Разностный метод решения задачи оптимального управления квантомеханической системой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

министерство образования азербайджанской республики бакинский государственный университет

На права^^фшисф Д УДК.519.62

2о ДНК

МАХМУДОВ НУРАЛИ МЕХРАЛИ оглы

РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 2000

Работа выполнена в Институте Кибернетики АН Азербайджана.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Д.Искендеров

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

с.п.с. Р.В.Гусейнов - кандидат физико-математических наук, доцент В.Р.Ибрагимов

Ведущая организация: - Институт Физики АН Азербайджана

Защита состоится "о^б" АС&Яб^Я 2000 г. в " " часов на

заседании разового Специализированного Совета К/Н 054.03.07 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Бакинском Государственном Университете по адресу: Баку, 370148, ул.З.Халилова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бакинского Государственного Университета.

Автореферат разослан " 2000 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета,

доктор физико-математических наук, V

профессор г-м/жТк С.Г.Абдульвагабова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вычислительные методы решения задач оптимального управления квантовомеханической системой, описываемой уравнением Шредингера, является составной частью теории численных методов и оптимального управления системами с распределенными параметрами и относится к одному из ведущих разделов вычислительной математики, теории оптимальных процессов и теории дифференциальных уравнений в частных производных.

При изучении задач оптимального управления важное место занимают следующие вопросы: установление необходимых и достаточных условий оптимальности; разработка вычислительных и аналитических методов решения; исследование корректности постановки рассматриваемых задач оптимального управления. Изучению этих вопросов для задач оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами посвящено немало работ.

В современной теории вычислительных методов решения задач оптимального управления с распределенными параметрами особое место занимают задачи оптимального управления для систем, описываемых уравнениями квантовой механики, например, уравнением Шредингера. Такие задачи часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике и в других областях современной физики и техники. Аналитическое решение подобных задач возможны лишь при весьма частных случаях. Поэтому численное исследование подобных задач несомненно представляется актуальным для современной теории и практики оптимальных процессов.

Качественная теория и общие методы решения задачи оптимального управления коэффициентами уравнений в частных производных начались развиваться после 70-х - 80-х годов. В этом направлении следует особенно

отметить работы Лионса Ж.Л., Тихонова А.Н., Фридмана Л., Золеззи Т., Плотникова В.И., Искеидерова А.Д., Райтума У.Е. и др.

Безусловно, теория оптимальных систем с распределенными параметрами сильно базируется на теорию систем с сосредоточенными параметрами, где фундаментальная роль принадлежит работам Понтрягина Л.С., Беллмана Р., Гамкрелидзе Р.В., Фельдбаума A.A., Харатишвили ГЛ, и др.

Задачи оптимального управления коэффициентом уравнения 1 Шредингера ранее были изучены, в основном в работах Бутковского А.Г.. ' Самойленко Ю.И., Искеидерова А.Д., Лгубова Г.Я., Динь Н.Х. и др.

Вычислительные методы решения задач оптимального управления ^^эазвивались в нескольких направлениях. Одним из фундаментальных направлений является использование необходимых условий, установленных для непрерывных задач оптимального управления. Однако, когда эти методы дискретно реализуются, тогда всегда открытым остается вопросы точности приближенных решений. В этом случае ситуация особенно усложняется, если решаемая задача является неустойчивой. Именно к этому классу относится изучаемая в диссертации задача.

Исследование сходимости дискретных аналогов непрерывных задач оптимального управления является актуальной. Сходимость разностного метода решения задач оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений изучены в работах Будака Б.М., Габасова Р., Кирилловой Ф.М., Гуленко В.П., Ермольев Ю.М., Калам Дж. и их учеников.

Для развития разностных методов теории оптимального управления распределенными системами фундаментальную роль сыграла теория разностных схем для уравнений в частных производных, развитых в работах Самарского A.A., Тихонова А.Н.? Яненко Н.И. и их учеников Андреева

A.A., Гулина A.B., Гордезиани Д.Г., Курдюмова CIL, Коновалова А.Н., Попова Ю.П. и др.

Вопросы сходимости разностных методов для задач оптимального управления для уравнения Шредингера исследованы в работах Потапова М.М., Разгуляна A.B., Шамеевой Т.Ю., Ягубова Г.Я., Силла II., Мусаевой М.А. и др. Вопросы численного решения задач оптимального управления квантовомеханических систем весьма мало изучены. В случае критерия качества типы Лионса эти вопросы вообще не исследованы.

Критерии качества типа Лионса впервые введена и исследована Лионсом. Показано, что оно естественно моделирует ряд качеств управлений реальными процессами. Для управления коэффициентами распределенных систем методы моделирования критерием качества типа Лионса введены и анализированы в работах Искендерова А.Д.

Следует отметить, что вопросы корректности постановки, необходимых условий оптимальности и разработки численных методов решения задач оптимального управления квантовомеханичеекой системой с критерием качества типа Лионса, ранее не исследованы. Поэтому учитывая практическую и теоретическую ценность этого вопроса настоящая диссертационная работа, посвящается разностному методу решения задач оптимального управления квантовомеханичеекой системой с критерием качества Лионса, когда управлением является квантовомеханическин' потенциал.

Цель работы. Исследовать корректность постановок задач оптимального управления квантовомеханических систем, - описываемых уравнением Шредингера и его разностным аналогом, вывести необходимые условия оптимальности для решения этих задач, исследовать вопросы сходимости разностного метода и установить оценок сходимости и :корости сходимости разностных аппроксимаций.

Методы исследования. В работе применяются методы теории разностных схем, оптимального управления, дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1) Впервые рассмотрена задача оптимального управления квантово-механической системой с критерием качества типа Лионса и исследованы вопросы корректности этой задачи в непрерывном и дискретном случаях.

2) Установлены необходимые условия в виде принципа максимума Понтрягина и вариционного неравенства в непрерывном случае, в виде дискретного аналога вариационного неравенства в дискретном случае. Найдены формулы для градиента рассматриваемых критериев качества.

3) Доказана оценка сходимости разностных аппроксимаций по— функционалу, когда управление зависит от обеих переменных. Оценки скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу доказываются , когда управление зависит только от пространственной или временной переменной.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты развивают теорию оптимального управления с распределенными параметрами особенно квантовомеханических систем и теорию разностных методов решения этих задач. Результаты диссертации могут найти применения в квантовой механике, ядерной энергетике, лазерной физике и технике и в других областях современной практики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры оптимизации и управления БГУ им.М.А.Расулзаде (руководитель проф. А.Д.Искендеров), на семинарах Института Кибернетики АН Азербайджана (руководитель член-корр АН Т.А.Алиев), на международных конференциях 1997 г. (г.Антапья, Турция),

1998 г. (г.Новосибирск, Россия), на конференции ИММ АН Азербайджана, 1997 г. (г.Баку).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликованы в 5 работах [1]-[5].

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 128 страницах и состоит из списка обозначений, введения, пяти параграфов и списка литературы.

В списке обозначений работы приводятся основные обозначения и определяются основные функциональные пространства, которые часто используются в дальнейшем.

Во введении дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность темы и излагается краткое содержание диссертации.

В §1 дается постановка задачи оптимального управления и ее разностная дискретизация.

Пусть требуется минимизировать функционал

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

на множестве V з {г: V = 1>(хДу е ¿2(0),0 <Ь„ < т(л-,/) <£„ \/(х,/) еП} при условиях:

(I)

(2)

уДх,0) = {о4(х), х е/Л £ = 1,2,

(3)

где i = а= £>х(о,7'), Т>0, а0 > 0, Ьц > 0, />, > О, а > О - заданные числа, D - ограниченная область л-мерного евклидово пространства £„ с достаточно гладкой границей Г, S = Гх[о,'/| - боковая поверхность цилиндра Q, v - внешняя нормаль границы Г, ¡рк еЛ2(0), «> еЯ, /, е L2(Q), к = 1,2 -заданные функции, H - выбираемое функциональное пространство в зависимости от рассматриваемой задачи.

Определение 1. Задачу об определении функций ^ к = 1,2 , из условий (2) - (4) при заданном veV назовем редуцированной задачей и

я

под решением этой задачи будем понимать функции у/Дх,/), к = 1,2 из пространства С°([о,7'], 12(Л)), удовлетворяющие интегральным тождествам:

fn ' ~ '¡xdг = (/Дх,г)7/Дх,г)с&£/т +

jtptiït(x,0)dx - i k = 1,2 (5)

+i

D

ДЛЯ любого I е [о, г] И любых ц е IV 2 (П),/;2 е^-^П), =0, П, = £>х(о,»).

Далее в этом параграфе дается разностная дискретизация задачи оптимального управления (1) -(4) в случае одной пространственной переменной и излагается постановка соответствующей дискретной задачи оптимального управления.

Пусть хе£>г[о,/), / е[о,7'], П = (о,/)х(о,г). Введем последовательность сеток: |(хл/1)(1|,л = 0,1,2,...., = у/г-/г/2, /( = кт, ] = 1, к = \~~N~,

Л=Л„ = //(Л/„-1), г=тп-т/ып, =(Ф;, , =(Ф; -Ф;.„)/Л,

=(Ф?.„ ^Ф; -2Ф;4 +Ф;_»)/Л2 , />=1,2.

Здесь верхний индекс не является степенью.

Для каждого натурального п > 1 рассмотрим задачу о минимизации функции

4-1 1-1 к,\ ,=|

на множестве

Уп ={Н.:М. = {17), 0<Л, <V,, <6,,у = Г, Л7-"1Д = 1,7/} при условиях

'"4 Фд + К -= /; , / = им- ■, к = ГЛ\ (7)

Ф;о=<,У = 0;М,/;=],2, (8)

<=Ф'ш=0^ = Т,¥, (9)

^фц =о, к = \;м, (ю)

где сеточные функции <р*, , р= 1,2 определены следующим образом < =7 [ *>„(*)&, /> = 1,2, 7=СлГ-1 ,

х, -л/2

ю) = К = о, <рЦ = , <Р1, = , (П)

К = т Г I / = Та/"-I, * = ил?, я = 1,2, (12)

'»-I

са1к = — | | <ф,/)<&</(, ./ = СМ-1, Л: = Г,/V . (13)

Г 1,.,'г'"2

В §2 исследуются вопросы корректности постановок задач (1)-(2) и (6)-(10). Сначала изучается непрерывная задача оптимального управления

(1)-(4).

Примеры показывают, что задача оптимального управления (1)-(4), при а = 0, вообще говоря, является неустойчивой задачей. Однако имеет место

Теорема 1. Существует плотное подмножество G пространства II = L2{Q) такое, что для любого т еG при о>0 задача оптимального управления (1) - (4) имеет единственное решение.

В задаче оптимального управления (1) -(4), когда управление v(x,/) не зависит от переменной х, то есть v(x,í) = v(í) и множество допустимых управлений V имеет вид:

P = jv:v = v(t), ve¿2(o,r), О<60 <v(í)<¿,, Víe(o,r)J,

тогда найдено достаточное условие на параметр а > 0, обеспечивающее единственность решения рассматриваемой задачи при любом а> еЯ, где #=¿2(o,r). В этом случае предполагая, что <рк(х), fk\x,t) удовлетворяют условиям:

у, el¡'](D),9l elVl(D), &

• 2-° (ТС

dv

=0, (И)

= 0 (15)

доказывается существование решения задачи оптимального управления (1)-(4) и при а>0.

Кроме того, если множество допустимых управлений в задаче (1) -

(4) имеет вид: VV = v(x), )>е12(0), 0 < Ь0 <v{x) <Ь,, \/х е(о,/) | и функции <рк(х), £ = 1,2 удовлетворяют условиям (14), а /,(*,/), к = 1,2 удовлетворяют следующим условиям:

(16)

то доказана следующая:

Теорема 2. Пусть выполнены условия (14), (16). Тогда задача о минимизации функционала (1) на множестве V при условиях (2) - (4) имеет хотя бы одно решение при любом а 2 0.

В случае, когда управление v зависит от обеих переменных х и t и

множество допустимых управлении имеет вид: г

IV =

v: v = v(x, /), v е W'"'(«), 0 < i>„ < v(*. i)<b,,

a>{x,t)

<b2,\/(x,t)e Г2

(17)

a

где b0,b,,b2> 0 заданные числа такие, что W * 0, /ia!f°''(n), а функции Л (*>')> Л = 1,2 удовлетворяют соответственно условиям (14), (16), тогда доказано, что задача оптимального управления о минимизации функционала (1) на множестве IV при условяих (2) - (4) имеет хотя бы одно решение при а > 0.

Далее в этом параграфе изучена корректность постановки дискретной задачи оптимачьного управления, (б) - (10). С этой целью сначала доказана оценка устойчивости решения разностной схемы (7) - (10):

Теорема 3. Для решения разностной схемы (7) - (10) при фиксированном [v]„ еК„ верна оценка:

М-\ J ( Л<-1 , N М-1 Л

у.i v ,=i 4.1 J,i J

где с1/} >0, р= 1,2 -некоторые постоянные, независящие от Лиг.

С помощью этой теоремы доказано следующее утверждение о существовании решения дискретной задачи оптимального управления (6)-(10):

Теорема 4. Дискретная задача оптимального управления (6)-(10) имеет хотя бы одно решение при а > О.

В §3 изучаются вопросы дифференцируемое™ критерия качества в непрерывной и дискретной задачах оптимального управления.

Пусть ф, = ф,(jc,i),a = 1,2 является решением следующей сопряженной задачи:

" (к.

= 0, (20)

5

Фк(х,т) = 0, 1бД ¿ = 1,2, (19)

где у/к =у/к[х,г) а ¿ = 1,2 - решение редуцированной задачи (2) -

(4), при V е V .

Введем функцию

//(*,/, V/,, у/г, V, Ф,, Ф2) = >■(*,/) Ие[у, /)ф, (х,/) + р2(х, /)Ф2 (*, ')] -

которую будем называть фун кцией Гамильтона-Понтрягина для задачи (1) - (4), где (с,(*,'), Ф4 (*,/), к = - соответственно решения редуцированной и сопряженной задач. Имеет место

Теорема 5. Функционал (1) дифференцируем по Фреше в ¿„(О) и для его градиента справедливо выражение

= =-Ке|^|(х,/|Ф|(дс,/)+-у/2(х,/)ф2(х,/)] + 2а(у(х,/)-«(*,<)) , (22)

где Н = н{х,1,у/1,у/2,у,Ф1,Ф1) -- функция Гамильтона-Понтрягина, заданная формулой (21).

Если множество допустимых управлений определено в виде (17), тогда при а = 0 доказана следующая формула для вариации функционала (1):

<£/„(V, и>) = -(х,()ф,(х,I) +- цгг(х, /) Фг(х,г)] м{х,/)а'хсИ (23)

п

для любой функции <г^ '(п).

Далее в этом параграфе изучается дифференцируемость критерия качества в дискретной задаче оптимального управления (6)-(10). С этой целью сначала выводится следующая сопряженная задача для дискретной задачи оптимального управления (6)-( 10). Эта задача имеет вид:

'<у, «75 + д<Аг '/;., - V,, 75-, = 2 (- 1)"(ф;(. - Ф;» ), / = К л/-1, А = 1.Л' (24) ^вО,у = 67Я/»=1,2, (25)

'/',<-, = о,* = Г77, (26)

. (27)

Доказана следующая

Теорема 6. Критерий качества (6) дифференцируем на множестве и для его градиента справедливо выражение:

('Лм„))д --'ЦФ; '7,7, ^-фд ''7(7,) + 2й(у, к = к» (28)

В §4 изучаются вопросы необходимых условий оптимальности в непрерывных и дискретных задачах оптимального управления, поставленных в §1.

Сначала в этом параграфе доказано необходимое условие оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина:

Теорема 7. Для оптимальности управления \>' с V в задаче (1) - (4) необходимо выполнение условия:

= вир I^(xJ,l^'(xJ),^г'(xJ\vyФx'(x>i),Фг'(x,l)) (2.9)

для у(х,()еП, где н(х,1,<//',у/2'У,Ф2') - функция Гамильтона-Понтря-гина для задачи (1)-(4), которая определяется формулой (21),

з ф, {х,г;\>'), к- 1,2 - соответственно решение задач (2) - (4) и (18) - (20) при г" еК.

Отметим, что эта теорема была доказана с привлечением так называемой "квазисопряженной системы". Однако., когда управление зависит только от переменной г, доказано необходиме е условие типа (29) без привлечения "квазисопряженной системы".

Далее в этом параграфе доказаны необходимые условия в виде вариационных неравенств. В конце этого параграфа изучается необходимое условие для дискретной задачи оптимального управления (6) - (10). В данном случае доказан дискретный аналог вариационного неравенства для задачи (6) - (10):

Теорема 8. Для оптимальности управления [у']л еК„ необходимо выполнение неравенства:

+<«.,1-24; -«Д», - у;)* 0 (30) при всех {V], еУ„, где ф;4. = ф£ {[у'^), = {[у'^), /> = 1,2 - решение разностной схемы (7) - (10) и сопряженной системы (24) - (27) при [у']в е !'„, -^______

В §5 рассматриваются вопросы сходимости разностных аппроксимаций. Сначала в этом параграфе в случае одной пространственной переменной изучается вопрос сходимости разностных аппроксимаций задачи оптимального управления о минимизации функционала (1) при а = 0 на множестве (17) при условиях (2)-(4). С этой целью при каждом и>1 рассматривается дискретный аналог этой задачи, который заключается в минимизации функции (6) при а = 0 на множестве

К 3 {м„ =М„ = (V,*}, о < ¿0 < V,, < , / = \;м~ \, к = х;ы,

V, | < Ь2 , ] = \,М-\, к = N | (31)

при условиях (7)-(10).

Далее в этом параграфе изучается погрешность аппроксимации. С этой целью в одномерном случае введены усреднения решения редуцированной задачи (2) - (4) в виде:

I,

= 7,; I I пМ^'-} = 17аГ-1, к = 1'и, = <,

>,.<тыг

} = 6~М, р = 1,2, ^ = у\л = 0, = ^, ^ = , А = \, М . (32) Определяя оператор (}„ на множестве п виде:

= '7 | I = * = 1;т/ , (33)

рассмотрена следующая сис тема:

+ - V,,?; = г;, /=г;л7-1. к = г*, (34)

2;о = 0, = р = 1,2 , (35)

2^=2^=0. * = , (36)

<>,4 = <5;4» =0, к=\,'Я , (37)

где = Ф д - у,*, р = 1,2, сеточная функция F|'k определяется формулой:

+ ЧК . /-и/ А = ГА' . (38)

Доказана следующее утверждение:

Теорема 9. Пусть выполнены условия согласования с, < т/И < с2, где с, ,с3 > 0 постоянные, независящие от /? и г. Тогда верна оценка:

л£кГ сз9)

/•1 V и-1 /») у

'Уте{1,2,...,Л'},/>= 1,2, где сгг > 0,/?= 1,2 - некоторые постоянные, независящие от к и г, Д > 0, Д, 0 при т -> 0, /г -> 0.

Эта теорема используется для доказательства сходимости разностных аппроксимаций по функционалу. С этой целью доказана следующая теорема.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда для Уу е IV и е IV» имеет место оценка

М-- л,„Н)1 ^ Ф,»-п\1

где с, > 0 - постоянная, независящая от к и г. Здесь

(41)

Далее доказаны две свойства разности функционала /0(у) и функции /„„([V],,).

I) Пусть выполнены условия теоремы 10. Пусть, кроме того, оператор 0, =¡2,(у) определяется формулой (33). Тогда б„(у)еи имеет место оценка:

(42)

где с4 > 0-постоянная не зависит от Л и г.

Пусть оператор Р„ определяется формулой:

+ 81 V,, ■(/-/,), х, - Л/2 < х < х, + /г/2, } = й"М -1, v|X, х, -И/2<х<х/ + /г/2, / = Г,~Л/— 1, /0 <( <1, .

(43)

2) Пусть выполнены условия теоремы 10. Пусть кроме того,

оператор Р„ определяется формулой (43). Тогда ^„(М„) и имеет место оценка:

Ырмьг*нЬе>№) (44)

где с, >0- постоянная не зависит от Инг.

Используя теорему 10 и эти свойства доказана оценка сходимости разностных аппроксимаций по функционалу:

Теорема П. Пусть имеют место свойства 1) и 2). Пусть, кроме того, у' е IV и И являются решениями задач (1)-(4), (17) и (6)-(10), (31) соответственно при а = 0, то есть

Л. = ¡пГУ0(у) = л(^} /„,, ЛДу1,)=;0,,(И:) .

Тогда последовательность разностных задач (6)-(10), (31) аппроксимирует задачу (1)-(4), (17), то есть

Пш/0„. =У„. (45)

и справедлива оценка сходимости

1.2..........(46)

где с6 > 0 - постоянная, независящая от Л и г.

Далее в этом параграфе изучаются вопросы сходимости разностных аппроксимаций задачи оптимального управления о минимизации функционала J0(v) на множестве

у: У = г'(х),^е!Р2'(0,/),0<&(1<у(х)<А(, ^ <6,, V* е(о,/)| (47)

при условиях (2)-(4), в которой , /Дх.^зО, к- 1,2, а функции

<Рк =<Рк(х)>к- 1,2 удовлетворяют условиям:

(48)

Дискретный аналог этой задачи заключается в минимизации функции 70„([г]в) на множестве:

К »{м. -Н о<ь0 л,

(49)

при условиях (7)-(Ю),

Пусть = {'//д. |, где уЦ определяется формулой:

х/ +Л/2

= т | г,(*,/*, /=г,ж-1, л = \;ы,

= <рЧ ,/ = 0;17, р = 1,2, Ч,= = О, V»» = е.*. См := . к = ГГЛ^ . (50)

Определяя оператор ()„ на множестве V в виде:

а(")=(»п.'<'г.-,=т \ 1;(дг)л,/=у,м- ], (51)

" <,-<1/2

рассматривается система (34)-(37), в которой , а определяется

формулой

1 <?V 1

F*=л Л (2г " ^Н*4*+-

- а А, . 1 = 1, А: = Т,Л'", р = 1,2 . (52)

Доказан аналог теоремы 9 в виде:

Теорема 12. Пусть выполнено условие согласования с, где

с^с, > 0 - постоянные, независящие от к и г. Тогда верна оценка

•is

А(-|

(53)

для любого me{\,2,...,N], р=1,2, где с£,у;=1,2 - постоянные, которые не

зависят от

Эта теорема используется для доказательства оценки скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в отличие от теоремы 9, от которой удается получить только оценку сходимости. С этой целью доказана следующая:

Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 12. Тогда для WeF и V[v]„ eV„ имеет место оценка:

\Ш - ЦЫпЬс*№+Л+law - М-Й <54)

где С|0 >0 - постоянная не зависит от Лиг.

Далее доказаны две свойства разности функционала J0(v) и функции

Мм.) ■

3) Пусть выполнены условия теоремы 13. Пусть, кроме того, оператор й, ~ Й,Н определяется формулой (52). Тогда 0,(V») е Уп и имеет место оценка:

(55)

где с,, > 0 - постоянная не зависит от И и г.

Пусть оператор Р„ определяется формулой:

(v, , х, -hj2<x:

-t-h/2

4) Пусть выполнены условия теоремы 13. Пусть, кроме того, оператор Р„ определяется формулой (56). Тогда /'„([v] J еК и имеет место оценка:

|-/o(^([vL))-/«„([vL)[<cl2(/i + yi) (57)

где е12 > 0 - постоянная не зависит от Л и г.

Имеет место

Теорема 14. Пусть имеют место свойства 3) и 4). Пусть, кроме того, v' еУ и [v'^eP. являются решениями задач (1)-(4), (47) и (6)-(10), (49) соответственно при а = 0, то есть

Л. =inp0(v) = y„(v,)i/o„. =[i^/0„([v],l) = ./0„(lv']„)

Тогда последовательность разностных задач (6)-(10), (49) аппроксимирует задачу (1)-(4), (47), то есть

Hm/„„. = ./„. (58)

п-* во

и справедлива оценка скорости сходимости

ко»« &) , « = 1,2,... (59)

где с,, >0 - постоянная, которая не зависит от Лиг.

В конце §5 рассматриваются вопросы скорости сходимости разностных аппроксимаций частного случая задачи оптимального управления (1)

- (4), (17), когда управление зависит только от переменной t, то есть v(i,i)hv((), и /,(х,/)э0, А = 1,2,а = 0. Предполагая, что <рк - tpk(x),k = 1,2 удовлетворяют условиям (48), доказан аналог оценки (53). Используя эту оценку установлена оценка скорости сходимости типа (59).

Пользуясь случаем выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Д.Искендерову за постановку задач и постоянное внимание.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Искендеров А.Д., Махмудов Н.М. Оптимальное управление кванто-механической системой с критерием качества Лионса. // Изв. AHA. -Сер. физ.-тех. матем. наук. - 1995. - T.XVI, №5-6. - С.30-35.

2. Махмудов Н.М. Необходимое условие оптимальности в задаче оптимального управления квантовой системой с функционалом Лионса // Деп. В АзНИИНТИ, №2472-Аз, 1997. - 18 с.

3. Mahmudov N.M. Optimal control problem for quantum-mechanical systems with Lions functional and it's solution by finite-differences method // International conference "Functional differential-difference equations and applications" 18-22 August, 1997. - Antalya.

4. Махмудов Н.М. Разностный метод решения задачи оптимального управления кванто-механической системой с функционалом Лионса // Труды ИММ АН Азербайджана. - 1997. - том VII (XV). - С.79-82.

5. Искендеров А.Д., Махмудов Н.М. Приближенное решение одной обратной задачи для уравнения Шредингера // Тезисы докладов международной конференции "Обратные задачи математической физики". - Новосибирск: 21-25 сентября 1998 г.- С.36

МаЬмудов Н.М.

Кваптомехапикн системлэ оптимал идарэетмя мэсэлэсиппп Ьэлли учун фэрг усулу

Диссертаси|а иши идарэетмэ квангомеханики потенсиал олдугда квантомеханики систем учун Лионе фуиксионалы тигши ке]фи^эт критерли оптимал идарэетмэ мэсэлэсинии фэрг усулу илэ Ьоллинэ Ьэср олунмушдур.

Ишдэ илк дэфэ квантомсханики систем учу» кестэрилэн ндфи^эт критерли оптимал идарэетмэ мэсэлэсита бахылмыш вэ бу мэсэлэнин ; Ьэм кэсилмэз, Ьэм до дискрет Ьалда го)улушуиун корректли]и тэдгиг олунмушдур. Бу заман Ьэм кэсилмэз, Ьэм дэ дискрет оптимал идарэетмэ мэсэлзлэринин Ьэллинин варлыгы вэ зеканэлгуи теоремлэри исбат олунмушдур.

Бахылан к^фирт критерлэринин градиента учу11 дустурлар тапылмышдыр. Кэсилмэз мосоля Ьалыида Понтр]акинин максимуму припсиии вэ вариасща бэрабэрсизлщи, дискрет Ьалда исэ вариаси]а бэрабэрсизлидонин дискрет аналогу шэклиндэ зэрури шэртлэр исбат олунмушдур. Бундам башга бахылан оптимал идарэетмэ мэсэлэсиндэ идарэетмэ ]алшлз замандан асылы олдугда ке]'фи^эт критеринэ дахил олан а параметр» учуй Ьэллин ]сканэли]ини тэ'мшг едэн кафи шэрт тапылмышдыр. Бу Ьалда вариас^а бэрабэрсизлщи шэклиндэ кафи шэрт дэ исбат олунмушдур.

©]рг)нилэи идарэетмэ мэсэлэлэри уч ун фэрг усулунун ^гылмасы тэдгиг олунмуш вэ идарэетмэ Ьэр ики дэрипэндэн асылы олдугда сонлу фэргли аппроксимас^аларыи фуиксионала керэ ]ыгылма пумэтлэн-мэси кестэрилмишдир. Идарэетмэ ]алныз фэза дэдешэниндэн ]ахуд да jaлныз заман дфшглтшдон асылы олдугда фуиксионала керэ .¡ыгьшма сур'эти учу" гщмэтлэпмэлэр исбат олунмушдур.

Mahmudov N.M.

Difference method of solution of optimal control problem for quantum

mechanical system

The present thesis is devoted to difference method of solution of optimal control problem for quantum mechanical system with a criterion of optimization type of Lions.

The correctness of definition of considering problem in continuous and discrete cases are investigated. The existence and uniqueness theorems are proved.

The formula of a gradient for considered criterions of quality is found and in continuous case necessary conditions of optimality as a maximum principle of Pontryagin and as a variational inequality are proved. For discreate version of problem hold the variational inequality for necessary condition of optimality. For the particulary cases of problem, the sufficient condition of an optimality in finite- variational inequality form is proved also.

The convergence of a difference method for considering optimal control problem is investigated. Theorems of convergence respect to functional of difference approximations, when unknown potential is depends only on a time or space variable are established.