Численное исследование явления многомерной оптической самофокусировки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава I. Разностные схемы для решения нелинейного уравнения типа Шредингера

§ I. Введение

§ 2. Двухслойная консервативная конечноразностная схема

§ 3. Двухслойная консервативная псевдоспектральная схема

§ 4. Трехслойные разностные схемы

§ 5. Конечно-разностная схема переменнных направлений

Глава П. Численное исследование устойчивости самофокусировки мощных- оптических пучков в нелинейных средах ИЗ

§ I. Постановка задачи. Выбор разностной схемы ИЗ

§ 2. Результаты расчетов устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах

После создания оптических квантовых генераторов и усилителей (лазеров), когда стали очевидными разнообразные уникальные возможности их применения, началась работа по реализации этих возможностей. В настоящее время интенсивно развиваются различные научно-технические направления, основанные на использовании мощных оптических пучков. Среди этих направлений - лазерный термоядерный синтез, оптическая связь, применение лазеров в химии, биофизике и фотобиологии, лазерная спектроскопия, лазерное разделение изотопов и многие другие [1 - 4 J.

Развитие этих нацравлений требует детального изучения процессов распространения мощных оптических пучков в различных нелинейных средах. Среди многочисленных явлений, выявленных в результате этого изучения, выделим самофокусировку 11J мощных оптических пучков, которая есть результат самовоздействия пучка в нелинейной среде с показателем преломления, зависящим от интенсивности проходящего пучка.

В большинстве работ рассмотрена самофокусировка пучка как целого. Однако, вследствие возможной неустойчивости распространения мощного излучения, которая для плоских пучков была впервые показана в Г 1Z ] , может происходить разбиение пучка на некоторое количество зон с последующей фокусировкой каждой зоны в отдельную нить. Такой процесс называется мелкомасштабной самофокусировкой. В настоящее время мелкомасштабная самофокусировка является одним из наиболее существенных препятствий для создания мощных твердотельных лазеров. Нелинейные искажения фазы и амплитуды светового пучка, возникающие при мелкомасштабной самофокусировке, приводят к ухудшению яркости излучения и разрушению оптических элементов. Этим объясняется актуальность задачи изучения самофокусировки и нахождения путей для ее подавления.

Создание мощных ЭВМ открыло новую возможность для изучения сложных задач науки и техники - вычислительный эксперимент [13]. Особенно важна его роль как метода решения нелинейных задач, полное аналитическое решение которых, как правило, неизвестно.

К числу таких задач относится и смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения Щредингера, описывающая в квазиоптическом приближении процесс распространения мощных оптических пучков в нелинейных средах:

И + i DAj.A + Lf(lA\l)fli = 0 , (/,y,2)6/7 (0.1)

HZ

Ан.0 = А.(х,у) , fx.y^ff, С*2; 0 , Z*tO,l]. (0.3) dG

Здесь п = (0,/,) , , Ax= —г — \гт

L ~~ у D - действительная константа, функция } описывает нелинейные свойства среды.

Dг

Л >

Воцросам существования в целом или малом и единственности обобщенного решения задачи Коши или смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения Щредингера (ОД) при различных видах нелинейности j- посвящены работы £ 14 - 21].

В двумерном случае (х, £ ), когда решение зависит от одной продольной и одной поперечной координат, для задачи Коши для уравнения Щредингера (ОД) с кубической нелинейностью точные решения солитонного типа [ 22 J .

Однако, в важном с физической точки зрения трехмерном случае (две поперечные и одна продольная координаты) основным средством решения математических задач нелинейной оптики являются численные методы. С помощью численного решения задачи (ОД) -(0.3) в ряде работ были выявлены некоторые закономерности процессов самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах.

Основные закономерности процессов самофокусировки быж получены для радиально-симметричных пучков. Первая группа расчетов была проведена [ 23-25 ] для пучков с гауссовым начальным распределением амплитуды

Шло выяснено, что в этом случае в цроцессе распространения, пучка образуется многофокусная структура Г 23-25 J , представляющая собой конечную совокупность отдельных фокусов на оси пучка, получающихся в результате последовательной фокусиметодом обратной задачи рассеяния были построены ровки различных кольцевых зон пучка. Общее число фокусов в многофокусной структуре примерно равно Р0/Ркр, где PQ - полная начальная мощность пучка, Р^ - критическая мощность самофокусировки [ 25 J . При этом в каждый фокус входит мощность, примерно равная Р„. кр

Следующая группа расчетов была проведена [ 26-28 ] для пучков с супергауссовыми (щитообразными) начальными распределениями амплитуды ^ . v д/ г (Vet)

АЛ г) - До е , А/ (°-5)

Было выяснено, что с ростом степени аподизации Ы ( № > 2) происходит трансформация многофокусной структуры, характерной для гауссового начального распределения амплитуды ( Ы =2). О увеличением № перше фокусы многофокусной структуры начинают стягиваться к первому фокусу, цроисходит их частичное перекрытие, и, затем, в некоторой области по n , а/ ** A^CPq/P^) > 2, образуется один или несколько (при больших Р0/РКр) мощных фокусов на оси пучка, в которые втекает существенная часть мощности всего пучка [ 26-28 ] . Такое различие в поведении пучков с гауссовым (0,4) и платообразным U Ы0 (РсАкр) в начальными распределениями амплитуды объясняется различным характером начальной (линейной) стадии дифракции этих пучков.

Ввиду возможной неустойчивости самофокусировки пучков, приводящей к разбиению пучков на мелкомасштабные нити, встала задача исследовать устойчивость распространения пучков с гауссовым и платообразным начальными распределениями амплитуды относительно малых возмущений, нарушающих радиальную симметрию пучка. Требовалось выяснить, в каких случаях и при "возмущенных" начальных распределениях будут образовываться фокусы на оси пучка (устойчивая саиофокусировка), а в каких вносимые угловые возмущения будут приводить к разбиению пучка на периферийные нити (неустойчивая самофокусировка). Отметим, что аналитические исследования Г 29 ] устойчивости распространения ограниченных пучков не позволяют в рассматриваемых случаях полностью проследить картину развития возмущений. Это объясняется проводимыми при аналитических исследованиях линеаризацией. уравнения для возмущений и довольно грубой аппроксимацией решения невозмущенной задачи.

Возникла необходимость в проведении подробного численного исследования устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах. Некоторые примеры подобных расчетов приведены в работах [ 30-34 ] . Среди основных сложностей, возникающих при проведении численных расчетов рассматриваемой задачи выделим следующие.

Нелинейность задачи. Необходимость проведения больших серий расчетов с различными значениями этих параметров.

Трехмерность задачи. Решение задачи (ОД) - (0,3) зависит при рассматриваемой постановке этой задачи от трех пространственных переменных (х, у, Z ) (или ( У, Z )).

Мелкомасштабность изучаемого процесса. Характерный масштаб изменения решения по поперечным координатам (х, у) (или становится при фокусировке пучков много меньше размеров области, в которой ищется решение.

Указанные свойства решаемой задачи налагают определенные (в какой-то степени противоречивые) требования на применяемые численные методы ее решения. Это требует проведения сравнительного анализа методов решения рассматриваемой задачи, их обоснования (т.е. доказательства сходимости схем и, в случае нелинейных схем, доказательства сходимости итерационных процессов), выбора разностной схемы, наиболее эффективной для рассматриваемой постановки задачи.

Для численного решения смешанной задачи (0.1) - (0.3) для нелинейного дифференциального уравнения Шредингера различными авторами было рассмотрено немало схем ["35"- 61 J. Остановимся на некоторых из них.

Двухслойная симметричная схема (схема Кранка-Николсона) рассматривалась, например, в работах

1к2> 5z-56,

Характерные черты этой схемы - симметричность, абсолютная устойчивость в линейном случае, консервативность (т.е. наличие разностного аналога закона сохранения мощности в тех случаях, когда последний существует), нелинейность по верхнему слою. Нелинейность диктует применение итерационного процесса для нахождения решения на каждом слое по J? , что замедляет расчеты и иногда считается слишком дорогой платой за перечисленные выше положительные качества. Укажем, что существуют явные (или линейные по верхнему слою) консервативные схемы решения задачи (0.1) - (0.3). (Например, метод решения из f 54 ] или трехслойная симметричная консервативная схема, рассматриваемая в главе I). В работах £ 5$-56] предложен специальный вид аппроксимации нелинейного члена, при котором схема Кранка-Николсона имеет разностные аналоги двух законов сохранения задачи (0.1) - (0.3). При ограничениях на рост нелинейного члена уравнения Щредингера (0.1) сходимость двухслойной разностной схемы изучалась в работах £ 5 £ - 5 Ч ] «В них была доказана сходимость решения схемы Кранка-Николсона к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи (0.1) - (0.3) при нелинейности полиномиального роста. В работе [] проведено сравнение двухслойной симметричной схемы с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений.

В работах для расчета распространения радиально-симметричных пучков в нелинейных средах использовалась трехслойная симметричная разностная схема. Эта схема, являясь абсолютно устойчивой в линейном случае, в нелинейном случае не принадлежит к классу консервативных схем. Она линейна по верхнему слою, решается прямыми методами и является более "быстрой" по сравнению с нелинейными схемами. (В § 4 главы I рассмотрен консервативный вариант трехслойной схемы). В работе

5'G J рассмотрена трехслойная явная ( ItClp - /tog ) схема (схема Ричардсона) и доказана ее сходимость к достаточно гладкому решению исходной дифференциальной задачи (0.1) - (0.3). Отметим, что использование этой схемы может привести к численной неустойчивости. Результаты расчетов, демонстрирующие резкое возрастание ("взрыв") при некотором £ = 2ВЗ погрешности tiOup- ftwfy схемы, приведены в работе J» в которой предлагается устойчивая консервативная модификация этой схемы (без доказательства сходимости).

В работах Г 48, 51, 58-61 J рассмотрены псевдоспектральные схемы для численного решения задачи (0.1) - (0,3), в которых применяется Фурье-аппроксимация оператора Лапласа. Впервые метод Фурье-аппроксимации дифференциальных операторов был изложен в работах [ 62-64 J и применен для задач гидродинамики несжимаемой жидкости [ 63-66 ] . Затем этот метод был перенесен для решения других дифференциальных задач. В применении для решения задачи (ОД) - (0,3) двухслойная симметричная псевдоспектральная схема обладает теми же свойствами, что и конечно-разностная схема Кранка-Николсона. Обе они симметричны, консервативны, нелинейны по верхнему слою. Заметим, что реализация двухслойной псевдоспектральной схемы еще более "дорога", чем в случае схемы Кранка-Николсона. В работе С 48 J, следуя [ 51 ] , рассмотрена устойчивая модификация трехслойной псевдоспектральной явной ( ttUp - fafl) схемы и проведено ее сравнение с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений. Сходимость двухслойной симметричной псевдоспектральной схемы к достаточно гладкому решению задачи (0.1) - (0,3) при нелинейности в (ОД) полиномиального роста доказана в работе Г 58 J . Рассмотрение нелинейности более общего вида, а также обоснование других разностных схем потребовали цроведения дальнейших исследований.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения и двух глав, содержащих 7 параграфов.

1. Басов Н.Г. Лазерный термоядерный синтез. - Природа, 1983, В 1. с. 4-II.

2. Оптика и связь: Оптическая передача и обработка информации. Пер. с фр./ А. Козанне, Ж. Флере, Г. Мэтр, М. Руссо-М.: Мир, 1984. 504 с.

3. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеяния света: Активная спектроскопия рассеяния света. М.: Наука, 1981. - 543 с.

4. Лазерное разделение изотопов.Ч.1. / Алимпиев С.С., Карлов Н.В., Крынецкий Б.Б., Петров Ю.Н. Итоги науки и техники, сер. Радиотехника, ВИНИТИ, 1980, т. 22, ч. I - 142 с.

5. Аскарьян Г.А. Воздействие градиента поля интенсивностого электромагнитного луча на электроны и атомы. ЖЭТФ, 1962, т. 42, & 6, с. I567-1570.

6. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах. Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, № 5, с. 218-222.

7. Kelly Р.Ъ. Self-focusing of optical beams.- Phys. Rev.1.tt., 1965, v.15, IT.26, p.I005-I008.

8. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов P.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде. У®, 1967, т. 93, & I, с. 19-70.

9. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. О самофокусировке и самоканализации интенсивных световых пучков в нелинейной среде. ЖЭТФ, 1966, т. 50, № 6, с. 1537-1549.

10. Гольдберг В.И., Таланов В.И., Эрм Р.Э. Самофокусировка аксиально-симметричных световых пучков. Изв. вузов, сер. Радиофизика, 1967, т. 10, № 5, с. 674-685.

11. Беспалов В.И., Литвак А.Г., Таланов В.И. Самовоздействие электромагнитных волн в кубичных изотропных средах.В кн.: Нелинейная оптика. Труды 2-го Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике. Новосибирск, Изд-во "Наука", Сиб. отделение, 1968, с. 428-463.

12. Беспалов В.И., Таланов В.И. О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях. Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, J& 12, с. 471-476.

13. Самарский А.А. Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент. Коммунист, 1983, № 18, с. 31-42.

14. Шабат А.Б. О задаче Коши для уравнения Гинзбурга-Ландау.-В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. I. Новосибирск, 1969, с. 180-194.

15. Кудряшов О.И. Об особенностях решений нелинейных уравнений типа Гинзбурга-Ландау. Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 4, с. 866-868.

16. Насибов Ш.М. Об одном нелинейном уравнении типа Шрединге-ра.-Дифф. уравн., 1980, т. 16, № 4, с. 660-670.

17. Strauss V/.Л. The nonlinear Schroedinger equation.- Contemporary Developments in Continuum Mechanics and Partial Differential Equations (G.M. de la Penha and L.A. Me-deiros, Eds.), North-Holland, Hew York, 1978, p.452-465.

18. Владимиров M.B. 0 разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения типа Шредингера. ДАН СССР,- 1984,т. 275, II 4, с. 780-783.

19. Владимиров М.В. Смешанная задача для нелинейного уравнения типа Шредингера. М., 1984. - 32 с. (Препринт / ОШ АН СССР: & 74.)

20. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 197Г, т. 61, Jfc I, с. II8-I34.

21. Дышко А.Л., Луговой В.И., Прохоров A.M. Самофокусировка интенсивных световых пучков. Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, № 5, с. 655-659.

22. Дышко А.Л., Луговой В.И., Прохоров A.M. Многофокусная структура светового пучка в нелинейной среде. ЖЭТФ, 1971, т. 61, № 6, с. 2305-2318.

23. Луговой В.И., Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде. УШ, 1973, т. III, № 2, с. 203-247.

24. Амосов А.А. О численном расчете распространения мощныхрадиалъно-симметричных световых пучков в нелинейной среде. В сб.: Численный анализ на ФОРТРАНе. Стандартные программы решения задач волновой физики. - М.: йзд-во Моск. ун-та, 1979, с. 57-67.

25. Амосов А.А., Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Коробкин В.В., Прохоров A.M., Серов Р.В. Самофокусировка волновых пучков с платообразным распределением интенсивности. Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 30, № 2, с. II9-I22.

26. Амосов А.А., Бахвалов Н.С., Владимиров М.В., Власов Д.В., Жилейкин Я.М., Коробкин В.В., Прохоров A.M., Серов Р.В.О распространении мощных волновых пучков в нелинейной среде. Изв. АН СССР, сер. физическая, 1981, т. 45, № 8, с. 1422-1428.

27. Розанов Н.Н., Смирнов В.А. Мелкомасштабная самофокусировка ограниченных пучков. Квант, электр., 1978, т. 5,$ 12, с. 2538-2549.

28. Мастрюков А.Ф., Сынах B.C. Численное моделирование распада самофокусирующихся пучков на нити. Квант, электр., 1976, т. 3, Л II, с. 2473-2474.

29. Резцов А.С., Тихонов Н.А. О самофокусировке неосесиммет-ричных пучков. ДАН СССР, 1976, т. 231, Л 2, с. 324-325.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Павлов В.И., Пергамент А.Х. Исследование расходимости излучения в мощных лазерных усилителях на активных элементах прямоугольного сечения.-М., 1981. 24 с. (Препринт / ШШ им. М.В. Келдыша АН СССР: №41.)

31. Yuen Н.С., Ferguson W.E., Jr. Relationship between Benja-min-Peir instability and recurrence in the nonlinear Schrodinger equation.- The Physics of Fluids, 1978, v.21, II.8, p.1275-1278.

32. Численный анализ на ФОРТРАНе. Вып. 16. Стандартные программы решения задач волновой физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 41 с.

33. Амосов А.А., Валединский В.Д., Жилейкин Я.М., Злотник А.А. Описание набора программ для решения уравнения световой волны. ЖВМ и МФ, 1977, т. 17, № 4, с. 1074-1076.

34. Численный анализ на ФОРТРАНе. Стандартные программы решения задач волновой физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979,87 с.

35. Численный анализ на ФОРТРАНе. Практическое пособие по методам и программам решения задач волновой физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983, - 90 с.

36. Амосов А.А., Борисов А.Б., Валединский В.Д., Владимиров М.В., Жилейкин Я.М., Злотник А.А., Кузьмина М.А.О наборе стандартных программ решения задач нелинейной оптики. ЖВМ и МФ, 1981, т. 21, № 2, с. 756-758.

37. Дышко А.Л. Разностный метод решения уравнения распространения светового луча в нелинейной среде. ЖШ и МФ, 1968,т. 8, № I, с. 238-242.

38. Дегтярев Л.М., Крылов В.В. Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями. ЖЕМ и МФ, 1977, т. 17, 6, с. 1523-1530.

39. Дегтярев Л.М., Крылов В.В. Гидродинамическое описание самофокусировки пучков света в кубичной среде. В сб.: Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами / ИШ им. М.В. Келдыша АН СССР; Под ред. А.А. Самарского. М., 1980, с. I06-I6I.

40. Васильков А.Г., Данилейко Ю.К., Лебедева Т.П., Романов М.Ф. О явном методе численного решения задачи распространения световых волн в нелинейных средах. ЖВМ и МФ, 1983, т. 23, .£ 3, с. 743-748.

41. Greig I.S., Morris J.LI. A hopscotch method for the Korte-weg-de-Vries equation.- J. Сотр. Phys., 1976, v.20, N.I, p. 64-80.

42. Fleck J.A., Morris J.R., Feit M.J. Time-dependent propagation of high energy laser beams through the atmosphere .-Appl. Phys., 1976, v.10, N.2, p.129-160.

43. Hardin R.H.,Tappert F.D. Applications of the split-step Fourier method to the numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equations.- SIAM-SIGMJM fall Meeting, Austin, TX, October 1972; SIAM Rev. Chronicle, 1973» v.I5, p.423.

44. Taha T.R., Ablowitz M.J. Analytical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equations, I, Analytical.-J. Сотр. Phys., 1984, v.55> N.2, p.192-202.

45. Taha T.R., Ablowitz M.J. Analytical and numerical aspects of certain nonlinear evolution equations. II. numerical, nonlinear Schrodinger equation.- J, Сотр. Phys., 1984,v.55, N.2, p.203-230.

46. Ablowitz M.J., Ladik J.P. A nonlinear difference scheme and inverse scattering.- Stud, in Appl. Math., 1976, v.55, 11.3, p.213-229.

47. Ablowitz M.J., Ladik J. P. On the solution of a class of nonlinear partial difference equations.- Stud, in Appl. Math., 1977, v.57, IT.I, p.1-12.

48. Pornberg В., Whitham G.B, A numerical and theoretical study of certain nonlinear wave phenomena.- Phil, Trans, of the Royal Society of London, 1978, v.289, N.I36I, p.373-404.

49. Карамзин Ю.Н. Разностные методы в задачах нелинейной оптики. М., 1982. - 27 с. (Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша Ш СССР: № 74.)

50. Дриц В.В. Разностные схемы для решения нелинейных уравнений шредингеровского типа. В сб.: Дифференциальные уравнения и их применение. Вып. 33. - Вильнюс, 1983, с, 67-76.

51. Абрашин В.Н., Афанасьев А.А., Дриц В.В. Разностные методы в задачах светоиндуцированной дифракции в нелинейных средах. Дифф. уравн., 1984, т. 20, В 7. с. II07-III8.

52. Delfour М., Fortin Ы., Payre G. Finite-difference solutions of a non-linear Schrodinger equation.- J. Сотр. Phys., 1981, v.44, IT.2, p.277-288.

53. Sanz-Serna J.M. Methods for the numerical solutionof the nonlinear Schroedinger equation.- Math, of Сотр., 1984» v.43» N.167, p.21-27.

54. Sanz-Serna J.M., Manoranjan V.S. A method for the integration in time of certain partial differential equations.-J. Сотр. Phys., 1983, v.52, N.2,p.273-289.

55. Карамзин Ю.Н. Численные методы для некоторых задач нелинейной оптики. М., 1982. - 26 с. (Препринт / ИПМим. М.В. Келдыша АН СССР: № 73.)

56. Карамзин Ю.Н., Цветкова И.Л. Спектральный метод решения нелинейных квазиоптических задач. М., 1979. - 26 с. (Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР: № 115.)

57. Кириченко Т.К., Копа-Овдиенко А.Л. 0 применении метода Фурье к задачам распространения волновых пучков в нелинейных средах. М., 1981. - 30 с. (Препринт / ИПМим. М.В. Келдыша АН СССР: Яэ 143.)

58. Кириченко Т.К. Численное исследование мелкомасштабной пространственной структуры импульсов света в усиливающих ипоглощающих средах. Автореф. канд. дисс., М., 1981.

59. Kreiss Н.О., Oliger J. Comparison of accurate method for the integration of hyperbolic equations.- Uppsala University, report И.36, October 1971; Tellus, 1972, v.24» Н.З» P.199-215.

60. Orszag S.A. numerical simullation of incompressible flows within simple boundaries: accuracy.- J. Fluid Mech., I97I,v.49,p.75-II2.

61. Orszag S.A. numerical simullation of incompressible flows within simple boundaries. I. Galerkin (spectral) representations.- Stud, in Appl. Math., 1971» v.50, H.4, p.293-327.

62. Orszag S.A. Comparison of pseudospectral and spectral approximation.- Stud, in Appl. Math., 1972, v.51» N.3» P.253-259.

63. Fox F.G., Orszag S.A. Pseudospectral approximation to two dimensional turbulence.- J. Сотр. Phys., 1973» v.II, IT.3» P.612.

64. Fornberg B. On a Fourier methods for the integration of hyperbolic equations.- SIAM J. of Numer. Anal., 1975» v.12, Н.4» P.509-528.

65. Гаевский I., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1978. 336 с.

66. Захаров В.Е., Соболев В.В., Сынах B.C. Исследование поведения световых пучков в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971, т. 60, В I, с. 136-145.

67. Campillo A.J., Shapiro S.L., Suydam B.R. Periodic breakup of optical beams due to self-focusing.- Appl. Phys. Lett., 1973, v.23, H.II, p.628-630.

68. Борисов А.Б. О сходимости разностных схем для решения нелинейного уравнения типа Шредингера. В сб.: Повременные проблемы математического моделирования. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984, с. 70-96.

69. Борисов А.Б. О численном исследовании устойчивости самофокусировки оптических пучков. В сб.: Численный анализ на ФОРТРАНе. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983, с. 56-64.

70. Борисов А.Б. О численном решении нелинейных уравнений типа Шредингера. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 38. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983,с. 134-150.