Исследование уравнения Шредингера для кристаллической поверхности с нелокальным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Плетникова Наталья Ивановна

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

оозот юэо

Ижевск — 2007

003071090

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет"

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, старший научный сотрудник Ю П Чубурин Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор В А Юрко доктор физико-математических наук, профессор Г.Г Исламов Ведущая организация — Воронежский государственный

университет

Защита состоится 6О UJCUf 2007 г в /4 ОО ч на заседании специализированного совета К 212 275 04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет" по адресу 426034, г Ижевск, ул Университетская, д 1, корпус 4, ауд 222 e-mail irm@um udm ru

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет"

Автореферат разослан № апреля 2007 г

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Н Н Петров

Общая характеристика работы

Актуальность темы Уравнение Шредингера - одно из основных уравнений квантовой физики В первой половине прошлого века данное уравнение изучалось математиками, в основном, для достаточно быстро убывающих на бесконечности потенциалов, что соответствует уединенному атому В последующие десятилетия изучение физиками электронов в кристаллах (металлах и полупроводниках) вызвали интерес математиков к уравнению Шредингера с периодическим потенциалом Эти и другие исследования были подытожены в известной монографии М Рида, Б Саймона "Методы современной математической физики" [1]-[4], книге Ф А Березина, М А Шубина "Уравнение Шредингера" [5] и монографии В Кирша, X Цикона и др [6] В последнее время, опять-таки, в значительной степени в связи с потребностями физики, а именно, бурно развивающейся физики поверхности, появились математические работы (Y Herczynski [7], Е В Davies, В Simon [8], ЮП Чубурин [9]-[13] и др ) в которых рассматривается оператор Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической пленке, полуограниченному кристаллу Ii ш ( мопс mil с ф}М)рс> Такою рода операюры занимают промежуточное положение между операторами Шредингера для уединенного атома и для бесконечного кристалла Отметим, что в математических статьях и монографиях потенциал представляет собой, как правило, оператор умножения на функцию (локальный потенциал) Вместе с тем, операторы потенциальной энергии изначально не являются локальными, и в физике активно используются нелокальные потенциалы Операторы Шредингера с нелокальным потенциалом изучались лишь относительно небольшом числе математических работ (см например, [14]-[16]) Это говорит об актуальности математического исследования оператора Шредингера с нелокальным потенциалом

Цель работы Изучение спектральных свойств, в частности, собственных значений и резонансов, оператора Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки Нахождение асимптотики собственных функций

данного оператора Решение прямой и обратной задач рассеяния

Методы исследования В работе используются методы функционального анализа и спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных

Научная новизна В работе рассматривается оператор с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки Исследованы общие спектральные свойства этого оператора Получены условия существования уровней (собственных значений и резонансов), найдены асимптотические формулы для уровней Изучено поведение (обобщенных) собственных функций на бесконечности Доказана теорема существования и единственности для уравнения Липпмана-Швингера, найдены формулы для коэффициентов отражения и прохождения Обратная задача рассеяния сведена к решению сингулярного интегрального уравнения Получена теорема единственности решения обратной задачи

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут найти применение к квантовой теории твердого тела

Апробация диссертации Материалы диссертации докладывались и обсуждались

- на Ижевском городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории оптимального управления под руководством профессора Е Л Тонкова (2004 г , 2005 г),

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVм (2004 г), "Понтрягинские чтения - XVIм (2005 г),

- на 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2006 г),

- на научной конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (г Ижевск, 2006 г)

Публикации Основные результаты диссертации отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация объемом 100 страниц состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, состоящего из 51 наименования

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор основных результатов в исследовании оператора Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической поверхности Отмечены работы, в которых исследуются операторы с нелокальными потенциалами Обосновывается актуальность темы исследования, пояснена ее научная ценность Дан краткий обзор содержания работы по главам

Для функций ф(х) таких, что

Ф ъеьЧв.) 0 = 1, ,п) (1)

введем обозначение

(Ф,<Рз) = J ^(x)<p1{x)dx 0 = 1, ,п)

R

Основной объект, который рассматривается в диссертации (для различных классов функций) - это уравнение Шредингера вида

+ Уов{х)ф{х) +^Г\3{Ф^3)Ч,]{Х) = Еф(х) (2)

3 = 1

Здесь Vo — const < 0 (данное предположение не уменьшает общности), в(х) -функция Хевисайда, 0 ф Х3 ей для всех j = 1,. , n, Е - спектральный параметр Относительно (комплекснозначных) функций tpi (х), , <рп(х) предполагаем, что они линейно независимы и удовлетворяют для любого j = 1, , п неравенству вида

(3)

где (ij = const > 0, далее функции, удовлетворяющие неравенствам вида (3), будем называть экспоненциально убывающими

Уравнение (2) относится к интегро-дифференциальным уравнениям,

п

"нелокальная" часть Aj( ^Ч>])Ч>3 потенциала 3=1

П

V = Vq6(X) + Xj ( , tpj)ip] j=i

- это самосопряженный оператор конечного ранга Потенциал V моделирует поверхность твердого тела Положим

¿2 п

j=i

и

H = ~ + v0ew

Уравнение (2) можно записать в виде

Hni> = Еф (4)

Ненулевые решения ip(x) уравнения Шредингера (4), удовлетворяющие условию (1), назовем (обобщенными, если ip(x) ^ L2(R)) собственными функциями оператора Нп

Введем обозначение для резольвенты оператора Н, полагая

R{E) = (Я - Е1)~1

В дальнейшем ядро резольвенты (являющейся интегральным оператором), вообще говоря, продолженное по параметру Е на второй лист соответствующей римановой поверхности, будем для краткости называть функцией Грина оператора Н и обозначать G(x,y,E,V0)

Функция Грина оператора Н имеет ветвление вокруг двух точек Е — О, Е = Vo Соответственно, резонансы следует определять в двух вариантам

При условии Е $ [Vo, +оо) приведем уравнение (2) к интегральному

виду

п

Ф(х) = Я, У0), (5)

j=i

где

I3 (я, Е, V0) = Jg(x, у, Е, V0)<p3 (у)

R

dy

(6)

Определение 1 Под резонансом оператора Нп будем понимать такое Е на втором листе римановой поверхности функции (7(ж, у, Е: Уо) в окрестности нуля с 1т\/£ < 0 (или в окрестности точки У0 с 1ту/Е — 1/о < 0), для которого существует ненулевое решение уравнения (5), удовлетворяющее условию (1)

Определение 2 Уровнем Е оператора Нп будем называть собственное значение или резонанс данного оператора, а также соответствующее Е число к = \[Ё (или х = у/Е — Уо)

Положим

V(E,V0)

1 + \i{h,tpi) A2(/2,¥>i) М^ъУг) 1 + А 2(h,<P2)

A„(/n,'/'i) An(Jn,V2)

(7)

M(h,Vn) M{h,<Pn) 1 + An (In,fn)

где Ij задается формулой (6) Здесь, для краткости записи, опущены аргументы для функций Ij(x,E,V0) Уравнение V(E,Vo) — 0 определяет уровни оператора Нп

Рассмотрим оператор Шредингера в L2(R3) вида

Н = - A + V09(x3),

где Д - оператор Лапласа Положим П = [0,1]2 х R (множество П называется ячейкой), П* = [—7г, 7г)2 (ячейка в обратной решетке) Будем пользоваться обозначениями п|| = (п^пг) € Z2 и n = (ni,ri2,0), атакже/сц = {ki,k%) € П*, fc|| - это квазиимпульс и k = (fci,fc2,0)

Определение 3 Елоховские по переменным xi и Х2 функции -это сужения на Q функций f(x), определенных на R3 и удовлетворяющих равенству

/(® + n) = e,(fcii'n")/(®)

Самосопряженный оператор Н, действующий в Ь2(113), допускает разложение в прямом интеграле пространств

/ФЬ2(Г2)Лц ={ Ь2(П х П*) = Ь2(1Г,£2(П)) У а-

Таким образом, исследование Н сводится к изучению семейства операторов Н(к\\) = —А + Ц)в(хз), которые действуют Ь2(П) и определены на (достаточно гладких) блоховских по переменным х\ и Х2 функциях

Результаты, полученные для многомерного случая, относятся к оператору

Я1(/гц) = Н{к\\) + Ах( ,¡¿>1)^1,

действующему в ячейке П, и они аналогичны результатам одномерного случая (см ниже)

В первой главе диссертации изучаются общие спектральные свойства оператора Нп, а также вопрос о существовании и поведении уровней этого оператора при различных предположениях

Перечислим основные результаты первой главы Показано, что спектр а{Н) (оператора Н) совпадает с [Ко, +оо) Из теоремы о компактных возмущениях следует, что стевв(Нп) = <?{Н) = [К0, +оо) (сгеВв(Нп) - существенный спектр оператора Нп) Обозначим через V совокупность уровней Е > Vо оператора Нп Доказано, что множество (Ко, +оо)\Р состоит из точек абсолютно непрерывного спектра

Описана асимптотика обобщенных собственных функций оператора Нп при х —> ±оо

ТеоремаЗб Пусть Е - уровень, тогда соответствующее решение уравнения (5) имеет вид

■ф{х) = в{х)Р1(к,х)ег><х +в(-х)Р2(к,х)е-'кх +ф)

(Коэффициенты Рх{к^х) и Р2{к,х) выписываются явно, функция г)(х) экспоненциально убывает)

Сначала исследуются уровни оператора Нп вблизи нуля

Теорема46 Пусть Vo = const ф 0 Тогда для всех достаточнс малых Ai, Лг, , Ап уровни к оператора Нп в окрестности нуля отсут ствуют

В следующей теореме предполагаем, что между переменными к и м существует зависимость вида х — Ак, где А = const, А ф О, А ф ±1

Теорем a 47 Пусть Xj = Bje'11 + о(e7j)> By = const 6 R 7j = 1,2, , j = 1, , n Тогда для достаточного малого е оператор Нп имеет п уровней к в окрестности нуля, возможно, сливающихся при ut более, чем конечном числе значений е

При п = 1,2 найдены асимптотические формулы для уровней к оператора Нп

В следующей теореме предполагаем, что Vo(Ai) = —ВХ[ + о(А7) Теорема48 Пусть j~ipi(x) dx ф 0, 7 > 2, К > 0, и = min(7-1,2) я

5 6 Тогда при всех достаточно малых Ai существует единственны€

уровень к оператора Н\, для которого выполнено неравенство

2

Jtpi(x)

R

dx

При этом для к справедливо соотношение

2

I dx

2г

J<pi(x),

R

)

где /3 > О

Предположим теперь, что Aj = Aj£j + o(e'f>) (j —Be~i + o(e7) Положим

1,2) и Vb(e)

Mji =гА3еъ JJ <pj{y)<p/(x) dydx

R2

Теорема4 10 Предположим, что 71 = 72 = 7* > 1, К > О, 5 € (7*, и), где v = mm(7 — 7*, 27*) и

(Ми - М22) + 4М12М21 ф О

(8)

Тогда для достаточно малых е > 0 оператор Н2 имеет внутри кругов

Б± = {к \к - М±е^'\ ^ Ке*}

ровно 7ю одному уровню кратности единица, причем для к^ справедлива формула

к* =М±£7* +о(£7*),

где

М± = -^ (Мп + М22 ± у/{Мц -М22)2 +Ш21М12) ■ Теорема4 11 Предположим, что 72 > 71 > 1, •К' > О, <5 € (71,72) и М\\ ф О Тогда для достаточно малых е > О оператор Н2 имеет внутри кругов

5± = {к \к-М±е'Г1\ < Ке5} ровно по одному уровню кратности единица, причем для справедлива формула

к* = М±е71 + о(е71),

где

м±= Мп±\Ми\

4

Далее исследуются уровни в комплексной окрестности точки Уо Предполагается, что для показателей степени в оценке (3) функций ^ (х) {] = 1, ,п)а3>2^/Щ

Введем обозначения А = (Ах, , Ап), А = ^Ах, , и

А)

1 + -А2^21(х,УО)

ус х

УС К

-АхР\п(х,У0) -А2^2„(*,У0)

¥ я

1 + -А„^„„(х, У0)

где

•„(*■ уп) = [Г (-в(тЩу)( + -У^ + Уо + х „,(,:+Л

./УД у 2г 2г (\/х2 + У0 + к) }

+яд2 (х, у, + Уо, х)^ ^ (у)<Р1(х) йуйх

(Функция 62(2, У, %/х2 + Уо, х) является аналитической в окрестности точки х=0)

Теорема5 12 Пусть вектор А € И" удовлетворяет условиям

91Мх, А)

Р!(0,Л)=0 и

дх

(О,А)

Тогда для всех А из малой окрестности точки А существует единственный

уровень х = х(Х) оператора Нп, аналитически зависящий от А и такой,

что lim х(Х) = х(Х) = 0 А—+А

Формулы для функций Vo) и Fl[(*c,Vo) выписываются явно

Теорема513 Пусть F{t (0, V0) ф 0, F{[ (0, V0) ф 0 Существует такая окрестность точки Aj = — , , что для любого Ai из этой

окрестности оператор Hi имеет единственный уровень х в достаточно малой окрестности нуля При этом имеет место формула

2(^(0 ,У0))2 ~ ~

F{[(0,Vo) CAi -Ati + oiAx -Лх)

Замечание Из формул для ^(О, V0) и F{[(0, У0) следует, что -Fii(0,Vo) - число вещественное, а F{[ (0, Vo) - чисто мнимое Откуда вытекает, что

1) если 1 ~~ Äi) > 0, то х - резонанс,

■^xilUi^o) 4 '

2) если j/^ ~ Ai) < 0, то x - собственное значение

Таким образом, если Ai переходит через Ai, то собственное значение превращается в резонанс (или наоборот)

Вторая глава содержит исследование прямой (для произвольного п) задачи и обратной (для п = 1) задачи рассеяния для оператора Нп

Обоснован переход от "классического" уравнения Липпмана-Швин-гера к уравнению Липпмана-Швингера с функцией Грина оператора Нп Показано, что решение ф(х) уравнения Липпмана-Швингера имеет вид

ф(х) = А{к,х)егнх + т]+(х) при х > 0,

ф(х) = е1кх + В{к,х)е~гкх+rj-{x) при х<0

Здесь функции т]^(х) экспоненциально убывают,

п / ")_с>0

J—1 \ о

+оо

—к + и

О -оо 7

п /

3 — 1 \ А

О о N

- коэффициенты прохождения и отражения соответственно Функция Т>(к, х) определяется равенством (7) (с замена к = </Ё, я = л/Е — Уо), а я)

получаем заменой, кроме того, 2-го столбца на столбец

(Х)(фу <Р\) ,К(фу,<Рп))Т, где функция фу(х) определяет-

ся следующим образом

Í 2к гхх т > П

фу(Х) = \

К+ус

elAx + , х < О

Теорема7 20 Предположим, что ф{х) является решением урав-we Н1/Л Шредингера (2), причем

ф(х) = 1 Аег>сх + г)+(х), х^О,

[ СегКх + Be~lkx +т]-(х), х < О

и выполнены оценки

lí^íaOI ^ Ce~alx¡, K^J'Í®)! ^ Cie-alxl, а > О, С = Сх = const Гог<?а справедливо равенство

Из этой теоремы, в частности, можно получить следующее соотношение для коэффициентов прохождения А(к,х) и отражения В(к,х)

^\А(к,х)\2 + \В(к,я)\2 = 1

Теорема 721 Всякий уровень Е > О является собственным значением

Приведем один из основных результатов диссертации Предположим, что tpi принадлежит множеству So экспоненциально убывающих функций i/>! R R, таких, что supp <¿>i б (0, +оо) Обратная задача рассеяния рассматривается следующей формулировке по заданным функциям А(х) = А(к,мг) и В(х) — В(к,х) (к здесь выражено через х) найти информацию о функции |¡¿>i (х)\2 Показано, что данная функция удовлетворяет некоторому сингулярному интегральному уравнению Кроме того, получена следующая теорема

Теорема8 22 Пусть € So и выполнены условия

А{х){к + к) - 2к ф 0, В{х){х-к) +х + кф О, -8ттхА(х) + (4тг - 1 )(В(х)(х - к) + х + к) ф О, indR a(x) > О,

где

- к 8?гх + (4?г ~ - fr) + у + *))

а(х) ~ ж{А{х)(к + х)~ 2 к){В{х){х -к) + х+к) Тогда решенье обратной задачу рассеяния для уравнения Шредингера (4) в классе ¿2(R) единственно

Здесь под mdR а(х) понимается приращение аргумента функции а(х) деленное на 2-к, когда х пробегает R

Список цитируемой литературы

1 Рид М , Саймон Б Методы современной математической физики Т 1 Функциональный анализ М Мир, 1977 360 с

2 Рид М , Саймон Б Методы современной математической физики Т2 Гармонический анализ Самосопряженность М Мир, 1978 396 с

3 Рид М , Саймон Б Методы современной математической физики ТЗ Теория рассеяния М Мир, 1982 446 с

4 Рид М , Саймон Б Методы современной математической физики Т 4 Анализ операторов М Мир, 1982 428 с

5 Березин Ф А , Шубин М А Уравнение Шредингера М Изд-во Моек ун-та, 1983 392 с

6 Цикон X., Фрезе Р , Кирш В , Саймон Б Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии М Мир, 1090 408 (

7 Herczynski Y On the spectrum of the Schrodmger operator - Bull Acad Pol sea Ser sci math, 1981, T 29 1-2, с 73-77

8 Davies E В , Simon В Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right - Commun Math Phys 63 (1978), 277-301

0 Чубурин Ю П О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки // Теор и матем физика 1987 Т 72 № 1 С 120-131

10 Чубурин Ю П О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла // Теор и матем физика 1994 Т 98 № 1

С 38-47

11 Чубурин Ю П Об аппроксимации "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим" //Матем заметки 1997. Т 62 Вып 5

С 773-781

12 Чуб>рин Ю П Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор и матем физика 1999 Т 120 № 2 С 277-290

13 Chuburm Yu Р On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator - Commun Math Phys V 249, 497-510 (2004)

14 Chadan К , Kobayashi R The Absence of Positive Energy Bound States foi a Class of Nonlocal Potentials // LANL e-print arXiv math-ph/0409018

15 Гадыльшин P P О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси // Теор и матем физика 2002 Т 132 С 97-104

16 Сметанина М С , Чубурин Ю П Об уравнях оператора Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Теор и матем физика 2004 Т 140 Д'" 2 С 297-302

Список публикаций

1 Плетникова Н И Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ № 1(29) 2004 Ижевск Изд-во УдГУ С 95-108

2 Плетникова Н И Об уровнях оператора Шредингера на границе непрерывного спектра // Известия ИМИ № 1(31) 2005 Ижевск Изд-во УдГУ С 107-112

3 Плетникова Н И. Задача рассеяния для уравнения Шредингера с потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ № 1(35) 2006 Ижевск Изд-во УдГУ С 89-97

4 Плетникова Н И Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным ступенчатым потенциалом // Вестник Удмуртского университета Математика Ижевск 2005 № 1 С 155-166

5 Плетникова Н И Об операторе Шредингера с нелокальным поверхностным потенциалом // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XV». Воронеж 2004 С 168

6 Плетникова Н И О поведении собственного значения (резонанса) оператора Шредингера вблизи границы непрерывного спектра // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XVI» Воронеж. 2005 С 124-125

7 Плетникова Н И Обратная задача рассеяния для возмущенной ступеньки // Материалы 13-ой зимней Саратовской школы Саратов 2006 С 139

8 Плетникова Н И Исследование уровней оператора Шредингера на границе непрерывного спектра / / Известия ИМИ № 2(36) 2006 Ижевск Изд-во УдГУ С 91-94

9 Коробейников А А , Плетникова Н И О вычислении уровней энергии и резонансов электронных состояний в случае кристаллической поверхности // Вестник Ижевского государственною технического университета Ижевск № 4 2006 С 63-68

10 Плетникова Н И Асимптотика собственных функций оператора Шредингера с нелокальным потенциалом// Вестник Удмуртского университета Математика Ижевск № 1 2007 С 109-120

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 11 04 2007 Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз Заказ № 614

Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, корп 4

Введение.

Глава 1 Спектральные свойства оператора Шредингера

§ 1. Спектр оператора Шредингера.

§ 2. Функция Грина

§ 3. Асимптотика собственных функций.

§ 4. Исследование уровней вблизи нуля

§ 5. Исследование уровней вблизи границы непрерывного спектра.

§ 6. Обобщение на многомерный случай.

Глава 2 Задача рассеяния.

§ 7. Прямая задача рассеяния.

§ 8. Обратная задача рассеяния.

Начало двадцатого столетия ознаменовалось появлением квантовой механики. В последние десятилетия математиками активно изучается уравнение Шредингера, одно из основных уравнений квантовой физики:

А + У{х))ф = Еф, феЬ2{Кп); здесь А - оператор Лапласа, Е - спектральный параметр, V{x) - вещественная функция (потенциал). Оператор Я = —А + V(x) является оператором энергии микрочастицы (обычно он самосопряжен), Щ = —А и V(x) - это операторы кинетической и потенциальной энергий соответственно [1], [2]. Основные математические результаты, относящиеся к уравнению Шредингера, полученные до конца восьмидесятых годов двадцатого века собраны в монографиях [3] - [9]. Обзор последующих результатов имеется в [10]. Изначально рассматривались, в основном, достаточно быстро убывающие на бесконечности потенциалы.

Физиками уже достаточно давно и интенсивно (в том числе в связи с потребностями разного рода технологий) исследуются проблемы, относящиеся к периодическому (возможно, возмущенному) оператору Шредингера, являющемуся оператором энергии электрона в бесконечном кристалле, а также к оператору Шредингера, отвечающему кристаллической пленке или кристаллической поверхности. Периодический случай исследован математически в |6], [11]. В работе [12] для оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке, строится его разложение в прямом интеграле пространств (см. ниже подобную конструкцию), а также исследуется полнота волновых операторов. В статье [13] найден существенный спектр "пленочного" оператора Шредингера. В статье [14] изучается одномерный оператор Шредингера для полубесконечного кристалла в нестационарном подходе. Спектральные свойства оператора Н = —d?/dx2 + eV на оси, где V является оператором довольно общего вида, а е - малый параметр, были изучены P.P. Гадылыпиным в статье [15]. В работах Ю.П. Чубурина [16] - [20] исследуются спектральные свойства и асимптотика собственных функций (класса L00) оператора Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической пленке, полуограниченному кристаллу или слоистой структуре; также изучается связь между такими операторами. Такого рода операторы занимают промежуточное положение между хорошо изученными операторами Шредингера для уединенного атома и для бесконечного кристалла.

Прямая задача рассеяния на потенциале для оператора Шредингера (нахождение амплитуды рассеяния и других характеристик рассеяния по потенциалу) изучается, например, в книгах [5], [8]. Обратная задача рассеяния (определение потенциала по амплитуде и другим спектральным характеристикам оператора Шредингера) исследуется в монографиях [21] - [25], а так же (на физическом уровне строгости) в [26].

Перечислим теперь работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В работе [27] была решена задача рассеяния для уравнения Шредингера

-у" + и(х)у = к2у, jGR, где для с ^ 0 и N ^ 1 потенциал v{x) такой, что v{x) вещественнозначная функция, определенная на R и удовлетворяющая условию

J \v(x) - (?в{х)\ (1 + dx < 00. R

Спектральные свойства оператора Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки в трехмерном случае были изучены Ю.П. Чу-буриным в работе [16].

В статье [28] одномерный оператор Шредингера с локальным потенциалом типа возмущенной ступеньки изучается с точки зрения нестационарной теории рассеяния. В частности, исследуется время задержки частиц потенциальным барьером.

Почти во всех математических работах потенциал представляет собой оператор умножения на функцию (называемых в физической литературе локальными потенциалами). Вместе с тем, в физике активно используются нелокальные потенциалы (см., например [2], [29], [30]), что связано, во первых, с относительно простотой расчетов с теми нелокальными потенциалами, которые являются конечномерными операторами (в физической литературе они называются сепарабельными потенциалами); во вторых, с тем обстоятельством, что операторы потенциальной энергии, изначально не являются локальными (см. [2], [30]). Наконец, рассмотрение операторов Шредингера с нелокальными потенциалами достаточно интересно с математической точки зрения [15], [31], в то время как внимание математиков к таким операторам явно недостаточно. Кроме упомянутых статей, математические свойства подобных операторов изучались, например, в работах [32], [33], а также в монографии [23].

Отметим, что при рассмотрении кристаллических пленочных наноструктур знание зависимости энергий резонансных (квазистационарных) электронных состояний от параметров наноструктур, в частности, от величины потенциального барьера, открывают принципиальную возможность с помощью внешних воздействий управлять электронным прохождением и, в связи с этим может найти практическое применение при создании микроэлектронных устройств с использованием современных нанотехно-логий (см. [34]).

Из сказанного вытекает как математическая, так и, в какой-то мере, физическая актуальность изучения спектральных свойств, резонансов и рассеяния для операторов Шредингера, отвечающих полубесконечному кристаллу с нелокальным потенциалом, зависящим от параметров. Для функций ф(х) таких, что ф-^еЬ\К) {j = l ,.,п) (0.1) введем обозначение

Ф, <Pj) = J Ф{х)ч>з(х)dx (i = !»• • •»n)R

Основной объект, который рассматривается в диссертации (для различных классов функций) - это уравнение Шредингера вида Уов(х)ф(х) + = Еф(х). (0.2) з=1

Здесь Vo = const < 0 (данное предположение не уменьшает общности), в(х) - функция Хевисайда, 0 ф Xj G R для всех j = 1,., п. Относительно (комплекснозначных) функций <pi(x),., (рп(х) предполагаем, что они линейно независимы и удовлетворяют для любого j = 1,., п неравенству вида ъ(х)\ ^ Qe-^l, (0.3) где Cj, a,j = const > 0; далее функции, удовлетворяющие неравенствам вида (0.3), будем называть экспоненциально убывающими.

Уравнение (0.2) относится к интегро-дифференциальным уравненип ям, "нелокальная" часть Лj{-,<pj)ipj потенциала п 3=1 представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром в L2{R) - это самосопряженный оператор конечного ранга. Потенциал V моделирует поверхность твердого тела.

Далее, положим

Р п

Нп = + + £ Wfo j=i и

Пользуясь введенными обозначениями, уравнение (0.2) можно записать в виде

Нпф = Еф (0.4) или п я - ед = - £ Ш v>i)v>j- (°-5)

3=1

Ненулевые решения ф(х) уравнения Шредингера (0.4), удовлетворяющие условию (0.1), назовем (обобщенными, если ф(х) £ b2(R)) собственными функциями оператора Нп.

Введем обозначение для резольвенты оператора Я, полагая

R{E) = (Я - Я/)"1.

В дальнейшем ядро резольвенты (являющейся интегральным оператором), вообще говоря, продолженное по параметру Е на второй лист соответствующей римановой поверхности, будем для краткости называть функцией Грина оператора Я и обозначать G{x,y, Е, Vq).

При условии Е £ [Vo, +00) приведем уравнение (0.5) к интегральному виду ф(х) = \j{il>, ч>5) jG(x, у,Е, УоЫу) dy. (0.6) j=1 R

Введем обозначение

Е, Vo) = JG(z, у, Е, V&dy, (0.7) R тогда интегральное уравнение (0.6) можно записать как п

Функция Грина оператора Я имеет ветвление вокруг двух точек Е = 0, Е = Vo (см. ниже). Соответственно, резонансы следует определять в двух вариантах (ср. [20], [35], [36]).

Определение 0.1. Под резонансом оператора Нп будем понимать такое Е на втором листе римановой поверхности функции G(x,y, Е, Vo) в окрестности нуля с lm^/Ё < 0 (или в окрестности точки

Vo с lm\/E — Vo < 0), для которого существует ненулевое решение уравнения (0.6), удовлетворяющее условию (0.1).

Легко видеть (см. также теорему 2.3), что решения уравнения (0.6) из указанного класса являются также решениями и уравнения Шредин-гера (0.2). Если Е - резонанс, то соответствующее решение в силу асимптотики интеграла в правой части и (0.6) экспоненциально возрастает (см. лемму 3.5 ). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) электронным состояниям.

Определение 0.2. Уровнем Е оператора Нп будем называть собственное значение или резонанс данного оператора, а также соответствующее Е число к = у/Ё (или н = у/Е — Vo).

Известно (см. например, [29]), что электронные состояния, отвечающие резонансам оператора Шредингера, а также собственным значениям, близким к нулю, играют важную роль в рассеянии электронов на атомах. В частности, наличие резонансов, вообще говоря, может увеличить интенсивность прохождения электронов через кристаллическую структуру [35].

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав (восьми параграфов). Третий параграф разбит на пункты. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем и лемм сквозная (теорема 3.5 - это пятая теорема в работе, находящаяся в параграфе 3). Нумерация определений, замечаний и формул отдельная по параграфам (определение 3.1 - это первое определение в 3-м параграфе).

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 752 с.

2. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 200 с.

3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 396 с.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 446 с.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

7. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

8. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

9. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

10. Simon В. Schrodinger operators in the twentieth century // Journal of mathematical physics, vol. 4, num. 6, 3523-3555 (2000).

11. Скриганов М.И. Геометрические и арифметические методы спектральной теории многомерных периодических операторов. Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. Т. 171. JI.: Наука, 1985. 122 с.

12. Davies Е. В. Scattering from infinite sheets. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82 (1977), 327-334.

13. Herczynski Y. On the spectrum of the Schrodinger operator. Bull. Acad. Pol. sci: Ser. sci. math, 1981, T. 29 № 1-2, c. 73-77.

14. Davies E. В., Simon B. Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right. Comrnun. Math. Phys. 63 (1978), 277301.

15. Гадылыпин P. P. О локальных возмущениях оператора Шредингеря на оси // Теор. и матем. физика. 2002. Т. 132, С. 97-104.

16. Чубурин Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 277-290.

17. Чубурин Ю. П. Об аппроксимации "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим" // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вьдп. 5.С. 773-781.

18. Чубурин Ю. П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки // Теор. и матем. физика. 1987. Т. 72, № 1.С. 120-131.

19. Чубурин Ю. П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла // Теор. и матем. физика. 1994. Т. 98, 1.С. 38-47.

20. Chuburin Yu. P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator. Commun. Math. Phys. V. 249, 497-510 (2004).

21. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 240 с.

22. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков.: Изд-во Харьковского ун-та, I960. 268 с.

23. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980. 408 с.

24. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Издательство Саратовского педагогического института, 2001. 499 с.

25. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния: Пер. с англ. М.: Мир, 1994. 494 с.

26. Захарьев Б.Н, Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние: Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. 224 с.

27. Cohen A., Kappeler Т. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrodinger equation // Indiana Univ. Math, journal, Vol. 3, 127-180 (1985).

28. Amrein W.O., Jacquet Ph. Time deley for one-dimensional quantum systems with steplike potentials. Preprint mparc/06-157. 2006.

29. Демков Ю. H., Островский В. H. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

30. В.Хейне, М.Коэн, Д.Уэйр Теория псевдопотенциала. М.: Мир, 1973. 560 с.

31. Сметанина М.С., Чубурин Ю. П. Об уравнях оператора Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 140, № 2. С. 297-302.

32. Chadan К., Kobayashi R. The absence of positive energy bound states for a class of nonlocal potentials // LANL e-print arXiv: math-ph/0409018.

33. Сметанина M. С., Чубурин Ю. П. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2003. № 1. С. 19-31.

34. Вольф Г. В., Чубурин Ю. П. Резонансные явления в рассеянии низкоэнергетических электронов на плпнарных кристаллических наноструктурах // Физика твердого тела. 2006. Т.48. Вып. 9. С. 1704-1709.

35. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

36. Гатауллин Т.М., Карасев М.В. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом // Теор. и матем. физика. 1971. Т. 9, № 2. С. 252-263.

37. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многоих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.

38. Плетникова Н. И. Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ. № 1(29). 2004. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 95-108.

39. Плетникова Н. И. Об уровнях оператора Шредингера на границе непрерывного спектра // Известия ИМИ. № 1(31). 2005. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 107-112.

40. Плетникова Н. И. Задача рассеяния для уравнения Шредингера с потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ. N® 1(35). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 89-97.

41. Плетникова Н. И. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным ступенчатым потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2005. К0- 1. С. 155-166.

42. Плетникова Н.И. Об операторе Шредингера с нелокальным поверхностным потенциалом // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XV». Воронеж. 2004. С. 168.

43. Плетникова Н. И. О поведении собственного значения (резонанса) оператора Шредингера вблизи границы непрерывного спектра // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XVI». Воронеж. 2005.С. 124-125.

44. Плетникова Н. И. Обратная задача рассеяния для возмущенной ступеньки // Материалы 13-ой зимней Саратовской школы. Саратов. 2006. С. 139.

45. Плетникова Н. И. Исследование уровней оператора Шредингера на границе непрерывного спектра // Известия ИМИ. № 2(36). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 91-94.

46. Коробейников А. А., Плетникова Н. И. О вычислении уровней энергии и резонансов электронных состояний в случае кристаллической поверхности // Вестник Ижевского государственного технического университета. № 4. 2006. Ижевск. С. 63-68.

47. Плетникова Н. И. Асимптотика собственных функций оператора Шредингера с нелокальным потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2007. № 1. С. 109-120.

48. Меркурьев С. П, Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985. 400 с.

49. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

50. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. 4.2. М.: Наука, 1982. 400 с.

51. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: изд-во Штиинца, 1973. 428 с.