Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной нелокальностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

На правах рукописи

Алфимов Георгий Леонидович

Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной нелокальностью

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 4 АПР 2014

Москва 2014

005547556

Работа выполнена в Национальном исследовательском университете чМИЭТ>.

Официальные оппоненты:

- С.Ю.Доброхотов, д.ф.-м.н., профессор, Институт Проблем Механики им. А.Ю.Ишлинского РАН;

-В.Ю.Попов, д.ф.-м.н., профессор, МГУ им.М.В.Ломоносова, физический факультет, кафедра математики;

- В.А.Байков, д.ф.-м.н., профессор, зав.кафедры математики Уфимского Государственного Технического Университета.

Ведущая организация:

Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН

Защита состоится 23 мая 2014 года в_ часов на заседании диссертационного

совета 002.057.01 при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, расположенном по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук.

Автореферат разослан «_»_2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземпляре«, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук,

Попенов Сергей Викторович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Бурное развитие теории нелинейных волн во второй половине 20-го века позволило выделить круг нелинейных задач, которые можно считать классическими. К ним, безусловно, можно отнести задачи, связанные с уравнением Кортевега- де Вриза (КдВ), нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), нелинейным уравнением Клейна-Гордона и его частным случаем - уравнением синус-Гордона, а также еще с рядом модельных уравнений. Для указанных уравнений характерно то, что они возникают одновременно в нескольких различных по своей природе физических приложениях в качестве простейшего нелинейного приближения. Нелинейные объекты, такие как кинки, бризеры, кноидальные волны, которые описываются этими уравнениями, в настоящее время стали естественными элементами описания многих разделов теоретической физики.

Вместе с тем, дальнейшее развитие и уточнение исходной физической модели, как правило, требуют корректировки математической постановки задачи. В целом ряде случаев дальнейшее уточнение модели приводит к нелокальным (интегродифференциальным) уравнениям. Одним из традиционных "источников" появления нелокальности в уравнениях, описывающих физическую модель, является учет дальнодействия. Задачи такого типа характерны для решеточных моделей, возникающих, например, в теории дислокаций, теории поверхностного слоя, при исследовании динамики цепочек ДНК и т.д. Другая возможность появления нелокальности связана с учетом сложного закона дисперсии. Нелокальные уравнения такого рода типичны, в частности, для задач гидродинамики и нелинейной оптики, теории сверхпроводимости и т.д.

В данной диссертационной работе рассматривается круг нелокальных

задач, связанных с обобщением пространственно одномерного нелинейного уравнения Клейна-Гордона

иа - ихх + и'(и) = 0, (1)

(штрих означает производную). В различных физических приложениях уточнение исходной модели приводит к замене второй пространственной производной оператором £, являющимся мультипликатором Фурье. Основное уравнение при этом принимает вид

иа — Си + V (и) = 0, (2)

Уравнение (2) естественно назвать нелокальным нелинейным уравнением Клейна-Гордона или нелинейным нелокальным волновым уравнением. Действие оператора £ на функцию и(х) в пространстве Фурье сводится к умножению преобразования Фурье й(и>) на некоторую функцию ф{ы), называемую символом этого оператора: Си{и) = ф(ш)й(ш). В различных приложениях вид оператора £ различен, но оказывается, что достаточно типичной является ситуация, когда ф(ш) — -ш2<3(ш), (3(0) ^ 0. Тогда действие оператора £ на функцию и(х) можно определить формулой

Си = —-дх

в(х - х')их>(х') дх' (3)

причем - преобразование Фурье ядра С (О- Уравнение (2) при этом принимает вид

д

У-а

дх

в {х- х')их> {х') дх' + и'(и) = 0 (4)

В пределе —> £(£), где <5(£)- дельта функция Дирака, уравнение (4) превращается в традиционное уравнение Клейна-Гордон а (1).

Диссертация посвящена исследованию решений уравнений вида (2). Основное внимание при этом уделяется локализованным и периодическим решениям. Среди локализованных решений выделяется класс решений типа пинков, которые соответствуют граничным условиям

lim u(z) = ui; lim u{z) —ur, z = x-ct, z € R,

Z—*—O0 Z-++OO

и решений типа бризеров, отвечающих условиям локализации по пространственной переменной и Т-периодичности по временной переменной

lim ulx) = 0, и(х) = и(х + Т), i€K £->±00

Укажем два класса физических задач, где естественным образом возникает уравнение (2).

Модели нелинейных решеток с дальнодействием.

Применение решеточных моделей при описании динамики кристаллической решетки восходит к работам Я.И.Френкеля и Т.А.Конторовой [1, 2] (30-е годы XX века). В настоящее время модели такого типа используются не только в физике твердого тела, но и в ряде других приложений, в частности, при описании систем связанных джозефсоновских контактов и макромолекул ДНК (см., напр., монографию [3]). В качестве примера, рассмотрим цепочку частиц, помещенных в поле некоторого внешнего потенциала U(u). В предположении о том, что взаимодействие частиц между собой является гармоническим, динамика цепочки описывается гамильтонианом

н=Е\\(ir)2+Е - о2+> <5)

n V. т>п )

где Vm-n - бесконечная симметричная матрица, вид элементов которой

задан законом взаимодействия частиц между собой. Уравнение (2) представляет собой континуальный предел уравнений динамики такой дискретной цепочки. В частности, рассматривались следующие ситуации.

(а) Если взаимодействие между ближайшими "соседями" в цепочке является доминирующим,

_ J 1/2h?, если т = п + 1,

Vn-m л

I 0, если ТП ф п + 1,

(h > О - параметр), то динамика цепочки описывается следующей системой уравнений

" d2un 1 .

Г ~ tf(un+i ~ 2 ип + ип_!) + F(un) = 0, п е Z (6)

Вводя функцию u(x,t), совпадающую в узлах хп = nh со значениями un(t), можно записать систему (6) в виде уравнения (4) со следующим "треугольным" ядром

[о, |е|>л.

Приведенная выше модель достаточно хорошо изучена. В частности, обширная литература посвящена случаю периодического потенциала U(и) — 1 — cos и. В этом случае модель носит название модели Френ-келя-Конторовой.

. (б) В цепочке с дальнодействием на каждую частицу влияют не только ближайшие "соседи", но и все остальные частицы цепочки. Если потенциал взаимодействия затухает экспоненциально (потенциал Каца-Бейке-ра), то при некоторых дополнительных предположениях динамику цепочки в непрерывном приближении можно описать при помощи уравнения (4) с экспоненциальным ядром

^-¿Ч-Я}-

(8)

Параметр.нелокальности А при этом связан с параметрами Ц> и /? рассматриваемого потенциала (см. напр. [4].) Данная задача рассматрива-

5

лась как для случая синусоидальной нелинейности [4, 5], так и для случая кубической нелинейности (модель ф'1) [6, 7]. Рассматривался также случай, когда закон взаимодействия между частицами цепочки является степенным [8]. В континуальном приближении такая цепочка описывается уравнением типа (4) с ядром, имеющим степенную асимптотику.

Нелокальная джозефсоновская электродинамика.

Со времени открытия эффекта Джозефсона в 60-х годах XX века, традиционным уравнением для описания динамики полей в джозефсо-новском переходе было уравнение синус Гордона

Utt ~ ихх + sin и = 0. (9)

Здесь u(t\х) - разность фаз волновых функций сверхпроводящих электродов, образующих переход. Уравнение (9) записано в безразмерном виде, при этом пространственная координата нормирована на джозефсо-новскую длину Aj, временная - на плазменную частоту uip, и диссипатив-ные члены отброшены. В традиционной джозефсоновской электродинамике уравнение синус Гордона выводится в предположении, что длина и толщина сверхпроводников, формирующих джозефсоновский контакт, много больше лондоновской длины Al, характеризующей глубину проникновения поля в сверхпроводник. Кроме того, необходимо выполнение условия \j A¿.

В начале 90-х годов XX века было выяснено, что нарушение последнего условия влечет за собой переход к нелокальному описанию джозеф-соновского перехода. Началось активное теоретическое развитие нелокальной джозефсоновской электродинамики [10-13], которое в последние годы было дополнено экспериментальными работами [14, 15]. Было показано, что для описания нелокального джозефсоновского контакта в бездиссипативном пределе уравнение (9) должно быть заменено на урав-

нение

СО

G(x - x')uxi{x') dx' + sin и = 0, (10)

д

Utt -

дх

—со

называемое нелокальным уравнением синус Гордона. Вид ядра зависит от физической постановки задачи. Отметим несколько типов ядер, описанных в литературе. В 1992 году для описания джозефсоновского перехода между двумя массивными сверхпроводниками было предложено использовать уравнение (10) с ядром

^¿■Ча)' <И)

(см. [11, 12]), где К0(-) - функция Макдональда и Л - параметр нелокальности. Недавно [16], это же уравнение использовалось для описания слоистых джозефсоновских структур в контексте проблемы генерации тера-герцового излучения. Для описания джозефсоновского перехода между сверхпроводниками конечной толщины использовалось ядро [17, 18]

¿с

= ¿X

:th(/3vT+C2)e^\ (12)

ч/Г+С5

причем параметр Р связан с толщиной сверхпроводящих контактов. Предельным случаем упомянутых моделей является уравнение, названное в диссертации уравнением синус Гильберта -II. В бездиссипативном случае оно имеет вид

Щг - Шх + sin и = 0, (13)

где И. - преобразование Гильберта

Ни = —v.p.

7Г

и{х') dx' ^

X — X'

Также для описания многослойных джозефсоновских структур использовалось уравнение (10) с ядром (8), упомянутым ранее [19].

Краткий обзор результатов предшественников

Задачи, связанные с уравнением (2), достаточно трудны для исследования именно в силу сочетания факторов нелинейности и нелокальности, Частичное "отключение" хотя бы одного из этих факторов позволяет существенно продвинуться в исследовании задачи. Соответственно, в некоторых работах удавалось провести достаточно полное исследование в предположении, что нелинейность представляется кусочно линейной функцией и возможно точное решение задачи в различных областях с последующей "сшивкой" [20-22]; при этом нелокальный член учитывался полностью. В других работах предполагалось, что нелокальность может быть аппроксимирована высшими производными [23], а также использовались оба упомянутых приближения [25, 26]. Эти исследования позволили обнаружить новое явление "склеивания" кинков с формированием сложных движущихся структур ("soliton complex") с большим топологическим зарядом, которые невозможно описать локальной моделью. Кроме того, выяснилось, что скорости свободного движения таких образований не могут быть произвольными, а определяются из некоторых дополнительных условий [23, 24]. Интересно, что подобное явление было обнаружено также в дискретной модели типа модели Френкеля-Кон-торовой [27]. Вместе с тем детальное исследование мультисолитонных комплексов и спектров их скоростей при полном учете нелинейности и нелокальности не проводилось.

Еще одна линия исследований традиционно была связана с получением точных решений задачи в некоторых предельных случаях. Первые из точных решений, в частности решение типа покоящегося 27Г-кинка уравнения силус-Гильберта-П, были получены еще в 40-е годы XX века в работах Пайерса [28, 29]. Впоследствии список найденных решений был существенно расширен [12, 30, 31].

Проводилось и численное исследование решений уравнения (2). В частности, в контексте нелокальной джозефсоновской электродинамики для численного построения решений типа 27г-кинков [14, 15] использовался метод установления. Известны численные исследования кинков с более высоким топологическим зарядом (47Г-кинков), которые проводились в дискретной модели (6), см. [27]. Для решения нелинейной системы уравнений, описывающих амплитуды фурье-гармоник решения, в этой работе использовался метод Пауэлла. Разработка эффективных алгоритмов численного решения нелокальных уравнений представляется важным этапом дальнейших исследований.

Сказанное позволяет утверждать, что исследование класса уравнений (2) является актуальной задачей современной теории дифференциально-операторных уравнений и соответствует специальности шифра 01.01.02.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании математическими методами класса уравнений (2). Основной интерес при этом представляют ответы на следующие вопросы:

1. Какие из известных нелинейных объектов (периодические структуры, кинки, бризеры), описывающихся локальной моделью, сохраняются при переходе к нелокальной модели?

2. Возникают ли при переходе от локальной модели к нелокальной новые типы структур?

3. Возможно ли выделение некоторых общих свойств, характерных для достаточно широкого класса ядер нелокального оператора?

4. Существуют ли универсальные подходы, которые могли бы быть эффективно применены к рассматриваемому классу задач?

Особое внимание при этом уделяется двум важнейшим модельным случаям потенциала: U(u) = 1 — cos и (нелокальное уравнение синус Гордона) и U(u) = | — |гг + (нелокальное уравнение ф4).

Научная новизна работы.В данной работе впервые выделен как математический объект класс физически значимых нелокальных обобщений уравнения Клейна-Гордона (называемого в дальнейшем также нелинейным нелокальным волновым уравнением), а также представлено систематическое исследование различных классов решений уравнений такого типа. Для изучения класса решений типа бегущих волн новым является использование подхода, основанного на утверждениях из теории динамических систем. В рамках этого подхода удалось подтвердить существование решений типа кинков со сложной формой фронта для широкого класса нелокальных операторов и обосновать принцип дискретизации их скоростей. Кроме того, в работе впервые представлены утверждения о размерности множества решений типа бегущих волн для нелокальных уравнений волнового типа.

Далее, для частного случая нелокального нелинейного волнового уравнения, уравнения синус Гильберта-Н получены новые точные решения, а также представлено полное точное аналитическое решение задачи устойчивости для различных периодических и вращательных решений этого уравнения. Кроме того, впервые поставлен и исследован вопрос о типах особенностей решений нелокальных уравнений в комплексной плоскости. Для анализа сингулярностей решений нелокальных уравнений в работе развит метод, подобный методу Пенлезе для дифференциальных уравнений.

Также в данной работе впервые представлены пульсирующие структуры (квази-бризеры), описывающиеся нелокальным уравнением синус Гордона, и указаны пути их генерации.

Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут быть применены при теоретическом и экспериментальном изучении физических задач различной природы, связанных с нелиней-

ным нелокальным волновым уравнением. В первую очередь здесь следует указать задачи теории джозефсоновских переходов. Помимо этого разработанный подход может быть применен к другим задачам теории нелинейных волн, включающим сложную дисперсию, например, возникающих .в гидродинамических и оптических приложениях.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Для нелинейного волнового уравнения с пространственной нелокальностью, имеющей операторный вид мультипликатора Фурье, предложен метод исследования решений типа бе1ущих волн стационарного профиля. Метод основан на введении динамических систем, связанных с исходным нелокальным уравнением, и их дальнейшим изучением с использованием аппарата качественной теории дифференциальных уравнений. При помощи этого метода для уравнений данного вида при некоторых ограничениях на ядро интегрального оператора и тип нелинейности (¡) показано, что естественной размерностью множества решений типа бегущих волн является размерность "три"-, (и) обнаружено явление дискретизации скоростей свободного движения кинков (антикинков).

2. Для частного случая нелокального уравнения синус Гордона, уравнения синус Гильберта-И, найдены новые точные решения и в явном виде решена задача о спектре малоамплитудных возбуждений для трех статических структур, описывающихся этим уравнением: периодических структур, вращательных структур и кинка. Показано, что зонная структура в случае как периодических, так и вращательных структур представлена двумя отделенными друг от друга зонами, конечной и полубесконечной. Это позволяет сделать вывод об устойчивости вращательных структур, неустойчивости периодических структур и маргинальной устойчивости 27г-кинка.

3. Показано существование пульсирующих во времени и локализован-

ных в пространстве структур, описывающихся нелокальным уравнением синус-Гордона. Предложен метод для численного построения этих структур, а также выяснено, что эти объекты являются грубыми и могут спонтанно возникать, в частности, в модели джозефсоновского перехода в результате столкновения двух кинков.

4. Изучены некоторые аналитические свойства решений нелокального аналога уравнения Дюффинга, возникающего при описании профиля малоамплитудного бризера уравнения синуе-Гильберта-Н. Разработан метод исследования особых точек аналитических продолжений локализованных и периодических решений этого уравнения в комплексную плоскость. Показано, что эти аналитические продолжения не являются ни мероморфными функциями, ни дробными степенями мероморфных функций.

Комментируя эти четыре основных положения, выносимые на защиту, необходимо отметить следующее. Для исследования бегущих волн уравнения (4) (п.1 выше) потребовалось решить вопрос об условиях, при которых имеет место эквивалентность исходного уравнения и вводимых динамических систем. При изучении этого вопроса для нелинейного нелокального волнового уравнения с ядром, представленным суммой экспонент (ядро Е-типа), было показано, что в случае, когда нелинейность ограничена, естественной размерностью множества решений типа бегущих волн является размерность "три" (при этом считается, что решения, переходящие друг в друга при сдвиге по независимой переменной, считаются эквивалентными). Это означает, что в случае общего положения решение типа бегущей волны нелинейного нелокального волнового уравнения можно включить в непрерывное трехпараметрическое семейство решений данного типа.

Далее, упомянутый в п.1 метод позволяет заменять исходное нело-

кальное уравнение на классе бегущих волн гамильтоновой системой дифференциальных уравнений, определенной в бесконечномерном пространстве. Соответственно, в работе развита теория, позволяющая эти системы модифицировать и упрощать, выявлены случаи, когда такая система определяет динамическую систему в некотором банаховом пространстве. Кроме того, предложены приложения этого метода, относящиеся как к теоретическому, так и к численному исследованию нелокальных уравнений рассматриваемого типа.

Личный вклад автора. Автору диссертационной работы принадлежит математическая формализация задачи, а именно: выделение класса нелокальных уравнений вида (2), возникающих независимо в приложениях различной физической природы. Это оказалось возможным благодаря тесному сотрудничеству автора со специалистами-физиками. Результатом такого сотрудничества явились совместные статьи в физических журналах, где автор диссертации отвечал за "математическую составляющую". Далее, все математические утверждения, относящиеся к решениям уравнений данного вида и представленные в диссертации, получены либо лично автором, либо при его решающем участии. Численный счет выполнялся или лично автором, или его учениками, исходя из предложенного автором алгоритма.

Достоверность результатов, полученных в данной работе, основывается на применении строгих математических результатов и численных методов с контролируемой степенью точности.

Апробация работы. Работа автора над задачами, связанными с тематикой диссертации, началась в 1991-92 годах. Соответственно, полученные результаты многократно обсуждались и докладывались на различных научных семинарах и конференциях, проводимых в 90-е и 00-е годы. Среди семинаров стоит упомянуть ФИАНовский семинар группы

В.П.Силина; семинар группы В.М.Елеонского в НИИ Физических Проблем им. Ф.В.Лукина; семинар под руководством Ю.А.Данилова в Курчатовском институте; семинар факультета прикладной математики университета Комплютенсе (Universidad Complutense), Испания, Мадрид; семинар центра теоретической и вычислительной физики при университете Лиссабона; семинар Faculdade de Ciencias, университета Порто, Португалия. Среди конференций следует указать:

1. "Nonlinear dynamics and optics", Пиза, Италия, 5-7 сентября 1994 г.

2. "Euroconference: Nonlinear Klein-Gordon and Schrodinger systems: theory and applications1', Сан-Лоренцо де Эскориаль, Испания, 25-30 сентября 1995 г.

3. Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, Россия, 29-31 мая 2000 г.

4. -IRCP26'4: inverse problems and nonlinearity", Монпелье, Франция, 20-24 июня 2000 г.

5. "Nonlinearity and Disorder: Theory and Application", Ташкент, Узбекистан, 2-6 октября 2001 г.

6. "Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects", Эшторил, Португалия, 13-17 июля 2003 г.

7. International workshop "Dissipative solitons", Институт Макса Планка, Дрезден, Германия, 23-29 января 2006 г.

8. Международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Уфа, Россия, 3-7 октября 2011 г.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 19 работ. На русском языке опубликовано 6 работ, из них 5 в журналах из списка ВАКа. Также к теме диссертации относятся 13 англоязычных работ, из которых 10 опубликованы в международных журналах, которые индексируются системой Web of Science.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. восьми глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 321 страницу, работа включает 67 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 227 наименований.

Содержание работы

Диссертация состоит из четырех логически завершенных блоков, связанных единой целью исследования нелинейных нелокальных волновых уравнений.

Первое направление исследований связано с изучением решений типа бегущих волн и(г) = и(х - сЬ) нелокального уравнения Клейна-Гордона (4) (главы с первой по пятую данной работы). Эти решения удовлетворяют уравнению

+ СО

в (2 - М + и'{и) = 0, (15)

2 d C- Uzz - -J-

az

где с - скорость бегущей волны. Предполагается, что потенциал U(u) допускает бистпабилъностъ в смысле следующего определения

Определение. Будем говорить, что U(n) - потенциал, допускающий бистабильность, если: (i) U (и) > 0 при всех и € К; (и) существуют как минимум два различных значения u = iti и и — таких что U{u\) = U{u2) = 0.

Рассматриваются решения типа кинков (антикинков) уравнения (15), удовлетворяющие условиям

lim u(z) = ui] lim u(z) = u2.

Z-»-00 i-f+OG

Решение типа кинка соответствует случаю u\ < щ., типа антикинка -•Ui > щ. Эти кинки (антикинки) в работе называются основными кин-

ками (антикинками). В случае нелокального уравнения синус Гордона такие объекты носят название 2жп-кинков (антикикков) и соответствуют случаю щ — 0 и и2 — 2ттп, причем |п| называется топологическим зарядом кинка (антикинка). В случае нелокального уравнения фА кин-ки (антикинки) описывают пространственный переход между и = — 1 и и= 1.

В первой главе нелокальное уравнение Клейна-Гордона рассматривается в пределе слабой нелокалыюсти. Предполагается, что ядро нелокального оператора зависит от некоторого параметра А и имеет вид

^(О^СдШн!^ (у)-

При малых А ядро £?(£) заменяется двумя членами, соответствующими разложению его преобразования Фурье в ряд Тейлора

д^Хш) ~ 1 - £ Х2и2, с = "(0).

В этом случае поправка, вносимая нелокальностью, учитывается путем добавления в локальной модели (1) члена, соответствующего дисперсии четвертого порядка. Уравнение для профиля бегущей волны при этом принимает вид

+ (1 - с9-)игг - V{и) = 0, (16)

где с - скорость волны и А <С 1. Для исследования задачи вводится фазовое пространство К4 и используются методы теории динамических систем. Задача о существовании основных кинков рассматривается сначала для допускающего бистабильность потенциала и {и) общего вида, а затем приводятся результаты полного исследования двух модельных случаев: нелокального уравнения синус Гордона и нелокального уравнения ф4. При этом при с2 < 1 и е > 0 в случае общего положения обнаруживается явление дискретизации скоростей основных кинков, отличающее

16

еА.2

Рис. 1. Диаграмма, показывающая области существования решений типа кинков уравнения (10) в пределе слабой нелокальности.

нелокальную задачу от локальной. Для нелокального уравнения синус Гордона полная картина, отражающая существование/не существование кинков, представлена на Рис.1. Диаграмма на Рис.1 построена исходя из аналитических результатов автора (предложения 1.1-1.4), численных результатов автора и результатов, известных из литературы. На Рис.1 использовано обозначение у, = (1 - с2)/Ху/Щ. Жирной черной линией помечен промежуток, где существует решение этого уравнения типа 27г-кинка. Это решение (первичный 27г-кинк) продолжается в области 2 и 3, вплоть до пунктирной линии {¡1 — ц* и -1.61), где первичный кинк исчезает. В области 2 первичный 2тг-кинк является единственным решением типа кинка. В области 3 имеются другие решения типа кинков, в том числе, бесконечное множество связанных состояний первичных 2/г-кинков и антикинков. В области 1 имеются решения типа 47Г-, б7г—, Зтг—кинков, которые соответствуют дискретному набору кривых (показаны кривые, соответствующие трем простейшим 47г-кинкам). Такие решения отсутствуют в локальной модели.

Во второй главе рассматривается нелокальное уравнение Клейна-Гордона со специальным ядром экспоненциального вида, ядром Каца-Бейкера (8). Прием, используемый при исследовании нелокального уравнения. состоит во введении вспомогательной функции

удовлетворяющей уравнению -\2qгz + д = их, и замене исходного нелокального уравнения системой двух, дифференциальных уравнений второго порядка

Эта система исследуется методами теории динамических систем. Справедлива следующая теорема

Теорема 2.1 Пусть 0 < \с\ < 1 и существует такое, что \и'(и)\ < Го при всех и е К. Тогда для любого решения системы (18)-(19) являются функциями медленного роста.

Из теоремы 2.1 следует эквивалентность системы (18)-(19) и уравнения (15) с ядром Каца-Бейкера в случае, если нелинейность £/'(ы) ограничена. Последнее означает, что в этом случае решения уравнения (15) образуют непрерывное трехпараметрическое семейство, при условии, что решения, переходящие друг в друга при сдвиге по г считаются эквивалентными.

Далее, показано (предложение 2.4), что скорости основных кинков, описывающихся данной моделью, вообще говоря, должны принадлежать некоторому дискретному множеству. Таким образом, нахождение профиля основного кинка и его скорости должно производиться одновременно, в результате решения нелинейной задачи на собственные значения.

(17)

—СО

<?игг + V (и) = дг,

+ Ч = из-

(18) (19)

О 5 10 15 20

%ч

V

1

0 0.7 1

Рис. 2. А: Профили 4тг-кинков, уравнения (15) с ядром Каца-Бейкера при А = 0.7. (1) с = « 0.6; (2) с « 42' « 0.41; (3) с га с!?' ~ 0-32. В: Графики зависимостей с = СГ° Для решений типа 4тт-кинков (к = 2. п = 1,2,3) и бтг-кивков (к- 3, п - 1,2,3). Кривые, соответствующие 4тг-юшкам - сплошные линии, отмеченные буквами а,Ъ,с. Кривые, соответствующие б7г-кинкам - сплошные линии, отмеченные цифрами 1,2,3. Черными кружками отмечены решения, показанные слева.

Задача численного построения профилей кинков и нахождения их скоростей в работе сведена к нахождению корней некоторого уравнения вида А(с) = 0. Подробно приводятся результаты исследования двух важных модельных случаев: нелокального уравнения синус Гордона и нелокального уравнения ф4. При этом оказывается, что нелокальное уравнение синус Гордона теряет традиционное для локальной задачи решение типа бегущего 27г-кинка, но решение типа покоящегося 27г-кинка сохраняется. Кроме того, возникают новые решения типа 4тг- и б7г-кинков, см. Рис.2. Далее, исследуются динамические свойства найденных объектов. В частности, оказывается, что 47т- и бтг-кинки являются грубыми образованиями и при малых значениях параметра нелокальности проявляют солитонные свойства. Кроме того, показывается, что помимо решений типа 2-гп-кинков уравнение (15) с ядром (8) описывает бегущие нелинейные волны, асимптотические к неустойчивым состояниям равновесия

и — —7г -I- 2тт, п € Ъ. Спектр скоростей таких образований является непрерывным.

В третьей главе рассматривается более широкий класс ядер нелокального оператора С. в уравнении (4), так называемые ядра -Е-типа, представленные формулой

N

<?(?) = 0 <7?! <...<77*, «,->0. (20)

.7-1

Рассматриваются решения типа бегущих волн, и(г) ~ и{х - с£). Техника исследования также состоит в замене исходного уравнения системой дифференциальных уравнений. Она имеет вид

£ = Аи + Р(и), А=( ° Е (21)

йг \ А21 А22 )

причем 0 и Е - соответственно, нулевая и единичная (И + 1) х (ТУ + 1) матрицы, и

/о 21 с2 Щ ■ с1 а.\ ■ с2 / 0 0 0 . • м

0 0 . . 0 -2гл 0 0 . . 0

0 0 . 0 , А22 = -2 т 0 0 . . 0

. 0 . 0

1° 0 0 . ■ ) \ -27/ДГ 0 0 . • ч

и = со1(и, 91,..., <?Л-, и, д[,..., д^г). Р(и) = со1(011^10, -и1 (и)/с?,^^

Л'+1 N

Первым важным результатом, полученным в этой главе, является теорема о существовании N + 3-параметрических непрерывных семейств решений системы (21) "не очень быстрого" роста.

Теорема 3.2 Пусть Г(и) удовлетворяет следующим условиям:

(МЫ): существует такая константа (, что при любых щ,и2 6 К выполняется условие

\Р{их)-Е{и2)\<^\их-и2\, (МЬ2): существует константа Р0 такая, что |^(гг)| < Кроме того, пусть выполняется условие: (01): с удовлетворяет двойному неравенству

(22)

Тогда для любого щ/2 < О, < щ существует М0, такое что

(a) множество начальных данных ^/+(0) для матричного уравнения

т

соответствующих решениям, удовлетворяющим оценке

||и(2)|| < М0еш, г > 0 (23)

гомеоморфно Мл'+3;

(b) множество начальных данных И'-. (О.) для матричного уравнения (21), соответствующих решениям, удовлетворяющим оценке

¡Иг)|| < М0е"Пг, г < 0 (24)

также гоА1еоморфно К'у+3.

Доказанное утверждение важно в следующем контексте. Решение системы (21) соответствует решению уравнения (15) с Е'-ядром тогда и только тогда, когда оно принадлежит и Ж_(Г2) и \У+(0) при некотором П < 7?]. Это означает, что размерность множества решений нелокального уравнения (15) с Е-ядром определяется размерностью пересечения И-_(£2) и Подсчет размерности этого пересечения в К2Л'+2 в

21

случае общего положения показывает, что естественной размерностью множества решений нелокального уравнения (15) с Е-ядром является размерность "три", при условии, что решения, переходящие друг в друга при сдвиге по г считаются эквивалентными.

Вторым важным результатом, полученным в этой главе является обобщение утверждения о дискретизации скоростей основных кинков, на случай уравнения (15) с .Е-ядром. Оно основывается на следующем факте:

Теорема 3.3 Пусть особая точка динамической системы, порожденной (21)

0{и = й, = д2 = ... = ди = 0, и' = 0, д\ = д'2 = ... = д'м = 0)

такова, что II'(й) ~ 0, А = II"(й) > 0. Пусть величины Т)*,...,^ попарно различны и упорядочены таким образом, что гЦ < ... < щ. Тогда характеристические показатели особой точки О представлены: (а) (ЛГ-Ь 1)-й парой действительных чисел А = ±ау, ] — 1,2,..., N —1, таких, что о,- € (сгц, ст^-н); (Ь) еще одной парой действительных чисел Л = ±а.л/, а^ € (0, сщ); (с) одной парой чисто мнимых значений Л = ±ги.

Из теоремы 3.3 следует существование N + 1-мерных устойчивого IV', и неустойчивого Ши многообразий особой точки О данной системы. Решение типа основного кинка соответствует гетероклинической траектории Г, соединяющей две особые точки такой системы, причем Г С IVй П И-". Вывод о дискретности значений с, при которых эти траектории существуют, делается исходя из подсчета размерностей пересечения этих многообразий в случае общего положения, при учете существования у этой системы первого интеграла и инволюций. В частности, если имеется решение типа 2тгп- кинка нелокального уравнения синус-Гордо-

на с -Е-ядром, которое обладает симметрией и(г0 + г) + и(г0 - г) = 2птт и соответствует скорости с = с*, то в случае общего положения не существует решений типа 2тгп-кинка, со скоростями с, лежащими в некоторой окрестности значения с = с*, т.е. таких, что с € (с* - е; с* + г) при некотором значении е > 0.

Четвертая глава посвящена исследованию уравнения (4) с ядром еще более общего вида. Предложен метод исследования решений уравнения (15). названный "методом вспомогательных полей". Основная идея метода заключается во введении системы дифференциальных уравнений, определенной в банаховом пространстве, порождаемой исходным нелокальным уравнением и эквивалентной ему на некотором классе функций. При этом основная переменная ("поле" и(г)) связана, вообще говоря, с континуумом вспомогательных переменных ("поля" Предложены две версии этого метода, относящиеся к случаям, когда (¡) ядро (?(£) допускает преобразование Лапласа (более общий случай) и (11) ядро ¿?(£) само является преобразованием Лапласа некоторой функции (частный случай). В последнем случае система дифференциальных уравнений, связанная с (15), имеет вид:

сЧг(-г) + и'{и{г)) =

9(т1)Чг(г;т)) ¿V, (25)

<?«(-; п) - V) = -Ът}иг{г), Г] € (0; оо); (26)

где С?(|£|) = ¡^е'^д^) ¿г). Система (25)-(26) обладает первым интегралом

1 = 1<?и1{г) + Щи{г)) + ±

—д^^т) --

1)ч2{г\фт] (27)

и, кроме того, может быть записана в гамильтоновом виде. Изучены свойства вспомогательных полей 3(2; 77) как аналитических функций парамет-

23

ра т] (предложения 4.2-4.4), Основываясь на этих свойствах, показано, как можно упрощать системы уравнений, возникающие при использования описанного метода.

Далее, выделен специальный класс ядер интегрального оператора -так называемые 5-ядра. Этот класс ядер является обобщением класса .Е-ядер, рассмотренных в главе 3. Доказано (предложение 4.12), что любое ядро 5-типа можно приблизить в ¿х-норме с любой точностью ядрами ¿'-типа. Доказаны некоторые утверждения, касающиеся нелокального уравнения Клейна-Гордона с 5-ядром. В частности, доказано, что если ядро интегрального оператора является ядром 5-типа, нелокальное уравнение Клейна-Гордона не допускает решений некоторых типов, в частности: бегущих четных уединенных волн, покоящихся нечетных локализованных объектов (предложение 4.10) и бегущих быстрых кинков (.предложение 4.11).

Наконец, рассмотрен вопрос о динамической интерпретации введенных систем уравнений. Вообще говоря, эта динамическая интерпретация возможна лишь в некоторых особых случаях. Доказано, что динамическую систему можно ввести, если ядро является преобразованием Лапласа от финитной функции д(г}) (К-ядро, в формулировках данной работы). Соответствующая теорема имеет вид

Теорема 4.1 Пусть д(г/) = 0 при т] > а и д(т]) б Ь2($\а). Пусть функция и'(и) удовлетворяет в некоторой окрестности и = щ условию Липшица с некоторой константой 7. Тогда решение системы (25)-(26) с начальными данными и( 0) = щ, иг( 0) = г'о, д(0 ,т/) — до (у), <7г(0,77) =Ро(7?); принадлежащими пространству

/С = К х К х Ь2{0; а) х Ь2(0; а).

сугцествует на некотором промежутке [0; г^), единст-венно и при каж-

дом г £ [0; 2д) принадлежит К.

Пятая глава посвящена использованию результатов главы 4 для численного нахождения основных кинков нелокального уравнения синус Гордона. Предложен подход для численного нахождения таких решений в случае ядра достаточно общего вида. Решения типа кинков при этом подходе приближаются периодическими или вращательными решениями того же уравнения с большим периодом Ь. Для нахождения этих периодических или вращательных решений применяется квази-ньютонов-ский итерационный процесс. Для получения начального приближения используется аппроксимация исходного нелокального уравнения системами дифференциальных уравнений, что эквивалентно аппроксимации исходного ядра ¿^-ядрами.

Предложенный подход применен для исследования двух частных случаев нелокального уравнения синус Гордона, важных для теории джозеф-соновских переходов. Первый из этих случаев отвечает модели джозефсо-новского перехода с нелокальной электродинамикой, в предположении, что сверхпроводящие электроды имеют бесконечную толщину (случай ядра (11)). Во втором случае рассматривается модель джозефсоновско-го перехода, образованного электродами конечной толщины (случай ядра (12)). Результаты численного счета в обоих случаях показывают, что не при каждом значении скорости с может быть осуществлен переход Ь —* оо, от периодических (вращательных) решений уравнения синус Гордона к решениям типа кинка. Те выделенные значения с, при которых этот переход возможен, образуют спектр возможных скоростей кинков нелокального уравнения синус Гордона. Эти значения могут быть найдены из условия обращения в нуль величины I (формула (27)), первого интеграла системы уравнений, возникающей при использовании метода вспомогательных полей. Таким образом, в главе содержится числен-

мое подтверждение явления дискретизации скоростей кинков для двух важных для физических приложений ядер интегрального оператора.

Далее, приведены результаты расчетов решений типа кинков для двух упомянутых выше частных случаев нелокального уравнения синус Гордона. Эти результаты показывают, что имеется глубокая аналогия между данными уравнениями и нелокальным уравнением синус Гордона с ^-ядрами. Как одни, так и другие уравнения допускают решение типа покоящихся 27г-кииков, а также решения типа 4тг~ и бтг-кинков. Более того, формы фронтов этих кинков оказываются качественно схожи с соответствующими формами фронтов кинков в модели с ядром Каца-Бейкера.

Наконец, проведено моделирование движения фронта, имеющего форму 2-х- кинка. Показано, что такие образования при небольших значениях параметра нелокальности являются долгоживущими и могут перемещаться на большие расстояния лишь с незначительной пот-ерей скорости. При больших значениях параметра нелокальности подвижность таких объектов оказывается существенно снижена.

Второе направление исследований связано с построением и анализом точных решений уравнения синус Гильберта-Н (13). Этой теме посвящена шестая глава. Глава предваряется обзором известных точных решений уравнения синус Гильберта-Н, среди которых четыре решения найдены в работах с участием автора. Представлены результаты численного эксперимента, свидетельствующие о неинтегрируемости данного уравнения. Эксперимент состоял в моделировании столкновения кинков и антикинков и выявил полное разрушение всех структур в результате их взаимодействия.

Далее, рассмотрена задача о малоамплитудных возбуждениях покоящихся периодических и вращательных структур, описываемых уравне-

нием синус Гильберта-П. Наиболее важным результатом исследований в этом направлении, по мнению автора, представляется построение полной зонной структуры для задачи устойчивости его периодических решений

/ \ ^ эт(хЛа)

и(х, а) = л- + 2 aгctg —Ц-а > 0, (28)

эп а 4 '

вращательных решений

и(х, ¡3) = 7Г + 2 аг^§ 0> 0, (29)

№ 2

а также его решения типа кинка

и{х) = я- + 2 arctg х (30)

В частности, задача о малых возмущениях периодических решений (28) определяется линеаризацией уравнения (13) на этом решении. Соответствующая задача на собственные значения имеет вид

ад

где ш = йа,А = а2. Эта задача, напоминает задачу Штурма-Лиувилля с Р-периодическим потенциалом, Р = ъ/и, но с нелокальным оператором вместо второй производной. Справедливо утверждение:

Теорема 6.3 Все представленные ниже пары а), А*(а)), д 6

[0; и), а тако/се пары (^(х, а), А^(а)), п= 1,2,,... являются решениями задачи (31):

1/2 у] {и- Чу- сЬ4 а + 1/4 + (ш - д) сЬ2 а

% (*:<*) = < —Т-7-'-— + ~-^7—-Г-Т-

' 8ш(ш1 — га) 31г.(ш1 + га)

1/2 - \/(ш-д)2 сЬ4 а + 1/4 Л"(а) =-У ^-, \-(в.)е[-^;0]; (32)

1/2 —/(w-g)2eh4«+l/4 + (a/-?)ch2

a

(33)

AW(a) = 1 + (n - !>,; + A<")(a) 6 [1 + (n - 1 + nwj. (34)

Формулы (32)-(34) описывают зонную структуру задачи (31). Она представлена первой нижней зоной, [-о>2;0], (зона "-", формулы (32)), второй нижней зоной, ¡1~ш2; 1], (зона"+", формулы (33)) и бесконечной последовательностью зон (34), которые сливаются в одну полубесконечную зону, [1; оо]. В точке А = 1 зона "+" стыкуется с полубесконечной зоной. Формулы (32)-(34) дают исчерпывающую информацию о зонной структуре задачи (31). Это вытекает из следующего утверждения: Теорема 6.4 Система функций

(формулы (32)-(34)), является полной системой функций в Ьг[~оо;оо].

Итак, окончательно, непрерывный спектр задачи (31) представлен двумя промежутками, i-w2;0j и [1 -^2;оо]. Стоит обратить внимание на то, что представленное решение (31) имеет традиционный для теории Флоке вид. Наличие отрицательных значений в спектре задачи говорит о неустойчивости периодических решений (28).

Решение задачи о малых возмущениях вращательных структур сводится к задаче на собственные значения (31) при помощи замен

{ф~, ф~, ф+ ,ф^ф^\ф[п\ п= 1,2,...},

(35)

в = 2а; у = хch2(/?/2); Â = A ch2 | - sh2 |

2 Р

(36)

Вращательные структуры оказываются устойчивыми. Задача о малоамплитудных возбуждениях решения типа кинка (30) получается путем предельного перехода а —» О

= W (37)

Ее решение получается из приведенного выше утверждения предельным переходом а —♦ 0 в формулах (32)-(34):

Фо{х) = —¿-2, Л0 = 0; ipq{x) = А, = 1 + g, g > О

i X X т 1

Третье направление исследований связано с изучением пульсирующих во времени и локализованных в пространстве структурам, описывающимся уравнением (4) (квази-бризерам). Этой теме посвящена седьмая глава. Для численного построения таких структур предложен метод, основывающийся на приближении профиля пульсирующей структуры первой гармоникой временного ряда Фурье. Предположив, что U'(u) — ви 4- Л/"(и), Л' (и) = о(и) при и —> 0, исходное уравнение (2) можно переписать в виде

ии - Си + ви + М{и) = 0. (38)

Подставляя в уравнение (2) разложение

оо

u(t,x) = cos(2n + 1 (39)

n-0

получаем для гармоник u2n+i(x) бесконечную систему уравнений. Очевидно, u\{x),uz{x),... ,ïi2„+i(x)... удовлетворяют нулевым граничным условиям на бесконечности, lim;c_»±00 u2n+i(x) — 0, n = 0,1,2,____ Системы, полученные путем удержания только первых N гармоник, могут быть использованы для нахождения приближений для квази-бризера. Если такое приближение оказывается достаточно хорошим, то решение

задачи Коши с начальными данными

N-1 д

я) = (х) > = о,

71=0

порождение!! уравнением (38), имеет вид осцилляций с периодом, приближенно равным Т = 2тгД<л Соответственно, численное решение этой эволюционной задачи позволяет выяснить, насколько адекватным оказалось построенное таким образом приближение.

Показало, что в ряде случаев одной гармоники гг^х) оказывается достаточно для получения хорошего приближения к решению типа квази-бризера. Подставляя в уравнение (38) единственную гармонику, и(£, а:) ~ щ(х) соэсих, получаем уравнение для амплитуды щ(х):

Сщ -{в- о;2)и3 + Щщ) = 0, (40)

где ^(щ) = М^'ьО, 0,...). Его решение, соответствующее граничным условиям Нтг_±00^х(а:) = 0 служит приближением для квази-бризера, описываемого уравнением (38). Дальнейшая проверка этого приближения связана с решением начальной задачи для уравнения (38) с начальными данными

Ои

и(0,х) = щ{х), —(0,х) = 0. (41)

Предложенный метод использован для построения решений типа квазн-бризеров для нелокального уравнения синус Гордона с тремя различными ядрами нелокального оператора. Более точно, рассмотрены: (А) уравнение синус Гильберта II; (В) нелокальное уравнение синус Гордона с ядром (12); (С) фрактальное уравнение синус Гордона

%-Л + зти = 0, 1<а<2. (42)

В случае (С) оператор Ва представляет собой дробную производную Рисса.

В ходе численных экспериментов показано, что (а) метод работает достаточно эффективно, и (Ь) образования типа квази-бризеров во всех трех рассмотренных моделях являются достаточно грубыми и долгожи-вущими.

На примере нелокальной модели джозефсоновского перехода, пункт (В), рассмотрен вопрос о возможности спонтанной генерации таких пульсирующих структур. Показано, что такие пульсирующие объекты могут возникать в результате столкновения 2тг-кинков и 27г-антикинков, при условии, что скорости участвующих в столкновении кинков и антикин-ков не превосходят некоторой критической скорости.

Исследования четвертого направления в значительной степени были спровоцированы задачей построения приближений для профиля квази-бризера главы 7, а именно, поиском точных решений уравнения (40) в некоторых частных случаях. Восьмая глава посвящена исследованию особых точек, возникающих при продолжении в комплексную плоскость решений нелокальных уравнений. В качестве основного объекта исследований выбрано уравнение

Пих -и + ир = 0, р> 1, peZ, (43)

где 7i - преобразование Гильберта. Рассматривались локализованные и периодические решения уравнения (43). В работе [32] показано, что продолжение в комплексную область локализованных решений уравнения (43) возможно. Одной из основных задач исследования был ответ на вопрос, также сформулированный в работе [32]: являются ли аналитические продолжения решений уравнений типа (43) степенями (возможно, дробными) мероморфных функций?

В главе 8 предложен метод исследования типов особых точек, основанный на сравнении асимптотик Фурье-разложений обеих частей урав-

нения. Для удобства формулировок, в работе введено понятие особой точки РР-типа. Особая точка z — z§ является особой точкой РР-типа функции ф(г), если в окрестности этой точки функция ip(z) представляется сходящимся рядом вида

1 00

= ГйЕЛ.С*-*«')" (44)

Основной результат, относящийся к 2Ь-периодическим решениям ui(x) состоит в следующем. Рассмотрим полуполосу Ql = {—L < Re2 < L, Imz < 0} и среди всего множества особых точек w £ Z^ функции ul(x), лежащих в этой полосе, выделим в ней подмножество ближайших к действительной оси изолированных особых точек:

¿W = J z € Z-u\ Im 2 = sup Im w [ weZW), lmti><0

Справедлива следующая теорема:

Теорема 8.2 Пусть Ui (х) является 2Ь-периодическим решением уравнения (43) при некотором р > 2, и допускает продолжение в нижнюю комплексную полуплоскость. Тогда множество Z^ не может состоять только из особых точек РР-типа.

Из

теоремы 8.2 следует, что аналитическое продолжение ul(x) не может быть никакой степенью мероморфной функции. Аналогичный результат (теорема 8.1) был доказан и для локализованных решений и(х), но при дополнительном предположении, что аналитическое продолжение и(х) имеет лишь конечное число особых точек с одинаковой мнимой частью.

Численное исследование локализованных и периодических решений уравнения (43) показало, что:

(а) в случае локализованных решений ближайшие к действительной

оси особые точки аналитического продолжения решения лежат на мнимой оси, г — ±Ш;

(б) в случае 21/-периодических решений ближайшие к действительной оси особые точки имеют вид г = 2пЬ ± гП, п 6 Ъ\

(в) асимптотическое представление периодических и локализованных решений в окрестности ближайшей к действительной оси особой точки с мнимой частью П, полученное аналитически

хорошо согласуется с численными результатами.

В Заключении сформулированы некоторые нерешенные задачи, исследование которых представило бы интерес для дальнейшего развития данного направления.

Диссертация снабжена тремя приложениями. Приложение А содержит сводку известных сведений об уравнении синус Гордона и уравнении ó4 в локальном случае. Приложение Б включает описание некоторых численных алгоритмов, которые использовались при нахождении решений нелокальных уравнений. Наконец, в Приложении В помещены доказательства нескольких лемм, используемых в восьмой главе.

Список публикаций автора, непосредственно относящихся к теме диссертации

Звездочкой помечены издания из списка ВАКа и издания, которые индексируются системой Web of Science.

1. Алфимов Г.Л., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О динамических системах теории солитонов при учете нелокальных взаимодействий// Меж-

1

—х: + о(1)

(45)

вузовский сборник "Методы качественной теории и теории бифуркаций", ред. Л.П.Шильников, Н.Новгород, 1991. - с. 4-17.

2*. Алфимов Г.Л., Силин В.П. Мелкомасштабные пространственно-периодические джозефсоновскиеструктуры//ЖЭТФ, 1994 -Т.106, вып.2, стр 671-685.

3*. Алфимов Г.Л., Силин В.П. О возбуждениях в мелкомасштабных вихревых структурах Абрикосова-Джозефсона//ЖЭТФ, 1995. - т.108, вып.5, стр 1668-1685.

4*. Алиев Ю.М., Алфимов Г.Л., Овчинников К.Н., Силин В.П., Урю-пин С.А. Вихри Абрикосова-Джозефсона// Физика низких температур, 1996. - т.22, N6, стр.626-628.

5*. Алфимов Г.Л. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа "кинк" в пределе слабой нелокальности// Нелинейная динамика, 2009. - т.5, N4, стр. 585-602.

6*. Алфимов Г.Л. О размерности множества решений нелокального нелинейного волнового уравнения// Нелинейная динамика, 2011.- т.7, N2. сс. 209-226.

7*. Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E. Dynamical systems in the theory of solitons in the presence of nonlocal interactions// Chaos, 1992. - v.2 N4, pp.565-570.

8*. Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E., Mitskevich N.V. Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions// Chaos, 1993-v.3(3), p.405-415.

9*. Alfimov G.L., Silin V.P. On small perturbations of stationary states in a nonlinear nonlocal model of a Josephson junction//Phys.Lett.A, 1995-v.198, pp.105-112.

10*. Alfimov G. L., Popkov A. F. Magnetic vortices in a distributed Josephson junction with electrodes of finite thickness// Phys.Rev.B, 1995 -

v. 52, pp. 4503-10.

11. Alfimov G.L. On a nonlocal sine-Gordon equation//in: Nonlinear and Klein-Gordon and Schrödinger systems: theory and applications. Proc. of Conference, El Escorial, Madrid, Spain, 25-30 September, 1995, ed. L.Vázquez, L.Streit, V.Pérez-Garcia, World Scientific Publishing Co, 1996, pp.257-261.

12*. Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Lerman L.M. Solitary wave solutions of nonlocal sine-Gordon equations//Chaos, 1998. - v.8, N1, pp.257-271.

13*. Alfimov G.L., Usero D., Vázquez L. On complex singularities of solutions of the equation Hux ~u + uv = 0// J.Phys.A: Math.Gen., 2000. -v. 33, pp.6707-6720.

14. Alfimov G., Pierantozzi T, Vazquez L. Numerical study of a nonlocal sine-Gordon equation//in: Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects, ed. by F.Kh.Abdulaev, V.V.Konotop, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht - Boston -London, 2004. - pp.121-128.

15*. Alfimov G. L., Popkov A. F. Nonlocal electrodynamics of fluxons and nonlinear plasma oscillations in a distributed Josephson junction with electrodes of arbitrary thickness// Phys. Rev. B, 2006 - v. 73, 214512

16. Alfimov G., Pierantozzi T., Vazquez L. Numerical study of a fractional sine-Gordon equation// in: Fractional Differentiation and its Applications, ed-s A. Le Mahaute, J. A. Tenreiro Machado, J. C. Trigeassou y J. Sabatier (Eds), 2006. - UBooks Verlag, Neusab, p. 153-162.

17*. Abdumalikov A.A. (Jr), Alfimov G.L., Malishevskii A.S. Nonlocal electrodynamics of Josephson vortices in superconducting circuits// Supercond. Sei. Technol., 2009 - v.22, 023001.

18*. Alfimov G.L., Medvedeva E.V. Moving nonradiating kinks in nonlocal (p4 and <f>4 - <p6 models//Phys. Rev. E., 2011. - v.84, 056606.

19*. Alfimov G.L. On analytic properties of periodic solutions for equation Hu£ -u-tv? = 0.// J. Phys. A: Math. Theor., 2012, v. 45, 395205.

Список литературы, цитируемой в автореферате

|1] Френкель Я.И., Конторова Т. К теории пластической деформации и, двойникования. Ч.1//ЖЭТФ, 1938. - т.8(1), стр.89-95.

[2] Френкель Я.И., Конторова Т. К теории пластической деформации и двойникования. Ч.2//ЖЭТФ, 1938. - т.8(12), стр.1340-48.

[3] Браун О., Кившарь 10. Модель Френкеля-Конторовой. Концепции, методы, приложения. -М.: Физматлит, 2008. - 519 с.

[4] Mingaleev S.F., Gaididei Yu.B., Majernikova E., Shpyrko S. Kinks in the discrete sine-Gordon model with Kac-Baker long-range interactions//Phys. Rev. E, 2000. - v.61(4), p.4454-4461.

[5] Woafo P., Kenne J.R., Kofan6 Т.О. Topological solitons in a sine-Gordon system with Kac-Baker interactions// Journal of Physics: Cond. Matt., 1993. - v.5(10), L123-L128.

[6] Sarker S.K., Krumhansl J.A. Effect of solitons on the thermodynamic properties of a system with long-range interactions// Phys.Rev.B, 1981. - v.23, pp.2374-2387.

[7] Woafo P., Kofane T.C, Bokosah A.S. Discreteness effects in а ф4 chain with long-range interactions//J.Phys.: Condens. Matter, 1991. - v.3, pp.2279-2286.

[8] Braun O.M., Kivshar Yu.S., Zelenskaya I.I. Kinks in the Frenkel-Kontorova model with long-range interparticle interactions.// Phys.Rev.B, 1990. - v.41, pp.7118-7138.

[9] Самко С. Г.. Кильбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производ-

ные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и Техника, 1987. - 688 с.

[10] Иванченко Ю.М., Соболева Т.К. Джозефсоновский переход с нелокальным взаимодействием// Письма в ЖЭТФ, 1990 - т.51, вып.2, стр 100-102.

[11] Алиев Ю.М., Силин В.П., Урюпин С.А. К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсоновских контактах// СФХТ. 1992. -Т.5, N2, стр.228-235.

[12] Gurevich A. Nonlocal Josephson electrodynamics and pinning in superconductors//Phys. Rev. В., 1992. - V.46, N5, pp.3187-3190.

[13] Abdumalikov A.A. (Jr), Alfimov G.L., Malishevskii A.S. Nonlocal electrodynamics of Josephson vortices in superconducting circuits// Supercond. Sci. Technol., 2009 - v.22, 023001.

[14] Abdumalikov A.A. (Jr.), Fistul M.V., Ustinov A.V. Vortex radiation in long narrow Josephson junctions: Theory and experiment.//Phys.Rev.B, 2005. - v.72, 144526.

[15] Abdumalikov A. A. (Jr.), Kurin V. V., Helm C., De Col A., Koval Y., Ustinov A. V. Nonlocal electrodynamics of long ultranarrow Josephson junctions: Experiment and theory//Phys. Rev. B, 2006. - v.74, 134515.

[16] Savel'ev S., Yampol'skii V., Rakhmanov A., Nori F. Terahertz Josephson plasma waves in layered superconductors: spectrum, generation, nonlinear and quantum phenomena//Rep. Prog. Phys. 2010.- v.73, 026501

[17] Alfimov G. L., Popkov A. F. Magnetic vortices in a distributed

Josephson junction with electrodes of finite thickness// Phys.Rev.B, 1995 - v. 52, pp. 4503-10.

[18] Alfimov G. L., Popkov A. F. Nonlocal electrodynamics of fluxons and nonlinear plasma oscillations in a distributed Josephson junction with electrodes of arbitrary thickness// Phys. Rev. B, 2006 - v. 73, 214512

[19] Алиев Ю.М., Овчинников K.H. Силин В.П., Урюпин С.А. Нелокальная джозефсоновская электродинамика слоистых структур// ЖЭТФ, 1995. - т. 107, вып.З, стр 972-988.

[20] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A. Ютг-kink and conception of Cherenkov gluing of the Josephson vortices//Phys. Lett. A, 2000. - v. 270, pp.347-352.

[2,1] Малишевекнй A.C., Силин В.П., Урюпин C.A. Склеивание джозеф-соновских вихрей черенковски-захваченными волнами Свихарта//' ЖЭТФ, 200Q - т.117, вып. 4, стр. 771-789.

[22] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A., Uspenskii S.G. Vortex chains travelling with discrete velocities//Phys. Lett. A, 2008. - v.372, pp.4109-4114

[23] Косевич A.M., Гришаев В.И. Об условиях существования 1D магнитных солитонов с частотными характеристиками, попадающими в сплошной спектр. // Физика низких температур, 2002. - т.28 (8-9), с.834-839.

[24] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A. 4тг-ктк vortices in long Josephson junctions//Phys.Lett.A, 1999. - v.253, pp.333-340.

[25] Силин В.П., Студенов A.B. О квантованности движения и черепковской структуре джозефсоновского вихря// ЖЭТФ, 2000. - т.117, вып. 6, стр 1230-1241.

[26] БлеонскиЙ В.М., Кулагин Н.Е. О спектре скоростей топологических солитонов в нелокальной джозефсоновской электродинамике// ЖЭТФ, 2001 - т.119, вып. 5, сгр 971-978.

[27] A.V. Savin, Y. Zolotaryuk, J.C. Eilbeck, Moving kinks and nanopterons in the nonlinear Klein-Gordon lattice// Phys. D, 2000. - v. 138, p.267-281.

[28] Peierls R. The size of a dislocation// Proc.Phys.Soc.London, 1940. -v.52, pp.34-37.

[29] Seeger A. Theorie der Gitterfehlstellen, in Handbuch der Physik, v.7, Part 1, Kristallphysik, Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1955, p.383.

[30] Aliev Yu. M., Silin V. P. Travelling 47r-kink in nonlocal Josephson electrodynamics// Phys. Lett. A, 1993 - v.177, pp.259-62.

[31] Силин В.П., Урюпин С.А. Вихри Абрикосова-Джозефсона в слоистой туннельной структуре// ЖЭТФ, 1995. - т. 108, вып. 6, с. 2163-2185.

[32] Li Yi.A., Bona J.L. Analyticity of solitary-wave solutions of model equations for long waves// SIAM J.Math.Anal, 1996 - v.27 (3), pp.725-737.

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

05201450862 Алфимов Георгий Леонидович

Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной

нелокальностью

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2014

Содержание

Введение ..........................................................................5

1. Локальные и нелокальные задачи теории нелинейных волн .... 5

2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона в моделях нелинейных решеток ..........................................................10

3. Нелокальное уравнение синус Гордона в джозефсоновской электродинамике ..................................................................15

4. Краткий обзор известных результатов о нелокальном нелинейном уравнении Клейна-Гордона..............................................21

5. Структура диссертации и положения, выносимые на защиту .... 23

6. Основные предположения, терминология и обозначения..............32

Глава 1. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона: кин-

ки в пределе слабой нелокальности....................................39

1.1. Динамическая интерпретация уравнения (1.3) ........................40

1.2. Нелокальное нелинейное уравнение синус Гордона в пределе слабой нелокальности ............................................................53

1.3. Нелокальное нелинейное уравнение фА в пределе слабой нелокальности ......................................................................65

1.4. Заключение к главе 1......................................................67

Глава 2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Каца- Бейкера. Решения типа бегущих волн..................70

2.1. Связь решений системы уравнений (2.5)-(2.6) с решениями нелокального уравнения (2.2)..................................................72

2.2. Динамическая интерпретация нелокального уравнения..............75

2.3. Решения типа основных кинков и антикинков уравнения (2.2) ... 76

2.4.

2.5.

2.6.

Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром типа Каца-Бейкера.

Нелокальное уравнение фА с ядром типа Каца-Бейкера.......

Заключение к главе 2..........................

83 104 108

Глава 3. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Е-ттша. Решения типа бегущих волн...............111

3.1. Связь решений системы уравнений (3.4)-(3.5) и решений нелокального уравнения (3.2)...........................113

3.2. Движущиеся кинки: явление дискретизации скоростей........123

3.3. Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру. ... 130

3.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром Е^типа........133

3.5. Заключение к главе 3...........................138

Глава 4. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром общего вида. Решения типа бегущих волн...........142

4.1. Метод вспомогательных полей.....................143

4.2. Класс 5-ядер. Свойства уравнения (4.2) с ¿'-ядром..........157

4.3. О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями 162

4.4. Заключение к главе 4...........................166

Глава 5. Решения типа кинков нелокальных уравнений джозефсо-новской электродинамики ........................169

5.1. Численный метод для нахождения решений типа 27гА;-кинков. . . . 170

5.2. Джозефсоновский переход между массивными сверхпроводящими электродами................................174

5.3. Джозефсоновский контакт с электродами конечной толщины. . . 186

5.4. Заключение к главе 5 ..........................191

Глава 6. Уравнение синус Гильберта-П: точные решения и их устой-

чивость....................................194

6.1. Точные решения уравнения (6.1)....................194

6.2. Является ли уравнение синус-Гильберта-И интегрируемым? .... 200

6.3. Спектр малых периодических возбуждений состояний (6.3), (6.5) и (6.2)....................................201

6.4. Зонная структура нелокальных задач (6.28) и (6.42) ........210

6.5. Заключение к главе 6...........................216

Глава 7. Пульсирующие решения нелокального уравнения синус Гордона....................................218

7.1. Общие замечания ............................218

7.2. Численное построение решений типа квази-бризера для нелокального нелинейного волнового уравнения. Общая схема..........219

7.3. Квази-бризеры в модели джозефсоновского перехода с нелокальной электродинамикой............................222

7.4. Численное построение решений типа квази-бризера для уравнения синус Гильберта II............................232

7.5. Заключение к главе 7...........................240

Глава 8. Уравнение 1~Сих — и + ир — 0 и аналитические свойства его решений ...................................242

8.1. Постановка задачи............................242

8.2. Некоторые необходимые утверждения.................245

8.3. Аналитические свойства локализованных решений уравнения (8.5) 249

8.4. Аналитические свойства периодических решений уравнения (8.5) . 260

8.5. Заключение к главе 8..........................267

Заключение ...................................271

Приложение А. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона: локаль-

ный случай, необходимые сведения..................276

А.1. Уравнение синус-Гордона........................276

А.2. Уравнение ф4...............................285

Приложение Б. Применение метода обратных итераций для решения уравнений вида Ьи = /(и)......................289

Приложение В. Доказательство лемм 8.1 и 8.3 к главе 8 .....292

Литература ...................................298

Введение

1. Локальные и нелокальные задачи теории нелинейных волн

Бурное развитие теории нелинейных волн во второй половине 20-го века позволило выделить круг нелинейных задач, которые можно считать классическими. К ним, безусловно, можно отнести задачи, связанные с уравнением Кортевега- де Вриза (КдВ), нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), нелинейным уравнением Клейна-Гордона и его частным случаем - уравнением синус Гордона, а также еще с рядом модельных уравнений. Для указанных уравнений характерно то, что они возникают одновременно в нескольких различных по своей природе физических приложениях в качестве простейшего нелинейного приближения. Некоторые из этих уравнений, в частности уравнения КдВ, НУШ и синус Гордона, также выделяются своими замечательными математическими свойствами. Нелинейные объекты, такие как кинки, бризеры, кноидальные волны, которые описываются этими уравнениями, в настоящее время стали естественными элементами языка многих разделов теоретической физики.

Вместе с тем, дальнейшее развитие и уточнение исходной физической модели, как правило, требуют корректировки математической постановки задачи. В целом ряде случаев дальнейшее уточнение модели приводит к нелокальным (инте-гродифференциальным) уравнениям. Одним из традиционных "источников" появления нелокальности в уравнениях, описывающих физическую модель, является учет дальнодействия. Задачи такого типа характерны для решеточных моделей, возникающих, например, в теории дислокаций, теории поверхностного слоя, при исследовании динамики ДНК и т.д. Другая возможность появления нелокальности связана с учетом сложного закона дисперсии. Нелокальные уравнения такого рода типичны, в частности, для задач гидродинамики и нелинейной оптики.

Одним из примеров нелокального обобщения классической задачи является переход от уравнения КдВ,

щ + 2иих + иххх = 0, (1)

к интегродифференциальному уравнению

оо

щ + 2иих + й(х - х')их>(х', £) йх' = 0. (2)

—с»

Уравнение (2) было предложено Дж. Уиземом [1] для описания процессов обострения и опрокидывания волн на поверхности жидкости, и в настоящее время часто называется уравнением Уизема. Ядро при этом выбирается соответствую-

щим реальному закону дисперсии линейных поверхностных волн. Уиземом было показано, что такое сочетание "гидродинамической" нелинейности, ~ иих, и интегрального члена, характеризующего линейную дисперсию среды, позволяют на качественном уровне описать явления обострения и опрокидывания волн. При этом в некоторых случаях сохранялись и солитонные свойства уединенных волн, характерные для уравнения КдВ. Обзор различных модификаций уравнения (2) и соответствующие ссылки на литературу можно найти в монографии [2].

Другой характерный пример, когда учет дальнодействия в классической модели приводит к нелокальному уравнению с качественно новыми свойствами, связан сНУШ

гщ + ихх + \и\2и = 0. (3)

Уравнение (3) в непрерывном приближении описывает динамику одномерной цепочки частиц при учете взаимодействия ближайших соседей. Ю.Гайдидеем и его соавторами было обнаружено [3, 4], что учет взаимодействий между всеми частицами цепочки приводит к нелокальному обобщению НУШ вида

гщ +

в(х - х')их,х,{х', г) с1х + \и\2и = 0 (4)

-оо

причем уравнение (4) позволяет описать режимы с обострением, явления биста-бильности а также локализованные состояния с медленно убывающей асимптотикой. Ядро в этом случае определяется законом взаимодействия между частицами цепочки.

В двух приведенных выше примерах нелокальное уравнение возникало при уточнении дисперсионного члена уравнения. Вместе с тем имеется большое количество примеров, когда нелокальность возникает в нелинейном члене уравнения. В частности, в настоящее время имеется обширная литература, посвященная нелокальным обобщениям НУШ вида

гщ + А и + и

С?(|г — г'|)|«(г)|2 сЬс = 0. (5)

Здесь А - оператор Лапласа, а - ядро, определяемое физикой задачи. Уравнения типа (5) возникают одновременно в различных приложениях, в том числе, в задачах физики плазмы [5], физики жидких кристаллов [6], нелинейной оптике [7-9] и теории конденсата Бозе-Эйнштейна [10]. Известно, что учет нелокальности в нелинейном члене приводит к существенным изменениям свойств модели, в частности, потере коллапсирующих решений и стабилизации неустойчивых вихревых структур.

В данной диссертационной работе рассматривается круг нелокальных задач, связанных с обобщением еще одного классического уравнения: пространственно одномерного нелинейного уравнения Клейна-Гордона

ии-ихх + Р(и) = 0, Г(и) = и'(и). (6)

Здесь штрих означает производную1. В задачах, имеющих различное физическое происхождение, зачастую уточнение физической модели приводит к замене второй пространственной производной на некоторый интегродифференциальный опе-

1 Использование наряду с нелинейностью Р(и) потенциала и (и), как будет видно из дальнейшего, достаточно удобно.

ратор С. Основное уравнение при этом принимает вид

ии - Си + = 0, Г(и) = V(и). (7)

Уравнение (7) естественно назвать нелокальным нелинейным уравнением Клейна-Гордона или нелинейным нелокальным волновым уравнением. Достаточна типична ситуация, при которой оператор С является мультипликатором Фурье. В этом случае действие оператора С на функцию и(х) в пространстве Фурье сводится к умножению преобразования Фурье й(си) на некоторую функцию ф{ш),

Си(ш) — ф(ш)й(и),

называемую символом оператора С. Сохраняя преемственность записи, выделим в С вторую пространственную производную. В этом случае действие оператора С, на функцию и{х) можно определить формулой

оо

д

Си =

ох

в{х - х')их,(х') &х'. (8)

—оо

Символ оператора С при этом имеет вид ф(ш) = — и2 СИ (и), где С!(ш) - преобразование Фурье ядра £(£)• Уравнение (7) принимает вид

оо

д

ии - тг

ох

в(х - х')их>(х', Ь) (1х + Г (и) = 0. (9)

—оо

В такой записи переход —> 5(£) соответствует возвращению к традицион-

ному (локальному) нелинейному уравнению Клейна-Гордона (6). Тип ядра С?(£) и нелинейности Р(и) определяется физической постановкой задачи. Интегралом энергии для уравнения (9) является величина

е =

оо

[\$-\чСч + Щч)\^ § = 0. (10)

Даже предварительный анализ показывает, что переход от уравнения (6) к его нелокальному обобщению (9) может сопровождаться существенным изменением

свойств модели. Во-первых, существенным отличием уравнения (9) от уравнения (6) является отсутствие у этого уравнения релятивистской инвариантности, которая обуславливает существование непрерывного спектра скоростей нелинейных волн. Во-вторых, сравним дисперсионные соотношения, определяемые уравнениями (6) и (9). Предполагая, что F(u) ~ и при и —> 0, подставляя в уравнение (9) выражение и ~ exp{icj(a: — ct)} и отбрасывая нелинейные члены, получаем

-cV + 1 + uj2G(cj) = 0 (И)

где G{uj) - преобразование Фурье ядра (в случае уравнения (6) имеем то же соотношение (11) с G{uS) = 1). Действительные корни уравнения (11) при фиксированном значении с, с2 < 1, определяют частоты малоамплитудных колебаний вблизи нулевого состояния равновесия и — 0. Очевидно, что для широкого класса ядер G(£) уравнение (11) имеет действительные корни и = ш* (см. лемму 4.9 в разделе 4.2), в то время, как в случае G(w) = 1 таких корней нет. Наличие гармонических осцилляций с такой частотой, движущихся со скоростью с, |с| < 1, может оказаться фатальным для семейства локализованных волн. В частности, это может привести к "приклеиванию" этих осцилляций к локализованной волне, также бегущей со скоростью с, таким образом, что условие строгой локализации при х —> ±оо оказывается нарушенным. Восстановление условия строгой локализации может произойти лишь при выделенных значениях параметров задачи. Подобная ситуация возникала в различных физических моделях, в частности в задачах нелинейной оптики [11-13] и гидродинамики [14, 15]. Локализованные волны, существование которых возможно лишь при фиксированных значениях внешнего параметра получили название embedded solitons [16]. Они активно исследовались теоретически и численно (см. напр. работы [17,18] и обзор [19]). В данной диссертации показано, что разрушение семейства локализованных бегущих волн уравнения (9) происходит именно по такому сценарию.

В целом настоящая диссертационная работа посвящена детальному изучению

свойств уравнения (9) и выделению его характерных черт, общих для различных типов ядер Наибольшее внимание в работе будет уделено двум случаям:

случаю синусной нелинейности,

Г(и) — эти, и (и) = 1 — соя и, (12)

(уравнение синус-Гордона), и случаю кубической нелинейности,

Р(и) = -и + и3, Щи) = ± - ¿и2 + (13)

(уравнение ф4). Именно эти типы нелинейностей являются модельными, и, как будет показано в дальнейшем, возникают независимо в различных приложениях. Заметим, что исследованию моделей, где нелокальность возникает в нелинейном члене (6), также посвящен ряд работ, (см. напр. [20, 21, А12]), но этот круг задач выходит за рамки данной диссертационной работы.

В следующих двух разделах, 2 и 3, будут приведены примеры двух типов физических моделей, где естественным образом возникает уравнение (9).

2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона в моделях нелинейных решеток

Рассмотрим цепочку частиц единичной массы, взаимодействующих друг с другом и находящихся в поле некоторого периодического внешнего потенциала КиьСи)- Предположим, что частицы могут двигаться только в одном измерении. Пусть ип - безразмерная координата п-й частицы цепочки. Энергия системы частиц складывается из кинетической и потенциальной составляющих. Кинетическая энергия цепочки имеет вид

п 4 '

Потенциальная энергия цепочки £/, в свою очередь, складывается из энергии взаимодействия частиц друг с другом и энергии их взаимодействия с внешним потенциалом. Первое из этих двух слагаемых записывается в виде

и1П1 = - Утп),

п т>п

где Утг{и) - потенциал взаимодействия частиц данного типа (см. ниже). Вклад второго слагаемого равен

изиъ =

п

Тогда уравнения движения частиц цепочки можно вывести из следующего гамильтониана

Н = К + иш + изиЬ = (^г) + Л Угт{ип ~ ит) + УзиЬ{ип) 1. (14)

п ^ ^ ' т>п )

Предполагая гармоничность взаимодействия между частицами, гамильтониан (14) можно переписать в виде

Н = +Лугп-п{ип-ит)2 + УзиЬ{ип) 1 (15)

п ^ ^ ' т>п )

где Уп-т - бесконечная симметричная матрица, элементы которой заданы законом дальнодействия. Модели такого типа используются в большом числе физических приложений, в том числе в теории дислокаций [24-26], теории магнетиков [27, 28], моделях динамики ДНК [29, 30],(см. также [31], гл. 5), и других областях. Стоит сослаться, например, на монографию [32], содержащую обширную литературу, а также работу [33], где для перехода к нелокальному описанию в достаточно общем случае используются универсальные энергетические принципы.

Обсудим некоторые примеры систем, динамика которых определяется гамильтонианом (14).

Vint

-e-

Рис. 1. Цепочка, соответствующая гамильтониану (14).

1. Предположим, что взаимодействие между ближайшими "соседями" в цепочке является доминирующим,

1/2/г2, если т = п + 1 О, если т ф п + 1.

(к - действительный параметр). Тогда для динамики цепочки возникает возникает следующая система уравнений

VТ). —?77

d2ur

~ Та ~~ 2Un + + Vsub(un) = 0, п = 0 ± 1, ±2,...

(16)

Gh(0 =

(17)

dt2 h2

Вводя функцию и(х, ¿), совпадающую в узлах хп = nh со значениями un(t), можно записать систему (16) в виде (9) со следующим "треугольным" ядром, см. Рис.2,

(h - |<е|)//12, о < ICI < /г

0, > /I.

Для проверки этот факта достаточно дважды проинтегрировать по частям интегральный член в уравнении (9). Нетрудно убедиться также, что учет влияния конечного числа более отдаленных "соседей" также приводит к уравнению (9) с кусочно-линейным ядром более сложного вида.

Приведенная выше модель достаточно хорошо изучена. В частности, обширная литература посвящена случаю периодического потенциала

Vsub(u) = 1 - cos и. 12

1 и

-и

Рис. 2. "Треугольное" ядро (?(£) уравнения (9), соответствующее учету взаимодействия ближайших соседей в цепочке частиц.

В этом случае модель носит название модели Френкеля-Конторовой, [24, 25], (см. монографию [32], содержащую большое количество ссылок).

2. Предположим, что на каждую частицу влияют не только ближайши