохождения падающей волны в п-ю нормальную волну для верхнего и нижнего полупространства г„ = („0 - 2^//2.

и = гУ^гГ/а, 2 - г!" + 2 - суммарный импеданс

периодической системы поршней в жестком экране, контактирующих с акустическими средами, = 1 - гЦк, - импеданс излу-

чения в п-ю нормальную волну верхнего полупространства Ц = 1) и нижнего полупространства О' = 2) поршня, вставленного в жесткий экран.

Как частный случаи получено решение задачи, когда акустическая среда находится только с одной стороны от экрана.

Проведен численный анализ зависимостей коэффициентов отражения и прохождения, а также смещения излучателей, от частоты падающего поля, скважности дифракционной решетки, угла падения плоской волны, коэффициента затухания поршневых излучателей. Показано. что введение затухания в упругое подкрепление клапана, не уменьшает, а увеличивает отражение плоской волны от экрана с клапанами.

В §4 исследовано прохождение нормальных волн через подвижный клапан, разделяющий волноводы с произвольными сечениями. Волноводы справа и слева от перегородки заполнены разными акустическими средами и характеризуются набором форм нормальных волн. Получено точное аналитическое решение.

Приведено решение задачи о прохождении акустических волн через подвижный клапан, разделявший плосрте волноводы, которые

1 7

имеют одинаковую ширину и заполнены одинаковыми акустическими средами. Стенки одного волновода — абсолютно мягкие, другого жесткие. На основании точного аналитического решения показано, что зависимость смещения клапана от частоты возбуждающего поля носит резонансный характер. На частоте когда, амплитуда колебания клапана максимальна, отражение поршневой волны волновода с жесткими стенками от клапана, нагруженного на волновод с мягкими стенками, происходит как от абсолютно мягкой стенки.

Б §5 исследовано рассеяние акустических волн на перегородках в волноводе произвольного сечения. Каждая перегородка представляет собой жесткую диафрагму с отверстием, которое закрывает жесткий клапан. Клапан упруго связан с диафрагмой и способен совершать малые колебания.

Приведено решение задач для двух перегородок, а также для периодической системы перегородок. На основании полученного решения для периодической системы перегородок строится решение для полубесконечного набора равноотстоящих (на расстоянии Ь) друг от друга соседних перегородок. Для коэффициента отражения 5-ой нормальной волны волновода от полубесконечного набора перегородрк получено выражение г„ = 1 - 22, ¡2, где 2 - полный импеданс полубесконечной системы перегородок в волноводе

ос ОС 5 ос 5

г = 0 5г. + + (о ьг. + * (о.52. + '•

п~0

2„. 22~ - импедансы взаимодействия клапана с л-ой нормальной волной в правой части волновода и со стоячими волнами в камере между перегородками симметричными ( 2* ) и антисимметричными ( ) относительно середины камеры,

7„ = рго'Л 1 - ХЦк- )' 21 = >2,, С»б(-»Д/2). 2~ = -\2п tg(^„¿/?)

Показано, что по частотным зависимостям коэффициентов отражения можно определить полосы пропускания в периодической системе перегородок в волноводе.

В исследуется возбуждение поршневым излучателем нормальных волн в плоском акустическом волноводе с абсолютно жесткими боковыми стенками. Излучатель, имеющий массу, подкреплен упругой пружиной, размещен в центре жесткого экрана, а экран расположен по центру абсолютно мягкой торцевой стенки полубесконечного волновода и занимает только половину сечения волновода. С учетом решения, найденного в §1 второй главы, задача сводится к скалярной задаче Римана для пары кусочно аналитических функций Ф ГАЫ(А) = Ф'(А) + и/(А). где ¡(X) = Ь<ЛЬ( ^ ), /(А) = £„=0 и - нормированное смещение поршневого излучателя. Факторизация функции д(Х) проводится с помощью техники бесконечных произведений и имеет вид

<Г(А) = д~(-Х)= ,у/гЛИН/2)У[(\ + А/->гпч,)(1

п = 0

Для акустического поля в волноводе получается представление в виде разложения по нормальным волнам Р(т,у) = и°п<3т,(г.у), о„ = где коэффициенты //, например, в случае, когда по

рпшепой излучатель полностью перекрывает экран (Л = Н/2). имеют вид

— 0.5 4- \ ¡(4кН [д~{к))2, = (-1)"/ ( д+(к)дЫп)(-)7„ + к)Н ).

= (-1)"?"("'2п-|)?гл-1/(^(*К-'2„-1 - к)кН). и= рс/г.г = + =

ГШ о-

Показано, что зависимость | а0 |* от частоты имеет резонансный характер, со сдвигом резонансной частоты по отношению к собственной частоте поршня в вакууме в область низких частот.

В §7 исследовано стационарное возбуждение односторонним поршневым излучателем нормальных волн в плоском акустическом волноводе с абсолютно жесткими боковыми стенками. Излучатель размешен в центре жесткого экрана по одну его сторону. Экран расположен по центру бесконечного волновода и перекрывает половину его сечения. Излучатель, имеющий определенную массу и подкрепленный упругой пружиной, колеблется йод действием силы, гармонически

зависящей ог времени . Решение задачи получается о использованием результатов §1 и §6.

Частотные зависимости амплитуд нормальных волн, возбуждаемых в волноводе, имеют резонансный характер со сдвигом резонансной частоты, на которой имеется максимум частотной зависимости. По сравнению со случаем "поршень в вакууме" собственная резонансная частота сдвинута в область низких частот. Изобары и линии равных фаз акустического поля как перед излучателем, так и со стороны жесткого экрана, указывают на существование в волноводе точек, вокруг которых циркулирует поток энергии.

В §8 изучено рассеяние нормальных волн подвижным клапаном в экране, частично перегораживающем, как и в §7. канал бесконечного акустического волновода с абсолютно жесткими боковыми стенками. Для коэффициента отражения набегающей волны И'0"(т,у) получено выражение г0о = Z.Z / (4(Z. + Z)). В предельном случае, когда масса клапана стремится к бесконечности, выражение для г0о превращается в известное выражение для коэффициента отражения от неподвижного клапана. Отметим, что на собственной частоте клапана г00 — 0. Вся колебательная энергия падающей волны проходит полностью через сечение, в котором расположен клапан. Имеется также частота Л', на которой | г0о |г= Эта частота меньше частоты зарождения первой нормальной волны в волноводе fíj = -тт. На частоте ГУ колебание клапана под действием падающей на него нормальной волны нулевого порядка создает в сечении волновода слева от себя такое распределение давления Р( —0.у). которое ортогонально распределению давления в падающей нормальной волне Р0{-0,у) в этом сечении. Соответственно в сечении справа от клапана распределение давления в волноводе получается . как при отражении падающей волны от абсолютно жесткой стенки, перекрывающей волновод

В 59 исследовано рассеяние нормальных волн на подвижном клапане в волноводе, частично перегораживающем его сечения. Геометрия задачи и граничные условия такие же как и в задаче, решенной в §3 главы 1. только вместо экрана в волноводе размещен массивный кла-

пан. подкрепленный упругой пружиной.

Задача сводиться к неоднородной задаче Римана отличающейся от задачи Римана в §3 главы 1 лишь неоднородным членом. Получено представление акустического поля в волноводе в виде разложения по нормальным волнам. Для коэффициента отражения n-й волны гпп имеем выражение rnl) = r„„ + QtQ„/Z, где г„„ - коэффициент отражения падающей волны Ф/(г,1/) от неподвижного экрана, формула для которого получена в §3 главы 1. 2 - 2. + £¡¡1, ft«(?.. = 1 )"*,

Q п = >о„-/,1г.„.

Проведено аналитическое и численное исследование амплитуд нормальных волн и акустических полей, возбуждаемых излучателем в волноводе.

В 5Ю продолжено исследование поведения клапана в волноводе, начатое в преды^щем параграфе. Рассмотрена задача о возбуждении клапаном акустического поля в волноводе.

В главе 3 исследована дифракция волн в полноводных структурах с деформируемыми экранами или стенками.

В 51 рассматривается распространение изгибной волны в бесконечной пластине, имеющей постоянную поверхностную плотность р0. В точках Л/„(па,0), где п = 0, ±1, ±2,.. ., к пластине прикреплены точечные массы величиной т - экраны с нулевой отражательной поверхностью.

С использованием аппарата (- функции Дирака введена в рассмотрение переменная плотность пластины р(т,у) = р0 + — па, 0).

Уравнение изгибных колебаний пластины для ее смещения U(r,y) имеет вид ( Д2 - р(х,у)ш2 )1'(г,у) = 0. Задача нахождения вибрационного поля в пластине, возбуждаемого плоской изгибной волной 1/0(т,у), допускает решение, так как функция Грина

2{т.у) = '-(Н^Ыг)- -К0Ыг))

о Я 1

безграничной однородной пластины непрерывна в точке размещения масс. Искомые смещения масс Г(ля.О) определяются из решения системы линейных алгебраических уравнении

Т CV

пь П) = ШЕ- У* Г{п1.0)2Ца - TTfl 0) + Гс{1п 0). / = 0 ±1 ±2

Рг ^

'1 Г,

которая допускает точное решение.

Находится коэффициент прохождения и коэффициент отражения плоской изгибной волны для периодической структуры точечных препятствий. численно исследуются зависимости модуля этих коэффициентов от параметров задачи. Показано, что существуют частоты, па которых падающая волна полностью отражается от решетки масс.

К решенной задаче сводится задача об отражении изгибной волны от прямолинейного стержня, скрепленного с пластиной в периодическом наборе точек. Находится эквивалентная масса препятствия и проводится исследование зависимости коэффициента отражения от частоты падающего поля.

В §2 исследована дифракция плоской акустической волны на пластине с двоякопериодическим набором точечных нарушении свойств.

В первой модели пластина нагружена набором сосредоточенных масс. При облучении такой пластины некоторым полем возникают отраженное и прошедшее поля, обусловленные наличием самой пластины. а также дополнительное дифракционное поле, создаваемое сосредоточенными массами. Вклад этого дополнительного поля определяет изменение звукопрозрачности пластины.

Во второй модели рассматривается звукопрозрачность системы, состоящей из двух параллельных пластин, каждая из которых снаружи находится в контакте с внешней средой, причем пластины жестко соединены между собой в дискретном наборе точек. Предполагается, что между пластинами — вакуум, тогда процесс прохождения акустических волн через такую систему будет всецело обусловлен наличием точечных контактов между пластинами. В обеих моделях учитываются лишь изгибные движения пластины. Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения падающей волны и коэффициенты ее трансформации в нормальные волны двоя-копериодической волноводной структуры. Проведено численное исследование зависимости коэффициента отражения от частоты падающего поля. Показано, что существуют частоты на которых есть полное отражение падающей плоской волны.

В рассмотрено рассеяние акустических волн на тонкой пластине, разделяющей две различные акустические среды в плоском бесконечном волноводе с абсолютно жесткими стенками. Развита идея решения подобных задач, предложенная в работе [7] и до сих пор не реализованная. Согласно этой идее решение для изгибного смещения, которое удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка — уравнению Кирхгофа, ищется в виде суммы разложения по формам нормальных волн в волноводе (частное решение неоднородного уравнения) и общего решения однородного уравнения. Последние слагаемые содержат постоянные, с помощью которых в конце кондов удается удовлетворить гранично-контактным условиям, задающим механический режим поведения концов пластины. Выражения для акустических давлений в волноводе содержат два типа слагаемых, которые соответствуют двум типам слагаемых в изгибном смещении пластины. Принята следующая методика решения задачи: сначала находятся коэффициенты, определяющие частное решение неоднородной задачи, затем через коэффициенты в общем решении однородной задачи выражаются искомые амплитуды нормальных волн в волноводе и только в последдюю очередь из гранично-контактных условий определяются коэффициенты общего решения однородной задачи.

Для коэффициента отражения от пластины и трансформации 1-й нормальной волны в п-ю нормальную волну получено выражение

г„, = п, + 2( -1)'-" Z\¡2\"?:-7 ( yr¡íZZ,Z„ ),

где R¡ - коэффициент прохождения через безграничную пластину, разделяющую две акустические среды, которые заполняют волноводы. Z1/'- импедансы излучения в н-е нормальные волны волноводов. j = 1 для части волновода по которому набегает /-я нормальная волна и j = 2 для части волновода с другой стороны пластины. Zf¡ - импеданс пластины для n-ймоды. Z„ = Z'„"+Zl,:'+ Z^ - суммарный импеданс волноводов, и упругой пластины для г,-й моды. Z = ( Х!Г=о(¡nZ,,)'1 )"' есть полный импеданс пластины 3 импедансу излучения во все нор-

мальные волны волноводов. Проведено численное исследование коэффициентов прохождения, отражения и трансформации нормальных волн от частоты падающего поля, отмечены особенности этой зависимости по сравнению со случаем, когда пластина разделяет одинаковые акустические среды.

В исследован вопрос о существовании известных ранее лову-шечных мод в волноводе, перегороженном упругой пластинкой. Рассмотрена простейшая механическая модель — в качестве перегородки выбрана мембрана со свободными концами, перегораживающая волновод с жесткими стенками. Из-за простоты выбранной модели задача допускает элементарное решение, которое приводит к выводу о существовании ловушечной моды (собственной функции) [8]. Распределение давления в ловушечной моде локализовано вблизи мембраны. экспоненциально спадает при удалении от нее и антисимметрично относительно оси волновода. В силу того, что при всех частотах в волноводе существует симметричная нормальная волна поршневого типа, представляющей канал, по которому уносится колебательная энергия от упругой перегородки, существование собственного волнового процесса с симметричным распределением давления относительно оси волновода невозможно. Нарушение симметрии, например, за счет нарушения механических режимов поведения концов мембраны, приводит к появлению взаимодействия между симметричными и антисимметричными волновыми процессами относительно оси волновода. Исследование проведено на основании точного аналитического решения, когда один конец мембраны свободен, а другой конец отягощен массой. Для коэффициента отражения /-Й нормальной волны от мембраны и коэффициентов ее трансформации в п-ю нормальную волну получено выражение

Г„, = >,„/?,+ 2(-1 1 х/Г~Г/,7„ •

где ¡{-, - коэффициенты отражения и прохождения ,?-й нормальной волны при рассеянии на перегораживающей волновод мембране со свободными кондамп. 7,'"' импеданс мембраны в вакууме. 7„ импг-

дане излучения в п-ю нормальную волну полубесконечного волновода, 2„ — 2™> + ?2„ - суммарный импеданс мембраны и излучения в волноводы для п-й моды. 2и импеданс массы, 2 - ^22щ + 1

и _ __п=0

суммарный импеданс мембраны, массы и излучения в волноводы для всех мод волноводов.

Показано, что рассеяние нормальных волн на мембране носит резонансный характер,- В предельной ситуации, когда масса равна нулю и оба конца мембраны свободны, резонансные частоты переходят в собственные значения для собственных функций. Изменение величины массы, расположенной на конце мембраны, влияет на силу взаимодействия между симметричными и антисимметричными волновыми процессами в волноводе. Прослежена динамика перемещения положения резонансной частоты на комплексной плоскости частоты при изменении величины массы, расположенной на конце мембраны. Наличие комплексной частоты вблизи вещественной оси частоты проявляется в резонансном характере частотной зависимости коэффициента отражения и прохождения нормальных волн через мембрану. Построены графики зависимостей данных рассеяния нормальных волн от частоты возбуждающего поля при различных параметрах задачи. Резонансного Характер рассеяния нормальной волны на мембране с нарушенной симметрией поведения ее концов доказывается исследованием изменения аргумента коэффициента отражения от частоты возбуждающего поля.

В §5 рассмотрено стационарное рассеяние акустических волн на двух одинаковых упругих пластинах, перегораживающих волновод и расположенных на расстоянии 2Ь друг от друга. В областях между пластинами и вне их находятся различные акустические среды. Стенки волновода — абсолютно жесткие. Получено точное аналитическое решение задачи. При этом решены две вспомогательные задачи о рассеянии волн в полубесконечном волноводе, на конце которого находится камера. Камера образована стенками волновода и упругой пластиной, размешенной на расстоянии £ от конца волновода. Боковые стенки камеры —' абсолютно жесткие, а^горцевая стенка камеры

в одной задаче - абсолютно жесткая (симметричная'часть задачи), в другой — абсолютно мягкая (антисимметричная часгь задачи).

Задачи решены с развитием методики, использованной в §3. Для коэффициентов отражения (п = /) и трансформации в п-ю нормальную волну 1-й падающей нормальной волны в симметричной (г*,; и антисимметричной (г~,) задачах получены выражения

^ = Ьп п? + 21 -1)'-" ( п ).

Щ - коэффициент отражения /-й волны от безграничной однородных пластины, находящейся на расстоянии Ь от жесткой (-(-) и мягкой (-) и разделяющей те же среды, что размещены в волноводе. 2„ -импеданс излучения пластины в п-ю нормальную волну волновода. 2^ - волновое сопротивление резонатора для п-и стоячей волны в камере, 2?' - импеданс пластины для п-п моды, 2Ц = 2„ + 2^ + 2Ц1 - суммарный импеданс волновода, упругой пластины и камеры для "-й моды, 21 = ( ИГГо' -'"^) 1) 1 есть полный импеданс системы из полубесконечных волноводов, камеры и пластины для всех мод.

Для коэффициента отражения и трансформации /-й нормальной волны (гп|) от двух упругих перегородок получено выражение

Приведены результаты аналитического и численного исследования зависимостей коэффициентов отражения в первой, второй задаче и в задаче о двух перегородках в волноводе. Анализ в задаче о двух перегородках становится возможным после проведенного анализа первой и второй задачи. Показан резонансный характер рассеяния нормальных волн на камере в волноводе, выявлено влияние собственных частот камеры, которые она имеет в случае, когда не контактирует с волноводами, на коэффициенты отражения и прохождения нормальных волн.

В §0 рассмотрено стационарное рассеяние акустических волн на перегородке. разделяющей плоские полубесконечные волноводы. Стенки одного волновода абсолютно жесткие, другого - абсолютно мягкие.

В качестве перегородки рассматривается изгибно колеблющаяся пластина. В силу того, что поперечные формы нормальных волн двух волноводов неортогональны между собой, использование методики, развитой в не приводит в решаемой задаче к точному аналити-

ческому решению, однако позволяет получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором, допускающую численное решение методом редукции. Приведены результаты численного исследования зависимостей от частоты падающего поля коэффициентов отражения по энергии нормальных волн. Проведено сравнение результатов со случаем, когда пластина разделяет одинаковые волноводы. Смещение максимумов коэффициента отражения по энергии поршневой моды в случае различных волноводов в область низких частот по сравнению с одинаковыми волноводами, что объясняется разницей присоединенной массы, которая в первом случае больше, чем во втором. Результаты сравниваются и со случаем, когда разные волноводы разделены подвижным клапаном. Этот случай рассмотрен в §4 главы 2. Возможность изменения формы пластины приводит к появлению в частотной зависимости квадрата модуля коэффициента отражения дополнительных максимумов, когда падающая нормальная волна поршневого типа полностью отражается назад. На соответствующей частоте пластина так изгибается, что принимает форму, ортогональную смещению акустической среды вблизи нее. Этот факт следует из анализа результатов численных расчетов проекции смещения пластины на форму поршневой волны, которая возбуждает колебания в системе.

п и- и __«# ___

В рассмотрено рассеяние плоской акустической волны на тонкой упругой пластине, совершающей изгибные колебания. Пластина прикреплена к периодическому набору прямоугольных акустических резонаторов и служит одной из стенок для резонаторов. Другие три стенки резонатора — абсолютно жесткие. Здесь, как и в §0. формы нормальных волн в полупространстве, которые возбуждаются в силу квазинериодичности акустического поля, не ортогональны формам стоячих волн возбуждаемых в резонаторах. Задача сводится к бес-

конечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором для амплитуд форм колебаний пластины. Система решалась численно методом редукции. В случае нормального падения плоской волны на пластину задача имеет точное решение, которое совпадает с решением задачи 1 об отражении поршневой волны от камеры, размещенной на конце полубеско-вечного волновода и отделенной от волновода упругой пластиной. При численном исследовании это обстоятельство позволило контролировать точность расчетов. Исследования показали резонансный характер частотной зависимости коэффициента отражения от пластины падающей плоской волны. При исследовании зависимости модуля коэффициента отражения плоской волны от утла падения показано, что на характер зависимости влияет перераспределение колебательной энергии между различными порядками рассеиваемых нормальных волн. Эта причина приводит к большей изрезанности в частотной зависимости коэффициента отражения по энергии при наклонном падении по сравнению с нормальным.

В §8 рассмотрено возбуждение пластиной стационарных волн в полубесконечном акустическом волноводе г > 0. О < « < й с абсолютно жесткими стенками. Тонкая упругая пластнна. совершающая изгиб-ные колебания, частично перекрывает жесткую торцевую стенку волновода. Концы пластины жестко заделаны в стенку волновода. Колебание пластины вызывают силы, действующие на нее. При использовании методики решения задач, развитой в §6-§7. задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором, допускающей численное решение методом редукции. Система решалась численно для случая равномерно распределенной и для случая точечной внешней силы, действующей на пластину. В частном случае, когда пластина полностью перекрывает торец волновода, получено точное аналитическое решение бесконечной системы.

Акустическое поле в волноводе представлено в виде разложения по нормальным волнам волновода. При действии на пластину сил.

имеющих распределение, симметричное относительно ее середины, имеем для акустического давления представление

к

Г1г.у)= ^Г --Ь„ С05(2тп(у - 1111)111 )ехр(1\/^ - П-пу/Л

= 0

где для амплитуды возбуждаемых нормальных волн имеем

ос

•■»> = г3„/г,„ (л, -

■ -0

- входной импеданс пластины, размещенной в торце волновода с жесткими стенками, для 2п-й формы колебаний, ¿2„ = 4- -

импеданс пластины в вакууме. '¿2п - импеданс излучения в 2г,-ю нормальную волну волновода. /2„ - коэффициенты Фурье для плотности внешних сил. действующих на пластину.

ОС

/<у)= га;{2тг-.(у- Я/2)/Я)

г.=0

Проведено аналитическое и численное исследование амплитуд нормальных волн, возбуждаемых пластиной в волноводе.

В §9 исследуется спектр нормальных волн и определяется матрица рассеяния для плоского волновода с упругими стенками и расположенной внутри него полубесконечной упругой пластиной. Механический режим поведения упругих пластин описывается дифференциальными операторами общего вида. Для однозначной разрешимости этой задачи следует сформулировать дополнительные гранично-контактные условия, описывающие механическое поведение кромки полубесконечной пластины, находящейся внутри волновода. Исследуется спектр нормальных волн, возбуждаемых в бесконечном волноводе с произвольными боковыми и бесконечной внутренней упругой стенками. В частном случае при нулевых механических параметрах внутренней пластины получен спектр бесконечного волновода с двумя упругими стенками. В качестве возбуждающего поля выбрана одна из распространяющихся без затухания нормальных волн волновода с внутренней упругой стенкой. Задача сводится к скалярной краевой задаче Рим ал а для"'аналитичр<^кпх функций. Факторп-

запил функции в однородной задаче Рим ал а проводиэся с использованием техники бесконечных произведений. Полученное общее решение содержит некоторое количество постоянных, которые находятся из решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при удовлетворении гранично-контактных условий на кромке внутренней упругой пластине. Формальное применение гранично-контактных условий приводит к расходящимся интегралам, что характерно для гранично-контактных задач математической физики. Указывается регуляризация интегралов, возникающих при удовлетворении гранично-контактным условиям общего вида. Приводятся аналитические выражения для матрицы рассеянии нормальных волн на полубескопечной упругой пластине в волноводе с упругими стенками. В §10 рассмотрено обобщение задачи, рассмотренной в §2 главы 1, в которой импедансные стенки заменены одинаковыми упругими стенками. Граничные условия, задающие механический режим стенок волновода и содержащие производные высокого порядка не конкретизируются. Источником поля служит набегающая из глубины волновода собственная акустическая волна. Изучается дифракция этой волны на идеальном экране высотой в половину ширины волновода. Экран считается либо абсолютно жестким (условие Неймана), либо абсолютно мягким (условие Дирихле). Для однозначной разрешимости задачи ставятся дополнительные гранично-контактные условия, задающие режим прикрепления экрана к боковой стенке волновода, и учитывается отсутствие механического дефекта на противоположной стенке волновода.

Задача сводится к решению матричной задачи Римана для четырех пар кусочно аналитических функций. Для факторизации скалярных функций при решении однородной матричной задачи Римана используется техника интегралов типа Копш. Строится общее решение задачи, которое содержит некоторое количество произвольных постоянных. Постоянные определяются из гранично-контактных условий. Указана процедура регуляризации возникающих при этом интегралов. В качестве примеров построены решения для случая, когда

стенками служат способные лишь к изгибным колебаниям пластины, и гранично-контактные условия, необходимые для однозначной разрешимости задачи выбраны здесь так, что описывают спай экрана и одной из пластин.

В ПРИЛОЖЕНИИ показано применение обобщенной матрицы рассеяния к вычислению собственных частот с кусочно-однородными идеальными стенками: абсолютно мягкими и абсолютно жесткими.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ изложены основные результаты работы.

3. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен систематический метод сведения задач дифракции волн на неподвижных и подвижных экранах в полноводных структурах к задаче Рим ала для аналитических функции.

2. Получено описание матриц А'-го порядка, допускающих коммутативную факторизацию в однородной задаче Римана. Приведены формулы, дающие решение однородной задачи Римана с выделенным классом матрид А'-го порядка.

3. Получены точные аналитические решения задач дифракции акустических волн на подвижных поршнях (клапанах) в жестком экране, перекрывающем полностью сечение волноводной структуры. Решены задачи рассеяния и излучения волн.

4. Получены точные аналитические решения задач дифракции акустических воля на неподвижных и подвижных клапанах в жестком экране, перегораживающем наполовину сечение в волноводной структуре. Для неподвижных экранов решены задачи рассеяния волн, а для подвижных — задачи рассеяния и излучения волн.

5. Проведен аналитический и численный анализ характеристик рассеяния и излучения волн в полноводных структурах с неподвижными и подвижными экранами от параметров задачи. Показано влияние механического импеданса подвижного экрана на характеристики рассеяния и излучения волн в волноводной структуре.

6. Получены точные аналитические решения задач дифракции акустических волн на одной и двух упругих пластинах перегораживающей волноводную структуру и разделяющих акустические среды

*

с различными свойствами. Проведено аналитическое и численное исследование резонансного рассеяния волн на таких препятствиях в волноводе.

7. Получено точное аналитическое решение задачи дифракции нормальных волн на упругой мембране, перегораживающей акустический волновод с абсолютно жесткими стенками. Решение получено при условии, что один конец мембраны свободен, а другой отягощен массой. Показано, что рассеяние нормальных волн носит резонансный характер. В предельной ситуации, когда масса равна нулю и оба конца свободны, резонансные частоты переходят в собственные значения для возникающих собственных функций. На основе точных аналитических решений проведено численное и аналитическое исследование данных рассеяния от частоты возбуждающего поля.

8. Показано, что задача дифракции акустических волн на упругой пластине, разделяющей различные волноводные структуры, сводиться к решению бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с вполне непрерывным оператором, допускающей численное решение методом редукции. Приведены результаты численного исследования зависимостей от частоты падающего поля коэффициентов отражения по энергии нормальных волн.

9. Решена задача о возбуждении пластиной акустического поля в полубесконечном волноводе с жесткими стенками. Тонкая упрутая пластина, совершающая изгибные колебания частично перекрывает торцевую стенку волновода. Задача сведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнении второго рода с вполне непрерывным оператором, которая решается численно методом усечения. Получено точное аналитическое решение задачи в случае, когда пластина полностью перекрывает торец волновода. Проведено аналитическое и численное исследование амплитуд нормальных волн, возбуждаемых пластиной в волноводе.

11. Методом Винера-Хопфа получены точные аналитические решения задач дифракции нормальных волн в волноводе с упругими стенками на полубесконечной пластине, расположенной вдоль сече-

пия волновода, и идеальном экране, перегораживающем наполовину сечения волновода.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л.А. Вайнштейн. Теория дифракции и метод факторизации. - М.: Советское радио. 1966. 432 с.

2. Шестопалов В.П.. Литвиненко Л.Н.. Масалов В.Г.. Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. - Харьков, Изд-во Харьковского ун-та. 1973. 278 с.

3. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.. Изд-во иностранной литературы. 19С2. 279 с.

4. Миттра Р.. Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.. Мир. 1974. 327 с.

5. Чеботарев Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачи Римана для системы г.-пар функций. - Уч. зал. Казанского ун-та. 1956. т. 116. вып. 4. с. 45-50.

6 Храпков А. А. Некоторые случаи упругого равновесия бесконечного клина с несимметричным надрезом в вершине под действием сосредоточенных сил. - Прикладная математика и механика. 1971. т. 35. вып.4. с. 677-689.

7. Лейбензон Л.С. О натуральных периодах колебания плотины, подпирающей реку. - Сборник трудов, т. 1. Теория упругости. М.. Издательство АН СССР. 1951. с. 157-161.

8. Малюжинец Г.Д. Пример двумерных собственных функций с конечной энергией в бесконечном волноводе. - Тр. Акуст. ия-та. М.: 1971. вып. 15. с. 70-73.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные положения и полученные научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коузов Д.П.. Лукьянов В.Д. Влияние точечных неоднороднос1ей на акустические процессы в тонкой пластине. - VIII Всесоюзная акустическая конференция. 1971. Рефераты докладов, с. 83-85.

2. Белинский Б.П.. Коновалюк И.П.. Коузов Д.Л., Лукьянов В.Д., Паятгн В.А. Гранично-контактные задачи акустической пифра1ч^ии.

VI Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. Краткие тексты докладов. М.-Ереван, 1973, т. 2. с. 82.

3. Коузов Д.П.. Лукьянов В.Д. Влияние точечных неоднородностей на колебания тонкой пластины. - Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1975. т. 18, N4, с. 117-123.

4. Коузов Д.П.. Лукьянов В.Д. О звукопрозрачности тонкой упругой пластины, подкрепленной в дискретном наборе точек. - Акустический журнал. 1976, т. 22. N1, с. 43-52.

5. Коузов Д.П.. Лукьянов В.Д. О векторе потока энергии для из-гибных колебаний пластины. - Прикладная математика и механика, 1970, г. 40. в. 6. с. 1131-1135.

С. Вешев В.А.. Клюкин И.И.. Коузов Д.О.. Лукьянов В.Д. О распространении колебательной энергии в тонкой упругой пластине постоянной ширины. - Акустический журнал, 1977. т. 23. вып. 2. с. 228-233.

7. Лукьянов В.Д. Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно падающей плоской волны. - Доклады Академии Наук СССР, 1980, т.255. N1. с. 78-81.

8. Лукьянов В.Д. Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно падающей плоской волны. - Журнал технической физики. 1981. г. 51. .МО. с. 2001-20ОС.

9. Левицкий Л.А.. Лукьянов В.Д. Дифракция акустических волн на идеальном экране в плоском волноводе с тонкими упругими стенками. - Прикладная математика и механика. 1981, т. 45. вып. 1. с. 145-153.

10. Левицкий Л.А., Лукьянов В.Д. Никитин Г.Л. Дифракция волн на идеальных экранах в волноводах. VIII Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн, тексты докладов. М.. 1991. т. 1. с. 317-320.

11. Лукьянов В.Д. О решении краевой задачи Римаяа для системы Л'-пар функций. - Доклады Академии Наук СССР. 1983. т. 271. N2. с. 291-293.

12. Лукьянов В.Д.. Никитин Г.Л. О рассеянии электромагнитных волн в плоском волноводе с двухсторонней диафрагмой. - Журнал технической физики. 1984. т. 54. N5. с. 8G5 871.

13. Лукьянов В.Д. Об уравнениях для собственных частот резонаторов с кусочно-однородными стенками. - Журнал технической физики. 1985. т. 55. N5. с. 969-972.

14. Лукьянов В.Д. О возбуждении электромагнитных волн в кусочно-однородном волноводе. - Журнал технической физики, 1985. т. 55, N6. с. 1041-1047.

15. Лавров Ю.А.. Лукьянов В.Д. О матрице рассеяния в волноводе с упругими стенками. - Прикладная математика и механика. 1985. т. 49. вып. 5. с. 871-873.

16. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. Рассеяние акустических волн на упругой пластине разделяющей две различные жидкости в волноводе. - Акустический журнал. 1990. т. 36. N1. с. 68-75.

17. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. Рассеяние плоской акустической волны на упругой пластине подкрепленной периодическим набором акустических резонаторов. - Международная конференция по борьбе с шумом и вибрацией. Noise-93. St. Petersburg. Russia. Доклады, Санкт-Петербург. 1993. с. 85-89.

18. Lukjanov V.D.. Nikitin G.L. About influence eigenprocess on scattering a normal wave by a diaphragm in acoustic waveguide. - Day on diffraction'!^. International seminar. Abstracts. St. Petersburg. 1994. p. 28.

19. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. Рассеяние акустических волн на перегородке, разделяющей волноводы с различными стенками. - Акустический журнал. 1994. т. 40. N5. с. 822-828.

20. Левицкий Л.А.. Лукьянов В.Д. Дифракций электромагнитных волн на идеальном экране в плоском волноводе с импедансными стенками. - Радиотехника и электроника. 1994. т. 39. N10. с. 1570-157G.

21. Лукьянов В.Д.. Никитин Г.Л. О рассеянии плоской акустической волны на периодическом наборе поршневых излучателей, размещенных в жестком экране. - Записки научных семинаров ПОМИ. т. 230.

Математические вопросы теории распространения norm. 25. Санкт-Петербург. Наука. 1995. с. 125-137.

22. Лукьянов В.Д.. Никитин Г.Л. О резонансном рассеянии нормальных волн мембраной в акустическом волноводе. - Акустический журнал. 1996. т. 42. N5. с. 653-G6Ü.

23. Лукьянов В.Д.. Никитин Г.Л. О рассеянии нормальных волн на двух перегородках в акустическом волноводе. - Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", Санкт-Петербург. Изд-во института проблем машиноведения. 199G. с. 188-20С.

24. Lukjanov V.D., Nikitin G.L. Scattering of н plane acoustic wave on an elastic plate joined with a periodic set of acoustic resonators. - Day on difFract.ion'P4 International seminar. Abstracts, St. Petersburg. 1997. c. 29.

25. Лукьянов В.Д.. Никитин Г.Л. Об отражении нормальных волн от диафрагм с подвижными клапанами в волноводе. - Труды XXIV школы- семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", Санкт-Петербург. Изд-во института проблем машиноведения. 1997, с. 210-218,

26. Лукьянов В.Д. О возбуждении упругой пластиной акустического поля в полубесконечном волноводе с жесткими стенками. - Труды XXIV школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург. Изд-во института проблем машиноведения. 1997. с. 264-271.

27. Лукьянов В.Д. Излучение акустических волн поршневым излучателем в жестком экране, частично перегораживающем волновод -Прикладная математика и механика. 1997. т. 61. вып. 4. с. 628-638.

28. Лукьянов В.Д. Матричная задача Римана и задача о возбуждении поршневым излучателем нормальных волн в акустическом волноводе. - Записки научных семинаров ПОМИ. т. 239. Математические вопросы теории распространения волн. 26, Санкт-Петербург. Наука. 1997. с. 129-132.

Подписано в печать 30.10.97. Тирах 100. мл

Заказ ¿У?. ЯГПП "Курс" W I

/