Эффекты нелинейного самовоздействия свистовых волн в бесстолкновительной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1.ВВЕДЕНИЕ

2.УРАВНЕНИЯ САМОФОКУСИРОВКИ И КОЛЛАПСА ВИСТЛЕРОВ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ

2.1.Усредненные уравнения магнитной гидродинамики плазмы в высокочастотном электромагнитном поле.

3.СТАЦИОНАРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ волновода

4.СТАЦИОНАРНАЯ САМОФОКУСИРОВКА ВИСТЛЕРОВ.П

4.1.Основные уравнения

4.2.Метод численного решения . ЦВ

4.3.Численные исследования самофокусировки. 5-5

5.КОЛЛАПС ВИСТЛЕРОВ . fa

5Л.Основные уравнения

5.2.Численные исследования коллапса . jq

Нелинейное самовоздействие свистовых волн (вистлеров) представляет большой интерес в связи с возможностью соответствующих активных экспериментов в магнитосфере Земли, а также той ролью, которую могут играть эти процессы в сильной турбулентности за-магниченной плазмы.

Проведенные в последнее время лабораторные эксперименты /1-5/ по волноводному распространению и нелинейному самовоздействию электромагнитных волн в бесстолкновительной плазме во всем частотном диапазоне вистлеров

0OLH « СО <Г СОс << Сор 9 (I.I) где Си - частота волны, СО р » 60 с и ЬО^ -электронная плазменная, циклотронная и нижнегибридная частоты соответственно,стимулировали пересмотр ряда теоретических положений о физике процесса. Так, наиболее сильному изменению подвергалась теория волно-водного распространения вистлеров вдоль неоднородностей плазмы, вытянутых по направлению внешнего магнитного поля. Волноводное распространение свистовых волн имеет непосредственное отношение к гипотезе магнитосферных дактов - каналов повышенной или пониженной плотности, имеющих естественное происхождение, вдоль которых распространяются свистящие атмосферики. Кроме того,неоднородность плазмы может создаваться самой волной в результате пондеромотор-ных эффектов,в этом случае мы имеем дело с нелинейным волноводным распространением.

Линейное волноводное распространение свистовых волн вдоль заданных неоднородностей было описано с помощью геометрической оптики /6/,а также в приближении параболического уравнения /7/. В первом случае предсказывается образование волноводов с пониженной плотностью плазмы во всем частотном диапазоне (1.1)и волноводов сжатия при В параболическом приближении волноводы разрежения возникают только при Go>wc/l ,а волноводы сжатия при (AJ < ООс /% • Качественно эти выводы были подтверждены в лабораторных экспериментах /1,3/ с вистлерами малой амплитуды.

Теория нелинейного волноводного распространения обычно базируется на нелинейном параболическом уравнении (уравнении Шредин-гера),описывающем волновое поле,где нелинейность определяется усредненным воздействием поля на среду (см.,напр.,/8,9/). В первых работах по самофокусировке вистлеров /10,11/, распространяющихся вдоль магнитного поля, было найдено, что при со < шс/2 образуются только волноводы уплотнения, а при Ои>сос/2. -волноводы разрежения. Эти выводы вполне согласуются с теми, которые следовало бы ожидать из теории линейного волноводного распространения. В более поздних работах /12-14/ был изучен широкий класс волноводных решений также обладающих волноводами уплотнения при СО<ССос/2 • Вместе с тем, в экспериментах /2,4,5/ было обнаружено, что во всем частотном диапазоне вистлеров (I.I) в результате нелинейного самовоздействия образуются только волноводы с пониженной плотностью плазмы.

Указанные сложности в интерпретации экспериментов стимулировали поиски более широкого класса нелинейных волноводных (соли-тонных) решений. С одной стороны, это расширение класса решений в параболическом приближении, а с другой-исследование устойчивости волноводных решений, связанной с учетом эффектов, выходящих за рамки параболического приближения, т.е. с использованием полной системы уравнений Максвелла. Последнее связано с тем, что в экспериментах наблюдались достаточно узкие пучки,для которых приме нение параболического уравнения становится необоснованным.

Эта программа была частично реализована в работах /15-19/, которые привели к обнаружению ряда новых явлений,играющих важную роль не только в проблеме волноводного распространения вист-леров,но,как будет показано в диссертации,и в эволюционных за -дачах самофокусировки и коллапса .

В работах /15-17/ рассмотрено линейное волноводное распространение свистовых волн в дактах различных сечений в рамках полных уравнений Максвелла. С использованием ВКБ приближения были исследованы волноводы разряжения во всем диапазоне (I.X) и волноводы сжатия при СО U)c/Z. Оказалось,что в волноводах уплотнения происходит трансформация захваченной моды в незахватывае-мую,в результате чего должна происходить утечка энергии из волновода тем более эффективная,чем меньше отношение ширины дакта к длине волны вистлера. Это явление,по-видимому,объясняет тот факт,что в узких пучках,образующихся в экспериментах по самофокусировке /2,4,5/,наблюдались только каналы с разрежением.

Указанная трансформация является важным случаем линейного взаимодействия волн в неоднородных средах /20,21/. В работе /15/ она была названа также "туннельной" в силу своей аналогии с туннельными явлениями в квантовой механике /22/.

Отметим,что в приближении параболического уравнения нет эффектов трансформации,т.к. из рассмотрения выпадает незахваченная в волновод мода,а в приближении геометрической оптики отсутствует связь между захваченной и незахваченной модами.

Нелинейные волноводы рассматривались в работах /18,19/. Как следует из дисперсионного соотношения для свистовых волн

СО = £26Ос co$>0/(cup /C24-k2) , (1.2) где k- I k I - волновое число, О - угол между волновым вектором k и направлением внешнего магнитного поля Е>0 » для данной частоты со < ovc/2. возможны два типа волн, распространяющихся вдоль магнитного поля (групповая скорость направлена по и отличающихся углом О И в-OJICCOS (2.Со/и?с) .

При Ou>caJc/Z распространяется только одна волна с fi=0 . Для каждой из этих мод в /18,19/ построены параболические уравнения, описывающие эволюцию огибающей поля волны, и изучен широкий класс однопараметрических волноводных (солитонных) решений в плоской геометрии, в который, как частные случаи, включаются найденные ранее решения соответствующей геометрии.

В диссертации будут исследованы более реалистические аксиально-симметричные волноводы с учетом ряда физических факторов, которые не рассматривались в /18,19/.

С теорией нелинейного волноводного распространения тесно связаны эволюционные задачи самофокусировки и коллапса /23-26/. Характерной особенностью указанных процессов является сильная концентрация энергии поля в некоторых областях (фокусах) за счет нелинейного самовоздействия волны. Образование фокуса происходит за конечный промежуток времени после начала процесса (при коллапсе) или на конечном расстоянии после входа интенсивного пучка в нелинейную среду (при самофокусировке). Исследованию самофокусировки и коллапса электромагнитных волн в плазме, в частности, вистлеров, посвящены работы /9,10,28,29/.

В обычно используемых моделях, основанных на нелинейном уравнении Шредингера, решение в фокусе обращается в бесконечность (см.,например,/27/) и,таким образом, позволяет исследовать лишь начальную стадию процесса. Для преодоления "нефизического" эффекта образования особенности необходимо обобщение модели процесса путем учета явлений, играющих важную роль в узких пучках, образующихся в прифокусной области. Такими обобщениями могут быть включение тех или иных механизмов диссипации /30,31/, учет насыщения нелинейности /26/ или нелокальных эффектов /32/. Другой путь обобщения состоит в использовании полных уравнений Максвелла вместо параболического приближения. Рассмотренные выше эффекты "туннелирования", которые могут играть весьма важную роль в поздних стадиях самофокусировки и коллапса, делают такой путь особенно целесообразным. Исследованию процессов самофокусировки и коллапса вистлеров, с учетом сказанного выше, посвящена основная часть диссертационной работы.

Во второй главе диссертации сформулированы основные уравнения, используемые в дальнейшем при исследовании стационарных нелинейных волноводов, самофокусировки и коллапса свистовых волн в холодной бесстолкновительной плазме.

Рассматриваются цилиндрически симметричные пучки вистлеров с осью симметрии, направленной вдоль внешнего магнитного поля.Предполагается, что поле вистлера является квазимонохроматическим по времени.

Для описания поля волны используются полные уравнения Максвелла, в которых тензор диэлектрической проницаемости зависит от локальных значений плотности и магнитного поля в плазме. "Медленные "временные и пространственные вариации последних обусловлены усредненным (пондеромоторным) воздействием "высокочастотного" (ВЧ) поля волны на плазму, что и определяет нелинейное "самовоздействие" свистовой волны.

Для описания "медленных" вариаций параметров плазмы используются усредненные по периоду ВЧ волны уравнения магнитной гидродинамики^ которые воздействие ВЧ электромагнитного поля входит в качестве пондеромоторных сил.

Особо следует остановиться на проблеме пондеромоторных сил. Несмотря на обилие публикаций,указанная проблема до последнего времени оставалась дискуссионной даже для простейших сред,какой является,например,холодная бесстолкновительная плазма(см./33-36/).

Существует два подхода к вычислению пондеромоторных сил. Первый из них - макроскопический с использованием методов электродинамики сплошных сред берет начало с работы /37/. Дальнейшее развитие этого метода /38,39/ позволило получить достаточно общие выражения для пондеромоторных сил ВЧ поля в произвольных средах с частотной и пространственной дисперсией,а также с учетом слабых диссипативных эффектов.

Второй - микроскопический /40,41/,использующий ту или иную микроскопическую модель среды и,таким образом,дающий более детальную информацию о воздействии ВЧ поля. Для холодной бесстол-кновительной плазмы в качестве модели среды удобно использовать двухжидкостную квазигидродинамику /42/ ^. В дальнейшем этот подход развивался во многих работах (см.,напр.,/9,35,36,43-47/). Тем не менее,корректное вычисление пондеромоторной силы в микроскопическом подходе и согласование этих результатов с макроскопическим методом было получено лишь в последнее время /35,36,39,44/.

В дальнейшем мы будем ограничиваться только указанным приближением, поэтому различные подходы,использующие кинетическое уравнение, выпадают из рассмотрения.

Основная трудность здесь состояла в сбалансированном учете всех членов в усредненных микроскопических уравнениях,а также в правильной интерпретации ряда членов,дающих вклад в пондеромотор-ную силу.Последнее зачастую приводило к неоднозначности выбора формулы для пондеромоторных сил и трудностям в согласовании микро-и макроскопического подходов. Таковым,например,является опреде -ление диамагнитного момента плазмы в ВЧ поле и физическая интерпретация скорости среды в усредненных уравнениях. В последнем случае скоростью среды,ответственной за перенос массы и заряда, следует считать некую "перенормированную" величину. Ситуация здесь имеет аналогию с теорией акустических потоков в нелинейной акустике /48/.

Таким образом,задачу вычисления пондеромоторных сил в микроскопическом подходе следует рассматривать прежде всего как задачу получения усредненных по периоду ВЧ поля уравнений квазигидродинамики или магнитной гидродинамики (МГД) плазмы,где важным вопросом является правильная физическая интерпретация величин,вхо -дящих в усредненные уравнения,и,тем самым,однозначное выделение членов,ответственных за пондеромоторную силу.

Этой задаче посвящен раздел 2.1 диссертации,в котором,с по -мощью достаточно простого и эффективного метода усреднения,получены усредненные уравнения двухжидкостной квазигидродинамики и, в пределе достаточно медленных движений,одножидкостной МГД хо -лодной бесстолкновительной плазмы,находящейся во внешнем ВЧ поле. Отмечается совпадение полученного выражения для пондеромоторных сил в пределе усредненной МГД плазмы с соответствующими выражениями при макроскопическом подходе /39/.

Основное содержание второй главы опубликовано в /35,61,65/.

В третьей главе диссертационной работы рассматриваются стационарные нелинейные аксиально-симметричные волноводы вистлеров,однородные вдоль внешнего магнитного поля /63/. Анализ основан на параболических уравнениях,полученных в работах /18,19/ для волноводов двух классов: 9-0 ъО-О^КСОЪ (2.00/си^) ,и усредненных уравнениях МГД плазмы.

Решения,описывающие такие пучки ищутся в виде функций,зависящих от радиальной координаты и переменной k = (1.3) где Cs - скорость звука в плазме, X и СГ - постоянные, Z -координата вдоль В>0 , t - время. После того,как такие решения найдены, полагалось УС—5> О при фиксированном О* , таким образом получалось семейство решений,содержащее параметр (У ( О^ (У схо ),где все величины зависели только от £ (стационарные, однородные вдоль волноводы).

Волноводные решения для вистлеров возможны при следующих параметрах. Класс содержит волноводы

О г О* I ? О7 > /С% при СО ^ оис /2 и С (У < сА /С$ (Х.4) при СО > СОс /Z • Здесь Сд - альвеновская скорость. Класс (2Со/сос} содержит волноводы только при СОСОс /и (У , лежащей в диапазоне (1.4). При этом в пучках с СУi плотность больше,чем в окружающей плазме,а при -меньше.

Формы поперечных сечений волноводов получены численными методами. Решения с в- (Ялсео$ (2-Ш/сос) имеют сингулярность при О .

Обсуждается устойчивость волноводов,связанная с учетом эффектов, выходящих за рамки приближения параболического уравнения. В указанном смысле устойчивыми являются лишь волноводы с 0= О , и ооушс/г и 0- алст(2и>/оос) , ои <^00^/2. . В обоих случаях (У лежит в диапазоне (IЛ) и реализуются волноводы разрежения. Неустойчивые волноводы распадаются за счет "высвечивания" захваченной моды в незахваченную ("туннельные" эффекты /16,17/). Процесс распада тем более эффективен, чем уже волновод.

Реализация того или иного типа волновода с некоторым значением & и (У зависит от предыстории процесса формирования волновода или,конкретно,от постановки начальных и граничных условий в соответствующей многомерной эволюционной задаче. В следующих главах рассматриваются эволюционные задачи в такой постановке, которая должна приводить к формированию волноводов с (У- С? и (У- с?о . Эти два наиболее интересных случая соответствуют стационарной самофокусировке и коллапсу. В результате нелинейного самосжатия указанные процессы должны приводить к формированию узких волноводов, в которых существенную роль начинают играть эффекты "туннельной трансформации". Этим определяется своеобразие процессов самофокусировки и коллапса вистлеров, сопровождающихся "высвечиванием" прифокусных областей.

В четвертой главе рассматривается самофокусировка вистлеров в следующей постановке. На границу плазмы в направлении магнитного поля падает волновой пучок с независящей от времени амплитудой. Частота волны лежит в диапазоне (I.I). Исследуется эволюция пучка в плазме (стационарная самофокусировка) в рамках полной системы уравнений, сформулированной в главе 2. Для решения указанной задачи применяются численные методы.

В настоящее время численные методы являются основным средством исследования нелинейных уравнений самофокусировки и коллапса электромагнитных волн в физике плазмы и нелинейной оптике (см., например, /30,31,55,56/). Построению численных алгоритмов решения этого класса нелинейных задач посвящены работы /51,57-59/.

В диссертации сформулирован численный метод решения уравнений стационарной самофокусировки,построенных на основе полной системы уравнений Максвелла,и являющихся в определенном смысле "обобщением" параболического приближения. Исследованы условия корректности и устойчивости разностных схем.

Самофокусировка возникает при CVsCloJIta. интенсивностях пучка больших некоторой критической. При небольших превышениях критической мощности наблюдается однофокусная картина. Весь процесс можно разделить на несколько стадий. Сначала образуется трубчатая волновая структура,схлопывающаяся к оси пучка,с плавно меняющейся амплитудой поля. Процесс схлопывания идет в основном так же,как и в параболическом приближении. Отличия возникают лишь в следующей стадии,когда пучок становится достаточно узким. При этом схлопывание прекращается,возникает тенденция к образованию волновода,который,однако,неустойчив и быстро "высвечивается" в результате туннельных эффектов /15-17/. Пучок теряет до 70% энергии. Оставшаяся часть пучка докритической мощности медленно расплывается.

При дальнейшем повышении мощности начального пучка формируется многофокусная структура,характеризуемая появлением цепочки фокусов на оси пучка. Эволюция отдельных фокусов в целом подобна однофокусной картине и сопровождается "высвечиванием". Для интенсивных пучков существенное отличие возникает лишь в начальной стадии,когда до развития процесса схлопывания,резко сужается начальное распределение при неизменном положении максимума поля. Распределение поля становится настолько узким,что возникает интенсивное "высвечивание" как наружу,так и во внутрь пучка. Излучение, достигнув центра пучка, формирует всплеск поля,сравнимый по интенсивности с основными фокусами. Он назван "псевдофокусом" в силу своей чисто кинематической природы.

В пятой главе диссертации рассматривается коллапс вистлеров в следующей постановке. В начальный момент времени имеется пу -чок,однородный вдоль внешнего магнитного поля. Исследуется его эволюция во времени с сохранением указанной выше однородности (двумерный коллапс) на основе полной системы,сформулированной в главе 2. Применяемые численные методы аналогичны описанным в гл.4,для стационарной самофокусировки.

В основном процесс коллапса протекает так же,как и самофокусировка. Исследуется только простейшая однофокусная структура. На первой стадии возникает схлопывание пучка,близкое к тощ, которое наблюдается в параболическом приближении. Затем схлопывание прекращается и возникает интенсивное"высвечивание" (при этом наблюдалась потеря ~ 80% энергии пучка). В заключительной стадии пучок полностью расплывается.

Основное содержание глав 4 и 5 опубликовано в работах /62,64-67/.

В заключении (глава 6) приводится перечень основных результатов, полученных в диссертации,и их обсуждение.

Основные результаты работы докладывались также на семинарах ИЗМИРАН и ин-та Атомной энергии им. И.В.Курчатова, Общемосковском семинаре по теоретической физике (рук. акад. В.Л.Гинзбург), семинаре Отдела теории плазменных явлений ФИАН, на научных конференциях ИЗМИРАН, на Всесоюзном семинаре по нелинейным и параметрическим явлениям в плазме (1984), 1У Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Ленинград 1984-г), УН Зимней школе по физике магнитосферной плазмы (Обергоф, ГДР, 1984г), 1У Симпозиуме КАПГ по солнечно-земной физике (Сочи, 1984)»

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Stenzel R.L. Filamentation instability of a large amplitude whistler wave. Phys.Fluids,1976,v.19,p.6,865-876.

2. Sugai H.,Niki H.,Takeda S. Whistler wave trapping in a density crest. Phys.Fluids,1980,v.23,p.10,2134-2159.

3. Sugai H.,Maruyama M.,Sato M.,Takeda S. Whistler wave caused by antenna actions. Phys.Fluids,1978,v.21,p.4, 690-694.

4. Balmashnov A.A. On the self-focusing of whistler wave in a radial inhomogeneous plasma. Phys.Lett.,1980,v.97A, p.5,402-404.

5. Helliwell R.A. Whistlers and Related Ionospheric Phenomena. Stanford Univ.Press,1965

6. Washimi H. Wave-trapping in inhomogeneous magnetoplasma. J.Phys.Soc.Jap.,1976,v.41,p.5,2098-2108.

7. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.,"Наука",1973.

8. Литвак А.Г. Динамические нелинейные электромагнитные явления в плазме. Вопросы теории плазмы,вып.10,1980,164-208.

9. Литвак А.Г. Волновые пучки конечной амплитуды в магнитоак-тивной плазме. ЖЭТФ,1969,т.57,в.8,629-636.XX. Washimi Н. Self-focusing of transverse wave in a magneto-plasma. J.Phys.Soc. Jap.,1973,v.34-,p.5,1375-1378.

10. Karpman V.I.,Washimi H. Two-dimensional self-modulation of a whistler wave propagation along the magnetic field in a plasma. J.Plasma.Phys.,1977,v.18,p.1,173-187.

11. Spatschek K.H.,Shukla R.K.,Yu M.Y.,Karpman V.I. Finite amplitude localazed whistler wave. Phys.Fluids,1979,v.22,576-582.

12. Литвак А.Г.,Шахова H.A. Нелинейная квазиоптика электромагнитных волн в плазме в постоянном магнитном поле. Физика плазмы,1979,т.5,в.3,474-480.

13. Карпман В.И.,Кауфман Р.Н. Утечка свистовых волн из плазменных волноводов. Письма в ЖЭТФ,1981,т.ЗЗ,в.5,266-270.

14. Карпман В.И.,Кауфман Р.Н. Туннельная трансформация свистовых волн в неоднородной плазме. ЖЭТФ,1981,т.80,в.5,1845-1851.

15. Karpman V.I.,Kaufman R.N. Whistler wave propagation in the density ducts. J.Plasma Phys.,1982,v.27,p.2,225-233.

16. Karpman V.I.,Kaufman R.N. Self-focusing of whistler waves. Physica Scripta,1982,Т2/1,251-260.

17. Карпман В.И.,Кауфман Р.Н. 0 самофокусировке свистовых волн. ЖЭТФ,1982,т.83,в.1,149-159.

18. Ерохин H.С.,Моисеев С.С. Волновые процессы в неоднородной плазме. Вопросы теории плазмы,вып.7,1973,146-204.

19. Железняков В.В.,Кочаровский В.В.,Кочаровский Вл.В. Линейное взаимодействие электромагнитных волн в неоднородной слабоанизотропной среде. УФН,1983,т.141,в.2,257-310.

20. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.,"Наука", 1974.

21. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн. ЖЭТФ,1972,т.62, в.5,1745-1752.

22. Луговой В.И.,Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде. УШ,1973,т.1X1, в.2,203-247.

23. Аекарьян А.Г. Эффект самофокусировки. УШ,1973,т.XXI,в.2, 249-256.

24. Ахманов С.А.,Сухоруков А.Г.,Хохлов Р.В. 0 самофокусировке и самоканализации интенсивных пучков света в нелинейной среде. ЖЭТФ,1966,т.50,в.6,1537-1549.

25. Дышко А.Л.,Луговой В.Н.,Прохоров A.M. Самофокусировка интенсивных световых пучков. Письма в ЖЭТФ,1967,т.6,в.5,655-659.

26. Кузнецов Е.А. Коллапс электромагнитных волн. ЖЭТФ,1974, т.66,в.6,2037-2047.

27. Некрасов А.К.,Петвиашвили В.И. Самофокусировка и трехмерная локализация циклотронной волны,бегущей вдоль магнитного поля. Физика плазмы,1981,т.7,в.5,1145-1151.

28. Дегтярев Л.М.,Захаров В.Е.,Рудаков Л.И. Динамика ленгмюровс-кого коллапса. Физика плазмы,1976,т.2,в.3,438-449.

29. Дышко А.Л.,Луговой В.И.,Прохоров A.M. Многофокусная структура светового пучка в нелинейной среде. ЖЭТФ,1971,т.61, в.6,2305-2318.

30. Pecseli H.L.,Rasmussen J.J.,Thomsen К. Upper hybrid wave collaps in weakly magnetized plasmas. Phys.Letters,1983, v.99A,p.4-,175-179.

31. M.Kono,Skoric M.M.,ter Haar D. Ponderomotive Force in a Dispersive Medium in a Variable Electromagnetic Field. Phys.Rev.Lett. ,1980,v.4-5,No20,1629-1632.

32. Tskhakaja D.D. On the non-stationary ponderomotiveforce of a HP field in a plasma. J.Plasma Phys.,1281,v.25, p.2,233-238.

33. Karpman V.I.,Shagalov A.G. The ponderomotive force of a high-frequency electromagnetic field in a cold magnetized plasma. J.Plasma Phys.,1982,v.27,p.2,pp.215-224.

34. Lee N.C.,G.K.Parks. Ponderomotive force in a warm two-fluid plasma. Phys.Fluids,1983,v.26,No 3,724-723.

35. Питаевский Л.П. Электрические силы в прозрачной среде с дисперсией. ЖЭТФ,I960,т.39.в.5,1450-1458.

36. Вашими Х.,Карпман В.И. О пондеромоторной силе высокочастотного электромагнитного поля в диспергирующей среде. ЖЭТФ, 1976,т.71,в.9,1010-1016.

37. Бараш Ю.С.,Карпман В.И. Пондеромоторная сила высокочастотного поля в средах с частотной и пространственной дисперсией . ЖЭТФ,1983,т.85,в.6,1962-1978.

38. Гапонов А.В.,Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле. ЖЭТФ,1958,

39. Миллер М.А. Движение заряженных частиц в высокочастотных электромагнитных полях. Изв.вузов.Радиофизика,1958,т.1,№3, II0-I23.

40. Гинзбург В.Л.,Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.,"Наука",1975.

41. Klima R.,Petrzilka V.A. The tensor of time-averaged stresses for plasma with an oscillating field. Czech.J.Phys.,1968, v.B18,No10,1292-1298.

42. Klima K.,Petrzilka V.A. On radiation pressure forces in cold magnetized plasms. J.Phys.A,1978,v.11,No8,1687-1695

43. Горбунов Л.М. Гидродинамика плазмы в сильном высокочастотном поле. УВД,1973,т.109,в.4,631-665.

44. Woo W.,DeGroot J.S. Ponderomotive force and dc magnetic field generation induced Ъу laser absorption. Phys.Fluids, 1978,v.21,p.1,124-127.

45. Алиев Ю.М.,Быченков В.Ю. Генерация квазистационарных магнитных полей в лазерной плазме. Физика плазмы,1981,т.7,в.1,97-109.

46. Руденко О.В.,Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.,"Наука",1975.

47. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.,"Мир",1964.

48. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач . М.,"Наука",1974.

49. Дышко A.JI. Разностный метод решения задачи распространения светового луча в нелинейной среде. Журн.вычисл.матем. и математ.физики,1968,т.8,в.I,238-242.

50. Самарский А.А.,Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.,"Наука",1978.

51. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.,"Наука",1977.

52. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.,"Мир",1975.

53. Захаров В.Е.,Мастрюков А.Ф.,Сынах B.C. О динамике коллапса ленгмюровских волн в высокотемпературной плазме. Физика плазмы,1975,т.I,в.4,614-622.

54. Анисимов С.И.,Березовский М.А.,Захаров В.Е.,Петров И.В., Рубенчик A.M. Численное моделирование ленгмюровского коллапса. ЖЭТФ,1983,т.84,в.6,2046-2053.

55. Дегтярев Л.М.,Крылов В.В. Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями. Журн.вычисл. матем. и математ.физики,1977,т.17,в.6,1523-1530.

56. Амосов А.А. и др. 0 наборе стандартных программ решения задач нелинейной оптики. Журн.вычисл.матем. и математ. физики,1982,т.22,в.3,756-758.

57. Васильков А.Г. и др. 0 явном методе численного решения задачи распространения световых волн в нелинейных средах. Журн.вычисл.матем. и математ.физики,1983,т.23,в.3,743-748.

58. Захаров В.Е.,Рубенчик A.M. Неустойчивость волноводов и со-литонов в нелинейных средах. ЖЭТФ,1973,в.9,997-1011.

59. Карпман В.И.,Шагалов А.Г. Стационарная самофокусировка вистлеров. У1 Всесоюзная конф. по физике низкотемпературной плазмы (тезисы докладов),т.1,Ленинград,1983,3X4-316.

60. Karpman V.I.,Kaufman R.N.,Shagalov A.G. Axially symmetricself-focusing of . whistler waves. J.Plasm.Phys. ,1984-, v.31,p.2,209-223.

61. Карпман В.И.,Шагалов А.Г. Стационарная самофокусировка вистлеров. Письма в ЖЭТФ,1983,т.38,в.11,520-523.

62. Карпман В.И.,Шагалов А.Г. Самофокусировка и двумерный коллапс вистлеров. ЖЭТФ,1984,т.87,в.8,422-431.

63. Шагалов А.Г. Численное решение обобщенных уравнений самофокусировки вистлеров. Препринт ИЗМИРАН ,38/512/,1984.

64. Карпман В.И.,Кауфман Р.Н.,Шагалов А.Г. Самофокусировка и коллапс свистовых волн. Х1У Всесоюзная конф. по распространению радиоволн,Ленинград,1984гт.1,138-140.

65. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.,"Наука",1978.

66. Абрамов А.А. и др. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. Дурн.вычисл.матем. и математ.физики,1980,т.20,в.5,1X55-1X73.

67. Конюхова Н.Б. 0 численном выделении стремящихся к нулю на бесконечности решений для некоторых двумерных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. }йурн.вычис. матем. и математ.физики,Х970,т.10,в.1,47-84.

68. Das I.M.L.,Singh R.P. Self-focusing of whistlers. Phys.Letters,1981,v.82A,No1,10-13.

69. Ломинадзе Д.Г.,Мачабели Г.З.,Петвиашвили В.И.,Чагелишвили Г.Д. Трехмерная самоканализация солитонов. Письма в ЖЭТФ, т.28,в.8,560-564.