Дискретные модели некоторых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Дискретные модели, порождаемые оператором Лапласа в двумерном евклидовом постранстве

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Инвариантные дифференциальные операторы

1.1.2 Комбинаторная модель К2.

1.2 Дискретный аналог интеграла Коши.

1.2.1 Предварительные сведения.

1.2.2 Дискретный аналог уравнений Коши-Римана

1.2.3 Двойные формы.

1.2.4 Разностный аналог интеграла Коши.

1.3 Разностное уравнение Пуассона на криволинейной сетке.

1.3.1 Операция взятия обратного образа дискретных форм.

1.3.2 Обобщенное преобразования Абеля, дискретная задача Дирихле

1.4 Разностный аналог одной нелокальной граничной задачи для уравнения Пуассона.

2 Дискретные модели в псевдоевклидовом пространстве

2.1 Разностные аналоги инвариантных гиперболических систем первого порядка.

2.1.1 Введение.

2.1.2 Комбинаторная модель псевдоевклидового пространства

2.1.3 Дискретная задача Коши.

2.1.4 Дифференциально-разностная модель системы (1.1).

2.1.5 Аппроксимация и предельный переход.

2.2 Дискретные модели, порождаемые волновым оператором.

2.2.1 Разностный аналог смешанной задачи для волнового уравнения.

2.2.2 Дифференциально-разностная модель.

3 Дискретные модели уравнений Янга-Миллса

3.1 Связность, кривизна и калибровочные преобразования.

3.2 Дискретные модели уравнений Янга-Миллса в п -мерном евклидовом пространстве

3.2.1 Калибровочная инвариантность дискретных уравнений Янга-Миллса.

3.2.2 Комбинированная модель.

3.2.3 Дискретная модель оператора сопряженного с оператором ковариантного дифференцирования.

3.3 Дискретная модель уравнений Янга-Миллса в пространстве

Минковского.

3.3.1 Комбинаторная модель пространства Минковского.

3.3.2 Разностные уравнения Янга-Миллса.

3.3.3 Скалярное произведение, формально сопряженный с d°A оператор.

3.4 Разностные уравнения автодуальности и антиавтодуальности

4 Дискретные модели на сфере

Настоящая работа посвящена исследованию внутренним образом определяемых дискретных моделей задач математической физики. Это значит, что используя современные дифференциально-геометрические методы, рассматривается не просто разностная аппроксимация исходного континуального объекта, а строится дискретный аналог этого объекта, исходя из дискретизации его геометрической структуры.

Рассматриваемый дифференциально-геометрический подход к построению дискретных моделей опирается на формализм, предложенный А. А. Дезиным в [4]. Основная идея этого формализма заключается в том, что, рассматривая евклидово пространство как частный случай риманового многообразия, моделируется дискретный аналог римановой структуры на нем. Известно, что кроме задания строго положительно определенной метрики, важными элементами римановой структуры являются инвариантные дифференциальные операторы (дифференциал и ко дифференциал), операция метрического сопряжения * и возможность определения инвариантного скалярного произведения дифференциальных форм.

В [4] построена специальная конструкция, позволяющая провести дискретизацию выше указанных элементов римановой структуры с сохранением важнейших свойств континуальной теории. Вместе с тем, следует отметить, что инвариантные дифференциальные операторы имеют непосредстенную связь с основными операторами векторного анализа: grad, div, rot.

С точки зрения численного решения задач математической физики на основе разностных методов является важным, как отмечалось в обзорной статье А. А. Самарского [26], предъявление требования абстрактности к теории разностных схем, т. е. трактовки разностных схем как семейств операторных или операторно-разностных уравнений с операторами, заданными в гильбертовом пространстве. Требование такого типа состоит в перенесении важнейших свойств исходных дифференциальных уравнений на их разностные аналоги. Здесь особенно важными являются свойства консервативности [24] и полной консервативности [25].

Среди идейно близких к нашему общих подходов, существующих в вычислительной математике, следует отметить вариационный подход [3, 14, 27, 44]. Этот подход позволяет строить разностные схемы, обладающие отмечеными выше свойствами.

Известно, что независимо от выбранного подхода, для представления разностной схемы в операторном виде является важным построение согласованых разностных аналогов основных дифференциальных операторов математической физики [27, 28]. Рассмотрение разностных операторов grad, div, rot впервые было проведено в работах [15, 16] путем их непосредственной аппроксимации конечными разностями для ортогональных систем координат и прямоугольных сеток.

Из обширного списка литературы, посвященной данной теме, отметим еще работы [29, 30, 32, 33, 49].

Попытка дискретизации римановой структуры на компактных многообразиях, по-видимому, впервые была предпринята в [50, 51, 52]. В этих работах основное внимание сосредоточено на изучении геометрических свойств построенных дискретных объектов. Вместе с тем, с точки зрения теории дифференциальных операторов рассматривается дискретный аналог оператора Бельтрами-Лапласа на компактных ри-мановых многообразиях (конечно-разностная теория Ходжа гармонических форм). Исследуется задача на собственные значения для разностного лапласиана и по собственных значениях разностных задач строится аппроксимация собственных значений континуального оператора Бельтрами-Лапласа. Развитие этого подхода на многообразия более общего типа нашло место в работах [48, 53, 54].

Более близкий в идейном плане подход к нашему был предложен в [58, 59]. Здесь вместе с конечномерной аппроксимацией операторов внешнего дифференцирования, кодифференцирования и лапласиана строится пространство разностных г-форм. Излагается теорема о сходимости и формулируются предположения об устойчивости.

В последнее время появилась серия работ [12, 19, 20, 21], посвященная изучению спектральных свойств дискретных операторов Шредингера. Используя топологические методы, строятся самосопряженные разностные операторы первого и второго порядка на симплициальных комплексах. В [12, 19] предлагается процедура дискретизации преобразований Лапласа дла операторов Шредингера, рассматриваются нестандартные дискретные аналоги связностей и кривизны. В [20, 21] введено понятия комбинаторного аналога вронскиана - симплектический вронскиан - и исследуются его топологические свойства для широкого класса операторов на симплициальных комплексах.

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Первая глава посвящена исследованию некоторых дискретных моделей в двумерном евклидовом пространстве, связанных с инвариантными дифференциальными операторами и оператором Лапласа. Полученные здесь результаты являются непосредственным обобщением соответствующих результатов [4].

В п. 1.1 приведены основные определения и понятия теории дифференциальных форм, используемые для построения комбинаторных аналогов дифференциальных операторов в интересующем нас контексте. Описана также схема построения комбинаторной модели двумерного евклидо-вого пространства с последующим переходом к определению разностных операторов и описанию их основных свойств.

В перечне неисследованных проблем [4], связанных с рассматриваемыми моделями, ставится вопрос о привлечении "комбинаторной модели" для получения содержательных результатов, относительно аналога интеграла типа Коши. В п. 1.2, основываясь на результатах [1, 22] континуальной теории, построен дискретный аналог интеграла Коши. Введены понятия дискретных двойных форм и дискретного аналога голоморфной формы. Сформулирован и доказан дискретный аналог теоремы Коши для голоморфных форм.

В п. 1.3 рассматривается один из способов обобщения формализма [4] на "непрямоугольные" областя. Здесь возникает вопрос о разумном включении в рассмотрения дискретного аналога метрического тензора. Опять же, используя геометрический подход, на пространстве дискретных г -форм определяется дискретный аналог операции взятия обратного образа. С помощью этой операции выписываются разностные аналоги уравнения Пуассона в конечномерных гильбертовых пространствах дискретных форм на неправильных сетках и исследуется задача Дирихле. Методика является особенно эффективна в случае комфорных преобразований. Здесь удается проследить аналогию сконструированных комбинаторных объектов с континуальными, выяснить условия аппроксимации и предельного перехода.

В рамках предлагаемого подхода, в п. 1.4 рассматривается дискретизация одной нелокальной граничной задачи с интегральными граничными условиями для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Вместе с разностным аналогом нелокальной задачи строится разностная сопряженная с ней задача. В случае однозначной разрешимости этой задачи показывается, что построение аппроксимации решения соответствующей континуальной задачи, сопряженной с исходной нелокальной, сводится к схеме, предложенной А. А. Дезиным в [4].

Глава вторая посвящена дискретным моделям инвариантных дифференциальных операторов в псевдоевклидовом пространстве. Комбинаторная модель псевдоевклидового пространства определяется заданием дискретного аналога лоренцевой метрики на бесконечном комплексе, соответствующему этому пространству. Лоренцева структура метрики существенно влияет на определение дискретного аналога операции метрического сопряжения, а следовательно, и на определение разностного кодифференциала 8е.

В п. 2.1 рассматривается гиперболическая система дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в инвариантной форме (при использовании операторов d, 8). Строится дискретный аналог задачи Коши для этой системы уравнений на двумерном торе. Для построения аппроксимации решения континуальной задачи Коши используется дифференциально-разностная модель (дискретные формы непрерывно зависят от времени). Доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения дифференциально-разностной задачи Коши. Кроме того, доказывается, что последовательность решений соответствующих разностных задач слабо сходится к обобщенному решению задачи Коши для инвариантной гиперболической системы.

Учитывая, что при задании лоренцевой метрики лапласиан преобразуется в волновой оператор, в п. 2.2 внимание сосредоточено на построении разностных и дифференциально-разностных аналогов задач, связанных с волновым уравнением. В частности, исследуется дискретная модель смешанной задачи на конечномерном гильбертовом пространстве дискретных г-форм. Доказываются теоремы существования и единственности обобщенного решения смешаной задачи для дифференциально-разностного волнового уравнения в прямоугольной области.

В третьей главе разрабатывается геометрическая методика построения дискретных моделей, порождаемых уравнениями Янга-Миллса. Классические уравнения Янга-Миллса принято рассматривать (в 4-мерном случае) как непосредственное нелинейное обобщение уравнений Максвелла. Для построения дискретных моделей мы используем инвариантную форму записи этих уравнений. Последнее означает, что связность и кривизна связности интерпретируются как 1-, 2-формы соответственно, принимающие значения в алгебре .Ли su(2) , а сами уравнения записываются с помощью оператора внешнего ковариантного дифференцирования и операции метрического сопряжения. Уравнения Янга-Миллса весьма сложны и изучены мало [11, 31]. При исследовании различного рода физических моделей, связанных с этими уравнениями, как правило, в основу конструкций закладывается требование калибровочной инвариантности. Имеется обширная литература, посвященная дискретным моделям калибровочных теорий Янга-Миллса (см., например, [13, 47, 56, 57, 60, 62]). В большинстве случаев это так называемые решетчатые теории (lattice theory), при помощи которых получены весьма многочисленные физически содержательные результаты. Тем не менее, решетки, заменяющие физическое пространство, лишены при этом геометрической структуры. Наш подход, сохраняя геометрическую структуру континуального объекта, позволяет строить калибровочно-инвариантные дискретные модели.

В п. 3.1 приводятся основные определения и соотношения континуальной теории Янга-Миллса, используемые в дальнейшем при построению дискретных аналогов.

В п. 3.2, используя комбинаторную модель евклидового пространства, строится дискретный аналог уравнений Янга-Миллса в пространстве М71. При этом рассматриваются коцепи — дискретные аналоги 1-формы связности и 2-формы кривизны — с коэффициентами, принадлежащими алгебре Ли su(2) . Определяется дискретный аналог оператора внешнего ковариантного дифференцирования. Выписаны разностные уравнения Янга-Миллса, которые в "поточечном" виде образуют систему нелинейных матричных уравнений. Следуя континуальной теории, вводится дискретный аналог калибровочных преобразований и исследуются условия калибровочной инвариантности. Доказана теорема о калибровочной инвариантности дискретной модели. Известно, что в 4-мерном случае теорию Янга-Миллса можна рассматривать как нелинейное обобщение теории Ходжа гармонических форм. Аналогичный факт устанавливается для нашей дискретной модели.

В п. 3.3, используя комбинаторную модель псевдоевклидового пространства с лоренцевой структурой метрики, построена калибровочно-инвариантная дискретная модель уравнений Янга-Миллса в пространстве Минковского.

В континуальной 4-мерной теории Янга-Миллса особое значение имеют нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка, дающие абсолютный минимум лагранжиана Янга-Миллса. Это так называемые уравнения автодуальности и антиавтодуальности, решения которых называются автодуальными и антиавтодуальными связностями. Уравнения Янга-Миллса автоматически удовлетворяются, если в них подставить кривизну автодуальной или антиавтодуальной связности. В п. 3.4 представлены разностные аналоги уравнений автодуальности и антиавтодуальности для комбинаторной модели 4-мерного евклидового пространства и пространства Минковского.

Глава четвертая посвящена построению дискретных моделей на сфере. Схема дискретизации, используемая в предыдущих главах, в этом случае является неэффективной, поскольку возникает ряд трудностей приципиального характера при перенесении определения дискретного аналога операции метрического сопряжение (операция *) на комплекс, соответствующий компактному многообразию без границы. В связи с этим, для построения комбинаторной модели сферы предлагается конструкция двойного комплекса. В двойном комплексе операцию * можна определить таким образом, что ** = 1. Следовательно, при таком "ин-волютивном" задании изменятся определения скаларного произведения и дискретного а,налога кодифференциала. Несмотря на это, "поточечные" записи разностных инвариантных операторов сохраняются.

В п. 4.1 сперва рассматривается комбинаторная модель евклидового пространства, определяемая при использовании конструкции двойного комплекса. Далее, строится комбинаторная модель двумерной сферы. Следует отметить, что предлагаемая модель является немного упрощенной с точки зрения метрических свойств. Вместе с тем, подробно описан разностный аналог метода ортогональных разложений на комбина.-торной двумерной сфере. С помощью этого метода доказаны теоремы

1. Бицадзе А. В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения // Изв. АН СССР, Сер. мат.-1953.-Т. 17. No 6. С. 525-538.

2. Вигак В. М. Управление температурными напряжениями и перемещениями.-Киев: Наук, думка. 1988.

3. Головизин В. М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР.-1977.-Т. 235. No 6. С. 1285-1288.

4. Дезин А. А. Многомерный анализ и дискретные модели.-М.: Наука. 1990.

5. Дезин А. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Труды МИАН.-1962.-Т. 68. С. 1-88.

6. Дезин А. А. О методе ортогональных разложений // Сиб. мат. журн.-1968.-Т. 9. No. 5. С. 1062-1074.

7. Дезин А. А. О спектре некорых разностных операторов // Сиб. мат. журн.-1972.-Т. 13. No. 5. С. 86-93.

8. Дезин А. А. Некоторые модели, связанные с уравнениями Эйлера // Дифференц. уравнения.-1970.-Т. 6. No 1. С. 17-26.

9. Дезин А. А. Модели, порождаемые уравнениями Янга-Миллса // Дифференц. уравнения.-1993.-Т. 29. No 5. С. 848-851.

10. Дольд А. Лекции по алгебраическойя топологии.-М.: Мир. 1976.

11. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.-М.: Наука. 1979.

12. Дынников И. А., Новиков С. П. Преобразования Лапласа и сим-плициальные связности // Успехи Мат. Наук.-1997.-Т. 52. No 6. С. 157-158.

13. Зайлер Э. Калибровочные теории.-М.: Наука. 1985.

14. Коршия Т. К., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнения теплопроводности на криволинейных сетках // ЖВМ и МФ.-1980.-Т. 20. No 2. С. 401-421.

15. Крылов А. Л. Модели с конечным числом степеней свободы для некоторого класса задач математической физики (разностные схемы с законом сохранения) // ДАН СССР.-1962.-Т. 142. No 3. С. 572575.

16. Лебедев В. И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторые краевые задачи математической физики. I, II // ЖВМ и МФ.-1964.-Т. 4. No 3. С. 449-465; No 4. С. 649-659.

17. Левшец С. Алгебраическая топология.-М.: ИЛ. 1949.

18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.-М.: Наука. 1983.

19. Новиков С. П. Алгебраические свойства двумерных разностных операторов // Успехи Мат. Наук.-1997.-Т. 52. No 1. С. 225-226.

20. Новиков С. П. Оператор Шредингера на графах и топология // Успехи Мат. Наук.-1997.-Т. 52. No 6. С. 177-178.

21. Новиков С. П. Разностные операторы Шредингера // Тр. Мат. Инст. Стеклова.-1999.-Т. 224. С. 275-290.

22. Пальцев Б. В. Многомерный аналог теоремы Морера, // Сиб. мат. журн.-1963.-Т. 4. No. 6. С. 1376-1388.23. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия.-М.: ИЛ. 1956.

23. Самарский А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука. 1977.

24. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики.-М.: Наука. 1975.

25. Самарский А. А. Некоторые результаты теории разностных методов // Дифференц. уравнения.-1980.-Т. 16. No 7. С. 1155-1171.

26. Самарский А. А., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравнения.-1981,-Т. 17. No 7. С. 1317-1327.

27. Самарский А. А., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // ДАН СССР.-1981.-Т. 258. No 5. С. 1092-1096.

28. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Сильная стабильность дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // Докл. РАН.-1997.-Т. 356. No 4. С. 455-457.

29. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Гулин А. В. Стабильность операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения.-1999.-Т. 35. No 2. С. 152-187.

30. Славнов А. А., Фадеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.-М.: Наука. 1988.

31. Соловьев А. В., Соловьева Е. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Исследование аппроксимации разностных операторов на сетке из ячеек Дирихле // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22. No 7. С. 1227-1237.

32. Сущ В. Н. Дискретный аналог интеграла Коши // Дифференц. уравнения.-1993.-Т. 29. No 8. С. 1433-1441.

33. Сущ В. Н. Разностное уравнение Пуассона на криволинейной сетке // Дифференц. уравнения.-1996.-Т. 32. No 5. С. 1501-1505.

34. Сущ В. Н. О калибровочно-инвариантных моделях уравнений Янга-Миллса // Мат. заметки.-1997.-Т. 61. Вып. 5. С. 742-754.

35. Сущ В. Н. О некоторых разностное аналогах инвариантных гиперболических систем первого порядка // Дифференц. уравнения.-1999.-Т. 35. No 3. С. 411-417.

36. Сущ В. Н. Дискретш модел1 на двовим1ршй сфер1 // Доп. НАН Украшы.-2000.~ No 2. С. 27-32.

37. Sushch V. N. Discrete models of invariant differential operator. Proceed. Intern. AMSE Conference "Applied Modelling h Simulation". Lviv. Sept. 30-0ct. 2. 1993. AMSE Press. P. 27-38. 1993.

38. Sushch V. N. The discrete analog of a nonlocal boundary value problem// Доп. HAH Украины.-1995.- No 1. C. 38-40.

39. Sushch V. N. A discrete model of Yang-Mills equations // Adv. in Systems Science and Appl.-1997. Special issue. P. 1-13.

40. Sushch V. N. Operatory rozniczkowe inwariantne w zagadnieniach fizyki matematycznej i modele dyskretne // Zeszyty naukowe WBiIS.-1998. No. 13. P. 315-322.

41. Sushch V. N. On discrete models of the wave equation. Proceed. Intern. Conf. on Diff. Eq."Equadiff99". Berlin. Aug. 1-7. 1999. World Scientific Publ. Co. Pte. Ltd. P. 354-356. 2000.

42. Фаворский А. П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики // Дифференц. уравнения.-1980.-Т. 16. No 7. С. 1308— 1321.

43. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. -М.: Мир. 1988.

44. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.-М.: Наука. Т. 1. 1986.

45. Ambjorn J., Makeenko Yu. M., Nishimura J., Szabo R. J. Lattice gauge fields and discrete non-commutative Yang-Mills theory // J. High Energy Phys.-2000.-Vol. 4. No 5A. 48 p.

46. Baker Garth A. Combinatorial laplacian and Sullivan-Whitney forms. Differential geometry. Proc. Spec. Year, Maryland 1981-1982. Prog. Math. 32. P. 1-33. 1983.

47. Castillo J. E., Hyman J. M., Shashkov M., Steinberg S. Fourth- and sixth-order conservative finite difference approximation of the divergence and gradient // Appl. Numer. Math.-2001.-Vol. 37. No 1-2. P. 171-187.

48. Dodziuk J. Combinatorial and continuous Hodge theories // Bull. AMS.-1974.-Vol. 80. P. 1014-1016.

49. Dodziuk J. Finite-difference approach to the Hodge theory of harmonic forms // Am. J. Math.-1976.-Vol. 98. P. 79-104.

50. Dodziuk J., Patodi V. K. Riemannian structures and triangulations of manifolds// J. Indian Math. Soc.-1976.-Vol. 40. P. 1-52.

51. Dodziuk J. Difference equations, isoperimetric inequality and transience of certain random walks // Trans. Am. Math. Soc.-1984.-Vol. 284. P. 787-794.

52. Dodziuk J. Laplacian on manifolds and analogous difference operator for graphs. Complex differential geometry and nonlinear differential equations. Proc. AMS-IMS-SIAM Joint Summer Res. Conf., Brunswick/Maine 1984. Contemp. Math. 49. P. 45-49. 1986.

53. Friedrichs K. Symmetric hyperbolic differential equations // Commun. Pure Appl. Math.-1954.-Vol. 7. No 2. P. 345-392.

54. Frolov S. A. Gauge-invariant Hamiltonian formulation of lattice Yang-Mills theory and the Heisenberg double // Mod. Phys. Lett. A.-1995.-Vol. 10. No 34. P. 2619-2631.

55. Frolov S. A. Physical phase space of lattice Yang-Mills theory and the moduli space of flat connections on a Riemann surface // Theor. Math. Phys.-1997.-Vol. 113. No 1. P. 1289-1299.

56. Komorowski J. On finite-dimensional approximations of the exterior differential, codifferential and laplacian on a Riemannian manifold // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astron., Phys.-1975.-Vol. 23. P. 999-1005.

57. Komorowski J. Net on a Riemannian manifold and finite-dimensional approximations of the laplacian // Diss. Math.-1979.-Vol. 165. 83 P.

58. Mueller V. F. The pressure in lattice Yang-Mills theories// Lett. Math Phys.-1982.-Vol. 6. P. 81-84.

59. C. Nash, S. Sen. Toplogy and Geometry for Physicists.-London: Acad. Press. 1989.